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ÁLGEBRA – MAT 100

2º PARCIAL

MAT 100 – ALGEBRA Fila A SEGUNDO EXAMEN PARCIAL (29/10/2016) 1.- Sea ℤ7 :Clases de resto módulo 7; + : suma normal ; o : producto normal a) Analizar las estructuras: (ℤ7 , +) y (ℤ7 , ∘); Clasificarlas b) En ℤ7 calcular x : 5x + 6 = 3 Solución: Clases de resto módulo 7, son las clases de equivalencia de la relación: xRy ⇔ x ≡ y(mod 7) , Estas son: ℤ7 = {0,1,2,3,4,5,6} Además recordando que: K 7 = K 0 ; K 8 = K 1;.... , Realizamos la tabla con las operaciones indicadas: + 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

∘

6 6 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 6

4 0 4 1 5 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1

a) I. Primeramente analizamos estructuras: (ℤ7 , +) P1 Clausura (LCI): ∀a, b ∈ ℤ7 ⟹ a + b ∈ ℤ7 ∴ Se verifica. P2. Asociatividad: ∀a , b, c ∈ ℤ7 (a + b) + c = a + (b + c )

Como se trata de la suma normal, la estructura (ℤ7 , +) ∴ es Asociativa. P3. Existencia del elemento neutro: ∃e ∈ ℤ7 / ∀a ∈ ℤ7 se debe encontrar un elemento/

a +e =e +a =a En la suma el elemento neutro es “e = 0” ya que: a + 0 = 0 + a = a ∴ Existe el neutro. P4. Existencia del inverso: ∀a ∈ ℤ7 , ∃a ′ ∈ ℤ7/ a + a′ = a′ + a = e a + a′ = a′ + a = 0 + 0 1 2 3 4 5 6 0′ = 0 puesto que 0 + 0 = 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1′ = 6 Q 6 + 1 = 0 1 1 2 3 4 5 6 0 2

2

3

4

5

6

0

1

3 4

3 4

4 5

5 6

6 0

0 1

1 2

2 3

5

5

6

0

1

2

3

4

6

6

0

1

2

3

4

5

2′ = 5 Q 5 + 2 = 0 M 6′ = 1 Q 1 + 6 = 0

∴ Existe el inverso ∀a ∈ ℤ7 P5. Conmutatividad: ∀ a, b ∈ ℤ7 a +b =b +a Como se trata de la suma normal, la estructura (ℤ7 , +) ∴ es Conmutativa. Roger Miranda O.

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La estructura (ℤ7 , +) es un grupo Abeliano. II. Ahora analizamos estructuras: (ℤ7 , ∘) P1 Clausura (LCI): ∀a, b ∈ ℤ7 ⟹ a o b ∈ ℤ7 ∴ Se verifica. P2. Asociatividad: ∀a , b, c ∈ ℤ7 (a o b) o c = a o (b o c )

En el producto normal, la estructura (ℤ7 , ∘) ∴ es Asociativa. P3. Existencia del elemento neutro: ∃u ∈ ℤ7 / ∀a ∈ ℤ7 se verifica:

a ou = u oa = a En el producto el elemento neutro es “u = 1” ya que: a o 1 = 1 o a = a ∴ Existe el neutro. P4. Existencia del inverso: ∀a ∈ ℤ7 , ∃a ′ ∈ ℤ7/ a o a′ = a′ o a = u a o a′ = a′ o a = 1 ∘ 0 1 2 3 4 5 6 1′ = 1 Q 1 o 1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2′ = 4 Q 4 o 2′ = 1 1 0 1 2 3 4 5 6 2 3

0 0

2 3

4 6

6 2

1 5

3 1

5 4

4

0

4

1

5

2

6

3

5

0

5

3

1

6

4

2

6

0

6

5

6

3

2

1

M 5′ = 3 Q 3 + 5′ = 1 6′ = 6 Q 6 + 6′ = 1

Se puede ver que el elemento “0” no tiene inverso en el producto, entonces no se verifica que ∀a ∈ ℤ7 existe inverso, a menos que se ponga una restricción: ∴ Existe el inverso ∀a ∈ ℤ7 , a ≠ 0 P5. Conmutatividad: ∀ a, b ∈ ℤ7 a ob =b oa Como se trata del producto normal, la estructura (ℤ7 , ∘) ∴ es Conmutativa. Por las propiedades cumplidas afirmamos que: ∴ La estructura (ℤ7 , ∘) es un Semigrupo Conmutativo. O tomando en cuenta la restricción: ∴ La estructura (ℤ7 – {0}, ∘) es un grupo Abeliano.

b) Resolviendo: 5x + 6 = 3 || +6′ Sumando el inverso de 6 por la derecha: 5x + (6 + 6′) = 3 + 6′ 5x + 0 = 3 + 1 5x = 4 || 5′ o () Multiplicando por el inverso de 5 por la izquierda:

(5′ o 5)x = 5′ o 4 123 1

1ox = 3 o 4 x =5

Verificando:

Roger Miranda O.

5{ ⋅ 5 + 6 = 3 ⟹ 4{ +6=3 ⟹ 3 =3 =3 =4

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2.- A partir de los dígitos 0,1,4,6,7,9; en el intervalo [64,6794] ∈ ℤ: a) Cuántos números existen? b) Cuántos son múltiplos de 5? c) Cuántos son pares? Solución: como el intervalo es de números enteros tomamos en cuenta las repeticiones: A = {0,1,4,6,7,9} a) Para resolver este problema subdividimos en intervalos, como sigue: Contando los números que pueden ocupar un determinado casillero:

64 → 69   2 Dígitos: 64 → 99  70 → 99 3 Dígitos: 100 → 999 : El primer casillero puede ser ocupado por todos excepto el cero, los siguientes casilleros no tienen restricción:

Con: A = {0,1,4,6,7,9} 1000 → 5999   6 000 → 6 699  4 Dígitos: 1000 → 6580  67 00 → 67 89    6790 → 6794

Sumando los resultados: [64,6794] ∈ ℤ, existe 799 números b) Múltiplos de 5: la restricción sólo es para el último casillero: 2 Dígitos: Del anterior inciso se puede ver que sólo son múltiplos de 5, 2 números {70, 90}

3 Dígitos: 100 → 999

Roger Miranda O.

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El análisis es igual al anterior inciso, pero el último casillero sólo puede ser ocupado por el 0. 1000 → 5999   6 000 → 6 699  4 Dígitos: 1000 → 6580  67 00 → 67 89    6790 → 6794

Sumando los resultados: [64,6794] ∈ ℤ, existe 128 números c) Igualmente, encontraremos cuántos números existen que terminen en un dígito par: Con: A = {0,1,4,6,7,9} 64 → 69   2 Dígitos: 64 → 99  70 → 99 3 Dígitos: 100 → 999 : El primer casillero puede ser ocupado por todos excepto el cero:

1000 → 5999   6 000 → 6 699  4 Dígitos: 1000 → 6580  67 00 → 67 89    6790 → 6794

Sumando los resultados: [64,6794] ∈ ℤ, existe 386 números pares 3.- Demostrar por inducción matemática: 7 2n +1 + 42n +1 ÷ 11

Solución: 7 2n +1 + 42n +1 = 11q , q ∈ ℤ i)

n = 1 ⟹ 7 2 +1 + 42 +1 = 11q ⟹ 7 3 + 43 = 11q

⟹ 407 = 11q ⟹ q = 37 q ∈ ℤ (V) ii)

n=k

Roger Miranda O.

Hipótesis: 7 2k +1 + 42k +1 = 11q1 ;

q1 ∈ ℤ (1) Página - 4 -

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iii)

n=k+1

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Tesis: 7 2(k +1)+1 + 42(k +1)+1 = 11q 2 (2)

Partiendo de (2) y ordenando:

7 2k + 3 + 42k + 3 = 11q 2 7 2k +1+ 2 + 42k +1+ 2 = 11q 2 7 2k +1 ⋅ 7 2 + 42k +1 ⋅ 42 = 11q 2 7 2k +1 ⋅ (49) + 42k +1 ⋅ (16) = 11q 2

Reescribiendo:

7 2k +1 ⋅ (16 + 33) + 42k +1 ⋅ (16) = 11q 2 16 ⋅ 7 2k +1 + 33 ⋅ 7 2k +1 + 16 ⋅ 42k +1 = 11q 2 2k +1 k +1 2k +1 16 ⋅ (71 +4 424 = 11q 2 4 42 3) + 33 ⋅ 7 De (1) 1 || ⋅ 11

16 ⋅ 11q1 + 33 ⋅ 7 ⋅ 7 2k = 11q 2 q 2 = 16q1 + 21 ⋅ 7 2k

q2 ∈ ℤ

10

 4y 3 x2  4.- En el desarrollo de  − 2  x 2y  

Hallar:

a) Término central b) Término independiente de la variable y Solución:

Para la expresión (a + b )n

Del término general: tk +1

n   10  4y 3 =  a n −kbk ⟹ tk +1 =    k   k  x

10 −k

   

 x2 −  2y 2 

k

   

 10  tk +1 =  (22 )10 −k y 3(10 −k )x −10 +k (−1)k x 2k 2−k y −2k k   10  tk +1 = (−1)k  220 −3k x −10 + 3ky 30 −5k (λ) k  a) Si n = 10 el desarrollo completo tendrá n + 1 = 11 términos. La posición del término central está dado por: t n = t 10 = t 6 2

+1

2

+1

 10  k = 5 ⟹ t5 +1 = t6 = (−1)5  220 −15 x −10 +15y 30 −25 5  10  t6 = − 25 x 5y 5 ⟹ t6 = 8064x 5y 5 5 b) Término independiente de la variable y es el que no tiene la variable y: De (λ) igualamos el exponente de y a 0: 30 − 5k = 0 ⟹ k = 6 10  k = 5 ⟹ t6 +1 = t7 = (−1)6  220 −18 x −10 +18y 30 −30 6

Roger Miranda O.

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 10  t7 =  22 x 8y 0 ⟹ t7 = 840x 8 6 5.- Se desea adquirir alicates y martillos con costos: Alicate = 22 Bs; Martillo = 17 Bs. Si se cuentan con Bs 953, que cantidad de cada herramienta se podrá adquirir si además se desea comprarla menor cantidad de martillos? x : cantidad de alicates comprados y : cantidad de martillos comprados Si un alicate cuesta 22 Bs, y se compran x alicates, se invierte 22x en alicates. Si un martillo cuesta 17 Bs, y se compran y martillos, se invierte 17y en martillos. Si se cuentan con Bs 953, se tiene la ecuación: 22x + 17y = 953 Ecuación diofántica.

Solución:

Sea

Calculamos MCD (22,17) mediante 22 5 17 2 5 1 2 0

Ordenando: Comparando con

el algoritmo de Euclides: 17 ⟹22 = 17·1 + 5 1 5 ⟹17 = 5·3 + 2 3 2 ⟹5 = 2·2 +1 ⟵ 2 1 2 MCD (22,17) = 1 1 = 5 – 2·2 1 = 5 – 2·(17 – 5·3) 1 = 5 – 2·17 + 5·6 = 5·7 – 2·17 1 = (22 – 17)·7 – 2·17 = 22·7 – 17·7 – 2·17 1 = 22·7 – 17·19 22·7 + 17·(–9) = 1 || ·953 22 (6671) + 17 (–8577) = 953 22x + 17y = 953

Se tiene la solución particular: x 0 = 6671 ∧ y 0 = −8577

b  x = x 0 + d λ La solución general de ax + by = c está dada por:  y = y0 − a λ d  Donde

a = 22, b = 17 d = MCD = 1

λ ∈ℤ

x = 6671 + 17λ ⟹ Para soluciones positivas se tiene: y = −8577 − 22λ

Roger Miranda O.

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λ ≥ − 6671 + 17λ ≥ 0 λ ≥ −392,4 ⟹ ⟹ ⟹ λ = {–392, –391, 390} 8577 − 8577 − 22 λ ≥ 0 − ≥ λ  λ ≤ −389,8  22 6671 17

λ x

–392 –391 –390 7 24 41 y 47 25 3 Tomando en cuenta la menor cantidad de martillos se pueden comprar: x = 41 Alicates  y = 3 Martillos 6.- Un constructor, para efectuar obras de acabado en baños de un edificio, desea comprar 5 tipos de azulejo de pared, 4 tipos de cerámica de piso y 2 tipos de artefactos sanitarios, a escoger de una variedad de 10 tipos de azulejo, 12 tipos de cerámica y 5 tipos de artefactos sanitarios. ¿Cuántas maneras de seleccionar tendrá? Solución: Se cuenta con una variedad de: 10 tipos de azulejo

12 tipos de cerámica

5 tipos de artefactos sanitarios

De las cuales el constructor solo escogerá: 5 tipos de azulejo

4 tipos de cerámica

2 tipos de artefactos sanitarios

Como no importa el orden de selección se trata de combinaciones simples en cada caso. Y cada selección es independiente de las otras, por tanto multiplicamos los resultados:

 10  12   5  C 510 ⋅ C 412 ⋅ C 25 =   ⋅   ⋅   = 1′ 247 400  5   4  2

Roger Miranda O.

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