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• Edinsson R. Javier Villanueva

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Preguntas propuestas

6 2015

• Aptitud Académica • Matemática • Cultura General • Ciencias Naturales

Geometría Práctica por Niveles Poliedros y Poliedros regulares I

5.

NIVEL BÁSICO

1.

2.

que HP=1, en FP se ubica el punto M tal que

En un poliedro, la suma del número de caras, vértices y aristas es 32. Calcule el número de aristas de dicho poliedro. A) 5 D) 13

B) 8



C) 10 E) 15

MP=2. Calcule BM.

6.

2) 2) 3) 2) 3)

7.

B A

Según la figura, calcule la razón de volúmenes entre el hexaedro regular ABCD-EFGH y el tetraedro ACHF. B

C

A

D G

F

D E F

B

E A) 2 3 D) 5 3

A) 2 4 D) 3

H

8.

C

D Q

P F

G H

B) 3 3

H

G

En la figura, ABCD-EFGH es un hexaedro regular, AB = 2 2 m, P y Q son centros de las caras ADHE y CDHG, respectivamente. Calcule el área de la región ACQP.

A

6  2  3  9 

C

E

4.

En un cubo ABCD-EFGH, halle la medida del   ángulo entre AG y el plano de la cara ABCD.

En la figura, ABCD-EFGH es un hexaedro regular.     Calcule la medida del ángulo entre EB y FH . A) 60º B) 90º C) 45º D) 53º E) 30º

C) 3 E) 5

 2  1 A) arcsen   B) arctan   C) arccos  3 3  6  E) arcsen  D) arccos    3 

UNI 2012 - II

3.

B) 2 2

A) 2 D) 4

Calcule la medida de un ángulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular. A) arctan ( B) arc sen ( C) arccos ( D) arccos ( E) arc cot (

En un hexaedro regular ABCD-EFGH, cuya arista mide 4 m, en HG se ubica el punto P tal

C) 4 3 E) 6 3



B) 3









3 2 E) 4 C)

De acuerdo con las siguientes proposiciones, indique la secuencia correcta de verdad (V) o falso (F). I. Si en un tetraedro al trazar una altura, su respectivo pie está en el centro de su base, entonces dicho tetraedro necesariamente es regular. II. Si las caras de un poliedro convexo son regiones poligonales regulares congruentes entre sí, dicho poliedro siempre es regular. III. Si la arista de un tetraedro regular es 6, entonces la altura de dicho tetraedro regular es 3. A) VVV D) FVV

B) VVF

C) VFV E) FFF

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 8 2

Geometría

Anual UNI

NIVEL INTERMEDIO

9.

NIVEL AVANZADO

En un tetraedro regular A-BCD, M es punto medio de su respectiva altura AH y H es el pie de dicha altura. Calcule la m  DMB. A) 45º D) 120º

B) 60º



C) 90º E) 135º

2 m, calcule el área de la región cuadrangular cuyos vértices son los puntos medios de AB, AD, DC y CB, respectivamente. 1 2 m 4 2

D) 2 m

1 B) m 2 2

C) 1 m2



2 E) m 2 3





13. Determine si las siguientes proposiciones son



10. En un tetraedro regular A-BCD cuya arista mide

A)



D) 2 1 E) 2

D F

B N

tetraedro regular, respectivamente. Si AB=6, calcule la distancia de I a la cara ABCD.

B

C

15. Se tiene el cubo ABCDEFGH de arista 2 cm. Se

12. En el gráfico, ABCD-EFGH y G-HIJ son cubo y

C D J



construye el cuadrilátero achurado como se muestra en la figura; tal que 1 3 1 a = cm, b = cm, c= cm. Determine el 2 2 3 área del cuadrilátero (en cm2). A) 4,64 B) 5,34 C) 6,14 D) 6,64 E) 7,54







D

H

G





C b

d E

I E

D

F O

H

A

G

F

MF . FN

M

G

E

2 E) arc sen   3

A) 6 − 2 B) 6 − 3 C) 4 D) 3 E) 6 − 2 2

C) 3

O

C) VVF E) VFF

A

A) 1 B) 2

C

C) 30º



es altura, AM=MB y CN=ND. Calcule

B A

B) FFF

14. En la figura ABCD es un tetraedro regular, AO

lar y O es centro de la cara CDHG. Calcule la     medida del ángulo entre EO y CG.  2 A) arctan   2  B) 45º

verdaderas (V) o falsas (F) y elija la secuencia correcta. I. En todo poliedro se cumple que el número de caras más el número de vértices es igual al número de arista más dos. II. Una superficie poliédrica está determinada por cuatro o más regiones poligonales planas. III. Un poliedro puede presentar 7 aristas.

A) VVV D) FVF

11. En la figura, ABCD-EFGH es un hexaedro regu-

D) arctan ( 5 )

Geometría

H

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 9 3

a A

B

c

F

UNI 2010 - II

Geometría Práctica A) 2 2 B) 4 2 C) 6 2 D) 8 2 E) 10 2

NIVEL BÁSICO

1.

Si la arista de un octaedro mide 2, halle la suma de las longitudes de sus diagonales. B) 4 2

A) 4 D) 6 2

2.

1 B) 2



A) VVV D) FVV

4.

B) FFV

5.

B) 2



A) 0,2 B) 0,3 C) 0,4 D) 0,5 E) 0,6

7.

8.

D

Q 13













Dado un octaedro P-ABCD-Q, en la prolongación de AC se ubica el punto M, tal que PB = 3 2 CM . Calcule la medida del ángulo entre AQ y PM. A) 7º D) 15º

C

D

Q

C) 2 E) 3 2

B



C O

A

C) VFV E) FFF

M





B



N



M

P

O



En la figura, P-ABCD-Q es un octaedro regular, cuyo centro es O, PM=3 y MC=1. ¿Cuánto dista O de AM?

2 3 5 E) 3

En el gráfico, P-ABCD-Q es un octaedro regular, PM=MC=AN=NQ=2 m. Calcule el área de la sección plana BMDN.

A



C)

En un octaedro regular P-ABCD-Q, cuya arista mide 6 m, M y N son centros de las caras PCD y QCD, respectivamente. Calcule MN. A) 1 D) 2 2



P

5 2 Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. El octaedro regular posee 4 diagonales. II. El dodecaedro regular posee 20 aristas. III. Las caras de un icosaedro regular son regiones equiláteras.

D)



6.

Halle la razón entre la cantidad de vértices de un dodecaedro regular y un icosaedro regular. A) 1

3.

C) 6 E) 12

Niveles

por

Poliedros regulares II

B) 8º



C) 14º E) 16º

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados. I. Solo existen 5 poliedros regulares. II. El octaedro regular presenta mayor cantidad de diagonales que el hexaedro regular. III. Solo existen 2 poliedros regulares cuyas caras son regiones equiláteras. A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFF

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Geometría

Material Didáctico N.o 6

Academia CÉSAR VALLEJO

NIVEL INTERMEDIO

9.

En un octaedro regular V-ABCD-V ', se ubican los puntos medios M y N de las aristas AV ' y CV ', respectivamente. Calcule el área de la región triangular MVN si el volumen del octaedro 64 2 es . 3 A)

24 5

D) 6

A) 30 B) 36 C) 50 D) 60 E) 96











NIVEL AVANZADO

13. Calcule la razón entre las áreas de las superfiB) 2 2

C) 4



E) 12





cies de un octaedro regular y el poliedro, cuyos vértices son los centros de sus caras.

tos medios M y N de OA y O'A, respectivamente. Calcule la medida del ángulo diedro determinado por las regiones triangulares BND y BMD. B) 53º



C) 60º E) 120º

11. En un octaedro regular P-ABCD-Q, cuyo centro es O, AB = 6. ¿Cuánto dista O de la cara PCD? 1 A) 2

B)

1 3



C) 1

D) 2







E)

3 2

12. Halle la suma de la cantidad de diagonales de las caras de un dodecaedro regular y un icosaedro regular.

3 3 2

B)

4 3 3

C)

D)

3 3 4





E) 2 3



14. En un dodecaedro regular, halle la suma de las caras que uno de sus ángulos triedros. A) 90º B) 120º C) 150º D) 270º E) 324º

15. En un octaedro regular M-ABCD-N, la mínima distancia entre la diagonal MN y la arista BC es 2. Calcule el volumen del octaedro. A) 16 2 D)

64 2 3

B) 8 2

C)

32 2 3



E)

128 2 3

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2 3 3

A)

10. En un octaedro O-ABCD-O', se ubican los pun-

A) 45º D) 90º



14





Geometría Práctica por Niveles Prisma

A) 144 u3 D) 154 u3

NIVEL BÁSICO

1.

Halle la cantidad de caras de un prisma de 15 aristas. A) 4 D) 7

2.

3.



C) 6 E) 8

Halle la razón entre la cantidad de aristas de un prisma y la cantidad de sus vértices. A)

1 2

B)

2 3



C)

1 3

D)

3 2







E)

4 3

8.

B) 8



6.

En la figura se tiene un paralelepípedo rectangular, M, B, N, C, P y Q son puntos de tangencia. Si el área de la región ABCD es 10 u2 y r=3 u, calcule el volumen de dicho sólido.

rP

M

C B

A

Se tiene un prisma cuadrangular regular ABCD-EFGH, en la prolongación de la arista GH se ubica P, y M es el punto medio de DH, res53º , AB= pectivamente, tal que mPMH = 2 y G dista 4 cm de CH. Calcule el volumen del

D

A) 60 u3 B) 30 u3 C) 100 u3 D) 120 u3 E) 90 u3 NIVEL INTERMEDIO

9.

Dado un prisma cuadrangular regular ABCDEFGH. Si m  EDG=74º y AC=6 cm, calcule el volumen del prisma. A) 9 7 cm 3 D) 18 7 cm 3

C) 8 u2 E) 12 u2

Q

prisma.

5.

B) 6 u2

N

C) 9 E) 18

3 A) 17 17 cm B) 34 17 cm 3 C) 68 17 cm 3 D) 85 17 cm 3 E) 102 17 cm 3

C) 150 u3 E) 160 u3

En un prisma cuadrangular regular ABCDEFGH, O es el centro de la base ABCD. Si (DG)2 – (EO)2=4 u2, calcule el área de su base. A) 4 u2 D) 9 u2

Halle la cantidad de diagonales de un prisma hexagonal. A) 6 D) 12

4.

B) 5

7.

B) 148 u3

B) 36 cm3 C) 40 cm3 E) 24 7 cm 3

Se tiene un prisma cuadrangular regular ABCDMNPQ, en el cual O es centro de la base ABCD y R es punto medio de la arista MN. Si 4(OR)=5(PC) y MP = 6 2 m, calcule el volumen del prisma.

En un prisma hexagonal regular ABCDEFA'B'C'D'E'F, en la cara CDD'C' se traza una  ', en semicircunferencia, cuyo diámetro es CC  '), luego se la cual se ubica el punto P (P ∈CC traza PH ⊥ DD' (H ∈ DD'). Si CP=8 u y CD=2DH, calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma. A) 344 u3 B) 444 u3 C) 524 u3 D) 624 u3 E) 768 u3

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Geometría

Anual UNI

10. Se tiene el prisma cuadrangular regular ABCDEFGH, tal que 2(CG)=3(BC). Si el área de la superficie lateral de dicho prisma es 72, calcule el área de la región triangular EBG. A) 3 22 B) 6 22 C) 12 22 D) 16 22 E) 15 22









B)

A) L3

E)

L3 16



D)





A 3A 4



A 3A 3

A A 4





MB’=5, AB=BC=6, m  A’B’C’=120 y M es punto medio de AC. Calcule el volumen del prisma.

















A A 6

el cual se cumple que la proyección ortogonal del punto D es B y el triángulo ADC es equilátero. Si las aristas están inclinadas 45º respecto a la base y DF=4 cm, calcule el área de la sección recta. A) 2 2 D) 6 2

3 3 3 3 3



14. Sea ABC-DEF un prisma triangular oblicuo en



12. En un prisma triangular recto ABC-A’B’C’,

A) 12 B) 16 C) 18 D) 24 E) 36

C)

E)

L3 C) 4 L3 8

13. En un prisma regular ABC-DEF, O es el centro

A) A A

lar regular si el desarrollo de su superficie lateral es una región cuadrada cuyo lado es de longitud L.

D)

NIVEL AVANZADO

de la cara BCFE, tal que AO=AD. Si el área de la cara BCFE es A, calcule el volumen del prisma.

11. Calcule el volumen de un prisma cuadrangu-

L3 B) 2

Geometría



C) 4 2 E) 8 2

15. Los centros de las caras de un prisma triangular regular son los vértices de dos tetraedros regulares que comparten una cara. Si el volu3 men del prisma es 16 3 m ; calcule el volumen de uno de los tetraedros regulares. 3 A) 3 m



B) 3 2

D)

3 3 3 m 2

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B) 2 3 m 3 C)





2 3 3 m 3

E) 3 3 m 3

Geometría Práctica por Niveles Tronco de prisma

A) 2AK

NIVEL BÁSICO

1.



Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Un tronco de prisma puede tener 4 aristas. II. Un tronco de prisma puede tener 5 aristas. III. Las bases de un tronco de prisma son regiones paralelas.

D)

6.

AK 2

B) 3AK

C) AK



E)





AK 3

Si AB=3, CN=2, BM=3 y AP=4, halle el volumen del sólido mostrado. P M

A) VVV D) FFF

B) VVF

C) FFV E) VFF

N A

2.

A) 4 D) 13

3.

B) 5



B) 1



A) 9/2 D) 8

N 37º M P B C

C' 60º



A) 13 3

B'

A'

D)

C

A



C) 27/2 E) 9

Se muestra un tronco de prisma triangular regular. Si NP=5 y ACPM es una región cuadrada, halle el volumen del sólido.

A

C) 150 3 250 3 D) 4 375 3 E) 4

B) 15/2

C) 2 E) 4

A) 125 3

5.

7.

Se muestra un tronco de prisma triangular regular. Si AA'=2, BB'=4 y CC'=9, halle el volumen de dicho tronco.

B) 250 3

B

C

C) 10 E) 14

Un tronco de prisma posee 8 aristas, halle el número de diagonales. A) 0 D) 3

4.

45º

En un tronco de prisma cuadrangular regular ABCD-A'B'C'D', ABCD es un cuadrado, AA'=9, BB'=6 y CC'=11. Halle DD'.

B

En un tronco de prisma recto triangular, el área de la base es A y la suma de longitudes de las aristas perpendiculares a dicha base es K. Halle su volumen.

8.

26 3 3

B)

13 3 2

C)

13 3 4





E)

39 3 4



En un tronco de prisma triangular, la sección recta mide A y el promedio de aristas laterales es . Halle el volumen de dicho tronco. A) A 

B)

D) 2A



A 2



C)

A 3

E) 3A

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Geometría

Anual UNI

NIVEL INTERMEDIO

9.

NIVEL AVANZADO

En un octaedro regular M-ABCD-N cuya arista mide 2, halle el volumen del sólido MPQ-NRS si P, Q, R y S son los puntos medios de AM, DM, AN y DN, respectivamente. A)

2 2

2 2 D) 3

B)

2 4

2 3



C)



3 2 E) 2

10. El área de la base de un tronco de prisma es S y las tres aristas laterales forman con el plano de dicha base ángulos de medidas iguales a 60º. Si dichas aristas suman , halle el volumen de dicho tronco. A) S D)

S 3 6

Geometría

B) S 3

C)

S 3 3



E)

S 3 9





13. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o

falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. Las bases de un tronco de prisma pueden ser congruentes. II. Un tronco de prisma puede presentar dos aristas congruentes. III. Un tronco de prisma puede presentar tres aristas congruentes. A) VVV D) VVF

B) FFF



C) VFV E) FFV

14. Se muestra un tronco de prisma hexagonal regular. Si AB=2 y MN=3, halle el volumen de dicho sólido. M

N

11. El volumen de un tetraedro regular ABCD es V, halle el volumen del sólido QNC-PMD si M, N, P y Q son los puntos medios de BD, BC, AD y AC, respectivamente. A)

V 2

B)

V 3



C)

V 4

D)

V 6







E)

V 9

12. En un cubo, un plano secante determina sobre las aristas segmentos cuyas longitudes son 6; 9 y 7. Halle la longitud del cuarto segmento si todos ellos se ubican en un mismo semiespacio.

A) 3 3 D) 9 3













B) 4 3

C) 6 3 E) 12 3

15. En el gráfico, BC=BM=2 y AB=CD= 3. Halle el volumen del tronco de prisma triangular de bases congruentes mostrado. B

A) 3

C

B) 2 C) 6 3

A) 4 B) 8 C) 4 ∨ 8 D) 10 E) 4 ∨ 8 ∨ 10

B

A

D)

8 3

E)

9 3 2

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 25 9

D

A



M



Geometría Práctica por Niveles Cilindro y tronco de cilindro

5.

NIVEL BÁSICO

1.



Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones. I. En un cilindro las bases son congruentes. II. En un cilindro las bases son paralelas. III. En un cilindro las bases son siempre regiones convexas. A) VVV D) FVV

2.

B) VVF

B) 45p

6.

C) VFF E) FFV



B) 2





C) p/3 E) 3p/2

En el gráfico, la semicircunferencia de diámetro OO1 se encuentra en el plano P. Si QC=2 u y R=4 u, calcule el volumen del cilindro de revolución. O1 R

D

p

C) 48p E) 60p

C) p E) 2p

En el gráfico mostrado, la generatriz del cilindro tienen 6 u de longitud y EC=CD. Calcule el volumen del cilindro si AB y ED son generatrices diametralmente opuestas. A

B) p/2

A

Q B

En un cilindro circular recto, halle la razón entre el área de su superficie lateral y el área de su sección axial. A) 1 D) p/2

4.

A) p D) 2p/3

Si el área de la superficie lateral de un cilindro equilátero es 36p, halle su volumen. A) 36p D) 54p

3.

En un cilindro de revolución se inscribe un prisma cuadrangular regular cuyas bases están inscritas en las bases del cilindro. Calcule la razón de volúmenes de dichos sólidos.

O2

A) 160p u3 D) 72p u3

7.

C

B) 180p u3 C) 200p u3 E) 96p u3

Según el gráfico, la generatriz del cilindro circular recto es de igual longitud que PB. Si r=3, AQ=1 y m  AO1B=90º, calcule el volumen del cilindro. r

O1

E C

A) 9p u3 D) 24p u3

A

D

B B) 12p u3

C) 15p u3 E) 27p u3

A) 27p D) 72p

Q

O2

B) 54p

P



B

C) 60p E) 106p

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Geometría

Anual UNI

8.

Geometría

En un cilindro de revolución, las generatri-

11. En un cilindro de revolución mostrado,

ces AB y CD son diametralmente opuestas,

BO1 = 101 u, O2 M = 26 u y PM=MQ. Calcule el volumen del cilindro.

B y C en una misma base, en el arco BC se ubica el punto P. Si 2(AB)2+(BC)2=20, calcule (AP)2+(PD)2.

O1

A

P

A) 5 B) 10

M









C) 15 D) 20





A) 5p u3 D) 10p u3

NIVEL INTERMEDIO

9.

De la figura mostrada, el área de la región

O2

B



E) 40

B) 6p u3

Q C) 8p u3 E) 12p u3

12. En un cilindro circular recto, se cumple que el área de la sección axial es K veces el área de la base. Si el radio de la base es r, calcule el volumen del cilindro en función de K y r.

sombreada es K. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro de revolución.

A) p2r2K

O1

D)

π2 r 3 K 3

B)

πr 3 K 2

C)

πr 2 K 2 2





E)

π2 r 3 K 2



NIVEL AVANZADO

O2

A)

πK 5

B)

4 πK 5

C)

6 πK 5

D)

2πK 5





E)

12πK 5



13. Se muestran dos cilindros circulares rectos. Si 5r=4R, calcule la razón de los volúmenes de dichos cilindros. R r

10. En un cilindro de revolución se inscribe un cubo cuyo volumen es V. Calcule el volumen del cilindro. A) pV D)

πV 2

B)

πV 3

C)





E)



V π 2πV 3

A) 2 : 1 D) 2 : 5

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 31 11

B) 2 : 3

C) 3 : 5 E) 2 : 7

Academia CÉSAR VALLEJO

Geometría

14. En el gráfico, se muestra un cubo y un cilindro de revolución cuyo volumen es 40p. Si 2(AP)=3(PB) y R=2, calcule la distancia de A al centro del cubo. R

A

Material Didáctico N.o 6

A) 2 2

B) 4 3

C) 5

D) 6



E) 6 2





15. Una de las generatrices de un cilindro de revolución es AB, en la circunferencia de radio R que limita a la base donde se encuentra A se ubica el punto P, tal que m  AP = 60º, AB=3 y R=3/p. Calcule la longitud del menor recorrido

P

para ir de B a P por la superficie del cilindro.

B

A) 3

B) 8



C) 3

D) 10





E) 2 3



Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 32 12

Anual UNI Poliedros y Poliedros regulares I 01 - E

04 - B

07 - B

10 - C

13 - D

02 - A

05 - E

08 - E

11 - D

14 - A

03 - A

06 - D

09 - C

12 - B

15 - A

Poliedros regulares II 01 - D

04 - D

07 - B

10 - D

13 - A

02 - E

05 - D

08 - D

11 - c

14 - E

03 - B

06 - C

09 - d

12 - D

15 - D

Prisma 01 - D

04 - C

07 - C

10 - A

13 - B

02 - D

05 - D

08 - D

11 - C

14 - A

03 - E

06 - A

09 - E

12 - E

15 - C

Tronco de prisma 01 - B

04 - E

07 - E

10 - D

13 - D

02 - E

05 - E

08 - A

11 - A

14 - D

03 - A

06 - C

09 - C

12 - E

15 - D

Cilindro y tronco de cilindro 01 - b

04 - E

07 - b

10 - D

13 - D

02 - D

05 - B

08 - D

11 - D

14 - E

03 - C

06 - A

09 - E

12 - E

15 - D