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1 FASE 4- ACTIVIDAD GRUPAL 3- POST TAREA

Autor: Reservado

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGICAS Y DE INGENIERIA MAYO DE 2017 INTRODUCCIÓN

En este trabajo se consolidan los aportes del equipo de trabajo relacionados propuesto en la presente unidad En el espacio vectorial se basa un área muy importante de las matemáticas: el Álgebra Lineal. Hoy se puede decir que todas las matemáticas contemplan esta área, cuyo ejemplo más simple es el de los vectores que se estudian en física y geometría. En el estudio de a física, llamamos vector a una magnitud con dirección, definición que sirve para diferenciarlo de otras magnitudes que se denominan escalares. En matemáticas, está definido como un componente de un espacio vectorial. Otra de las definiciones preponderantes es la de dependencia lineal. esto aplica a conjuntos vectoriales y define que existe en el espacio vectorial un vector que puede ser redefinido mediante superposición por los otros vectores dentro del conjunto. Todas las operaciones y demostraciones realizadas están basadas en unidades previas donde se estudian temas tales como sistema de ecuaciones y los métodos de determinantes, Gauss y Gauss-Jordan.

OBJETIVOS

1. Apropiar la definición sobre espacio vectorial 2. Estudiar lo concerniente a dependencia e independencia lineal 3. Análisis de rango de una matriz 4. Estudio de espacios vectoriales en R2 y R3

1. Elaborar de manera colaborativa dos mapas mentales o mapas conceptuales

2. Demuestre con un ejemplo la siguiente afirmación y justifique la respuesta. “Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si alguno de ellos es combinación lineal de los demás”.

Tenemos

()

3 ⃗ v 1= −1 2

()

1 ⃗ v 2= 2 1

()

5 ⃗ v 3= 3 4

Podemos verificar si primeros 2 vectores Ecuación vectorial

⃗ v 3=(a∗⃗ v 1)+(b∗⃗ v 2)

() ( ) () 5 3 1 3 =a∗ −1 +b 2 4 2 1

()( )( ) 5 3a b 3 = −a + 2 b 4 2a b

⃗ v3

se puede expresar como combinación lineal de los

{

5=3 a+b 3=−a+2 b 4=2 a+ b

3−8=−a−4 a+2 b−2 b −5=−5 a

Por lo tanto, a=1 ;

b=2

Podemos reemplazar estos valores en Ec. 1 para verificar si se cumple 5=3 a+ b 5=( 3∗1 ) +2 5=5 Con esto verificamos que

⃗ v3

depende linealmente de

⃗ v1

y

⃗ v2

ya que se

puede escribir como combinación lineal del resto

3. Determinar mediante Gauss Jordan dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores. (1,2,1) (2,1,0) (4,5,2). Recomendación ubicar las componentes de manera vertical.

()

1 ⃗u= 2 1

;

()

2 ⃗v = 1 0

;

Podemos comprobar dependencia

( a∗⃗u ) + ( a∗⃗v ) + ( a∗⃗ w )=0

()

4 w= 5 ⃗ 2

() () () ()

1 2 4 0 a 2 +b 1 +c 5 = 0 1 0 2 0

( )( )( ) () a 2b 4c 0 + + = 2a b 5c 0 a 0 b 2c 0

Obtenemos el siguiente sistema

{

a+2 b+4 c=0 2 a+b+5 c =0 a+0 b+ 2 c=0

Escribimos la matriz aumentada

( |) 1 2 40 2 1 50 1 0 20

f 2−2 f 1 → f 2

|)

f 3−f 1 → f 3

|)

−1 f 2→ f 2 3

|)

f 3+2 f 2 → f 3

(

1 2 4 0 0 −3 −3 0 1 0 2 0

(

1 2 4 0 0 −3 −3 0 0 −2 −2 0

(

1 2 4 0 0 1 1 0 0 −2 −2 0

( |) 1 2 40 0 1 10 0 0 00

f 1−2 f 2 → f 1

( |) 1 0 20 0 1 10 0 0 00

Al no poder obtener la matriz identidad a partir de operaciones básicas, se trata de un sistema de ecuaciones con infinitas soluciones, lo que nos lleva a la conclusión que se trata de un sistema linealmente dependiente

4. Encontrar el rango de las siguientes matrices

( )

1 1 2 A= 3 1 4 1 0 4

(

f 3−f 1 → f 3

1 1 2 A= 3 1 4 0 −1 2

)

f 2−3 f 1→ f 2

(

)

(

)

1 1 2 A= 0 −2 −2 0 −1 2 1 1 2 A= 0 −2 −2 0 0 −6 Por lo tanto,

( )

1 2 3 B= 2 4 5 1 6 2

−2 f 3+ f 2→ f 3

Ran( A )=3

f 3−f 1 → f 3

(

)

f 2−2 f 1 → f 2

(

)

f 3↔f 2

(

)

1 2 3 B= 2 4 5 0 4 −1 1 2 3 B= 0 0 −1 0 4 −1 1 2 3 B= 0 4 −1 0 0 −1 Por lo tanto,

Ran(B)=3

Otra manera de comprobar su rango es por el método de determinantes:

( | )

1 1 21 1 A= 3 1 4 3 1 1 0 41 0

| A|=( 4 +4 +0 ) −(2+0+12) | A|=( 8 ) −(14)

| A|=−6 Ran(A )=3

( | )

1 2 31 2 B= 2 4 5 2 4 1 6 21 6

|B|= ( 8+10+36 ) −(12+30+8) |B|= (54 )−(50)

|B|=4 Ran(B)=3

5. El sistema [(1,0,−1),(0,2,3),(1,4,−1)]

(

1 0 −1 . A= 0 2 3 1 4 −1

es base de

R3 ?

)

Calculamos ran( A)

(

| )

1 0 −1 1 0 A= 0 2 3 0 2 1 4 −1 1 4

| A|=(−2+ 0+0 ) −(−2+12+0) | A|=−2−10

| A|=−12 Ran(A )=3

Ahora hay que comprobar si son conjunto de generadores

() ( ) () ( ) x 1 0 1 y =a 0 +b 2 +c 4 z −1 3 −1

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

{

x=a+ c y=2 b+ 4 c z =−a+3 b−c

Generando matriz tenemos

(

1 0 1 A= 0 2 4 −1 3 −1

(

1

)

| )

0 1 1 0 2 4 0 2 =(−2 )−(−2+12) −1 3 −1 −1 3

| A|= 0

| A|=(−2 )−(10)

| A|=−12 Como el determinante es diferente de cero, hay solución única, lo que demuestra que el sistema dado es base de

R3 CONCLUSIONES

1. A través del uso de herramientas online se hace exposición y estudio de la definición de espacio vectorial 2. Se ha logrado apropiar las definiciones de a dependencia e independencia lineal 3. Se han estudiado las técnicas para el cálculo de rango de una matriz 4. Se ha apropiado la teoría y las técnicas para definición de base y espacios vectoriales en R2 y R3

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Camilo A. Zúñiga G. - Jorge E. Rondón D. (2010). Algebra Lineal. Bogotá, D.C.: Copyright Universidad Nacional Abierta Y A Distancia. Howard Anton. (1986). Introducción Al Algebra Lineal. México D.F: Noriega Editores.

Unicoos. (23,02,2016). RANGO de una matriz por determinantes 01. [Archivo de video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=jHP6TdVUT5o

Unicoos. (23,02,2016). RANGO de una matriz por determinantes 02. [Archivo de video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=xklVUv8-cZI Norma Lhu. (04,05,2014). Regla de Cramer para un sistema 3x3. [Archivo de video]. Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=xWfHfc4xLx0