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• Eli Romero Chavarria

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ONDAS ESTACIONARIAS OBJETIVOS  

Encontrar la relación funcional entre la longitud de onda y la tensión en la cuerda de la onda estacionaria. Determinar la frecuencia de oscilación de la onda estacionaria.

FUNDAMENTO TEORICO Las ondas estacionarias se forman como resultado de la interferencia de dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y velocidad que avanzan en sentidos opuestos a través de un medio (en nuestro caso el medio es una cuerda). En otras palabras es la interferencia de dos movimientos armónicos de la misma amplitud y longitud de onda. La ecuación de la onda incidente que viaja hacia la derecha está dada por:

 i  Asen(kx  t ) (1) Y la ecuación de la onda reflejada que viaja hacia la izquierda es:

 i  Asen(kx  t ) (2). La superposición de ambas ondas, se expresa como la suma de las ecuaciones (1) y (2), es decir:

   i   r  A[ sen( kx  t )  sen (kx  t )]  2 Asen(kx) cos t (3) La ecuación (3) representa una onda estacionaria y no así una onda de propagación, en

la cual cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia 2 Asen(kx)



y tiene una amplitud

En la onda estacionaria se llaman nodos a los puntos en los cuales se tiene una amplitud mínima, es decir: 2 Asen( kx)  0 ; eso es para x  n / 2 (4) Por otro lado, cualquier movimiento ondulatorio, satisface la siguiente ecuación: 2  2 2    v t 2 x 2

(5)

Donde: v

es la velocidad de propagación de la onda

En el caso de ondas estacionarias en una cuerda la ecuación de movimiento ondulatorio, está dada por:  2 T  2   x 2 t 2

(6) Donde:

 es la densidad lineal de masa de la cuerda T es la tensión ejercida sobre la cuerda. Comparando la ecuación (5) y (6) se obtiene la velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda como: v

T  (7)

v  f Además, si

, la ecuación (7) se puede expresar como:

1 f



T  (8)

Donde:

f es la frecuencia de oscilación.

MATERIALES    

Equipo de ondas estacionarias en una cuerda Cuerda ligera. Regla graduada con pestañas Dinamómetro

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1. Conectar el equipo de ondas estacionarias en una cuerda al tomacorriente de 220 V y seguidamente encenderlo. 2. Con la varilla deslizante del equipo de ondas estacionarias varia la tensión en la cuerda, moviéndola lentamente hasta conseguir la onda fundamental, es decir que se pueda observar un solo antinodo (primer modo de vibración). 3. Una vez formada la onda fundamental ajusta el tornillo de sujeción de la varilla deslizante y leer en el dinamómetro la tensión aplicada a la cuerda, seguidamente medir la distancia entre nodo y nodo en la cuerda. Evitar el contacto entre las pestañas de la regla graduada y la cuerda en oscilación, para no causar la ruptura de la cuerda. 4. Repetir el paso anterior pero con la obtención de 2, 3, 4 y 5 antinodos, en cada caso leer en el dinamómetro la tensión aplicada. Asimismo medir las longitudes entre nodos (seguir las instrucciones del docente). Cuidados

 

Por las características de dinamómetro, no aplicar tensiones mayores a 1 N No tocar el alambre que conecta el motor y la cuerda porque podría descalibrarse el equipo.

REGISTRO DE DATOS De la misma cuerda del experimento se realizaron las siguientes mediciones: (3.510  0.001)[ m ];0.03% Longitud

= (0.5593  0.0001)[ g ];0.02%

Masa

=

La

densidad

lineal

μ=( 159.34 ± 0.05 ) ×10−3

de

masa

y

su

respectivo

error

es:

[ ]

g ; 0.03 m TABLA 1

DATOS DE LA TENSIÓN EN LA CUERDA Y DISTANCIA ENTRE NODO Y NODO

0.749666

1.499332

0.383000

0.766000

0.260333

0.520666

0.205000

0.410000

0.167666

0.335332

CÁLCULOS

 Con los datos de masa y longitud calcula la densidad lineal de masa de la cuerda ( Determinación la densidad lineal de masa y su error



M cuerda  Lcuerda

0.159344 

1

      M   Lcuerda 



2



M cuerda

   L  2   Lcuerda  



2

 0.053*10-3

).

 =(159.34 + 0.05)*10-3[g/m];0.03 %

Con los datos de la tabla 1, completa la tabla 2, donde: Además,

L

es la distancia promedio entre nodos TABLA 2 Datos de la Tensión y Longitud de Onda

0.749666

1.499332

0.383000

0.766000

0.260333

0.520666

0.205000

0.410000

0.167666

0.335332

GRÁFICA 1 LONGITUD DE ONDA VS TENSIÓN

 De acuerdo a la ecuación teórica:

1 f

T 

  2L

El mejor ajuste para los datos corresponde a una potencial, cuya ecuación es:

Y = aXb

Una forma de verificar la fiabilidad de los datos experimentales consiste en linealizar la curva encontrada, mediante un método gráfico, los puntos con mayor dispersión podrían ser desechados o medidos nuevamente. Dibuja la gráfica linealizada: GRÁFICA 2 Gráfica Linealizada

Determina la relación funcional



=f[T] usando el método de mínimos cuadrados:

Determinación de los parámetros de La ecuación de ajuste y sus correspondientes errores.

o Determinando los parámetros A y B: y  x 2  xy  x A  n  x 2  (  x ) 2 0.242489 0.483851 r = 0.995 o Determinando los errores de los parámetro 2 2 2 −3 di =¿ ∑ yi −2 A ∑ yi−2 B ∑ xiyi+ A +2 AB ∑ xi+B ∑ x =2.432316∗10 ∑¿ 2

2

B

n  xy  x  y  n  x 2  (x) 2

  n  x 2  ( x ) 2 

2 

d i2  n2

8.107720*10-4

o Entonces los errores estimados son:

 2  x 2 A   

 2 n B   

0.028562

0.026921

Parámetros del modelo escogido: a=10 A =100.24 A

σ A =10 ln10∗e A=0.120043 a=( 1.74 ± 0.12 ) ; 6.9 b=( 0.48 ±0.03 ) ; 6.25 Determina la frecuencia de oscilación (f) a partir de los parámetros encontrados Determinación de la frecuencia de oscilación y su correspondiente error.

a=

1

f=

f √μ



1 a √μ

=1.439754

1

f       2a  3    



Y su error es

:

2



1

  2    a  A  



2

 0.2467

RESULTADOS Escribe el valor de los parámetros encontrados, a y b con sus errores y el factor de correlación r: a=( 1.74 ± 0.12 ) ; 6.9 b=( 0.48 ±0.03 ) ; 6.25 r =0.998670115 La ecuación de ajuste λ=

1 f √μ

λ=1.7 T

T



=f[T] es:

1 2

0.48

La

frecuencia de oscilación y su error es: f = (1.4 + 0.2 )[Hz] ; 14%

CUESTIONARIO 1. En qué factor se incrementaría la tensión de la cuerda para triplicar la velocidad de propagación? ¿Y en qué factor se disminuiría la tensión de la cuerda para reducir la velocidad de propagación a la mitad?

v

T  R.- De la ecuación: Tenemos: v2 

T 

y

Sea entonces:

T  v2

v1  3v

y

v2 

1 v 2

Sustituyendo vx en la primera ecuación y utilizando la segunda ecuación para reemplazar lo encerrado entre paréntesis tenemos:

T2  1 2 T2 v  4  1 T2   v 2   4 1 T2  T 4 2

v2 

T1  T 9v 2  1  2

v1 

T1  9 v 2   T1  9T

De lo que concluimos que: - Para triplicar la velocidad de propagación se debe incrementar la tensión nueve veces - Para reducir la velocidad de propagación a la mitad se debe reducir la tensión cuatro veces 2. Demostrar que la velocidad de propagación de una onda transversal en una T cuerda está dada por: v = μ

√

2  2 2    v t 2 x 2

 2 T  2  t 2  x 2

2 T ∂2 ψ 2∂ ψ =v 2 μ ∂ x2 ∂x

3. La ecuación

√

T T =v2 ⇒ =v l .q .q . d . μ μ

λ=

√

1 T f μ

¿Es continua o discreta?

4. Explicar por qué? La onda ψ i= Asin( kx−ωt ) se propaga hacia la derecha

SONIDO OBJETIVOS 

Determinar la frecuencia de diferentes fuentes de sonido, como ser diapasones, voz



humana, celulares. Estudiar cualitativa y cuantitativamente el fenómeno de superposición de dos ondas



de sonido. Obtener la velocidad del sonido en el aire.

FUNDAMENTO TEORICO Las ondas acústicas son producidas por una serie de variaciones de presión del aire (medio de propagación). Un instrumento para detectar estas variaciones es el sensor micrófono, con un diafragma sensible a los cambios de presión. El movimiento del diafragma es convertido en una señal eléctrica a través de un proceso mecánico y por medio de una interfaz conectada a un ordenador se puede estudiar diferentes perfiles temporales de ondas de sonido.

Un parámetro que caracteriza a una onda armónica es el inverso del periodo T, es decir, su frecuencia ƒ (ecuación 8.1), e indica el número de repeticiones de un ciclo por unidad de tiempo, otro parámetro es su amplitud A, que representa el máximo valor de la onda armónica. 1 ƒ= [ Hz] T

(7.1)

En la figura 8.2, se muestran el periodo T y la amplitud de una onda armónica senoidal, estos tipos de ondas pueden ser producidas por un diapasón y una caja de resonancia. Asimismo, con estos parámetros es posible escribir la ecuación de la onda (ecuación 8.2).

Figura 8.1: Sensor micrófono. y= A sin(ωt ± ϕ )

Donde w es la frecuencia angular ω=2 π ƒ , ϕ es el ángulo de desfase y A su amplitud.

Figura 8.2: Onda sonora senoidal Un fenómeno característico de las ondas en general, es la superposición de ondas, es decir la suma de dos o más ondas. Para el caso de ondas de sonido, las variaciones de presión del aire se combinan para formar una sola onda acústica. En la figura 8.3, se observa la superposición de dos ondas de sonido de diferentes frecuencias. La velocidad de propagación de las ondas es constante. Para las ondas de sonido, la velocidad depende del medio de propagación y la temperatura: v=

√

γRT M

(8.3)

Donde: γ: Es el coeficiente de comprensión adiabático, cuyo valor para el aire a nivel del mar es 1.4 R: Es la constante universal de los gases, su valor es de 8.3145 J/[mol-k]. T: La temperatura absoluta a la que se encuentra el gas. M: La masa molar del gas. Para el aire, el valor promedio es 0.0290 kg/mol. Por ejemplo para 20°C, la velocidad del sonido es el eco, por ejemplo, cuando una persona

Figura 8.3: Superposición de dos ondas con diferentes frecuencias. está en un campo abierto con una barrera ubicada a una distancia más lejos, se podría medir el tiempo desde el inicio de un sonido fuerte hasta cuando se escuche el eco. Por tanto, calcular la velocidad del sonido es un problema de cinemática. Para utilizar la misma técnica en distancias más cortas, se necesita de un sistema más rápido de medida del tiempo, como ser una computadora. En esta práctica se utilizara esta técnica para determinar la velocidad del sonido a temperatura ambiente. MATERIALES En la figura 8.4 se muestran los materiales a utilizar:       

Sensor de sonido vernier (micrófono) Tubo largo Diapasones Cajas de resonancia Regla o flexómetro Fuentes de sonido Martillo de goma

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Medición de frecuencias 1. Conectamos el micrófono a la interfaz y esta a la computadora. 2. Acoplamos los diapasones en las cajas de resonancia. 3. Después de haber realizado las conexiones correspondientes, abrimos el programa LoggerPro, la ventana nos mostrara la medida de la presión en unidades arbitrarias o amplitud relativa. 4. Con el martillo de goma, el diapasón y la caja de resonancia, producimos sonido y adquirimos la señal con el sensor micrófono (seguimos las instrucciones del docente). 5. Repetimos el paso anterior para otras fuentes de sonido.

Superposición de ondas sonoras 1. Colocamos el sensor micrófono entre dos cajas de resonancia con los diapasones 1y 2. 2. Producimos ondas sonoras con el diapasón 1, y registramos los datos para encontrar la frecuencia angular, la amplitud, y el ángulo de desfase (la función para un tiempo igual a cero). Seguimos las instrucciones del docente. 3. Grabamos el perfil de la onda armónica producida con el diapasón 1 (Ctrl L). 4. Producimos ondas sonoras con el diapasón 2, y registramos los datos para encontrar la frecuencia angular, la amplitud, y el ángulo de desfase. 5. Grabamos el perfil de la onda armónica producida por el diapasón 2 (Ctrl L). 6. De manera seguida, producimos ondas sonoras con los diapasones 1 y 2, y registramos la onda resultante (Figura 8.3). Determinación de la velocidad del sonido del aire 1. Colocamos el sensor micrófono en la abertura del tubo hueco. 2. Activamos el disparador del programa LoggerPro. Seguimos las instrucciones del docente. 3. Damos un chasquido cerca de la abertura del tubo, e iniciara la adquisición de datos. 4. Con el grafico conseguido, determinamos el tiempo de viaje de ida y vuelta de la onda sonora. Registro de datos para la medición de frecuencias En la tabla 8.1 registramos los tiempos sucesivos correspondientes a un ciclo de repetición, para encontrar el periodo de diferentes fuentes. Tipo de fuente Diapasón 1

Periodo [s]

Frecuencia [Hz]

Observaciones Tiene

mayor fre cu en ci

a qu e el di ap as ón 2 Es el de menor fre cu Diapasón 2 en ci a Es el de mayor fre cu Diapasón 3 en ci a Tabla 8.1: Periodo y calculo de frecuencias de diferentes fuentes sonoras Registro de datos para la superposición de dos ondas sonoras

En la tabla 8.2 registramos los mínimos y máximos de la función y, los tiempos sucesivos correspondientes a un ciclo de repetición y el valor de la función para un tiempo igual a cero. y min [ua]

Tipo de fuente

y max [ua]

y(t=0) [ua]

Diapasón 1 Diapasón 2 Superposición

Tabla 8.2: Periodo y calculo de frecuencias de diferentes fuentes sonoras Registro de datos y cálculos para determinar la velocidad de sonido en el aire Registramos el resultado de la longitud del tubo: L = (1.052 ± 0.001) [m]; 0.095%

En la tabla 8.3 registramos los tiempos de dos amplitudes máximas (ver figura8.5). La primera amplitud máxima corresponde al chasquido de los dedos, y la segunda al primer eco. Si aparecen más ondas, corresponden a los ecos sucesivos. Asimismo, en la tabla 8.3 calculamos el tiempo total de viaje del sonido por el tubo Δt y la velocidad: v=

2L ∆t

(8.4)

Tabla 8.3: Tiempos de chasquido-eco para la obtención de la velocidad del sonido. RESULTADOS Los resultados de las frecuencias de diferentes fuentes están en la tabla 8.1. Superposición de ondas Con los datos de la tabla 8.2 completamos la tabla 8.4 Amplitud [ua]

y(t = 0) [ua]

ω = 2π/T [rad/s]

Diapasón 1

Con los valores de la tabla 8.4 escribimos la ecuación de las ondas (ecuación 8.2), y en la pantalla del ordenador observamos la superposición de dos ondas. (¿ ωt ± ϕ) y= A sin ¿ 2731.82∗0.0023+ 45.30 y=0.5465 sin ¿ ¿ y=0.4282

Cálculos para la superposición de ondas Amplitud: Periodo:

A=

y max− y 3 .248 – 2. 155 = =0 . 5465 2 2 min

T = tf – to = 0.0060 – 0.0037 = 0.0023

y ' ( t=0 )= A+ y min − y ( t=0 ) y ' ( t=0 )=0.5465+2.155−2.313=0.3885

' y ( t=0 )= A sin ∅

y' =sin ∅ A ∅=45.30 Velocidad del sonido A partir de los valores del sonido de la tabla 8.3, el resultado de la velocidad del sonido con su respectivo error es: v =( 328.337± 0.312 )

[ ]

m ; 0.095 s

CONCLUSIONES Pudimos determinar la frecuencia de tres diferentes diapasones viendo que existe diferencia entre ellas, siendo mayor una que otra, dependiendo del diapasón utilizado. Apreciando en la experiencia de laboratorio la superposición de onda, concluimos que estas llegan a unirse, llegando a tener la misma amplitud y el mismo periodo. Obtuvimos la velocidad del sonido del aire realizando los cálculos necesarios y podemos apreciar que nuestro resultado se acerca al valor teórico de la velocidad del aire. CUESTIONARIO 1. ¿Consiguió una buena aproximación para la superposición de ondas sonoras? R.- Llegamos a conseguir una buena aproximación, aunque llegamos a tener un pequeño error. 2. ¿Qué dificultades observo en la obtención de la velocidad del sonido?; ¿Afectan esas dificultades a los resultados conseguidos?

R.- En poder obtener e interpretar las ondas correctamente, lo cual se tuvo que sacar de varios chasquidos de sonido, pero por la poca fuerza ejercida en el sonido que se emitía del chasquido la grafica no salía o daba otra la cual no le correspondía. Y los resultados eran de esperar, salieron aproximados a la velocidad del sonido ya que hay que tomar en cuenta el ambiente, la presión, la temperatura, los sonidos externos y el margen de error en la longitud del tubo. 3. ¿Por qué es importante activar la opción de disparo en el programa LoggerPro, en la medición de la velocidad del sonido? R.- Porque nos brinda datos más exactos para realizar los cálculos, al igual que una buena grafica de las ondas del sonido para apreciarlo de una mejor forma. 4. ¿Existe alguna diferencia, si al cerrar el tubo de resonancia en un extremo utiliza la mano, el piso o algún otro objeto? R.- Si, puesto que todo cuerpo, sea cual sea su estado, es un medio de propagación del sonido, unas con mayor propagación que otras que apenas transporta el sonido, en ese sentido en el rebote del sonido será con mayor fuerza o menor fuerza dependiendo de la forma de la pared, estado y dureza.

MEDIDA DE RUIDO OBJETIVOs 

Analizar el comportamiento del nivel sonoro en función del tiempo en distintos ambientes del campus universitario, UMSS.



Determinar el nivel sonoro Leq para un periodo de tiempo.

FUNDAMENTO TEORICO El sonido es una sensación percibida por el oído humano, producida por rápidas fluctuaciones de la presión del aire, estas fluctuaciones de la presión del aire son producidas por objetos que vibran y son estas vibraciones que se transmiten a las partículas del aire. El sonido en el aire se propaga en el aire aproximadamente a 340 m/s, en el agua a 1500 m/s y en el acero a 5000 m/s. El ruido es un sonido no deseado, la sensación de la intensidad percibida por el oído humano no es proporcional a la variación de la intensidad sino que esta proporcionalidad viene dada por la ley de Weber- Fechner, la cual dice que la magnitud de la sensación percibida es proporcional al logaritmo del estímulo que lo provoca: L  k log I (1) Donde L el nivel de sensación percibida y k es una constante adimensional. La intensidad máxima correspondiente al umbral de audición del oído humano es

10 12 W / m 2

y la intensidad

máxima correspondiente al umbral de audición del oído humano es . Para k = 1, L varía de -12 a 5, ahora bien para que la escala sea positiva y el nivel sea adimensional, se

toma como referencia

I  10 12 W / m 2

que corresponde al umbral de audición para

sonidos de 1000Hz en el aire; de manera que la ley de Weber-Fechner queda:

L  k log

I I0 (2)

Entonces el nivel sonoro inferior es cero y el superior es 17 k, la escala de niveles obtenida para k = 1 es de 0 a 17 y se denomina escala de Bells o belios. Para que estas unidades no precisen decimales se trabaja con la escala de decibelios la cual se obtiene con k = 10, de tal manera que: LI  10 log

I I0 (3)

De tal modo que el nivel sonoro inferior es de cero el nivel superior es de 170 dB. Por otra parte puesto que la

I

está relacionada con el cuadrado de la presión

eficaz( fuerza aplicada por unidad de área que equivale a pequeñas variaciones de la presión

Lp atmosférica estática), se puede entonces definir el nivel de presión sonora L p  20 log

como:

P P0 (4) P0  2 x 10 5

Normalmente se considera como medio de propagación del aire

. Habitual

ente el nivel sonoro fluctúa con el tiempo, por Leq tanto interesa tener un nivel equivalente del nivel sonoro (

) que exprese el nivel de

energía acústica fluctuante durante un intérvalo de tiempo t el cual se define como:

Leq 

1 LI (t )dt t

(5)

MATEIALES  

Sonómetro Cronómetro.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 1.- Programar con el docente el día, lugar y hora para realizar el registro de datos en grupo. 2.- En el aula, practicar el manejo y lectura del sonómetro, por ejemplo registrando datos de nivel de intensidad sonora en intervalos de 10 [s]. 3.- Para registrar el dato, utilizar la escala adecuada, no esperar que la aguja se estabilice, y leer el valor que indica la aguja en el instante requerido (seguir las instrucciones del docente). 4.- Registrar los datos de ruido con el sonómetro en intervalos de 10 segundos, durante el tiempo que indique el docente. Se sugiere un intervalo de 30 minutos. Registro de Datos: Fecha de registro de

12/06/2012

Hora de registro de datos De

12:30 pm.

hasta

13:00 pm.

Tabla 1: datos del nivel sonoro en función del tiempo

Datos:

Grafica 1 Leq vs t

Nivel de Sonido Versus Tiempo 130 110

Nivel de sonido [ db]

90 70 50 300 0

900 600

1500 2100 2700 3300 1200 1800 2400 3000 3600

Tiempo [s]

Tabla 1: datos del nivel sonoro en función del tiempo

Cálculos: Determinar el área total que se encuentra bajo la curva L=L(t) haciendo uso de la planilla Excel desarrollada. 85210 db s

A total = Para determinar el nivel sonoro equivalente L eq usar la relación: Leq 

Determinar el nivel sonoro equivalente Leq:

Atotal t

Leq 

85210 1200

Leq  71.00 Resultados: Fecha de registro de datos : Hora de registro de datos : Intervalo de tiempo Numero de datos : Nivel sonoro equivalente Leq : Cuestionario:

:

12 de junio de 2012 de 12:30 pm a 13:00 pm. 10 segundos 120 71

1. ¿Qué intensidad corresponde al umbral del dolor, el cual e4s de 120 dB?  I   L  10 log  I0  L  log I  log I 0 10 L log I   log I 0 10

I  10

 L   log I 0    10 

De la ecuación (4) despejamos la intensidad I

I  10

 L   log I 0    10 





 120   log 10 12   10 

I  10

I  10 1212  I 1 W 2 m

  Haciendo cálculos tenemos

2. Un instrumento musical de la misma intensidad de I = 10-5 W/m2 si se duplica la intensidad, añadiendo otro instrumento musical de la misma intensidad. ¿El nivel de intensidad sonora se duplicara? Caso contrario, ¿Cuánto vale el nivel de intensidad sonora? R.- El nivel sonoro no se duplica, a continuación hallamos los valores reales.

Para una intensidad de 10-5 [W/m2] tenemos

 2 10 5   10 5    12  L  10 log L  10 log 12   10   10  L  73,01  dB  L  70  dB 

Si duplicamos la intensidad

3. Tres fuentes sonoras producen niveles de intensidad sonora de 70, 73, 83 dB, cuando actúan separadamente. Al generar los sonidos simultáneos, las intensidades de las fuentes se suman ya que las fases relativas a las ondas producidas varían aleatoriamente, y por tanto, no se producen fenómenos de interferencia. ¿Cuál será el nivel de intensidad sonora cuando las tres fuentes actúan simultáneamente? Partimos de la ecuación obtenida en la pregunta 1

Sea L2  77  bB  entonces : I 2  10

 L2   log I 0    10 

I 2  10  7,712 

Sea L1  68  bB  entonces : I1  10

 L1  log I 0    10 

I1  10 6,812

I 2  50.12  10 6  bB  I1  6.31  106  bB 

Sea L4  85  bB  entonces : I 3  10

 L3  log I 0    10 

I 3  10 8,512 

I 3  316,23  10 6  bB 

Sea L3  81  bB  entonces : I 3  10

 L3  log I 0    10 

I 3  10 8,112 

I 3  125,89  10 6  bB 

Entonces el nivel de intensidad sonora total será:

L  L1  L2  L3  L4 L  6,31  10 6  50,12  10 6  125,86  10 6  316,23  10 6 L  498,55  10 6  bB 