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CORPORACIÓN EDUCATIVA

Formando líderes, con una auténtica educación integral

School´s

Segundo Primero de Secundaria

Trigonometría

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de

Presentación Didáctico

uno de los mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad. En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los Nuestra Institución School’s propone una perspectiva integral mayores problemas de nuestro país, laMentor educación, brindando una enseñanza de alta calidad. y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo estudiantes, una formación y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros impulsando susprincipios capacidades parabuscando el éxito el endesarrollo la vida profesional. personalizada basada en y valores; integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional. Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da

Estambién por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 sede da Guías tambienDidácticas con el trabajo de con el esfuerzo de los docentes a través que los docentes a través de que permitirán un mejor nivel académico y lograr permitirán unGuías mejorDidácticas nivel académico y lograr alcanzar la práctica que lo que que el alumno(a) requiere, requiere, porque nuestra metameta es: que es: alcanzar es la práctica es lo que el alumno(a) porque nuestra

“Formar líderes con una auténtica

“Formar líderesintegral” con una auténtica educación educación integral”

Capítulo 1.

Razones trigonométricas I ..............................................................................

9

Capítulo 2.

Razones trigonométricas II ............................................................................. 15

Capítulo 3.

Razones Trigonométricas de Ángulos de 37º - 53º y 16º-74º ..................... 21

Capítulo 4.

Razones Trigonométricas de Ángulos de 45º; 30º; 60º ................................. 28

Capítulo 5.

Aplicaciones Gráficas en la Resolución de Triángulo Rectángulos ........... 34

Capítulo 6.

Razones Trigonométricas Recíprocas ........................................................... 41

Capítulo 7.

Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios ........................... 47

Capítulo 8.

Nociones de la Geometría Analítica ............................................................... 53

Capítulo 9.

Distancia entre dos puntos .............................................................................. 60

Capítulo 10.

Coordenadas del punto a un segmento ........................................................... 66

Capítulo 11.

Razones Trigonométricas de ángulos en posición normal I ....................... 72

Capítulo 12.

Razones Trigonométricas de ángulos en posición normal II ...................... 78

Capítulo 13.

Signos de la Razones Trigonométricas de ángulos en posición normal .... 84

Capítulo 14.

Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales ................................... 90

Capítulo 15.

Reducción al primer cuadrante (Aplicaciones gráficas) ............................... 97

Capítulo 16.

Reducción al primer cuadrante (Aplicaciones numéricas) ......................... 103

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

1

Razones Trigonoméricas I OBJETIVOS:

a Estudiar las razones trigonométricas Seno, Coseno, Tangente en su forma más elemental a Aplicar correctamente el teorema de Pitágoras para el cálculo de cualquier lado de un triángulo rectángulo A

MOTIVACIÓN

c

La época de Alfonso X el Sabio b

Después de la decadencia del mundo antiguo, Europa se sumió en una época poco amante de los estudios científicos y de la astronomía en particular. El pueblo y la nobleza eran incultos y sólo el clero tenía acceso a los libros. Una excepción fue la corte de Alfonso X el Sabio, en el siglo XIII, que se rodeó de estudiosos árabes, judíos y cristianos. El monarca mandó recopilar todos sus conocimientos en una encilopedia denominada El libro del saber. En ella se incluían las famosas Tablas Alfonsíes, basadas en las Tablas toledanas elaboradas dos siglos atrás por el astrónomo árabe Azarquiel, que a su vez eran una actualización de las contenidas en el Almagesto de Tolomeo. Las Tablas Alfonsíes permitirán calcular la posición de los planetas y fueron vigentes durante más de tres siglos. En trigonometría nos interesa la forma como vincular los ángulos con los lados de un triángulo, para lograrlo los matemáticos inventaron las razones trigonométricas. Las definiciones se harán inicialmente en el triángulo rectángulo con estas definiciones lograremos ingresar a otros campos de la ciencia como la física, el cálculo superior, etc.

α C

B

a

Donde: b: Cateto opuesto al ángulo α a: Cateto adyacente al ángulo α c: hipotenusa:

Razones Trigonométricas de un ángulo agudo Estudiaremos las razones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente:



Seno α → sen α Coseno α → cos α Tangente α → tg α

Luego podemos definirlos:

Cateto opuesto b = hipotenusa c Cateto adyacente a = cosα = hipotenusa c Cateto opuesto b tgα = = Cateto adyacente a senα =



Teorema de Pitágoras Razón Trigonométrica

En un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

La razón trigonométrica de un ángulo se define como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo respecto a un ángulo agudo. Entónces en un triángulo rectángulo tendremos los siguientes elementos:

Formando líderes con una auténtica educación integral

A b C

c

a

2

2

c =a +b

2

B

9

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular “m”

4) Calcular: tg α 2

α m

5

6

Rpta: ________

Rpta: ________

12

2) Calcular: sena

5) Calcular: tg b ⋅ cos α α 3

5a

Rpta: ________

α

Rpta: ________

1

b

4a

6) Calcular: R = senb . cosb

3) Calcular: cosb b

x

2

4

3x

Rpta: ________

b

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Calcular “x”

4) Calcular: tanq x

4

2

q 3

Rpta: ________

3

2) Calcular: cosb

Rpta: ________ 5) Calcular:

1 .senb sen α b

1

4

2

b 3

α

Rpta: ________ 6) Calcular: P =

3) Calcular: cosa

Rpta: ________

senα t gf

α 2

3 f

1

Rpta: ________

10

α 4

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Para el profesor:

Para el alumno:

1

Calcular “x”

1

Calcular “x”



a) b) c) d) e)



a) b) c) d) e)

1 2 3 4 5

1

2 x

Resolución:

1 2 3

3

2

4 5

x

Resolución:

Clave: 2 Calcular: R = senα . senq 2m a) 1/3 α q b) 1/4 c) 1/5 m d) 1/6 e) 1/2

Resolución:

Clave: 2

Calcular:



a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2 . cosα senα

x

2x

α

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 11

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcular “m” : m

a) 1 b) 3 c) 10 d) 5 e) N.A.

3

1

3

Calcular “x”



a) 5 b) 5 c) 1 d) 13 e) N.A.

Resolución:

3

x

2

Resolución:

Clave: 4

Calcular sen q:



a) 1/2 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/6 e) N.A.

q 3m

2m

Resolución:

4

Calcular sen q:



a) 1/2 b) 3/5 c) 2/3 d) 1/6 e) 2/7

q 3m

2m

Resolución:

Clave: 12

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular cosa:

5

Calcular cosa:



a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/7



a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 1/2 e) 1/7

34

x2

a 2

Resolución:

34

Calcular tgb:



a) 2 b) 3 c) 1 / 3 d) 1 / 2 e) N.A.

x1

2

Resolución:

Clave: 6

a

b

Clave: 6

Calcular tga:



a) 2 2 b) 3 c) 1 d) 5/12 e) 3 3

1

3

Resolución:

a q

12

3m 13

2m

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 13

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular:



a) 3 / 2 b) 1/4 c) 3 d) 1/2 e) N.A.

1 .senb sen α

1

b 2 α

7

Calcular R =



a) 5 b) 12 c) 2/5 d) 1/5 e) N.A.

Resolución:

5 tg α

α

13

12

Resolución:

Clave: 8

Calcular:



a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 5

x

2x

α

Resolución:

Clave: 8

Calcular: A = sen2θ + cos2θ



a) 2 b) 3 c) 1 d) 2 e) 3

3

q

1

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 14

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Razones Trigonoméricas II

2

OBJETIVOS: a Estudiar las razones trigonométricas cotangente, secante, cosecante en su forma mas elemental. a Aplicar las razones trigonométricas en diversos problemas

Razónes trigonométricas de un ángulo Agudo

MOTIVACIÓN Las teorías heliocéntricas La revolución llegó en el siglo XVI de la mano de Nicolás Copérnico. Este clérigo polaco advirtió que las Tablas Alfonsíes presentaban problemas de concordancia con los movimientos reales de los astros y propuso que todo se explicaba mucho mejor si se suponía al Sol en el centro del sistema y la Tierra girando a su alrededor como un planeta más. El libro en que Copérnico expuso sus teorías, Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes, tuvo serias dificultades para ser editado y finalmente vio la luz poco antes de su muerte. También son importantes los trabajos de observación llevados a cabo por Tycho Brahe, en Dinamarca, defensor de un modelo geocéntrico. Sin embargo, sus observaciones permitieron que un ayudante suyo, Johann Kepler, ferviente convencido de las teorías copernicas, determinase las tres leyes que llevan su nombre y que explican el movimiento de los planetas alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas y no circulares como hasta entonces se creía. Con ello pudieron desterrarse definitivamente las teorías geocéntricas.

Estudiaremos las razones trigonométricas cotangente, secante, cosecante: C ot a ng e nt e α → ct g α S e c a nt e α → sec α C os e c a nt e α → csc α

b: Cateto opuesto el ángulo “α” a: Cateto adyacente al ángulo “α” c: Hipotenusa

c b

α a

2

c = a 2+b

2

Luego podemos definirlos:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Cateto adyacente a = Cateto opuesto b hipotenusa c = sec α = Cateto adyacente a hipotenusa c csc α = = Cateto opuesto b ctg α =

15

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular: ctg a

4) Calcular: P = sec q + csc q 12

3

2

Rpta: ________

α

q

sec α csc b

5) Calcular: R =

2) Calcular: sec b

Rpta: ________

13

α

2

b 3

2 2

Rpta: ________

Rpta: ________

b

2

6) Calcular: sec α

3) Calcular: csc a

csc α

α 13

1

3

α

Rpta: ________

Rpta: ________

12

Para Reforzar 4) Calcular: K = ctg q.

1) Calcular: ctgf

3

q

4

3

f

1 sec b

Rpta: ________

Rpta: ________ 3

b

2) Calcular sec q 5) Calcular: R = ( ct g α )

q 1

3

Rpta: ________ 6) Calcular:

3) Calcular: cscb

4

α

Rpta: ________

b

Rpta: ________

2

2

csc b sec b

4

1 b

Rpta: ________

16

sec α

3

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Para el profesor: 1

Determinar: Q =



a) 4/5 b) 2/4 c) 6/5 d) 5/4 e) 7/4

Para el alumno:

1 1 + sec α csc b

1

Calcular: M =



a) 1/5 b) 2/5 c) 5/6 d) 6/5 e) 5/1

1 1 s e c α csc α

α

3 5 b

Resolución:

α

5

3

Resolución:

Clave: 2

Calcular: ctg a



a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) N.A.

α 3

2

Resolución:

Clave: 2

Calcular:



a) 1/3 b) 3 c) 1 / 3 d) 2 e) N.A.

1 ctg b

1 b 2

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 17

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcular: sec q

3

Calcular: ctg a

a) 2/7 b) 7/2 c) 2 d) 7 e) 5



a) 5 / 2 b) 5/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 5/3

7

q 2

Resolución:

3

2

α

Resolución:

Clave: 4

Determinar secf a) 4 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) N.A

4 f 2

Resolución:

4

Calcular: sec b



a) 5 / 2 b) 1/3 c) 5 / 3 d) 2 / 3 e) 13 / 3

b 3

2

Resolución:

Clave: 18

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular: N =



a) 5/13 b) 7/14 c) 13/5 d) 6/12 e) 8/16

sec b.secα ctg b

13

α

b 5

5

Calcular: csc a



a) 3 / 2 3 b) 5 / 3 c) 5 / 2 2 d) 3 / 2 2 e) 3 / 2

Resolución:

3

Resolución:

Clave: 6

Calcular: N = tanq



a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/3 e) N.A.

1 α

q

3 3

5 b

3

Clave: 6

Calcular: csca



a) 3 b) 2 c) 3/2 d) 2/3 e) N.A.

Resolución:

α 3

2

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 19

Trigonometría - 2do Sec. 7





1

Calcular: Q = sec α a) 1/3 b) 10 / 3 c) 3 d) 10 / 10 e) N.A.

1 ctg b

3 α

1 b

7

Calcular:



a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

Resolución:

sec q cos q

q 1

5

Resolución:

Clave: . 8

Determinar: F = sec α. tg b



a) 5/12 b) 12/5 c) 5/13 d) 13/5 e) N.A.

α

b 12

5

Resolución:

Clave: 8

Calcular: M= sen a. sec a



a) 1/7 b) 3/7 c) 4/7 d) 7/4 e) 7/3

4 α 7

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 20

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Razones Trigonométricas de Ángulos de 37º-53º y 16º-74º

3

OBJETIVOS: a Definir los triángulos Pitagóricos y sus aplicaciones en la Trigonometría. a Reconocer la proporcionalidad de los lados del triángulo rectángulo de ángulos de 37° - 53° y 16° - 74°. a Definir las razones trigonométricas de los ángulos agudos de 37° - 53° y 16° - 74°.

MOTIVACIÓN: La invención del telescopio y la astronomía observacional Suele atribuirse a Galileo Galilei la invención del telescopio. En realidad este físico y matemático, nacido en Pisa en 1564, sólo lo perfeccionó y su genial idea fue utilizarlo para el estudio del firmamento, de forma que el conocimiento por él adquirido superó en mucho todo lo sabido hasta entonces. En 1610 descubrió el relieve de la Luna, las manchas del Sol (rompiendo la idea aristotélica que los astros debían estar constituidos de una materia especial inmaculada e incorruptible), y midió la rotación solar. Vio que los planetas presentaban un disco visible mientras que las estrellas continuaban como puntos, de lo cual dedujo que estaban mucho más lejos. Descubrió las fases de Venus y los cuatro principales satélites de Júpiter, algo que aplicó inmediatamente en demostrar que los astros secundarios giraban alrededor de los principales, con lo cual la Tierra debía girar alrededor del Sol. Esta época culminó con los importantes trabajos que el inglés Isaac Newton realizó en física y matemáticas. Fue el inventor del telescopio reflector, que lleva su nombre, pero sus obras más destacadas fueron la formulación de las leyes de la mecánica y de la ley universal de la gravitación, según la cual todos los cuerpos situados en el espacio se atraen con una fuerza que es mayor cuanta más masa tienen los cuerpos y que disminuye con el cuadrado de la distancia que los separa. Con ello Newton puedo explicar matemáticamente las leyes de Kepler para el movimiento de los planetas.

En éste capítulo estudiaremos las razones trigonométricos de ángulos agudos de 37° - 53° y 16° - 74° para lo cual estableceremos los triángulos rectángulos que contienen a dichos ángulos y además la proporcionalidad de sus lados.

Triángulo Pitagórico: Denominados también triángulos rectángulos perfectos debido a que la medida de sus lados estan expresados por números enteros positivos. Los lados de todo triángulo, Pitagórico tiene la siguiente forma:

2

2

m +n 2mn

Donde: m y n son números enteros positivos (m>n)

m2- m2

De la forma general se deduce el deduce el siguiente caso particular:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Donde: n número entero impar (n>1) n2+ 1 2

n2- 1 2

n

21

Trigonometría - 2do Sec. Ejemplos: n =3 5 4

3

RT

37°

53°

sen cos tg ctg sec csc

3/5 4/5 3/4 4/3 5/4 5/3

4/5 3/5 4/3 3/4 5/3 5/4

Nota

n =5

Las razones trigonométricas de los ángulos de 37° y 53° son aproximados.

13

12

2. Razones Trigonométrica s de Ángulos: (16º - 74º)

5

16°

n =7

25K

24K

25

24

74° 7K

7

1. Razones Trigonométrica s de ángulos: (37° - 53°) 37°



Ejemplos:



* sen 16° = 25 k = 25



* tg 74° =

5K

4K 53° 3K



Ejemplos:



* sen 37° = 5 k = 5



* tg 53° =

22

3k

7k

7

24 k 24 = 7 7k

RT

16°

74°

sen cos tg ctg sec csc

7/25 24/25 7/24 24/7 25/24 25/7

24/25 7/25 24/7 7/24 25/7 25/24

3

4k 4 = 3 3k

Nota

Las razones trigonométricas de los ángulos de 16° y 74° son aproximados.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular:

4) Calcular: K = ctg37° . csc53° . tg53°

H = 2cos 53° . sen 53° Rpta: ________

Rpta: ________

5) Determinar:

2) Calcular: 14 W = 4tg53° + sen 16°



F = 8 tg53° + 8



Rpta: ________

Rpta: ________

3) Calcular: N = ctg 37º . csc53º . tg53º

6) Determinar:

E=

( -27 )ctg37° -

( - 32)cos53°

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 4) Calcular:

1) Calcular:

C = 2sen37° . cos 37°



K = tg37° . sec53° . ctg53°

Rpta: ________

2) Calcular:

R = tg 53° + ctg 37° Rpta: ________

3) Determinar: Q = sec37° + csc53° Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta: ________

5) Calcular:

H = (16)tg37º

Rpta: ________

6) Determinar: K = (8)ctg53º + (-8)sec 53º Rpta: ________

23

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Para el profesor: 1

Calcular:



a) 25/24 b) 16 d) 31



Para el alumno:

C = (1 + tg 216°) ⋅ 24

1

Determinar:



a) 4 b) 5 d) 7



c) 24/25 e) N.A.

Resolución:

E = csc16° + ctg16°

Resolución:

Clave: 2

Determinar:



a) -7/24 b) -1/24 d) -7/25

Clave:

2

E = csc74° – tg53°

Calcular:



c) -5/24 e) N.A.

Resolución:



E = csc74° – tg74° a) 7/1 b) 2/7 d) 1/7

c) 7/14 e) 17

Resolución:

Clave: 24

c) 6 e) 8

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcular:



a) 12 b) 7 d) 5

E = 25 cos74° – 4sec37° c) 2 e) 15

3

Determinar: N = 24. sec16° -



a) 7 b) 9 d) 12

Resolución:

12 tg37°

c) 10 e) 8

Resolución:

Clave: 4

Calcular:



a) 4/5 b) 24/25 d) 7/40

Clave:

4

Calcular:



a) 72/125 b) 125/72 d) 12/52



K = csc16° . sen37° c) 15/7 e) 20/25

Resolución:

H = csc37° . sec16° c) 52/27 e) 521/27

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 25

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular:

5

Hallar:



a) 128 b) 150 d) 25



a) 40/7 b) 7/14 d) 4/70

R = 125 . sen 16° . sen 37º

c) 21 e) 130



Resolución:

K = sen37° . tg16°

Resolución:

Clave:

Clave:

6

Determinar: K= sec74° . sen 37°. cos 37°

6

Efectuar:



a) 12/7 b) 7/5 d) 7/12



a) 25  b) 24 d) 20

c) 5/7 e) N.A.

Resolución:



E = 24cos37° . tg16° . sec37° . sec74°

c) 21 e) 22

Resolución:

Clave: 26

c) 7/40 e) 14/70

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular:



a) 52/21 b) 25/12 d) 12

M = sen 37° – cos37° c) 12/25 e) 25/50

7

Calcular: N=



Resolución:

cos 37° sen53°

a) 15/20 b) 25/12 d) 12 Resolución:

Clave: 8

c) 12/25 e) 25/50

8

Determinar sen 53° F= sec 16°

a) 71/125 b) 96/125 d) 96/140

Clave: Calcular: M=

c) 85/127 e) 80/125

Resolución:



sen37º sec 74º

a) 21/125 b) 24/125 d) 27/140

c) 25/127 e) 20/125

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

27

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

4

Razones Trigonométricas de Ángulos de 45º; 30º; 60º OBJETIVOS:

a Reconocer la proporcionalidad de los lados del triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos son: 45° - 45° y 30° - 60°. a Definir las razones trigonométricas de los ángulos de 45° y 30° - 60°.

MOTIVACIÓN

Triangulo rectángulo de ángulos agudos: 45° - 45°

La “nueva astronomía”

RT

A partir del siglo XVII todo fue distinto. Los grandes astrónomos de siglos anteriores habían puesto la astronomía en el buen camino y, además, comenzaba la era de la tecnología. Por otro lado las grandes potencias mundiales (España, Inglaterra, Portugal, etc), basaban su hegemonía en el comercio marítimo. La navegación ya no podía efectuarse a ciegas como los grandes pioneros de siglos anteriores, con los consiguientes riesgos. Una sociedad mercantilizada necesitaba que la observación de los astros, que era el medio utilizado para guiar los barcos, se hiciera con la precisión adecuada. Además era necesario efectuar una cartografía de las nuevas tierras. Así nacieron los observatorios de marina, centros dedicados especialmente a facilitar a navegantes y exploradores los datos necesarios para determinar sus coordenadas en el mar y en tierra. En 1675 se fundó el de Greenwich (Inglaterra) y en 1754 el de Cádiz en España, posteriormente trasladado a San Fernando. La mayor dificultad en la época la presentaban al determinación de la longitud. Esta dificultad persistió hasta la invención del cronómetro por John Harrison, en el siglo XVIII. En esta época se comenzaron también a construir potentes telescopios, primero de sistema reflector, con espejos. Uno de los más importantes astrónomos de la época fue William Herschel, un músico alemán afincado en Inglaterra, que fue también un gran constructor de telescopios, llegando a instalar en su casa un telescopio reflector, con el sistema de Newton, con un objetivo de 122 cm de diámetro. Descubrió el planeta Urano (1781) y una gran cantidad de nebulosas y estrellas dobles, probando con ello la universidad de las leyes de Newton. Intuyó incluso que el Sol formaba partes de un gran conjunto de estrellas, lo que hoy llamamos galaxia. Dentro de la trigonometría, vamos a trabajar con triángulos rectángulos cuyos lados tienen una proporcionalidad conocida, en este capítulo conoceremos la, relación que existe entre los lados del triángulo de ángulos 45° - 45° y 30° – 60°, deduciendo así mismo sus razones trigonométricas y sus aplicaciones que está implica. 28

sen cos tg ctg sec csc

k 2

45°

45°

k 45° k

2/2 2/2

1 1

2/2 2/2

Ejemplos:

*

cos 45° =

k 1 2 = = 2 2 k 2

*

tan 45° =

k =1 k

Triángulo rectángulo de ángulos agudos: 30° - 60°

60°

2k

k 30° k 3

RT

30°

sen cos tg ctg sec csc

1/ 2 3/2

60° 3/2

1/ 2

3 /3

3

3

3/3

2 3/3

2

2

2 3/3

Ejemplos: *

Sen30° =

*

Sec30° =

k 1 = 2 2k 2k k 3

=

2 2 3 = 3 3

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular:

4) Calcular: R = 3 ⋅ tg30º + sec 60º



H = tg230° . csc260°

Rpta: ________

Rpta: ________

5) Calcular:

2) Determinar: E =



3 . tg 3 45°.cos30° 2



Rpta: ________

3) Calcular: C = sec45°  sen30°  tg60°

6) Calcular:

Rpta: ________

P=

3 . ( tg30° + tg60° ) 2

Rpta: ________

S = 25csc30º – 4ctg45º Rpta: ________

Para Reforzar 4) Calcular:

1) Calcular:

C = sen30° + 3sen60º



Rpta: ________

2) Calcular:

E = tg45° - 2 3 tg30°

K = sec 2 30° - tg 2 30°

Rpta: ________

5) Calcular:

M = tg230° . sec245°

Rpta: ________

Rpta: ________

3) Determinar: S = 2sec45°.sec30° - 3 Rpta: ________

6) Determinar: M = 16 sen30° + 4 sec60° Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

29

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 4

Para el profesor: 1

Calcular: (1+ ctg45°)

H = ( sec30° ⋅ tg45° )



Para el alumno: 1

Determinar: Q=



a) 4/3 b) 3/4 d) 16/4

c) 3/16 e) 16



Resolución:

( sen30° . sen60° )(1+ tg45°)

a) 4/3 b) 3/4 d) 16/4

Resolución:

Clave: 2



2 2 P= csc 45º tg45º

a) 1 b) –1 d) 3

Calcular:



c) 2 e) 4

Resolución:



N=

2 1 + sec45° ctg45°

a) 1 b) –1 d) 3

c) 2 e) 4

Resolución:

Clave: 30

Clave: 2

Calcular:



c) 3/16 e) 16

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcular:



a) d)

F = sen30° . sen45° . tg45°

b) 2 / 2 3 / 2 6 / 3

c) 6 / 2 e) N.A.

3

Determinar: E = csc30° . ctg60° . csc45°



b) 2 2 / 2 a) 2 3 / 2 d) 2 6 / 3

Resolución:

Resolución:

Clave: 4

Calcular: M = 3 ⋅ tg60º + 2 sec 45º

a) 2/3 b) 6 d) 3/2

c) 2 6 / 2 e) N.A.

c) 5 e) 4

Clave: 4

Calcular:



a) 1 b) 2 d) 4

Resolución:

K=

2 sec 45º + 3tg60º

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 31

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular:



5

Determinar:



a) –1 b) 0 d) 2

2 3 R= sec45° cos30°

a) –1 b) 0 d) 2

c) 1 e) 3

W =

2 . csc 45° - 3 . tg30°

c) 1 e) 3

Resolución: Resolución:

Clave: 6

Determinar: (csc30°+ 2)

H = ( sec45° )



a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

6

Calcular :



a) 4/1 b) 1/4 d) 11/4

Q = (sen45º)(sec60º+2) c) 2/6 e) 1/14

Resolución:

Clave: 32

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Determinar:



a) 2/3 b) 1/3 d) 2

N = sen230° + cos230° c) 1 e) 4

7

Determinar: N = csc245° + ctg245°



a) 1 b) 2 d) 4

Resolución:

Resolución:

Clave: 8



Clave: 8

Determinar: W =

c) 3 e) 5

2 . csc 45° - 3 . tg30°

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Determinar: E=



3 + 2.cos 45º sen60º

a) 1 b) 2 d) 4

c) 3 e) 5

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

33

Trigonometría - 2do Sec.

Aplicaciones Gráficas en la Resolución de Triángulos Rectángulos

Capítulo

5

OBJETIVOS: a Reconocer y detectar graficamentela proporcionalidad de los lados de los triángulos rectángulos de las ángulos agudos: 45°, 30°, 60°, 37°, 53°, 16°, y 74°. a Aplicar graficamente las razones trigonométricas de éstos ángulos en forma práctica para la resolución de los triángulos rectángulos

MOTIVACIÓN: La astronomía moderna Con la invención del espectroscopio en el siglo XIX, que permitía el análisis de la luz y la determinación de cuya culminación se alcanzó en el siglo XX, siendo prácticamente términos sinónimos en la actualidad. Los primeros pasos en este sentido se dieron en 1802 con el descubrimiento de las líneas del espectro solar por parte de Wollaston, estudiadas después por Fraunhofer. En 1838 Bessel logró determinar, mediante el método de la triangulación, la distancia de la estrella 61 Cygni, siendo está la primera vez que se demostraba que las estrellas estaban a enormes distancias, lo cual las convertía en soles como el nuestro, pero situados mucho más lejos. En la segunda mitad del siglo XIX, Kirchhoff y Bunsen pusieron las bases para el análisis espectral de las estrellas, demostrando que las líneas del espectro no se distribuyen al azar, sino que ocupan lugares muy concretos que responden a la presencia de determinados elementos químicos. Al mismo tiempo se sugirieron los primeros sistemas de clasificación de las estrellas a partir de sus espectros, culminados en 1890 con los trabajos de Pickering, que estableció el sistema que se utiliza todavía en la actualidad. Ello permitió a Hertzsprung y Russell construir su célebre diagrama que agrupa las estrellas en función de su tipo espectral y su luminosidad, comprobando lo que ya habían descrito Kirchhoff y Bunsen: que estás se distribuyen en zonas muy concretas, abriendo con ello las puertas al estudio de la evolución de las estrellas. En 1912, Henrietta S. Leavitt descubrió la existencia de una relación directa entre el período de variación de la luminosidad absoluta. Esta relación permitió calcular por primera vez la distancia a las galaxias cercanas siempre que fuera posible identificar cefeidas en ellas. A fuera finales de la década de 1920, Hubble y Humason descubrieron que las líneas espectrales de las galaxias estaban sistemáticamente desplazadas hacia el rojo a

34

causa del efecto Doppler, y que este desplazamiento era tanto mayor cuanto más lejana se encontraba la galaxia. Con ello quedaba descubierta la expansión del Universo, que señaló el comienzo de la cosmología como ciencia. Con la llegada de la radioastronomía y más tarde de la astronomía por satélite y el desarrollo de la física, la astronomía conoció un crecimiento espectacular en la última mitad del siglo XX, de forma que los descubrimientos se suceden a un ritmo vertiginoso. Pueden citarse como los más significativos los siguientes: 1960, descubrimiento de la primera fuente de rayos X (Cygnus X–1); 1963, identificación óptica del primer quasar (3C273); 1965, descubrimiento de la radiación de fondo de microondas a 3K, que confirmaba definitivamente el modelo del Big Bang para el origen del Universo; 1967, descubrimiento del primer pulsar; 1973, primeras fotografías del sol desde el espacio; 1973 fotografías de Júpiter desde cerca enviadas por el Pionner 10; 1976, primer aterrizaje de una sonda automática en Marte (Viring 1 y 2); 1978, identificación de Cygnus X–1 como una estrella asociada a un agujero negro; 1983, comienzo de la astronomía infrarroja desde el espacio con el lanzamiento del satélite IRAS; 1987, detección por primera vez de la llegada a la Tierra de neutrinos procedentes del espacio (supernova 1987A); 1995, después de ser reparado para el telescopio espacial Hubble comienza a enviar a la Tierra informaciones diez veces más precisas que las disponibles hasta entonces, dando con ello un impulso extraordinario al conocimiento astronómico; 1997, se demuestra que algunos quasares no son más que núcleos de galaxias muy activos; 1998 identificación de las erupciones de rayos gamma como procedentes de galaxias en los confines del Universo, lo que las convierte en los fenómenos más violentos después del Big Bang. Resolver un triángulo rectángulo, significa encontrar la medida de todos sus elementos básicos; es decir 3 lados y sus 2 ángulos agudos, pues el ángulo recto es un dato constante, y nos encontremos con 3 casos a saber:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 1er. Caso:

Ejemplo: Calcular “c” y “b” del gráfico

Datos:

c = Hipotenusa q = ángulo agudo

Incognitas

a = Cateto opuesto al  q b = Cateto adyacente al  q

15

c

b 30°

Resolviendo el triángulo tenemos:

c a =?

a = c. sen q b = c. cos q

q

Resolución: b = 15. ctg30° = 15 .

b =?

3

c = 15. csc30° = 15(2) = 30

Ejemplo: Calcular “a” y “b”; sí = 37°

3er. Caso: Datos:

25

a

q = ángulo Agudo b = cateto adyacente al  q

Incognitas: c = Hipotenusa a = cateto opuesto al  q b

Resolución: 5



a = 25 senα → a = 25 sen37°= 25 . 5

b = 25 cosα → a = 25 sen37°= 25 .



3 = 15 5

Datos:

q = ángulo agudo a = cateto opuesto al  q

Incognitas

c = hipotenusa b = cateto adyacente al  q Resolviendo el triángulo tenemos:

c=? a q b =?

c=? a =?

b = a. ctg q c = a. csc q

a = b. tg q c = b. sec q

q

4 = 20 5

2do. Caso:

Resolviendo el triángulo tenemos:

b

Ejemplo: Calcular “a” y “c”

c

a

45º 2

Resolución: a=

2 . tg45° =

c=

2 . sec45° =

Formando líderes con una auténtica educación integral

2 . (1) 2

=

2

( 2) = 2 35

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular “x”

4) Calcular “b” 50

x

5

Rpta: ________

45º

Rpta: ________

16º b

5) Determinar “k”

2) Calcular “m”

3 60º

4

m

k

Rpta: ________

30º

Rpta: ________ 6) Determinar “a”

3) Determinar “n”

5 45º

15

a

53º

Rpta: ________

n

Rpta: ________

Para Reforzar 4) Determinar cosq

1) Calcular “h”

q

8 3

8

Rpta: ________

60º h

Rpta: ________ 5) Determinar “a”

2) Determinar senq 15

q

6

45º a

5

12

Rpta: ________ 3) Determinar “k”

Rpta: ________ 6) Calcular “m”

k

45 37º m

74º

36

14

Rpta: ________

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 5

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcular “a”

1 60º

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) N.A.

Determinar “c” a) 23/4 b) 63/4 c) 9/4 d) 4/9 e) N. A.

53º

37º 75

16º C

a

3 3

Resolución:

Resolución:

Clave:

2 Calcular “a” a) 12 b) 15 c) 20 d) 10 e) N. A.

Clave:

2 a

30º

3 37º

Resolución:

Calcular “m” a) 6 b) 5 c) 3 d) 4 e) N. A.

m

30º

20

37º

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 37

Trigonometría - 2do Sec. 3

Determinar “m”

3

Determinar “h” 37º

a) 70 b) 75 c) 48 d) 25 e) N. A.

35

53º

m

15

45º

16º

h

a) 12 b) 10 d) 8

Resolución:

c) 9 e) N. A.

Resolución:

Clave:

4

Determinar: “m” si ABCD es un rectángulo:

Clave:

4

Calcular “x” 100

a) 124 b) 168 c) 130 d) 125 e) N. A.

16º

49

m

Resolución:

16º x

Resolución:

Clave: 38

a) 80 b) 40 c) 96 d) 60 e) N. A.

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5 Determinar “x” a) 8 b) 15 c) 10 d) 21 e) N. A.

Determinar “m” a) 10 b) 5 c) 15 d) 20 e) N. A.

Resolución:

Resolución:

5

10

Clave:

6

Calcular: “x”: a) 30 b) 60 c) 74 d) 75 e) N. A.

16º

Calcular “h”: a) 70 b) 80 c) 85 d) 75 e) N. A.

x

2m

Clave:

6 72

60º

21 74º h

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 39

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular: “a”

7

a) 2 3 b) 16 3 c) 8 3 d) 4 3 e) N. A.

20

3

Calcular “x” 30º

a) 2 b) 2 3 c) 4 3 d) 4 e) N. A.

a

53º

Resolución:

x 8

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Determinar x: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) N. A.

8 37º 20

x 30º

Resolución:

Si csca=2; calcular “x” a) 2 b) 5 c) 3 d) 2 3 e) N. A.

x

α 10

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 40

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

6

Razones Trigonométricas Recíprocas OBJETIVOS:  Definir las razones trigonométricas recíprocas.  Aplicar las razones trigonométricas recíprocas.

Sea el triángulo rectángulo ABC recto en C ( Cˆ = 90º ) ; luego definimos las seis razones trigonométricas:

cos α . sec α =

t gα . c tgα =

A

a c . =1 c a

b a . =1 a b

c

b

α C

a

B

El seno y la cosecante son R.T. Recíprocas. El coseno y la secante son R.T. Recíprocas. La tangente y la cotangente son R.T Recíprocas. Luego Si:

senα =

b c ; csc α = c b

cos α =

a c ; sec α = c a

t gα =

b a ; ct gα = a b

cos b . sec ϕ = 1 ⇔ b = ϕ

t gb . ct gϕ = 1 ⇔ b = ϕ

Importante

Luego observamos que: senα . csc α =

senb . csc ϕ = 1 ⇔ b = ϕ

b c . =1 c b

Formando líderes con una auténtica educación integral

Observar que los ángulos deberán ser iguales.

41

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 4) Determinar q si: cos4q . sec40° = 1

1) Calcular “a” si:

sena . csc20° = 1 Rpta: _____

2) Determinar “a” si: sen3a . csc60° = 1

Rpta: _____

5) Calcular “b” si: tg(2b - 30°) . ctg50° = 1 Rpta: _____

3) Calcular “q” si:

6) Determinar “b” si: tg(3b - 20°) . ctg80° = 1

cos30° . sec q = 1



Rpta: _____

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Calcular “x” si: csc ( 2x + 20º ) ⋅ sen ( x + 30º ) = 1

4) Calcular “x” si: cos ( 2x - 45º ) . sec ( x + 45º ) = 1

Rpta: _____

2) Determinar “f” si:

5) Calcular “b” si: tg ( 2b + 30º ) . c tg ( b + 60º ) = 1

t g ( 5f + 10º ) ⋅ ctg ( 4f + 20º ) = 1

Rpta: _____

Rpta: _____

3) Determinar tg x si: sen ( 2x - 10º ) . csc ( x + 35º ) = 1

6) Calcular “q” si: sec ( 40º +q ) . cos ( 20º +3q ) = 1

Rpta: _____

42

Rpta: _____

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 6

Para el profesor: 1

Para el alumno:

E = senq . cos q ; Calcular: si: 1 t g ( 2q + 10º ) = ct g ( q + 47º )

a) 37° b) 45° d) 60°

1

Calcular R = ct g 4x si: t g ( 90º -x ) =

c) 30° e) 53°

1 ct g ( 60º + x )

a) 30° b) 60° d) 45°

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Determinar: tg3α si: cos (10º +3α ) . sec ( 60º -2α ) = 1

a) 20° b) 30° d) 10°

c) 37° e) 15°

c) 40° e) 60°

Resolución:

Clave:

2

Determinar: senb sen ( 2b - 30º ) . csc ( b + 30º ) = 1

a) 45° b) 30° d) 37°

c) 60° e) 53°

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 43

Trigonometría - 2do Sec. 3 Calcular “q” si:

sen ( 2q + 10º ) .csc ( q + 40º ) = 1

a) 50º b) 60º d) 30º

3

Calcular “x” si: sec ( 2x - 5º ) .cos ( x + 25º ) = 1

a) 5º b) 30º d) 20º

c) 40º e) N. A.

Resolución:

c) 15º e) N. A.

Resolución:

Clave:

4 Calcular: K=seca.csca ; si:

cos ( 20º +2α ) =

a) 60° b) 37° d) 30°

4

Determinar “x” si:

1 sec ( 50º +α )

c) 53° e) 45°

cos ( 4x - 90º ) =

a) 30º b) 60º d) 10º

1 sec x

c) 20º e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave: 44

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Determinar “2x” si:

5

1 t g ( 5x - 27º ) = ct g ( x + 5º )

a) 8º b) 10º d) 9º

Calcular “b” si: ct g ( 5b - 40º ) =

c) 6º e) N. A.

1 t g ( 3b - 20º )

a) 10º b) 20º d) 40º

Resolución:

c) 30º e) N. A.

Resolución:

Clave:

6 Hallar “x” si: sen ( 3x + 30º ) =

Clave:

6 1 csc ( 2x + 40º )

a) 30º b) 40º d) 10º

c) 60º e) N. A.

Resolución:

Calcular tgx si: cos ( 2x - 20º ) =

1 sec ( x + 17º )

a) 3 b) 3 / 3 d) 4/3

c) 3/4 e) N. A.

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 45

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular: sec3a si:

7

1 t g ( 5α - 40º ) = ct g ( 80º -α )

a) 2 b) 3 d) 4

Calcular sen x si: csc ( 60º -2x ) =

c) 3 e) N. A.

1 sen ( 30º -x )

a) 3 / 4 b) 3 / 3 d) 1/2

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Determinar “a” si:

Clave:

8

t g ( 3α + 20º ) .ct g ( 2α + 30º ) = 1

a) 20º b) 10º d) 30º

c) 1/3 e) N. A.

c) 25º e) N. A.

Resolución:

Determinar tan2q: sec ( 60º -3q ) . cos ( 45º -2q ) = 1

a) 3 b) 3 / 3 d) 1

c) 3 / 2 e) N. A.

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 46

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Razones Trigonométricas de Ángulos Complementarios

Capítulo

7

OBJETIVOS:  Definir las razones trigonométricas de ángulos complementarios.  Aplicación de las razones trigonométricas recíprocas y de ángulos complementarios en los diversos problemas.

(

 = 90º Sea el triángulo rectángulo ABC, recto en C C

Como:

α + b = 90º

)

Luego: senα = cos b

de forma análoga: t gα = ct gb sec α = csc b

a y b son ángulos complementarios.

A b a

c

Importante

α C

b

senα =

B

a a ; cos b = c c

Formando líderes con una auténtica educación integral

Entonces: Seno y coseno son co–razones. Tangente y cotangente son co–razones. Secante y cosecante son co–razones.

47

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular “a” si:

4) Determinar “b” si: tg ( 3b + 20º ) = ctg ( 2b + 20º )

sena = cos 50º Rpta: _____

2) Calcular “a” si:

Rpta: _____

5) Determinar “q” si:

sec ( 20º -3q ) = csc ( 4 q + 10º )

senα = cos 40º

Rpta: _____

3) Calcular “q” si:

Rpta: _____

6) Calcular “x” si: sec ( 50º -4x ) = csc (10º +5x )

tg2q = ctg80º

Rpta: _____

Rpta: _____

Para Reforzar 1) Calcular senq si:

4) Calcular “f” si: sec ( 3f + 50º ) - csc ( f - 20º ) = 0

tg ( q + 20º ) = ctg ( 2q - 20º )

Rpta: _____

2) Calcular tgq si:

Rpta: _____

5) Calcular “a” si:

t g ( 2q - 45º ) = ct g ( q + 45º )

senα. cos ( α + 80º ) = 1

Rpta: _____

3) Determinar “x” si:

6) Calcular senq si:

sec ( x - 30º ) - csc ( 2x - 60º ) = 0

t g ( 3q - 10º ) = ct g ( 2q - 50º )

Rpta: _____

48

Rpta: _____

Rpta: _____

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 7

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcular “3b” si:

1

sen ( α + 45º ) = cos ( 2α - 15º )

sen ( 2b - 30º ) = cos ( 3b - 30º )

a) 100° b) 150° d) 160°

Calcular “3a” si:

c) 120° e) 180°

a) 30° b) 45° d) 60°

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

c) 53° e) 37°

Calcular “a” si:

2

4tg10º 2sen40º E= ctg80º cos 50º

a) 1 b) 1/2 d) 4

Clave: Determinar: E=

c) 2 e) 5

Resolución:

sen 10º sec 20º +2 cos 80º csc 70º

a) 1 b) 2 d) 1/2

c) 3 e) 1/3

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 49

Trigonometría - 2do Sec. 3 Calcular “x” si:

3

sen ( x + 10º ) - cos ( x - 20º ) = 0

a) 10° b) 50° d) 30°

Calcular “x” si: cos ( 2x + 10º ) = sen ( x + 20º )

a) 10° b) 20° d) 60°

c) 20° e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave:

4 Determinar “2b” si: c) 15° e) N. A.

Resolución:

Determinar “q” si: t g ( 4 q + 10º ) = ct g ( 2q - 10º )

a) 15° b) 10° d) 30°

c) 60° e) N. A.

Resolución:

Clave: 50

Clave:

4

t g ( 3b - 10º ) - ct g ( b + 30º ) = 0

a) 35° b) 30° d) 70°

c) 30° e) N. A.

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular “x” si: sen 40º . t g ( x - 10º ) = cos 50º . ct g ( x + 10º )

a) 10° b) 40° d) 45°

5

c) 30° e) N. A.

Calcular “a” si: sec 20º .se n ( 2α + 10º ) = cos ( α + 20º ) .csc 70º

a) 20° b) 30° d) 40°

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Determinar “x” si:

Clave:

6

sec ( 2x + 60° ) = csc ( 80º +3x )

a) 30° b) 50° d) -10°

c) 10° e) N. A.

c) -20° e) N. A.

Resolución:

Determinar “x” si: sec ( 5x + 20º ) = csc ( 40º -3x )

a) 20° b) 15° d) 60°

c) 30° e) N. A.

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 51

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular “q” si:

7

t g ( 30° + 2q ) = c tg ( 20° - q )

a) 50° b) 60° d) 40°

Calcular “x” si: sec ( 4x - 30º ) = csc ( 50º -3x )

c) 30° e) N. A.

a) 30° b) 50° d) 70°

Resolución:

Resolución:

Clave:

8 Determinar: E=3

c) 60° e) N. A.

Clave:

8

Determinar:

sen 52º t g 83º cos 38º ct g 7º

a) 3 b) 1 d) -1

K=4

c) 2 e) N. A.

cos 50º t g 30º -2 sen 40º ct g 60º

a) 3 b) 2 d) 1

c) 4 e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 52

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

8

Nociones de Geometría Analítica OBJETIVOS:    

Definir conceptos sobre números reales y recta numérica. Determinar puntos en un sistema bidimensional de coordenadas. Determinar la distancia horizontal o la distancia vertical entre dos puntos. Determinación de perímetros y cálculo de las áreas de regiones planas.

SISTEMA BIDIMENSIONAL A partir del concepto de un sistema unidimensional se puede establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares ordenados de números reales.

• Se observa también que el plano está dividido en 4 regiones denominados cuadrantes y numerados como se indica en la figura. • También se determina:

Y(ordenadas) Par ordenado (X; Y)

(2;4)

4 (–5;3)

3 Origen

X’ –5

– – – –

5

–3 –2 –1

2 1

1 2 3 4

0 –1

X(abcisas)

–3 (–4;–5)

–5

Semieje positivo de la abcisas Semieje negativo de las abcisas Semieje positivo de las ordenadas oy : Semieje negativo de las ordenadas

5

–2 –4

ox : ox : oy :

(5;–4)

Y’

Lo cual permite denominar lo que es el “PLANO CARTESIANO” que es un sistema formado por dos rectas perpendiculares cuya intersección será el origen de coordenadas.

UBICACIÓN DE UN PUNTO: La ubicación de un punto en el plano cartesiano se representa mediante un par ordenado (x; y), en donde a este punto se conoce como “coordenadas del Punto”. * a “x1” se le denomina Abcisa del punto P1. * a “y1” se le denomina Ordenada del punto P1. Y

A la recta HORIZONTAL se le conoce como EJE DE ABCISAS (x), mientras que la recta VERTICAL se le denomina EJE DE ORDENAS (y).

y1

En la figura adjunta podemos observar al plano cartesiano cuyas características son las siguientes: * * *

“0” : Origen de coordenadas. (0;0) El eje X X : Eje de Abcisas (Eje x) El eje y y : Eje de Ordenadas (Eje y)

0

P1 (x1 ; y1)

x1

X

Entonces: * P(x,y); se lee: El punto P de coordenadas x, y. * P ∈ IC ; se lee. El punto P pertenece al primer cuadrante.

Formando líderes con una auténtica educación integral

53

Trigonometría - 2do Sec. Y

Observación

P 2 (x2 ; y2)

DV

Y

P1(x1; y1)

IIC

IC

x0

x>0; y>0

IIIC x 0 Si P ( x; y) ∈ IIC x 0 Si P ( x; y) ∈ IIIC x 2) a) (4 ; 1) b) (3 ; 1) d) (8 , 1)

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

c) (11 ; 1) e) N. A.

Calcule el perímetro de la figura: C(–2; 2)

Clave: 2

y B (2; 2)

x

Determine la distancia entre los puntos A(2 ; 3) y B(4 ; 6) a) 8 b) 13 d) 9

c) 13 e) 3

Resolución:

A (–2; –1)

Resolución:

Clave: 62

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Determine la distancia entre los puntos A(3 ; 4) y B(2 ; 3) b) 2 2 a) 2 d) 1

3

Calcule la menor distancia entre los puntos A(0 ; 5) ; B(–1 ; 3) y C(–2 ; – 1) a) 5 b) 5 d) 2 5

c) 3 e) 2

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Clave:

Calcule la distancia entre los puntos A y B. y

a) 37 b) 37 c) 25 d) 25 e) 5

c) - 5 e) 3

4

4

B (4; 3)

Calcule la distancia entre los puntos A y B. (5;0) a) 5 b) 6 d) 8

A (–2; 2) 3

(1;3) c) 7 e) 9

x

Resolución: Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 63

Trigonometría - 2do Sec. 5 Calcule la menor distancia entre los puntos A(3 ; 5); B(0 ; 1) y C(2 ; –1)

a) 5 b) 2 2 d) 4

5

c) 3 e) 37

Determine la distancia entre los puntos A(–2 ; –3) y B(–4 ; –2) a) 5 b) 5 d) 2 Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

6 Determine la distancia entre los puntos A(–1; –2) y B(–3; –4)

b) 2 2 a) 2 d) -2 2

c) - 2 e) 2

Resolución:

6

Calcule “x” si A(x ; 2x) y B(x , 2) si la distancia entre A y B es 4 ; x > 0 a) 1 b) 2 d) 5

c) 3 e) 4

Resolución:

Clave: 64

c) 3 e) 4

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcule “x” si A(–x; –2x) y B(2x; 3) si la distancia entre A y B es 5. a) 1 b) 2 d) 4

7

c) 3 e) 5

Determine las coordenadas del punto A(x ; 2) si la distancia al punto B(4 ; 3) es 10 ; x > 2 a) 2 b) 5 d) 3 Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Calcular la distancia entre los puntos A y B. y

a) 25 b) 5 c) 29 d) 29 e) 6

c) 6 e) 7

8

A (3; 3)

Calcule las coordenadas del punto M(x ; 3) si la distancia al punto N(–1 ; –3) es 45 ; x > 0 a) 1 b) 2 d) 1/2

B (–2; 1) x

c) 3 e) 4

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

65

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Coordenadas del Punto de un Segmento

10

OBJETIVOS:  Aplicar en forma práctica la fórmula para el cálculo de las coordenadas del punto medio de un segmento.

El punto medio de un segmento dado divide a este en 2 segmentos de igual medida; luego si conocemos coordenadas de los puntos extremos del segmento podemos calcular facilmente las coordenadas del punto medio.

Sean los puntos P1(x1 ; y1) y P2(x2 ; y2) los extremos de un segmento dado: Sean M( x ; y ) punto medio del segmento P1 P2 Luego: x=

y=

x1 + x 2 2 y1 + y 2 2  x + x 2 y1 + y 2  M= 1 ;  2 2  

y y2

P2 M

y y1

P1 x1

66

x

x

x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcule las coordenadas del punto medio del segmento AB si A(–3 ; 4) y B(2 ; 8)

4) Calcule (x2 + y2) (9; y)

Rpta: ________

(x; 4) (–3; –2)

Rpta: ________

2) Calcule x + y; “Q” si es punto medio de AB A (2; 8)

5) Calcule:

Q (x; y) B (12; 2)

(x; 6)

2

2

2

2

x +y x -y

(2; 2) (–2; y)

Rpta: ________

3) Calcule las coordenadas del punto P

Rpta: ________ 6) Calcule las coordenadas del punto R. (–1; 4)

(–4; 3) (–2; –1)

R (x ; y)

(4; 2)

P (x; y)

Rpta: ________

(–3; –2)

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Calcule las coordenadas del punto medio del segmento MN si M(–1 ; 5) y N(–3 ; –5)

4) Determine: x2 + y2 (–5; 4) (–2; y)

Rpta: ________ (x; 2)

Rpta: ________ 2) Calcule x – y si “P” punto medio. (2; 5)

P (x; y)

5) Calcule:  x  y  

(x; 4) (4; 3) (1; y)

(–5; –3)

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Calcule las coordenadas del punto P. A (2; 8)

3) Calcule las coordenadas del punto Q. (–3; 8) (–1; 4)

P(x; y)

B(4; 0)

Q (x; y) (–4; –2)

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta: ________

67

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 10

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcule las coordenadas del punto medio del segmento AB; donde A(–2 ; 3) y B(4 ; 6) a) (1 ; 9/2) b) (1 ; 4) d) (1 ; 3)

1

Calcule el punto medio del segmento PQ donde P(–3 ; –2) y Q(–8 ; –6) a) (–8 ; –4) b) (–4 ; –1) d) (–4 ; –2)

c) (–1 ; –2) e) N. A.

Resolución:

c) (–8 ; –2) e) N. A.

Resolución:

Clave:

2

Determine las coordendas del punto medio: a) (5 ; 4) b) (–5 ; –4) c) (–5 ; 2) d) (5 ; –2) e) N. A.

(–6; 6) (x; y) (–4; –2)

Resolución:

2

Calcule: x + y si M es punto medio a) 4 b) 3 c) 5 d) 6 e) N. A.

(5; 6) M(x; y) (–3; 2)

Resolución:

Clave: 68

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcule x + y en el gráfico: x-y (–3; 6) a) –5/2 b) –5/3 c) –5 d) –3 e) N. A.

3

Calcule las coordenadas del punto A. a) (4 ; 3) b) (2 ; 3) c) (8 ; 0) d) (0 ; 8) e) N. A.

(x; 2) (2; y)

Resolución:

A (x; y) (3; 4) (6; 0)

Resolución:

Clave:

4

Clave:

Calcule las coordenadas del punto P. 1 1 a)  ; -  4 4 2  b)  ; -1  4   7 3 c)  ; -  4 4 3 7 d)  ; -  2 2

4

Determine x + y a) b) c) e) e)

(2; 5)

P (x; y)

15/2 13/2 11/2 27/2 N. A.

(4; 4)

(6; 2) (x; y)

(–2; –1)

(4; –2)

(–3; –4)

Resolución:

e) N. A. Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 69

Trigonometría - 2do Sec. 5

Determine x + y si: a) –12 b) –10 c) –8 d) –6 e) N. A.

5

(–2; 8)

Calcule x2 + y2 si: a) 4 b) 9 c) 16 d) 25 e) N. A.

(0; –2) (x; y)

(4; 8) (2; y) (x ; –2)

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Calcule x – y si: a) (–5/4 ; 3/2) b) (–5/2 ; 1/2) c) (5/2 ; –1/2) d) (5/4 ; –3/2) e) N. A.

Clave:

(4; 4)

(–6; 2)

6

Determine las coordenadas del punto P(x ; y) a) (1/2 ; –1) b) (–1/4 ; –1) c) (–1/2 ; –1) d) (1/2 ; 1) e) N. A.

(x; y)

(–5; –1) (2; 1)

Resolución:

Resolución:

Clave: 70

(6; 4) (–5; 0)

P (x; y) (–6; –2) (4; –6)

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcule:  1  x+y  

7 (x ; 6)

a) –1/2 b) 2/5 c) –1/3 d) –3/2 e) N. A.

Calcule x + y si: 2 a) 8 b) 6 c) 7 d) 4 e) N. A.

(2; 3) (6; y)

Resolución:

(0; y) (4; 2) (x; –2)

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Determine las coordenadas del punto A. a) 2 ; 3 b) -2 ; -3 c) 1/2 ; 2 d) 1 ; 2 e) -7/4 ; 1/4

8

(–4; 4)

A (x; y)

(0; 0)

Calcule las coordenadas del punto P. (2; 6)

a) -2 ; 5 b) 1/2 ; 5 c) 3 ; 2 d) -1/2 ; 5/2 e) 1/2 ; 2/5

P

(–3; –1)

(–3; –3)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

71

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Raz. Trigonométricas de Un Ángulo en Posición Normal I

11

OBJETIVOS:  Determinar cuando un ángulo se encuentra en posición normal.  Definir el Radio Vector.  Definir las razones trigonométricas de ángulos en posición normal: seno, coseno, tangente.

Anteriormente habíamos definido las razones trigonométricas de ángulos agudos en un triángulo rectángulo; ahora podemos extender las razones trigonométricas para ángulos de cualquier magnitud y sentido.

RADIO VECTOR: Es la distancia entre el orígen del plano cartesiano a un punto cualquiera en este plano. y

Ángulo en Posición Normal

P(x; y)

Un ángulo “a” cualquiera se encuentra en posición normal si su vértice está en el orígen de coordenadas y su lado inicial coincide con el eje “x” positivo, el lado final puede estar ubicado en cualquiera de los cuatro cuadrantes en cuyo caso; se dice que “a” se encuentra en tal cuadrante. • Los ángulos: a y b están en posición normal.

y

lado final

α b

Razones trigonométricas de un ángulo en Posición normal: Dado un ángulo “a” en posición normal y sea P(x ; y) un punto cualquiera sobre su lado final de éste ángulo; y definido su radio vector se tiene: y

r = x2 + y2

y q α

y r x Cos a = r y Tan a = x

Sen a =

b f

72

lado inicial

x

0

• Los ángulos: q y f no están en posición normal

x

0

2 2 r= x +y ; r>0 OP : radio vector :

x

P(x; y) r

α 0

x

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcule el radio vector del punto A(2 ; 3)

y

4) Determine Senq

q x

Rpta: ________ 2) Determine x.

y

Rpta: ________

(–2; –1)

x

y

5) Determine cosq

r=5 (x; –3)

r=3

Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Determine “y”

x

q

(m; –2)

y x

r= 10

6) Determine “m” si: tgq = -3

y (–2; 4)

(2; y)

Rpta: ________

x

q

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Calcule el radio vector del punto P(–3 ; 1)

y

4) Determine senb

Rpta: ________ 2) Determine “x”

x

b

y

r= 13 (2; –1)

Rpta: ________

(x; 2)

r= 5

y

5) Calcule cosb x

x

b r=5

Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Calcule y:

(m; – 3)

y (–1; y)

y

6) Determine; “m” si: tga = 1/2

3

α

x

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Rpta: ________

x

(–4; m)

73

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 11

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcule Senf a) 2 2/3 b) 2 /2 c) 2 2 /6 d) 2 /3 e) N. A.

1

y

a) -7/5 b) 1/5 c) -1/5 d) 7/5 e) 4

(–1; y)

r=3

Calcule: A = Sena + Cosa

f x

Resolución:

α x

r=5 (x; –3)

Resolución:

Clave:

2

Determine: Cosa a) 1/5 b) 2/5 c) 4/5 d) 3/5 e) N. A.

2 α x

(4; –3)

Resolución:

Calcule: “x” a) - 13 b) 1 c) –1 d) 13 e) N. A.

y x

r=4 (x; – 3)

Resolución:

Clave: 74

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

y

Determine “y”

3

a) 4 b) –2 c) 1 d) –1 e) N. A.

Calcule Tgb a) –2 b) 2 c) 1 d) –3 e) N. A.

x

r= 13 (2; y)

y (x; 2) r= 8

x

b

Resolución:

Resolución:

Clave:

4

Clave:

Determine: E = 4Cosa – Sena

4

y

a) –8/5 b) 1/5 c) 3/5 d) –2/5 e) N. A.

x

α

Calcule S = Tga + Ctga a) –130/60 b) –119/60 c) –169/12 d) –169/60 e) N. A.

y

(–12; y)

r=13 x

α

(–3; –4)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 75

Trigonometría - 2do Sec. 5 Determine “m” a) – 3 b) – 9/2 c) 9/2 d) – 1/3 e) N. A.

5

1 Tg α = 3

Calcule Sena si: y

y

a) –1/10 b) 10 / 10 c) – 10 d) – 10 /10 e) N. A.

x

α

(2m; – 3)

x

α

(3; –1 )

Resolución:

Resolución:

Clave:

6 Determine tg si: a) – 15 / 4 b) – 15 c) 15 d) –1/4 e) N. A.

Clave:

6

y (–1; y)

r=4 x

f

Calcule: E = 2Sena. Cosa a) –24/25 b) 24/25 c) 12/5 d) 5/12 e) N. A.

y x

α r=5 (4; y)

Resolución: Resolución:

Clave: 76

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcule: M = Cos2q – Sen2q a) 3/5 b) –4/5 c) 2/5 d) –3/5 e) N. A.

Calcule: Senq y

a) - 3 / 3 b) - 3 /2 c) 2 /2 d) - 2 /2 e) N. A.

x

q

Resolución:

7

y

(–1; –2)

q x

r=6 (–3; m)

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Calcule: Cosb + Senq si:

8

y

a) –5 13 /13 b) – 13 /13 c) –5/13 d) –5 13 e) N. A.

b q

x

(–3; –2)

Determine: M = Tgq + Ctgq y

a) 3 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

x

q

r=25 (x; –7)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

77

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Raz. Trigonométricas de Ángulos en Posición Normal II Ángulos en Posición Normal

y

lado inicial

Razón Trigonométrica Cotangente

abscisa ordenada

=

x y

Razón Trigonométrica Secante:

sec a =

radio vector r = abscisa y

Razón Trigonométrica Cosecante:

csc a = radio vector = r ordenada y

Ejemplo: Determinar ctg θ, secθ, cscθ

78





x

r = x2 + y2: (Radio Vector)

ctg a =

r=5



a

lado final



Resolución:

a = ángulo en posición normal

P(x; y)

12

Personaje del tema

MAX BORN BORN, MAX (87). Físico alemán. Premio Nobel en 1854. Considerado como uno de los más grandes científicos de la anteguerra. nació el 11 de diciembre de 1882 en Breslau (Alemania). En 1912 definió con Théodor von Karman la teoría cuántica del calor específico, desarrollando una idea anteriormente expresada con Einstein. Profesor de Física en Guettingen en 1921. la subida al poder de los nazis de obligó al exilio. Fue profesor en la Universidades de cambridge y Bengalore (India).

En 1969 adquirió la nacionalidad británica. Regresó a Alemania en 1954, año en el que recibió el Premio Nobel por sus extraordinarios trabajos sobre la teoría de los “quanta”, y sus aportaciones más destacadas recaen sobre estudios de trayectorias de partículas nucleares y teoría de las estructuras cristalinas. Fallecido en Guettingen el 5 – I – 1970.

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Determinar ctgb:

y

4) Determinar ctgq: (5;12)

b

Rpta: ________

q

x

x

Rpta: ________

y

2) Determinar cscq:

y (–12;1)

5) Calcular csca:

(–15;8)

y (√3;2)

q

x

Rpta: ________ y

3) Determinar ctga:

α

Rpta: ________

y

6) Determinar cscq:

α

q

x

Rpta: ________

(4;–3)

Rpta: ________

x

x

(–8;–15)

Para Reforzar 1) Determinar secf:

y

y

4) Calcular secb: (4;3)

Rpta: ________

f

b

x

x

Rpta: ________

(–√2;– √3)

y

2) Determinar ctgf:

y

5) Calcular secw:

f

(–24;7)

x

w

Rpta: ________

3) Calcular secb:

(–√3;–2)

6) Determinar: E= ctgb . seca

y

y (–2; 3)

x

α

x

b

b

Rpta: ________

x

Rpta: ________

Rpta: ________

(–√2;–√3)

(–4;–5)

Formando líderes con una auténtica educación integral

79

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 12

Para el profesor: 1

Determinar senf a) –3/4 b) 4/3 (–3;4) c) –4/3 d) –5/3 e) 4/5

Para el alumno: 1

y

Determinar cosq a) 7/24 b) –7/24 c) 24/7 d) 25/7 e) –7/25

x f

y q

(–7;–24)

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Determinar ctgb a) 13/4 b) –4/13 c) –13/4 d) 4/13 e) N. A.

x

2

y b

Clave:

x

(13;–4)

Calcular sena a) 1 / 5 b) - 3 / 5 c) - 3 d) -1 / 5 e) 1

y

x

(–√2;–√3)

Resolución: Resolución:

Clave: 80

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Calcular Tgf a) –1/2 b) 1/2 c) 2 d) –2 e) 5

3

y (–2;1)

Determinar: secb a) -2 / 5 b) - 5 / 2 c) -1 / 2 d) 1 / 5 e) –2

x

Resolución:

y

x

(√5;–2)

Resolución:

Clave:

4

Determinar: ctg2a a) -2 / 3 b) 2 m / 3 c) 4/3 d) – 4/3 e) 3 / 2

Clave:

4

y

x

(2m;-√3m)

Determinar cscq a) - 13 / 3 b) 13 / 2 c) - 13 / 2 d) 2 / 3 e) -3 / 2

y

x

(–3;–2)

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 81

Trigonometría - 2do Sec. 5

Determinar ctgf a) -1/3 b) 3/2 c) -2/3 d) -1/2 e) 1/2

 1 1 - ;   3 2

5

y

Calcular cscb:

y

a) 2/3 b) -2 / 13 c) 13 / 3 d) - 13 / 3 e) 3/2

x

b

x

(–2;–3)

Resolución: Resolución:

Clave:

6

Calcular: H = tga . ctgb a) 12/7 b) 7/10 c) 10/7 d) - 7/10 e) 5/24

Clave:

6

y b

(–12;–5)

x (24;–7)

Calcular: M = seca . senq a) –7/25 b) 7/24 c) –3/4 d) 4/3 e) –5/6

(–3;4)

y q

x

α (–24;–7)

Resolución:

Resolución:

Clave: 82

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Evaluar: E=cscq. seca

7

y

a) 3 b) 1 / 3 c) - 6 d) 6 e) 3 / 2

y

a) -1/2 b) 5 c) - 5 d) 1/2 e) 2

(√3;1)

q

Calcular secq

x

(–√2;–1)

x

(–1;–1) 2

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Clave:

Calcular: E = sen2a + cos2b

8

y

a) 4/5 b) 5/4 c) –4/5 d) 1/2 e) 5/2

(–2;1)

(1;2)

α

x

Resolución:

Calcular: E=ctg2q+sec2a a) 13 b) 13/3 c) 12 d) 3 e) 3/13

y (–1;√3)

q

x

(√2;–1)

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

83

Trigonometría - 2do Sec.

Signos de Raz. Trigonom. de Ángulos en Posición Normal Signos de las Razones Trigonométricas El signo de una Razón Trigonométrica dependerá de la posición en el que se encuentre un ángulo (en posición normal) y de la razón trigonométrica que la afecta.

Capítulo

13

Podemos resumir los signos de las razones trigonométricas en el siguiente gráfico:

Plano Cartesiano:

Ejemplo: Determinar el signo de:

Podemos observar que las coordenadas de un punto en el plano cartesiano varían de signo en los diferentes cuadrantes; como las Razones Trigonométricas de un ángulo en Posición normal dependen de un punto del lado final de este ángulo; luego las razones trigonométricas también varían de signo en las diferentes cuadrantes.

a) sen 120º

b) tg 300º

c) sec 200º

Resolución:

a)

Seno:

b)



c)

84

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase y

1) Determinar el signo de sen a:

y

4) Calcular sen a:

x

α

5 r=

x

Rpta: ________

Rpta: ________

α

(–3;y)

y

2) Determinar el signo de cosb.

y

b x

5) Determinar el signo de ctg a: x

α

Rpta: ________

Rpta: ________ y

y

3) Determinar cos b:

(x;8)

r= 17

b

x

6) Determinar el signo de tg f:

f x

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar y

1) Determinar el signo de secb

y

4) Determinar secb b

x

x r=

Rpta: ________

Rpta: ________

(–12;y)

y

2) Determinar el signo de: E=sena. cosb

y

5) Calcular tgf b α

f

x

x

r= 25

Rpta: ________

Rpta: ________

(7;y)

y

y

6) Determinar el signo de: N = sena. tg3q

3) Determinar cscq q

Rpta: ________

b

13

q

x

r= 2

(1;y)

Formando líderes con una auténtica educación integral

α

x

Rpta: ________

85

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 13

Para el profesor: 1

y

Calcular tgb a) –4/3 b) –3/4 c) 4/3 d) 5/3 e) 3/5

Para el alumno: 1

y

Calcular tgf a) 2 / 5 b) 5 / 2 c) - 5 / 2 d) 9 / 5 e) 3/2

b x

5 r= (–3;y)

Resolución:

f

x r= 3

(2;y)

Resolución:

Clave:

2

Determinar el signo: a)  b) + ó – c) ± d) + e) –

M=

2

sec q.cos b ctgα y

q

α b

Clave:

x

Calcular el signo de: E = sena. cosb a) + b) ± c) – d)  e) + ó –

y α

(–1;–1)

Resolución:

x

b (1;–1)

Resolución:

Clave: 86

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 3

Determinar secb a) 9 / 2 2 b) 2 2 / 9 c) -3 / 2 2 d) –1/3 e) - 2

y

3

a) 2/3 b) –3/2 c) 3/2 d) 5 / 3 e) 3 / 5

x b

3 r=

Determinar secb

(x;–1)

Resolución:

(x;√5) y

r= 3 x b

Resolución:

Clave:

4

Determinar cosa a) 1/2 b) - 5 / 2 c) - 5 d) 5 /5 e) 2 / 5

y

Clave:

4

α

x

r= √5

(x;–2)

Resolución:

Calcular senb a) -2 3 b) - 3 / 2 c) 1 d) –1/2 e) –2

y

x

4 r=

b

(–2;y)

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 87

Trigonometría - 2do Sec. 5 Determinar ctgf

r=

y

5

5

f

Calcular seca a) –3 b) -

x

3 2 2

c) 2 2 d) 1 / 2 e) -2 2

y (x;1)

3 r=

a) 1/3 b) –3/4 c) 4/3 d) 5/3 e) –4/3

(–3;y)

x

α

Resolución: Resolución:

Clave:

6

Calcular: E=tga.secb y 5

Resolución:

6

(x;3) r=

a) –25/7 b) 7/24 c) 3/5 d) –96/35 e) –35/96

b x 25 r=

α

Determinar cosf a) b) c) d) e)

y

2 - 2/3 - 7 -3 / 7 3/ 2

f x

r=

3

(x; – √7)

(x;-7)

Resolución:

Clave: 88

Clave:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 7

Determinar el signo de: a) + b) ± c) + ó – d) – e) 

E=

7

t g α.sec b senq

a) + b)  c) + ó – d) – e) ±

y α

b

q

Determinar el signo de:

x

P= y

α

Resolución:

Clave: Determinar el signo de: P=tgb.secq a) + b) – c) + ó – d) ± e) 

x

b

Resolución:

8

tgb cos α

Clave:

8

y b x q

Determinar el signo de: R=ctga.cscb a) + b) – c) ± d) + ó – e) 

y

b α

x

Resolución:

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor

Formando líderes con una auténtica educación integral

89

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

14

Raz. Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Uno de los personajes más importantes en el estudio de los ángulos fue Tales de Mileto (624?a. C.-548 a.C.)

Si observas a tu alrededor seráz capaz de encontrar un gran número de ángulos, como por ejemplo el ángulo que forman las manecillas del reloj, el ángulo que forma una sombrilla con el suelo, el ángulo que forma la cuerda de una cometa, los ángulos que se forman cuando separas las páginas de un libro......

Se cuenta entre sus hazañas el haber conseguido medir la altura de las pirámides por medio de su sombra, estableciendo una relación con la nuestra cuando ésta es igual al cuerpo; esto es, tales esperó a que la sombra de una persona tuviera la misma longitud que su altura, y afirmó entonces que la longitud de la sombra de la pirámide habría de ser igual a la altura de ésta.

Un buen ejemplo de la utilidad de los ángulos es la brújula, que como sabes, sirve para orientarse. En navegación es de gran utilidad, pues el rumbo se establece mediante ángulos que se miden respecto de la dirección Norte.

ÁNGULOS CUADRANTALES Los ángulos cuadrantales con aquellos que están ubicados en los semi - ejes del plano cartesiano.

Los ángulos y las rectas están muy relacionados; tanto que dos rectas secantes determinan en el plano cuatro ángulos. Lado

90º

α

180º

Ángulo

Vértice

b 0º

180º

270º

Lado Sin embargo, dos rectas paralelas no determinan ningún 90º ángulo α=90º

180º

α

270º

90

90

α=90º

90º

27

b=180º

b 0º

180º

0º; 360º

270º

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 90º

180º

90º 3. Tg 90º

q=270º

0º; 360º

q

180º

f 180º

270º

90º

y Tg q = x 90º y=r (0; y) Tg 90º = r =N.D. 0 r 0º; 360º x=0 q

0º

270º 270º

90º

q=270º

f=360º

f=360º

Nota: 180º

0º; 360º

0º; 360º

f

Podríamos resumir las razones trigonométricas de algunos ángulos cuadrantales en la siguiente tabla.

270º

270º

ND: No definida (la división entre cero no está definida)

0º

90º

180º

270º

sen

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-1

0

1

tg

0

ND.

0

ND.

0

ctg

ND.

0

ND.

0

ND.

sec

1

ND.

-1

ND.

1

csc

ND.

1

ND.

-1

ND.

Nota: Los ángulos cuadrantes no necesariamente están en posición normal. Ejemplo: Calcular: 1. Sen 0º 90º

y Sen α = r Sen 0º= 0r =0

x=r

360º

Donde: ND: No definida.

r 180º

(x;0)

0º y=0

270º

2. Cos 180º 90º

180º

b

(-x;0)

-x=r x=-r

Cos b = xr Cos 180º= -r r =-1

0º r 270º

Formando líderes con una auténtica educación integral

91

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase 1) Calcular:

4) Calcular: E = sen0°+ cos360°

Q = 12cos 0º +4 sen 90º

Rpta: ________

Rpta: ________

2) Calcular:

5) Determinar: C = cos90° + cos360°

A = 3 2sen 270º +10 ⋅ sec ⋅ 360º

Rpta: ________

Rpta: ________

6) Determinar:

3) Calcular: N=

C = 5 20 ⋅ csc270º +12cos180º

3sen 270º +4cos 0º 6 cos180º + 2

Rpta: ________

Rpta: ________

Para Reforzar 1) Determinar: S = cos0° – sen180°

4) Determinar: P=

Rpta: ________

5 sen 90º + 2sen 270º – 2cos 0º

Rpta: ________

2) Determinar:

5) Determinar: B = (4sec180° + csc90°)(Cos180°)

M = tg0° – ctg270° Rpta: ________

Rpta: ________

3) Determinar: H = 5.tg0° + 3.cos180°

6) Calcular:

Rpta: ________



S = sen10x − sec20x Si: x = 9º Rpta: ________

92

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 14

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Calcular: E = tg360º + sen180º a) –1 b) 2 d) 0

1

c) –2 e) N. A.

Calcular: S = 2cos0º – 4tg180º a) –2 b) 6 d) 0

Resolución:

Resolución:

Clave:

2

Determinar: P = –3sec360º + 2csc270º a) 2 b) –5 d) 1

c) 2 e) N. A.

c) –1 e) N. A.

Clave:

2

Determinar: R = 4sec0º + 2csc270º a) 2 b) –2 d) –1

c) 6 e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 93

Trigonometría - 2do Sec. 3 Calcular:

3

Calcular: R = 2sen270º + 4tg180º

Q = 5tg0º +5sen90º +4 ⋅ cos0º

a) 1 b) 2 d) 2

c) 3 e) N. A.

a) 6 b) 0 d) –2 Resolución:

Resolución:

Clave:

4 Determinar: c) 4 e) N. A.

Resolución:

Determinar: E = –3csc270º + 10tg180º a) –3 b) 3 d) 13

c) 7 e) N. A.

Resolución:

Clave: 94

Clave:

4

S = 3sec0º +9cos360º +4sen90º

a) 3 b) 3 d) 2

c) 4 e) N. A.

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Calcular:

F=

7sec360º +3sec0º 2cos0º +4sen90º

a) 0 b) –2/3 d) 5/3

5

Calcular: P = (2tg180º+3csc90º)2 a) 9 b) −1 d) 1

c) 1/4 e) N. A.

Resolución:

Resolución:

Clave:

6

Determinar: K = 4.tg180º . ctg270º – 5cos360º . tg0º a) 1 b) 5 d) 0

c) 5 e) N. A.

c) 9 e) N. A.

Resolución:

Clave:

6

Calcular: P = 10cos0º + sec180º

a) 8 b) 9 d) 2

c) 3 e) N. A.

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 95

Trigonometría - 2do Sec. 7

Determinar: R=(sen180º+3cos360º)2tg45° a) 6 b) 9 d) 3

7

c) 2 e) N. A.

Calcular: M = 3 4sec0º +4csc270º

a) –1 b) –2 d) 2 Resolución:

Resolución:

Clave:

8 Determinar:

c) 0 e) N. A.

6tg360º +4cos360º N= ctg45º + tg180º

a) 5 b) 2 d) 6

c) 4 e) N. A.

Resolución:

Clave:

8

Determinar:

M=

sen270º +cos90º –5tg360º sen90º +5cos180º

a) 1 b) 2 d) 1/4

c) 4 e) 1/2

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 96

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Reducción al Primer Cuadrante I

15

(Aplicaciones Gráficas)

LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Las primeras referencias a Matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio a.C. en Babilonia y Egipto.

Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90°; es determinar el valor equivalente de su razón trigonométrica de un ángulo en el primer cuadrante.

En Geometría, los egipcios encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y en particular, pirámides.

Signos de las razones trigonométricas

y

Entre los matemáticos, destacaron:

Sen Csc

Tales de Mileto Nació alrededor del año 624 a.C. en Mileto (hoy Turquía). Murió alrededor del año 548 a.C. en Mileto. Tales fue un personaje de enorme prestigio en su época. Fue uno de los siete sabios de Grecia. Se considera que Tales conoció estos cinco teoremas, aunque se duda que los demostrase formalmente: - - - - -

Cualquier diámetro divide en dos partes iguales a una circunferencia. Dos de los ángulos de un triángulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos en la intersección de dos recetas son iguales. Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y un lado igual. Dada una semicircunferencia y un punto cualquiera en ella, si unimos este punto con los puntos de los extremos de la circunferencia, el ángulo formado es de 90°.

Pitágoras

Nació alrededor del año 580 en la isla de Samos (hoy Grecia) y murió en el año 500 en Metaponto (hoy Italia). Fue alumno de Tales de Mileto y por consejo de éste fue a Egipto, donde vivió durante 20 años. Cuando los persas invadieron Egipto, fue hecho prisionero y enviado a Babilonia. Cuando retornó a Samos 40 años después, fundó una sociedad religiosa y filosófica, la Escuela Pitagórica, que tuvo muchos adeptos.

+

Todas +

x Tg Ctg

+

Cos Sec

+

Razones trigonométricas equivalentes para ángulos positivos: R.T. (180°+a)=(SIGNO).RT(a) R.T. (360°-a)=(SIGNO).RT(a) R.T. (90°+a)=(SIGNO).Co–RT(a) R.T. (270°+a)=(SIGNO).Co–RT(a)

RT

CO-RT

sen cos cos sen tg ctg ctg tg sec csc csc sec Donde a: Ángulo que ∈ al 1er cuadrante

(SIGNO) Depende del cuadrante al cual pertenece la R.T. del ángulo a reducir

Formando líderes con una auténtica educación integral

97

Trigonometría - 2do Sec.

Resolviendo en clase y

1) Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: sena; cosb; tgq

y

4) Calcular el equivalente de cscq si: b α

q

x

x q

220º

Rpta: ________

Rpta: ________ y

2) Calcular el equivalente de cosb si:

y

5) Determinar el equivalente de secq si:

150º

q

x

50º

x

b

Rpta: ________

Rpta: ________ y

y

3) Determinar el equivalente de tga si:

x

α

200º

Rpta: ________

6) Calcular el equivalente de ctgb si:

130º

x

b

Rpta: ________

Para Reforzar y

1) Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: ctga; secf; cscb.

y

4) Calcular el equivalente de secb si:

120º

α f

b

x

Rpta: ________

x

b

Rpta: ________ y

y

2) Calcular el equivalente de senq si:

5) Determinar el equivalente de csca si:

40º

α

60º

x

x q

Rpta: ________

Rpta: ________ y

y

3) Determinar el equivalente de ctga si:

x

6) Calcular el equivalente de senb si: b

α

Rpta: ________

98

300º

140º

x

Rpta: ________

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. PROBLEMAS PARA CLASE N° 15

Para el profesor: 1

Para el alumno:

Determinar el equivalente de Cosb si: a) –sen 20° b) sen 20° c) cos 20° d) –cos 20° e) N. A.

1

a) sen 20° b) sen 70° c) sen 10° d) cos 10° e) N. A.

y 110º

b

Determinar el equivalente de sena si:

x

Resolución:

y

70º

x

α

Resolución:

Clave:

2

Calcular el equivalente de Tgf si: a) –tg 10° b) tg 10° c) ctg 10° d) – ctg 10° e) N. A.

2

y

190º

f

Clave:

x

Resolución:

Calcular el equivalente de Ctga si: a) tg 10° b) ctg 10° c) – ctg 10° d) – tg 10° e) N. A.

y

10º

α x

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 99

Trigonometría - 2do Sec. 3 Calcular el equivalente de Senq si: a) – sen 30° b) sen 30° c) cos 30° d) – cCos 30° e) N. A.

3

a) csc 20° b) – csc 20° c) sec 20° d) – sec 20° e) N. A.

y

120º

q

Determinar el equivalente de Cscb si:

x

Resolución:

y b

20º

x

Resolución:

Clave:

4 Calcular el equivalente de cosa si: a) sen 40° b) cos 50° c) – sen 40° d) sen 50° e) N. A.

Clave:

4

y

α x

Determinar el equivalente de Ctgq si: a) – tg 30° b) – tg 60° c) tg 30° d) tg 60° e) N. A.

y 30º

x q

Resolución:

40º

Resolución:

Clave: 100

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec. 5

Determinar el equivalente de Secb si: a) csc 50° b) – sec 50° c) sec 50° d) csc 40° e) N. A.

5

a) sec 30° b) – sec 30° c) – csc 30° d) – csc 60° e) N. A.

y 50º

b

Determinar el equivalente de Secq si:

x

Resolución:

y 30º

q x

Resolución:

Clave:

6

Calcular el equivalente de Cscq si: a) – csc 20° b) – csc 40° c) sec 40° d) – sec 40° e) N. A.

6

y

220º

q

Clave:

x

Determinar el equivalente de Cosq si: a) – cos 40° b) –sen 40 c) – sen 40° d) – cos 50° e) N. A.

y 40º

q

x

Resolución:

Resolución:

Clave:

Formando líderes con una auténtica educación integral

Clave: 101

Trigonometría - 2do Sec. 7

Calcular el equivalente de Tga si: a) – tg 40° b) – ctg 50° c) – tg 50° d) tg 50° e) N. A.

7

y

x

50º

Determinar el equivalente de Secb si: a) csc 30° b) – sec 60° c) – csc 30° d) – csc 60° e) N. A.

α

y

b x 300º

Resolución:

Resolución:

Clave:

8

Determinar el equivalente de Senb si: a) sen 30° b) cos 60° c) – cos 30° d) – cos 60° e) N. A.

Clave:

8 Determinar el equivalente de cosb si:

y

30º

x

a) Cos 30° b) Cos 60° c) – Cos 30° d) – Cos 60° e) Sen 30°

b

Resolución:

y

30º

x b

Resolución:

Clave:

Clave:

NOTA Sello y Firma del Profesor 102

Formando líderes con una auténtica educación integral

Trigonometría - 2do Sec.

Capítulo

Reducción al Primer Cuadrante II

16

(Aplicaciones Numéricas)

CASOS DE REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE



1. R.T. equivalentes para ángulos positivos mayores que 360°



RT(180º ±α ) RT(360º –α ) RT(90º +α ) RT(270º ±α )

= (SIGNO) ⋅ RT(α ) = (SIGNO) ⋅ Co – RT(α )

Nota: Donde (SIGNO); depende del signo que tiene la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir. 2. R.T. para ángulos positivos mayores de una vuelta

RT (360°n+a)=RT(2p.n+a)=RT(a)



donde:

c) Si: –360°