• Author / Uploaded
• Edinsson R. Javier Villanueva

• Categories
• Funciones trigonométricas
• Pi
• Análisis complejo
• Geometría Elemental
• Funciones especiales

Citation preview

Preguntas propuestas

7 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Trigonometría Práctica por Niveles

Funciones trigonométricas inversas

NIVEL BÁSICO

1. Halle el valor numérico de la expresión  5 3 sec (arctan 2 ) − 2 csc  arccot   2 

A) –1 D) 1/2

B) –1/2

B) 2

C) 3 E) 3

por f( x ) = arccot 4 x − x 2 B) [0; 2]

C) [0; 3] E) [0; 5]

4. Calcule el valor de

B) – n

C) 0 E) 1

1  A) 0; arctan   2 1  B) 0; arctan   3 C) [0; arctan2] D) [0; arctan3] 2  E) 0; arctan   3

8. Calcule el mínimo valor de la expresión arctan sen 6 x + cos6 x

−1 + 5 2 1+ 2 D) − 2

1 5  sen  2 arctan − arctan   5 12 

D) 1

E) 26

 1  arccot x = arctan   1 − x 

5. Calcule el valor de la expresión

B)

3 26 5

9. Para 0 < x < 1, resuelva la ecuación

NIVEL INTERMEDIO

A) 0

C)

A) arctan1 B) arctan2 C) arctan1/2 D) arctan1/3 E) arctan3

n n arccos − arccot 2a + n 2a A) n D) –1

2 26 5

1  f( x ) = arctan  sen 4 x + cos4 x −   2

C) 0 E) 1

3. Determine el dominio de la función f definida

A) [0; 1] D) [0; 4]

B)

7. Calcule el rango de la función f si

2. Si arctanx+arctany=p/4, calcule (x+1)(y+1) –1. A) 1 D) 2

1 26 5 4 D) 26 5

A)

3 3

A)

2 2 E) 3 C)

B) −

1+ 4 2

1+ 3 2 2− 2 E) 2

C) −

UNI 2011- II

UNI 2007 - I

10. Resuelva la ecuación arctan(x+1) – arctan(x – 1)=arctan2

6. Calcule el valor de la expresión 1 1  5π 1  5π 1 tan  + arctan  + tan  − arctan   4 2  4 2 5 5

A) {–1; 1} D) {–1; 0}

B) {1}

C) {0; 1} E) {–1}

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 6 2

Trigonometría

Anual UNI

11. Se define la función f mediante la regla de correspondencia f( x ) = arctan 1 − x + arcsen ( x − 2) 2

calcule el rango de f.

{ }

π A) − 2

{ }

π B) 0; 2

 π D) 0;   2

{ }

π ;π C) 2

E) [0; p]

12. Si f(x)=arccos(x2 – 1)+arccot(x2 – 1) calcule el rango de f.

π  A)  ; π  4 

 π 7π  B)  ;  4 4 

 7π  C)  π;   4  π 3π  E)  ;  4 4 

 π D) 0;   4 NIVEL AVANZADO

13. Resuelva la inecuación 2|arccotx| ≤ |arctanx| A) −∞; 3  D)  − 3; 3 

B) 0; 3 

C)  3; + ∞ E) 1; 3 

Trigonometría

14. Calcule el rango de la función f si f( x ) =

arctan x + 1 ; −1≤ x < 1 arctan x − 1

A) −∞;

π − 4 π + 4 

B) −∞;

π + 4 π − 4 

C)

π + 4 π − 4 ; π − 4 π + 4 

D)

4+π ;π π−4

E) −∞;

π + 2 π + 4 

15. Calcule la abscisa del punto de intersección de las gráficas de f y g si f(x)=p – 2arccotx y π x g( x ) = + arccos 2 2 A) 0 B) –1 C) 1 D) − 3 E) 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 7 3

Trigonometría Práctica por Niveles

Funciones trigonométricas inversas III NIVEL BÁSICO

NIVEL INTERMEDIO

5. Calcule el rango de la función f si

1. Dada la función f definida por f( x ) = arcsec x −

π π + − arcsec x 4 3

Halle el dominio de f. A)  2; 2

 2 3 B)  2;  C) 1; 2   3  E) 1; 3 

D) [1; 2]

2. Calcule el valor de

3 B) 4

π π B)  ;  3 2

7 C) 8 8 E) 5

π π arccsc (3 x − 1) + arcsec (3 x + 1) 2 4

π π E)  ;  6 3

 π D) 0;   3

6. Determine el dominio de la función f si

B) −∞; − 1] ∪  2; + ∞ C) −∞; − 1] ∪ 2 2; + ∞ D) [1; +∞〉 2; + ∞ 

E)

7. Calcule el mínimo valor de la función f definida por f( x ) = arcsec x + arctan x

2 A) −∞; −  ∪ 1; + ∞ 3

A) 0

2 B) −∞; − 1] ∪  ; + ∞ 3

D)

2 2 C) −∞; −  ∪  ; + ∞ 3 3

B)

π 2

π 4 3π E) 4 C)

arccotx > arcsecx si x < 0.

E) −∞; − 2  ∪  2 ; + ∞ ∪ {0} 3   3

A) −∞; −

5 −1 2

B) −∞; −

5 +1 2

4. Calcule el rango de la función f si C) −∞; − 2

 1  f( x ) = 4 arcsec   1 + x 2  B) {p/2}

π 6

8. Resuelva la ecuación

1  1 D) −∞; −  ∪  ; + ∞ 3 3

A) {0} D) {2p}

 π C) 0;   6

A) 〈 – ∞; – 1] ∪ [1; +∞〉

3. Calcule el dominio de la función f si f( x ) =

π π A)  ;  6 2

f( x ) = arcsec x − arccsc x

arcsec 2 + arccsc 2 arcsec ( −2) 5 A) 8 8 D) 7

 3 + sen x  f( x ) = arccsc    2

D) 〈 – ∞; –1〉 C) {p} E) {4p}

E) −∞; −

2+ 5 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 10 4

Trigonometría

Anual UNI

9. Halle la regla de correspondencia de la función f. Y

12. Calcule el dominio de la función f si f( x ) =

f(x)=Aarc csc(Bx+C)+D

π 2

π 4

A) arccsc (2 x + 1) +

X

la función f si arcsec x + arccos x f( x ) = arccsc x + arcsen x

π 4

π 2 π 4 π D) 3 arccsc (3 x − 1) + 4 π E) arccsc ( x − 2) + 4 1 arccsc (1 − 2 x ) − 2 1 C) arccsc (2 x − 1) + 2

A) – 2 D) 1

f( x ) = 3 arccsc2 ( x − 1 − 1)

C) 4 E) 6

11. Determine el rango de la función g si g( x ) = arcsec x + arctan ( 3 x )

π π D)  ; 4 2

π π B)  ; 6 2

C) 0 E) 2

14. Dada la función f

ecuación. x x−2 arccsc + arctan = arccot 0 2 x+2

π π A)  ; 3 2

B) –1

NIVEL AVANZADO

10. Resuelva e indique la solución de la siguiente

B) 2

– 1] ∪ [1; +∞〉 – 2] ∪ [1; +∞〉 – 1] ∪ [2; +∞〉 – 2] ∪ [2; +∞〉 – 1] ∪ [3; +∞〉

13. Calcule la suma de los elementos del rango de

B)

A) 3 D) 5

5 + arcsec 8 x 2 − 7 4

A) 〈 – ∞; B) 〈 – ∞; C) 〈 – ∞; D) 〈 – ∞; E) 〈 – ∞; 1

Trigonometría



¿para qué valores de x no está definida? A) 〈 – 3; 3〉 – { – 1; 1} B) 〈 – 3; 3〉 C) 〈 – ∞; – 3〉 ∪ 〈3; +∞〉 D) [ – 3; 3] E) [ – 3; 3] – { – 1; 1}

15. Calcule el valor de sen (5 arctan ( 5 ))

sen (3 arcsec ( 6 )) π C)  ; π 2 π E)  ; π 3

2 3 4 D) 5

A)

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 11 5

B)

3 2

3 5 5 E) 3 C)

Trigonometría Práctica por Niveles

Funciones trigonométricas inversas IV 5. Halle el valor numérico de la expresión.

NIVEL BÁSICO 

11    6 

 

1. Calcule el valor de tan  2 arccos  − 

3 11 5 1 D) 11 5

B)

A)

5 11 7

C)

2 11 5

D)

56 65

B)

7 25

C)

26 75

E)

24 25

6π  9π    arccot  tan  + arctan  cot    7  7 

 2π   5 π +  7   7  calcule el valor de senθ+cosθ B) –1

D) 1

C) 1/2 E)

3 2

3. Calcule el valor de

B)

A)

5π 7

D)

12π 7

B)

6π 7

C)

8π 7

E)

15π 7

7. Calcule el valor de la expresión

33π  ( −2) arcsen  cos   5  π 13 π D) 7

56 75

6. Calcule el equivalente de 

A)

A)

E) 11

2. Si θ = arccos sen  −

A) –1/2

 1  12  sen  arccot  −  − 2 arctan   5  3

π 11

6 arctan 5 + arctan 7 − arccot    17  π 9 π E) 5 C)

A) − D) UNI 2010 - I

π 2

B) −

π 4

π 4

C) − E)

π 3

π 2

8. Halle el equivalente de la expresión

NIVEL INTERMEDIO

arccos(1 – 2x2) – p

si 0 ≤ x ≤ 1.

4. Calcule el valor de 1 1 3 3 cos4  arccos  − sen 4  arccos  2 2 3 3 23 27 1 D) 27

A) −

B) −

1 27

C)

23 27

13 E) 27

A) – 2arcsenx B) – 2arccosx C) 2arcsenx D) 2arccosx E) 2 arcsen

x 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 16 6

Trigonometría

Anual UNI

9. Calcule el rango de la función f si

13. Si f(x)=arctan(tanx)+arctan(cotx – tanx)

f(x)=|arccosx|+arcsenx+|arctanx|  π 3π  A)  ;  2 2 

 π 3π  B)  ;  2 4 

π  D)  ; π  4 



 π C) 0;   2

π π además < x < 4 2 calcule el rango de f.

π 4 π π D) ; 4 2

 π 3π  E)  ;  4 4 

A) 0;

10. Al resolver la inecuación π 2 se tiene que x ∈ [a; b]

arcsen x − arccot x <

Trigonometría

B) 0;

π 2

π π C) − ; 2 2 π E) − ; 0 2

NIVEL AVANZADO

Calcule el valor de a2+b2.

14. Se define la función f mediante la siguiente regla de correspondencia.

1 A) 4 D) 2

1 B) 2

f( x ) = 2 arcsec x − 3 arccsc x

C) 1

E) 4 UNI 2011- I

11. Si x = arcsen tan θ − arccos tan θ

calcule el equivalente de cosx.

 π B) −∞; − 1] ∪ csc ; + ∞ 5 

 π D) −∞; − 1] ∪ 2 sec ; + ∞ 5 

B) 2 tan θ (1 + tan θ) C) tan θ (1− tan θ)

 π E) −∞; − 1] ∪ 3 sec ; + ∞ 5 

D) tan θ (1+ tan θ)

15. Se define la función f mediante la regla de co-

E) 2 tan θ (2 + tan θ)

rrespondencia f(x)=(p – arcsenx)(p – arccosx) Calcule el rango de f.

12. De la condición 1 7 θ = 2 arc cot + arccot 7 24 calcule 625senθ. B) – 526

A) 〈– ∞; – 1]

 2π C) −∞; − 1] ∪ csc ; + ∞ 5 

A) 2 tan θ (1 − tan θ)

A) – 525 D) – 516

calcule el dominio de f.

 9 π2  A) 0;   16  C) – 515 E) – 527

 3 π2  D) 0;   16 

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 17 7

 π2  B) 0;   16 

 π2 9 π2  C)  ;   16 16   5 π2  E) 0;   16 

Trigonometría Práctica por Niveles Ecuaciones trigonométricas I

NIVEL BÁSICO

NIVEL INTERMEDIO

4. Al resolver la ecuación trigonométrica

1. Dada la ecuación

2senx=1+cscx; x ∈ 〈0; 2p〉 calcule la suma de soluciones. A) p

B) 2p

D) 3p



π 4 3π D) 2

5π 2 7π E) 2

A)

C)

2. Indique un conjunto solución de la ecuación

cos2x+2senx=2cosx; x ∈ [0; 2p] calcule la suma de soluciones. B)

π 2

C) p E) 2p

5. Halle la solución general de la ecuación 5sen4x – cos8x+3=0

cos 6 x sen 6 x − = − 2; ∀ k ∈Z cos 3 x sen 3 x

A)

{ { { { {

}

nπ ( ) n π − −1 n ∈Z 4 6

π  1  A)   2 k ±   4  3 

B)

π  1  B)   2 k ±   4  4 

C)

π  1  C)   2 k ±   6  3 

D)

π  1  D)   2 k ±     2 3 

nπ ( ) n+1 π n ∈Z + −1 3 12

E)

nπ ( ) n π − −1 n ∈Z 8 6

π  1  E)   2 k ±   5  5 

B)

π 14 π D) − 4

} } } } }

nπ π + n ∈Z 2 8

nπ π C) + n ∈Z 2 12

E)

A) −

nπ π − n ∈Z 2 4

D) 2 nπ +

}

cos8x+cos6x+cos7x=0

sen4x+cos4xcot2x+1=0

{ { { { {

nπ ( ) n+1 π n ∈Z + −1 4 24

6. Calcule la mayor solución negativa de la ecuación

3. Halle el conjunto solución de la ecuación

A)

} } }

nπ ( ) n+1 π n ∈Z + −1 6 12

π n ∈Z 4

nπ π − n ∈Z 2 8

B) −

π 12

π 8 π E) − 6 C) −

7. Dada la ecuación trigonométrica

cos2 x + 3 sen 2 x + 2 3 sen x cos x = 1 indique el número de soluciones en 〈0; 3p〉. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 20 8

Trigonometría

Anual UNI

8. Si x ∈ [0; 2p], halle el número de soluciones de la ecuación 4 sen

x x cos 2 x + 2 sen − 2 cos 2 x − 1 = 0 2 2

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9. Calcule la menor solución positiva de la ecuación 2sen4xcos4x+sen4x+2cos24x+cos4x=0

π 12 π D) 3

B)

A)

π 6

π 4 5π E) 12 C)

NIVEL AVANZADO π π 2 2

12. Cuántos valores de x ∈ − ; satisfacen la ecuación 6sen2x – 8cosx+9senx – 6=0 A) 1 D) 4

B) 2

{ { { { {

} } } } }

{ { { { {

π π A) (2 k + 1) ∪ (2 k + 1) 2 6

13. Determine la suma de todas las soluciones que se encuentran en el intervalo [0; 2p] de la ecuación 2sen3x+sen2x – 2senx – 1=0

B) (4 k + 1)

π kπ ∪ 2 4

C) (2 k + 1)

π kπ ∪ 2 4

D) (4 k + 1)

π kπ ∪ 2 8

E) (2 k + 1)

π kπ ∪ 8 2

} } } }

A) 5p

}

D)

3π 2

C) 3p E)

3π 4

senx+sen3x=sen2x+sen4x si x ∈ 〈0; 2p〉. A) 6p D) 9p

B) 7p

C) 8p E) 10p

15. Calcule la suma de soluciones de la ecuación

la ecuación tan2xtan2x=tanxtan2x

D) 4

5π 2

14. Calcule la suma de soluciones de la ecuación

11. Si x ∈ [0; 2p], halle el número de soluciones de

B) 2

B)

UNI 2010 - I

2=

A) 1

C) 3 E) 6 UNI 2011- I

10. Resuelva la ecuación trigonométrica cos22x+cos2x=1; ∀ k ∈ Z

Trigonometría

1 + cos 2 x + cos2 2 x (1 + cos 2 x ) sen x cos x

si x ∈ [0; 2p]. A) 2p

C) 3 E) 5

D) 5p

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 21 9

B) 3p

C) 4p E)

3π 2

Anual UNI Funciones trigonométricas inversas II 01 - c

04 - c

07 - a

10 - a

13 - c

02 - a

05 - a

08 - C

11 - A

14 - C

03 - d

06 - b

09 - a

12 - B

15 - e

Funciones trigonométricas inversas III 01 - a

04 - a

07 - c

10 - b

13 - a

02 - c

05 - A

08 - b

11 - e

14 - a

03 - E

06 - b

09 - C

12 - a

15 - e

Funciones trigonométricas inversas IV 01 - b

04 - a

07 - E

10 - D

13 - A

02 - B

05 - d

08 - B

11 - a

14 - b

03 - e

06 - b

09 - b

12 - e

15 - A

Ecuaciones trigonométricas I 01 - e

04 - d

07 - c

10 - a

13 - a

02 - a

05 - c

08 - d

11 - b

14 - b

03 - e

06 - a

09 - b

12 - a

15 - E