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4.1 Definición de una función de varias variables.

4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

ING.JORGE ALBERTO VILLALOBOS RUIZ.

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4.2 GRAFICA DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES.

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4.3 CURVAS Y SUPERFICIE DE NIVEL.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO 4.4 DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Y SU INTERPRETACION GEOMETRICA.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO 4.5 DERIVADA DIRECCIONAL. Definimos la derivada direccional de un campo escalar en un punto una dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente manera:

según



Consideramos el desplazamiento pequeño desde por



Calculamos el incremento en la función φ entre el punto inicial y el final



La derivada direccional se define como el límite del cociente entre el incremento de φ y la distancia recorrida, cuando la distancia recorrida tiende a cero.

en la dirección marcada

La idea es que el cociente entre los incrementos nos da la “pendiente media” en una dirección, y su límite nos da la “pendiente de la tangente” a la función en dicha dirección. En un campo bidimensional, que se puede representar mediante una elevación, como la altura de una montaña, esta interpretación posee significado geométrico. En tres dimensiones la interpretación geométrica no es aplicable, pero la idea algebraica es la misma. Definición (derivada direccional)

Sea

una

función

escalar

y

sean

un vector unitario, entonces la derivada direccional de en la dirección del vector

y en

, está dada por :

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Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si

direccionales

en

la

entonces

y si

, es decir, las derivadas parciales son derivadas dirección de los vectores canónicos.

Ejemplo 1 Calcule la derivada direccional de

en el punto

en

la dirección del vector

Solución Usando la definición (1), tenemos que :

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y usando la regla de L'Hôpital

Esto nos dice que la razón de cambio de es , es decir, que ilustra esta situación.

Figura 2: derivada [Ver en 3D - Jview]

en

en la dirección del vector

en esta dirección esta decreciendo. En la figura 1 se

direccional

en P en

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la

dirección

de u

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Observación: la definición de derivada direccional es válida en general para funciones de

variables

.

Con propósitos de cálculo, la definición no es muy útil, por lo que en general se usa la siguiente fórmula.

Teorema Sea entonces

una

función

escalar

diferenciable

en

,

tiene derivada direccional en la dirección de cualquier

vector unitario

y (2)

Observación: recuerde que la componente de

es

en la dirección de

, la cual es la longitud de la proyección vectorial de

vector unitario

sobre el

. Con lo cual la fórmula

nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente en la dirección del vector . Ejemplo 2 Calcule la derivada direccional

si

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y es el Solución

vector

unitario

dado

por

.

¿Cuánto

es

?

Usando la fórmula (2)

De donde

4.6 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR.

Un caso particular importante de derivada direccional lo dan las derivadas parciales. Supongamos que queremos calcular la derivada direccional en la dirección marcada por . La aplicación del límite nos da

pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , y , moverse en la dirección de equivale a variar la coordenada , manteniendo las otras dos constantes, esto es

esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con respecto a , tratando a y como constantes. Esta es la interpretación habitual de derivada parcial. Vemos, no obstante, que las derivadas parciales pueden entenderse como las derivadas direccionales según las direcciones paralelas a los ejes coordenados.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO EJEMPLO. Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar

La derivada direccional de este campo en un punto por es

según la dirección marcada

Desarrollando el producto queda

ya que dirección.

es un vector dividido por su módulo, lo que da el unitario en su

Si y = f(x) es una función de una variable. Su primera derivada

(1) se interpreta como la razón de cambio instantanea de y con respecto de x. Para una función z = f(x, y) de dos variables, se comprende que de manera analoga la razón con la que cambia al variar x y y (ya sea de manera individual o simultaneamente). La razón de cambio de z con respecto de x, se obtiene dejando fija a y y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y)

(2)

Del mismo modo, la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (a, b), se obtiene dejando fija a x y calculando la derivada ordinaria de la función z = f(x, y) donde x = a es constante se denota como

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(3) Algunas otras notaciones comunes para las derivadas parciales son:

(4) Observemos que si eliminamos la variable y de la ecuación (2), tendriamos el límite de la ecuación (1). Esto significa que podemos calcular (2) como una derivada ordinaria con respecto de x, considerando a y como constante durante el proceso de derivación . De manera similar, podemos calcular (3) como una derivada ordinaria, tomando a y como la única variable y tratando a x como una constante durante el cálculo. Ejemplo 1. Si Solución Conservando y constante y derivando con respecto a x, obtenemos

Conservando a x constante y derivando con respecto a y, obtenemos

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Ejemplo 2. Si Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U V )

Ejemplo 3. Si (0,2)

evalue la pendiente en dirección de x en el punto

Solución tenemos que la derivada de la función es de la forma d( f ) =d( U / V )

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4.7 INCREMENTOS, DIFERENCIALES Y REGLA DE LA CADENA.

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Derivación de la función compuesta. Regla de la cadena

y  f u 

Si se tienen dos funciones

y  f g x 

Entonces

u  g x 

y

es una función compuesta o función de función,

y su derivada con respecto a x está dada por dy dy du  dx du dx A esta expresión se le conoce como “Regla de la Cadena”

La regla de la cadena se puede emplear para facilitar la derivación de ciertas funciones. Ejemplos: 1) Sean Obtener

y  w 2  4w dy dx

w  2x 2  1

y

Solución:

dy  2w  4 dw

dw 4x  dx 2 2 x 2  1

,

dy dy du   2 w  4  dx du dx

2x 2x 2  1



 2 2x 2  1  4





4 x 2 x 2  1  8x 2x  1 2

2x 2x 2  1

 4x 

8x 2x 2  1

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y 1

2) Utilizar la regla de la cadena para derivar: Si

u

y  1 u ,

1 v

1 x2 1

v  x2 1

,

La derivada será

dy dy du dv    dx du dv dx

dy 1 1   2  2 x   dx 2 1  u v



x





2 x2 x2 1 2 x 1



du  1  , dv v 2

dy 1  , du 2 1  u



2x  1 2 2 1  v  v

x x2 x2 1

x

2



1

2

x 1



1 x 2  12 x 1 2



x



x x2 1

3



dv  2x dx

x x 11 2 x  12 2 x 1 2

2

4.8 DERIVACION PARCIAL IMPLICITA.

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

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Si queremos hallar la derivada despejando y, así, y = 1 fácilmente:

/

para esta última ecuación, lo hacemos x = x -1, obteniendo su derivada

.

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

4.9 GRADIENTE. En cálculo vectorial, el gradiente

de un campo escalar

vector gradiente de evaluado en un punto genérico la dirección en la cual el campo

es un campo vectorial. El

del dominio de ,

( ), indica

varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo

de variación de en la dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con ladivergencia, ésta última se denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede representarse mediante

, o usando la

notación . La generalización del concepto de gradiente a campos el concepto de matriz Jacobiana.

vectoriales es

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4.10 CAMPO VECTORIAL. En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia unvector a cada punto en el espacio euclídeo, de la forma

.

Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética. Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen envariedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Un campo vectorial sobre un subconjunto una función con valores vectoriales:

del espacio

euclídeo

es

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Se dice que es un campo vectorial Ck si como función es k veces diferenciable con continuidad en X. Un campo vectorial se puede visualizar como un espacio X con un vector n- dimensional unido a cada punto en X.

Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

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4.11 DIVERGENCIA, ROTACIONAL, INTERORETACION GEOMETRICA Y FISICA. Rotacional y divergencia Para dar una interpretación intuitiva del significado físico del rotacional y de la divergencia de un campo vectorial es conveniente considerar en primer lugar campos bidimensionales. Sea F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j un campo vectorial de clase C1, sea un camino cerrado simple positivamente orientado y D la región del plano limitada por . El teorema de Green afirma que

Como ya sabes, la integral rF se llama circulación del campo F a lo largo de . Para dar una interpretación de dicha integral consideremos que el campo F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j es el campo de velocidades de un fluido plano, esto es, F(x,y) es el vector velocidad del fluido en el punto (x,y). Se supone que la velocidad no depende del tiempo sino solamente de las coordenadas espaciales del punto, es decir, que se trata de un fluido estacionario. En cada punto (t) del camino la velocidad del fluido es F((t)); la proyección ortogonal de dicho vector sobre el vector unitario tangente a en el punto (t) es el vector , donde este vector tiene el mismo sentido que el vector tangente si el número es positivo y distinto sentido cuando dicho número es negativo; en el primer caso la velocidad del fluido en el punto (t) va en el mismo sentido que el del recorrido de la curva y en el segundo caso la velocidad del fluido en el punto (t) va en sentido opuesto al del recorrido de la curva. La siguiente gráfica muestra un campo vectorial.

La siguiente gráfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo anterior en rojo, los vectores tangentes en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre los segundos en negro. En uno de los puntos la proyección ortogonal tiene el mismo sentido que el vector tangente y en el otro tiene sentido opuesto. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Puesto que , si el valor de esta integral es positivo esto nos dice que el fluido circula a lo largo de la curva en el mismo sentido que el definido por la orientación de y si el valor de esta integral es negativo entonces el fluido circula a lo largo de la curva en sentido opuesto al de la orientación de . Si el valor de la integral es nulo es porque no hay circulación neta del fluido a lo largo de . Supongamos que . En tal caso, por la continuidad del campo, se verificará también que para todo camino cerrado simple positivamente orientado que esté “suficientemente próximo” al camino . Deducimos que en este caso se formará en las proximidades de  un pequeño tubo que el fluido recorrerá en sentido anti horario. Consideremos ahora la igualdad y supongamos que en un punto (a,b) se verifica que . Entonces, por la continuidad de las derivadas parciales, se tendrá que para todo punto (x,y) en un disco centrado en (a,b) de radio suficientemente pequeño. Si es cualquier camino de Jordán contenido en dicho disco, se deduce de dicha igualdad que la circulación del campo a lo largo de dicho camino será en sentido anti horario y concluimos que en el punto (a,b) se formará un pequeño remolino. Una propiedad, fácil de justificar, de las integrales dobles afirma que si h es una función continua en una región del plano D cerrada y acotada entonces hay algún punto (a,b)∈D para el que se verifica la igualdad

h(x,y)d(x,y) = h(a,b)Área(D).

Usando esta propiedad y teniendo en cuenta la igualdad es fácil probar que El número se llama rotación del campo F en el punto (x,y). Se dice que el campo es irrotacional cuando para todo punto (x,y) de su dominio de definición. Como consecuencia también del teorema de Green, sin más que cambiar Q por P y P por −Q, se verifica la igualdad Pongamos

. Tenemos que:

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Donde hemos representado por n(t) el vector unitario normal a la curva en el punto (t) que apuntan hacia el exterior de la misma. Supuesto que la curva está orientada positivamente, n(t) viene dado por: La siguiente gráfica muestra una curva cerrada simple positivamente orientada (una elipse); en dos puntos de la misma se representan los vectores del campo antes considerado en rojo, los vectores normales unitarios exteriores en azul y las proyecciones ortogonales de los primeros sobre los segundos en negro. En uno de los puntos la proyección ortogonal tiene el mismo sentido que el vector normal exterior y en el otro tiene sentido opuesto.

Al igual que la proyección ortogonal del vector campo sobre el vector unitario tangente a la curva mide la circulación del fluido a lo largo de la curva, la proyección ortogonal del vector campo sobre el vector unitario normal exterior a la curva mide el flujo de fluido a través de la curva, por ello, se define el flujo del campo a través del camino  como la integral f.n. Si dicha integral es positiva eso significa que sale más fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber manantiales) y si es negativa significa que sale menos fluido del que entra (por lo que dentro de la curva debe haber sumideros). Hemos justificado la igualdad

A partir de aquí podemos razonar como lo hicimos anteriormente para obtener que

El númerose llama divergencia del campo F en el punto (x,y). Donde la divergencia es positiva hay manantiales y el fluido “diverge” hacia otros lados y donde la divergencia es negativa hay sumideros y el fluido “converge” hacia ellos. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Se dice que el campo es incompresible cuando su divergencia es idénticamente nula. En el siguiente ejemplo se pone de manifiesto lo que acabamos de afirmar.

Observa que hay puntos hacia los que los vectores de este campo parecen dirigirse (por ejemplo, los puntos (3.1,1.6), (3.1,-4.7) y sus simétricos respecto al eje de ordenadas) y hay otros puntos de los que los vectores de este campo parecen estar alejándose (por ejemplo, los puntos (0,1.5), (0,-1.5), (0.5,-4.5)). Si este campo lo interpretamos como el campo de velocidades de un fluido estacionario, las zonas hacia donde se dirigen los vectores son sumideros y las zonas de donde los vectores se alejan (divergen) son manantiales. Es decir, el fluido fluye de los manantiales a los sumideros. La divergencia es una medida de la magnitud de un manantial o de un sumidero. La siguiente gráfica es una representación por curvas de nivel de la divergencia del campo anterior. En las zonas más claras la divergencia es positiva (fuentes o manantiales) y en las más oscuras es negativa (sumideros).

A continuación nos proponemos generalizar los conceptos anteriores. No hay dificultad ninguna en extender el concepto de divergencia para campos vectoriales de n variables. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS La interpretación física de la divergencia se hace a veces por analogía con el campo de velocidades en un fluido incompresible: las líneas de dicho campo que tienden a salir o divergir de un punto ponen de manifiesto la presencia de una fuente, y en tal caso el resultado del cálculo de la divergencia en dicho punto es no nulo. Por ello se la suele llamar densidad volumétrica de fuentes. Los operadores vectoriales que veremos son el gradiente, divergencia y rotacional. GRADIENTE Interpretación geométrica: De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal a una superficie o curva en el espacio. Aplicaciones físicas. El Gradiente posee innumerables aplicaciones en física, especialmente en electromagnetismo y mecánica de fluidos. En particular, existen muchos campos vectoriales que puede escribirse como el gradiente de un potencial escalar. Uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial eléctrico Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo escalar, se denomina potencial, conservativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como Los gradientes también aparecen en los procesos de difusión que verifican la ley de Fick o la ley de Fourier para la temperatura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en un material es proporcional al gradiente de temperaturas Siendo k la conductividad térmica. DIVERGENCIA La aplicación central de la divergencia, es que esta proporciona el flujo por unidad de volumen.

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ROTACIONAL

El rotacional da la circulación por unidad de superficie.

4.12 VALORES EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Introducción Las funciones de una variable, que se han presentado en los tres últimos módulos, son una idealización conveniente de un gran número de situaciones, pero si queremos pensar en ejemplos de funciones que estén relacionadas con la ingeniería, nos veremos tentados a ampliar este concepto de tal manera que incluya magnitudes que dependan de más de un factor. Nuestro objetivo en los siguientes apartados es llegar a una definición formal de las funciones con varias variables y estudiar la extensión, en este contexto más general, de conceptos como la continuidad y la diferenciación, que, como ya 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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hemos visto, resultan una herramienta esencial para el análisis de funciones de una variable. En el transcurso de la primera parte encontraremos algunos ejemplos sencillos de funciones de varias variables, que un poco más adelante utilizaremos en la presentación del material. Definiciones Existen magnitudes que dependen de dos o más magnitudes independientes. Por ejemplo, el área de un rectángulo depende de la longitud de cada uno de sus lados, el volumen de un paralelepípedo rectangular depende de la longitud de cada una de sus aristas, etc. Es por ello necesario considerar un nuevo tipo de funciones cuyas entradas estén constituidas por dos o más valores. ¿QUÉ ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UN CONJUNTO A PARA UNA FUNCIÓN REAL DE N VARIABLES REALES? Es un punto de A en el cual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A. En símbolos:

¿Y CUÁNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO? Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respecto al resto de los valores de la función en los demás puntos de A.

En símbolos:

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Ejemplos: El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por:

El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:

Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos donde puede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.

Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias de existencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios. Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntos estacionarios que no son puntos de extremo local. ¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local? Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices. Recordemos que si A es una matriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A.

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Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local) Sea una función el Sea

IIc

con segundas derivadas parciales continuas en punto

la

Hessiana

matriz

estacionario llamada

de

Hessiana

en.

a) Si todos los valores propios de M son positivos mínimo b) Si todos los valores propios de M son negativos máximo c) Si todos los valores propios de M son no negativos mínimo local o no es un punto de

de:

Entonces: es un punto de local. es un punto de local. es un punto de extremo local.

d) Si todos los valores propios de M son no positivos es un punto de mínimo local o no es un punto de extremo local. e) Si los valores propios de M son al menos uno positivo y otro negativo pero ninguno nulo entonces no es un punto de extremo local Nota: Este teorema puede ser enunciado en términos del determinante de la matriz Hessiana y sus menores principales A continuación muestro algunos ejemplos en cada uno de los cuales se desea determinar los puntos de extremo local de una función polinomial en por lo que ya tenemos garantizado que: El dominio de la función es todo - La función es diferenciable por lo que los únicos candidatos a puntos de extremo son los puntos estacionarios debido a lo cual de no haber puntos estacionarios pues no habría extremos locales.

a)

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En este caso

Hallemos los puntos estacionarios para lo cual tenemos que resolver el sistema de ecuaciones:

Este sistema es compatible determinado y su solución es (1; 1; -1). Investiguemos el cumplimiento de las condiciones suficientes conformando la matriz Hessiana.

Esta matriz es diagonal por lo que sus valores propios son sus entradas o elementos diagonales. Como los valores propios son no nulos y de diferente signo pues el punto estacionario encontrado no es un punto de extremo local. Nota: Los puntos estacionarios que no son puntos de extremo local se denominan puntos de ensilladura.

b)

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En este caso

Resolviendo el sistema compatible determinado

obtenemos el punto

estacionario.

La matriz Hessiana es lo que el punto

cuyos valores propios son todos iguales a 2 por es un punto de mínimo local.

c) En este caso

Tenemos que resolver el sistema el cual tiene exactamente dos soluciones las cuales son Las matrices Hessianas.

.

.

Los valores característicos de son 6,4 y 16 mientras que los de son -6,4 y 16 por lo que el primero de los puntos estacionarios es un punto de mínimo local y segundo no es ni de mínimo ni de máximo.

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Te proponemos investigues en los incisos siguientes la existencia de extremos locales. d) e) f) g) h) i) j) Considero conveniente resaltar que en muchos casos la investigación del cumplimiento de estas condiciones suficientes no son muy recomendables debido a la complicación algebraica de la expresión analítica de la función. Ejemplo: En los casos en los que al menos uno de los valores propios sea nulo pues para poder decidir habría que recurrir a otros recursos entre los cuales se encuentran criterios de suficiencia los que a su vez involucran derivadas parciales de orden superior al segundo. Definición. Una función tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x, y) de algún entono de P. Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea: ; Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo. Condiciones suficientes para la existencia de extremos. (a) Caso de dos variables. Sea

un punto crítico de una función

con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea determinante de su matriz hessiana, entonces:

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el

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Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método) (b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

;

;

;...;

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en En cualquier otro caso hay duda.

Ejemplo1: Halla los extremos de la función

Solución: (a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden. ; Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P (0,3) es el único punto crítico de la función. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,3).

Con lo cual tenemos H (0,3)=+3 luego hay extremo y como de un mínimo.

se trata

El valor de la función en el mínimo es f (0,3)=-8.

Ejemplo2: Halla los extremos de la función

Solución: (a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

; Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P (0,0) es el único punto crítico de la función. Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,0).

Con lo cual tenemos H (0,0)=0 luego hay duda. Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya que

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El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8. Ejemplo3: Halla los extremos de la función

Solución: (a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;

;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

Y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P (0, 0, 0) es el único punto crítico de la función. Hallamos la matriz hessiana de f en P (0, 0,0).

Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

;

;

Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda. Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en este caso basta observar la función para que se trata de un punto silla para

los

puntos

del

tipo

(0,

0,

z)

y

para los puntos del tipo (x, y, 0). 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto crítico la función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho punto.

Contenidos básicos de las funciones de varias variables A continuación vamos a introducir, mediante el uso de ejemplos, el concepto de funciones de varias variables y apuntaremos la relevancia que tiene para el estudiante de ingeniería. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Tras haber entendido el concepto de función de una variable, el hecho de generalizarlo en el caso de varias variables no presenta problemas desde el punto de vista conceptual, pero en cambio, si introduce un grado más de Complejidad. Por este motivo, en el presente módulo desarrollaremos las herramientas que nos permitirán utilizar al máximo nuestros conocimientos sobre funciones de una variable y así, comprender mejor las funciones con más de una variable. Ejemplo 1. Dados dos números cualesquiera x e y, su media aritmética es el número intermedio entre ambos, es decir: (x + y)/2 En general, dados n números x1, x2,. . ., xn, su media aritmética es el número: M(x1, x2,. . ., xn) =(x1 + x2 + ・ ・ ・ + xn) / n La media aritmética es, pues, una función M(x1, x2,. . ., xn) de n variables. Ejemplo 2. El centro de tres masas m´ oviles conocidas (m1, m2, m3) situadas sobre el eje OX positivo es función de las posiciones de cada una de las masas en el origen x1, x2, x3. C(x1, x2, x3) = (m1x1 + m2x2 + m3x3) / (m1 + m2 + m3) 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Ejemplo 3. Un sistema de fiabilidad (o bien en circuitos eléctricos) funciona (la corriente pasa) si hay algún camino activado para ir desde el principio (A) hasta el final (B) del sistema (Circuito). Así pues, en una estructura en serie como esta:

La función de varias variables que describe el sistema es: F (x1, x2, x3, x4) = x1 x2 x3 x4, Donde el componente i funciona si xi = 1, y no lo hace si xi = 0. De este modo, el sistema funciona si los cuatro componentes lo hacen, es decir, x1 = x2 = x3 = x4 = 1. En caso de que alguno de los componentes no funcione (xi = 0), la corriente no pasa de A a B.

Un sistema paralelo como por ejemplo:

Ejemplo 4. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada por: g(x, y) = 1/(x-y), y x. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Ejemplo 5. Supongamos que tenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por: T (x, y) = 500 − 0,6x2 − 1.5 y2.

Representación grafica de la función T (x, y) Ejemplo 1.9.

5.1 INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN. INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN. La integración es un método para la obtención de una función o un valor cuyo diferencial sea equivalente a la misma función. Esto significa que si la función dada es f(x), mediante integrarla obtendríamos g(x). Ahora bien, si g „(x) es el diferencial de la función g(x) entonces g‟ (x) y f (x) son la misma función en sí. El proceso de integración es el inverso de la diferenciación. El símbolo se utiliza para denotar la función de integración. Sea f(x) el coeficiente diferencial de una función F(x) con respecto a x entonces, O, Tomando la sumatoria de todas las diferenciales obtenemos, dy = f(x) dx = d [F(x)] O, y = f(x) dx = F(x) Cuando dx tiende hacia cero, la sumatoria es sustituida con la integral. Entonces, y = f(x) dx = F(x) Aquí f(x) dx es leída como la integral de f(x) dx. En la ecuación anterior, f(x) es llamada integrando y F(x) es llamada la integral o función primitiva de f(x). Además la integración de f(x) con respecto a x es F(x). Es importante tener en cuenta que el signo se utiliza para la sumatoria de valores discretos, mientras que se utiliza para la sumatoria de funciones continuas. Esto significa que el método de integración se utiliza para sumar el efecto de una función que varía continuamente, por ejemplo, el trabajo hecho en contra de una fuerza variable. Es de notar que el álgebra ordinaria no proporciona algún método para sumar el efecto de una función que varíe. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO La integración es de dos tipos, integración indefinida e la integración definida. Cuando una función es integrada dentro de los límites definidos, la integral se denomina integral definida. Por ejemplo: f(x) dx es la integral definida de f(x) entre los límites a y b y es escrita como, f(x) dx = F(x) = F(b) – F(a) Aquí a se llama límite inferior y b se llama límite superior de integración. Si una función está dada por y = + C, donde C es una constante de integración entonces, dy/ dx = d(5×5 + C)/ dx = 25×4 + 0 = 25×4 Como la integración es el proceso inverso de la diferenciación, por tanto 25×4 dx = 5×5. Esto significa que durante la integración la constante no aparece. Esto es debido al hecho de que el coeficiente diferencial de una constante es cero.

Por tanto, no podemos decir con certeza si es 25×4 dx = 5×5 o 5×5 + C. Dicha integración se conoce como integración indefinida. Por consiguiente en todas las integrales indefinidas, se supone que está presente una constante de integración C, si la condición de integración, esto es, el límite de integración no es mencionado. Es por esto que debemos añadir una constante C en el resultado de todas las integrales indefinidas. Vamos ahora a resolver un ejemplo con los dos métodos para entender la diferencia entre ambos. 27 p2 (p3 + 2)8 dx El ejemplo anterior no contiene límites de integración y por tanto es una integral indefinida. 27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 + C Ahora bien, si ponemos los límites de la integración como, 27 p2 (p3 + 2)8 dx (p3 + 2)9 (33 + 2)9 - (23 + 2)9 = 381957187929 Formulas integrales

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5.2 INTEGRAL DE LINEA.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Se dan funciones vectoriales en aplicaciones físicas tales como campo eléctrico y campo magnético. Aparecen con regularidad los productos escalares de estas funciones vectoriales, con otro vector tal como la distancia o longitud de un trayecto. Cuando tal producto se suma sobre una longitud de trayecto, donde cambian tanto las magnitudes como las direcciones, esa suma viene a ser una integral llamada integral de línea.

También se usa una integral de línea en la definición general de trabajo en mecánica. La integración de línea es la técnica de integración para una función a lo largo de una curva dada. También es conocida por los nombres de integral de contorno, integral de trayectoria, curva integral etc. Aquí uno podría confundir la integral de línea y el cálculo de la longitud de un arco con la ayuda de la integración. Ambos, los campos escalares así como los vectoriales pueden ser integrados utilizando este método. Una integración de línea de tales campos produciría una sumatoria de valores de campo para cada punto de la curva dada que se encuentra en el campo. Por ejemplo, asuma que la fuerza F actúa sobre una partícula y haga que se mueva sobre la trayectoria AB como se muestra a continuación.

Esto implica que el trabajo total realizado por la fuerza F en el movimiento de la partícula a lo largo de una distancia pequeña s será, W = F. s De manera similar, para determinar el trabajo completo realizado por la fuerza F para mover la partícula a lo largo de toda la trayectoria se calculará la suma de todas las piezas pequeñas de trabajo realizado. Esto se hace mediante la integración, por supuesto como,

Aquí es importante notar que en lugar de escribir los límites de integración, sólo el nombre de la trayectoria está escrito en el subíndice. Esto significa que la integración se está efectuando a lo largo de una trayectoria AB. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Este es un enfoque de integración totalmente diferente, dado que aquí la variable está siendo integrada con respecto a la función, y no se está incrementando a lo largo de una trayectoria recta, sino que es curva. Por esta razón en particular, esta integral es reescrita en la forma de sus coordenadas Cartesianas x y. Y la función es integrada como,

Como se puede observar en la figura anterior, la fuerza F se bifurca en dos componentes en las direcciones x e y como P x y Q y, respectivamente. Por tanto, la integral anterior se transforma en una de la manera siguiente,

El cálculo de la integral de línea de un campo escalar es algo diferente. En este, dividimos lo dado en piezas más pequeñas de igual longitud. Elija un punto arbitrario en la curva y nómbrelo como punto de muestra. Permita que el punto de muestra sea elegido por cada pieza de arco sobre la curva completa. Trace una línea recta entre cada par de estos puntos de muestra. Sea la distancia entre estos puntos de muestra denotada como s. INTEGRAL DE LINEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.

La derivada de r se define de la manera usual

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Sea r(t) la descripción de una curva C en el plano o en el espacio. El parámetro t podría ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x; etc. Decimos que la curva C es regular en [a; b] si r´ (t) es continua en [a; b] y r´ (t) 6= ¡!0 para todo t 2 [a; b] (es decir las componentes de r no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es regular a trozos en [a; b] si es regular en cada subíntralo de alguna partición finita de [a; b]: En R2 escribimos r (t) = (x (t); y (t)) o también r(t) = x(t) i v + y(t) j v, con t [a; b] En R3 escribimos r(t) = (x(t);y(t); z(t)) o también r(t) = x(t) i v + y(t) j v + z(t) k v, Una función vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas. Ejemplos: Calcular las siguientes integrales:

Solución (a) El triangulo dado se descompone en tres segmentos de recta que parametrizamos de la Siguiente forma:

Calculamos en cada tramo el modulo del vector de velocidad:

Con estos datos, la integral de línea se calcula como sigue:

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(b) Si escribimos la circunferencia x2 + y2 = ax de la forma (x − a/2)2 + y2 = a2/4, su parametrización viene dada por

De este modo, Por tanto,

Calcular: (x3y + y3x/3) dx + ax2 dy Siendo C el contorno de la región definida por X2 + y2 − 2ay < 0, y > a (a > 0). Solución El contorno del semicírculo indicado se descompone en dos curvas (el diámetro inferior y la Semicircunferencia superior), cuyas parametrizaciones son las siguientes: Calculamos por separado la integral a lo largo de cada curva. En el caso de C1, como dx = 1, dy = 0, resulta:

En C2, dx = −a sen t dt, dy = a cos t dt, de modo que:

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En definitiva,

Solución La curva dada es la intersección del paraboloide x2+y2 = 2z con el plano x+y−z+1 = 0.

Si sustituimos el valor de z en la primera ecuación, la curva se puede expresar como:

La cual puede parametrizarse como:

Sustituyendo estos valores y sus derivadas en la integral, resulta:

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Hallar las longitudes de los arcos de las siguientes curvas:

Solución: Si la curva se parametriza por el vector de posición r (t), con t0 viene dada por la fórmula

, la longitud

5.3 INTEGRACIONES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES. Definición de integral doble. Se debe enfatizar que las condiciones de esta definición son suficientes pero no necesarias para la existencia de la integral doble. El cálculo del valor de una integral doble directamente de la definición es muy tedioso, por lo que existe un teorema para integrales dobles. Teorema fundamental para integrales dobles. Si la integral doble

De f en R existe, y si la región R es de alguno de estos dos tipos: acotada cuya frontera es una curva cerrada simple y rectificable, y cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje x interseca a la frontera de R en solo dos puntos (región R tipo T1) o si cada línea que pasa por un punto interior de R y perpendicular al eje y interseca a la frontera de R solo en dos puntos (región R

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO tipo T2). O si R es la unión de un número finito de regiones del tipo T1 o T2, las integrales iteradas se pueden usar para calcular la integral doble. Hasta ahora se han calculado el área de figuras geométricas planas elementales: el rectángulo, el círculo, el trapecio, etc. Pero, ¿cómo calcular el área de figuras no regulares? Una buena aproximación puede ser la de dividir la zona en pequeños rectángulos y sumar las áreas de cada uno de ellos:

Esta idea era la que subyacía en la construcción de la integral que vimos en el tema anterior y que nos permitió calcular longitudes de curvas, áreas limitadas por curvas y volúmenes de cuerpos de revolución. En este tema, se generaliza el concepto de integral definida a funciones de dos o tres variables, obteniendo las llamadas integrales de área o de volumen, respectivamente. Esto nos permitirá calcular el volumen de cuerpos limitados por superficies, no necesariamente de revolución. También permitirá calcular áreas mediante integrales dobles sencillas que en el tema anterior resultaban algo más complicadas. Se empezará definiendo la integral sobre un rectángulo.

Integrales dobles sobre rectángulos Sea f(x, y) una función acotada sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d]. Una partición del rectángulo R son dos conjuntos de puntos {x j} j n = 0 e {y j} j m =0, Satisfaciendo Es decir, P = P1 × P2, donde P1 y P2 son particiones de [a, b] y [c, d], Respectivamente. Se llama área de R a v(R) = (d−c) (b−a). Toda partición divide al rectángulo R en n ・m sub rectángulos Rjk = [xj−1, xj ] × [yk−1, yk], j = 1, . . . , n, k = 1,. . ., m Se llama norma de la partición P a ll P ll = máx{v(Rjk) : j = 1, . . . , n; k = 1, . . . ,m}

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Una partición del rectángulo R = [a, b] × [c, d]

Considérese cualquier punto Cjk del rectángulo Rjk y fórmese la suma

llamada suma de Riemann para f En la siguiente gr´afica hemos representado las sumas de Riemann para la funci´on f(x, y) = x2 + y2 tomando como punto cjk el punto medio del rect´angulo y el punto inferior del rect´angulo.

Cálculo de integrales dobles El cálculo de una integral doble se realiza mediante el cálculo de dos integrales iteradas, de acuerdo al siguiente teorema: Teorema 10.6 (Teorema de Fubini) Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d]. 1. Si para cada x ∈ [a, b], la sección transversal fx(y) := f(x, y), y ∈ [c, d], es integrable sobre [c, d], entonces la función

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Es integrable sobre [a, b] y se verifica 2. Si para cada y ∈ [c, d], la sección transversal fy(x):= f(x, y), x ∈ [a, b], es integrable sobre [a, b], entonces la función

Es integrable sobre [c, d] y se verifica

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECINTOS ACOTADOS Para generalizar el concepto de integral doble a recintos acotados se hace uso de la función característica

Si el conjunto A es acotado y verifica que su frontera tiene medida nula, entonces la función característica es integrable sobre cualquier rectángulo R que contiene a A y, en este caso, existe

Que se llama la medida o área de A. El conjunto A se dice, entonces, medible. Entonces, dada una función integrable sobre un rectángulo R ⊃ A, se define

En la figura siguiente puede verse gráficamente este proceso, donde F(x, y) = 1A(x, y) f (x, y):

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Recinto acotado y función característica

INTEGRALES ITERADAS TRIPLES Definición de integral triple Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla. Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que F es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones. En este tipo de espacio los conceptos de conjunto abierto, conjunto cerrado, región, punto frontera, punto interior, región cerrada, y región cerrada acotada son definidos por extensiones de las definiciones en el espacio de dos dimensiones, con una adaptación de la terminología. Las integrales triples no tienen ya mayor dificultad salvo la añadida por una dimensión más. Los rectángulos anteriores se substituyen ahora por rectángulos tridimensionales, o sea, cajas R = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Una partición P de R es ahora P = P1 × P2 × P3 siendo P1, P2 y P3 particiones de los intervalos [a, b], [c, d] y [p, q], con respectivamente. Si P1 tiene n + 1 puntos, P1 tiene m + 1 puntos y P3 tiene r + 1 puntos, la partición P = P1×P2×P3 divide al rectángulo R en n・m・r sub rectángulos Rijk = [xi−1, xi] × [yj−1, yj ] × [zk−1, zk]; cada uno de los cuales tiene volumen V (Rijk = (xi − xi−1)(yj − yj−1)(zk − zk−1).

Procediendo de forma similar al caso de dos variables, dada una función real acotada f definida en R, se define la suma de Riemann correspondiente a la partición de P de R como Con xijk ∈ Rijk. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Dada la función acotada f: R −→ R se define la integral triple como el límite de las sumas de Riemann cuando llPll tiende a 0:

Siempre que dicho límite exista y sea independiente de la elección del punto xijk. Como antes toda función continua es integrable y toda función acotada cuyas discontinuidades tienen medida nula es integrable. Finalmente, el cálculo de una integral triple puede reducirse al cálculo de tres integrales iteradas:

Sea f una función integrable sobre un rectángulo R = [a, b] × [c, d]×[p, q]. Si existe cualquier integral iterada, es igual a la integral Triple

Y así sucesivamente hasta completar todas las ordenaciones posibles. Ejemplo Calcular la integral sobre R = [−1, 1] × [0, 2] × [1, 2] de la función f(x, y, z) = x y z Solución: Se tiene que

Ejemplo 2.1.4. Calcular en el cuadrilátero Q del plano x, y que tiene vértices A = (0, 0), B = (1, −1), C = (2, 1), D = (1, 3).

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Primero dibujemos el cuadrilátero en el plano x, y, tomando x en el eje de abscisas horizontal, e y en el eje de ordenadas vertical. Observamos que x varía entre un mínimo x = 0 y un máximo x = 2 en el eje de abscisas. El intervalo [a, b], proyección vertical sobre el eje horizontal del cuadrilátero Q = ABCD es: [a, b] = [0, 2]. Para cada valor de x fijo en [0, 2] consideremos los bastones verticales de extremos (x) (x). Estos bastones son la intersección del cuadrilátero Q (incluido su interior), con la recta vertical x constante. Entonces, las graficas de las funciones y = (x) e y = (x), son, para cada x constante, los dos puntos de intersección del borde inferior de Q, y superior de Q respectivamente, con la recta vertical x constante. Encontremos estas funciones (x) y (x): Cuando 0 x 1, la función y = (x) es la ecuación del segmento de recta AB; y cuando 1 x 2 la función y = (x) es la ecuación del segmento de recta BC. Ambos segmentos de rectas forman el borde del cuadrilátero Q por abajo. Esto es: Ecuación 1 (x): y = −x si 0 x 1 Ecuación 2 (x): y = 2x − 3 si 1 x 2

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Para encontrar la ecuación del segmento de recta no vertical PQ donde P = (xP, yP ) y S =(xS, yS), se usó la fórmula de la ecuación de una recta, restringida al intervalo de abscisas donde se proyecta el segmento; es decir: Las fórmulas (1) y (2) son las que corresponden a una única función (x), definida en el intervalo [0, 2] de la variable independiente x. Esto es porque (1) vale en el intervalo [0, 1], y (2) en [1,2]. Ambas son tales que en la intersección de los dos intervalos, (que es x = 1), dan el mismo punto x = 1, y = −1 (que es el vértice B = (1, −1) del cuadrilátero Q). Por lo tanto la función (x), dada por las ecuaciones (1) y (2), está bien definida, y además es continua en su dominio [0, 2]. Ahora, para 0 x 1, busquemos la(s) fórmula(s) de la función y = (x). Su gráfica son los Segmentos de recta AD y DC, que forman el borde del cuadrilátero Q por arriba. Esto es:

Las fórmulas (3) y (4) son las que corresponden a una única función (x), definida en el intervalo [0, 2] de la variable independiente x. La fórmula (1) vale en el intervalo [0, 1], y la fórmula (2) en [1,2]. Son tales que en la intersección de ambos intervalos, (que es x = 1), ambas dan el mismo punto x = 1, y = 3 (que es el vértice D = (1, 3) del cuadrilátero).

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Por lo tanto la función (x), dada por las ecuaciones (1) y (2), está bien definida, y además es continua en su dominio [0, 2]. Calculemos ahora la integral pedida:

Para poder sustituir las fórmulas (1), (2), (3) y (4), de _(x) y (x), en la igualdad (5), hay que separar el intervalo de integración [0, 2] de las x, en dos partes, escribiendo la integral en [0, 2] respecto de x (que es la ´ultima a calcularse), como la suma de la integral en [0, 1] más la integral en [1, 2]:

Ahora calculemos cada una de las integrales dobles en el segundo miembro de (6):

En definitiva:

Ahora calculemos la ´ultima integral doble en el segundo miembro de (6):

En definitiva: Sustituyendo (7) y (8) en (6) se deduce:

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Integral triple iterada en dominio (tridimensional) simple respecto de x, y o de y, x. Sea D _ [a, b]×[c, d]×[e, h] un dominio simple respecto de x, y o de y, x(como en la definición 3.1.1), y sea f(x, y, z) continua en D. Se llama Integral triple iterada de f en el dominio D al número: Que se denota Observación: Las integrales iteradas se calculan de derecha a izquierda, tomando, cuando se integra en cierta variable (por ejemplo z) constantes las variables que están en la o las integrales de la izquierda (en este ejemplo x e y).

Las integrales de la igualdad de arriba se calculan de derecha a izquierda: es decir, primero con x, y constantes, se integra f(x, y, z) respecto de z en el intervalo [ (x, y), (x, y)] (no olvidarse que x e y son constantes mientras se integra en z). Al resultado obtenido, que depende sólo de x e y, y es por lo tanto una función de (x, y), se le Integra con x constante, respecto de y variable en el intervalo (x), μ(x) (con x constante). Al resultado obtenido ahora, que depende sólo de x, se le integra finalmente respecto de x en el intervalo [a, b]. (Véase el ejemplo más abajo.) Análogamente, si D es simple respecto de y, x (como en la igualdad (1d)), la integral triple de f en D.

Las integrales de la igualdad de arriba se calculan de derecha a izquierda: es decir, primero con x, y constantes, se integra f(x, y, z) respecto de z en el intervalo [_(x, y), (x, y)] (no olvidarse que x e y son constantes mientras se integra en z). Al resultado obtenido, que depende sólo de x e y, y es por lo tanto una función de (x, y), se le integra con y constante, respecto de x variable en el intervalo _(y), _(y) (con y constante). Al resultado ahora obtenido, que depende sólo de y, se le integra finalmente respecto de y en el intervalo [c, d]. Ejemplo: Calcular En el dominio sólido D del espacio x, y, z que tiene por ecuaciones:

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5.4 APLICACIÓN A ÁREAS Y SOLUCION DE PROBLEMAS. El problema del cálculo del área Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física. Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo. Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y v = 3. Solución: El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por lo que deberemos usar la fórmula e = v*t que nos da el espacio recorrido por el cuerpo si conocemos su velocidad y el tiempo transcurrido t. Por lo tanto, para calcular el espacio recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6 hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el área del rectángulo coloreado, y que es al mismo tiempo el área encerrada por las rectas: t = 0, t = 6, v = O y v = 3. Hasta ahora hemos calculado el área encerrada por funciones continuas pero ¿qué haríamos para calcular el área encerrada bajo la función del dibujo 1 entre x = 1 y x = 4?, ¿es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva en figuras cuya área conocemos? Para investigarlo, consideremos la gráfica velocidad-tiempo del dibujo 2, y calculemos el espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. ¿Cómo calcularíamos, aproximadamente, el área encerrada bajo esta función entre t = 0 y t = 1?. Acotaremos dicha área superior e inferiormente, utilizando rectángulos. ¿Cómo podríamos hacer que estas acotaciones fuesen cada vez más exactas?

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Dibujo 1. Gráfica función escalonada

Dibujo 2. Gráfica v(t) = -2t2 + 2t + 1

Es intuitivo que el área encerrada por la función del dibujo 1 se calcula sumando las áreas de los rectángulos que define la función entre dichos puntos. Este tipo de funciones cuya gráfica en un intervalo son tramos de rectas paralelas al eje de las x, se llaman funciones escalonadas, y las estudiaremos con más detalle más adelante. Como se ve en el dibujo 2, no siempre es posible descomponer el área encerrada bajo una curva, en figuras geométricas simples. En el caso del ejercicio, dicha área se encuentra comprendida entre un rectángulo de base 1 y altura 1, y un rectángulo de base 1 y altura 1.5, por lo tanto sabemos que se encuentra entre uno y uno y medio, pero no podemos decir con exactitud cuál es su valor. Para estos casos precisamente es para los que se ideó el método de exhaución. El método de Exhaución. El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas. Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos.

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Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta. Área del recinto limitado por una función que cambia de signo en [a,b]Finalmente, si la gráfica de una función queda parte por encima, y parte por debajo deleje de abscisas, la integral se descompondrá en varios sumandos cuando se quiera calcular el área de la región que delimita con el eje de abscisas en el intervalo [a, b]. Sabemos que:

Si la función f se anula y cambia de signo en más puntos, se procede de forma análoga, calculando las áreas de cada uno de los recintos.

Área del recinto limitado por dos funciones En este apartado vamos a calcular el área de recintos planos más generales que los estudiados en los apartados anteriores. Uno de los problemas que suele plantearse es la determinación exacta de la región cuya área queremos calcular. Como norma conviene, siempre que sea

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posible, hacer una representación lo más aproximada posible de dicha región o

recinto. Sean f y g dos funciones continuas en [a,b]. Supongamos que sus gráficas se cortan en [a,b] para x = a1, x = a2, ..., x = an, con lo que determinan n+1 regiones R1, R2,..., Rn+1.

El área de cada región Ri es funciones en el intervalo [a,b] bale:

, luego el área limitada por las dos

EJERCICIOS RESUELTOS DE APLICACIONES DE LA INTEGRAL. ÁREAS

Ejercicio: 1 Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.

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Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.

Ejercicio: 2 Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0). Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

Ejercicio: 3 Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.

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Ejercicio: 4 Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.

·

Ejercicio: 5 Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.

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Ejercicio: 6 Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

Ejercicio: 7 Hallar el área limitada por la recta correspondientes a x = 0 y x = 4.

, el eje de abscisas y las ordenadas

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Ejercicio: 8 Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.

Ejercicio: 9 Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados. Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.

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El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x. El área de rectángulo es base por altura. A1=e2.2=2e2 U2 El área bajo la curva y = ln x es:

Ejercicio: 10 ·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.

El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración. 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Ejercicio: 11 Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.

Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.

Hallamos los nuevos límites de integración.

Ejercicio: 12 Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.

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Ejercicio: 13 Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.

De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.

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Ejercicio: 14 Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX. Puntos de intersección: Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):

Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):

Ejercicio: 15 Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.

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5.5 INTEGRACION DOBLE EN COORDENADAS POLARES. En ocasiones las integrales son más fáciles de evaluar si se cambia a coordenadas polares. En esta sección se muestra como hacer el cambio y como evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares. En la definición de la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy utilizamos rectángulos con lados paralelos para dividir la región. En coordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen valores de r y  constante

Sector polar

Para definir la integral doble de una función continua z = f(x; y) en coordenadas polares, la región R esta acotada por las curvas r = g1 () y r = g2 () y las rectas  = y  = . La región R se divide en múltiples sectores polares (en lugar de rectángulos). El área de un sector específico i es La suma de Riemann (convirtiendo a polares x y y) es

El límite de la sumatoria cuando n es la integral doble

En forma análoga a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir regiones r-simples en las cuales la región está limitada por ángulos fijos 1 y 2, y por r constante o función de y se especifican como

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO En las regiones q-simples, la región esta acotada por valores constantes de r (r1 y r2) y por ángulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma

Para definir los límites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (en lugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la región R, entonces es una región r-simple. Si los límites en r son constantes y los ángulos mínimo y máximo de la región son funciones de r, entonces es una región -simple.

Ejemplo Determine los límites en forma polar de la región acotada por el círculo y la recta Solución: Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadas rectangulares, esto es, se hace un dibujo de la región y se traza el rayo de prueba.

El rayo L siempre entra en la región por la recta y sale por la curva . Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva

y para la recta

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El ángulo mínimo es la intersección de la recta con la curva

y el ángulo máximo es

. La región se especifica como

y la integral doble

Área en coordenadas polares Al igual que en coordenadas rectangulares, si f(x; y) = 1, el resultado de la integral doble es el área de la región plana, esto es

Donde dA = dr d= d dr. Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy y limitados por la superficie f(x; y), la integral doble que da el volumen se transforma en

Donde la ecuación de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituir x = r cos  y y = r sen . Ejemplo 2 Calcular el área entre los círculos de radio 1 y radio 2 con el mismo centro. Solución. Por facilidad, se considera que el centro de ellos es el origen (0,0), por lo que las ecuaciones de ellos son x2 + y2 = 1; y en coordenadas polares r = 1 x2 + y2 = 4; y en coordenadas polares r = 2 Puesto que las ecuaciones de los círculos son más sencillas en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares, se calcula el área en coordenadas polares. Para el análisis, se hace un bosquejo de la región (con winplot) y se traza un rayo desde el origen que cruce la región.

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El rayo entra por el círculo de radio 1 y sale por el círculo de radio 2, y el ángulo es desde 0 hasta 2_ para que el rayo pase por toda la región. La región se especifica con Los límites para ambos,  y r son constantes, por lo tanto, se puede utilizar cualquier orden de integración dr d o ddr. La integral doble para el cálculo del área es

Ejemplo 3 Calcular el área de la superficie limitada por la curva r = 1 – cos . Solución: Se hace un bosquejo de la región (con winplot en coordenadas polares) y se traza un rayo desde el origen

. En la figura se observa que el rayo, entra a la región por el origen y sale por la curva r = 1 - cos , o sea, que los limites son 0 y 1- cos . Al girar el rayo para cubrir toda la región, el ángulo varía de 0 a 2. La región se especifica como

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La integral doble para calcular el área es

Diferencial de área en coordenadas polares: Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: s = r, tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está dado por dA = (dr) figura. Se acostumbra escribir como dA = r dr d

Ejemplo 1: Evalúe la integral por el semicírculo Solución:

(rd)

como se muestra en la

en donde D es la región limitada y el eje y, pasando a coordenadas polares.

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Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano z = 0, y el Paraboloide z =1 - x2 y2. La curva de intersección de las superficies es:

z1 = z 2 1− x2 − y2 = 0 X2 + y2 = 1 r2 =1 r =1 Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide z = x2 + y2, arriba del plano x y, y dentro del cilindro x2+ y2= 2x La base del volumen es:

x 2 + y 2 = 2x

(x

2

)

− 2x + 1 + y 2 = 1

(x − 1)2 + y 2 = 1 Círculo C (1,0 );r = 1 Su ecuación en c. polares:

x 2 + y 2 = 2x r 2 = 2r cosθ r = 2 cosθ

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Ejemplo 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro de la esfera 16 x + y + z = y fuera del cilindro 4 La esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 r 2 + z 2 = 16 El cilindro x2 +y2 =4 r2 =4 r=2

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5.6 coordenadas cilíndricas y esféricas. COORDENADAS CILÍNDRICAS. Ya hemos tenido ocasión de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta sección introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una generalización de las coordenadas polares en el espacio. EL SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS. En un sistema de coordenadas cilíndricas, un punto p del espacio se representa por un trío ordenado (r, ө, z). 1.- (r, ө) son las coordenadas polares de la proyección de p sobre el plano x y. 2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ө). Para pasar de rectangulares a cilíndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversión. Cilíndricas a rectangulares. X = r cos ө, y = r sen ө, z=z Retangulares a cilíndricas: R2 =x2 + y2, tg ө =y/x, z = z. El punto (0, 0,0) se llama el polo. Además, como la representación de un punto en polares no es única, tampoco lo es en cilíndricas. Ejemplo 1: Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, ө, z) = (4,5π/6,3). Solución: Con las formulas de conversión de cilíndricas a rectangulares obtenemos. X = 4 cos 5 π / 6 = 4 (-√3 / 2) = -2 (√3). Y = 4 sen 5 π/ 6 = 4 (1/2) = 2 Z=3 Así pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( √ 3, 2, 2). Ejemplo 2: Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuación: x2 + y2 =4z2 y2 = x

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Solución a) Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2, obtenemos su ecuación en cilíndricas. x2 +y2 =4z2 r2 = 4z2

ecuación en coordenadas rectangulares. ecuación en coordenadas cilíndricas.

Solución b) La superficie y2 = x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2 ө y x por r cos ө, obtenemos: y2 = x ecuación rectangular. r2 sen2 ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө. r(r sen2 ө – cos ө) = 0 agrupar términos y factorizar r sen2 ө – cos ө = 0 dividir lós dos miembros por r r = cos ө / sen2 ө despejar r r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas. Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r. Ejemplo 3: Hallar la ecuación en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuación en cilíndricas: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 Solución: r2 cos 2ө + z2 + 1 = 0 ecuación en cilíndricas 2 2 2 2 r (cos ө – sen ө) + z = 0 identidad trigonométrica. r2 cos2 ө – r2 sen2 ө +z2 = -1 X2 – y2 +z2 = -1 sustituir r cos ө por x y r sen ө por y Y2 – x2 – z2 = 1 ecuación rectangular. Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y. COORDENADAS ESFERICAS. Es el sistema de coordenadas esféricas cada uno se representa por un trío ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO EL SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS. Es en sistema de coordenadas de sistemas esféricas un punto p del espacio viene representado por un trío ordenado (p, ө, ǿ). 1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0. 2.- ө es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para r> 0. 3.- ǿ es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > ǿ < π. Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas. La relación entre las coordenadas rectangulares y las esféricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes: Esféricas a rectangulares: X =p sen Ф cos ө, y= p sen Ф sen ө, z = p cos Ф. Rectangulares a esféricas: P2= x2 + y2 + z2, tg ө=y/x, Ф= arcos (z/√ x2 + y2 +z2). Para cambiar de coordenadas esféricas a cilíndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes: Esféricas a cilíndricas (r > 0): r2 =p2 sen2 Ф, ө = ө, z = p cosФ. Cilíndricas a esféricas (r> 0): P= √r2 + z2, ө = ө, Ф = arcos (z / √r2 + z2). Las coordenadas esféricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetría. Ejemplo 1: Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican. a).- cono: x2 + y2 = z2 b).- esfera: -4z = 0 Solución: a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene: x2 + y2 = z2 p2 sen2 Ф cos2ө + p2 sen2Ф sen2ө =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф (cos2ө + sen2ө) =p2 cos2Ф p2 sen2 Ф = p2 cos2 Ф sen2 Ф/ cos2 Ф = 1 p> 0 tg2 Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4

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La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su mitad inferior. b).-como p2 = x2 +y2 + z2 y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en coordenadas esféricas. P2 – 4 p cos Ф = 0 → p (p -4 cos Ф) = 0 Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuación en esféricas. P -4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1. Encuentre el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z = x2 + y2 y z = 2 − x2 − y2. Solución: Calculando en coordenadas cilíndricas:

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Problema 2. Calcular el volumen de la región determinada por los planos x = 0, y = x y la superficie z2 = 1 − y2. Solución: En coordenadas rectangulares el volumen queda:

Pasando a coordenadas cilíndricas en las variables y y z: x=x y = r cos ө z = r sen ө Observar que con esa variación de ө el volumen queda:

Problema 3. Hallar el volumen

del

sólido

R,

determinado

por

las

ecuaciones

Solución 4. UNIDAD FUNCIONES REALES DE CARIAS VARIABLES.

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Problema 4. Calcular el

volumen

Solución: Integrando sobre el disco

del

sólido

acotado

por

las

superficies

y pasando a coordenadas polares.

Nota: El resultado es el mismo si se hace con integrales triples y se pasa a coordenadas cilíndricas.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Problema 5. Hallar el volumen del sólido S, acotado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el hiperboloide x2 + y2 − z2 = 1. Solución:

Problema 6. Calcular:

Donde R es la parte común de las esferas

Solución: Observar que la intersección de las dos esferas se produce cuando y corresponde a puntos con ángulo respecto del eje z y distancia En coordenadas esféricas la integral se debe separar en dos regiones. Para se tiene que y

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En cilíndricas.

Problema 9. Calcular

Donde R es el interior de la esfera x2 + y2 + z2 = x. Solución Observar que: x2 + y2 + z2 = x Se trata de una esfera con centro en esféricas queda:

y radio

. En coordenadas

Se tiene:

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO Luego la integral queda

5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Objetivos. 1. Entender el teorema de Fubini para integrales de funciones de varias variables. 2. Establecer la integral iterada (en un sistema de coordenadas dado) igual a una integral doble de una función de dos variables en un dominio del plano dado. 3. Evaluar integrales iteradas. 4. Establecer integrales dobles para calcular el área de una región plana. 5. Establecer integrales dobles o triples para calcular el volumen de una región dada del espacio. 6. Dar la interpretación del elemento de área cuando se hace un cambio de variable en el plano. 7. Dar una interpretación del elemento de volumen cuando se hace un cambio de variable en el espacio (como coordenadas cilíndricas, esféricas, etc.) 8. Establecer integrales iteradas en algún sistema de coordenadas como las cartesianas, polares de una integral doble sobre una región dada. 9. Establecer integrales iteradas en algún sistema de coordenadas como las cartesianas, cilíndricas, esféricas de una integral triple sobre una región dada. 10. Utilizar integrales dobles para el cálculo de la masa, centro de masa de una masa. 11. Utilizar integrales triples para el cálculo de la masa, centro de masa y momento de inercia respecto a una recta L de un sólido.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL ISTMO La definición de integral triple es análoga a la de integral doble. En el caso más simple consideremos una caja rectangular R acotada por 6 planos x= a0, x= a1, y = b0, y = b1, z = c0, z = c1; y sea u = f(x,y,z) una función de tres variables definida en todo (x,y,z) de R. Se subdivide el espacio en cajas rectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados. Sean B1, B2,......, Bn aquellas cajas de la subdivisión que contienen puntos de R. (Ver figura)

Intuición geométrica de la integral triple Se designa con V(Bi) el volumen de la i-ésima caja Bi. Se elige un punto de coordenadas Pi) en Bi, esta elección se puede hacer en forma arbitraria. La suma

es una aproximación de la integral triple. La norma de subdivisión es la longitud de la mayor diagonal de las cajas B1, B2,....., Bn. Si las sumas anteriores tienden a un límite cuando la norma de la subdivisión tiende a cero y para elecciones arbitrarias de los puntos Pi, a este límite lo llamaremos la integral triple de f sobre R. La expresión

se utiliza para representar el límite. Así como la integral doble es igual a dos integrales iteradas, también la integral triple es igual a tres integrales iteradas. Para el caso de la caja rectangular R se obtiene

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Observación 1. Las integrales iteradas se efectúan considerando todas las variables constantes, excepto aquella respecto a la cual se integra. Este concepto se puede extender a n variables. Ejemplo 12. Evalúe la integral triple

donde B es la caja rectangular dada por B (x,y,z) / 0 x 1, 1 y 2,0 z 3.Solución.

Ejemplo 13. Sea

Plantee en el orden dxdzdy. Solución.

CAMBIO DE VARIABLES EN LA INTEGRAL TRIPLE. Sea T una transformación que delimita una región S en un espacio uvw sobre una región R en el espacio xyz por medio de las ecuaciones x g(u,v,w) , y h(u, v,w) , z k(u, v,w). El jacobiano de T es el siguiente determinante de 3x3 :

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Bajo las mismas hipótesis vistas en integrales dobles, se tiene la siguiente fórmula para integrales triples:

COORDENADAS CILINDRICAS. En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r, , z), donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P (ver figura). Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares se usan las ecuaciones dadas por x r cos() , y rsen() , z z , mientras que, para convertir de coordenadas retangulares a cilíndricas se usan r2 x2 y2 , tg() y / x , z z. Estas coordenadas son preferidas cuando hay simetría alrededor de un eje. Ejemplo 14. Determine el punto con coordenadas cilíndricas (2,2/3,1) y encuentre sus coordenadas rectangulares. Solución.

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Sistema de coordenadas cilíndricas Ejemplo 15. Determine las coordenadas cilíndricas del punto con coordenadas rectangulares (3, −3, −7). Solución.

Ejemplo 16. Describa las siguientes superficies en coordenadas cilíndricas. a. z r. Un cono b. r c. Un cilindro circular recto c. c. Una recta que pasa por el origen d. z c. Un plano horizontal. Ejemplo 17. Encuentre la ecuación en coordenadas cilíndricas del elipsoide de ecuación 4x2 +4y2+z2 =1. Solución. 4(x2+y2)+z2=1 4r2+z2=1 z2=1-4r2 Si se quiere realizar un cambio de variables en las integrales triples usando las coordenadas cilíndricas se tiene que x r cos() , y rsen() , z z , entonces:

Por tanto

Ejemplo 18. Un sólido E está dentro del cilindro x2+y2=, debajo del plano z 4 y arriba del paraboloide z 1 x2 y2. Calcule su volumen Solución.

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COORDENADAS ESFERICAS. Las coordenadas esféricas (, , ) de un punto P en el espacio se ilustra en la figura, donde OP es la distancia del origen a P, es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que 0 , 0 (ver figura).

Sistema de coordenadas esféricas Las siguientes equivalencias permiten las transformaciones de coordenadas esféricas a rectangulares:

Por otro lado se tiene que

Ejemplo 19. El punto está dado en coordenadas esféricas. Halle el punto y encuentre sus coordenadas rectangulares. Solución.

Ejemplo 20. Describa cada una de las siguientes ecuaciones dadas en coordenadas esféricas.

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Ejemplo 21. Encuentre la ecuación en coordenadas esféricas, para el hiperboloide de dos Hojas x2-y2-z2=1 Solución.

Ejemplo 22. Encuentre una ecuación rectangular para la superficie cuya ecuación esférica es

Solución.

Ejemplo 23. Evalúe

donde B es el sólido encerrado por la esfera x2 +y2 +z2=1. Solución.

Ejemplo 24. Evalúe

donde E está limitado abajo por el cono

y arriba por la esfera

.

Solución.

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Ejemplo 25. El punto está dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas. Solución. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES. Todas las aplicaciones de integrales dobles se pueden extender de inmediato a integrales triples. Por ejemplo, si la función de densidad de un objeto sólido que ocupa la región E es (x, y, z), en unidades de masa por unidad de volumen, en cualquier punto (x,y,z) dado, entonces su masa es

y sus momentos alrededor de los tres planos de coordenadas son

El centro de masa está ubicado en el punto

, donde

Si la densidad es constante, el centro de masa del sólido se denomina centroide de E. Los momentos de inercia alrededor de los tres ejes de coordenadas son

La carga eléctrica total de un objeto sólido que ocupa una región E y que tiene densidad de carga (x,y, z) viene dada como

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Si se tienen tres variables aleatorias continuas X, Y y Z, la función de densidad conjunta de ellas es una función de tres variables tales que la probabilidad de que (X,Y,Z) se encuentre en E es

en particular, se tiene que

La función de densidad conjunta satisface que f(x, y, z) 0 y además

Ejemplo 26. Encuentre el centro de masa de un baul de madera de densidad constante igual a 1 cuya forma está limitada por el cilindro parabólico x=y 2 y los planos x =z, z =0 y x =1. Solución. El sólido E se proyecta sobre el plano xy. Las superficies inferior y superior de E son los planos z =0 y z =x. La masa viene dada por

Debido a la simetría de E y la función densidad alrededor del plano xz, se puede decir de inmediato que Mxz =0 y, por lo tanto, y =0. Los otros momentos son

En consecuencia, el centro de masa es

Ejemplo 27. Utilice coordenadas cilíndricas para calcular la masa del sólido ubicado en el primer octante, que se encuentra dentro del cilindro de ecuación x2 + y2 = 4x y limitado superiormente por la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 16. La densidad volumétrica de masa en cada punto es igual al producto de las coordenadas del punto.

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Solución. Cilindró:

Esfera:

Jacobiano: r

Problemas resueltos 1. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera Solución. El sólido está comprendido entre las . La región S = Vol.= v= Hagamos A = o sea Si hacemos el cambio de variable

= por lo tanto obteniendo

gráficas

de

tenemos

Vol. (v)=

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2. Hallemos el volumen del sólido limitado por el elipsoide Solución. El sólido está comprendido entre las gráficas de . La región Hagamos

o

sea

por

lo

tanto

Si hacemos el cambio de variable , tenemos Vol(v)=

Observemos que en el caso de que a = b = c tenemos el resultado del ejemplo 1.

3. Considere la integral Bosqueje la región de integración, y cambie el orden de integración. Solución. La región de integración está dada por

Así, intercambiando el orden de integración tenemos

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4. Evaluar la integral La región de integración es . Solución. Observemos que la integral no tiene antiderivada elemental. No la podemos calcular exactamente. Veamos qué ocurre si invertimos el orden de integración. S lo podemos expresar también en la forma

Así la integral la podemos expresar como

5. Calcular donde Solución. Cambiando a coordenadas polares, tenemos

Si multiplicamos este resultado por 8 obtenemos el volumen de la bola igual a

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