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• Erick Diego

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22.

Impulso

CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTUM La cantidad de movimiento o momento lineal es una magnitud vectorial que se calcula como producto de la masa y la velocidad de un cuerpo.

V

P V

m

m = masa del cuerpo (kg) V = velocidad del cuerpo (m/s) P = cantidad de movimiento (kg.m/s) IMPULSO O IMPETU Es una magnitud vectorial que se calcula como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo que ella actúa, su dirección coincide con el de la fuerza y nos indica el grado de efectividad que posee una fuerza para cambiar la velocidad al cuerpo sobre el cual actúa.

F

I  F. t F = fuerza promedio que actúa sobre el cuerpo (N) t = tiempo de contacto (S) I = impulso (N.s)

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Al patear un balón, un futbolista aplica una fuerza de 200 N, encuentre el impulso sobre la pelota considerando que el contacto entre el pie y el balón duro 0.3 s. 𝐼 = 𝐹. 𝑡 𝐼 = (200 𝑁)(0.3𝑠) 𝐼 = 60 𝑁. 𝑠 2. Un avión de papel de 80 g, después de ser impulsado durante 2 segundos, desde el reposo, adquiere una velocidad de 80 m/s, ¿Cuál es el impulso? 𝑚 = 80 𝑔 = 0.08 𝑘𝑔

∆𝑣 (80 − 0) 𝑚/𝑠 = = 40 𝑚/𝑠 2 𝑡 2𝑠 𝐹 = 𝑚. 𝑎 = (0.08 𝑘𝑔)(40) = 3.2 𝑁

𝑎=

𝐼 = 𝐹. 𝑡 = (3.2 𝑁)(2 𝑠) 𝐼 = 6.4 𝑁. 𝑠

PRÁCTICA DE CLASES 1. Al patear un balón, un futbolista aplica una fuerza de 120 N, encuentre el impulso sobre la pelota considerando que el contacto entre el pie y el balón duro 0.3 s. a) 33 N.s b) 34 c) 35 d) 36 e) 37 2. Una máquina ejerce una fuerza, un dispositivo registra los valores de la magnitud de la fuerza de interacción en función del tiempo tal como se muestra en la gráfica. Calcule la magnitud del impulso intercambiado (en N.s) en el intervalo de [0-6] s a) b) c) d) e)

60 N.s 160 80 40 20

3. Al despegue de un cohete, el propulsor le proporciona un impulso de 2400 N.s, en un tiempo de 15 segundos. ¿Qué fuerza ejerce el propulsor? a) 1600 N.s b) 600 c) 180 d) 160 e) 250 4. Al chocar un cuerpo con otro, un dispositivo registra los valores de la magnitud de la fuerza de interacción en función del tiempo tal como se muestra en la gráfica. Calcule la magnitud del impulso intercambiado (en N.s) en el intervalo de [0-8] s f) g) h) i) j)

44 0.22 4.4 46 20

60

F(N)

40 20 t(ms) 0

2

4

6

8

5. Una bola de billar de 300 g se halla en reposo sobre la mesa, halle su velocidad de salida cuando recibe un golpe de 80 N que dura 0.06 s. a) 16m/s b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 6. Messi realiza un tiro libre. Las cámaras registran que al patear el balón, el impacto dura 0.005 segundos. Si la pierna tiene una fuerza de 150 N, ¿Cuál fue el impulso otorgado al balón?

a) 0.6 N.s d) 0.5

b) 0.45 e) 7.5

c) 0.75

7. Un misil choca contra un tanque. La explosión dura 2 décimas de segundo, pero el tanque de 200 kg es acelerado a 3 m/s2, ¿Cuál fue el impulso de la explosión? a) 800 N.s d) 130

b) 170 e) 120

c) 600

8. Un torpedo de 40kg acelera a razón de 4 m/s2, ¿Qué impulso recibe en los 5 primeros segundos? 9. Un avión de papel de 40 g, después de ser impulsado desde el reposo, durante 4 segundos, adquiere una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es el impulso? 10. Una bala recibe un impulso de 800 N.s en un tiempo de 0.04 s, ¿Qué fuerza le proporcionó el arma? 11. Un detective determinó que una piedra de 25 g aceleraba a 400 m/s2, e impactó en la pared con un impulso de 40 N.s, ¿Durante cuánto tiempo fue impulsada? 12. Ronaldo recibe un balón, y le proporciona un impulso de 4 N, en un lapso de 0.02 segundos. ¿Con qué fuerza pateó? 13. Un torpedo choca contra un submarino. La explosión dura 5 centésimas de segundo, y el submarino de 800 kg es acelerado a 6 m/s2, ¿Cuál fue el impulso de la explosión? a) 2400 N.s d) 6000 14.

b) 300 e) 240

c) 600

TAREA DOMICILIARIA

23.

Cantidad de movimiento RESUMEN TEÓRICO

TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso que ejerce la fuerza resultante sobre un cuerpo durante un cierto intervalo de tiempo, se invierte en cambiarle su cantidad de movimiento.

I  P  Pf  Pi LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO Consideremos el choque frontal de dos esferas de masas m1 y m2 . Denotamos sus velocidades u1 y u2 antes del impacto y v1 y v 2 después del impacto.

La cantidad total de movimiento de los cuerpos antes del choque es igual a la cantidad total de movimiento después del choque.

P0  Pf m1u1  m2 u2  m1 v1  m2 v 2 Para que se cumpla la conservación de cantidad de movimiento la suma de fuerzas externas debe ser 0; entonces para ello no se debe considerar la FUERZA DE ROZAMIENTO. COEFICIENTE DE RESTITUCION Es un factor adimensional que nos define la relación entre la velocidad relativa de alejamiento después del choque y la velocidad relativa de acercamiento antes del choque. Vel. Rel. Alejamiento D.CH e Vel. Rel. Acercamiento A.CH Ejemplo: Antes del choque: (V1 > V2)

V1

V2

U1

U2

Después del choque: (U2 > U1)

Entonces:

e

U2  U1 V1  V2

Si e=1 entonces el choque es Elástico Si 1>e>0 entonces el choque es Inelástico Si e=0 entonces el choque es Plástico

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Una bala de 0.4 kg se dispara con una velocidad de 100 m/s. halle la cantidad de movimiento (o momentum) de la bala. 𝑝 = 𝑚𝑣 𝑝 = (0.4 𝑘𝑔)(100 𝑚/𝑠) 𝑚 𝑝 = 40 𝑘𝑔 𝑠 𝑝 = 40 𝑁. 𝑠 2. Una pelota de tenis de 60 g de masa tiene una velocidad de 30 m/s. Al ser golpeada por Nadal con la raqueta, rebota en sentido contrario, con una velocidad de 30 m/s. a) Hallar el impulso: 𝑚 = 60 𝑔 = 0.06 𝑘𝑔

Falta imagen

𝑝𝑜 = 𝑚𝑣𝑜 = (0.06)(−30) = 1.8 𝑁. 𝑠 𝑝𝑓 = 𝑚𝑣𝑣 = (0.06)(−30) = −1.8 𝑁. 𝑠 𝐼 = ∆𝑝 = (−1.8) − 1.8 = −3.6 𝑁. 𝑠 b) Si la pelota permanece en contacto con la raqueta 0.005 segundos, ¿Cuál es el módulo de la fuerza media del golpe? 𝐼 = 𝐹. 𝑡 3.6 = 𝐹(0.005) 3.6 𝐹= = 720 𝑁 0.005

PRÁCTICA DE CLASES 15. Una bala de 0.2 kg se dispara con una velocidad de 200 m/s. halle la cantidad de movimiento o el momentum de la bala. a) 40 kg.m/s d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

16. Calcule el impulso (en N.s) debido a la fuerza F que actúa sobre el bloque de masa igual a 1 Kg, que inicialmente está en reposos, hasta el instante en que el bloque alcanza la rapidez de 20 m/s. a) 5 i b) 10 c) 20 d) 25

Liso

F x

17. Para el siguiente conjunto de cuerpos, determinar que momentum tiene la bola 1 después del choque.

P1=8

P1f=?

P2=12

1

2

1

Antes

a) 10 d) 14

P2f=6 2

Después

b) 6 e) 12

c)8

18. Determinar si después del choque, se conserva la cantidad de movimiento total del sistema. Se sabe que m1 = m2 V1=8m/s

V2=5m/s V1f=5m/s

Antes

a) b) c) d)

V2P=8m/s

Después

Si No No se puede saber Falta información

19. La cantidad de movimiento también es llamada: a) Impulso b) Ímpetu c) Energía d) Momentum e) Tiempo 20. La velocidad de un objeto y su respectivo momentum tienen: a) La misma dirección b) Direcciones opuestas c) Direcciones perpendiculares d) No tienen direcciones e) N.A 21. Determine la cantidad de movimiento de una pelota de 0.5 kg que se mueve con una rapidez de 20 m/s. a) 5 kg. m/s b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 22. Una esfera de 2 Kg es soltada en el punto A y cae libremente, si luego del choque llega justamente hasta(A), determine el impulso neto (en N.s) sobre la esfera durante el intervalo de tiempo que dura el choque. a) 10 j

A

5m

b) c) d) e)

20 40 60 80

23. Un cochecito a cuerda de 200 g se traslada a 2 m/s, ¿Qué fuerza es necesaria para detenerlo en 0.4 s? a) 0.25 N b) 0.50 c) 0.75 d) 1.00 e) 1.25

24. Una pelota de golf de 60 g es lanzado desde el reposo hasta una velocidad de 50m/s debido al impacto de un palo, tal impacto duro solo 0.02 s, calcule la fuerza ejercida por el palo. a) 50 N b) 100 c) 150 d) 200 e) 250

25. Una pelota de tenis de 0.2 kg llega a la raqueta con una velocidad de 20 m/s y después de golpeada retorna en dirección opuesta con una velocidad de 30 m/s, calcule el impulso que se le fue comunicado. a) 5 N.s b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 26. Encuentre la velocidad de retroceso de un rifle de 5kg cuando dispara una bala de 100 g con una velocidad de 300 m/s. a) 3 m/s b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 27. Suponiendo que los cuerpos forman un sistema, la cantidad de movimiento total del sistema será: CORREGIR A

6m/s

2m/s

B

4kg

3kg

a) 82 kg.m/s d)-17

24. 25.

8m/s

C

7kg b) 40 e) cero

c)-30

Hidrostática I Hidrostática II

RESUMEN TEÓRICO El término Hidrostática se refiere al estudio de los fluidos en reposo. un fluido es una sustancia que puede escurrir fácilmente y que puede cambiar de forma debido a la acción de pequeñas fuerzas. Por lo tanto, el término fluido incluye a los líquidos y los gases. Para el estudio de la Hidrostática es indispensable el conocimiento de dos cantidades: La Presión, la Densidad y el Peso específico. Así pues, iniciaremos este capítulo con el análisis de ambos conceptos. DENSIDAD O MASA ESPECÍFICA: Denominados así a aquella magnitud física de tipo escalar, que nos indica la masa de un cuerpo contenida en cada unidad de volumen. Su valor por tanto es propio de cada sustancia y se obtiene por medio de:



= m = (masa) V (volumen)

Unidades en el S.I: () = kg/m3 PESO ESPECÍFICO (): Designamos con este nombre a aquella magnitud física escalar que nos indica el peso de un cuerpo en cada unidad de volumen. Su valor es propio para cada sustancia y se obtiene de:  =

(𝑝𝑒𝑠𝑜) (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛)

Unidades en el S.I: () = N/m3 También:  =.g Donde:   densidad : kg/m3 g aceleración de la gravedad: m/s2 NOTA: Por la definición de densidad  = m/v, observamos que la unidad de la densidad debe ser la relación entre la unidad de masa y una unidad de volumen. Por lo tanto, en el S.I. la unidad de  será 1 kg/m3. En la práctica es muy común el uso de otra unidad: 1 g/cm3. Es muy fácil demostrar que:

1 g/cm3 = 103 kg/m3 PRESIÓN: Consideremos un objeto cuyo peso vamos a designar por F , apoyado sobre una superficie plana, como muestra la figura (a). Sea “A” el área sobre la cual se apoya. Observemos que la comprensión que el objeto ejerce sobre la superficie debido a su peso, está distribuida en toda el área “A”, y la fuerza F que produce la comprensión es perpendicular a la superficie. Se define, entonces, la presión producida por una fuerza F , perpendicular a una superficie y distribuida sobre su área, de la siguiente manera: Figura (a):

A

Corregir

La presión de una fuerza “F” sobre un área “A” está dado por P = F/A La presión “P” ejercida por la fuerza F sobre el área “A” es la relación entre la magnitud de F y el valor del área “A”, es decir: P = F/A

UNIDADES: FUERZA N (Newton)

ÁREA m2

PRESIÓN N/m2 (Pascal)

PRÁCTICA DE CLASES 1. Un bloque de 26 kg ocupa un volumen de 5 m3. Calcule la densidad de dicho bloque? a) 4,2 kg/m3 d) 2,6

b) 5,2 e) 26

c) 6,3

2. Un cuerpo que ocupa 20 cm3 posee una masa igual a 210 gramos. ¿Calcular la densidad del cuerpo? Dar como respuesta el material del cual esta hecho el cuerpo. a) mercurio d) cobre

b) oro e) plata

c) agua

3. Un bloque de plomo (Pplomo = 11,3 g/cm3) ocupa un volumen de 4 cm3. Calcular la masa de dicho bloque. a) 45,2 g d) 30

b) 40,3 e) 30,6

c) 22,6

4. Calcular el peso específico del aire (Paire = 0,0013 g/cm3) (g = 10 m/s2) a) 13 N/m3 d) 12

b) 26 e) 39

c) 10

5. Calcular el peso específico del agua. (g =10 m/s2) a) 103 N/m3 d) 105

b) 102 e) 106

c) 104

6. Calcular la densidad en g/cm3 de un cuerpo cuya masa es 471 kg y ocupa 3m3. a) 0,471 d) 0,157

b) 0,216 e) 1,3

c) 2,16

7. Calcular el peso específico de un objeto de 4 kg y 5 m3 (g = 10 m/s2) a) 6 N/m3 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 8. Sobre una superficie de 4m2 se aplica una fuerza distribuida cuya resultante es de 600 N. ¿Qué presión media se ejerce sobre dicha superficie? a) 100 Pa d) 200

b) 130 e) 250

c) 150

9. Un bloque de 360 N de las dimensiones indicadas se ha colocado en las posiciones (1) y (2). Determina la presión que el ejerce sobre el piso en la posición (1) 4m 10m 10m

3m (1) 4m

a) 1 Pa d) 8

b) 2 e) 9

c) 7

10. Del problema anterior, averiguar la presión que ejerce el bloque en la posición (2) a) 10 Pa d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

11. Calcular la presión que produce 120 N sobre un área de 4 m2. a) 10 Pa d) 40

b) 20 e) 50

c) 30

12. Sobre una superficie de 5m2 se aplica una fuerza distribuida cuya resultante es 650 N ¿Qué presión se ejerce sobre dicha superficie? a) 130 Pa d) 100

b) 120 e) 80

c) 110

13. Calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es 8,9g/cm3 y ocupa un volumen de 100 cm3. a) 89 g d) 1000

b) 98 e) 1000

c) 890

14. Calcular el peso específico de una sustancia cuya masa de 40 kg ocupa 5 m3. (g = 10 m/s2) a) 10 N/m3 d) 80

b) 30 e) 100

c) 50

CUADROS DE CLAVES 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

TAREA DOMICILIARIA 1. Un objeto de 76 kg. ocupa un volumen de 5 m3. Calcular la densidad de dicho objeto. a) 76 kg/m3 d) 8,3

b) 15,2 e) 3,8

c) 7,6

2. Un cuerpo que ocupa 20 cm3 tiene 386 g. ¿De qué material esta hecho dicho cuerpo? a) oro b) plata c) aluminio d) plomo e) platino 3. Calcular la masa de un bloque de hierro (p = 7,6 g/cm3) que ocupa 7 cm3. a) 43,4 g d) 27,2

b) 53,2 e) 56,8

c) 40,6

4. Calcular el peso específico de la gasolina. (p = 0,70 g/cm3) g = 10 m/s2. a) 7000 N/m3 d) 8000

b) 6000 e) 6500

c) 3000

5. Calcular el peso específico del mercurio pHg = 13,6 g/cm3; g = 10 m/s2. a) 1,36 x 103N/m2 b) 1,36 x 105 c) 1,36x104 d) 4,7 x 106 e) 2,35 x 104 6. Calcular la densidad en kg/m3 de un objeto que ocupa 5 cm3 y tiene 41,3 g. a) 8,26 x 103 kg/m3 b) 3,41 x 105 c) 7,3 x 102 d) 4,71 x 105

e) 8,26 x 106 7. Calcular el peso específico de un objeto de 16 kg y ocupa 5 m3. (g = 10 m/s2). a) 16 N/m3 d) 30

b) 21 e) 32

c) 27

8. De la figura el peso del líquido es 100 N. Calcular la presión que ejerce sobre el recipiente. a) b) c) d) e)

25 N/m2 100 20 30 24

Líquido “x” A = 4m2

9. Un bloque de 720N de las dimensiones indicadas se ha colocado en la posición mostrada determinar la presión que el ejerce sobre el piso. 2m a) 70 Pa b) 60 c) 80 d) 90 e) 100 3m 4m 10. Un bloque de 400 N de las dimensiones indicadas. Se ha colocado en la posición mostrada. Determinar la presión que el ejerce sobre el piso. a) b) c) d) e)

1 Pa 2 3 4 5

5

40m

11. Calcular la presión que produce 300 N sobre un área de 15 m2. a) 10 Pa d) 30

b) 20 e) 35

c) 25

12. Calcular la fuerza que produce una presión de 20 Pa sobre un área de 3m2.

a) 60 N d) 30

b) 50 e) 20

c) 40

13. Calcular la masa de un cuerpo cuya densidad es 7,3 g/cm3 y ocupa un volumen de 10 cm3. a) 7,3 g d) 143

b) 73 e) 14,3

c) 730

14. Calcular el peso específico de una sustancia cuya masa de 13 kg ocupa 5 m3. a) 2,6 N/m3 d) 1,3

b) 26 e) 130

c) 13

CUADROS DE CLAVES 1.

2.

26. 27. 28.

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5.

Hidrodinámica Termometría Dilatación Térmica RESUMEN TEÓRICO

Temperatura La cantidad que nos dice que tan caliente o que tan frio esta un objeto es la temperatura, esta temperatura está asociada con el movimiento de las moléculas que componen el objeto. La temperatura mide el grado de agitación molecular promedio que en su interior tiene un objeto, es decir, mide la energía cinética promedio de traslación de sus moléculas.

Termómetro: dispositivo que se emplea para medir la temperatura, inventado en 1592 y en cuyo interior se usaba aire. En los últimos tiempos se usaba el termómetro de mercurio, pero actualmente está siendo reemplazado por el termómetro digital.

ESCALAS TERMOMÉTRICAS ESCALA CELSIUS.- Unidad: 1°C (grado Celsius) y es 1/100 de la altura de variación entre el punto de fusión y ebullición del agua. TFusión = 0°C

TEbullición = 100°C

ESCALA FAHRENHEIT.- Unidad : 1°C (grado Fahrenheit) y es 1/180 de la altura de variación entre el punto de congelación y ebullición de sales de amoníaco. TFusión = 0°F

TEbullición = 180°F

TFusión = 32°F Agua

TEbullición = 212°F Agua

En equivalencia:

ESCALA KELVIN. - Unidad: 1K (grado Kelvin) y es la variación de temperatura que hace variar cualquier volumen de un gas ideal en 1/273 ava parte del volumen inicial. (aumentando o disminuyendo). Sist. Sin movimiento = 0 K (cero absoluto) Térmico alguno En variación: Equivalencia: 1 K = 1°C 0° C = 273 K

100°C = 373 K

ESCALA RANKINE. - Unidad: 1 R (grado Rankine) y es la variación de temperatura que hace variar cualquier volumen de un gas ideal en 1/460 ava parte del volumen inicial (aumentando o disminuyendo) Sist. Sin movimiento = 0 R (cero absoluto) Para las escalas: 373º

100º

212º

672º -Punto de Ebullición del agua

273º

0º

32º 0º

492º -Punto de fusión 460º hielo

y de Teorema de Thales: C0 F  32 K  273 R  492    100  0 212  32 373  273 672  492 C F  32 K  273 R  492    100 180 100 180

C F  32 K  273 R  492    5 9 5 9

Teniéndose los siguientes casos particulares: C  K:

K = C + 273

FR:

R = F + 460

DILATACIÓN LÍNEAL Si calentamos una varilla o alambre como el de la figura, comprobaremos que sufre una dilatación (∆L), cuyo valor dependerá de la longitud inicial (Li) y del cambio de temperatura (∆T) por el coeficiente de dilatación lineal (). ∆T= L1 x α x ∆T → Lf= Li x (1 + α x ∆T)

Li Ti ∆L

Tf Lf ∆L = ∆T =  = Unidad ()

Lf - Li Tf - Ti coeficiente de dilatación lineal =°C-1 , °F-1 , K-1

DILATACIÓN SUPERFICIAL Cuando calentamos una lámina o placa como la mostrada en la figura, comprobamos que su superficie experimenta una dilatación (A), cuyo valor viene dado por: A = Ai .  . T  Af = Ai (1 +  T ) T i Ai Af

Tf A

A = Af –Ai   2  = Coeficiente de dilatación superficial DILATACIÓN VOLUMÉTRICA Es indudable que al calentar o enfriar un cuerpo, todas sus dimensiones: largo, ancho y altura, experimentan cambios. Por ello se afirma que en todo fenómeno de dilatación realmente se produce una variación en el volumen. (V), cuyo valor estará dado por. V = Vi .  . T  Vf = Vi (1 +  T ) Cf

bf ci

bi

af

ai

Vf

Vi Tf

Ti V = Vf – Vi   3  = Coeficiente de dilatación Volumétrica

PRÁCTICA DE CLASES 1. ¿Qué temperatura es mayor? T1 = 0°K, T2 = 0°R , T3 = 0°C , T4 = 0°F a) T1 d) T4

b) T2 c) T3 e) Todos son iguales

2. ¿Cuál de las siguientes temperaturas es mayor? T1 = 0°C, T2 = 33°F , T3 = 492R , T4 = 273K a) T1 d) T4

b) T2 c) T3 e) Todos son iguales

3. Un termómetro marca 25°C ¿Cuánto marcaría uno graduado en Fahrenheit? a) 45°F b) 25°F c) 57°F d) 77°F e) 100°F

4. Un termómetro marca 122°F. ¿Cuánto marcaría en grados centígrados? a) 45°C d) 70

b) 50 e) 75

c) 60

5. En la escala Celsius una temperatura varia en 45°C. ¿Cuánto variará en la escala Kelvin y Fahrenheit? a) 45 K 273°F

b) 273 100

d) 45 100

e) 90 180

c) 45 81

6. En la escala Fahrenheit Una temperatura en 27°F. ¿En cuánto varia en la escala Rankine y Celsius? a) 27 R b) 40 R c) 273R 15°C 0°C 100°C d) 180 R 70°C

e) 50 R 50°C

7. ¿A qué temperatura en °C el valor en la escala Fahrenheit excede en 22 al doble del valor en la escala Celsius?. a) 20°C d) 50°C

b) 30°C e) 60°C

c) 40°C

8. ¿A qué temperatura en °C, el valor en la escala Celsius es el mismo que la escala Fahrenheit? a) - 10°C d) - 40

b) - 20 e) 50

c) - 30

9. En la figura, determina a cuántos grados “A” equivalen 40°C a) b) c) d) e)

120°C 125°C 130°C 135°V 140°C

100

°C

A

40 20

0

10. ¿A cuántos grados K equivalen 150 a) 60 K b) 233 c) 333

320

100

- 10

°C

A

°A? Según la figura 170

- 50

d) – 80 e) – 100 11. La figura muestra una placa que se encuentra a 5ºC. Si esta placa es calentada hasta la temperatura final de 105ºC. Hallar el área final respectiva que tendrá. Consideren:  = 16 . 10-4. a) b) c) d) e)

101u2 108 116 120 N.A.

5

20

12. La figura muestra una placa que se encuentra a 10ºC. Si esta placa es calentada hasta la temperatura final de 80ºC, hallar el área final respectiva que tendrá. Considere : = 3.10-4. a) 1010u2 b) 1020 c) 1021 40 d) 1024 e) 1031 50 13. La figura muestra una placa que se encuentra a 6ºC. Si esta placa es calentada hasta la temperatura final de 206ºC. Hallar el área final respectiva que tendrá. Considere :  = 5.10-4. a) b) c) d) e)

2m2 4,5 4,8 4,4 N.A.

2m

14. A la placa de metal se le ha aplicado un orificio como muestra la figura. Hallar cuál será el área final de dicho orificio si calentamos a la placa en 10ºC. Considere:  = 2.10-4. a) b) c) d) e)

8016u2 8000 8010 8008 8011

200 40

15. A la placa de metal mostrada se le ha aplicado un orificio como muestra la figura. Hallar cuál será el área final de dicho orificio si calentamos a la placa en 100ºC. Considere:  = 10-3. a) b) c) d) e)

18u2 17,1 17,6 17,8 17,9

4

16. Una barra que mide 100m y esta a 4ºC. ¿Cuánto medirá si la calentamos hasta la temperatura de 140ºC? Considere :  = 8.10-5 a) 107,2m d) 161,2

b) 100,8 e) 152,8

c) 100,2

17. Una barra que mide 50m a la temperatura de 2ºC. ¿A qué temperatura final habrá de ser calentada para que se dilate 5 m? a) 15ºC b) 52 c) 60 d) 100 e) 45 18. Una barra que mide 10m a la temperatura de 4ºC, ¿a qué temperatura final habrá de ser calentada para que se dilate 12m? Considere:  = 5.10-4 a) 240ºC b) 304 c) 404 d) 200 e) 302

19. En cuántos grados Celsius (ºC) se tendría que calentar a la placa mostrada para que en el orificio que se le ha practicado como muestra la figura encaje perfectamente el rectángulo de la derecha. Considere que para la placa el  = 4,2 . 10-2.

a) b) c) d) e)

10ºC 5 15 20 25

11 22

20. Se construye un puente como muestra la figura, si :  = 2.10-4 . ¿Qué espacio “x” hay que dejar en el extremo derecho para que no haya problemas con la dilatación? ¿Se sabe que entre verano e invierno la temperatura varía en 50ºC?

a) b) c) d) e)

4cm 5 10 15 9

L0 = 5m

x

21. La placa triangular mostrada se encuentra a 5ºC. ¿Hasta qué temperatura habría que calentarla para hacer que su área final sea 105m2 . Considere  = 5.10-3? a) b) c) d) e)

20ºC 25 30 35 45

10m

20m

22. Una regla metálica de 100m. de longitud y hecha de aluminio, es calentada y eleva su temperatura en 50ºC. Hallar la variación en su longitud. (AL =2.10-3). a) 5m d) 20

b) 10 e) 9

c) 15

23. Una barra de 400m y L = 10-3 es calentada y elevada su temperatura en 20ºC. ¿En cuánto aumenta su longitud? a) 4m d) 10

b) 6 e) 9

e) 8

CUADROS DE CLAVES 1.

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TAREA DOMICILIARIA

1. La figura muestra una placa que se encuentra a –10ºC. Si esta placa es calentada hasta la temperatura final de 90ºC, hallar el incremento que sufre el área. Considere :  = 16.10-4 a) b) c) d) e)

100u2 120 130 150 160

10

200

2. La figura muestra una placa que se encuentra a –5ºC. Si esta placa es calentada hasta la temperatura final de 995ºC, hallar el incremento que sufre el área. Considere :  = 4 . 10-3. a) 10 3 m2 b) 20

4m

4m

c) 15 3 d) 16 3 e)

4m

3

3. A la placa de metal mostrada se le ha aplicado un orificio como muestra la figura. Hallar cuál será el área final de dicho orificio si calentamos a la placa en 40ºC. Considere :  = 6 . 10-4 a) b) c) d) e)

253u2 255 258 260 256

5 100

4. A la placa de metal mostrada se le ha aplicado un orificio como muestra la figura. Hallar cuál será el área final de dicho orificio si calentamos a la placa en 50ºC. Considere :  = 4 . 10-4. a) 101u2 b) 102 c) 103

2 100

d) 104 e) 155

5. Una barra que mide 80m y está a 6ºC. ¿Cuánto medirá si la calentamos hasta la temperatura de 56ºC? Considere :  = 4 . 10-3. a) 86m b) 80 c) 96 d) 100 e) 90 6. Una barra que mide 10m a la temperatura de 0ºC, ¿a qué temperatura final habrá de ser calentada para que se dilate 0,1m? Considere :  = 10-3 a) 20ºC d) 100

b) 30 e) 40

c) 10

7. Una barra que mide 4m a la temperatura de 4ºC. ¿A qué temperatura final habrá de ser calentada para que se dilate 4,5m? Considere :  = 5 . 10-3 a) 70ºC d) 50

b) 20 e) 30

c) 29

8. Hallar cuál será el área final de la placa si la calentamos en 20ºC. a) b) c) d) e)

430m2 432 20m 400 420 480

40m

9. Hallar cuál sería el área final de la placa mostrada si la calentamos en 50ºC. Considere:  = 2 . 10-4. a) b) c) d) e)

102m2 101 103 104 N.A.

10m

10. Un alambre de cobre media 10cm pero luego de ser calentado, su longitud aumenta a 10,5cm. ¿A cuántos grados Celsius se le habrá calentado?

αcu  5.103

a) 5ºC

b) 10

c) 15

d) 20

e) 22

11. Una barra de metal de longitud 10m experimenta un incremento de 40cm en su longitud, al ser calentada en 10ºC. ¿Cuál es el “” de dicho metal? a) 10-3 d) 4. 10-3

b) 2. 10-3 e) 2.9

c) 3. 10-3

12. Un alambre mide 2m y su L  5.103 . Si el alambre actualmente está a 10ºC,

¿hasta qué temperatura final habría que llevarlo para que su nueva longitud sea de 2,5m? a) 40ºC d) 70

b) 50 e) 45

c) 60

13. Un alambre de 1m se dilata en 2mm cuando su temperatura se incrementa en 100ºC. ¿Cuál es su “”. a) 10-5 d) 4 . 10-5

b) 2 . 10-5 e) 3.105

c) 3 . 10-5

14. Se tiene un alambre de cobre de 100m de longitud a 0ºC. ¿Qué longitud poseerá 6 a 100ºC? αcu  16.10 .

a) 100,1m d) 100,2

29.

b) 100,15 e) 100

c) 100,16

Calorimetría RESUMEN TEÓRICO

CALOR Cuando tocamos un objeto caliente, entra energía a nuestras manos porque el objeto está más caliente que nuestras manos. Pero si tocamos un cubo de hielo, nuestras manos cederían energía al hielo porque está más frio. Observamos que, la energía se está transmitiendo de la sustancia caliente a la sustancia más fría, esta energía que se transmite se denomina calor El calor (Q) es la energía que se transmite de un cuerpo a otro, solamente a causa de una diferencia de temperaturas. Siempre se transmite del más caliente al más frio.

¿Qué efectos físicos ocasiona el calor? Cambio de temperatura de las sustancias Cambio de fase Aumento en las dimensiones geométricas de los cuerpos, al cual se le denomina dilatación.

 1. 2. 3.

ESTADO O FASE DE LA MATERIA Dadas la condiciones, la materia se presenta en la superficie de la Tierra en tres estados: sólido, líquido y gaseoso

¿Qué ocurre cuando ponemos en contacto a dos cuerpos que se encuentran a diferentes temperaturas? Por ejemplo, una esfera de acero y una cierta cantidad de agua contenida en un recipiente. Inicio

B

En el contacto

Acero tOB=80°C

H2O A

Final H2O A B

B

tSA= tSB

tOA=20°C

Variación de la energía interna= LU=Q Se observa que la temperatura del agua se incrementa por tanto la energía interna del agua aumenta y por ello podemos concluir que la esfera “B” le está transfiriendo cierta cantidad de energía interna al agua y esto ocurre en forma espontánea desde la sustancia de mayor temperatura (B) hacia el de menor temperatura (A), a esa energía transferida le denominaremos calor (Q) Calor Sensible (Qs). Es la cantidad de calor que se requiere para que una sustancia cambie la temperatura sin cambio de fase. Consideremos a dos recipientes idénticos que contienen diferentes cantidades de agua. Colocados ambos a las hornillas de una cocina. (1)

T= 20° C m1= 5kg

Q1 (Calor sensible)

(2)

T= 20° C m2= 1kg

Q2 (Calor sensible)

Si se encienden las hornillas y se quiere que alcancen ambos la misma temperatura por ejemplo 50°C, entonces se debe entregar mayor calor al recipiente que tiene mayor masa de agua. Qs  m ........................................ (1) Además podemos notar que cuanto mayor cantidad de calor se le suministre a un cuerpo mayor será el cambio en su temperatura por tanto: Qs  T

........................................ (2)

de (1) y (2) Qs  mT

Qs = (constante) mT

A esta constante le denominaremos calor específico (CE), depende del tipo de sustancia y de la fase en que se encuentra la sustancia.

QS = CE m.T T CE m

: : :

Unidad: m T Qs CE

variación de la temperatura calor específico masa : : : :

gramos(g) centígrados (°C) calorías (cal) cal g  C

Observación: Para el agua líquida: cal CE =1 g  C Para el agua sólido (hielo):

CE =0,5

¿Qué significa físicamente

CE =1

cal g  C

cal g  C

?

Significa que para que 1g de agua líquida varié su temperatura en 1°C, se le debe transferir 1Cal ¿Cuándo cesa esa transferencia de energía? Cuando ambos alcanzan una misma temperatura, denominada temperatura de equilibrio térmico (TE)

TFA = TFB = TE Para representar en forma práctica esa transferencia de energía utilizaremos un DIAGRAMA LINEAL de temperaturas, como se muestra a continuación: QPERDIDO

QGANADO

TOA

TE

TOB

Cuando ambas sustancias adquieren la temperatura (TE), se encuentra en equilibrio térmico, entonces, por conservación de la energía

Qganado = Qperdido PRÁCTICA DE CLASES 1. A 100 g de agua a 10°C se le agregan 500 cal. Determine la temperatura final del agua en °C. a) 12°C d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

2. ¿Qué cantidad de calor absorbe una masa de 50 g de acero (0,110 kcal/kg·°C) que pasa de 50 °C hasta 140 °C? a) 0,495 kcal b) 0.315 c) 0,216 d) 0,04 e)0,612 3. ¿Cuál es la variación de temperatura que sufre una masa de 200 g de aluminio (0,215 kcal/kg·°C) que absorbe 1000 cal? a) 25,06 °C b) 23,26 c) 20,26 d) 13,16 e) 54,18

4. En un recipiente con capacidad calorífica despreciable se tienen 800 g de agua a 40°C. Se entregan 40Kcal. Determine la temperatura final del agua. a) 90°C b) 80 c) 70 d) 60 e) 45 5. ¿Qué masa de aluminio (c=0,22 cal/g°C) a 100°C debe añadirse a 220 g de agua a 10°C, de manera que la temperatura de equilibrio sea de 40 °C? a) 1Kg d) 3

b) 0.5 e) 4

c) 2

6. Una masa de plomo (0,0305 kcal/kg·°C) de 350 g absorbió 1750 cal. Calcular la variación de temperatura que sufrió. a) 125,04 °C b) 213,26 c) 160,28 d) 136,8 e) 163,9 7. Un perno de acero (c=0,11 cal/g°C) de 6 g se enfría hasta una temperatura de 22 °C, perdiendo 660 cal en el proceso. ¿Cuál es la temperatura inicial del proceso? a)122 d)32

b)150 e) 100

c) 660

8. Una masa de 30 g de cinc (0,093 kcal/kg·°C) está a 120 °C y absorbió 1,4 kcal. ¿Cuál será la temperatura final? a) 521,2 °C b) 590,991 c) 600,433 d) 621,792 e) 600,972 9. Una cadena de oro tiene una masa de 100 g y se encuentra a 25°C. Determine la cantidad de calor que debe absorber para calentarse hasta 1025°C.  cal   Ce Au  0.03  gC   a) 1 Kcal d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10. En un recipiente de capacidad calorífica despreciable se mezclan 400 g de agua a 20°C con M gramos de agua a 70°C. Si la temperatura de equilibrio es de 50 °C, calcule M. a) 500 g b) 300 c) 600 d) 400 e) 800 11. Se mezclan 200 g de agua en 20°C con 300 g de alcohol a 60°C.Si el calor especifico del alcohol es de 0,66 cal/g°C, hallar la temperatura final de la mezcla. a) 25.4°C d) 38.7

b) 36.4 e)35

c) 34.9

12. En un recipiente térmicamente aislado se mezcla 200 gramos de agua a 52 ºC con 80 gramos de agua a 10 ºC. Determine la temperatura de equilibrio de la mezcla, suponiendo que el intercambio de calor se realiza solo entre las porciones de agua. a) 40 ºC b) 60 ºC c) 80 ºC d) 20 ºC e) 30 ºC 13. Determinar la cantidad de calor absorbida por una masa de 14 g de aire (0,240 kcal/kg·°C) al pasar de 30 °C a 150 °C. a) 0,0403 kcal b) 0,345 c) ,0,512 d) 0,032 e) 0,4032 14. ¿Qué cantidad de calor absorbió una masa de 4 g de cinc al pasar de 20 °C a 180 °C? a) 0,004 kcal b) 0,05952 c) ,0,512 d) 0,0302 e) 0,0051 15. Se muestran dos esferas A y B inicialmente a 100ºC y 300ºC, respectivamente. Si se ponen en contacto, se obtiene que la temperatura de equilibrio es de 150ºC. Calcule la masa de B. Considere que sus calores específicos se relacionan así CeA  1,5CeB 100ºC

300ºC

A

B

200g a) 100 g d) 300 g

b) 50 g e) 400 g

c) 200 g

TAREA DOMICILIARIA

1. A 400g de agua a 30°C se le dan 12kcal de calor. ¿Cuál será su T final? a) 40°C d) 70

b) 50 e) 80

c) 60

2. En un recipiente de C  0 se tienen 500 g de aceite a 100°C a los cuales se le quitan 5kcal de calor. Determine su temperatura final del aceite. a) 90°C d) 60

b) 80 e) 50

c) 70

3. En una sartén de C = 30 cal/°C se tiene 240 gr de aceite a 120°C a los cuales se le dan 6kcal de calor. ¿Cuál será la Tfinal del sistema?

a) 130°C d) 160

b) 140 e) 170

c) 150

4. En recipiente de C = 50 cal/°C se tiene cierta masa de agua a 40°C. Se entrega 10kcal al sistema y se alcanza una TF = 60°C. Determine la masa de agua que se tiene. a) 300g d) 450

b) 350 e) 500

c) 400

5. Se mezclan 1000g de agua a 60°C con 250g de agua a 10°C. Determine TE del sistema. a) 55°C d) 48

b) 52 e) 40

c) 50

6. Se mezclan 400g de una sustancia a 60°C con 100g de la misma sustancia a 160°C. Determine TE del sistema. a) 100°C b) 110 c) 120 d) 130 e) 140 7. Calcular la masa de mercurio (0,033 kcal/kg·°C) que pasó de 20 °C hasta 100 °C y absorbió 5400 cal. a) 2,045 kg b) 2,315 c) 2,591 d) 3,414 e) 1,915

CUADROS DE CLAVES 1.

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Cambio de Fase RESUMEN TEÓRICO

Es el reordenamiento molecular que experimenta una sustancia debido a una variación de su energía interna, éste cambio se da bajo ciertas condiciones de presión y temperatura. Por otro lado manteniendo la presión constante, se observa que por lo general las sustancias a bajas temperaturas se hallan en fase sólida; mientras que para altas temperaturas la fase es gaseosa.

FUSIÓN. - Para fundir un cuerpo primero debemos entregarle calor para que llegue a temperatura determinada denominada temperatura de fusión SOLIDIFICACIÓN: Análogamente para solidificar o cristalizar a una sustancia primero debemos enfriarla hasta una temperatura adecuada denominada temperatura de solidificación o cristalización. Otra de las características del cambio de fase es que la temperatura de cambio de fase queda definida al fijar las condiciones de presión ambiental que afecta a la sustancia, es decir, durante el cambio de fase la presión y la temperatura son constantes. CALOR LATENTE (CL) En general se denomina calor latente (CL) a la cantidad de calor que 1 g de sustancia necesita para cambiar de fase completamente (fusión, ebullición). Nota: Si tenemos 1g de agua líquida a 0°C le debemos extraer 80 calorías para que ella se cristalice por completo. ( CLF = 80cal/gr)

SUSTANCIA AGUA MERCURIO PLOMO COBRE

CL FUSIÓN (J/Kg) 3.4 x 105 0.12 x 105 0.25 x 105 0.21 x 105

CL VAPORIZACIÓ N (J/Kg) 2,3 x 106 0,3 x 106

Nota: El calor latente muestra en cuanto aumenta la energía interna de una sustancia (1kg) al cambiar de fase: de sólido  líquido y líquido  vapor, sin variar la temperatura. CALOR DE TRANSFORMACIÓN (QT) Es el calor total que una sustancia debe ganar o perder para lograr cambiar de fase.

QT = mCL

m : masa que logra cambiar de fase CL : calor latente QT : calor de cambio de fase o calor de transformación EBULLICIÓN. - Es un proceso violento que se da en todas las partes del líquido y se da a una temperatura específica. Ejm.: TEBULLICIÓN = 100°C H2O. EVAPORACIÓN. - A cualquier temperatura, existen partículas que tienen mayor velocidad promedio que las otras, éstas son lo suficientemente rápidas para llegar a la superficie libre del líquido, y pueden inclusive vencer la atracción de las moléculas vecinas y abandonar el líquido. Las moléculas que abandonan este último forman en la superficie vapor.  La velocidad de la evaporación depende del género del líquido  La evaporación es a cualquier temperatura  Cuanto más alta es la temperatura del líquido tanto mayor será la rapidez del líquido con que transcurre la evaporación  Al desplazar con el viento o soplando las moléculas sobre la superficial del líquido transcurre más rápido la evaporación  La velocidad de evaporación de un líquido depende del área de la superficie libre del líquido  Cuando el líquido se evapora se enfría, es decir su temperatura disminuye.

PRÁCTICA DE CLASES 1. A 100 g de agua a 10°C se le agregan 500 cal. Determine la temperatura final del agua en °C. a) 12°C d) 15

b) 13 e) 16

c) 14

2. Una sustancia es calentada suministrándole calor a razón constante, obteniéndose el siguiente grafico de la temperatura T en función del tiempo t. ¿Cuál parte, o partes, del grafico corresponden a situaciones en las cuales la sustancia existe simultáneamente en dos estados? T

E C

A

D

B

0

a) Toda la curva b) OA; BC; DE

t

c) AB; CD d) DE e) CB 3. En un día de verano se tiene una jarra conteniendo limonada a la temperatura ambiente y se desea enfriarla a la temperatura más baja posible ¿Cómo será más conveniente, introduciendo 25 g de hielo a 0°C o introduciendo 25 g de agua helada a 0°C? a) 25 g de hielo a 0°C b) 25 g de agua helada a 0°C c) Cualquiera de los dos d) La decisión depende de la cantidad de limonada que se tenga e) La decisión depende de la temperatura a que se encuentre la limonada 4. En un recipiente con capacidad calorífica despreciable se tienen 800 g de agua a 40°C. Se entregan 40Kcal. Determine la temperatura final del agua. a) 80°C d) 110

b) 90 e) 115

c) 100

5. En un recipiente con C = 0,5 cal/°C se tiene 100g de hielo a - 20°C. Se agregan 1010 cal de calor. ¿Cuál será la temperatura final del sistema? a) -15°C d) 0

b) - 10 e) 5

c) - 5

6. En un recipiente con C = 0,8 cal/°C se tiene cierta masa de agua a 25°C. Se agrega al sistema 1008 cal de calor, llegando el sistema a 35°C. Determine la masa de agua que se tenía. a) 50 g d) 200

b) 100 e) 250

c) 126

7. Se mezclan 100g de agua a 80°C con 50 g de agua a 20°C. Determine TE del sistema. a) 25°C d) 60

b) 35 e) 65

c) 40

8. Se mezclan 200g de agua a 50°C con cierta masa de agua a 25°C, lográndose una TE = 30°C. Determine la masa de agua mencionada. a) 600 g b) 700 c) 800 d) 900 e) 1000 9. En un recipiente con C = 10 cal/°C se tienen 390g de agua a 40°C y se mezclan con 200 g de agua a 70°C. Determine TE del sistema. a) 50°C

b) 53

c) 58

d) 61

e) 65

10. En un recipiente de C  0, se tiene 100g de aceite a 40°C y se vierte 300g de aceite a 60°C. Determine TE del sistema. a) 45°C d) 60

b) 50 e) 65

c) 55

11. En una sartén se tiene una mezcla de 450 g de agua y aceite a 90°C con la finalidad de bajar la temperatura se agregan 150g de agua a 30°C. Determine la masa de aceite en la mezcla inicial si TE = 75°C (Csartén = 25 cal/°C ; CEaceite = 0,5 cal/g -°C) a) 40g d) 80

b) 50 e) 100

c) 60

12. Se tiene 50 g de hielo a °C. Determine la cantidad de calor necesario para fundirlo. a) 2Kcal d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

13. Se tiene 100 g de hielo a –20°C al cual se le agregan 10Kcal. Determine TF del sistema. a) 5°C b) 7,5 c) 10 d) 12,5 e) 15 14. Se tiene 20g de vapor a 110°C. Determine el calor que hay que quitarle para condensarlo completamente. a) 10,7 kcal d) 11,2

b) 10,8 e) 12,3

c) 10,9

15. Se mezclan 100g de hielo a –20°C con 200g de agua a 60°C. Determine la TE del sistema. a) 5°C b) 10 c) 15 d) 11,2 e) 12,1

TAREA DOMICILIARIA 1. Se tiene 50g de hielo a 0°C. Determine la cantidad de calor necesario para fundirlo. a) 2kcal d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

2. Se tiene 100 g de hielo a -20°C al cual se le agregan 10kcal. Determine TF del sistema. a) 5°C

b) 7,5

c) 10

d) 12,5

e) 15

3. Se tiene 20g de vapor a 110°C. Determine el calor que hay que quitarle para condensarlo completamente. a) 10,7 kcal d) 11,2

b) 10,8 e) 12,2

c) 10,9

4. Se mezclan 100 g de hielo a –20°C con 200 g de agua a 60°C. Determine la TE del sistema. a) 5°C d) 20

b) 10 e) 25

c) 15

5. Se mezclan 100 g de hielo a –20°C con 20g de vapor sobrecalentado a 150°C. Determine TE de la mezcla. a) 10°C b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. Se tiene 100g de hielo a 0°C. Determine la cantidad de calor necesario para fusionarlo (derretirlo). a) 6kcal b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 7. Se tiene 50g de hielo a –10°C al cual se le agregan 5kcal. Determine la temperatura final. a) 5°C b) 7,5 c) 10 d) 12,5 e) 15 8. Se mezclan 40g de hielo a –35°C con 20g de vapor a 100°C. Determine TE del sistema a) 42°C d) 60

b) 50 e) 64

c) 54

9. ¿Cuántos gramos de hielo a – 8°C se fundirán en 1,05 kg de agua a una temperatura de 60°C a) 150g d) 750

b) 400 e) 500

c) 500

10. Se mezclan “4m” g de agua a 80°C con “m/2” g de agua a 35°C. Determine la TE del sistema. a) 60°C d) 75

b) 65 e) 76

c) 70

11. En un recipiente de C = 50 cal/°C se tiene una mezcla de 600 g y de agua con alcohol a 60°C y se vierten 200g de agua a 20°C, obteniéndose una TE = 50°C. Determine la masa de alcohol en la mezcla inicial (Cealcohol = 0,5 cal/g-°C) a) 100 gr d) 400

b) 200 e) 500

c) 300

12. Se tiene 100g de hielo a 0°C. Determine la cantidad de calor necesario para fusionarlo (derretirlo) a) 6kcal b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 13. Se tiene 50g de hielo a –10°C al cual se le agregan 5kcal. Determine la temperatura final. a) 5°C b) 7,5 c) 10 d) 12,5 e) 15

CUADROS DE CLAVES 1.

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