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• Maria AngelLuna Gonzalez

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ACTIVIDAD 2

CURSO GEOMETRIA PLANA

GRUPO:

551111A_614

EDERMAN LUNA HERMOSILLA

CODIGO 551121

TUTOR CRISTIAN ALFONSO PACHECO

CEAD: CARTAGENA

SEPTIEMBRE 02 de 2019

Actividades a desarrollar Realizar las siguientes actividades de manera grupal

a. Consultar y explicar las siguientes definiciones: b.

Ángulo: El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice.

c.

Vértice: El vértice es un concepto central en la geometría, ya que se conoce con ese nombre a todo punto donde se unen dos segmentos que originan un ángulo, así como al lugar donde se fusionan un mínimo de tres planos. La cúspide de un cono o de una pirámide (que son figuras geométricas tridimensionales) o el punto máximo o mínimo de una línea curva también son denominados vértices.

d. Lados del ángulo. Las dos rayas que forman a un ángulo son llamadas los lados del ángulo.

b. ¿En qué consiste el sistema sexagesimal? El sistema sexagesimal es un sistema de numeración posicional que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado, en una forma más moderna, por los árabes durante el califato omeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En dicho sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6. c. ¿En qué consiste el sistema circular? Es uno del sistema de medida de ángulos que existe En este sistema de medición la unidad de medida es el radián (rad.). Un radián se define como la medida del ángulo, que encierra un arco de circunferencia de longitud igual al radio de ésta. Esto es, dada una circunferencia de radio "r", un radián, es la medida del ángulo que forma un arco de circunferencia cuya longitud es "r". Luego la circunferencia tiene asociada una longitud de 2 veces Pi (3,1415....) radianes. d. Explicar la relación del grado sexagesimal y radián circular.

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma unidad el cual se llama grado sexagesimal. Cada grado se considera dividido en 60 partes iguales llamados minutos y cada minuto en 60 partes iguales llamados segundos. Los símbolos para estas unidades son: 

Grados (°).



Minutos (´).



Segundos (“).

e. (En GeoGebra) Trazar dos rectas que formen un ángulo de: 40°

f. ¿Cuál ángulo es mayor: 0,72 radianes o 45 grados? Explica Podemos decir que 45 grados es mayor que 0,72 porque 45 es igual a 0,7854 ejemplo: 45° × π/180 = 0,7854rad 0,72 rad × 180/π = 41,253°

g. ¿Cuántos segundos tiene un minuto? 1 minuto = 60 segundo ¿Cuántos minutos tiene un grado? = 3600 segundos ¿Cuántos segundos tiene 𝟑𝟐𝟎°𝟒𝟎′? Tiene 1.153.440 segundo porque multiplicamos 320°40*3600=1.153.440

h. Definir y explicar con un ejemplo (En GeoGebra): Ángulos adyacentes: Dos ángulos son adyacentes si tienen un lado y el vértice (esquina) en común El ángulo ABC es adyacente al ángulo CBD

Porque: 

tienen un lado en común (la línea CB)



tienen el vértice en común (el punto B)

Ángulo recto: Un ángulo recto es el ángulo formado por dos semirrectas con una amplitud de π/2 rad, es decir, 90⁰.

Ángulo llano: Se define como ángulo llano o también conocidos como planos a aquellos cuya medida es exactamente 180°, es decir, es una línea recta. Los ángulos llanos (o planos) se forman cuando las líneas apuntan en direcciones exactamente opuestas. Las dos líneas forman entonces una sola línea recta a través del vértice del ángulo.

Ángulos complementarios: son dos ángulos que al sumarlos su mediciones de 90º Complemento de un ángulo: Ángulos suplementarios: son dos ángulos que al sumarlos su medición es de 180º. Suplemento de un ángulo: Los ángulos suplementarios son aquellos que en par suman 180 grados. A diferencia de los ángulos complementarios que forman 90 grados. Siguiendo la misma propiedad y fórmula de los que se complementan entre sí, un ángulo que tenga menos de 180 grados le corresponderá un ángulo que lo suplementa según la fórmula A (ángulo suplementario) = 180° menos (-) el ángulo que necesita suplemento. Ejemplo: A = 180° – 150° = 30°.

i. (En GeoGebra) Los ángulos ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝐵𝑂𝐶 son adyacentes. Si ∡𝐴𝑂𝐵 = 18°25′30′′, obtener el valor de ∡𝐵𝑂𝐶. Solución: 180° es igual a 179°59'60'' Ángulo AOB es igual a 18°25'30'' Suma de ángulos: 180° = 179° 59'60'' AOB = 18° 25'30'' BOC = 161°34'30'' Para obtener el resultado solo en grados operamos de la siguiente manera: Entonces: AOB = 18°25'30'' 18° = 18°; 25' = 25' (1° / 60); 30'' = 30’’ (1°/ 3600'') 18° + 25°/60 + 30° / 3600 = 18,425° una aprox. 18,43° 180° - 18,43°= 161, 57° El ángulo BOC=161°34'30'' = 161,57°

j. (En GeoGebra) Los ángulos ∡𝐴𝑂𝐵 y ∡𝐵𝑂𝐶 son complementarios. Si ∡𝐴𝑂𝐵 = 40°15′45′′, obtener el valor de ∡𝐵𝑂𝐶.

k. (En GeoGebra) ¿Cuál es el suplemento de cada uno de los siguientes ángulos? • 10°15′18′′

∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° 10°15´18´´ + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° − 10°15´18´´ ∡𝐵𝑂𝐶 = 169°44´42´

• 85°45′33′′

∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° 85°45´33´´ + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° − 85°45´33´´ ∡𝐵𝑂𝐶 = 94°14´27´´

105°30′02′′

∡𝐴𝑂𝐵 + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° 105°30´02´´ + ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° ∡𝐵𝑂𝐶 = 180° − 105°30´02´´

∡𝐁𝐎𝐂 = 𝟕𝟒°𝟐𝟗´𝟓𝟖´´ l. ¿Cuándo se dice que los ángulos son complementarios y cuándo suplementarios? Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios cuando al sumarlos la suma de los estos da como resultado 90º, es decir, un ángulo recto, por lo tanto los dos ángulos serán agudos.

Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios cuando al sumarlos el resultado de esto vale 180º.

m. (En GeoGebra) Obtener tres ángulos tales que su suma sea igual a un ángulo llano, el primero sea el quíntuplo del tercero, y el segundo sea el cuádruplo del tercero. Conociendo lo que pide y los datos que nos ofrece el problema sabemos que: son tres ángulos que todos sumados dan un total de un ángulo llano, es decir, 180º. En donde el primer ángulo es el quíntuple del tercero, y el segundo ángulo es el cuádruple del tercero. Podemos sumar cada una de las partes en las que están divididas cada ángulo, el tercer consta de 1 parte, el segundo de 4 partes iguales al tercero, y el primero son 5 partes iguales del

tercero, por lo que en total serian 10 partes iguales, las cuales dividimos entre 180º, y nos arroja un resultado de 18º cada parte.

Pero también se puede representar mediante una ecuación en donde: el tercer ángulo equivale a 𝑥, el segundo ángulo ha 4𝑥 por ser su cuádruple, y el primero a 5𝑥 por ser su Quíntuple, luego las variables sumadas dan un tal de 180º, lo que sobra es sumar y despejar para encontrar el valor de 𝑥. 𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 = 180° 10𝑥 = 180° 𝑥=

180° = 18° 10

El tercer ángulo tiene un valor de 18º. Luego el segundo al ser el cuádruple tiene un valor de 72º y el primer ángulo cuenta con 90º.

n. ¿En qué consiste ángulos opuestos por el vértice? Realiza un ejemplo (en GeoGebra). Se denominan Ángulos opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semi rectas contrarias a los lados del otro. Los ángulos opuestos al vértice tienen como propiedad que “todos los ángulos opuestos por el vértice son iguales”

o. (En GeoGebra) De un ejemplo de ángulos consecutivos.

p. En la imagen: Si el ángulo ∡1 es igual al doble del ángulo ∡2. Y el ángulo ∡2 es el triple del ángulo ∡3, ¿Cuánto mide cada ángulo?

q. Explicar el concepto de perpendicularidad y paralelismo. Paralelismo. Dos rectas son paralelas si la distancia entre ellas es constante y por lo tanto, por mucho que se propaguen nunca se cruzan. En función de sus pendientes, dos rectas serán paralelas si sus pendientes son iguales. Por lo tanto:

m1= m2

Condición de paralelismo

De la cual: m1 = pendiente de la primer recta. m2 = pendiente de la segunda recta. Perpendicularidad. Dos rectas son perpendiculares si al cruzarse forman ángulos de 90º. En función de sus pendientes, dos rectas serán perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1, Por lo tanto:

m1*m2 = -1

Condición de perpendicularidad.

De la cual: m1 = pendiente de la primer recta. m2 = pendiente de la segunda recta. Ejemplo. Se trazan dos segmentos en un plano, determina si son paralelos sabiendo que sus puntos son: Segmento AB A (3,4)

B(-6,5)

Segmento CD C (8,2)

D (-10,4)

r. (En GeoGebra) ¿Cuántas perpendiculares a una recta podemos trazar que tenga la propiedad de pasar por un punto exterior a dicha recta?

s. ¿Cuándo decimos que dos rectas son paralelas? Las rectas paralelas son aquellas líneas que mantienen una cierta distancia entre sí, y a pesar de prolongar su trayectoria hasta el infinito, nunca se encuentran o se tocan en ningún punto; es decir se entiende por rectas paralelas las que se hallan en un mismo plano, no presentan ningún punto en común y muestran la misma pendiente, o sea que no han de tocarse ni cruzarse, ni siquiera sus prolongaciones se cruzan, un claro ejemplo de esto son las vías del tren.

t. Explicar el método de reducción al absurdo. Este método es frecuentemente utilizado y a veces, hasta el favorito de muchos matemáticos, por la gran versatilidad que ofrece. Dependiendo de la proposición a demostrar puedes usar uno u otro método, pero frecuentemente cuando una proposición , se te resista al método directo, podrás usar otros métodos como éste de reducción al absurdo. Equivalencia lógica Este método está basado en la equivalencia:

Así, en este método, para demostrar que, se construye un absurdo usando la hipótesis y la negación de la conclusión. Este método también se enuncia del siguiente modo: Para demostrar que, se construye un absurdo, suponiendo falsa la conclusión y usando la hipótesis Ejemplos En adelante denotaremos por al conjunto vacío.

u. (En GeoGebra) Trazar una perpendicular a una recta dada, que pase por uno de los puntos (por ejemplo, por un extremo, por el centro y por cualquier punto).

v. (En GeoGebra) Trazar paralelas a una recta dada, que pasen por un punto exterior a dicha recta.

w. (En GeoGebra) Trazar la bisectriz de un ángulo cualquiera.

x. (En GeoGebra) Trazar: ángulos internos, ángulos externos, ángulos alternos, ángulos correspondientes, ángulos conjugados y paralelas cortadas por una secante.

BIOGRAFIAS Figueroa, M. (2001). Geometría y Trigonometría. Editorial Firmas Press. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader. action?docID=10360762&ppg=7 Acevedo, V. (1999). Geometría y Trigonometría: matemáticas con aplicaciones 2. Editorial McGraw-Hill Interamericana. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader. action?docID=10433814&ppg=4 Scherzer, R. (2010). Matemáticas III: geometría y trigonometría. Editorial Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader. action?docID=10365706&ppg=