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• D Nk Peláez

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Álgebra División algebraica II 6. NIVEL BÁSICO

1.

Al efectuar la división x 27 + x 3 + 1 x2 − 1 se obtiene como residuo a R(x)=ax+b. Halle el valor de 2a+b.

Determine el cociente de la siguiente división. 6 x5 − 3 x4 + 2 x3 + 5 x2 − 5 x + 1 2x − 1

A) 3 D) 5

A) q(x)=6x4+x2 – 3x – 1

B) 1

C) 4 E) 2

B) q(x)=2x4+x – 2 C) q(x)=3x4+x3+3x2 – 1 4

NIVEL INTERMEDIO

2

D) q(x)=6x +2x +6x – 2 E) q(x)=3x4+x2+3x – 1

2.

Halle el valor de m, de modo que la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división sea igual al residuo. 2x4 − 5 x3 + x2 + 3 x + m x−2 A) – 2 D) – 1

3.

7.

B) 0

C) 1 E) 2

A) 12 D) 15

8.

B) 1/2

5.

B) 10

Al efectuar la siguiente división 3x − 2

A) 2 D) 8

C) 4 E) 1/16

Halle el resto de la siguiente división. (2 x − 5)2014 + x 2 4 x − 12 A) 11 D) 9

C) 20 E) 10

indique el producto de todos los coeficientes del cociente.

9. 4.

B) 16

3 x4 + 2 2x3 + 4 x2 + 2x − 6

Dada la división exacta. x 3 + ax 2 − bx − 64 x−4 determine el valor de a/b. A) 1/4 D) 2

Halle el resto de dividir 27 x 3 + 18 x 2 − 6 mx + 13 3x + 1 si la suma de coeficientes del cociente es 15.

B) 4

C) 6 E) 12

Dado el esquema de Ruffini de una división de polinomios c–3 –1 3

C) 12 E) 8

c–3

–4

–5

1 –2

a

f

e

b

–3

Calcule el resto de la división 40 x 40 + 39 x 39 + 38 x 38 + ... + 2 x 2 + x + 10 2x − 2

calcule el valor de a+b+c+e+f si el divisor es 1  x+   3

A) 820 D) 871

A) 10 D) 7

B) 830

C) 100 E) 1640

B) 12

C) 9 E) 5

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Álgebra 3 x11 + ax + 1 x −1 si la suma de coeficientes de su cociente es 40?

10. ¿Cuál es el valor de a en la división

NIVEL AVANZADO

14. Si la siguiente división A) 3

B) 2

D) 5

C) 4 E) 7

(a − b) x n + (a − b)2 x n−1 + (a − b)3 x n−2 , n par, n > 2 x − a+ b deja como resto 3bn+1, ¿cuál es el valor de

11. Halle el resto en la división ( a + 2) x

3

2 − ( a2 − 4 ) x 2 + ax − ( a − 1)

a2 + 2b2 ? ab

x−a+2 A) – 1

B) a+1

D) 0

C) a – 1

A) 2 D) 5

B) 7

C) 3 E) 1

E) 1

15. Al dividir P(x) entre (x – 3) se obtuvo un cocien12. Los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto grado son números enteros consecutivos. Si se divide P(x) entre (x – 1), el resto es 35. Halle el coeficiente del término cuadrático. A) 5

B) 6

D) 8

C) 7 E) 9

13. Halle el resto en la siguiente división.

[( x + 3) ( x + 5) ( x + 4) ( x + 2) − 82]

2

+ 15

x2 + 7 x + 2 A) 15 D) 30

B) 19

C) 24 E) 40

te Q(x) y un resto igual a – 2. Luego, al dividir Q(x) entre (x+2) se obtuvo como resto 2. ¿Cuál es el término independiente del residuo de dividir P(x) entre (x – 3)(x+2)? A) 0 D) – 8

C) 6 E) 8

16. Si R(x)=Ax+B es el residuo de la división x14 + x13 + x12 + x 3 + 2 x − 4 x2 + x + 1 evalúe R(2). A) 2 D) 4

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B) 4

B) 1

C) 3 E) –1

Álgebra Factorización I

Halle el valor de m si se sabe que el polinomio f(x)=x2+2x – 2 es un factor primo del polinomio P(x)=3x4+mx3 – 9x2+nx+2

Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda con respecto al polinomio. 3 2 P( a; b) = ab (2ab − 1) ( ab − 1) ( a 2 b2 − 1) I. ab es un factor primo. II. Tiene 4 factores primos. III. Tiene factores primos de segundo grado.

A) 5 D) 1/9

A) VFV D) FVF

6. NIVEL BÁSICO

1.

2.

C) 1/4 E) 1

Dado el polinomio Q(a; b)=a3b – ab3+a2 – b2, determine el número de factores primos de Q. A) 1 D) 5

3.

B) 8

B) 2

C) 4 E) 3

7.

4.

5.

C) 3 E) 7

Factorice el polinomio f(x)=x4 –16, y dé como respuesta el número de factores lineales. A) 0 D) 2

B) 3

C) 1 E) 4

Relacione correctamente un polinomio con su respectiva forma factorizada. I. 6x2 – 5x+1 II. 6x2 – 19x+10 III. 4x2 – 11x+7 a. (4x – 7)(x – 1) b. (3x – 1)(2x – 1) c. (2x – 5)(3x – 2) A) Ia, IIb, IIIc B) Ic, IIb, IIIa C) Ia, IIc, IIIb D) Ib, IIc, IIIa E) Ib, IIa, IIIc

Si f(x)=(x – n) es un factor primo del polinomio P(x)=x3 – (n+1)x2+(n – 2)x+m, halle el valor de m/n. A) 1 D) 2

8. B) 5

C) VVF E) FFV

NIVEL INTERMEDIO

Factorice el polinomio sobre Z P(x; y)=6x2y+2xy – 3xy2 – y2 e indique la cantidad de factores primos. A) 2 D) 4

B) FVV

B) 3

Halle el número de factores primos del siguiente polinomio. Q(x; y)=x12 – x8y4 – x4y8+y12 A) 2 D) 5

9.

C) 4 E) 5

B) 3

C) 4 E) 6

Si S(x) representa la suma de los factores primos del polinomio P(x; y)=x2y – y2 – 2y – 2x2+2y+4 indique el factor de mayor término independiente de S(x). A) x+y+2 D) x+2

B) x+4

C) x – 2 E) x+6

10. Determine el cuadrado de factor común que presentan los siguientes polinomios. P(x)=3x2 – 20x+12 Q(x)=12x2 – 11x+2 A) 4x2 – 12x+9 B) 16x2 – 8x+1 C) 9x2 – 6x+1 D) 9x2+12x+4 E) 9x2 – 12x+4 Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG Nº 822 4

Álgebra 11. Si (x+1) es un factor de x2+cx – 2 y (2x – 1) es un factor de dx2+5x – 4, halle el valor de d/c.

NIVEL AVANZADO

14. Determine un factor primo del polinomio f.

A) 1/2

f( x; y) = ( x + y) ( x 2 + 3 xy + y 2 ) − 6 xy ( x 2 + xy + y 2 ) 2

B) 4 C) – 1/2 D) – 6 E) 6

12. Calcule la suma de los factores primos de f. f(x)=2x2+3nx+n2 – n – 2

A) x2+xy+y2 B) x2+xy+1 C) x2 – 3 D) x2+y2 E) x3+2

15. Dado el polinomio

A) 4x+n+2

G( x ) = (3 x 2 − 4 x ) − 19 (3 x 2 − 4 x ) + 60 indique la suma de sus factores primos que no son mónicos. 2

B) 2x+n – 3 C) 3x+2n – 1 D) 3x – n – 3 E) 2x+2n – 3

13. Calcule la suma de los factores primos cuadráticos del siguiente polinomio.

A) 6x+7 D) 6x+5

B) 4x+9

C) 5x+8 E) 5x+6

16. Halle el MCD de

Q(x)=x5+x3+x2+1

x2 – 3xy – 4y2 x2 – 16y2 x3 – 64y3

A) 2x2+2 B) 2x2+x – 2 C) x2 – x+2

A) x – 4y D) x – 3y

D) x3+x2+2 E) 2x2 – x+2

B) 2x+3y

C) y – 4x E) (x – 4y)2 UNALM 2000

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Álgebra Factorización II 5. NIVEL BÁSICO

1.

Determine el conjunto de las posibles raíces racionales del siguiente polinomio. P(x)=2x3+ax2+bx+6

{ { { {

1 3 A) ± 1; 2; 3; 6; ; 2 2 1 B) ± 1; 2; 3; 6; 2

} } }

6.

E) ±{1; 2; 3; 6}

C) 4x2+x+21

B) VFV

7.

C) VVF E) FFV

Calcule la suma de los elementos del siguiente conjunto. A={n ∈ Z/(x – n) es un factor de P(x)=x3 – 7x – 2n} A) 6 D) 3

8.

D) P(x)=(x+2)(x+1)2

B) 1

9.

C) 9 E) 0

Si ( – 2) es raíz del polinomio P(x)=2x3+(n+3)x2+(14 – n)x+3n – 13 determine el valor de n. A) 10 D) – 7

2

Indique el factor cuadrático que presenta f si f(x)=x3+3x2+3x – 7

E) x2+4x+7

}

1 E) −3; − ; 1 2

NIVEL INTERMEDIO

C) P(x)=(x – 2)(x+1)2

D) x2+3x+7

}

E) 4x2 – x+12

B) P(x)=(x – 2)(x – 1)2

C) 2x2+4x+7

{ {

1 C) −3; ; 1 2

D) 4x2 – x+9

Factorice el polinomio P(x)=x3 – 4x2+5x – 2

B) x2+4x+3

1 ; 1; 3 2

B) 4x2+x+12

Sea P(x)=x3 – 2x2 – 5x+6 indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. – 2 es raíz del polinomio P(x). II. (x –1) es factor de P(x). III. (x+2) y (x – 3) son factores de P(x).

A) x2+6x+5

{ }

Calcule la suma de los factores primos de P(x)=3x4+7x3+13x2+2x+20 A) 4x2+x+9

E) P(x)=(x+2)(x – 1)

B)

1 3 D) −1; ; 2 2

A) P(x)=(x –1)(x – 2)2

4.

} }

1 3 D) ± 2; 3; 6; ; 2 2

A) VVV D) FVV

3.

{ {

1 A) −2; ; 1 2

}

1 3 C) ± 1; 2; 3; ; 2 2

2.

Luego de factorizar el polinomio f(x)=2x3+3x2 – 8x+3 iguale a cero cada factor y despeje x. Determine el conjunto de los valores de x que se obtiene.

B) 5

C) 2 E) – 10

Determine un factor lineal del siguiente polinomio cúbico. P(x)=2011x3 – 2012x+1 A) (2011x – 1) B) (2010x – 1) C) (2011x+1) D) (x+1) E) (x – 1)

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Álgebra 10. Respecto al polinomio P(x)=x3+2x2 – 1, indique lo correcto. A) f(x)=x – 1 es un factor primo. B) f(x)=x2+x+1 es un factor primo. C) P(x) no es factorizable. D) f(x)=x2 – x+1 es un factor primo. E) Si f(x) es un factor primo cuadrático, entonces f(2)=5.

11. Halle el factor primo cuadrático de mayor suma de coeficientes de M(x)=x4+4x2+16

14. Halle el MCD de los polinomios P(x)=2x3 – 5x2+1 Q(x)=2x3+3x2 – 1 A) x+2 B) 2x – 1 C) x2 – 2x – 1 D) x – 2 E) x+1 UNALM 2005 - II

A) x2+x – 2 B) x2+2x – 4 C) x2+x – 8 D) x2+8 E) x2+2x+4

15. Halle el número entero positivo que se le tiene que adicionar a f(x)=(x – 1)x(x+3)(x+4) para que solo tenga un factor primo cuadrático, y además sea un cuadrado perfecto.

12. Indique la suma de factores primos, cuyo término independiente sea negativo, de Q(x)=x4 – 2x3 – 23x2 – 12x+36 A) 2x –1 D) 2x – 7

NIVEL AVANZADO

B) 2x – 8

C) 2x – 3 E) 2x – 4

A) 16 D) 4

B) 25

16. Luego de aplicar el aspa doble especial, como indica el gráfico, determine el valor de ab. G(x)=x4 – x3 – 8x2+11x – 3; a, b ∈ Z G(x)=x4 – x3 – 8x2+11x – 3; a, b ∈Z

13. Si P(x) es un polinomio de 5.º grado y mónico,

divisible por x2 – x+1, de término independiente 6 y tiene a – 2 y 3 como dos de sus raíces, halle la suma de coeficientes de P(x). A) – 2 D) 1

B) – 1

C) 0 E) 3

A) –10 D) 1

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C) 9 E) 1

x2

2ax

b

x2

bx

a

B) – 3

C) 3 E) 1/3

Álgebra Teoría de ecuaciones 5. NIVEL BÁSICO

1.

Resuelva la ecuación lineal. 1 ( x − 3) − 3 (3 − x ) + 2 (3 x − 3 − 2 x ) = 66 ( x − 4 ) 2 4 5 e indique la solución.

Dada la ecuación (x – 3)4(x+1)2(x – 5)=0 indique la secuencia correcta de verdad (V) o

A) 1

falsedad (F).

D) 39/112

I. Tiene 7 raíces.

6.

II. Tiene 3 soluciones.

B) FVF

D) VVV

2.

C) 1/3 E) 6

Si a la edad de María se le suma la tercera parte, resulta el doble de su edad disminuido en

III. CS={3; –1; 5} A) VFV

B) 157/39

12 años. Halle la suma de cifras de la edad de María.

C) FFF E) VFF

A) 7

Indique la secuencia correcta de verdadero (V) o falso (F) respecto de las siguientes proposiciones.

B) 10

C) 5

D) 9

E) 12

NIVEL INTERMEDIO

I. 3(3x – 1) – 1=14 es compatible determinada. II. 2x+1=(x – 1)+x es incompatible.

7.

III. x=x es compatible indeterminada. A) VVF

B) VFV

D) VVV

Si b es solución de la ecuación (x – 1)2=x, determine el valor de β 2 +

A) 11

E) FVV

Halle el valor de x si x −3 2 + 3= 7 7+ 3 A) 14

B) 13

D) 10

B) 9

C) 7

8.

E) 13

Si a es una solución de la ecuación x2 – 4x+1=0, halle el valor de α 3 +

1 α3

.

C) 12 A) 81

E) 8

B) 12

D) 52

4.

.

C) VFF D) 5

3.

1 β2

C) 64 E) 25

Resuelva la siguiente ecuación. 6 x 2x + 1 + + x = −11 , 5 7

9.

Resuelva la siguiente ecuación. 2 −1 x + 6 −1 x + 12 −1 x + 20 −1 x + ... + 110 −1 x =

A) {0; 5} B) {– 0; 5} C) {0; 125} D) {1; 7} E) {– 2; 5}

A)

{}

D)

10 3

10 3

B) {0; 3}

3 11

C) 0,3 E) {2}

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Álgebra 10. En la siguiente ecuación (x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n)=n2; n ente-

NIVEL AVANZADO

ro positivo, halle el valor de x.

14. Si a es una raíz de la ecuación x2+1=3x, n −1 2 n +1 D) 2 A)

B)

n 2

3n 2 2n + 1 E) 2 C)

11. Halle la solución de la siguiente ecuación. (x – 1)+(3x – 2)+(5x – 3)+...+(19x – 10)=105 A) 2

B) 1,7

D) 1,2

E) 0,9

ción sea entera y máxima. 2 n2 A) 12

B) 8

E) 6

B) 144

15. Si b es solución de la ecuación  x − 2   x − 12   x − 36   x − 1100   + +  + ... +  =0 2   6   12  110 

B) 110

C) 11 E) 10

C) 2

16. Si 1 es una raíz del polinomio P(x)=a3x5+3a2x2+3ax – 6; a ∈ R halle el valor de a+1.

x + 24 x + 132 x + 30 + + =3 36 144 42 calcule el cuadrado de la solución.

D) 25

A) 32 B) 18 C) 7 D) 123 E) 126

A) 121 D) 12

13. Luego de resolver la ecuación

A) 64

.

determine el valor de 2b .

nx + 5 n − 2 = −x n

D) 4

1 α5

C) 1,6

12. Determine el valor de n ∈ Z+, tal que la solun2 x + 2 n

halle el valor de α 5 +

C) 81 E) 169

A) 3 7 B) 11 2 C) 27 D) 2 E) 3 5

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Álgebra Ecuación cuadrática I

Halle A ∪ B si se tiene que

Si a y b son las raíces de la ecuación cuadrá1 1 tica x2 – x+3k=0, tal que + = 3 k, calcule el a b menor valor de k.

{ } 2 B = { x − 1 ∈ R 12 x − 37 x + 3 = 0}

A) 3 D) 1/3

4. NIVEL BÁSICO

1.

A = x ∈R 2x 2 + 6 = 7 x

{ { { { {

A) −

2.

}

5.

11 3 ; ;2 12 2

}

B) −1; −

1 3 ;− ;4 12 2

C) −1; −

11 1 ; ;3 12 2

}

}

D) −

11 3 ; ;2 3 2

E) −

11 3 ; − 1; 2; 12 2

C) 1 E) – 1/3

Dada la ecuación cuadrática 2x2 – 6x+10=0, de raíces x1 y x2, halle el valor de M. M = x12 x 2 + x1x22 A) 15 D) 2

6.

}

B) 12

C) 21 E) 10

Halle el valor de n si las raíces de la ecuación x2 – 7x+n=0 se diferencian en 3 unidades. A) 10 D) 8

B) 5

C) 4 E) 12

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática de incógnita x. 3ax 2 − (6 a 2 + 1) x + 2a = 0; a ≠ 0

NIVEL INTERMEDIO

7.

{ } { } { } { } { }

1 A) CS = ; 6 a a B) CS = C) CS = D) CS = E) CS =

3.

B) – 1

1 ; 2a 3a

1 ; 3a 2a 1 ; 2a 3

Luego de resolver la ecuación 10x2 – 15x=4(2x – 3) indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) según corresponda. I. Todas sus raíces son reales positivas. II. La suma de raíces es 23/10. III. La mayor diferencia de raíces es 7/10. A) VVF D) VFF

1 ; 3a 2

8.

Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación

B) VVV

Si la ecuación cuadrática

(a2 + b2 ) x 2 − 5 x + (2a − 6 b − 10) = 0 ∧ {a; b} ⊂ R

x2 – 7x+1=0. Halle el valor de E=x1+x2+x1x2.

tiene CS =

A) 7

A) 4 D) 25

D) 8

B) 5

C) 10 E) 12

C) FVV E) VFV

{

}

m n ; , calcule el valor de ba+1. n m B) 9

C) 16 E) 17

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Álgebra 9.

En la ecuación x2 – (m+1)x+m=0, determine el valor de m si sus raíces x1 y x2 cumplen que 1  1  7  x + 1  x + 1 = 3 1 2 A) –1 D) 2/5

B) 3/4

C) 6 E) 7/2

NIVEL AVANZADO

14. Si S={m; n} es el conjunto solución de la ecuación cuadrática (a – b)x2+(b – c)x+(c – a)=0 calcule el valor de mn+nm – m · n.

10. Las raíces de la ecuación x2+x – 3=0 son x1 ∧ x2, tales que x1 > x2.

A) 0

Determine (2 x1 − 13 ) + (2 x 2 + 13 ) . 2

A) 0 D) 16

B) 1

4

C) 2 E) 20

11. Si a y b son las raíces de la ecuación a 2 + b 2 + 2c . x2 – 6x+c=0, halle el valor de 9 A) 3 D) – 6

B) 4

C) 6 E) 3

B) a+b+c C) –1 D) 1 E) abc

15. Si la ecuación cuadrática x2+4x+n2=m2x+8 tiene raíces simétricas y recíprocas a la vez, calcule el menor valor de m+n. A) 3 B) 6

12. Si la ecuación 2011x2+nx+2012=x tiene raíces simétricas y la ecuación 2013x2+(m – 1)x+m=2 tiene raíces recíprocas, halle el valor de m+n. A) 2018 D) 2016

B) 2017

C) 2015 E) 2013

C) 5 D) – 4 E) – 5

16. Si la ecuación cuadrática x2 – 4x+n=0 presenta como conjunto solución

13. Dada la ecuación cuadrática 2

x +3x+5=0 del CS={m; n} halle otra ecuación cuadrática de raíces m+1 y n+1.

1 + a 2 1 − a 2  ; a ≠ 0 CS =  ;  a a  halle el producto de sus raíces. A) 4

A) x2 – x+3=0 B) x2+x+3=0 C) x2+x – 3=0 D) x2 – x – 3=0 E) 3x2 – x+1=0

B) 15/4 C) 1 D) 16 E) 2

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Anual Integral División algebraica ii 01 - e

04 - B

07 - e

10 - e

13 - B

02 - d

05 - B

08 - B

11 - a

14 - c

03 - a

06 - d

09 - d

12 - c

15 - d

16 - B

Factorización i 01 - a

04 - d

07 - d

10 - e

13 - e

02 - e

05 - d

08 - c

11 - d

14 - d

03 - c

06 - e

09 - d

12 - c

15 - a

16 - a

Factorización ii 01 - a

04 - e

07 - e

10 - e

13 - c

02 - a

05 - c

08 - B

11 - e

14 - B

03 - B

06 - a

09 - e

12 - d

15 - d

16 - d

teoría De ecuaciones 01 - d

04 - B

07 - c

10 - a

13 - B

02 - d

05 - B

08 - d

11 - c

14 - d

03 - a

06 - d

09 - B

12 - e

15 - c

16 - a

ecuación cuaDrática i 01 - a

04 - e

07 - B

10 - c

13 - B

02 - B

05 - a

08 - B

11 - B

14 - d

03 - d

06 - a

09 - c

12 - d

15 - e

16 - B