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• Anna Mollà Aliaga

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Carlos  D.  Perales  

 

 

Soluciones:  Ondas  estacionarias.     Frecuencias  resonancias  cuerdas  y  tubos     1.   El   oído   humano   percibe   sonidos   cuyas   frecuencias   están   comprendidas   entre   20   y   20.000  Hz  .  Calcular  la  longitud  de  onda  de  los  sonidos  extremos,  si  el  sonido  se  propaga   en  el  aire  con  la  velocidad  de  330  m/s.     Al  ser  l  =  v/n,  las  longitudes  de  onda  correspondientes  a  los  sonidos  extremos  que  percibe   el  oído  humano  serán,  respectivamente:  

     2.  Un  foco  sonoro  colocado  bajo  el  agua  tiene  una  frecuencia  de  750  Hz   y  produce  ondas   de  2  m.  ¿Con  qué  velocidad  se  propaga  el  sonido  en  el  agua?     La  velocidad  de  propagación  viene  dada  por  la  ecuación:       3.   Un   tubo   de   órgano   abierto   en   los   dos   extremos   tiene   dos   armónicos   sucesivos   con   frecuencias  de  240  y  280  Hz  ¿Cuál  es  la  longitud  del  tubo?.     La   longitud   de   onda   correspondiente   a   los   distintos   armónicos,   en   un   tubo   con   los   extremos  abiertos,  es:   λn  =  2L/n     (siendo  n  =  1,2,3,4....)   La  frecuencia  de  dos  armónicos  sucesivos  es:  fn  =  v/(2L/n)  à  fn  +1  =  v/(2L/(n+1))     (siendo  v  la  velocidad  de  propagación)   La  relación  entre  las  frecuencias  280/240  =  n+1/n  de  donde  se  deduce  que:   28n  =  24n  +  24  à  28n-­‐24n  =  24  à  4n  =  24  à  n  =  6   suponiendo   que   la   velocidad   del   sonido   es   v   =   340   m/s   la   longitud   de   onda   del   sexto   armónico  es:  340/240  =  2L/6  (multiplicamos  en  cruz  y  despejamos  L);  la  longitud  del  tubo   es  4,25  m     4.  Calcular  la  frecuencia  de  los  sonidos  emitidos  por  un  tubo  abierto  y  otro  cerrado  de  1  m   de  longitud  produciendo  el  sonido  fundamental.  (Velocidad  del  sonido  340  m/s)   Si  L  es  la  longitud  del  tubo,  se  verifica  para  el  primer  armónico:   Tubos  abiertos:    

Tubos  cerrados:    

 

    Las  frecuencias  correspondientes  serán:  

             

 

Carlos  D.  Perales  

 

 

  5.   Una   cuerda   de   un   instrumento   musical   tiene   0,84   m   de   longitud   y   su   frecuencia   fundamental  es  de  192  hz.  ¿Cuál  será  dicha  frecuencia  si  la  cuerda  se  acorta  hasta  0,62  m.   ,  se  verificará:     Podríamos  plantear  el  problema  con  una  regla  de  tres  INVERSA.  “Si  0,84  es  para  192  Hz,   0,62  es  para  x”  à  para  despejar  x  tendremos  que  hacerlo  de  manera  inversa       [¿Por  qué?:  La  magnitud  de  frecuencia  y  longitud  de  cuerda  es  inversamente  proporcional]  

  También   podríamos   despejar   el   factor   de   dividir   0,62/0,84=   0,738.   Entonces   plantearíamos  una  regla  de  tres  directa:  si  0,738  es  a  192  Hz,  1  será  a  x.     También  podríamos  despejar  el  factor  de  dividir  0,84/0,62=  1,35.  Entonces  plantearíamos   una  regla  de  tres  directa:  si  1,35  es  a  x  Hz,  1  será  a  192.       6.  En  cuerda  de  2  metros  de  largo,  como  se  muestra  en  la  figura,  las  ondas  viajan  con  una   velocidad  de  6,32  m/s.  Según  esta  información  contesta:   a  ¿Cuáles  son  las  frecuencias  de  los  tres  primeros  modos  de  vibración?.   b  ¿  En  qué  modo  de  vibración  y  con  qué  frecuencia  está  vibrando  la  cuerda?  

  a)   f=v/λ à f=   340/2x2L   à   f=340/4   à   f1=1,58   hz   ,   [multiplicamos   por   2,   3,   4…   para   los   armónicos)  f2=  3,16  hz,  f3=  4,75  hz           b)  el  quinto  modo  (mirar  el  dibujo!)  =7,9  Hz     7.  Encontrar  la  frecuencia  fundamental  y  la  de  los  siguientes  tres  modos  de  vibración  de   una   onda   estacionaria   sobre   una   cuerda   de   3   metros   de   longitud   y   cuya   velocidad   es   de   47,14  m/s.     f=v/λ à f=  340/2x3  à  f1=7,86  hz  ,  f2=  15,71  hz,  f3=  23,57  hz,  f4=31,42  hz     8.   Se   forma   una   onda   estacionaria   sobre   una   cuerda   de   120   cm   de   largo   fija   en   ambos   extremos.  Si  ésta  forma  4  segmentos  cuando  la  frecuencia  es  de  120  Hz.   a  Determine  la  longitud  de  onda  de  dicho  modo   b  Determine  la  frecuencia  fundamental  de  vibración.     f=v/λ à  v=  f λ =  120x  (2x1,2)/4  à  72  m/s     a)  λ=  v/f  =  72/120  =  0,6  m         b)  f1  =  f4/4 =  120/4  =  30  hz                

Carlos  D.  Perales  

 

 

9.  Se  tiene  un  máquina  de  hacer  ondas  como  muestra  la  figura  la  cual  tiene  un  largo  de  2  m   y  se  mueve  con  una  velocidad  de  282,84  m/s.  Calcula:     a.  El  modo  de  vibración  que  representa  la  figura   b.  La  longitud  de  onda  del  modo  que  se  muestra  en  la  figura   c.  La  rapidez  de  la  onda   d.  La  frecuencia  para  el  modo  que  se  muestra  en  la  figura   e.  El  periodo  del  modo  mostrado  en  la  figura.   f.  La  frecuencia  del  modo  fundamental   g.   La   distancia   entre   dos   nodos   consecutivos   para   el   modo   que   se   muestra   en   la   figura   h.  La  distancia  entre  un  antinodo  y  un  nodo  consecutivo  para  el  modo  mostrado  en   la  figura.   i.  La  frecuencia  del  tercer  modo  de  vibración   j.  La  longitud  de  onda  del  5  modo  de  vibración     a)  sexto  modo     b)    λ  =  2L/n  à  2/3  =  0,66  m     c)    282,84  m/s       d)    f  =    v/λ =  282,84/0,66  =  428,54  hz    (sexto  modo)   e)  T=1/f  =  1/428,54  =  2,335  x  10-­‐3  s     f)  428,54/6  =  71,42  hz    (fundamental)   g)    2m/6  =  0,33  m     h)  1/6  m  =  0,0166  m     i)  f=v/(2L/3)  à  282,84/(4/3)  =  212,13  hz       j)  λ=  2L/5  =  0,8  m     10.   Una   cuerda   de   guitarra   tiene   una   densidad   lineal   de   3   x10-­‐3   kg/m,   y   está   sometida   a   una   tensión   de   196   N.   Si   su   longitud   es   de   40   cm,   calcular   la   frecuencia   fundamental   de   oscilación  y  la  frecuencia  de  su  quinto  armónico.     v=  √t/µ à √196/0,003 = 256 m/s f1=  v/2L  =  256/0,4x2  =  320  Hz         f5=  f1x5  =  ~1600  hz     11.  ¿Qué  tensión  debe  tener  una  cuerda  de  un  violín  para  que  produzca  una  nota  LA  (440   hz),   sabiendo   que   la   densidad   lineal   de   ella   es   de   5   x   10-­‐3   kg/m.   Suponga   que   la   cuerda   vibra  en  el  primer  armónico  y  que  el  largo  es  80  cm.    

  Otra  opción:  hallamos  la  velocidad:     v=  λf  à  1,6x440  à  704m/s   Ahora  depejamos  la  T  de  la  ecuación   v=  √t/µ à 704=√t/µ à 7042=t/µ à 7042x5x10-3 = 2478,08 Newtons.