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BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

BOLETÍN DE ÁLGEBRA Exponentes/Ecuaciones exponenciales/ Polinomios/Productos notables.

I.E.P. “SANTA MARÍA” 1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA” 

LEYES LEYESDE DEEXPONENTES EXPONENTESII

1

3 2 



2

3 (-4)-3 =

1 9



Son definiciones y teoremas que estudian a los



exponentes a través de operaciones de potenciación

4  1     2

y radicación. TEOREMAS

POTENCIACIÓN an = P

a: base, a  R n: exponente n  Z P: potencia P  R

I)

BASES IGUALES 1. Multiplicación am . an = am+n Ejm.: 24 . 22 = 26  xn+4 = xn . x4  34 . 33 =  xa+c = 

Ejm.: 

42 = 16, la base es ___________ El exponente es _____________ la potencia es ______________

DEFINICIONES 1. Exponente Natural xn  x . x . .......... ...... x        n veces

;xR

2.

División

n  Z+

am

Ejm.: b5 = b . b . b . b . b  

4  1     2

 2.





Exponente Cero x0 = 1

-20 = 0

(-2) =

Exponente Negativo x n  Ejm.:

1

xn

34 2

3

 32

x x 3  55 53

xx

x3



x2x-1 =

; xR–{0}

Ejm.: 40 = 1  (-3)0 = 1  3.

Ejm.:



(-3)3 =

 am  n ;  a  0

an

; ;  x  R – {0}  n  Z+

 II) EXPONENTES IGUALES 3. Multiplicación an . bn = (ab)n

Ejm.: x4y4z4 = (xyz)4  (2b)3 = 23 . b3  m2n2p2 =  (3x)4 = 

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA 4.

I.E.P. “SANTA MARÍA” a) 1 d) 4

División an

a n    bn  b 

Efectuar:

x3

4.

3

 x      y

y3

x



4

3  3     5



m n P

1 1

     1 N     2  2

 a mnp

a) 287 d) 123

(32)3 = 36 = 729 x  

= {(x ) }

6. (x )

a) 0 d) 3 Si: 7. M

b)

1 2

c)

1 9

e) N.A.

N

a) 2 d) 1/2

F  3225

Si: 8.

2n  4  2n  3 2n  4

b) 3 e) N.A. 1  8 3

xx

x

a) 2 d) 2

352 . 452

1 3 1 d) 5

Calcular:

)

        . x ac . x ac ...... x ac

b) 1 e) N.A.

c) 1/3

9.

c) 2

2

Calcular:

152 . 25 . 49

a)

3.

. (x

bc a

(( x3a ) b ) c

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

2.

c) 235

"b" veces

a bc



Simplificar:

1 1

     1   4     4

b) 281 e) N.A.

x2.3.5 =

1.

1 1

     1     3  3

Halle el exponente final de “x”.

2 2 5

{(22)3}4 =

Reducir:

c) x57

Simplificar:

([a] )  2.2.5

b) x54 e) N.A.

5.

III) EXPONENTE DE EXPONENTE



x . x3 . x 5 . x 7 ....... x37

a) x60 d) x63



24

x 4 . x 6 . x8 . x10 ........ x 40

M

2 22 4  2    2  9  3 3



c) 3

; b0

Ejm.: 

b) 2 e) N.A.

P  xx

x  xx

b) 1/2 e) N.A.

ba  5  a b 

c) 4

1 2

Calcular: R  aba  1 a) 30 b) 32 d) 35 e) N.A.

c) 34

60 Calcular: E  72 . 7 50 . 49  42  7 

 77   

a) 650 d) 741

b) 754 e) N.A.

c) 755

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Si: 2n = 3m; reducir: 10. L

2

5

Simplificar:

n

n 1

m 3

2

. 2 2 3

a) 3/4 d) 2/9

2

2

3

n

2.

.2

.3

c) 6/5

Calcular: 3.

 1       1   x  W   xx      x    

12. Reducir:

 1 x    x    1   x   x    

 

b) 21 e) N.A.

Conociendo que:

13.

E CD  A

;

A E CB  ED

a) 243 d) 1

1 1

     1   3 A   3

a) 15 d) 30

c) x2(m+n-mn)

6.

c) 2x

1 1

     1   2    2

 ( 1)2003

b) 20 e) N.A.

b) 81 e) N.A.

c) 1/81

c) 25

b) 2 e) N.A.

Calcular: R  x x a) 3 d) 1/3

c) 4

Si:

36 . 10 6

4

ba  5

. 5

c) 3

c) ab

x 1

b) 9 e) N.A.

a b 



b 1

a) 10 d) 30

. 27

b) 9 e) N.A.

(b a )b  c

c) 27

1 2

Calcular:   b a

TAREA DOMICILIARIA Nº 1

T 

(a )

b) b/a e) N.A.

7.

8.

2

(b a a b ) c b ca

Si: xx = 3

8 a 2 . 16b  2

a) 1 d) 1/2

Simplificar: T 

a) 1/ab d) a/b

5    n 2   En 

Calcular: P  2 a  2 . 4 a  2b

a) 6 d) 15

b) x e) N.A.

5.

c) C

xm  n  mn  x2mn

14.

1.

x . x3 . x 5 . x 7 . x 9

xm  n  mn  x2m  2n

Si: nn = 1/9. Hallar:

Reducir:

c) 3

Simplificar:

a) 1 b) x m+n-mn d) x e) N.A.

15.

1

x2 . x 4 . x 6 . x8 . x10

M

a) x5 d) x10

SA

E

 42

c) 5/2

b) 2 e) N.A.

4.

c) 15

b) B e) N.A.

Reducir:

A  27 9

Efectuar:

DE BC

a) A d) D

b) 3/2 e) N.A.

a) 1 d) 4

1 x 3 x 11. Hallar el valor de: Si:

a) 18 d) 20

2n  2

a) 1/2 d) 4/5

m 1

b) 4/3 e) N.A.

2n  3  2n  2  2n  1

E

9.

b) 20 e) N.A.

c) 25

Calcular: L  5 4 . 530 . 29  4  5

36 

 25 

a) 530

b) 534

  

c) 536

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA d) 531

I.E.P. “SANTA MARÍA”

e) N.A.

Ejm.: 3x + 3x+1 + 3x+2 = 39

Si: 3x = 7y; reducir: 10. 3 x  1  7 y  1  3x

C

y

7

a) 0 d) 3

7 .3

x

3 . 7

b) 1 e) N.A.

 y



c) 2

PROPIEDAD

Si: ab = bb = 2

1. Si:

11. Hallar el equivalente de: E  ab ab a) 16 d) 4a

b) 16a e) N.A.

22

Calcular:

M  22

a) 1 d) -16 Si: 13.

c) 4

a) 3x-1 d) 3-1

entonces

(52)x-1 = (53)2-x c) a2

1 x

xx

Efectuando exponentes:

operaciones

14. a) 96 d) 48 x

c) 3-1/3

Bases iguales, exponentes iguales: 2x – 2 = 6 – 3x Resolvemos y obtenemos que:

4 x  3  4 x  2  4 x 1

a) 81 d) 2x (3)

8 5

22x 1  22x 2  22x 3

b) 6 e) N.A.

Si: x = 2 entonces: 15.

los

es equivalente a:

b) 27-1 e) N.A.

A

en

52x-2 = 56-3x

x Calcular:

;  a  0, 1, -1

Ejemplo: Resolver: 25x-1 = 1252-x Después de expresar 25 y 125 como potencias de 5, tenemos:

 ((22 ) 4 ) 0.5 a

b) a e) N.A.

x x  3 1

a m = an  m = n

ab

Si se cumple que: 222 + 1024 = 1024a 12.

x-x = 4

c) 3/2

2 2 S  xx  xx x

b) 6x

es igual a:

c) 12 e) N.A.

2. Si:

x x = aa  x = a

Ejemplo: Resolver: x-x = 4 Expresar el exponente negativo y el 4 como potencia de 2: 1

x

x

 22

Efectuando operaciones:

ECUACIONES ECUACIONESEXPONENCIALES EXPONENCIALES Son aquellas en las que la incógnita esta como exponente y también como base y exponente a la vez.

xx 

1

22

El 22 también se puede expresar (-2)2: xx 

1

( 2)2

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Por exponente negativo: x

x = (-2)

a) 4 d) -8

(-2)

Por analogía:

20.

x = -2 3.

ax = bx  a = b

Además: Si: x = 0  a  b 21.

De la ecuación se deduce: 5n = n + 2

22.

Efectuando operaciones: n

16.

a) 1 d) 4

17.

 225

c) -3

24.

x

83



3

29

c) 4

25.

x

26.

b) 4 e) N.A.

c) 3

8 . 8 . 8 ........ 8  4 . 4 ....... 4             n veces

Resolver:

b) 5 e) N.A.

27.

Resolver:

(nx) x  nn

b) nn+1 e) N.A. xx

x2  2

a) 2 d) -2 Resolver:

9

b) 2 e) N.A.

Hallar “x” en:

Resolver:

c) 9

4

xx  3

xx

18



6

20



n

c) n

3

c)

2

c)

3

3

b) 2 e) N.A.

xx

c) 3/2

4

b) 4 e) N.A.

a) 2 d) 6 3

Resolver:

c) 1

Resolver: 3x-1 + 3x-2 = 108

a) nn-1 d) nn

b) 2 e) N.A.

Hallar “x” en:

b) -1 e) N.A.

a) 2/3 d) 4

x

Resolver: 814x-1 = 9x+5

a) 2 d) -1

19.

x 3

b) 3 e) N.A.

a) 1 d) 5

18.

25

23.

c) 19/9

Resolver: 2x+5 + 2x+4 + 2x+3 = 28

a) 3 d) 7

1 2

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Hallar “x” en:

b) 2 e) N.A.

a) -2 d) 2

(5n)x = (n + 2)x

c) 8

Resolver: 2x . 23x-5 . 25x-9 = 25

a) 1 d) 3

 a>0  b>0

Ejemplo: Resolver:

b) 2 e) N.A.

3

5

5

(n  2) veces

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA a) d)

28.

15 15

Resolver:

2 x

x 2

E

x

5

5

21.

b) -1/4 e) N.A.

c) 1/2

Resolver: x + 2 = 6x4-x

a) 4 d) 2

b) 7/2 e) N.A.

Resolver:  1  3

2x





22.

b) 1/3 e) N.A.

23.

c) 1/2

TAREA DOMICILIARIA

16.

Hallar “x” en:

27 x

a) 2 d) 8

17.

18.

19.

4

24.

c) 6 25.

bn .

Hallar “x” en: a) 1 d) 4

4

c) -10 26.

5

9x

b) 2 e) N.A.

c) 3

Resolver: (2x)x = 212

b) 2 e) N.A.

c) 3

Si: 4x – 4x-1 = 24 Calcular el valor de: N = (2x)2x c) (5/2)5/2

b) 5/2 e) N.A.

Calcular el valor de “x” en:

b) 2/3 e) N.A.

Hallar “x” en:

Si:

4

xx

3

6



b)

2

2

81 x

x  81

M

0,5  256

4x

 4

c) -2/3

2

2

2

Hallar:

c) e) N.A.

2

2

 81

4x

x

bn  b27

b) 24 e) N.A. 3

a) 1 d) 4

a) d)

b) -3 e) N.A.

a) 12 d) 10

c) -1/6

Resolver: 3x+4 + 3x+2 + 3x = 273

a) 3/2 d) 2/5

Resolver: 125x-3 = 252x+1

Hallar “n” si:

b) -1/3 e) N.A.

a) 5 d) 55

 924

b) 4 e) N.A.

a) -2 d) -11

a) -1/2 d) 1/5

a) 1 d) 4

c) 3/2

x  4x  2

 x

a) 1/4 d) 1/16

20.

Resolver: 32x-1 . 3x-2 . 33x+7 = 27

2

x

a) 1/4 d) -1/2

30.

c) e) N.A.

15

15

Calcular:

29.

5

b)

5

I.E.P. “SANTA MARÍA”

27 x 1

27.

 125

b) 2 e) N.A.

a) 3 d) 1/81

c) 36

c) 3

b) 1/3 e) N.A.

Hallar (x . y)6 si:

a) 30 d) 84

3x

x3

. 2y

b) 72 e) N.A.

c) 1/9

y2

 108

c) 36

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA 28.

Hallar la suma de valores de “n”: 64(2n-5)n – 729(3n)n-5 = 0 a) 4 d) 7

29.

b) 5 e) N.A.

De la igualdad: Calcular: x  a) 2 d) 7

30.

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Resolver:

a) {-4; +3} d) {0; 4}

x ( x 1)

2

LEYES DE EXPONENTES II LEYES DE EXPONENTES II

c) 6

RADICACIÓN  2x  1

1

n

n: es el índice; n  N

a b

n2 a: es el radicando b: es la raíz enésima

x

b) 4 e) N.A.

c) 5

3

125  5

,el índice es ______________

el radicando ______________ la raíz cúbica ______________

2 x x  x 13  x2  12

b) {4; -3} e) N.A.

Ejm.:

c) {4}

DEFINICIONES 1.n

x  y



yn  x

; nN  n2

(x  R, además, cuando n es par, x  0) Ejm.:

  

2

3

4

25  5  52  25

 8  2 

16  2 

2.1 n n ( x)  x

; n0

Ejm.: 

41 / 2 



271/3 =



811/4 =

2

4 2

3.m n n ( x) n  ( x ) m  x m

; n0

Ejm.: 

3

( 27)2 / 3  (

 27 )2  ( 3)2  9

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA 

25-3/2 =



64

4/3

I.E.P. “SANTA MARÍA” 5



=

4

1 024 

CASOS ESPECIALES TEOREMAS m

I)

RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA n

xy 

n

x .

n



3



4



2 . 3 

8 .

2 .

3

 m

3

4

n n

y

3

32 



x

;

y

y0

m

xa 



81 3 3  27  3 3 3

2x

3

2 16



a)

12



m.n.p

x2

3

x

x

x2

3

x2

x ( an  b)p  c



x 

xb 

p

xc

3

x2 

5

x4 

mnp



x 

m.n.p

2 

3 

120

Reducir:

a 47

x

3 4

M

a) 0 d) 4

3

xc

x ( an  b)p  c

6

x7

x





N 

3

a2 .

b) a46/12 c)

4

a3

a3 .

12

a5

a11

e) N.A.

2. Reducir:

Ejm.:



p



x 

4 5 6

x r.n.p . y s.p . z t

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

III) RAÍZ DE RAÍZ



m.n.p

a b c

x 

d) a11

m n p



n



1.

3

zt

Ejm.:

81

10

xb

3

 3



n



Ejm.:



S 

xa

25 

II) RAÍZ DE UNA DIVISIÓN n x 

p

ys .

Ejm.:

3

5 .

3

n

Ejm.:

y

Ejm.: 3

xr .

7  22 .

24

73

24

7 2 

b) 1 e) N.A.

3

24

72

73 8

73

7

c) 2

2

3. a) 1 d) 4

a Reducir: R  a 1  2

1  2 a

b) 2 e) N.A.

c) 3

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA a b

Calcular: S  4. a) 1 d) 7

Calcular:

a) 0 d) 3

a)

3

d)

2

a b

Calcular:

T   64  

b)

2 3

7.

3

3

7 a b

Ejm.:



I 

72b

c) 3,5



1 1 3  3  3  ( 32) 5 

 

b) 1 e) N.A.

6.

a b

72a  21

b) 10 e) N.A.

5.

I.E.P. “SANTA MARÍA”

4

23

3

27

3

c)

8

5

2 40

4

e) N.A.

2

Efectuar: 45 factores

        

3

A

x .

3

x ..........

3

x

x . x .......... x         



x 3 x 1

44 factores

a) x6 d) x-4

a) 7 d) 1/7

a) 0,2 d) 0,8

b) 0,4 e) N.A.

c) 21

2 n2  6n n2 10 n2 n2

25

 15

c) 0,6

MONOMIO Es un término algebraico de exponentes enteros y positivos para todas sus variables. Ejm.:  x3y4 Monomio  x5y3z5 Monomio 4 3 6  xyz Monomio  x2/y3 No es  x4y1/2 No es 

x 6 y2

3

z



Grado Relativo de un Monomio: Esta dado por el exponente de la variable indicada. 

M(x, y, z) = 4x2y4z5 GR(x) = 2 GR(y) = 4 GR(z) = 5



N(x, y, z) = 23x3y2z4 GR(x) =_______________ GR(y) =_______________ GR(z) =_______________

7  n  3 n

Simplificar: T  9.

Parte

GRADOS

7 n  3n

b) 3 e) N.A.

Parte

Es una suma limitada de monomios no semejantes. Ejm.:  6x4y2 – 5x2 + 3xy3 + y4 Polinomio de 4 monomios  3x2y3z – 5x3y5 + 3y4 Polinomio de 3 monomios  2xy – 5xy2z4 Polinomio de 2 monomios Nota: El grado es una característica de los polinomios y monomios y esta relacionado con los exponentes de las variables.

c) x9

b) x e) N.A.

Calcular: S  n 8.

POLINOMIO

Constan Variab

c) 2

2 2

x 5 y6

-4

No

es

Grado Absoluto de un Monomio (G.A.): Esta dado por la suma de los exponentes de las variables.  M(x, y, z) = 32x4y5z7 G.A. = 4 + 5 + 7 = 16 N(x, y, z) = 6x5y6z8 G.A. = ________________ Grado Relativo de un Polinomio: Estado dado por el mayor exponente de la variable referida. 

Ejm.: 

P(x, y) = 2x4y2 + 6x3y5 + 7x7 GR(x) = 7 ; GR(y) = 5



Q(x, y) = 6x4y5 – 2x5y3 – y6 GR(x) = ; GR(y) =

1

Sabias que un término algebraico consta



variable y una parte constante. BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA” Sabias que la palabra grado proviene del matemático Viete y que este era militar.



2.

Ejm.: P(x) = 6x2 + 2x + 3x3 + 5 4 términos Q(x) = 2 + x + 3x2 + 5x3 + 4x4 5 términos

Grado Absoluto de un Polinomio: Esta dado por el monomio de mayor grado.



4 x3 y2  2x2 y 5  6x 4 y 6 P(x, y) =          5

7

G. A. (P) = 10



Polinomio Completo Es aquel donde aparecen todos los exponentes de la variable, desde el mayor, hasta el término independiente.

Propiedad: cumple:

10

polinomio

completo

se

Sea: P(x) = 2x2 + 5x + 1 Tiene 3 términos 3=2+1

G. A. (Q) = _________

Nota: Un polinomio mónico es aquel donde su coeficiente principal es uno.

POLINOMIOS ESPECIALES Son aquellos que presentan ciertas características particulares relacionadas a los exponentes de las variables o a los coeficientes de las mismas. Los más importantes son: 1. Polinomio Ordenado Es aquel donde los exponentes de la variable van aumentando o disminuyendo. Ejm.: P(x, y) = x16 – 2x10 + x2 + 1 Polinomio Ordenado Descendente

todo

# Términos = Grado + 1

x 4 y2  6x3 y 6  y8    

Q(x, y) =   

IGUALDAD DE POLINOMIOS Se dice que 2 polinomios son iguales o idénticos () cuando ambos resultan con el mismo valor asumidos por sus variables. Ejm.: x3 – 2  (x - 1)(x2 + x + 1) - 1 Ambos polinomios son idénticos porque siempre tendrán los mismos valores numéricos. x=2 Reemplazando: 23 – 2 = (2 - 1)(22 + 2 + 1) – 1 6=6

En

Nota: El término independiente es un término de grado cero así: 4 = 4x0

3.

Polinomio Homogéneo Es aquel donde todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Ejm.: 

 4.

2 P(x, y) = 6  y2  x  xy   2º

2º

2º

Q(x, y) = 2x 4 y2  3x3 y3  y 6        6º

6º

6º

Polinomio Idénticamente Nulo Es aquel donde para cualquier valor asignado a su variable, el resultado es siempre cero. P(x)  0x3 + 0x2 + 0x + 0  P(x)  0

Q(x, y) = 2 + x4 + 5x7 + x10 Polinomio Ordenado Ascendente

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA” Hallar a + b, si el polinomio es homogéneo.

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

37. P( x, y)  ax a

El valor de “n” si:

31.

n 1

P( x) 

Es de 4to Grado. a) 1 d) 4

a) 8 d) 11

xn

c) 3

n 1

P( x)  (x n

Además:

GR( x) GR( y)

)( xn )(x)

b) 2 e) 5

c) 3

2 3

P(x) = abx2a-bya-2b Halle el coeficiente del monomio: a) 8 b) 18 d) -36 e) 40

39.

40. c) 30

m(x + n) + n(x + m)  3x - 56 c) -1

P(x; y) = xa-2yb+5 + 2xa-3yb + 7xa-1yb+6 Donde: G.A. = 17  G.R.(x) = 4 Calcular: (a - b)2

b) 6 e) 9

c) 7

Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado

41.

ascendentemente. Hallar: (a + b + c + d) P(x) = xa+d-1 + 2xb-c+1 + 3xa+b-4 a) 9 d) 7

b) 2 e) 16

b) -2 e) 5

Si el polinomio es idénticamente nulo. P(x) = a(3x2 – x + 2) + b(2x - 1) - c(x2 - x) – 6x a) 5 d) 8

P(x; y)  2xn+3ym-2z6-n + xn+2ym+3 el G.A. = 16 y G.R. (x) – GR(y) = 5. Calcular el valor de: 2m + n + 1 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

a) 1 d) 9

c) 6

Hallar: a + b + c.

Dado el polinomio:

35.

c) 10

Calcular: m + 2n en:

En el polinomio:

34.

b) 5 e) 8

a) -3 d) 3



a 1

ax2 + bx + 7  k(3x2 – 2x + 1) a) 4 d) 7

Si: G.A. = 45

33.

b) 9 e) 12

 cx b

Hallar: a + b

38.

Calcular el valor de “n”, si:

Es de grado 13. a) 1 d) 4

3

 by a

x12n

b) 2 e) 5

32.

a 5

b) 10 e) 11

c) 8

Hallar: (a + b), si el polinomio es homogéneo:

42.

c) 4

P(x, y) = 3x2a-5y4b + 5x2a-4by3 + x4y9 a) 8 d) 7

b) 9 e) 5

c) 10

Calcular el grado absoluto del polinomio.

36.

3 2 P( x, y)  x n  2 y  4 x n y n  y 5  n

a) 8 d) 12

b) 9 e) 15

c) 10

Calcular los valores de m y n para que el polinomio

43.

sea completo y n > p. P(x) = (2 + n)xm+3 + 5x2 + xp-m + 2xn a) 0 d) 1; 2

b) 2; 3 e) 3; 4

c) 0; 2

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Si el polinomio se anula para mas de 2 valores

44.

asignados a su variable. P(x) = (ab + ac - 3)x2 + (ac + bc - 6)x + (ab + bc - 9) Hallar: N = abc(a + b)(a + c)(b + c) a) 160 b) 163 c) 161 d) 162 e) 164

Indicar el grado del polinomio:

35.

a) 6 d) 3

Si F(x) es completo y ordenado. Hallar: “a + n” si

45.

tiene (2n + 8) términos. F(x) = xn-3 + xn-2 + xn-1 + … + xa+4 a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

a

P( x, y)  x a  5 y 2

b) 8 e) 4

31. xm  2

b) 8 e) 4

c) 12

b

P( x, y,z)  x a

 x 7 yb

a

 ( y2z2 )8

Es homogéneo. Calcular:

(x

n 2 3 n  4

) x

( x2 ) n

a) 71/9 d) 5

to

Es de 4 Grado. Hallar: “n” a) 6 b) -4 d) 3 e) 2

c) 4

P(x, y) = mx3m + x3m-1y5m+2 + y5m-6 Se cumple que: G.R.(y) = 2(G. R(x)) Calcular el grado absoluto del polinomio. a) 13 b) 17 c) 14 d) 10 e) 8

40.

P(x, y) = 35xn+3ym-2z6-n + xn+2ym-3 Se cumple: G.A. (P) = 11 G.R.(x) – G.R.(Y) = 5 Luego: “2m + n” es: c) 15

c) 14

P(x) = (a-2b+3)x5 + (b-2c-1)x4 + (c-2a+2)x7 Se anula para cualquier valor de las variables. Calcular: (a + b + c)2 a) 4 b) 81 c) 16 d) 21 e) 36 Si los polinomios:

Del polinomio:

b) 10 e) 12

a2  b2  6 ab b) 55 e) 8

Si el polinomio:

39.

En el siguiente polinomio:

a) 5 d) 25

descendente: P(x) = xa+b-6 + (a - b)x + 3xa-b Calcular: “ab”

38.

Si:

34.

c) 108

Si el polinomio:

32.

33.

c) 7

b) 52 e) 100

a) 16 d) 10

3

xm  2 Es de tercer grado, entonces el valor de “m” es: a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25

 x11  a

En el polinomio completo y ordenado en forma

37.

Si el monomio: x

1

M(x, y, z) = 5xaybzc Calcular abc, si al sumar los G.R. de 2 en 2 se obtiene 10, 7 y 11 respectivamente. a) 26 d) 84

P

a

 xa4y 4

Dado el monomio:

36.

c) 16

TAREA DOMICILIARIA Nº 4

1

P(x, y) = xayb+1 + xcyd-3 Q(x, y) = xa+1yb + x4-ay3-b Son idénticas, calcular: (a + b + c + d) a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 En el polinomio homogéneo:

41.

P(x, y, z) = 5xm+n – 7xny2m-3 + 8xmy2nzn-10 + 11z3n-7

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Calcular: (m - n)m a) 16 b) -16 d) -8 e) -4

(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) c) 9

En el polinomio completo y ordenado en forma

42.

creciente. Calcular la suma de coeficientes. P(x) = mym+n + nym-1 – pyp-t + tyt a) -2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

(a + b2) – (a - b)2 = 4ab Ejm.: 

(x + 3)2 + (x - 3)2 =



(x + 2)2 – (x - 2)2 =



(2x + y)2 + (2x - y)2 =



( 3

2 )2  ( 3 

2 )2 

Hallar: (a + b)c

43.

Importante:

2  3 5 3  x x 4  2

( a a  2)x 5  (bb  3)x3  c  6   a) 1/4 d) 2

b) 0 e) 220

(x - y)2  (y - x)2 Desarrollando:

c) 1

x2 – 2xy + y2  y2 – 2yx + x2

Hallar el grado de homogeneidad de :

44.

P(x, y) = 8xa+byb + 3bxa+byb+4 Si: GR(x) es menor en 2 unidades que G.R. (y) a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

Reducir:

N

(p  q  r)2  (p  q  r)2 (p  q) r

En un polinomio completo y ordenado de grado 4n

45.

y de una sola variable se suprimen los términos que contienen exponentes impares. ¿Cuál es el número de términos que tiene el polinomio resultante? a) 2n + 2 d) 2n – 1

b) 2n – 2 e) 2n

Sol. Por Legendre: (p + q + r)2 – (p + q - r)2 = 4 (p + q)r

N

4(p  q)r

c) 2n + 1

PRODUCTOS PRODUCTOSNOTABLES NOTABLES

(p  q)r



4

N=2

DIFERENCIA DE CUADRADOS (a + b) (a - b) = a2 – b2

Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios, en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 2

2

(a + b)  a + 2ab + b



(x + 3) (x - 3) =



(x + 4) (4 - x) =



(x2 + 5) (x2 - 5) =



(m + n + p) (m + n - p) =

2

(a - b)2  a2 - 2ab + b2 Observación: COROLARIO:

(x + y)2  x2 + y2 Siendo x, y no nulos.

IDENTIDADES DE LEGENDRE

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA Calcular:

I.E.P. “SANTA MARÍA” 

(x + y + 3)2  __________________________

446 . 444 – 447 . 443 Sol.

____________________________________

Haciendo: x = 445



La operación se convierte en:

(a + b - 2)2  __________________________ ____________________________________

(x + 1)(x - 1) – (x + 2)(x - 2)

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

Aplicando productos notables: x2 – 1 – (x2 - 4)

Efectuar: Reduciendo términos semejantes:

46.

-1 + 4 = 3

E = (x + 2y)2 – (x – 2y)2 – 4xy

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

a) xy

b) 3xy

d) 6xy

e) 9xy

c) 4xy

Reducir: (x + a)(x + b)  x2 + (a + b)x + ab



(x + 3) (x + 4) 



(x - 4) (x – 5) 



(x + 2) (x - 4) 



(x2 + 5) (x2 - 3) 

47. R = (a + b)2 – (b - a)2 + (a – 2b)2 – a2 – 4b2 a) 0

b) a

c) b

d) 2ab

e) ab

El valor de:

48. N ( 5

Si:

24 

5

24 )2

x2 + x – 3 = 0. Calcule: (x2 - 1) (x + 2) (x - 3) (x2 + 4x)

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 14

Efectuar:

Sol.: De: x2 + x – 3 = 0  x2 + x = 3

49. P

Entonces : (x2 - 1) (x +2) (x - 3) (x2 + 4x) (x + 1) (x - 1) (x + 2) (x - 3) (x + 4) x

MULTIPLICANDO EN FORMA CONVENIENTE (x2 + x)(x2 + x - 2)(x2 + x - 12)

( 5  1)( 5  1)  ( 3  1)( 3  1)

a) 3

b) 4

d) 6

e) 7

(3) (3 - 2) (3 - 12) = -27

DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO 2

2

2

2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

c) 5

Efectuar:

50. R = (x + n)(x - n)(x2 + n2)(x4 + n4)(x8 + n8) + n16 a) x12

Reemplazando:

( 2  1)( 2  1)

b) n16

c) x16

d) x16 + n16 e) 1 Si: 1  1  4 x y xy 51. Calcular: E 

x2  y 2 xy



xy xy



( x  y )2 x2

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA a) d)

x8 2

b)

I.E.P. “SANTA MARÍA”

x4 2

x  3y

c)

xy

a) 36

b) -36

2

d) -30

e) -48

c) 30

e) 1

2

Efectuar:

58.

Luego de efectuar:

52.

P 

3

m m 

m3  n 6

.

3

m3  n6

m m 

E = (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) – 2x(x + 5) Se obtiene: a) 15

b) 14

d) 12

e) 11

c) 13

Indicar lo correcto: d) A2 + 1 = 5

a) 1

b) 2

d) 3

e) 3 2

c) 3 3

e) A es impar

A 1

10x+y + 10x-y = m

Si:

c) 3 A  7  3

60. 102x = n

Si: m = 2a + 2b + 2c

Calcular: T = 100x+y + 100x-y

54.

a) m2 + 2n

Calcular:

E

e) 1

Calcular: S  3( a  b) 27 c  d

A = (x2 + x + 4)(x2 + x + 5) – (x2 + x + 3)(x2 + x + 6)

b) 0 

d) n2

c) m2

59.

53.

A 1  3

b) n

Si: (a + b + c + d)2 = 4(a + b)(c + d)

Luego de efectuar:

a)

a) m

b) m2 - 2n

2

d) m + n

m2  (m  a)2  (m  b)2  (m  c)2

c) m2 - n

e) m - n

m2  a2  b2  c2

a) a + b + c

b) 1

d) abc

e) -1

c) a2 + b2 + c2

TAREA DOMICILIARIA Nº 5

Hallar el valor numérico de:

Efectuar:

55.

46. E

( x  4)(x  2)  1

R = (3x2 – 2y3)2 + (3y3 + 2x2)2 – 13(x4 – y6)

Para: x = 2 000 a) 2001

b) 2002

d) 2004

a) 12x3y3

c) 2003

d) 26y

e) 2005

b) -12x2y3

6

c) 0

e) 1

Efectuar:

Si: (x + y)2 = 4xy

47.

56.

E = (x + y - 2)2 + (x + y + 3)2 – 2(x + y)2 - 13

Calcular el valor de:

xy N  x2000  y2000  xy a) x/2

b) x

d) x/3

e) 5 + x/2

a) -4(x + y) d) -4

c) 2x

b) 6(x + y) e) x

c) 2(x + y)

2

Efectuar:

48.

Reducir:

57.

S  (2x 5  3y3 )2  (3y3  2x 5 )2  (2 2

2

(x + 1)(x - 2)(x + 3)(x + 6) – [(x + 4x) – 9x(x + 4)]

 (2

3

4 

3

3

4 

3

2 )2

2 )2  24 x 5 y3

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA a) 24x5y3

I.E.P. “SANTA MARÍA” c) 24x5y3 + 16

b) 16 5 3

a) 2y3

b) 19x3

d) 19x3 – 2y3

e) 1

c) 35x3

2 3

d) 16 – 24x y

e) 12x y + 8 Efectuar:

56.

Si: x + y = 5; xy = 2; x > y

49.

E = (x2 - 7)(x2 + 11) – (x + 3)(x - 3)(x2 + 13) Hallar:

a) 40 T  x2  y2  x  y 

a)

b) 3

17

d) 21

d) 30x

17

c) 

17

T = (x2 + x + 3)(x2 + x + 2) – (x2 + x + 1)(x2 + x + 4)

50. Hallar: P = x – y + x 4 + y4 - 8

a) 2

b) -2

d) -6x

e) 6x + 2

58.

c)

E = (x - 3)4 – x(x - 6)(x - 4)(x - 2) – 10x(x - 6) + 9

2

e) N.A.

Hallar “m” m  Z.

a) 15

b) -72

d) 72

e) 90

Si:

51.

d) 8

e) 10

a2 + b2 + c2 = 2 (a + b + c)(1 + ab + bc + ca) = 32

Sea un trinomio cuadrado perfecto. b) 4

c) -90

59.

Si: P(x, y) = 9x6 + 7mx3y4 + 2x3y4 + 25y8 a) 2

c) 6x

Efectuar:

b) 2 2

d) -4

e) 40x

57.

2

Si: x + y = 2; x + y = 3; x > y

a) 8

c) -22x2

Efectuar:

e) -21 2

b) -40 2

Calcule: N = a + b + c

c) 6

Efectuar:

a) 4

b) 16

d) 64

e) 2

c) 3 32

52. E  ( x  4)( 4  x)  ( x  1)( x  1)( x  1) a) x2

b) 15

d) 2x

2

c) 0

Hallar el valor numérico de:

e) 2

60.  x1  y1    y   x  1    y1

Efectuar:

R  x

53. S  (x  y 

3 )( x  y 

3 )  (x  y 

a) 4xy

b) 6

d) 4xy – 6

e) xy

3 )(x  y  2

2

c) 2(x + y )

3)

Para:

x y

5 3 3 2 3

2

5 3

Efectuar:

54. T = (a + b - c) (a – b – c) + (a + b + c) (-a + b - c) a) 4ac 2

d) –b

b) -4ac 2

c) 2b 2

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

c) 3

2

2

e) 2(a + b + c )

Efectuar:

55. Q = (3x + y)(9x2 – 3xy + y2) + (2x - y)(4x2 + 2xy + y2)

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA” 1 x

Calcular: P  x  Sol.: Recordando:



 x 

1 3 1 1  1  3   x  3  3(x)    x  x x  x  x

Reemplazando: P3 = 4 – 3(P) Despejando: P3 + 3P = 4 P(P2 + 3) = 4 P=1 SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a - b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3 CUBO DE UN BINOMIO 

(a + b)3  a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Forma Desarrollada

 

3

3

2

2

(a + b)  a + b b + 3ab + b 



Forma Abreviada

(a - b)3  a3 - 3a2b + 3ab2 + b3 



3

Forma Desarrollada

(a - b)3  a3 – b3 – 3ab(a – b) Forma Abreviada

Ejm.:

 Si:

x+y=6 xy = 7

Hallar: N = x3 + y

3

 (x + 1) (x2 – x + 1)   (x + 3) (x2 – 3x + 9)  

3

3

3

( 3  1) ( 9  3  1) 

 (2x - 3) (4x2 + 6x + 9)  IDENTIDAD DE ARGAND (x2 + xy + y2) (x2 – xy + y2)  x4 + x2y2 + y4 Caso Particular: (x2 + x + 1) (x2 – x + 1)  x4 + x2 + 1 CUBO DE UN TRINOMIO

 (a + b + c)3  a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (a + c)(b + c)  (a + b + c)3  a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c) (ab + bc + ac) – 3abc IGUALDADES CONDICIONALES Si: a + b + c = 0 Se cumple:

Sol.: Recordando el producto notable. (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)

a2 + b2 + c2  -2(ab + ac + bc) a3 + b3 + c3  3abc

Reemplazando:

Si quieres saber más

63 = x3 + y3 + 3(7)(6)

entonces

Despejando: x3 + y3 = 63 – 3(7)(6) x3 + y3 = 90

aplica

tu

ingenio.

 Si: a + b + c  ab + ac + bc 2

2

2

Donde: a, b, c  R Se demuestra que:

Ejm.:

1

3  Si: x  3  4 x

a=b=c

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA” d) R2 + 1 = 3

Caso Especial: Si:

Si:

a2 + b2 + c2 + ….. n2 = 0

x

66.

Será posible si:

3

e) R – 1 = 7

2 1 

3

2 1

Hallar: M = x3 + 3x + 8

a = b = c = ……… = n = 0

EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN

a) 10

b) 12

d) 16

e) 18

c) 14

Calcular el valor numérico de:

67. A = (a - b)[(a + b)2 + 2ab + (a - b)2] + 2b3

Si:

Si:

a+b=5

61. ab = 2 Calcular: a3 + b3 a) 83

b) 64

d) 81

e) 95

Si:

62.

c) 78

68.

Q 

3

4

y

b

3 3

a) 2

b) 4

d) 16

e) 12

Si: 3

a 

3

b

3

2 1

c) 8

c 0

 abc  3  

Entonces el valor de L  

1 x 5 x

Calcular:

E  x3  x2 

a) 133

b) 121

d) 76

e) 98

1 x

2



1 x

3

c) 89

a) (abc)2

b) 3 abc

d) 3

e) abc

Si:

abc

3

es:

c) (abc)3

x=a–b

69. y=b-c

Efectuar:

z=c-a

63.

Calcular: P = (x + 1)(x2 – x + 1) – (x - 1)(x2 + x + 1) a) x3

b) 2

d) 54

e) 27

 x2  y2  z2   M  x3  y 3  z3   

c) 2x3

Reducir:

64. (x + 3)(x2 – 3x + 9) + (x2 + 3x + 9)(x - 3) a) x3

b) 18

d) 54

e) 27

c) 2x3

a) -6

b) 3/4

d) 3/2

e) 1

3

(a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2 = 0 Calcular:

a5  b5  c5 M4 ( a  b  c) 5 3

3

R  ( 7  5 ) ( 49  35  25 )  3 Indique lo correcto: a) R + 1 = 0

c) -2/3

70.

65. 3



Sabiendo que: a; b; c  R

Efectuar: 3

 xyz   xy  xz  yz    

b) 2  R < 3

a) 1

b) 3

d) 2

e) 1/2

c) 1/3

c) R  N

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA

I.E.P. “SANTA MARÍA”

Simplificar:

71. E

( x  y)3  ( y  z)3  (z  x)3 ( x  y)( y  z)( x  z)

a) -3

b) 3

d) -1

e) 0

c) 1

b) -18

d) 72

e) 27

Si:

x+y=2 x2 + y2 = 3 ; x > y

Hallar: E = x3 – y3

72. Calcular:

a) 5

b) 3

d) -3

e)

b) 2

d) -1/2

e) -2

x6  1

Simplificar: c) 1/2

63. M = (a + b + c)3 – 3(a + b)(a + b + c)c – (a + b) 3

Siendo x; y  R que verifican:

73.

a) a3

b) b3

d) 0

e) 3abc

64.

Calcular: xy

3

N(

b) 3

d) 5

e) 6

c) 4

3

5  1)(

a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

25 

5  1)  4

c) 2

65.

74.

P = (4x6 – 2x3 + 1)(2x3 + 1)

Calcular: xy(x 6  y 6 )  2x 4 y 4  (2  xy)

a) 8x3 + 1

b) 8x3 – 1

9

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

d) 9x -1

c) 3

c) 8x9 + 1

e) N.A.

Si: x + y = -z

Reducir:

66.

75.

Simplificar:

F = (a + b - c)3 + (a – b + c)3 + 6a(a + b - c)(a – b + c)

K

a) 8a3

b) 8b3

d) 3abc

e) 0

c) 8c3

TAREA DOMICILIARIA Nº 6

x3  y3  z3

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

Siendo:

67.

xy 

3

xyz

c) 3

100 

x2  y 2  1 

Si:

3

Multiplicar:

Sabiendo que: x3 + y3 = xy

3

c) c3

Calcular:

x2 + y2 + 10 = 6x + 2y

a) 2

c) -5

7 2 2

x8  x 4

a) 1

P 

c) -72

62.

Si: x3 = 1 y además x  1

E

a) 18

3

3

10  1 10

x–y=3

61.

Calcular el valor de: S = (x - y)4 – (x + y)4

xy = 5 Hallar: E = x3 – y3

a) 44

b) 88

c) 50

1

BOLETÍN DE ÁLGEBRA d) -100

I.E.P. “SANTA MARÍA”

e) -88

Calcular: R

Hallar el valor numérico de:

68. M

( a  b)2  (b  c)2  ( a  c)2 12

a) 1

b) 2

d) 4

e) 5

x3  3x

c) 3

Si: (a + b)2 + 1 = (a + 1) (b + 1)

73.

Si se sabe que: ab  bc 

a) 0

b) 1/5

d) 3/5

e) 4/3

Calcular:

3

E

c) 3/2

Si: ab = 1. El valor de:

69. b2  1

Sa

a2  1

b

a) 1/2

b) 2

d) 3

e) 1

a3  a2

b3  b2 c) -1

Si: 2x-1 = 2 – x

a2  1

74.

b2  1

Calcular: N = x9 – (x4 + x2 + 1)(x6 + x3 + 1)

a, b  R a) 0

b) 1

d) 3

e) 4

c) 2

a) -1

b) 1

d) -2

e) 3

Si:

c) 2

a+b+c=1

75.

Si se sabe que:

a2 + b2 + c2 = 2

70.

a3 + b3 + c3 = 3

x2 + y2 + z2 = xy + xz + yz

Calcular: a4 + b4 + c4

Calcular el valor de: M9

(x  y  z)10 x10  y10  z10

a) 4

b) 3

d) 5

e) 2

a) 3/4

b) 5/2

d) 17/4

e) 25/6

c) 2/5

c) 1

Siendo: x + 4y + 9z = 0

71. Según ello reducir: N



xy

(2 y  3z)2 yz

a) 42

b) -36

d) 31

e) 23abc

Si:

72.

( x  2 y) 2

x

3

2

3 

3

2



(3z  x)2 xz

c)

22 abc

3

1