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• Edinsson R. Javier Villanueva

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Preguntas propuestas

7 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Geometría Práctica por Niveles Pirámide

6.

NIVEL BÁSICO

1.

Se tiene una pirámide regular V - ABCD. La altura y una diagonal de base tienen igual longitud, y el radio de la circunferencia inscrita en la base mide 3 2 cm. Calcule el volumen de la pirámide. A) 72 cm3 D) 224 cm3

2.

B) 172 cm3

B) 36 u3

C) 182 cm3 E) 186 cm3

C) 45 u3 E) 60 u3

En un rectángulo ABCD (AB=6; AD=8) con diámetro AC, se traza una semicircunferencia perpendicular al plano ABCD y en ella se ubica el punto P de modo que PC = 2 5. calcule el volumen de la pirámide P - ABCD. B) 16 5

A) 16 D) 64

5.

7.

8.

C) 32 E) 64 5

Por el vértice D de un hexágono regular ABCDEF, se levanta DO perpendicular al plano del hexágono, de manera que DO=3(DE)=6 m. Halle el volumen de la pirámide O - ACF. A) 3 m 3 D) 8 3 m

B) 2 3 m 3 3

C) 4 3 m 3 E) 12 3 m 3

B) 37º



C) 45º E) 60º

La arista lateral de una pirámide regular cuadrangular mide 6 2 m y forma un ángulo de 45º con el plano de la base, calcule su volumen. A) 216 m3 D) 136 m3

En un hexaedro regular ABCD - EFGH su diagonal mide 6 3 u. Calcule el volumen de la pirámide D-EFGH. A) 72 u3 D) 54 u3

4.

C) 164 cm3 E) 288 cm3

A) 30º D) 53º

Se tiene una pirámide hexagonal regular V - ABCDEF en el cual AB=6 cm y BV=12 cm. Calcule el volumen del sólido V - BCDE. A) 162 cm3 D) 192 cm3

3.

B) 104 cm3

En una pirámide cuadrangular regular S - ABCD, el área de la superficie lateral es el doble que el área de su base. Calcule la medida del diedro entre una cara lateral y la base.

B) 144 m3

C) 162 m3 E) 126 m3

Halle el volumen de la pirámide O - ABC cuyas caras laterales forman diedros de 45º con la base triangular ABC si AB=13, BC=15 y AC=14. A) 111 D) 114

B) 112

C) 113 E) 115

NIVEL INTERMEDIO

9.

Halle el volumen de un tetraedro, si se sabe que tres de sus aristas que concurren en un vértice miden 2 m, 4 m y 6 m. Además determinan un ángulo triedro cuyas caras miden 60º cada una. A) 6 2 m 3 D) 3 2 m 3

B) 5 2 m 3

C) 4 2 m 3 E) 2 2 m 3

10. En una pirámide regular pentagonal V - ABCDE

   

la medida del ángulo entre AV y DE es 60º. Calcule m AVE. A) 18º D) 36º

B) 24º

C) 30º E) 37º

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 6 2

Geometría

Anual UNI

11. En un tetraedro regular cuya arista mide a en

su región interior se ubica un punto Q. Calcule la suma de las distancias de Q a las caras del tetraedro. A)

D)

a 3 2

B)

a 6 3

a 6 2

C) E)

a 5 3 a 2 3

12. Se tiene una pirámide cuadrangular cuya base

es un trapecio isósceles. Las bases miden a y b (a > b). Calcule el área total de dicha pirámide si se sabe que todas las caras laterales forman con el plano de la base ángulos de 60º. A) (a+b)2

B)

D) ( a + b) ( ab )

2ab a+ b

C) 2 ab 3 ( a + b) ab E) 2

C)

( ab + bc + ac)2 abc

D)

abc ab + bc + ac

E)

a3 + b3 + c3 ab + bc + ac

Geometría

14. Se tiene un prisma triangular recto ABC - DEF

(mABC=90º) con diámetro EF y BC se trazan las semicircunferencias que intersecan a DF y AC en M y N respectivamente. Si el área de la región EBNM es A, AC=a y EN ∩ BM={Q}. Calcule el volumen de la pirámide Q - ABC. A)

Aa 12

D)

Aa 24

NIVEL AVANZADO

B)

Aa 16

C)

Aa 18

E)

Aa 6

15. En un cubo ABCD - EFGH de volumen 64 cm3 13. Calcule la longitud de la arísta del cubo inscrito

en la pirámide M - ABC si se sabe que A es un vértice de dicho cubo AM=a, AB=b y AC=c. Además, en la pirámide, el triedro en A es trirrectángulo. A)

B)

ab + bc + ac a+ b+ c a2 b2 c2 ( ab + bc + ac)2

se traza EN (N ∈ HG), tal que HN=3(GN). Calcule el volumen de la pirámide K - EFS, donde EN ∩ FH={S} y K es el punto medio del segmento que une los centros de las caras ABCD - DCGH. A)

8 3 m 3

D)

24 3 m 7

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 7 3

B)

9 3 m 2

C)

16 3 m 7

E)

32 3 m 7

Geometría Práctica Tronco de pirámide

5.

NIVEL BÁSICO

1.

Respecto al tronco de pirámide, señale la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. Es aquel que resulta de trazar un plano que interseca a las aristas laterales de una pirámide. II. Es el sólido determinado por dos regiones rectangulares, contenidas en planos paralelos pero son de diferente tamaño. III. El número total de aristas puede ser un número primo. A) VFF D) FVV

2.



B) VFF



B) 115 3

6.

C) FFV E) FFF

En un tronco de pirámide cuadrangular regular ABCD - EFGH las áreas de las bases son 4 y 16 cm2. Al proyectar ABCD sobre la base mayor se determina A'B'C'D'. Si ABCD - A'B'C'D' es un cubo, calcule el área de la superficie lateral del tronco de pirámide. A) 12 D) 12 3

B) 24

C) 12 2 E) 12 5

11

En un tronco de pirámide triangular regular, los radios de las circunferencias inscritas en las bases del tronco son 1 y 2. Calcule el área de la superficie total del tronco si su apotema mide 4.

En un tronco de pirámide cuadrangular rectangular, las áreas de sus bases son S y 4S. Si el área de su superficie lateral es 6S, calcule la medida del ángulo diedro formado por una cara lateral y su base. A) 45º D) 53º

7.

C) FVV E) FFV

C) 39 E) 3 13

Niveles

A) 51 B) 51 3 C) 102 D) 112 E) 52 3

En un tronco de pirámide hexagonal regular las aristas básicas mide 4 y 6, su altura es igual a 3. Calcule el volumen de dicha pirámide. A) 114 3 D) 116 3

4.



Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) con respecto al tronco de pirámide regular. I. Presenta sección axial. II. Presentan simetría especular. III. Todas las caras laterales son congruentes entre sí. A) VVV D) VVF

3.

B) FVF

por

B) 36º

C) 60º E) 37º

Las área de las bases de un tronco de pirámide miden 4S y 9S. Halle el área de la sección determinada en el tronco, por un plano que contiene a los puntos de intersección de las diagonales de las caras laterales. A)

12S 5

D)

169S 50

B)

121S 16

C)

144S 25

E)

16S 9

NIVEL INTERMEDIO

8.



Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsos (F) y elija la secuencia correcta. I. En todo tronco de pirámide, las bases son siempre paralelas. II. Todo tronco de pirámide presenta diagonales. III. Las caras laterales de un tronco de pirámide regular son regionales trapeciales isósceles. A) VVV D) FVV

B) VFV

C) VFF E) VVF

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Geometría

Academia CÉSAR VALLEJO

9.

En un tronco de pirámide MNL - ABC el ángulo triedro en A es equilátero y el baricentro de la región equilátera ABC es la proyección ortogonal de M sobre dicha región. Si el área de la región AMNB es 12 3 y BC=6, calcule el volumen de dicho tronco.

Q

P

B) 26 2 D) 30 E) 15 2

10. Se tiene un cubo ABCD - EFHG, O es el centro

de ABCD, además el volumen de dicho cubo es V. Calcule el volumen del sólido OMCN - EFGH (M y N son puntos de medios de BC y CD). A)

V 2

D)

5V 12

B)

V 3

C)

5V 7

E)

7V 12

11. En un octaedro regular M - ABCD - N, P, Q y R

son puntos medios de MC, MD y CD respectivamente, además AB=4. Calcule el área de la superficie lateral del sólido ABN - QPR. A) 3 11

r

3r

A) 26 C) 17

B) 2 13

D) 9 11

C) 2 10 E) 6 13

NIVEL AVANZADO

12. En el gráfico, la región sombreada es el desa-

rrollo de la superficie lateral de un tronco de pirámide regular. Si PQ = 2 13, calcule el volumen de dicho sólido.

A)

200 3 3

D)

208 6 9

B)

52 2 3

C)

206 3

E)

206 3 3

13. Halle la razón de volúmenes entre una pirámi-

de triangular y el sólido cuyos vértices son los puntos medios de sus aristas básicas, y los baricentros de sus caras laterales. A) 24/13 D) 108/19

B) 12/5

C) 9 E) 48/23

14. En un tronco de pirámide triangular regular, las

aristas básicas miden 6 y 9, además, su arista lateral mide 19 . Calcule la altura de dicho sólido. A) 2 D) 2 3

B) 3

C) 4 E) 3 2

15. Se tiene una pirámide cuyo volumen es V;

luego se trazan dos planos secantes a dicha pirámide, y paralelos al plano de la base, tal que trisecan a la altura. Halle el volumen del sólido determinado por dichos planos. A) D)

V 3

B)

7V 29

V 4

C) E)

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Material Didáctico N.o 7

12

V 7 7V 27

Geometría Práctica por Niveles Cono y tronco de cono

NIVEL BÁSICO

1.

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. Un cono de revolución es un conjunto convexo. II. En todo cono la altura siempre pertenece a su región interior. III. En un tronco de cono de revolución, su sección axial es una región trapecial rectangular. A) VFF D) FFF

2.

A) π 7

B) VVF

D)

4.

B) π 5

π 37 3

C)

π 35 3

E)

π 5 3

Se muestra un cono equilátero OM = MB, calcule el área de la superficie lateral del cono

mostrado ( AM = 3 3 ).

C) VFV E) VVV A

En el gráfico se muestra un cono de revolución VA=6 y AO=2. Halle el área de superficie lateral de dicho cono.

O

M

B

V

A

5.

O A) 12 3 π

B) 10 5 π

D) 8 5 π

3.

A) 16p

B) 18p



C) 24p

D) 32p





E) 48p



Se muestra un cubo y un tronco de cono de revolución, tal que el volumen del cubo es 8 y AM=MB. Calcule el volumen del tronco de cono.

C) 5 5 π E) 16 5 π

Se muestra el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución, halle su volumen. (R=6) B

M A

60º

R

A)

13π 2

D)

11π 2

B)

26 π 2

C)

52π 3

E)

62π 3

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Geometría

Anual UNI

6.

Según el gráfico, L, S y A son puntos de tangencia, mPMN=53º y LP=16. Calcule el volumen del cono de revolución.

A)

3π 2

D)

5π 3

B) p

Geometría



C) 2p E)

π 3

L NIVEL INTERMEDIO N

9.

S A A) 54p D) 120p

7.

P

M B) 72p

Según el gráfico mADB=120º y la región que se muestra es el desarrollo de una superficie lateral cónica de revolución. Calcule MN cuando M y N están en la superficie cónica (T punto de tangencia). D



C) 96p E) 150p

60º

R

Se muestran la base y el desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución. Halle x.

M

A

N

B

T

x

A) 30º D) 45º

8.

B) 37º

A)

2R 3

D)

3R 5

B)

R 2

C)

R 3

E)

R 4

10. En el gráfico se muestra un cono de revolución.

C) 53º E) 60º

Del gráfico, se muestra un cono equilátero

Si ABCD es un cuadrado y AP=6, calcule el área de la superficie lateral. Además, considere que B es punto de tangencia.

2

cuya área de superficie lateral es 2π ( 3 + 1) . Calcule el área de la región sombreada.

P

D C

A

45º

B A) 6p D) 16p

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B) 8p



C) 10p E) 18p

Academia CÉSAR VALLEJO

Geometría

11. Se tiene un tronco de cono recto cuyas bases

miden 1 m2 y 9 m2 de área. Si un plano paralelo a las bases pasa por los puntos medios de sus generatrices. Halle la razón de los volúmenes de los sólidos determinados por dicho plano. A) 1/3 D) 5/13

B) 1

C) 1/9 E) 7/19

Material Didáctico N.o 7

14. Con respecto de un cono de revolución, indi-



que la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F). I. Todos presentan sección axial. II. El desarrollo de su superficie lateral siempre es un conjunto convexo. III. Su proyección ortogonal sobre un plano paralelo a su eje es una región triangular rectangular.

12. Se tiene un cono circular recto, en donde la longitud de la generatriz es g y el radio de la base es r. Halle el área proyectada de dicho cono a un plano paralelo a la altura del cono. A) 2gr

gr B) 2

D) r g2 − r 2

gr C) 3 E) 2 gr

NIVEL AVANZADO

13. Se tiene un tronco de cono cuyas bases son círculos de radios 2 m y 4 m. Halle el radio del círculo paralelo a las bases que determine troncos parciales equivalentes. A) 36 D) 8

B) 3 36

C) 3,5 E) 3,6

A) VVV B) VFF C) VVF D) FFV E) FFF













15. En una pirámide V - ABCDEF, las prolongaciones de CB y FA se intersecan en M. Si AB=CD=EF=2(AF)=2(ED)=2(BC) y ABCDEF es equiángulo, calcule la razón entre los volúmenes de la pirámide y el cono cuya base es el círculo inscrito en el triángulo ABM y su vértice es el punto medio de AV. A)

13 3 π

D)

26 3 3π

B)

26 3 π

C)

39 3 π

E)

39 3 2π

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Práctica

por

Niveles Geometría Superficie esférica

NIVEL BÁSICO

1.

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F). I. La intersección de un plano secante a una superficie esférica es una circunferencia. II. El centro de una superficie esférica equidista de todos los puntos de dicha superficie. III. La intersección de dos superficies esféricas puede ser en un punto o una circunferencia. A) VVV D) VFF

2.

B) VFV

5.

C) VVF E) FFF

Calcule el área de la superficie generada por  AB al girar alrededor del eje coplanar LM si A1B1=8 y BL+AM=14. A) 51p B) 112p C) 102p D) 56p E) 96p

A



M

3.

4.



D)

3πR 2 ( 6 + 2) 2

E)

3πR 2 ( 6 + 2) 4

Calcule el área de la superficie esférica inscrita en un cubo de superficie igual a S. A)

πS 2

D)

πS 6

B

6.

L B1

A1

En el gráfico mostrado, m  AB = 15º,  = m CD  = 60º, halle el área de la superfim BC cie generada por la línea  poligonal B - C - D al  girar 360º con respecto de AE . C D B A

E R

A) 3pR2 B) 4pR2 C) 6pR2

B) 33p

B) 18p

πS 4

E)

πS 9



C) 70p E) 140p



C) 36p E) 6p

Del gráfico, ABCD es un cuadrado, AB=8. Calcule la suma de las áreas de las superficies ge al girar 360º con respecto neradas por  AN y DN de CD. A) 32p B) 64p C) 96p D) 128p E) 256p

B



A

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C)

Un tetraedro regular cuya área de superficie es 36 3 se inscribe en una superficie esférica. Calcule el área de dicha superficie. A) 9p D) 12p

7.

πS 3

Se trazan 2 planos secantes y paralelos a una superficie esférica, determinando 2 lineas cuyas longitudes son 6p y 8p. Si el radio de dicha superficie esférica es 5, calcule el área de la zona esférica determinada por dichos planos. (Considere el centro de la superficie esférica entre dichos planos). A) 20p D) 105p



B)

24

C

N





D

Geometría

Anual UNI

8.

Geometría

Una pirámide de base cuadrada está inscrita en una superficie semiesférica como se muestra en el gráfico. Si la arista básica de la pirámide es , ¿cuál sería el volumen máximo que podría tomar esta pirámide?

10. Se tiene una esfera que es tangente a las aris-

tas de un hexaedro regular, de modo que el área de su superficie es A. Calcule el área de la superficie esférica. A)

πA 2

D)

πA 5

B)

πA 3

C)

πA 4

E)

πA 7

11. En un cono equilátero cuyo volumen es 72 3π se inscribe una superficie esférica. Calcule el área de superficie del menor casquete esférico determinando en dicha superficie esférica por la superficie lateral del cono. A)

3 2 3

D)

3 2 6

B)

3 3 2

C)

23 2 3

E)

3 2 12

A) 36p B) 18p C) 12p D) 8p E) 6p

NIVEL INTERMEDIO

9.

12. En un cubo ABCD - EFGH cuya área de su su-



Si ABCD es parte de un nonágono regular BC//L . Calcule el área de la superficie generada por la línea poligonal regular ABCD al girar 360º con  respecto de L . B

C

perficie es S, halle el área de uno de los husos esféricos determinados en la superficie esférica inscrita en el cubo, por los planos ACG y BDF. A) pS D)

A

B)

πS 2

πS 4

C)

πS 3

E)

πS 6

NIVEL AVANZADO

D R

L A) πR

2

3

B) πR 2 2 C) πR

2

3 cos 20º

13. Se toma un punto en una superficie esférica, desde la cual se han trazado tres cuerdas de igual longitud. El ángulo entre cada par de ellos mide 60º. Calcule la longitud de cada cuerda si el radio de la superficie mide R. A) 6R

D) πR 2 2 cos 20º D)

E) 2πR 2 3 cos 20º

25

B)

2 6R 3

6R 2

C)

6R 3

E)

3R 6 2

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Geometría

Academia CÉSAR VALLEJO

14. En una superficie esférica de radio 6 se traza

A) 3 D) 4 3

B) 4

B

A

un plano secante que determina una curva cerrada, cuyo diámetro es igual a la longitud de la arista del tetraedro inscrito en dicha superficie. Calcule la distancia del centro de la superficie esférica al plano secante. C) 2 3 E) 3 2

15. En el gráfico la razón de áreas de las bases cuadradas del tronco de pirámide es 4. CalcuAB . le m 

A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

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Material Didáctico N.o 7

26

Anual UNI Pirámide 01 - E

03 - A

05 - E

07 - B

09 - C

11 - B

13 - D

02 - A

04 - D

06 - E

08 - B

10 - D

12 - E

14 - A

15 - E

Tronco de pirámide 01 - E

03 - A

05 - B

07 - C

09 - B

11 - D

02 - C

04 - E

06 - C

08 - B

10 - E

12 - B

13 - D

Cono y tronco de cono 01 - A

03 - C

05 - C

07 - B

09 - B

11 - E

13 - B

02 - E

04 - D

06 - C

08 - A

10 - E

12 - D

14 - B

15 - E

Superficie esférica 01 - A

03 - E

05 - C

07 - D

09 - E

11 - C

13 - D

02 - B

04 - D

06 - E

08 - D

10 - B

12 - E

14 - C

15 - E