• Author / Uploaded
• José Hernandez Polanco

• Categories
• Las leyes del movimiento de Newton
• Fuerza
• Ecuaciones
• Modelo conceptual
• Física y matemáticas

Citation preview

1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Las leyes de movimiento de Newton. A. Un cuerpo en reposo tiende a permanecer en reposo, mientras que un cuerpo en movimiento tiende a persistir en movimiento en una línea recta con velocidad constante a menos que fuerzas externas actúen sobre él. Aplicación Una persona se encuentra situada en la parte posterior de un vehículo que se desplaza a una velocidad de 80km/h. Este vehículo al momento de girar hacia la derecha o la izquierda producirá que el sujeto ubicado en la parte posterior tienda a seguir en línea recta (el movimiento que tenía), pero el roce de la superficie del asiento producirá que su movimiento no se prolongue exageradamente. Por tal motivo, cuando vamos en algún vehículo y este frena de manera abrupta sentimos que nos movemos hacia delante del asiento involuntariamente, y es que como mantenemos una velocidad constante (la que lleve el vehículo) y de repente éste frena (fuerza externa que modificó la velocidad) ya no poseemos una velocidad constante y se aplica la ley de la inercia. De ahí la importancia de usar el cinturón de seguridad. B. La tasa de cambio en momentum de un cuerpo en el tiempo es proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y tiene la misma dirección a la fuerza. Aplicación Un ejemplo cotidiano de lo que se conoce como segunda ley de Newton puede ser algo tan simple como que dos sujetos, A y B en el cual A tiene mayor fuerza que B, y estos empujan una mesa, empujando el sujeto A hacia el Este y el sujeto B hacia el Norte. Al sumar las fuerzas obtendremos una fuerza resultante igual al movimiento y aceleración de la mesa. Por lo tanto, la mesa se moverá en dirección Noreste, pero con mayor inclinación hacia el Este ya que el sujeto A ejerce mayor fuerza que el sujeto B. C. A cada acción existe una reacción igual y opuesta.

Aplicación Un ejemplo para este caso puede ser un hombre que empuja una mesa. En este caso el hombre ejerce una fuerza f1 y la mesa en este caso reacciona y empuja a la persona con una fuerza f2. Para hacer más fácil entender este ejemplo, imagine que el sujeto y la mesa tienen la misma masa y están sobre una superficie lisa sin fricción, en este caso observaríamos que tanto la mesa como la persona se pondrían en un movimiento igual, pero en sentido contrario. Problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.

Circuitos eléctricos. Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos conocida como la ley de Kirchhoff, la cual se describirá y usará en esta sección. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los “objetos de diario”, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. Aplicación. La ingeniería industrial es el área de la ingeniería que aborda el diseño, implantación y mejora de los sistemas integrados, generalmente en el ámbito industrial

y/o

empresarial

ya

que

la

ingeniería

industrial emplea

conocimientos y métodos de las ciencias matemáticas, físicas, sociales, etc. de una forma amplia y genérica, para determinar, diseñar, especificar y analizar los sistemas (en sentido amplio del término), y así poder predecir y evaluar sus resultados, Son muy utilizadas en ingeniería eléctrica para

obtener los valores de intensidad de corriente y potencial en cada punto de un circuito eléctrico. Surgen de la aplicación de la ley de conservación de la energía.

Para hacerlo sigan el siguiente formato: 1. Introducción. En un párrafo corto, expliquen la importancia de la aplicación seleccionada, especificando el problema que resuelve. 2. Marco teórico. Expliquen brevemente los conceptos tratados, debe presentar fórmulas, gráficos, tablas, etc. En sus respuestas deben presentar por lo menos dos citas referenciadas con normas APA. 3. Ejemplo. Planteen un problema, a manera de un ejemplo resuelto dónde paso a paso expliquen su solución. Deben presentar gráficos, ecuaciones o diagramas que ilustren la explicación. 4. Conclusiones. Expongan brevemente los usos de esa aplicación en el contexto seleccionado. 5. Referencias bibliográficas. Elaboren una lista de las referencias bibliográficas usadas en normas APA. Situación 1: Leyes de movimiento de Newton Una masa de m gramos cae verticalmente hacia abajo, bajo la influencia de la gravedad, partiendo del reposo, siendo despreciable la resistencia del aire. Vamos a establecer la ecuación diferencial y las condiciones asociadas que describen el movimiento y a resolverla. Diagrama de fuerzas:

Formulación matemática: Sea A en la figura la posición de la masa m en el tiempo t = 0, y sea Pi la posición de m en cualquier tiempo posterior t. En cualquier problema de física que involucre cantidades vectoriales tales como fuerza, desplazamiento, velocidad y aceleración, las cuales necesariamente requieren un conocimiento de dirección, es conveniente establecer un sistema de coordenadas, junto con la asignación de direcciones positivas y negativas. En este ejemplo observamos que la variación se realiza respecto del eje x. Una vez conocido el problema físico podemos aplicar estos conocimientos para obtener las formulaciones matemáticas de varios problemas de la mecánica clásica que involucran los conceptos anteriores, y la solución e interpretación de tales problemas. La velocidad instantánea en P es v = dx/dt. La aceleración instantánea en P es a = dv/dt o a = d2x/dt2.La fuerza que actúa es el peso, siendo su magnitud P= mg. Por la ley de Newton tenemos: 𝒎

𝒅𝒗 = 𝒎𝒈 𝒅𝒕

𝒐

𝒅𝒗 =𝒈 𝒅𝒕

Puesto que la masa cae desde el reposo, vemos que v = 0 cuando t = 0, o en otras palabras v(0) =0 .Nuestra formulación matemática es el problema de valor inicial v(t). 𝒅𝒗(𝒕) = 𝒈 𝒗(𝟎) = 𝟎 𝒅𝒕 Aquí tenemos una ecuación de primer orden y su condición requerida. Otra manera de formular el problema es escribir. 𝒎

𝒅𝟐 𝒙 = 𝒎𝒈 𝒅𝒕𝟐

𝒐

𝒅𝟐 𝒙 =𝒈 𝒅𝒕𝟐

En tal caso tenemos una ecuación de segundo orden en las variables x y t, y necesitamos dos condiciones para determinar x. Una de ellas es v = 0 o dx/dt = 0 en

t = 0. La segunda puede obtenerse al notar que x = 0 en t = 0 (puesto que escogimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en A). Formulación matemática. 𝒅𝟐 𝒙 =𝒈 𝒙=𝟎 𝒚 𝒅𝒕𝟐

𝒅𝒙 = 𝟎 𝒆𝒏 𝒕 = 𝟎 𝒅𝒕

Cuando establezcamos ecuaciones diferenciales para describir algún fenómeno o ley, siempre las acompañaremos de suficientes condiciones necesarias para la determinación de las constantes arbitrarias en la solución general. Solución: Empezando con

𝒅𝒗 𝒅𝒕

= 𝒈 (separación de variables) obtenemos por integración 𝒗 =

𝒈𝒕 + 𝒄𝟏 .Puesto que v=0 cuando t = 0, c1 = 0, ó v = gt, esto es,

𝒅𝒙 𝒅𝒕

= 𝒈𝒕 .

𝟏

Otra integración produce de la anterior ecuación 𝒙 = 𝒈𝒕𝟐 + 𝒄𝟐 . Puesto que x= 0 𝟐 𝟏

en t = 0, c2 = 0. Por tanto 𝒙 = 𝒈𝒕𝟐 . Podríamos haber llegado al mismo resultado 𝟐 𝒅𝟐 𝒙

al empezar con 𝒎 𝒅𝒕𝟐 = 𝒎𝒈

𝒐

𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐

= 𝒈.

El signo más indica que el objeto se está moviendo en la dirección positiva, esto es, hacia abajo. Se debería tener en cuenta que si hubiéramos tomado la dirección positiva hacia arriba la ecuación diferencial hubiera sido m(dv/dt) = - mg, esto es, 𝒅𝒗 𝒅𝒕

= −𝒈 ó

𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐

= −𝒈 .

Esto conduciría a resultados equivalentes a los obtenidos. Para otros problemas similares la forma de actuar es la misma. Situación 3: Circuitos eléctricos – Ley de Kirchhoff Un generador con una fem se conecta en serie con una resistencia y un inductor. Si el interruptor K se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t.

Formulación matemática: Llamando a I la corriente o intensidad de corriente que fluye según el primer circuito 𝒅𝑰

descrito, tenemos, por la ley de Kirchhoff, 𝑬 = 𝑹𝑰 + 𝑳 𝒅𝒕 . Puesto que el interruptor se cierra en t = 0, debemos tener I= 0 en t = 0. Solución: 𝒅𝑰

La ecuación diferencial anterior 𝑬 = 𝑹𝑰 + 𝑳 𝒅𝒕 es una ecuación de primer orden 𝑹

lineal exacta; buscando un factor integrante obtenemos 𝝁(𝒕) = 𝒆 𝟐 𝒕 . Multiplicando por este factor la ecuación, da 𝑬𝒆 𝑹

integrando 𝑰𝒆 𝟐 𝒕 =

𝑹 𝒕 𝑬𝒆 𝟐

𝟏𝟎

𝑹 𝒕 𝟐

𝑹 𝒕 𝟐

= 𝑹𝑰𝒆 + 𝑳𝒆

𝑹 𝒕 𝟐

𝒅𝑰

, es decir 𝑬𝒆 𝒅𝒕

𝑹 𝒕 𝟐

𝑹

=

𝒕

𝒅(𝑰𝒆 𝟐 ) 𝒅𝒕

+ 𝒄. Puesto que I= 0 en t =0, podemos con estas condiciones

obtener la constante c. 𝒅𝑰

Otro método. La ecuación 𝑬 = 𝑹𝑰 + 𝑳 𝒅𝒕 puede también resolverse por separación de variables. Los problemas de este tipo se resuelven todos de la misma forma. Marco teórico. Las leyes científicas que, por supuesto están basadas en experimentos u observaciones, se traducen en ecuaciones matemáticas. En cada caso las ecuaciones diferenciales representan una simplificación idealizada del problema físico con el que nos encontramos, llamándose esta idealización Modelo Matemático. Cada modelo es una aproximación a la realidad del problema físico, su aproximación y uso del modelo sólo depende de los criterios impuestos a cada problema para su resolución. Si la intuición o la evidencia del experimento coinciden con los resultados obtenidos por medio del modelo podremos determinar cuan útil es ese modelo. Las ecuaciones formuladas en la etapa anterior necesitan ser resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema para determinar la incógnita o incógnitas

involucradas. Los procedimientos usados pueden producir una solución exacta o, en casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones aproximadas. Frecuentemente para elaborar los cálculos numéricos se recurre al uso de la informática. El proceso de obtener soluciones a menudo conduce a preguntas de naturaleza puramente matemática que propician y propiciaron el avance de las susodichas matemáticas. Con el uso de las soluciones conocidas se pueden hacer interpretaciones gráficas y tablas para poder comparar la teoría con lo obtenido de los experimentos. Puede, incluso, basar una investigación posterior en las interpretaciones de experimentos previos. Por supuesto que, si encuentra que los experimentos u observaciones no están de acuerdo con la teoría, debe revisar el modelo matemático y su formulación matemática hasta que se consiga un resultado cuyo margen de error lo marque la persona o personas encargadas de los experimentos. Cada una de estas etapas es importante en la solución final de un problema aplicado.