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FACULTAD DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

CUADERNO DE EJERCICIOS DE PRINCIPIOS DE TERMODINÁMICA Y ELECTROMAGNETISMO MARTÍN BÁRCENAS ESCOBAR RIGEL GÁMEZ LEAL AGUSTÍN HERNÁNDEZ QUINTERO DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE FÍSICA Y QUÍMICA

PRÓLOGO Se puede afirmar que el trabajo de un ingeniero es la solución de problemas que aquejan a la sociedad con base en sólidos antecedentes en física, química y matemáticas. Para que ello se pueda lograr es necesario que el estudiante de ingeniería posea, entre otras cosas, habilidades en la resolución de problemas.

Este Cuaderno de Ejercicios de Principios de Termodinámica y Electromagnetismo pretende dotar al alumno de ingeniería ejercicios de la asignatura con resolución, con el objetivo de que pueda aplicar los conceptos vistos en clase y en el laboratorio, para que con ello, adquiera habilidad en la resolución de problemas. Se elaboró tomando como base ejercicios de exámenes colegiados de la asignatura, los cuales se conformaron a partir de propuestas de profesores entusiastas de la asignatura, propuestas que fueron revisadas, adaptadas, integradas y resueltas debidamente.

Esta obra se integra con ejercicios de los temas correspondientes al temario vigente de la asignatura. Para cada tema se presentan varios ejercicios con su resolución con el fin de que el alumno verifique la forma de resolverlo y pueda comprobar si obtuvo la respuesta correcta, en caso contrario se recomienda que revise su resolución y si no logra encontrar el error se sugiere que lo consulte con su profesor o utilice el servicio de asesoría.

Finalmente queremos expresar nuestro deseo de conocer la opinión de profesores y alumnos que puedan enriquecer el contenido de esta obra. Cualquier comentario, crítica o sugerencia será tomada con agrado con el fin de enriquecer este material, el cual, estamos seguros redundará en beneficio de la comunidad universitaria.

Ing. Martín Bárcenas Escobar. M. en I. Rigel Gámez Leal. Ing. Agustín Hernández Quintero.

México, D. F., abril de 2012.

ÍNDICE

página

Tema I. Conceptos fundamentales

4

Tema II. Primera ley de la termodinámica

20

Tema III. Segunda ley de la termodinámica

46

Tema IV. Ciclos termodinámicos

64

Tema V. Electromagnetismo

78

Tema VI. Circuitos eléctricos en corriente directa

98

Tema VII. Circuitos eléctricos en corriente alterna

111

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

TEMA I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES

Ejercicios resueltos 1. En un tanque, de base circular y radio de 4.5 [dm], completamente lleno, se tienen dos sustancias en su fase líquida de distintas densidades (1 = 1.5 y 2 = 0.5). La densidad resultante de la mezcla es 800 [kg/m3]. Sabiendo que el volumen del tanque es de 200 litros, determine los volúmenes, en el SI, de cada líquido. Considere que agua = 103 [kg/m3]. VT = 200 [] = 0.2 [m3] ; 1 = 1 agua = (1.5) (103 [kg/m3]) = 1500 [kg/m3] , 2 = 2 agua = (0.5) (103 [kg/m3]) = 500 [kg/m3] ; m = 800 [kg/m3]  = m/V m = V VT = V1 + V2 …… (1) ; mT = m1 +m2 , mVT = 1 V1 + 2 V2 …… (2) Despejando de (1): V2= VT – V1 y sustituyendo en (2): m VT = 1 V1 + 2 (VT – V1) V ( -  ) V1 = T m 2 1 -  2

(0.2 m 3 ) (800 - 500) [kg/m 3 ] = 0.06 [m3]; 3 (1500  500) [kg/m ] V2 = (0.2  0.06) [m3] = 0.14 [m3]

V1 =

V1 = 0.06 [m3] V2 = 0.14 [m3]

2. Se tiene un tanque de forma rectangular, con aire en su interior con un manómetro conectado (A) el cual indica una lectura de 85 [kPa], como se muestra en la figura. Dentro de dicho tanque hay otro tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado otro medidor de presión (B). Afuera hay un barómetro (C) cuyo líquido es mercurio, que indica una altura hbar = 56 [cm]. Determine: a) La presión absoluta del aire que está en el tanque rectangular. b) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico. Indique también si el medidor de presión B funciona como manómetro o como vacuómetro. c) La lectura, en [Pa] que indicaría el medidor B si el tanque cilíndrico se sacara del tanque rectangular. Indique si en este caso, el medidor B funciona como manómetro o como vacuómetro. g = 9.78 [m/s2] Hg = 132 959 [N/m3] hbar = 56 [cm] PA = 85 [kPa]  = 8 [dm] agua 103 [kg/m3] aceite = 0.68

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

4

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

a) P atm = Hg g h bar =  Hg h bar = (132 959 [N/m3] )(0.56 [m] ) = 74 457[Pa] ; PA= P aire – P atm ; Paire = P A + P atm = ( 85 000 + 74 457 ) [Pa] ; P aire = 159 457 [Pa] b) P aire = P a ; P g – P a =  ac g (z g – z a) P g = P a – ac agua g (z g – z a) ; za=0; z g=  P g = P a – ac agua g  Pg = (159 457 [Pa] ) – (0.68) (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) ; Pgas = 154 136.68 [Pa] Como P g < P a , B funciona como vacuómetro. c) P B = P g – P atm ; Como P g > P atm

P B = (154 136.68 – 74 457) [Pa] ; P B = 79 679.68 [Pa] B funcionaría como manómetro.

3. Un tanque cilíndrico para agua ( = 103 [kg/m3]), abierto a la atmósfera en su parte superior, contiene accidentalmente solo mercurio (Hg = 13.595). En el fondo tiene conectado un manómetro que indica el nivel del líquido e indica “lleno”. Dicho tanque tiene una altura de 85 [cm] en su llenado normal y 40 [cm] de diámetro. Considerando que: la presión ambiente del lugar es 77 [kPa], g = 9.78 [m/s2] y Tamb = 25 [°C], determine para el mercurio contenido en el tanque: a) La altura que ocupa. b) Su peso. a) Si está lleno de agua: Pman f = 8 313 [Pa];

Pman f = a g za ;

Si el contenido es mercurio: entonces zHg =

Pman f = (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) (0.85 [m] )

Pman f = Hg g zHg ;

zHg =

Pman f  Hg  a g

,

8 313[Pa ] = 0.0625 [m] (13.595[1] )(10 3 [kg / m 3 ] ) (9.78[m / s 2 )

 b) | W | = m g ; VHg = ¼  2 zHg = ¼  (0.4 [m] )2 (0.0625 [m] ) = 7.85693 [m3] m = Hg VHg = (13 595 [kg/m3] ) (7.85693 [m3] ) = 106.8141 [kg] ;   | W | = ( 106.8141 [kg] ) ( 9.78 [m/s2] ) | W | = 1 044.6424 [N]

4. El diámetro interno de un tubo en “U”, es de 10 [mm] y contiene mercurio (Hg = 13.622). En la rama del lado derecho se vierten 20 [cm3] de agua y se espera a que se estabilice el sistema, quedando como se indica en la figura. ¿Cuál es la diferencia de alturas (z), en el SI, entre los dos fluidos en sus superficies libres?

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

agua = 103 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2]

Pman y = a g La

Px = Py ;

4Va La = ; d 2

2

Va = ¼  d La ;

La =



   = 0.2546 [m]

4 2  10 5 m 3  0.01m 

2

Pman y = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2546 [m] ) = 2 490.46 [Pa] Pman x = Hg g LHg = Hg a g LHg ; LHg = 0.0187 [m] ;

LHg =

Pman x  Hg  a g

La = LHg + z ;

=

2 490.46 Pa 

13.622 10 3 kg / m 3  9.78 m / s 2  

z = La  LHg = (0.2546 [m] )  (0.187 [m] ) z = 0.2359[m]

5. En un recipiente de base cilíndrica, de 1.2 [m] de altura y 80 [cm] de diámetro, se depositan dos líquidos inmiscibles, como se indica en la figura. La presión atmosférica del lugar es 77 000 [Pa], determine a qué profundidad (z), medida a partir de la superficie libre (z0), la presión absoluta es igual al doble de la presión atmosférica. 1 = 680 [kg/m3] 2 = 13 600 [kg/m3] g = 9.78 [m/s2] Tamb = 22 [°C]  = 20 [cm] d = 80 [cm] Sea S un punto en la superficie libre del líquido 1 y A un punto entre los dos líquidos, entonces: PA – PS = ρ1 g (zA  zS);

PA = PS + ρ1 g (zA  zS);

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

zA =  , zS = 0 ; PA = (77 000 [Pa] ) + (680 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.2 [m] ) = 78 330.08 [Pa] ; como PA < 2 Patm, el punto buscado (x) está debajo de A. PA – PX = ρ2 g (zA  zX); zX = (0.2 [m] ) 

zX = z A 

PA  PX , 2 g

(78 330.08  154 000)[Pa] = 0.7689 [m] (13 600 [kg / m3 ]) (9.78 [m / s 2 ])

6. En el laboratorio de esta asignatura, unos alumnos midieron la presión manométrica (Pman) en función de la profundidad (z) en un líquido en reposo, obteniendo la tabla que se muestra. Si la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2] y la presión atmosférica es 56 [cm de Hg], determine, en el SI, para el líquido utilizado: a) Su densidad relativa. b) Su volumen si la masa de dicho líquido es 1.6 [kg]. z [cm] Pman [Pa] 0 0 5 390 10 780 15 1 165 dP   ; con el método de los cuadrados mínimos, tenemos dz que el modelo matemático de Pman = f (z) es:

a) Pman = m z + b ,

m=γ=ρg, m=

Pman [Pa] = 7 770 [Pa/m] z [m] + 1 [Pa];  7 770 [Pa / m]  794.4785[kg / m3 ] ; ρ=  g 9.78 [m / s 2 ]

δL =

b) ρL =

γ = 7 770 [Pa/m] , entonces  δL = L ref

794.4785[kg / m3 ]  0.7945[1] 103 [kg / m3 ]

mL ; VL

VL =

mL 1.6 [kg]  = 0.002 [m3] 3 L 794.4785 [kg / m ]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

7. Un submarino contiene aire a una presión tal que permite que la tripulación respire en forma adecuada; se sumerge a una profundidad de 70 [m] como se ilustra. Si hbar = 750 [mm], g = 9.81 [m/s2], la presión atmosférica del lugar es 101 000 [Pa] y la densidad del agua de mar es 1050 [kg/m3], determine: a) La presión absoluta del aire dentro del submarino. b) La lectura del medidor de presión A e indique si es un manómetro, un vacuómetro o un barómetro.

A

a) PS = ρHg g hbar = PS = (13 600 [kg/m3] ) (9.81 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 100 062 [Pa] b) PA – Patm = – ρa de m g (zA – z0) ,

PA = Patm – ρa de m g (zA – z0) 3

PA = (101 000 [Pa] ) – (1 050 [kg/m ] ) (9.81 [m/s2] ) (–70 + 0) [m] = 822 035 [Pa] Como PS < PA el medidor A funciona como vacuómetro y su lectura sería:

LA = PA – PS = (822 035 – 100 062) [Pa] = 721 973 [Pa]

8. En la figura se muestra un tanque que contiene un líquido y, además, aire a presión vacuométrica de 17 000 [Pa], en la parte superior derecha tiene conectado un manómetro, como se muestra en la figura. Sabiendo que la presión absoluta en el fondo del recipiente es 62 438 [Pa] y que la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine: a) La diferencia de alturas del líquido manométrico, es decir z. b) El módulo del peso específico del líquido contenido en el tanque. Indique si esta propiedad es intensiva o extensiva. Patm = 77 000 [Pa] L = 25 [cm] Hg = 13 600 [kg/m3]

a) Pa – Pb = – ρHg g (za – zb) ;

Pb = Patm

Pa  Pb Hg g Pabs a = Patm – Pvac a = (77 000 [Pa] ) – (17 000 [Pa] ) = 60 000 [Pa]

Pa – Pb = – ρHg g (Δz) = – ρHg g Δz ;

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

z 

8

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

z 



 60 000  77 000   Pa 



 13 600  kg / m3  9.78  m / s 2 



= 0.1278 [m]

b) [Pa – Pf ]abs = – L (za – zf) = – L ( L – 0) = – L L ; P  P  60 000  62 438   Pa  L = a f  = 9 752 [N/m3] L  0.25 [m]

propiedad intensiva

9. Un manómetro diferencial que utiliza agua se encuentra en la pared lateral de un tanque e indica una diferencia de niveles (z) de 295 [mm] como se indica en la figura. Si un barómetro local indica 750 [mm de Hg] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.8 [m/s2], determine en el SI: a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque. b) La diferencia de niveles que se tendría si en vez de agua se utilizara aceite ( = 0.86) como fluido manométrico.

Hg = 13 600 [kg/m3] agua = 103 [kg/m3] aceite = 0.86 [1] a) Patm = Hg g hbar = (13 600 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.75 [m] ) = 99 960 [Pa] ; Pgas  Patm =  agua g (zg  za ) ,

Pgas = Patm  agua g (zg  za ) ,

Pgas = (99 960 [Pa] )  (103 [kg/m3] ) (9.8 [m/s2] ) (0.295  0 ) [m] , P abs gas = 97 069 [Pa] b) Pgas  Patm =  aceite g (zg n  za n ) ,

z n =

Pgas  Patm aceiteagua g

=

Pgas  Patm =  aceite agua g (z n ) ,

(97 069  99960 )[Pa] = 0.343 [m] = 34.3 [cm] (0.86)(103[kg / m3 ])(9.8[m / s 2 ])

10. Se tiene un tanque cilíndrico con agua abierto a la atmósfera en su parte superior, con un tubo conectado en el fondo; accidentalmente cae aceite por el tubo quedando como se indica en la figura. Determine: a) La presión absoluta en el fondo del tanque cilíndrico, es decir en el punto f. b) La altura de aceite (zac).

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Patm = 77 000 [Pa] aceite = 0.68 d = 40 [cm] L = 80 [cm] g = 9.78 [m/s2]  = 30 [°] agua = 103 [kg/m3] a) Pf = ρa g L + Patm; Pf = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] ) Pf = 84 824 [Pa] b) PA = PB ; Pabs A = ρa g (½ L) + Patm = (103 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (½) (0.8 [m] ) + (77 000 [Pa] ) Pabs A = 80 912 [Pa] = Pabs B

PB – PC = – ρac g (zB – zC)

PB – PC = – ac ρa g (zB – zC); PB – PC = – ac ρa g (– zac); PC = Patm , entonces 80 912  77 000  [Pa] P P z ac  B atm  = 0.5882 [m] aca g  0.68 (103 [kg / m3 ] ) 9.78 [m / s2 ]





11. Se sabe que la presión absoluta más grande en el fondo del mar es de 1.1  108 [Pa]. Una persona propone medir todas las alturas (Z) con respecto a ese punto. Considere que la densidad del aire de la atmósfera es 1 [kg/m3], que la del agua de mar es 1 030 [kg/m3], suponga además que ambas densidades son constantes y que la aceleración gravitatoria también lo es (g = 9.8 [m/s2] ). Con base en esta referencia propuesta (Z), determine la altura: a) Del nivel del mar, es decir, donde la presión es 101.325 [kPa]. Exprese el resultado en [km]. b) En la cual la presión absoluta es 90 000 [Pa], exprese el resultado en [km]. Pabs f = 1.1  10 8 [Pa] , Pn – Pf = – ρag mar g (Zn – Zf); Zf = 0 Pn – Pf = – ρag mar g (Zn)





101 325  1.1  108 [Pa] Pn  Pf  Zn  = 10 887.5248 [m] ag mar g  1 030 [kg / m3 ] 9.8 [m / s 2 ]







Zn = 10.8875 [km] b) Px = 90 000 [Pa] ,

Pn – Px =  ρaire g (Zn  Zx);

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Zn  Zx =

Pn  Px ; aireg 10

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Zx = Zn 

101 325  90 000  [Pa] Pn  Px = (10 887.52 [m] )  = 12 043.1323 [m] aire g  1[kg / m3 ] 9.8 [m / s 2 ]







Zx = 12.0431 [km] 12. Un balín de hierro, de 2 [cm] de diámetro se coloca dentro de un tanque cúbico lleno con agua como se muestra en la figura. Si la densidad del hierro es 7 900 [kg/m3] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2], determine: a) La magnitud de la fuerza de empuje que experimenta el balín. b) El trabajo desarrollado para desplazar el balín 6 [m] hacia el fondo del tanque.

ma ; ma = ρa Va Va Sea Va = Vagua = Vfluido desalojado ; Vb = Vbalín; Femp = ρa Vb g

a) Femp = Wfluido desalojado = ma g;

ρa =

Femp = (103 [kg/m3] ) (4/3) (0.01 [m] )3 (9.78 [m/s2] ) = 0.041 [N]  b) Wb = mb g = ρb Vb g = (7 900 [kg/m3] ) (4/3) (0.01 [m] )3 (9.78 [m/s2] )

Wb= 0.3236 [N]; calculando la magnitud de la fuerza resultante: FR = Wb  Femp = ( 0.3236 0.041 ) [N] = 0.2826 [N] ; entonces el trabajo desarrollado por la fuerza resultante es: 2

 

2



1W2    FR .d   FR 1

 d cos  ;

  0 ; {1W2} = FR  = (0.2826 [N] ) ( 6 [m] ) = 1.6956 [J]

1

13. Una alpinista lleva un barómetro que marca 95 000 [Pa] en su campamento base. Durante la escalada toma dos lecturas adicionales: 91 300 [Pa] a 315 [m] y 88 150 [Pa] a 581 [m], ambas alturas con respecto al nivel del campamento base. Estime la densidad del aire a partir del modelo matemático que relaciona las variables involucradas, utilizando la totalidad de las lecturas realizadas. Considere que la densidad media del aire es constante y desprecie el efecto de la altitud sobre la aceleración gravitatoria local de 9.8 [m/s2]. Con la información proporcionada se puede establecer un modelo matemático que relacione a las variables Pabs = f (z). Utilizando el método de los cuadrados mínimos, tenemos:

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

z [m] Pabs [Pa] 0 95 000 315 91 300 581 88 150 11

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

m =  11.7887 [Pa/m],

b = 95 004 [Pa]

entonces, el modelo matemático lineal que relaciona a la presión absoluta en función de la altura es: Pabs [Pa] =  11.7887 [Pa/m] z [m] + 95 004 [Pa] ; de acuerdo con la ecuación de gradiente de presión, el significado físico de la pendiente es m =  aire g =  aire , por lo que:

ρaire =

 aire , g

ρaire =

11.7887 [Pa / m] = 1.2029 [kg/m3] 2 9.8[m / s ]

14. Un cuarto hermético a una presión absoluta de 2 veces la presión atmosférica se le ha conectado un manómetro A. En el interior de este cuarto presurizado se introdujo un tanque cilíndrico el cual contiene un gas y tiene conectado un vacuómetro (B) que indica una lectura de 0.8 [bar]. Considerando que la presión atmosférica del lugar es 1 [bar], determine: a) La presión absoluta del gas contenido en el tanque cilíndrico en [bar]. b) La lectura que indica el manómetro A. a) Pabs gas = Pabs cuarto  LB Pabs gas = 2 [bar]  0.8 [bar] ,

Pabs gas = 1.2 [bar]

b) LA = Pcuarto – Patm = 2 [bar] – 1 [bar] ,

LA = 1 [bar]

5. En la figura se muestra un recipiente que contiene varios fluidos a 20 [°C]. Si la presión vacuométrica en el punto B es 19 951.2 [Pa] y la aceleración gravitatoria del lugar es g = 9.78 [m/s2], determine: a) La densidad del fluido desconocido. b) La presión manométrica en el punto D. a) Pman B =  19 951.2 [Pa] ,

Pman A = 0 [Pa]

Pman B  Pman A =  L g ( zB  zA ) ,

ρ ρ

b) PC = PB ;

.

.



.

= 13 600 [kg/m3]

Pman D  Pman C =  L g ( zD  zC )

Pman D = (  19 951.2 Pa )  (103 [kg/m3] ) ( 9.78 [m/s2] ) ( 0  0.4 ) m =  16 039.2 [Pa]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

12

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Conceptos fundamentales

Ejercicios propuestos 1. En un recipiente esférico cuyo diámetro es de 50 [cm] se tienen confinados 200 [g] de helio a 77 [kPa]. Calcule el volumen específico en [m3/kg] del gas. Respuesta: v = 0.3272 [m3/kg] 2. ¿Cuánto pesa, en [N], el aire contenido en un recinto de 8 [m] de ancho, 12 [m] de largo y 6 [m] de alto? Considere que la densidad del aire con respecto al agua es de 1.29310 3, para el agua 103 [kg/m3] y que el sistema se encuentra a nivel del mar. Respuesta W = 7 306.174 [N] 3. Se tienen 633 [m] de un fluido A  A  0.79 y 500 [g] de un fluido B  B  0.82 , dichos fluidos se mezclan de manera miscible. Determine la densidad resultante, en [kg/m3], de la mezcla. Respuesta:  = 804.5 [kg/m3] 4. El contenido de un tanque para combustible, cuya capacidad es de 50 [], es del 70% de diesel diesel  0.88 , ¿cuál es el peso, en [N], de su contenido? Considere que el tanque se localiza en Acapulco. Respuesta: W = 302.15 [N]

  kg   5. El peso de un globo con aire   aire  1.24 3   es 880 [mN] en el Distrito Federal, si el diámetro  m   del globo con aire es de 50 [cm], ¿cuál es la masa, en [g], del globo? Respuesta: m = 8.82 [g] 6. El diámetro interno de un tubo en “U” es de 10 [mm] y contiene mercurio  Hg  13.622 . En la rama del lado derecho se vierten 20 [cm3] de agua y se espera a que se estabilice el sistema. ¿Cuál será la diferencia de alturas entre los dos fluidos en sus superficies libres expresada en [cm]? Respuesta: z = 1.869 [cm] 7. En la figura siguiente se presenta un depósito que contiene tres fluidos “a”, “b” y “c”, las densidades relativas de los mismos son 0.89 , 1 y 13.6 respectivamente. Las condiciones  kg  ambientales son 77 [kPa], 20 [°C] y 9.78 [m/s2]. Considere para el agua 998.7 3  . Establezca la m  lectura del instrumento “A” en [kPa] indicando de qué instrumento se trata, manómetro, vacuómetro o barómetro. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Respuesta: PA =  21.033 [kPa], funciona como vacuómetro. 8. Un condensador opera a nivel del mar a 70 [cm de Hg]vac. Dicho equipo se traslada a otro lugar donde su operación se realiza a 50 [cm de Hg]vac. Si la presión absoluta de operación es la misma en ambos lugares, calcule el valor de la presión atmosférica, en [kPa], del segundo sitio. Respuesta: P = 74.725 [kPa] 9. En un tubo en “U” se tiene mercurio en equilibrio, a una de sus ramas se la agrega una columna de 42cm  de cierto aceite, dicha columna se equilibra con una columna de 2.903 [cm] del mercurio existente. En este equilibrio, ¿cuál es la densidad del aceite con respecto al mercurio?, ¿cuál será la densidad del aceite con respecto a la del agua?

Hg = 13 600 [kg/m3] agua = 1 000 [kg/m3]

Respuestas:

 aceite  0.06912  Hg  aceite  0.94  agua

10. Un recipiente cúbico de 1 [m] de arista contiene 400 [] de un fluido ( glicerina = 800 [kg/m3] ), considerando que el recipiente se encuentra en Tabasco, determine la presión absoluta, en [kPa], en el fondo del recipiente. Respuesta: P abs = 104.4642 [kPa] 11. Un tubo en “U” cuyo fluido de trabajo es mercurio Hg = 13 600 [kg/m3], está acoplado a un tanque por una de sus extremos, se sabe que la presión absoluta del gas contenido en el recipiente es de 81 312.6 [Pa]. Indique la lectura, en [cm], que registra el tubo e indique si se trata de un manómetro o de un vacuómetro. El tanque se encuentra a nivel del mar. Respuesta: z = 15 [cm], es un vacuómetro. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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  kg   Un cilindro de cobre   cu  8.93 3   de 4 [cm] de radio y 10 [cm] de altura está apoyado de  dm    manera vertical sobre una superficie plana. ¿Cuánto vale la presión, en [Pa], ejercida sobre la base? Considere las condiciones de 101.325 [kPa], 9.81 [m/s2] y 20 [°C]. Respuesta: Pbase = 8 760.33 [Pa]

13. Un recipiente circular se encuentra en el Distrito Federal. Calcule la presión, en [Pa], en el fondo de dicho recipiente, si su profundidad es 75 [cm] al llenarse con: a  agua  agua  1, b  mercurio



Hg

 13.6 y c  aceite  aceite  0.8 .

Respuestas: a) Pagua = 7 335 [Pa]; b) PHg = 99 756 [Pa]; c) Paceite = 5 868 [Pa] 14. La presión ejercida por una columna de agua de 60 [cm] es igual a la presión que ejerce una columna de una solución de 50 [cm]. Determine el peso específico, en [N/m3], de la solución. Considere para el ambiente 101.325 [kPa] y 9.81 [m/s2]. Respuesta: solución = 11 772 [N/m2] 15. El diseño de una nueva escala de temperatura es tal, que en condiciones normales del agua, en la fusión se registran 200 [°lan], mientras que en la ebullición 100 [°lan]. Si la temperatura del cuerpo humano es del orden de los 98 [°F]. ¿Cuál será la lectura en la escala de [°lan]? Respuesta: L = 163.33 [°lan] 16. ¿A qué temperatura Fahrenheit corresponde una temperatura de 10 [°C]? Respuesta: T = 50 [°F] 17. Un bloque de 10 [kg] se calienta de tal forma que su temperatura se incrementa 60 [°C]. Si a otro bloque de 30 [kg] del mismo material, se le suministra la misma cantidad de calor que al primero, ¿cuánto se elevará su temperatura, en [K] ? Respuesta: T = 20 [K] 18. A una elevación de temperatura de 50 [°C] ¿qué elevación corresponde en [°F]? Respuesta: T = 122 [°F] 19. La lectura de un termómetro graduado en [°C] es la tercera parte de la lectura de otro termómetro graduado en [°F]. ¿Cuál es la lectura en ambas escalas? Respuesta: L = 26.67 [°C]; L = 80 [°F] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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20. Un termómetro cuya escala es [°C] marca la misma lectura de otro termómetro cuya escala es [°F], ¿cuál es esa temperatura? Respuesta: T =  40 21. Se tiene un tanque de 200 [dm3] en la Ciudad de México y se llena con dos líquidos distintos, cuyas densidades son 1750 [kg/m3] y 780 [kg/m3]; se observa que la densidad resultante es de 950 [kg/m3]. a) Calcule la cantidad, en [kg] y en [m3], que se tiene de cada fluido. b) Calcule el peso de la mezcla. Respuestas: a) m1 = 61.3404 [kg] ; m2 = 128.6598 [kg]; V1 = 35.0515 [dm3] ; V2 = 164.9485 [dm3];  b) | W | mezcla= 1858.2 [N]. 22. Un cilindro vertical contiene un gas, el cual se mantiene en el interior mediante un émbolo que se desliza sin fricción. El émbolo es de 50 [kg] con un diámetro de 17.85 [cm]. Si el ambiente está a 78 [kPa]. ¿cuál es la presión absoluta del gas? Respuesta: (Pgas) abs= 97 540.8089 [Pa]. 23. Suponga que existe una escala lineal de temperatura (°M) que se define de modo que los puntos de fusión y de ebullición del agua, a Patm=101.325 [kPa], son  300 y  175, respectivamente. ¿cuántos (°M) corresponden a: 36.5 [°C] y 478.15 [K] ? Respuestas: 36.5 [°C] equivalen a  254.375 (°M) ; 478.15 [K] equivalen a  43.75 (°M) 24. En 1968 se definió una escala de temperatura llamada "escala práctica internacional"; su finalidad es facilitar la calibración de los termómetros científicos e industriales. En la lista que sigue se mencionan algunos de los puntos de referencia: Puntos de referencia Punto triple del hidrógeno Punto triple del oxígeno Punto de ebullición del oxígeno Punto triple del agua Punto de ebullición del agua Punto de fusión del cinc Punto de fusión del antimonio Punto de fusión de la plata Punto de fusión del oro



°C  259.34  218.79  182.96 0.01 100.00 419.58 630.75 961.93 1064.43

°F

°R

K

Tomado de Problemas de Termodinámica, Nuñez F. y González R., Fac. Ingeniería, UNAM (FI/DCB/86-012)

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Convierta las temperaturas precedentes en: °F, °R y K.

Puntos de referencia Punto triple del hidrógeno Punto triple del oxígeno Punto de ebullición del oxígeno Punto triple del agua Punto de ebullición del agua Punto de fusión del cinc Punto de fusión del antimonio Punto de fusión de la plata Punto de fusión del oro

°C  259.34  218.79  182.96 0.01 100.00 419.58 630.75 961.93 1064.43

°F  434.812  361.822  297.328 32.018 212.0 787.244 1167.350 1763.474 1947.974

°R 24.858 97.848 162.342 491.688 671.67 1246.914 1627.914 2223.144 2407.644

K 13.81 54.36 90.19 273.16 373.15 692.73 692.730 1235.080 1337.58

25. Para elevar una caja de 52 [kg] desde el suelo, un obrero ejerce una fuerza de 190 [N], por una pendiente de 22° respecto de la horizontal. Cuando la caja se ha movido 3.3 [m], ¿ cuánto trabajo se realizado sobre la caja por el obrero y por la fuerza de gravedad ? Considere que g = 9.8[m/s2]. Respuestas: Wobrero = 629.97 [J] ; Wcampo gravit. = 0 [J] 26. Un cuerpo de masa m= 4.5 [kg] se deja caer desde el reposo y desde una altura h=10.5 [m] sobre el suelo. ¿ cuál será su rapidez inmediatamente antes de que toque el suelo? Considere que g = 9.8[m/s2]. Respuesta: vf = 14.35[m/s] 27. ¿ Cuál es la volumen de un bloque de plomo, cuya masa es de 540 [kg] si su densidad es de 11 400 [kg/m3] ? Respuesta: V = 0.047 37 [m3] 28. Si la densidad de la gasolina es de 680 [kg/m3], ¿ cuál es su volumen específico ? ¿ cuál deberá ser la masa contenida en un tanque de 70 litros ? Respuestas: v = 1.4705  10 3 [m3/kg] ; m = 47.6 [kg] 29. En la superficie de una mesa hay un recipiente en forma de cubo de 10 [cm] de lado, totalmente lleno de benceno. Si se sabe que el recipiente tiene una masa de 100 gramos, ¿ cuál es la presión que ejerce el cubo sobre la superficie de la mesa ? Respuesta: P = 958.44 [Pa] 30. En la tabla siguiente se muestran algunas densidades a temperatura ambiente ( 20 [°C] ), si se sabe que la aceleración gravitatoria o intensidad de campo gravitatorio es de g = 9.78 [m/s] y la densidad del agua de 1 000 [kg/m3], complete los valores que se indican en la tabla. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Material Acero Aluminio Bronce Alcohol Benceno Mercurio Aire CO2 Nitrógeno Oxígeno

densidad [kg/m3] 7 800 2 700 8 700 790 880 13 600 1.29 0.76 1.25 1.43

masa [kg] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

densidad relativa

peso [N]

peso específico [N/m3]

volumen específico [m3/kg]

densidad [kg/m3] 7 800 2 700 8 700 790 880 13 600 1.29 0.76 1.25 1.43

masa [kg] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

densidad relativa 7.8 2.7 8.7 0.79 0.88 13.6 0.00129 0.00076 0.00125 0.00143

peso [N]

peso específico [N/m3] 76 284 26 406 85 086 7 726.2 8 606.4 133 008 12.62 7.43 12.23 13.99

volumen específico [m3/kg] 1.2821104 3.7037104 1.1494104 1.2658103 1.1364103 7.3529v105 0.77519 1.3158 0.8000 0.6993

Respuestas: Material Acero Aluminio Bronce Alcohol Benceno Mercurio Aire CO2 Nitrógeno Oxígeno

9.78 19.56 29.34 39.12 48.90 56.68 68.46 78.24 88.02 97.80

31. ¿Cuánto trabajo se requiere para trasladar una caja de 10 [kg] desde la planta baja hasta el 5° piso de un edificio en la Cd. de México, si la altura de cada piso es de 230 [cm]? Respuesta: {W} = 1 124.7 [J] 32. ¿Cuánta energía es necesario disipar para detener un automóvil de 800 [kg], si originalmente viajaba con una rapidez de 100 [km/h]? Respuesta: Ec =  308 641.9753 [J] 33. Se tiene un motor eléctrico para levantar cajas hasta 10 [m] de altura, por ejemplo el motor es capaz de levantar cajas de 60 [kg] de masa en 30 segundos desde altura cero hasta la altura máxima.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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¿Cuanto trabajo desarrolla el motor al elevar cada caja de 60 kg? Si la potencia se define como la energía desarrollada entre la unidad de tiempo, ¿cuál es potencia que desarrolla el motor?  =196 [J/s] Respuesta: {W} = 5 880 [J] ; W 34. Se dejan caer 15 [kg] de agua por una tubería, dicha tubería forma un ángulo de 30º con respecto a la línea horizontal y tiene una longitud total de 100 [m]. Si el agua parte del reposo en t=0 [s], ¿cuál es su rapidez al llegar al final de la tubería? ¿cuál es el cambio en su energía cinética si ha recorrido toda la tubería? Respuestas: vf=31.32[m/s] ; Ec =7 357.5 [J] 35. ¿Cuál es el cambio de energía interna de un bloque de aluminio de 250 [kg], si pasa de una temperatura inicial de 40 [ºC] hasta [5ºC] y si su capacidad térmica específica es de 490 [J/(kgK)]?¿El bloque perdió o gano energía? Justifique su respuesta. Respuesta: U =  4 287 500 [J] ; el bloque perdió energía ya que su temperatura disminuyó.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

TEMA II. PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Ejercicios resueltos 1. En un dispositivo cilindro con émbolo carente de fricción, como el que se muestra en la figura, se expanden 200 [g] de un gas desde 0.1 [m3] hasta 0.2 [m3]. La presión absoluta (P) del gas en función de su volumen (V) está dada por el modelo P = A – B V2, donde A y B son constantes y tienen el valor de 1000 y 0.015 respectivamente con ciertas unidades de manera que P está en [bar] y V en []. Determine en unidades del SI: a) El valor de las constantes A y B del modelo que relaciona a P = f (V). b) La gráfica (v, P) del proceso, en donde v es el volumen específico del gas. c) El trabajo realizado por el gas. 105 [Pa] = 1 [bar] a) m = 200 [g] = 0.2 [kg] ; V1 = 0.1 [m3] ; V2 = 0.2 [m3] P=A–BV2 P [bar] = 1 000 [bar] – 0.015 [bar /  2] V []  10 5 Pa   ; A = 1 000 [bar]  A = 100  10 6[Pa]  1 bar  5 2  bar  10 Pa  1   B = 0.015  2  2 6    1 bar  0.001 m

b)

  ; 

B = 1.5  10 9 [Pa/m6]

v=V/m V [m3] 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2

P[Pa] 106 85 78.4 70.6 61.6 51.4 40

v [m3/kg] 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

2

c) {W} =   P dV 1 2

2

2

2

2

1

1

{W} =   (A  BV ) dV =   A dV +  B V dV =  A  dV + B V 2 dV 2

1

2

1

1

2

2

1

1

{W} =  A [V] + B [ (1/3) V 3] =  A (V2 – V1) {W} =  (100  10 6 [Pa] ) (0.2  0.1 [m3] ) + (1/3) (1.5  10 9 [Pa/m6] ) [(0.2 [m3] ) 3  (0.1 [m3] ) 3] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica 6

6

{W} = (10  10 [J] ) + (3.5  10 [J] ) ;

{W} =  6.5  10 6 [J]

2. Un tanque contiene 125 [] de nitrógeno a 22 [MPa] y 25 [°C]. Se deja escapar lentamente una parte del gas hasta que llega a la décima parte de la presión original. Sabiendo que el proceso es isotérmico, que para el nitrógeno R = 0.297 [J/(gK)] y k = 1.4, determine: a) La masa y el volumen específico iniciales del nitrógeno. b) La masa del gas que salió. P 1 = 22 [MPa] ; T1 = 25 [°C] = 298.15 [K] = T2 a) V1 = 125 [] = 0.125 [m3] ; P 2 = (1/10) (22 [MPa] ) = 2.2 [MPa]; R = 0.297 [J/(gK)] = 297 [J/(kgK)] PV=mRT; Pv=RT; 6 P1 V1 (22  10 [Pa ] ) (0.125[m 3 ] ) m1 = ; m1 = 31.0557 [kg] = R T1 (297 [J/( g  ΔK)] ) (298.15[K ] ) R T1 (297 [J/( g  ΔK)] ) (298.15[K ] ) ; v1 = 4.02510 3 [m3 / kg] v1 = = 6 P1 ( 22  10 [Pa ] )

P2 V2 (2.2  10 6 [Pa ] ) (0.125[m 3 ] ) = = 3.1053 [kg] R T2 (297 [J/( g  ΔK)] ) (298.15[K ] ) m 1 = m 2+ m s ; m s = m 1 m 2 m s = (31.0557 – 3.1053)[kg] ; m s = 27.9504 [kg]

b) m2 =

3. En un conducto, como el que se muestra en la figura, circula un líquido no viscoso de 860 [kg/m3]. Se midió la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2, registrándose P1 – P2 = 30.5 [kPa]. Sabiendo que el sistema opera bajo régimen estacionario y que puede considerarse en un proceso adiabático, determine: a) La rapidez del líquido en el punto 1 en función de la que tiene en el punto 2, es decir v1 = f (v2). b) La rapidez del fluido en el punto 1, es decir v1. c) El gasto volumétrico que circula por el ducto. Exprese el resultado en [/min]. g = 9.78 [m/s2] 1 = 2.5 [cm] 2 = ½ 1 a) Sistema: líquido en el conducto en un cierto instante (sistema abierto); G1 – G2 = 0 ; G1 = G2 ; A1v1 = A2v2 ; v1 = (A2/A1) v2 ; 1 2 2 2 π 2  1 1  2  2  4   v v1 = v1 = ¼ v2 . v 2 =   2 =  2  v 2 = 1 v2 ; 2 1 2 1  1  π1   4

 

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

b) De acuerdo con la ecuación de Bernoulli: ½ v  +  g z1 + P1 = ½ v22  +  g z2 + P2 como v2 = 4 v1, entonces podemos escribir ½ [ v12  (4 v1 ) 2 ] +  g ( z1 – z2 ) + ( P1 – P2 ) = 0; despejando la rapidez en 1 tenemos: 2 1

v1 =



(P1  P2 )  ρg (z1  z 2 ) , entonces: 1 ρ( 15) 2

(30 500 [Pa ] )  (860 [kg / m 3 ] ) (9.78[m / s 2 ] ) ( 3.2 [m] ) v1 =  v1 = 0.7456 [m/s] ; 1 (860 [kg / m 3 ] ) (15) 2 c) G = A v ; G = ¼  12 v1 = ¼  (0.025 [m] )2 (0.7456 [m/s] ) G = 0.000366 [m3/s] = 21.9597 [/min]. G = 21.9597 [/min] 4. En un cilindro vertical con un émbolo, se tienen confinados 20 [g] de un gas ideal como se muestra en la figura. La masa del émbolo es 7 [kg] y la aceleración gravitatoria del lugar es 9.78 [m/s2]. El gas está originalmente a 60 [°C], se le proporciona calor y el émbolo se desplaza casiestáticamente 8.9 [cm] hacia arriba, hasta que el fluido alcanza 65 [°C]. Sabiendo que para el gas R = 143 [J/(kgK)], cv = 1430 [J/(kgK)] y k = 1.1, determine: a) El trabajo de expansión durante el proceso. b) La cantidad de calor suministrada. a) Con base en el diagrama de cuerpo libre del émbolo: para un proceso casiestático:  F = 0, We + Pamb A – Pg A = 0 ;

Pg =

meg  Pamb A

(7 [kg ] ) (9.78 [m / s 2 ] )  77 000 [Pa ] = 111 230 [Pa] ; Pg = 0.002 [m 2 ] 2

sistema: gas ideal en el cilindro (sist. cerrado)

{W}exp =   PdV 1

2

{W}exp =  P  dV =  P (V2 – V1) =  P A (x) =  (111 230 [Pa] ) (0.002 [m2] ) (0.0643 [m] ) 1

{W}exp =  14.3042 [Pa] u ; u = cv T ; T {Q} = m cv T – {W} = (0.02 [kg] ) (1430 [J/(kgK)] ( 65 – 60 ) °C; {Q} = 157.3041 [J]

b) {Q} + {W} = U = mu;

cv =

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

5. En la figura se muestra un tanque esférico, que contiene un gas cuya densidad es 1.39 [kg/m3]. Tiene conectado un manómetro de manera que la inclinación del tubo permite medir diferencias de presiones con mayor exactitud. La diferencia de alturas que indica el medidor es 24 [cm] y la densidad del fluido manométrico es 13 595 [kg/m3]. Si se sabe que para el gas contenido en el tanque: cp = 1.004 [kJ/(kgK)], cv = 0.718 [kJ/(kgK)]; que la presión del lugar es 77.17 [kPa] y la aceleración gravitatoria 9.78 [m/s2], determine, en [°C], la temperatura del gas. Sistema: gas ideal en el tanque (sist. cerrado). Aplicando la ecuación de gradiente de presión, tenemos: ( Pgas  Pamb )abs =  L g ( 0  h ) Pg abs = Pamb + L g ( h ) ; Pg abs = (77 170 [Pa] ) + (13 595 [kg/m3] ) (9.78 [m/s2] ) (0.24 [m] ) = 109 080.184 [Pa] Para el gas en el tanque tenemos Pv P  ; R = cp  cv ; P v = R T ; de donde T = R R R = (1 004  718 ) [J/(kgK)] = 286 [J/(kgK)] ; 109 080.184 [Pa ] T= = 274.3879 [K] ; T = 1.2379 [°C] (286 [J /( kg  K ) ] ) (1.39 kg / m 3 ) 6. En un recipiente aislado, se mezclan 400 [g] de agua líquida (cp = 4.186 [J/(gK)] ) a 70 [°C] con 50 [g] de vapor de agua a 100 [°C]. Considerando que el experimento se hace a nivel del mar y que para el agua ebullición = 2 257 [kJ/kg], determine la masa de vapor y la temperatura, en la situación de equilibrio. Sistema: mezcla en el recipiente (sist. aislado). {Q} + {W} = 0 ; como {W} = 0, entonces {Q} = 0 {Q}L + {Q}V = 0 ; hipótesis: queda una mezcla de líquido y vapor a la temperatura de ebullición del agua a nivel del mar (100 [°C] ). entonces {Q}L = mL cp (Teb  TiL ) ; {Q}V =  mVL ebu ; donde mL = masa que originalmente era líquido. mVL = masa que originalmente era vapor y se condensa. Por lo tanto mL cp (Teb  TiL )  mVL ebu = 0 ; (400 [g] ) (4186 [J /(kg  K ) ] ) (100  70) [C] m c (T  TiL ) = = 22.2561 [g] ; mVL = L P eb 2 257 000 [J / kg ]  ebu dado que la hipótesis es correcta: Teq = Tebu = 100 [°C] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

Sea mVR la masa de vapor resultante: mVR = mV – mVL = (50 – 22.2561 ) [g] = 27 .7439 [g] 7. Se tienen 500 [g] de un gas a 100 [kPa] y 1 [m3] en una esfera elástica; el gas experimenta tres procesos: el primero de ellos a volumen constante duplicando su presión, durante el segundo, aumenta su volumen al triple, ocasionando que la energía interna aumente en 300 [kJ], manteniendo la presión constante, finalmente el último proceso se realiza adiabáticamente alcanzando la presión inicial del primer estado. El cambio total de la energía interna debido a los tres procesos es de 400 [kJ] y el trabajo neto entregado por el gas es 600 [kJ]. Determine el calor para el primer proceso, indique si lo recibe o lo rechaza el gas. Sistema: el gas en la esfera elástica (sistema cerrado) {Q} + {W} = U {1Q4} + {1W4} = 1U4;

{1Q4} = {1Q2} + {2Q3} + {3Q4}

{1Q2} = {1Q4}  {2Q3}

{3Q4} = 0 ;

{2W3} + {2Q3} = 2U3 ;

{2Q3} = 2U3  {2W3}

3

{2W3} =   PdV =  P2 (V3  V2) ; 2

V1 = V2 ;

P2 = 2 P1 = 2 (100 [kPa] ) = 200 [kPa] ;

V3 = 3V2 = 3( 1 [m3] ) = 3 [m3] ;

V2 = 1 [m3]

{2W3} =  (200 [kPa] ) (3  1 )[ m3] =  400 [kJ] ; {2Q3} = (300 [kJ] ) – (  400 [kJ] ) = 700 [kJ] por otra parte: {1Q4} = = 1U4  {1W4} = (400 [kJ] )  ( 600 [kJ] ) = 1000 [kJ] entonces {1Q2} = (1000 [kJ] ) – (700 [kJ] ) = 300 [kJ];

{1Q2} = 300 [kJ] , de acuerdo con el signo, el gas lo recibe.

8. Una corriente de 9 [kg/s] de un fluido entra a un equipo a 30 [m/s], 13.8 [bar], 0.122 [m3/kg] y una energía interna específica de 422 [J/g]. Sale del equipo a 140 [m/s], 1.013 [bar], 0.805 [m3/kg] y una energía interna específica de 208 [kJ/kg]. Si la sustancia recibe 4.22 [kJ/s] en su paso por el equipo, ¿cuál es la potencia mecánica que entrega la corriente del fluido? Sistema: el fluido en el equipo (sist. abierto).  } + {W  }= m  [ec + ep + h] ; {Q considerando que ep = 0 [J/kg], tenemos que  };  }= m  [ec + ep + h]  { Q {W

entonces:

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica



2

ec = ½ v 2  v1

2

 = ½ .140m / s

2

 30m / s

2





 = 9 350  J  ;  kg 

h = h2 – h1 = (P2v2 + u2) – (P1v1 + u1)  J   m3  h = [ (1.013105 [Pa] ) (0.805   ) + 208 000   ]  kg   kg   J   m3  – [(13.8105 [Pa] ) (0.122   ) + 422 000   ]  kg   kg   J  h = – 300 813.5   ; en consecuencia:  kg   J   J   kg   { W } = ( 9   ) [ (9 350   ) + ( – 300 813.5   ) ] – (4 220 [W]);  kg   kg   s   { W } = – 2 627.392 [kW]

9. Se dejan caer 12 [kg] de agua por una tubería, que forma un ángulo de 35 [°] con respecto a la línea horizontal y tiene una longitud total de 100 [m]. Si el agua parte del reposo en t = 0 [s] y la aceleración gravitatoria local es 9.78 [m/s2], determine: a) El cambio en su energía cinética si ha recorrido toda la tubería. b) La rapidez del agua al final de la tubería. a) Sistema: los 12 [kg] de agua, (sistema cerrado). a)

1{Q}2

+ 1{W}2 = 1(ET)2 = 1(EC)2 + 1(EP)2 +1(U)2

suponiendo que: {Q}2 = 0,

1{W}2

= 0,

1(EC)2

T = cte.

1{U}2

= 0. entonces

1(EC)2

+ 1(EP)2 = 0 ;

=  1(EP)2 =  (EP 2  EP 1) =  mg (z2  z1)

1(EC)2

= m g h = m g L sen  = (12 [kg] )(9.78 [m/s2] )(100 [m] ) sen 35 [°] 1(EC)2

= 6 731.49 [J]

b) 1(EC)2 = EC2  EC1 = ½ m [(v2)2 (v1)2] , como parte del reposo: v1 = 0 [m/s], 2 1(E C ) 2 2 (6 731.49 [J ] ) 2 v2 = = 1(EC)2 = ½ m (v2) , m 12 [kg ]

v2 = 33.495 [m/s]

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

10. En un ciclo de refrigeración por la compresión de un vapor se utiliza freón 12. El compresor tiene una entrada y una salida de 1.27 [cm] de diámetro. El refrigerante entra al compresor como vapor saturado a – 30 [°C], 0.1 [MPa], 0.1594 [m3/kg], una entalpia específica igual a 174.076 [kJ/kg] y una rapidez de 0.8 [m/s]; sale como vapor sobrecalentado a 0.6 [MPa], 0.0349 [m3/kg] con una energía interna específica igual a 202.164 [kJ/kg]. Considerando que las variaciones de energía cinética y potencial gravitatoria son despreciables, que el compresor es adiabático y que opera bajo régimen estacionario, determine: a) El gasto másico del refrigerante. b) La potencia que requiere el compresor.

 = A v ; a) m

A1 = A2 =

1 4

 d12 =

1 4

 ( 0.0127 [m] )2 = 1.2668  10 4 [m2] ;

   = A1 v1  1  = (1.2668  10 4 [m2] ) (0.8 [m/s] ) (0.1594 [m3/kg]) 1 ; m 1 v   1

 = 6.3577  10 4 [kg/s] m b) Sistema: refrigerante en el compresor (sistema termodinámico abierto);

Q  + W = m [e + e + h] ; c

p

ec = 0 ; ep = 0 ;

Q  = 0 ;

h2 = u2 + P2v2 = (202.164 [kJ/kg] ) + (0.6  10 6 [Pa] ) (0.0349 [m3/kg] ) = 223.104 [kJ/kg]

W  = (6.3577  10 [kg/s] ) [(223.104 [kJ/kg] )  (174.076 [kJ/kg] ) ] W  = 0.0312 [kW] = 31.2 [W] 4

11. En un recipiente adiabático se mezclan 200 [g] de hielo a – 15 [°C] con 150 [g] de agua en su fase líquida a 0 [°C]. El proceso se lleva a cabo a nivel del mar ( Patm = 101 325 [Pa], Tamb = 30 [°C], g = 9.81 [m / s2] ). Considerando que para el agua utilizada: clíquido = 4 186 [J / (kg  °C )], chielo = 2 220 [J/(kg°C)] y fusión = 333 [kJ/kg], determine para la situación de equilibrio termodinámico el cociente entre la masa de agua líquida y agua sólida. Sistema termodinámico: mezcla de agua sólida y líquida en el recipiente adiabático (sistema cerrado). Hipótesis: queda una mezcla de agua líquida () y sólida (s) a 0 [°C], entonces: mH = 0.2 [kg] (masa que originalmente es hielo a  15 [°C] ), mL = 0.15 [kg] (masa que originalmente es líquido a 0 [°C] ); Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

{QH} + {QL} = 0 ;

mLS = masa de agua que originalmente era líquido y se solidificó

m H cH (Tfus  TiH ) ;  fus (0.2 [kg])(2 220 [J / (kg C)])[0  (15)] [C] = 0.02 [kg] mLS = 333 000 [J / kg] mH cH (Tfus  TiH) – mLS fus = 0 ;

mLS =

m = mL – mLS = (0.15 – 0.02) [kg] = 0.13 [kg] mS = mH + mLS = (0.2 + 0.02) [kg] = 0.22 [kg] ,

entonces

m  0.13 [kg]  = 0.5909 [1] mS 0.22 [kg]

12. Una masa de 0.5 [g] de nitrógeno (considerado como gas ideal) a una presión de 5 [bar] y con un volumen de 20 [cm3] se comprime adiabáticamente hasta una presión del doble de la inicial; a continuación se disminuye isométricamente su presión a 8 [bar] y T = 207.46 [°C], determine en el SI: a) El trabajo en el proceso adiabático. b) El calor en el proceso isométrico. Sistema termodinámico: masa de 0.5 [g] de nitrógeno (sistema cerrado). 2

a) {1W2} =   PdV ; 1

entonces, para un proceso adiabático: {1W2} =

k

P1  V2    ; P2  V1 

P2 V2  P1V1 ; k 1 1

1 k

 P1  V2 ;    V1  P2 

1

 P k  5 [bar]  1.4 3 5 3 V2 = V1  1   (0.00002 [m3] )   = 0.00001219 [m ] = 1.219  10 [m ] 10 [bar]   P2  (10  105 [Pa])(1.219  10 5 [m 3 ])  (5  105 [Pa])(2  105 [m 3 ]) = 5.475 [J] {1W2} = 1.4  1

b) {2Q3} + {2W3} = 2U3 ; 2U3

= m 2u3 ;

P2 V2 = m R T2 ; 2u3

{2W3} = 0

cv =

u ; T

T2 =

P2 V2 (10  105 [Pa])(1.219 105 [m3 ]) = 82.1069 [K]  m R (0.5  103 [kg])(296.93 [J / (kg K)])

u = cv T

= cv (T3 – T2) = (742.33 [J/(kgK)] ) (65.69 – 82.1069) [K] =  12 186.76 [J/kg] ,

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo

{2Q3} = 2U3 = m 2u3 = (0.510

3

Primera ley de la termodinámica

[kg] ) (12 186.76 [J/kg] ) =  6.0934 [J]

13. Una botella de vidrio refractario se cierra herméticamente, conteniendo aire a presión atmosférica (77 000 [Pa] ) con un volumen de 30 [cm3] y una temperatura de 20 [°C]; en estas condiciones se arroja a una fogata. Considerando que la botella no se dilata por efecto de la temperatura, determine: a) La presión dentro de la botella cuando su temperatura alcanza los 200 [°C]. b) La cantidad de calor asociada a cada unidad de masa involucrada en el proceso. a) Sistema termodinámico: aire en la botella (sistema cerrado). V1 = 30 [cm3] = 0.00003 [m3] = V2 P1 = 77 000 [Pa] ; T1 = 20 [°C] = 293.15 [K] T2 = 200 [°C] = 473.15 [K] m R T1 m R T2 T T a) PV = m R T; = V2 V1 = V2 =  1 2; P1 P2 P1 P2 P2 =

 473.15 [K]  T2 P1 =   (77 000[Pa]) = 124 279.55 [Pa] T1  293.15 [K] 

b) {1q2} + {1w2} = 1u2;

{1w2} = 0

{1q2} = 1u2 = cv (T2 – T1) = (717.3 [J/(kgK)] ) (473.15 – 293.15) [K] = 129 114 [J/kg] 14. Un gas refrigerante entra en un volumen de control, que opera en estado estacionario y régimen permanente, a través de un tubo con diámetro interno de 1.5 [cm] con una rapidez de 4.53 [cm/s] y tiene un volumen específico de 24.07 [cm3/g]. Sale del volumen de control a través de un tubo con un área transversal circular de 0.35 [cm2] y con una rapidez de 33.2 [m/s]. Determine: a) El gasto o flujo másico del gas, exprese el resultado en [kg/min]. b) La densidad del gas refrigerante a la salida del volumen de control. a) Sistema: gas refrigerante en un cierto instante en el volumen de control (sistema termodinámico abierto). 1 1 A1 = π d12 = π (0.015 [m] )2 = 1.7671  10 4 [m2] 4 4 1 1 m 2 m  ; además  1 = A1 v1 ρ1 = A1 v1 m m balance de masa: v1 4 2 3 1  = (1.7671  10 [m ] ) (0.0453 [m/s] ) (0.02407 [m /kg] ) = 3.3258  10 4 [kg/s] m

 = (3.3258  10 4 [kg/s] ) (60 [s]/1[min] ) = 0.019955 [kg/min] ≈ 0.02 [kg/min] m

 2 = A2 v2 ρ2 ; b) m

ρ2 =

2 m 3.3258  10 4 [kg / s] = 0.2862 [kg/m3]  = 3.5  10 5 [m 2 ] 33.2 [m / s]  A2 2



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

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

15. En un recipiente adiabático se mezclan 190 [g] de vapor de agua a la temperatura de ebullición con el doble de hielo en su punto de fusión. Determine la temperatura de equilibrio y la masa del líquido una vez que se alcanza el equilibrio térmico. Considere: fus = hsf = 79.7 [cal/g], eb = hfg =539.1[cal/g], clíq = 1 [cal/(gC)] , Patm = 101 325 [Pa] y Tamb = 28 [°C]. mH = 2 mV

hipótesis: queda una mezcla de líquido y vapor a 100 [°C],

sea mvc = masa de vapor que se condensa. {Q}= 0 {Q}H + {Q}v = 0 m   m H c L (Teb  Tfus ) mvc = H fus ,  eb m vc 

mH λfus + mH cL (Teb – Tfus) – mvc λeb = 0

 380 [g] 79.7 [cal / g]   380 [g] 1 cal / g C 100  0  C =

539.1 [cal / g] entonces: mL = mH + mvc = (380 + 126.6667) [g] = 506.6667 [g]

y

126.6667 [g]

Teq = 100 [°C]

16. Un metro cúbico de un gas ideal se expande al doble de su volumen original casiestáticamente según la relación P = A V2, donde A = 5 [atm/m6]. Determine: a) La expresión del trabajo asociado al gas, en función de su volumen original; es decir {W} = f (V1). b) El trabajo de expansión del gas, exprese el resultado en [kJ]. a) P (V) = A V2; 2

A= 5 [atm/m6] 2

105 [Pa] = 5  105 [Pa/m6] 1[atm] 2

2

1  V2 = 2 V1 {W} = -  PdV    AV dV  A  V dV  A  V 3   3 1 1 1 1 A 1 1 1 3 3 {W} =   V23  V13  =  A  2V1    V1    A  8V13  V13    A(7)V13 3 3 3 3 7 {W} =  AV13 3 3 7 b) {W} =  5  105  Pa / m 6  1[m 3 ] =  11.6667  105 [Pam3] 3 {W} =  1 166.67  103 [J] =  1 166.67 [kJ] 2

2









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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

17. Un sistema termodinámico cerrado se lleva desde el estado “a” al “c” como se muestra en la figura, por la trayectoria “abc” o bien por “adc”. A lo largo de “abc” el trabajo efectuado por el sistema es 350 [J]. A lo largo de “adc” es de 120 [J]. Las energías internas en los cuatro estados son: Ua = 200 [J], Ub = 280 [J], Uc = 650 [J] y Ud = 360 [J]. Determine el calor para cada uno de los procesos siguientes, indicando si el sistema recibe o rechaza calor: a) proceso ab

{Q} = ____________

recibe ( )

b) proceso bc

{Q} = ____________

(

)

(

)

c) proceso ad

{Q} = ____________

(

)

(

)

d) proceso dc

{Q} = ____________

(

)

(

)

a) {aWc}T1 =  350 [J] , {Q} + {W} = U ;

rechaza ( )

{aWc}T2 =  120 [J] ; trayectoria 1 = T1 = a  b  c ,

{aQb}T1 + {aWb}T1 = aUb ,

{aWb}T1 = 0 ,

trayectoria 2 = T2 = a  d  c ;

{aQb}T1 = aUb = Ub  Ua

{aQb}T1 = 280 [J]  200 [J] = 80 [J] , como {aQb}T1 > 0, entonces el sistema recibe calor. b) {bQc}T1 + {bWc}T1 = bUc ,

{bQc}T1 = bUc  {bWc}T1 ,

como {aWb}T1 = 0 , entonces {aWc}T1 ={bWc}T1 =  350 [J] , {bQc}T1 = (Uc  Ub)  {bWc}T1 = (650  280 ) [J]  ( 350 [J] ) = 720 [J] como {bQc}T1 > 0, entonces el sistema recibe calor. c) {aWd}T2 + {dWc}T2= {aWc}T2 =  120 [J] ; {aWd}T2 = {aWc}T2=  120 [J] ;

{dWc}T2 = 0

{aQd}T2 + {aWd}T2 = aUd ,

{aQd}T2 = aUd  {aWd}T2 = (Ud  Ua)  {aWd}T2 = (360  200) [J]  (  120 [J] ) = 280 [J] como {aQd}T2 > 0, entonces el sistema recibe calor. d) {dQc}T2 + {dWc}T2 = dUc ,

{dWc}T2 = 0 ,

{dQc}T2 = dUc = Uc  Ud ,

{dQc}T2 = ( 650  360 ) [J] = 290 [J] , como {dQc}T2 > 0, entonces el sistema recibe calor. a) b) c) d)

proceso ab proceso bc proceso ad proceso dc

{Q} = 80 [J] {Q} = 720 [J] {Q} = 280 [J] {Q} = 290 [J]

recibe (  (  (  ( 

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) ) ) )

rechaza ( ) ( ) ( ) ( ) 30

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

18. En el laboratorio de esta asignatura, un alumno proporcionó energía en forma de calor (Q) a una cantidad de agua líquida, fue midiendo la temperatura (T) que alcanzaba como se muestra en la tabla. Utilizando la totalidad de la información de la tabla, determine: a) La masa de agua utilizada en el experimento. b) La energía interna que alcanzó el agua si se sabe que cuando su temperatura era 25 [°C] su energía interna era 25 000 [J]. T [°C] Q [J] 25 0 30 6 698 35 20 100 40 26 820 m , c con el método de cuadrados mínimos podemos obtener el modelo matemático lineal que relaciona a Q = f ( T ), entonces:

a) Q = m c (T – Ti) = m c T – m c Ti

Q=mT+b;

m = m c;

m

Q [J] = 1 877.24 [J/°C] T [°C] – 47 605.8 [J], de donde m

1 877.24 [J / C] = 0.4485 [kg] 4 186 [J / (kg  C)]

b) 1{Q}2 + 1{W}2 = 1ΔU2

{1W2} = 0;

entonces

{1Q2} = 1ΔU2

de acuerdo con la información de la tabla: {1Q2} = 26 820 [J];

entonces U2 – U1 = {1Q2};

U2 = U1 + {1Q2}

U2 = (25 000 [J] ) + (26 820 [J] ) = 51 820 [J] 19. En un recipiente de fronteras flexibles, se expande un gas de manera que su presión absoluta es inversamente proporcional al volumen. Se sabe que originalmente el volumen que ocupa dicho fluido es 0.001 [m3], a una presión de 105 [Pa] y una temperatura de 30 [°C]. Al final del proceso, el gas duplicó su volumen, determine: a) La presión al final del proceso. b) El trabajo de expansión realizado por el gas, interpretando el signo obtenido. a) P α

1 ; V

P2 V2 = c ,

P=

c , c = cte. V c , P2 = V2

c = P1 V1 (105 [Pa] ) (0.001 [m3] ) = 100 [Pam3] , V2 = 2 V1 = 2 (0.001 [m3] ) = 0.002 [m3] ,

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica 3

P2 = 2

b)

2

2

V 2V c dV 2 dV   c  =  c  Ln V 1 =  c Ln 2   c Ln 1   c Ln  2  V V V1 V1 1 1

1W2    P dV    1

100 [Pa  m ] = 50 000 [Pa] 0.002 [m3 ]

{1W2} =  (100 [Pa  m3]) Ln (2) =  69.3147 [J]

el trabajo lo realiza el gas

20. En un recipiente rígido, de 2 [] se tienen 8 [g] de nitrógeno (N2) a una presión absoluta de 3.4 [bar]. Se deja escapar lentamente una cantidad del gas, de manera que la temperatura en el tanque y su contenido no varíe apreciablemente, hasta que la presión es de 2 [bar]. Con base en ello, determine: a) La temperatura del gas al final del proceso, exprese el resultado en [°C] y en [K]. b) La masa del gas que se dejó salir del recipiente. Exprese el resultado en [g]. a) Vrec = 2 [] = 0.002 [m3] = V1 = V2 , P1 V1  m1 R N2 T1



P2 = 2 [bar] = 2  105 [Pa]





3.4  105 [Pa] 0.002 [m3 ] P1V1 T1   m1 R N2  0.008 [kg] 296.93 [J / (kg  K)]

T1 = 286.2628 [K] = 13.1128 [°C] b) m1 = mS + m2; P2 V2  m 2 R N 2 T2

mS = m1 – m2







2  105 [Pa] 0.002 [m3 ] P2 V2 m2   R N2 T2  296.93 [J / (kg  K)] 286.2628 [K]

m2 = 4.7058  10 3 [kg] = 4.7058 [g],

mS = ( 8 – 4.7058) [g] = 3.2941 [g]

21. En una planta hidroeléctrica, el agua almacenada presenta un desnivel (L), como se indica en la figura; a la entrada de la turbina hidráulica se manejan 500 [kg/s] de agua. Determine la potencia que entrega la turbina a un generador si se estima que las pérdidas por fricción son de 30% y el agua sale de dicha turbina con una rapidez de 30 [m/s].

L = 65 [m] g = 9.8 [m/s2]

Sistema: agua en la presa, en el conducto y en la turbina; sistema termodinámico abierto. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

 

 + W  = m  (Δec + Δep + Δh) ; En términos de la potencia: Q

 

 =0 considerando que Q

y Δh = 0 ya que T1 = T2

 = m  [Δec + Δep] ; entonces W T

v1 = 0 [m/s], v2 = 30 [m/s] W T = m  12  v22  v12   g  z2  z1  , W T = (500 [kg/s] ) [ ½ [(30 [m/s] )2 – (0 [m/s] )2] + (9.8 [m/s2] ) (0  65) [m] ] W T = (500 [kg/s] ) ( 187 [m2/s2] ) =  93 500 [W]   W gen = 0.7 WT = 0.7 (93 500 [W] ) = 65 450 [W]

22. Un calorímetro, de capacidad térmica específica despreciable, contiene 100 [g] de agua a 20 [°C]. ¿Qué cantidad de vapor de agua a 100 [°C] se requiere inicialmente para que quede, al final del proceso, la misma cantidad de agua líquida que de vapor? Considere que el experimento se realiza a nivel del mar. mL = 100 [g] (masa de agua originalmente líquida a 20 [°C]),

TiL = 20 [°C],

como se desea que quede una mezcla de líquido y vapor: Teq = 100 [°C] ; considerando el contenido del calorímetro dentro de fronteras adiabáticas: mL cL (Teb  TiL )  mvc eb = 0,

{QL} + {Qv} = 0,

donde mvc = masa de vapor que se condensa; mL cL (Teb  TiL ) = mvc eb ; mvc =

.



/



° /



mvc = °

mL cL (Teb -TiL ) λeb

,

= 0.014844 [kg] = 14.844 [g]

mL final = mL + mvc = ( 100 + 14.844 ) [g] = 114.844 [g], como mvapor final = mL final , entonces mvapor final = 114. 844 [g], finalmente: mvapor = mvapor final + mvc = (114.844+14.844) [g] = 129.688 [g]

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

Ejercicios propuestos 1. En un recipiente de masa despreciable se calientan 104.6 [g] de glicerina, se registran los valores de la temperatura alcanzada y del calor requerido para lograrlo T [°C] {Q} [J]

10 12 14 16 18 500 990 1550 1999 2500

Con dicha información determine el valor de la capacidad térmica específica de la sustancia en [J/(g°C)]. Respuesta: cglicerina = 2.39 [J/(g°C)] 2. A las condiciones del nivel del mar se tiene un recipiente de paredes rígidas y adiabáticas, en su interior se tienen 300 [g] de agua a 70 [°C], bajo estas condiciones se le agregan 200 [g] de hielo a 0 [°C]. Establezca la situación de equilibrio (temperatura de equilibrio en [°C] y masa de cada fase en [g] ). Considere para el agua chielo = 2.088 [J/(g°C)], clíquido = 4.186 [J/(g°C)]., fus = hfus = 333.336 [J/g]. Respuesta: Teq = 10.14 [°C], msólido = 0. mlíquido = 500 [g] 3. Al mezclarse 115 [g] de agua a 75 [°C] con 40 [g] de agua a 22 [°C] y sabiendo que cagua = 1 [cal/(gK)], ¿cuál es la temperatura, en [°C], de equilibrio? Respuesta: Teq = 61.32 [°C] 4. Un trozo de 60 [g] de platino ( cPt = 0.031 [cal/(gK)] ) se calienta en un horno de resistencia; dicho trozo se introduce en un calorímetro de 100 [g] de cobre ( cCu = 0.1 [cal/(gK)] ) que contiene 349 [g] de agua ( cagua = 1 [cal/(gK)] ) a 10 [°C]. La temperatura final en el calorímetro es 15 [°C]. ¿Qué temperatura, en [°C], tenía el platino al sacarlo del horno? Respuesta: TPt = 980 [°C] 5. En un calorímetro de masa despreciable se mezclan dos litros de agua, uno de ellos a 50 [°C] y el otro a 90 [°C]. Determine la temperatura final, en [°C], de la mezcla. Considere Patm = 101.325 [kPa], Tamb = 20 [°C], cagua = 1 [cal/(gK)] y vagua = 1 [/kg]. Respuesta: Tfinal = 70 [°C] 6. Mediante una caldera se pretende calentar agua cagua = 1 [cal/(gK)] a razón de 100 [/min] desde 15 [°C] hasta 90 [°C]. Cuántas kilocalorías debe de proporcionar el combustible, si de ellas sólo se aprovechan el 30% .

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

Respuesta: {Q}comb = 25 000 [kcal] 7. En un bloque de hielo que se encuentra a 0 [°C] se ha hecho una cavidad, se introducen en ella 900 [g] de cobre ( cCu = 0.09196 [cal/(gK)] ) a 100 [°C], después que el cobre alcanzó la temperatura del hielo se nota que se tienen 104 [g] de agua líquida. ¿Cuál es el valor de la entalpia de fusión del agua en [cal/g]? Respuesta: hfus = fus = 79.6312 [cal/g] 8. ¿Qué cantidad de calor, en [kcal], se necesita para fundir 0.7 [kg] de hielo que se encuentran a 0 [°C] a las condiciones del nivel del mar, las cuales son 101.325 [kPa], 9.81 [m/s2] y 20 [°C] ? Considere para el agua Tfus = 0 [°C] y fus = 79.6312 [cal/g]. Respuesta: {Q} = 5.342 [kcal] 9. Una persona que se encuentra en Mazatlán, pretende bajar lentamente 10 [] de agua una distancia vertical de 8 [m]. Calcule el trabajo que se realiza en [J]. Respuesta: {W} =  785 [J] 10. Calcule el trabajo necesario, en [kJ], para acelerar un cuerpo de 2.1 [kg] desde 70 [m/s] hasta 180 [m/s]. Respuesta: {W} = 28.875 [kJ] 11. Un fluido se encuentra en el interior de un cilindro con émbolo, libre de fricción, a 10 [bar] ocupando 50 [dm3], se realiza un proceso tal que se alcanzan 80 [dm3] y 1 000 [kPa]. Indique el trabajo, en [kJ], y su dirección. Respuesta: {W} = 30 [kJ], sale del sistema 12. Una esfera elástica contiene un gas a 77.17 [kPa] y 20 [°C]; el volumen es proporcional a la presión durante el proceso. El diámetro inicial es de 0.5 [m] y la esfera duplica su volumen. Calcule el trabajo indicando, en [kJ], indicando si se realiza o se recibe. Respuesta: {W} =  7.576 [kJ], se realiza 13. Un gas confinado en un cilindro con émbolo, libre de fricción, se encuentra a 10 [kPa] ocupando 100 []; debido a un calentamiento isobárico el volumen se duplica. A continuación se realiza un proceso isotérmico duplicándose otra vez el volumen. Determine el trabajo, en [kJ], y señale si se hace o se recibe. Respuesta: {W}total =  2.39 [kJ], se hace

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14. Dentro de un cilindro de un motor de Diesel se tiene 0.59 [g] de aire a 1 [bar], 600 [cm3] y 80 [°C] antes de la compresión. Durante el proceso de la compresión politrópica (n = 1.3) su volumen disminuye hasta la décima parte de su valor inicial. Determine el trabajo en [J] y su dirección. Respuesta: {W} = 199.05 [J], entra al sistema 15. El aire contenido en una cámara de llanta sufre un cambio de volumen de 95 [dm3] contra el ambiente que se encuentra a 77.17 [kPa]. ¿Qué cantidad de trabajo, en [J], se realiza? Respuesta: {W} =  7 331.15 [J] 16. Hay una sustancia gaseosa confinada en un cilindro con émbolo libre de fricción y acoplado a un resorte cuya constante es kr = 1 [N/m], al inicio del proceso no actúa el resorte. El diámetro del émbolo es de 10 [cm] y el sistema se encuentra en el Distrito Federal, 77.17 [kPa], 9.78 [m/s2] y 20 [°C]. Calcule el trabajo, en [J], cuándo el émbolo se desplaza 10 [cm] contra el resorte. Respuesta: {W} =  60.614 [J] 17. A un gas contenido en un cilindro con émbolo sin fricción se le suministran 105.5 [kJ] en forma de calor ocasionando una expansión casiestática contra 77.17 [kPa] constantes. Si la energía interna al inicio es la misma que al final, calcule el cambio en el volumen, en [m3], del proceso. Respuesta: V = 1.37 [m3] 18. Un sistema opera con dos procesos que forman un ciclo. En el primero se reciben 50 [kJ] de calor y se entregan 80 [kJ] de trabajo. En el segundo se reciben 50 [kJ] de trabajo. Calcule la transmisión de energía en forma de calor, en [kJ], del segundo proceso y su dirección. Respuesta: {Q} =  20 [kJ], se entregan 19. Un dispositivo neumático opera de manera constante con una presión de 80 [kPa], el émbolo (con diámetro de 0.2 [m] ), de dicho dispositivo recorre una carrera de compresión de 20 [cm]. La energía interna del gas contenido en él aumenta 100 [J], determine el calor, en [J] indicando si entra o sale del sistema. Respuesta: {Q} =  402.65 [J], el calor sale del sistema 20. El proceso en un sistema cerrado donde se reciben 24 [J] de calor y se entregan 15 [J] de trabajo da como resultado una energía interna al final de  8 [J], determine al cambio de la energía interna del proceso, en [J] y la energía interna, en las mismas unidades que el cambio anterior, al inicio del proceso. Respuesta: U = 9 [J], Uinicial =  17 [J] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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21. Un gas se encuentra confinado en un cilindro con émbolo y tiene una hélice que opera a 5 [W]. Al inicio el gas tiene 20 [dm3], 20 [°C] y 90 [kPa] pasando al término del proceso politrópico (n=1.25) al doble de su volumen inicial, mientras se le suministran 4 [W] mediante una resistencia. Calcule el cambio de energía interna, en [J], si el tiempo de operación es de 15 minutos. Respuesta: U = 6 954.45 [J] 22. Un fluido caliente se encuentra en un recipiente rígido. Dicho fluido se va ha enfriar con 100 [kJ] proporcionados por un agitador. La energía interna inicial del fluido es 800 [kJ] y se disipan 500 [kJ] durante el proceso. Determine el valor de la energía interna final en [kJ]. Respuesta: Ufinal = 400 [kJ] 23. Por una tubería fluye agua (1 000 [kg/m3] ) a 20 [°C], 20 [m/s] y 77.17 [kPa]. Si a la salida se tiene una velocidad de 80 [m/s], calcule la relación de los diámetros, el de entrada con respecto al de salida. Respuesta:

ent 2 sal

24. Una boquilla reduce su diámetro de 10 [cm] a 2 [cm] y por ella fluye agua a 3 [m/s] constantes. Calcule la rapidez, en [m/s], del agua a la salida de la boquilla y el gasto volumétrico, en [m3/s]. Respuestas: = 75 [m/s] ; V = 0.0236 [m3/s] 25. Se tiene un recipiente cilíndrico tal que su diámetro es de 2 [m] y su altura de 7 [m]; en él se presentan dos entradas y dos salidas de V = 3 [dm3/s], m = 4 [kg/s] y V = 2.5 [dm3/s], m = 7 [kg/s] respectivamente. Inicialmente el recipiente contiene 4 [m3] de agua ( 998 [kg/m3] ) ¿El recipiente se llena o se vacía? ¿En cuánto tiempo lo hace (expresado en minutos) ? Considere que las entradas está por la parte superior y las salidas en la inferior. Respuesta: se vacía en t = 83.574 [min] 26. Se tiene un dispositivo por el que entra y sale agua bajo las condiciones siguientes: entrada: diámetro de 7.62 [cm], : = 9.144 [m/s], salida 1: V = 0.008496 [m3/s], salida 2: m = 4.377 [kg/s]. Calcule la variación de la masa con respecto del tiempo, en [kg/s], del dispositivo. Respuesta:

dm  28.83[ kg / s] dt

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27. Por una tubería circulan 200 [kg/s] de agua. Dicha tubería forma una “T” con un tubo de 5 [cm] de diámetro y otro de 7 [cm] de diámetro. El agua viaja por el tubo de diámetro menor con una rapidez de 25 [m/s]. Calcule la rapidez del flujo de agua, en [m/s], en la tubería de mayor diámetro. Respuesta: : = 39.213 [m/s] 28. El agua circula a razón de 190 [/min] por una manguera de 3.81 [cm] de diámetro. Si el agua sale por una boquilla de 1.27 [cm] de diámetro, determine la rapidez, en [m/s], en la boquilla. Respuesta: = 25 [m/s] 29. El agua fluye por una tubería de 10 [cm] de diámetro a 7 [m/s], a lo largo de la tubería se encuentra una reducción súbita de 7 [cm] de diámetro, ¿cuál es la rapidez, en [m/s], del flujo en esa sección? Respuesta: = 14.29 [m/s] 30. A través de un tubo de 8 [cm] de diámetro fluye aire a 70 [m/s], 20 [°C] y 200 [kPa]. Considerando para el aire R = 0.287 [kJ/(kgK)], determine el flujo de masa, en [kg/s].

  0.8364 [kg / s] Respuesta: m 31. Cierta cantidad de un gas ideal se encuentra dentro de una esfera elástica, la cual se expande contra el ambiente duplicando su volumen para alcanzar 708 [K]. Si la esfera se encuentra en el D.F., cuyas condiciones son: 77 [kPa] y 9.78 [m/s2], calcule el trabajo realizado, en [kJ], por el gas y su dirección. Respuesta: {W} =  6.0984 [kJ], sale del sistema 32. Se tienen 61.6 [g] de un gas ideal ( R = 0.287 [kJ / (kgK)] ) a 99 [kPa] en el interior de un cilindro con émbolo. Se realiza un proceso “muy lento” de tal forma que su volumen final es un cuarto del inicial con 170 [°C]. Calcule el calor del proceso, en [kJ], y su dirección. Respuesta: {Q} =  10.861 [kJ], sale del sistema 33. En un cilindro con émbolo hay 250 [g] de un gas ideal ( Raire = 0.287 [kJ / (kgK)], k = 1.4 ) inicialmente a 6.25 [bar] y 150 [°C]. El gas sufre tres procesos: el primero, isométrico hasta cuadruplicar su presión; el segundo es una expansión politrópica, disminuyendo su presión en un cuarto de la inicial; finalmente, un calentamiento isobárico mediante 612.35 [J/g] al gas, aumentando en 1.5 su volumen inicial. Determine el calor, asociado a cada unidad de masa, total y su dirección, en [J/g]. Respuesta: {q}total = 1 621.8 [J/g] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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34. Un tanque de paredes rígidas y de 250 [] de capacidad contiene cierto gas (k = 1.4) a 100 [kPa] y 25 [°C]. Se realiza un proceso tal que la presión al final es 1.5 la presión inicial. Determine el calor del proceso, en [kJ], y su dirección. Respuesta: {Q} = 31.25 [kJ], entra al sistema 35. Un globo esférico es llenado con helio RHe = 2.0769 [kJ / (kgK)], hasta alcanzar un diámetro de 6 [cm], 20 [°C] y 200 [kPa]. Calcule la masa, en [kg], del helio así como la cantidad de moles, en [kmol]. Respuesta: m = 37.15 [kg]; n = 9.28 [kmol] 36. En un dispositivo cilindro con émbolo, libre de fricción, se tienen 120 [g] de aire ( Raire = 0.287 [J/(gK)], cv = 0.7175 [kJ/(kgK)] ) a 50 [°C]. Se realiza un proceso adiabático alcanzando 150 [kPa], dicho valor es el doble de la presión inicial. Calcule el trabajo, en [kJ], y su dirección. Respuesta: {W} = 1.741 [kJ], entra al sistema 37. Dentro de un dispositivo cerrado se lleva a cabo un proceso politrópico (n=1.23) con 200 [g] de un gas ideal ( R = 0.287 [J / (gK)], k = 1.4 ) inicialmente a 35 [°C], se sabe que la presión al final es tres veces la inicial. Calcule el calor, en [kJ], y su dirección. Respuesta {Q} =  7.454 [kJ], sale del sistema 38. En un recipiente rígido de 200 [] de capacidad se tienen 100 [g] de helio RHe = 2.0769 [kJ/(kgK)], a 350 [kPa]. Debido a una falla se escapa cierta cantidad del gas, tal que, al final el gas dentro del tanque alcanza un tercio de la presión inicial y 561.73 [K]. Determine la masa, en [g], del gas helio que se escapó. Respuesta: mescapa = 80 [g] 39. Por una tobera adiabática fluyen 5 [kg/s] de agua. A la entrada se tienen 100 [m/s] mientras que en la salida se tienen 13.07 [kg/m3] y 3 [cm] de diámetro. Calcule el cambio de entalpia específica, en [kJ/kg], en dicho equipo. Respuesta: h =  141.452 [kJ/kg] 40. Una turbina adiabática que opera con vapor de agua recibe 30 [kg/s] a 15 [MPa], 600 [°C] y una entalpia específica de 3 582.3 [kJ/kg], el fluido sale de la turbina a 100 [kPa] y 2 675.5 [kJ/kg] de entalpia específica de entalpia específica. Calcule la potencia, en [MW], que entrega la turbina. Respuesta: {W} =  27.204 [MW]

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41. En la caldera de un ciclo de Rankine circulan 23 700 [kg/h] de agua. A la entrada se tienen 30 [bar], 1.04 [cm3/g] y 417.36 [kJ/kg] de energía interna específica, a la salida 2 804.2 [kJ/kg] de entalpia específica. Si el valor calorífico del combustible es 10.98 [Mcal/kg], calcule el gasto del combustible, en [kg/h], utilizado por la caldera si su eficiencia es del 100% . Respuesta: m

= 1 312.58 [kg/h].

42. Por una bomba circulan 5 [/s] de agua. A la entrada se tiene para el agua 191.86 [kJ/kg] de entalpia específica y 0.00101 [m3/kg]. Si la potencia de la bomba es de 60 [kW], calcule la entalpia específica, en [kJ/kg], a la salida del equipo. Respuesta: hsalida = 203.98 [kJ/kg] 43. Freón 12 fluye por una tubería de 4 [cm] de diámetro, en un punto se tienen, para el refrigerante, 40 [m/s], 40 [°C], 300 [kPa] y 0.068049 [m3/kg]. Debido a la transferencia de calor con los alrededores, en otro punto, corriente abajo, el fluido alcanza 50 [°C]. Considerando que el cambio de entalpia específica entre ambos puntos es de 6.55 [kJ/kg], calcule la potencia calorífica, en [kW], indicando si entra o sale del sistema. Respuesta {Q} = 4.84 [kW], entra al sistema 44. Una turbina de aire ( Raire = 0.287 [J / (gK)], k = 1.4 ) produce 35 [kJ/kg] de trabajo. Las condiciones del aire a la entrada son 300 [kPa], 50 [°C] y 45 [m/s] mientras que en la salida son 100 [kPa], 12 [°C] y 100 [m/s]. Calcule el calor asociado a cada unidad de masa, en [kJ/kg], y su dirección. Respuesta: {q} = 0.8165 [kJ/kg], entra al sistema. 45. Se usa un litro de agua a 30 [°C] para hacer té helado, se requiere que el té esté a una temperatura de 10 [°C]. Determine: a) La cantidad de hielo necesaria, si éste tiene una temperatura de 0 [°C]. b) La masa final de la cantidad de té elaborado. c) El volumen final del té elaborado. Respuestas: a) m = 0.2224 [kg]; b) m = 1.2224 [kg]; c) V = 1.2224 [dm3] = 1.2224 [] 46. En un cilindro que cuenta con un émbolo, se comprime una sustancia simple compresible desde 15 [dm3] y 110 [kPa] hasta 420 [kPa], según una trayectoria dada por la ecuación P = a V + b, donde a = 37 [MPa/m3]. Obtenga: a) La gráfica del proceso, con las coordenadas adecuadas. b) Haga un análisis de las unidades del producto presión (P) por volumen (V). Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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c) La cantidad de trabajo en el sistema durante el proceso. d) ¿El sistema recibe o entrega ese trabajo? Justifique su respuesta. Respuestas: a) P [Pa]

Presión en función del volumen P = -3.70E+07V + 6.65E+05 450000 400000 350000 300000 250000 200000 150000 100000 50000 0

0.0050

0.0070

0.0090

0.0110

0.0130

0.0150

0.0170 V [m3]

b) [ P V ]u = [N m] = [J] ; c) {W} = 2.235 [kJ] ; d) el sistema recibe dado que el gas se comprime. 47. El pistón de la figura tiene un diámetro de 15 [cm] y un peso de 35.6 [N]. Cuando se encuentra a una distancia x = 26 [cm], la presión en el gas atrapado en el cilindro es 1.01325 [bar]. Si la presión es inversamente proporcional al volumen, calcule el trabajo que se requiere para situar el pistón en x = 6.5 [cm]. Considere que el pistón se mueve sin fricción.

d=15 [cm]

x=26 [cm] Respuesta: {W} = + 644.91 [J] 48. Una cierta cantidad de gas ejerce una presión uniforme de 1.35 [bar] (manométricos) sobre un pistón de 25.5 [cm] de diámetro, haciendo que se desplace 15 [cm]. En un barómetro se lee una columna de 700 [mm] de mercurio, ¿cuánto trabajo realiza el gas? Respuesta: {W} = 1749.61 [J] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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49. Por una tubería fluye agua con una rapidez uniforme. En un punto la presión es 25 [kPa] y tiene un diámetro de 8.0 [cm] y en otro punto, 50 [cm] más alto, la presión es 15 [kPa] y diámetro de 4.0 [cm]. a) Encuentre la velocidad del agua en ambos puntos. b) Determine el flujo de masa en la tubería.

 = 4.14 [kg/s] Respuestas: a) v1 = 0.8242 [m/s] , v2 = 3.2969 [m/s] ; b) m 50. Se emplea una bomba para tomar agua de un lago a razón de 1 [m3/s] y elevar su presión de 120 a 700 [kPa], con el fin de alimentar la tubería principal de los bomberos de una estación cercana al lago. Si la bomba es adiabática y sin fricción, ¿cuál es la potencia necesaria para la bomba?

 } = 580 [kW] Respuesta: { W 51. Un gas está confinado en un cilindro vertical por un émbolo de 2 [kg] de masa y 1 [cm] de radio. Cuando se le proporcionan 5 [J] en forma de calor, el émbolo se eleva 2.4 [cm]. Si la presión atmosférica es de 105 [Pa] , obtenga: a) El trabajo realizado por el gas. b) El cambio en la energía interna del gas. Respuestas: a) {W} = 1.22 [J] ; b) U = 3.88 [J] 52. Un tanque que contiene 5 [kmol] de H2 a Pman=10105 [Pa] y 303 [K] tiene una válvula de seguridad que abre cuando la presión en el tanque alcanza un valor de Pman=11105 [Pa]. a) ¿Cuál es el volumen del tanque? b) ¿A qué temperatura llegará el hidrógeno cuando se abra la válvula de seguridad? Respuestas: a) V = 11.45 [m3] ; b) T = 330.53 [K] 53. Un gas confinado en un cilindro-émbolo experimenta el proceso representado por la línea recta ac de la figura, el sistema absorbe 180 [J] de energía en forma de calor. Determine: a) b) c) d)

El trabajo realizado por el sistema al pasar de a a c. Si Ua=100 [J], cuanto vale Uc. El trabajo realizado por el gas cuando regresa a a pasando por b. El calor transferido en el proceso c-b-a.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

P[kPa]

c

200 100

a 1

b 2

V [litros]

Respuestas: a) {W} = 150 [J] ; b) Uc = 130 [J] ; c) {W} =  100 [J] ;

d) {Q} =  130 [J]

54. Determinar la constante particular y el número de moles "n" de los gases siguientes:

gas Hidrógeno nitrógeno oxígeno helio neón

H2 N2 O2 He Ne

masa (m) [kg]

masa molecular (M) [kg/kmol]

1.36 kg 7.29 kg 15.9 kg 11.3 kg 17.82 kg

2.01 28.0 32.0 4.0 20.18

constante particular (Rp) [J/(kgK)]

número de moles (n) [mol]

Recuerde que: n=masa/ masa molecular = m/M ; Runiversal = Rparticular M y Runiversal=8 314 [J/kmol K] Respuestas:

gas Hidrógeno nitrógeno oxígeno helio neón

H2 N2 O2 He Ne

masa (m) [kg]

masa molecular (M) [kg/kmol]

1.36 kg 7.29 kg 15.9 kg 11.3 kg 17.82 kg

2.01 28.0 32.0 4.0 20.18

constante particular (Rp) [J/(kgK)] 4 136.3 296.93 259.81 2 078.5 411.99

número de moles (n) [moles] 676.2 260.4 496.9 2 825 883.1

55. Dos moles de gas helio se encuentran a 20 [°C] y P = 200 [kPa]. a) Calcule el volumen del gas. b) Si el gas se calienta a 40 [°C] y su presión se reduce 30%, ¿cuál es el nuevo volumen? Respuestas: a) V = 24.3724103 [m3] ; b) Vn = 37.1933103 [m3] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica

56. Un cubo de 10 [cm] de lado se llena de oxígeno a 0 [°C] y una atmósfera de presión. A continuación el cubo se sella y se eleva su temperatura a 30 [°C]. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que ejerce el gas sobre cada cara del cubo? F = 1 109.83 [N] 57. Entra agua en una casa por un tubo con diámetro interior de 2.0 [cm] a una presión absoluta de 40 [kPa]. Un tubo de 1.0 [cm] de diámetro interior va al cuarto de baño del segundo piso, 5 metros más arriba. Si la rapidez del flujo en el tubo de entrada es de 1.5 [m/s] calcule, en el cuarto de baño: a) La rapidez con la que sale el agua. b) La presión con la que sale el agua. c) El flujo volumétrico. Respuestas: a) v1 = 6 [m/s]; b) P2 =  25 925 [Pa]; c) G = 4.7124104 [m3/s] 58. En una cisterna para agua se sabe que entra un flujo de agua de 10 [kg/min] y salen de ésta, mediante una bomba, 10 [kg/min]. Obtenga: a) El gasto másico en unidades del SI (kg/s). b) El aumento de masa en cada unidad de tiempo. c) La cantidad de masa que se acumula en 15 minutos.

 = 0.0217 [kg/s] ; b) m/t = 0.145 [kg/s] ; c) m = 130.5 [kg] Respuestas: a) m 59. En un tanque cilíndrico de oscilación o alivio para gasolina se tiene dos entradas y dos salidas de gasolina; las dos entradas tienen un gasto másico de 1.6 y 2.1 [kg/s]; mientras que las salidas tienen gastos de 1.8 y 1.9 [kg/s] respectivamente. Obtenga: a) La variación de masa en el tanque de oscilación. (volumen de control). b) Si la entrada de 1.6 kg/s aumenta su flujo a 2.0 kg/s, ¿Cuánta masa se acumula en el tanque en 2 minutos? c) Calcule la altura mínima que debe tener el tanque cilíndrico si se sabe que antes de la variación indicada en el inciso b), éste contenía 1 000 [kg] de gasolina y un radio de 90 [cm]. La densidad de masa de dicha gasolina es de 968 [kg/m3] Respuestas: a) m/t = 0 [kg/s] ; b) m = 48 [kg] ; c) hmín = 0.4254 [m] 60. El conjunto de procesos siguiente describen un ciclo, comienza en el punto A. El proceso de A a B es una reducción de presión a volumen constante. El proceso de B a C es un aumento de volumen a presión constante. El proceso de C a A es una compresión isotérmica. La sustancia de trabajo (sistema) es un gas ideal con n = 0.75 [mol], k = 1.4, cp = 29.1 [J/(molK)] y cv = 20.8 [J/(molK)] . Las presiones absolutas en A y en B son respectivamente: 3.2 [kPa] y 1.2 [kPa]. Si el volumen Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Primera ley de la termodinámica 3

inicial, en A, es 0.21 [m ], calcule {Q}, {W} y U para cada uno de los tres procesos que forman este ciclo. Respuestas: Proceso de AB (proceso isométrico): {W} = 0 ; {Q} = U  970[J] ; proceso de BC (proceso isobárico): {W} =  384 [J] ; {Q} = 1 357 [J] ; U = 973 [J] ; proceso de CA (proceso isotérmico): U = 0 ; {Q} =  {W} =  622.12 [J].

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

TEMA III. SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA

Ejercicios resueltos 1. Un ingeniero propone una máquina térmica que opera con cierto ciclo, que recibe, de un depósito térmico a 1200 [K], 834 [kJ] de calor y que rechaza al medio ambiente, a 25 [°C], 275 000 [J] en forma de energía calorífica. Determine: a) El trabajo que produce la máquina propuesta. b) Si el ciclo es posible o imposible. Justifique su respuesta. c) Si el ciclo satisface la desigualdad de Clausius. Justifique su respuesta. a) 1 200 [K] {Qa} = 834 000 [J] {W}

{Qb} = 275 000 [J] 25 [°C] = 298.15 [K] {Q}ciclo + {W}ciclo = 0

{Qa} + {Qb} + {W} = 0

{W} =  {Qa}  {Qb}

{W} =  (834 000 [J] )  ( 275 000 [J] ) =  559 000 [J]

Tb 298.15[K ] =1– = 0.7515 Ta 1 200 [K ] lo que se desea 559 [kJ ] |W| = = 0.6703 real = = lo que hay que aportar | Q a | 834 [kJ] como máx > real, el ciclo sí es posible.

b) máx = Carnot = 1 –

c)

Q a Q 834 000 [J ]  275 000 [J ] Q Q  +  b = a b = =  227. 36 [J/K] Ta Tb Ta Tb 1 200 [K ] 298.15[K ] Q < 0 , el ciclo cumple con la desigualdad de Clausius (se trata de un ciclo irreversible). como  T



Q = T



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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

2. Se tienen 4 [kg] de un gas ideal, en un dispositivo mecánico, que se comprimen politrópicamente hasta alcanzar 1/8 de su volumen inicial. La temperatura del fluido compresible se eleva de 150 [°C] a 450 [°C]. Considerando constantes para el gas cp = 1.0393 [J/(gK)] y R = 0.29694 [J/(gK)] determine para el gas: a) La relación entre su presión inicial y final, es decir P1 / P2. b) El índice politrópico del proceso. c) Su cambio de entropía durante el proceso. a) Sistema: gas ideal en el dispositivo (sistema cerrado); T1 = 150 [°C] = 423.15 [K]; T2 = 450 [°C] = 723.15 [K]; PV P V P1 T1  V2  para un gas ideal: 1 1  2 2 , de donde   ; T1 T2 P2 T2  V1  como V2 = (1/8) V1,

V2 1  , por lo tanto V1 8 n

b) P1 V1n  P2 V2n ;

c) S = m cp ln

P1  V2    ; P2  V1 

P1 423.15[K ]  1    ; P2 723.15 [K ]  8 

P  ln  1  P ln 0.0731 n=  2 = ; 1  V2  ln   ln   8  V1 

P1 = 0.0731 [1] P2

n = 1.2577 [1]

T2 P  m R ln 2 T1 P1

S = (4 [kg]) (1 039.3 [J/(kgK)] ) ln

1 723.15 [ K ]  (4 [kg]) (296.94 [J/(kgK)] ) ln 423.15 [ K ] 0.0731

S =  879.2917 [J/K] 3. Se mezclan 250 [g] de aluminio, a 85 [°C] con 80 [g] de agua líquida a 21 [°C]. Sabiendo que se mezclan en un recipiente aislado, que para el aluminio y el agua, cP = 0.91 [J/(gK)] y cP = 4.186 [J/(gK)] respectivamente (ambos valores promedio en este rango de temperaturas), y que la temperatura ambiente es 25 [°C], determine: a) La temperatura de equilibrio alcanzada por la mezcla. b) Si se verifica el Principio de incremento de entropía en el proceso. a) Sistema: la mezcla en el recipiente aislado (sist. aislado). {Q} + {W} = 0 ; como {W} = 0, entonces {Q} = 0; mA cA (Teq – TiA) + ma ca (Teq – Tia) = 0 ; m c T  m a c a Tia = Teq = A A iA mAcA  ma ca (0.25[kg] ) (910 [J /(kg  C)] ) (85 [C] )  (0.08[kg] ) (4186 [J /(kg  C)] ) (21[C] ) Teq = (0.25[kg] ) (910 [J /(kg  C)] )  (0.08 [kg ] ) (4186 [J /(kg  C)] ) Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

Teq = 46.89 [°C] = 320.04 [K] 2

b)

2

Q ; T 1

S =  dS   1

2

mc p dT

donde Q = m cp dT

2

T dT = m cp [ ln T2 – ln T1 ] = m cp ln 2 T T T1 1 1 320.04 K =  25.5951 [J/K] ; SA = (0.25 [kg] ) ( 910 [J/(kgK)] ) ln 358.15 K 320.04 K Sa = (0.08 [kg] ) ( 4186 [J/(kgK)] ) ln = 28.2492 [J/K] ; 294.15 K Ssist aislado = SA + Sa = (25.5951 [J/K] ) + (28.2492 [J/K] ) = 2.6541 [J/K] > 0;

S =



= m cp



cumple con el principio de incremento de entropía. 4. Suponga una máquina térmica que opera con el ciclo reversible de Carnot entre los depósitos de temperatura T1 = 800 [°C] y T2 = 25 [°C]. Se sabe que utiliza 1.2 [mol] de aire y que durante la expansión isotérmica a la temperatura superior, el volumen que alcanza es el doble del volumen inicial. Considerando que la presión máxima en el ciclo es 1.5  105 [Pa], determine: a) El calor durante el proceso de la expansión isotérmica. Indique si entra o sale del aire. b) El trabajo neto que entrega el ciclo. a) {1Q2} + {1W2} = 1U2 ; TA = 1073.15 [K]

{1W2} =  n Ru TA Ln W

TB = 298.15 [K]

b) c = 1  c =

1U2 =

0;

{1Q2} =  {1W2}

V2 ; V1

2V1  J  {1W2} =  (1.2 [mol] ) (8.314  ) (1073.15 [K] ) ln  V1  mol  K  {1W2} =  7 421.25 [J]

{1Q2} =  (  7 421.25 [J] ) = 7 421.25 [J] ;

entra al sistema.

TB 298.15 [K ] = 0.7222 =1– TA 1 073.15 [K ]

Wneto ; QA

|Wneto| =  |QA| = (0.7222) (7 421.25 [J]) = 5 359.43 [J]

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5. Una máquina de vapor tiene una caldera que opera a 500 [K]. El calor cambia el agua líquida a vapor, el cual mueve un pistón. La temperatura de escape es la del aire ambiente, aproximadamente a 27 [°C]. Determine:

a) La eficiencia térmica máxima de esta máquina de vapor. b) El trabajo máximo que puede realizar la máquina, en cada ciclo de operación, si la sustancia de trabajo recibe 200 [J] de calor del depósito de temperatura alta durante cada ciclo. TA = 500 [K]

TB 300.15[K ] = 0.3997  0.4 [1] =1– TA 500 [K ] | Wneto | ; | Wneto | = c | QA | b) c = | QA | | Wneto | = (0.4) (200 [J] ) = 80 [J] a) c = 1 

QA = 200 [J] W

o bien QB QB ; = 1 – c ; QA QA QB = (1 – 0.4 ) (200 [J] ) = 120 [J];

TB = 300.15 [K]

c = 1

QB = (1 – c ) QA

| QA | = | Wneto | + | QB | ;

| Wneto | = | QA | – | QB |

| Wneto | = (200 – 120) [J] = 80 [J] 6. La eficiencia térmica máxima, teórica, de un motor, basado en el ciclo reversible de Carnot, es de 30%. Si el motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a una temperatura de 300 [K], determine: a) La temperatura de la sustancia de trabajo en el cilindro inmediatamente después de la combustión. b) El trabajo que realiza en cada ciclo, si la máquina recibe 837 [J] de la fuente de calor. TA

QA Wneto

QB TB = 300 [K]

TB ; TA

TB = 1  c TA TB 300 [ K ] = ; TA = 1  0 .3 1  c

a) c = 1 

b) QA = 837 [J] | Wneto | c = ; | QA |

| Wneto | =  | QA |

|Wneto| = (0.3) (837 [J] ) ; Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

TA = 428.57 [K]

| Wneto | = 251.1 [J] 49

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

7. Calcule el cambio de entropía en el plomo cuando 300 [g] de éste se funden a 327 [°C] y una presión atmosférica de 77 [kPa]. La entalpia de fusión del plomo es 24.5 [kJ/kg]. sistema: los 300 [g] de plomo (sistema termodinámico cerrado) ; T = 327 [°C] = 600.15 [K] ; 2

1ΔS2 =

 1

1ΔS2

=

Q ; T

hfus = 24.5 [kJ/kg] = hsf ;

T1 =T2 = cte. (cambio de fase) ;

1ΔS2 =

{Q} = m hfus 1

2

1

 Q  T m hsf T 1

(0.3 [kg ] ) (24 500 [J / kg] ) 600.15 [K ]

= 12.2469 [J/K]

8. Un mol de aire ( M = 29 [g/mol] ) considerado como gas ideal se calienta casiestáticamente a volumen constante, para aumentar su temperatura de 26.85 [°C] a 126 [°C], ¿cuál es el cambio de entropía del gas? sistema: 1 [mol] de aire (sistema termodinámico cerrado); T1 = 26.85 [°C] = 300 [K] , T2 = 126 [°C] = 399.15 [K] V1 = V2; T2 V m + m R ln 2 ; n= ; m = n M = (1 [mol] ) (29 [g/mol] ) = 29 [g]; 1ΔS2 = m cv ln T1 V1 M m = 0.029 [kg] ; entonces 399.15 [K ] + (0.029 [kg]) (286.7 [J/(kg.K)] ) ln (1) 1ΔS2 = (0.029 [kg] ) (717 [J/(kgK)]) ln 300 [K ] 1ΔS2

= 5.9375 [J/K]

9. Un kilogramo de agua a 0 [°C] se mezcla con una cantidad igual de agua a 100 [°C] en un recipiente aislado. Sabiendo que el proceso se realiza en fase líquida y a nivel del mar, determine para la mezcla: a) La temperatura final. b) El cambio de entropía. a) Sistema: mezcla de agua dentro del recipiente aislado (sistema termodinámico aislado). TiB = 100 [°C] = 373.15 [K] ; TiA = 0 [°C] = 273.15 [K] ; {QA} + {QB } = 0 ,

mA cA ( Tf  TiA ) + mB cB ( Tf  TiB ) = 0 ,

cA = cB, tenemos que:

( Tf  TiA ) + ( Tf  TiB ) = 0 , de donde:

como mA = mB y

Tf = ½ ( TiA + TiB ) = ½ ( 0 + 100 ) [°C] = 50 [°C] = 323.15 [K]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

50

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica 2

b)

1S2

=

 1

{Q} T

2

=

 1

m c dT T

2

=mc

 1

dT T

= m c [ ln T ]if = m c ( ln

Tf Ti

) ; entonces,

para la mezcla: 1S2

1S2

= 1S2-A + 1S2-B = mA cA ln

= (1 [kg] ) ( 4 186 [J/(kgK)] ) ln

TfA TiA

+ mB cB ln

323.15 [K ]

TfB TiB

;

+ (1 [kg] ) ( 4 186 [J/(kgK)] ) ln

273.15 [K ] 1S2 = ( 703.6478 [J/K] ) + (  602.2142 [J/K] ) = 101.4336 [J/K]

323.15 [K ] 373.15 [K ]

10. Un sistema cerrado contiene 0.1 [kg] de aire como gas ideal a 3 [bar] y 200 [°C], rechaza 7.7 [kJ/kg] de calor al medio ambiente que está a 20 [°C] y realiza un trabajo de 17 500 [J]. Si la presión final del sistema es 15 [bar] y su temperatura es 321 [°C], determine: a) La variación de entropía específica del aire, en [kJ/(kgK)]. b) La generación total de entropía en el proceso y, con base en ello, indique si es posible o imposible. T2 = 321 [°C] = 594.15 [K]. T1 = 200 [°C] = 473.15 [K], a) Sistema: aire como gas ideal (sistema termodinámico cerrado). T2 P 594.15 [K] 15 [bar]  (286.7 [J/(kgK)] ) ln  R ln 2 = (1 004 [J/(kgK)] ) ln 1s2 = cp ln 473.15 [K] 3 [bar] T1 P1 1s2 = (228.6302 [J/(kgK)] )  (461.4258 [J/(kgK)] ) =  0.2328 [kJ/(kgK)] 1 1 {Q} {q} ; y 1s2 =  , b) Como 1S2 =  T T 2 2 para el medio ambiente tenemos que: {1 q 2 } entonces: ; {1q2} = 7 700 [kJ/kg], 1s2 = Tamb 7 700 [J / kg] = 26.2664 [J/(kgK)] 293.15 [K] calculando ahora la entropia total (aire y medio ambiente), tenemos:

1s2

=

sT = saire + smedio amb = (  232.7956 [J/(kgK)] ) + (26.2664 [J/(kgK)] ) =  206.5292 [J/(kgK)] como el aire y el medio ambiente forman un sistema aislado, entonces: ssist.aislado ≥ 0 y en este caso sT < 0 , por lo tanto el proceso es imposible.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

51

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

11. Se tiene una máquina térmica que opera con una masa de nitrógeno (N2), de acuerdo con el ciclo que se muestra en la gráfica. Si el nitrógeno se comporta como gas ideal y la temperatura en el estado inicial es T1:

a) Determine la temperatura en el estado 3 (T3), en función de la temperatura en el estado inicial (T1). b) Si el ingeniero que diseñó esta máquina afirma que su eficiencia es 0.7, indique, justificando su respuesta, si esta afirmación es verdadera o es falsa. V1 = V2; a) proceso 12: P1V1 P2 V2  ; T1 T2 1 2  T1 T2 proceso 23: P2 V2 P3 V3  ; T2 T3 V2 2V2  ; T2 T3 T2 = 2T1

V3 = V4 = 2V1 ; V1 = V2; T1 =

P1 = P4;

P1 P2  ; T1 T2

P1 2P1  T1 T2

V2 V3  ; T2 T3

V3 = 2V2

P2 = P3 = 2P1

T2 ; 2

P2 = P3;

1 2  ; T3 = 2T2 T2 T3 T3 = 2 ( 2T1 ) = 4 T1;

como T1 =

1 T2 , entonces 2

T3 = 4 T1

b) TA = T3;

TB = T1 entonces la eficiencia máxima teórica está dada por: TB T1 T 1 ηT = 1  = 0.75 [1] =1 =1 1 =1 TA T3 4T1 4 la afirmación es verdadera. como ηmáquina = 0.7 y ηmáquina < ηT

12. Si una máquina opera con el ciclo de Carnot reversible y se sabe que la presión máxima que alcanza es el doble de la mínima; el volumen se comprime a la mitad del máximo y dicha máquina opera entre los depósitos térmicos de 800 [°C] y 0 [°C], determine: a) La eficiencia de la máquina. b) El trabajo que entrega en cada ciclo si recibe 580 [J] del depósito de temperatura alta. TA = 800 [°C] = 1073.15 [K] a) P1 = 2P3 TB = 0 [°C] = 273.15 [K] v1 = (½) v3 T 273.15 [K] = 0.7455 [1] η=1 B =1 TA 1 073.15 [K]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

52

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

b) 



|QA| = |Wneto| + |QB|

Wneto ; QA

Wneto = η QA

lo que se desea lo que hay que aportar

Wneto = (0.7455) (580 [J] ) = 432.372 [J]

13. Una máquina térmica reversible ideal opera en ciclos entre las temperaturas 100 [°C] y la temperatura del medio ambiente (0 [°C] ). Si se sabe que su eficiencia es de 20% y el calor que recibe es 17 000 [J], determine: a) La variación de entropía del medio ambiente. b) La eficiencia máxima teórica posible de una máquina que opere entre los depósitos térmicos indicados. a) ΔS =

Q

T

amb



1 Q Q  B  Tamb Tamb

W η = neto ; |QA| = |Wneto| + |QB|; Wneto = η QA = (0.2) (17 000 [J] ) = 3 400 [J] QA |QB| = |QA|  |Wneto| |QB| = (17 000 [J] ) – (3 400 [J] ) = 13 600 [J] ΔS =

b) η = 1 

13 600 [J] = 49.7895 [J/K] 273.15 [K]

TB 273.15 [K]  1 = 0.268 [1] TA 373.15 [K]

14. Una mezcla preparada con 50 [g] de hielo y 50 [g] de agua líquida tiene una temperatura de 0 [°C] en un calorímetro de paredes adiabáticas. Se adicionan 250 [g] de agua líquida a 45 [°C]. La temperatura ambiente es de 25 [°C]. Determine: a) La temperatura de equilibrio considerando que el experimento se realiza a nivel del mar. b) El cambio de entropía de la mezcla que originalmente estaba a 0 [°C], es decir de los 50 [g] de hielo con los 50 [g] de agua líquida. c) El cambio de entropía de todo el contenido del calorímetro. cagua líq = 4186 [J/(kg°C)],

chielo = 2 220 [J/(kg°C)],

fus = hsf = 334 [kJ/kg]

a) hipótesis: queda agua líquida a una temperatura ( 0  Teq  45 ) [°C] mH = 50 [g] = 0.05 [kg] (masa de agua que originalmente era hielo a o [°C] ) mLA = 50 [g] = 0.05 [kg] (masa de agua líquida originalmente a 0 [°C] ) Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

53

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

mLB = 250 [g] = 0.25 [kg] (masa de agua líquida originalmente a 45 [°C] ) {Q} = 0 , mH hsf + (mH + mLA) cL ( Teq  Tfus ) + mLB cL ( Teq  Ti LB ) = 0 c L (m H  m LA )Tfus  m LBcL Ti LB  m H h sf m LBc L Ti LB  m H h sf Teq = , , Tfus = 0 [°C], Teq = c L (m H  m LA  m LB ) c L (m H  m LA  m LB ) sustituyendo: (0.25[kg])(4186[J / (kg  C)])(45[C])  (0.05[kg]) (334 000[J / kg]) Teq = (4186[J / (kg  C)])  (0.05  0.05  0.25)[kg] Teq = 20.7443 [°C] = 294 [K] 2 Q 2 Q Q S ; S = Tfus = 0 [°C] = 273.15 [K] = cte.  mezcla 1 T 1 T 1 T L , 2 dT 1 2 1 T Smezcla = = QS + (mH + mLA ) cL  mH hsf + (mH + mLA ) cL Ln 2  1 T Tfus 1 Tfus T1 T 1 1 Smezcla = mH hsf + (mH + mLA ) cL Ln eq = (0.05[kg] ) (334 000 [J/kg] ) + Tfus 273.15[K] Tfus 294[K] (0.05 + 0.05) [kg] (4186 [J/(kg°C)] ) Ln = 91.9303 [J/K] 273.15[K] 2 Q Sagua líq. adic. =  ; c) Scontenido = Smezcla + Sagua líq. adic. , 1 T T Ti LB = 45 [°C] = 318.15 [K] , Sagua líq. adic = mLB cL Ln eq Ti LB

b)

1S2

=

2

294[K] =  82.6141 [J/K] 318.15[K] Scontenido = (91.9303 [J/K] ) + ( 82.6141 [J/K] ) = 9.3162 [J/K] Sagua líq. adic = (0.25 [kg] ) (4186 [J/(kg°C)] ) Ln

15. Un matraz con 100 [g] de benceno (C6H6) líquido en su punto de fusión a 5.5 [°C] se pone en contacto con una mezcla de hielo-agua líquida. El contacto se mantiene hasta que se congela todo el benceno y aún queda la mezcla de agua líquida y sólida. Si se sabe que la entalpia de fusión del benceno es hfus = 126.86 [J/g], determine: a) La variación de entropía del benceno. b) La variación de entropía del universo. a) sistema: 100 [g] de benceno; sistema termodinámico cerrado. Tmezcla = 0 [°C] = 273.15 [K] Ti benceno = Tfus benceno = 5.5 [°C] = 278.65 [K] , Qb 1 1 1 = [  (100 [g] ) (126.86 [J/g] )] {Q}b = (  mb λfus b) = ΔSb =   Tfus b Tfus b Tfus b 278.65 [K] ΔSb =  45.5266 [J/K]

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54

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo

b)

ΔSuniv = ΔSb + ΔSa ;

{Q}a =  {Q}b;

ΔSa =

2

1

Qa

Segunda ley de la termodinámica



1

{Q}a Ta Tfus a {Q}b =  mb λfus b =  (100 [g] ) (126.86 [J/g] ) =  12 686 [J]

{Qa} =  ( 12 686 [J] ) = 12 686 [J], entonces 1 (12 686 [J] ) = 46.4433 [J/K] ΔSa = 273.15 [K] ΔSuniv = ( 45.5266 [J/K] ) + (46.4433 [J/K] ) = 0.9167 [J/K] ≥ 0 16. Un tanque rígido y adiabático contiene aire a 0.95 [bar] y 27 [°C]. Se tiene un motor exterior que mueve una hélice ubicada en el interior del tanque, agitando el aire hasta que su presión llega a 1.4 [bar]. a) ¿Cuánto trabajo, asociado a cada unidad de masa, entrega el motor? b) ¿Cuál es la variación de entropía específica del aire? a) sistema: aire en el tanque; sistema cerrado. {q} + {w} = Δu; como {q} = 0, entonces {w} = Δu mRT1 P1 V1 = mRT1; V1 = ; V1 = V2 P1 T1 T2 P  mRT1 mRT2  ;  ; T2 = T1  2  P1 P2 P1 P2  P1   1.4  105 [Pa]  T2 = (300.15 [K] )   = 442.33 [K] 5  0.95  10 [Pa]  Δu = cv (T2 – T1) Δu = cv ΔT; {w} = cv (T2 – T1) = (717.3 [J/(kg.K)] ) (442.33 – 300.15) [K] = 101 983.07 [J/kg] b)

T2 V + R Ln 2 ; V1 = V2 T1 V1 T2 442.33 [K] = 278.15 [J/kgK] = (717.3 [J/(kgK)] ) Ln 1Δs2 = cv Ln T1 300.15 [K] 1Δs2

= cv Ln

17. Una planta de potencia de vapor con 456 [MW] de potencia neta y un rendimiento térmico del 38% se refrigera con agua de un río cercano. El gasto másico necesario de agua del río es 6 600 [kg/min] para cada [MW] de potencia generado. Determine: a) El flujo de calor, asociado a cada unidad de masa, cedido al agua de río. b) El incremento de temperatura del agua del río a su paso por la planta de potencia.

 1 MW = 6 600 [kg/min] = 110 [kg/s] , a) m

 total  m  T = (110 [kg/s] ) (456) = 50 160 [kg/s] m

sistema: ciclo de la planta de potencia

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

  W   Wn  456 [MW] = 1200 [MW] Q   n ; A QA 0.38   Q  W  = (1 200 [MW] ) – (456 [MW] ) Q B A n

Wn ; QA  ;  Q  W n B 

 Q A

Q B  =  744 [MW]  Q  744  106 [W] {q} = = 14 832.5359 [J/kg] 

 = 744 [MW]; Q B

{q} =

Q ;

 m

m

50 160 [kg / s]

b) Sistema: agua del río, sistema termodinámico abierto.  = 744 [MW] (lo recibe el agua de río) Q B

 

Q B  = m c ΔT

Q B  = m c ΔT;

  Q  B  ΔT =  c m

744  106 [W] = 3.5434 [K] = 3.5434 [°C]  50 160 [kg / s] 4 186 [J / (kg  K)]

18. Una máquina térmica con ciclo de Carnot, reversible, opera entre un depósito térmico de temperatura a 726.85 [°C] y otro depósito de temperatura a 26.85 [°C]. Si la máquina térmica recibe 800 [kJ] de calor, determine para cada ciclo que realiza la máquina: a) Su eficiencia térmica y el trabajo que entrega. b) La variación de entropía en cada proceso. a) TA = 726.85 [°C] = 1 000 [K] η=1 η=

b)

Wn QA

TB = 26.85 [°C] = 300 [K]

TB 300 [K] =1 = 0.7 [1] TA 1 000 [K] |Wn| = η |QA| = (0.7) (800 000 [J]) = 560 [kJ] ,

ΔS =



{Wneto} =  560 [kJ]

Q ;

T sea 12: proceso isotérmico a temperatura constante (TA) 23: proceso de expansión adiabática ( {Q} = 0 ) 34: proceso isotérmico a temperatura constante (TB) 41: proceso de compresión adiabática ( {Q} = 0 ) 2 Q Q A  800 000 [J]  ; = 800 [J/K] , entonces: 1ΔS2 =  1ΔS2 = 1 T TA 1 000 [K] A

los procesos 23 y 41 son adiabáticos reversibles, por lo tanto: 2ΔS3 = 0 y 4ΔS1 = 0 ,

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

además, sabemos que en un ciclo: ΔSciclo = por lo que podemos escribir 3ΔS4 =  1ΔS2 ;



{Q} = 0, entonces 1ΔS2 + 3ΔS4 = 0 , T =  800 [J/K] ; 3ΔS4

esta última variación se puede calcular, también, como sigue: 4 Q Q B   ; por otro lado |QA| = |Wn| + |QB|, entonces 3ΔS4 =  3 T TB B {QB} =  240 [kJ] |QB| = |QA|  |Wn| = (800 [kJ] ) – (560 [kJ] ) = 240 [kJ]; 240 000 [J] =  800 [J/K] 3ΔS4 = 300 [K]

19. Un tanque rígido contiene aire como gas ideal a 40 [°C] que se agita mediante una hélice, la cual efectúa 200 [kJ/kg] de trabajo, asociado a cada unidad de masa, sobre el gas hasta que su temperatura llega a 80 [°C]. Determine: a) El calor, asociado a cada unidad de masa, que se transfiere en el proceso. b) La variación de entropía específica del gas. a) sistema: gas ideal en el tanque rígido (sistema termodinámico cerrado), T1 = 40 [°C] = 313.15 [K]

{1q2} = 1Δu2  {1w2} ,

{1q2} + {1w2} = 1Δu2 , 1Δu2

T2 = 80 [°C] = 353.15 [K]

= cv (T2  T1) = ( 717 [J/(kgK)] ) (353.15  313.15) [K] = 28 680 [J/kg]

{1q2} = 28 680 [J/kg]  200 000 [J/kg] , {q} = T

{1q2} =  171 320 [J/kg]

T c v dT = cv ln 2 1 1 T1 T 353.15[K] 1s2 = ( 717 [J/(kgK)] ) ln 313.15[K]

b) 1s2 =



2



2

1s2

= 86.1909 [J/(kgK)] )

20. La eficiencia máxima teórica de un motor de gasolina, basada en el ciclo de Carnot, es 30%. Si el motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a 300 [K] y recibe 8370 [J] de la fuente de calor en cada ciclo, determine: a) La temperatura del fluido de trabajo inmediatamente después de la expansión isotérmica. b) El trabajo realizado y el calor rechazado, por el motor, en cada ciclo. a) η = 1 

TB , TA

TA =

TB = 1 

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TA =

300 [K] = 428.57 [K] 1  0.3

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b)

|QA| = |Wneto| + |QB|;

η=

|Wneto| = (0.3) (8 370 [J] ) = 2 511 [J]

Wneto

; |Wneto| = η |QA| QA {W}neto = – 2 511 [J]

|QB| = |QA| – |Wneto| = (8 370 [J] ) – (2 511 [J] ) = 5 859 [J]

{QB} = – 5 859 [J]

21. Una máquina que utiliza el ciclo de Carnot, recibe 100 [J] de calor de un depósito térmico a 400 [K], realiza trabajo y rechaza calor a otro depósito térmico de 300 [K] en cada ciclo, determine: a) La variación de entropía en los depósitos térmicos. b) La variación de entropía del universo. a) η = 1 

TB 300 [K] = 1 = 0.25 , TA 400 [K]

η=

Wneto QA

,

|Wneto| = η |QA|

|Wneto| = (0.25) (100 [J] ) = 25 [J] , |QA| = |Wneto| + |QB|; |QB| = |QA|  |Wneto| |QB| = (100 [J] )  (25 [J] ) = 75 [J] , entonces {Q A } Q A  100 [J] , ΔSA =  0.25 [J/K]   ΔSA =  TA TA 400 [K] {Q B } Q B  75 [J] ΔSB =  , ΔSB = 0.25 [J/K]   TB TB 300 [K] b) ΔSuniv = ΔSA + ΔSB ;

ΔSuniv =  0.25 [J/K] + 0.25 [J/K] ,

ΔSuniv = 0 [J/K]

22. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación de 5. Si recibe 120 [J] de calor de un depósito térmico en cada ciclo, determine: a) El trabajo que recibe el refrigerador en cada ciclo. b) Si cumple con la desigualdad de Clausius, sabiendo que las temperaturas de los depósitos térmicos entre los que trabaja son 0 [°C] y  10 [°C]. Justifique matemáticamente su respuesta. a) η = b)

| QB | | Wcomp |

Wcomp =

| Q B | 120 [J] = 24 [J]   5

{Q} |QB| +|Wcomp| = |QA| |QA| = |QB| + |Wcomp| = (120 [J] ) + (24 [J] ) = 144 [J] , 0 T TA = 0 [°C] = 273.15 [K] , TB =  10 [°C] = 263.15 [K]





{Q} {Q B } {Q A } 120 [J ]  144 [J ]     =  0.0712 [J/K] T TB TA 263.15[K ] 273.15[K ] como  0.0712 [J/K]  0, cumple con la desigualdad de Clausius.

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Ejercicios propuestos 1. Una máquina térmica absorbe 360 [J] de calor y realiza un trabajo de 25 [J] en cada ciclo. Encuentre: a) La eficiencia de la máquina. b) El calor liberado en cada ciclo. Respuestas: a) 0.0694 o 6.94% ; b) 335 [J] 2. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación igual a 5. Si el refrigerador absorbe 120[J] de calor de una fuente fría en cada ciclo, encuentre: a) El trabajo realizado en cada ciclo. b) El calor liberado hacia la fuente caliente. Respuestas: a) 24 [J] ; b) 144 [J] 3. El calor absorbido por una máquina térmica es el triple del trabajo que realiza. ¿Cuál es su eficiencia térmica? ¿Qué fracción del calor absorbido se libera a la fuente fría? Respuestas: 0.3333 o 33.33% ; 0.6667 o 66.67% 4. Una máquina térmica absorbe 1600[J] de una fuente caliente y libera 1000 [J] a la fuente fría en cada ciclo. ¿Cuál es la eficiencia de la máquina? ¿Cuánto trabajo se realiza en cada ciclo? ¿Cuál es la potencia de salida de la máquina, si cada ciclo dura 0.3 [s]? Respuestas: 0.375 o 37.5% ; 600 [J] ; 2 [kW] ó 2000[W] 5. Una máquina de vapor tiene una caldera que opera a 500 [K]. El calor cambia el agua a vapor, el cual mueve un pistón. La temperatura de escape es la del aire ambiente, aproximadamente 27 [°C]. ¿Cuál es la máxima eficiencia térmica de esta máquina de vapor? Respuesta:  = 0.3997  0.4 6. Determine el máximo trabajo que puede realizar la máquina de vapor anterior, en cada ciclo de operación, si absorbe 200[J] de calor de la fuente a temperatura alta durante cada ciclo. Respuesta: {W} = 80[J] 7. La máxima eficiencia teórica de un motor de gasolina, basada en el ciclo de Carnot, es de 30%. Si el motor libera sus gases a la atmósfera, la cual está a una temperatura de 300[K], ¿cuál es la temperatura en el cilindro inmediatamente después de la combustión? Respuesta: TA = 429 [K]

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8. Si la máquina anterior absorbe 837 [J] de calor de la fuente de calor en cada ciclo, ¿cuánto trabajo realiza en cada ciclo? Respuesta: {W} = 251.1 [J] 9. Calcule el cambio de entropía de 2 moles de un gas ideal que realiza una expansión libre a 1 [atm] de presión y que triplica su volumen inicial. Respuesta: S = 18.3 [J/K] 10. ¿Cuál es la disminución en la entropía de 3 [mol] de gas helio que se enfría a 1 [bar] de presión desde la temperatura ambiente de 293 [K] hasta una temperatura final de 4 [K]? La cp del helio es 21 [J/mol K]. Respuesta: S =  270.51 [J/K] 11. Un mol de gas Argón ( cv = 12.5 [J/(mol K)] ) se calienta casiestáticamente a volumen constante de 300 [K] a 400 [K]. ¿Cuál es el cambio en la entropía del gas? Respuesta: S = 3.596 [J/K] 12. Un motor de gasolina toma 10 000 [J] de calor y produce 2 000 [J] de trabajo mecánico por ciclo. El calor se obtiene quemando gasolina, con un calor obtenido por la combustión de alrededor de 50 000 [J/g]. Determinar: a) b) c) d) e)

La eficiencia térmica del motor. El calor que se desecha en cada ciclo. La masa de gasolina que se quema en cada ciclo. Si el motor ejecuta 25 ciclos cada segundo, calcule la potencia de salida en [W] y en [hp]. La cantidad de gasolina que se quema cada segundo y cada hora. Respuestas: a)  = 0.2 ó 20% ; b) {QB} =  8 000 [J] ; c) m = 0.20 [g] ;  } = 50 000 [W] = 67 [hp] ; e) m  = 5.0 [g/s] = 18 [kg/h] d) { W

13. Un refrigerador tiene un coeficiente de operación de  = 2.2 [1]. Durante cada ciclo, absorbe 30 [kJ] de calor del depósito con temperatura baja, obtenga: a) El trabajo necesario en cada ciclo. b) La energía en forma de calor que desecha al ambiente en cada ciclo. Respuestas: a) {W} = 13 600 [J] ; b) {QA} = 43 600 [J] 14. Calcule el cambio de entropía cuando 300 [g] de plomo se funden a 327 [°C]. La entalpia de fusión del plomo es 24.5 [kJ/kg]. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

Respuesta: S= 12.25 [J/K] 15. Una planta de energía eléctrica quema carbón y produce 900 [MW] de potencia eléctrica, opera con una eficiencia térmica del 35 %. Determine para una hora de operación de la planta: a) La cantidad de calor que entrega el combustible a la sustancia de trabajo del ciclo y la que entrega dicha sustancia al medio ambiente (depósito térmico de temperatura baja). b) El cambio de entropía del medio ambiente si está a 26 [°C]. Respuestas: a) {QA} = 9 257.1 [GJ] , {QB} =  6 017.15 [GJ] ; b) S = 2.0111010 [J/K] 16. La sustancia con la que trabaja un motor térmico cíclico es aire como gas ideal. El ciclo consiste en dos procesos isobáricos y dos isométricos como se indica en la figura. Si la temperatura en el estado 1 es T1 = 650 [K], determine la eficiencia de un motor de Carnot que opere entre las temperaturas extremas del ciclo. Respuesta: C = 0.533 [1] 17. En un recipiente aislado, 200 [g] de agua líquida a 0 [°C] y 1.2 [kg] de hielo a  10 [°C] se ponen en contacto hasta el equilibrio térmico. Calcule el cambio de entropía en el proceso y con base en ello diga si éste es irreversible, reversible o imposible. Respuesta: Stotal = 1.83 [J/K], el proceso es irreversible 18. Una máquina de Carnot tiene una eficiencia del 55% y realiza 2×104 [J] de trabajo en cada ciclo. Determine: a) Suponiendo que la máquina expulsa calor a temperatura ambiente, 20 [°C], ¿cuál es la temperatura de su fuente de calor? b) ¿Cuánto calor extrae la máquina de su fuente de calor en cada ciclo? ¿Cuál es la variación de entropía del depósito térmico de temperatura alta? Respuestas: a) TA = 651.44 [K] ; b) {QA} = 36.364 [kJ] ; S =  55.82 [J/K] 19. Un dispositivo neumático opera de manera constante con una presión de 80 [kPa]; el émbolo de dicho dispositivo tiene un diámetro de 0.2 [m] y recorre una carrera de compresión de 20 [cm]. La energía interna del gas contenido en él aumenta 100 [J], determine la variación de entropía del ambiente si su temperatura es 27 [°C]. Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Segunda ley de la termodinámica

Respuesta: S =  2.0078 [J/K]

20. Una máquina de Carnot, cuya fuente de temperatura baja está a  90 [°C], tiene una eficiencia del 40%. Se desea aumentar la eficiencia al 45%.

a) ¿Qué temperatura debe tener la fuente caliente si la fría se mantiene constante? b) Con la condición del inciso anterior y si el trabajo que entrega el ciclo es Wneto = 135 [kJ], ¿se cumple la desigualdad de Clausius? fundamente su respuesta. Respuestas: a) TA = 333 [K] ; b) ∮

δ

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0, sí cumple con la desigualdad de Clausius

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

TEMA IV. CICLOS TERMODINÁMICOS

Ejercicios resueltos 1. En un ciclo de refrigeración por compresión de un vapor que opera con tetrafluoroetano (refrigerante R–134a) se sabe que este último entra en el compresor a –10 [°C], 2 [bar] y h = 241 [kJ/kg], sale a 16 [bar] y h = 295 [kJ/kg]. Sabiendo que entra a la válvula de expansión con una entalpia específica de 134 [kJ/kg], determine: a) Los calores referidos a la unidad de masa en el evaporador y en el condensador-enfriador. b) La potencia del compresor si el gasto másico fue 15 [kg/s]. c) El coeficiente de operación del ciclo. a) Sistema: refrigerante R–134a. {q}evap = h1 – h4 = (241 – 134) [kJ/kg] {q}evap = 107 [kJ/kg] {q}cond = h3 – h2 = (134 – 295) [kJ/kg] {q}cond = – 161 [kJ/kg]  } t ; b) {W} = {W

{w} =

{W } m

{W} = {w} m

}  {W comp  {w}comp m ;

por otra parte: {q}ciclo + {w}ciclo = 0 ;

{q}evap + {q}cond + {w}comp = 0 ;

{w}comp = – {q}evap – {q}comp

{w}comp = – (107 [kJ/kg] ) – ( – 161 [kJ/kg] ) = 54 [kJ/kg] ; } {W comp  (54 000 [J/kg] ) (15 [kg/s] );

c)  =

| q evap | lo que se desea 107 [kJ / kg ] = ; = lo que hay que aportar | w comp | 54[kJ / kg ]

 } = 810 000 [W] {W comp

 = 1.9815 [1]

2. Una máquina de combustión interna opera con un ciclo de Diesel ideal con aire (R = 287 [J/(kgK)], k = 1.4). El gas se recibe a 78 [kPa] y 20 [°C], la relación de compresión es 15, la temperatura máxima y la presión máxima alcanzada por el fluido es 1 500 [°C] y 3.456 [MPa] respectivamente, determine, en el SI: a) El volumen específico del aire al final de la compresión adiabática, es decir su volumen específico mínimo. b) El calor, referido a la unidad de masa, que se transmite al gas en el proceso a presión constante. c) El calor, referido a la unidad de masa, cedido por el fluido en el proceso a volumen constante.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

64

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

a)

Sistema: aire como gas ideal. R T1 Pv=RT; v1 = P1 (287 [J /(kg  K )] ) (293.15[K ] ) = 1.0786 [m3/kg] v1 = 78 000[Pa ] r=

v1 ; v2

v2 =

b) {2q3} = cp (T3 – T2) ;

v1 1.0786 [m 3 / kg ] = ; r 15

v2 = 0.0719 [m3/kg]

v  para un proceso adiabático:  1   v2 

k 1



T2 ; T1

k 1

v  T2 = T1  1  = T1 ( r )k – 1 = (293.15 [K] ) (15)1.4 – 1 = 866.017 [K] ;  v2  kR 1.4 (287 [ J /( kg  K )] cP = = = 1 004.5 [J/(kgK)] ; k 1 1.4  1

{2q3} = (1 004.5 [J/(kgK)] ) (1 773.15 – 866.017 ) [K] ; c c) {4q1} = cv (T1 – T4) = p (T1 – T4) ; k P2 v 2 P3 v 3 PvT  ; v3 = 2 2 3 ; como P2 = P3, entonces T2 P3 T2 T3 v3 =

{2q3} = 911 215.13 [J/kg]

v 2 T3 (0.0719 [m 3 / kg ] ) (1773.15 [K ] ) = = 0.1472 [m3/kg] ; T2 (866.017 [K ] )

v  para un proceso adiabático:  3   v4 

k 1

T  4 ; T3

v  T4 = T3  3   v4 

k 1

;

como v1 = v4 :

1.4  1

 0.1472 [m 3 / kg]   T4 = (1 773.15 [K] )  = 799.4 [K] 3  1.0786 [m / kg]  entonces: 1 004.5 [J /( kg  K )] ( 293.15 – 799.4 ) [K] ; {4q1} = 1 .4

{4q1} = – 363 234 [J/kg]

3. En un ciclo de Rankine básico, como el que se muestra en la figura, se sabe que el agua entra en la caldera a 75 [bar] y una entalpia específica de 174.18 [kJ/kg]; entra en la bomba a 0.08 [bar], 1.0084103 [m3/kg] y 41.51 [°C], entra en la turbina como vapor saturado y seco (v = 0.025445 [m3/kg], u = 2575.15 [kJ/kg]). La turbina produce 118.15 [kJ/kg]; determine, sin despreciar el trabajo en la bomba: Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

65

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

a) El calor, referido a la unidad de masa, que se le proporciona al agua en la caldera. b) El trabajo, referido a la unidad de masa, que entrega el ciclo. a) Sistema: agua como sustancia de trabajo en el ciclo de Rankine. {q}sum = h1 – h4 ; h1 = u1 + P1v1 h1 = (2 575.15 [kJ/kg] ) + (75105 [Pa] ) ( 0.025445 [m3/kg] ) = 2 765.99 [kJ/kg] ; {q}sum = (2 765.99 – 174.18) [kJ/kg] {q}sum = 2 591.81 [kJ/kg] b) {w}neto = {w}turbina + {w}bomba ; {w}bomba = v3 (P4 – P3) 3 3 {w}bomba = (1.008410 [m /kg] ) (75105 – 8 000 ) [Pa] = 7.5549 [kJ/kg] {w}neto = (– 118.15 + 7.5549 ) [kJ/kg] {w}neto = – 110.595 [kJ/kg] 4. Se tiene un ciclo reversible de Otto, en un motor que opera con 0.004 [kg] de aire como gas ideal. Se sabe que la presión máxima en el ciclo es 18 [bar] y su temperatura máxima 750 [K]. El volumen al inicio de la compresión adiabática es 0.0019 [m3] y la temperatura 20 [°C], determine: a) La temperatura y el volumen al final de la compresión. b) La variación de entropía del inicio de la compresión hasta que alcanza la presión máxima.

m R T3 ; P3   J  (0.004 [kg ] )  286.7    (750 [K ] )  kg  K    V3 = ; 18  10 5 [Pa ]

a) P3 V3 = m R T3 ;

 V1   V2

  

k 1

V3 =

T  2 ; T1

V T2 = T1  1  V2

  

k 1

V2 = 4.7783  10 4 [m3]

 0.0019  = (293.15 [K] )  4   4.7783  10 

1.4 1

T2 = 509.1911 [K] b) 1S3 = 1S2 + 2S3 ;

1S2

=0 ;

T3 V + m R ln 3 ; T2 V2

V3 =0; V2

2S3

= m cv ln

2S3

 J  750 [ K ] = ( 0.004 [kg] ) (717  ; ) ln  509.19 [ K ]  kg  K 

ln

1S3

= 1.1106 [J/K]

5. Suponga una máquina térmica que opera con un ciclo de Otto el cual funciona con aire como gas ideal. El gas entra (estado 1) a 100 [kPa] y 26 [°C], la relación de compresión, es decir, V1/V2 = 12 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

66

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

y la temperatura máxima que alcanza es 1850 [°C]. Considerando el ciclo como reversible, determine: a) La variación de entropía especifica entre el estado que corresponde al inicio de la compresión adiabática y el que corresponde a la temperatura máxima alcanzada por el aire. b) La eficiencia máxima que se podría tener si, entre los depósitos térmicos del problema, el ciclo que se utiliza es el de Carnot. Sistema: aire como gas ideal. T1 = 26 [°C] = 299.15 [K] T3 = 1 852 [°C] = 2 123.15 [K] T V a) 1S3 = cv ln 3 + R ln 3 ; T1 V1 T3 V + R ln 2 1S3 = cv ln T1 V1 1S3

= (717 [J / (kgK)] ) ln

b)  = 1 

V2 = V3

2123.15 K  1 ; + (286.7 [J / (kgK)] ) ln 299.15 K  12

T TB 299.15 K  = 1 1 = 1 ; TA T3 2123.15 K 

1S3

= 692.69 [J / (kgK)]

 = 0.8591 [1]

6. En el cilindro de un motor que opera con el ciclo reversible de Diesel en la compresión adiabática, la mezcla aire-combustible se comprime a 1/15 de su volumen inicial. Si la presión inicial (estado 1) es 100 [kPa] y su temperatura inicial es de 27 [°C], determine en el SI: a) La temperatura y la presión al final de la compresión. b) El trabajo de compresión, suponiendo que el volumen inicial es 1 litro.

V a) = 1  P1  V2 P2

k

  ;  

V P2 = P1  1 V  2

 15V 2 P2 = (100103 [Pa] )   V  2

V = 1  T1  V2

T2

   

k 1

,

1.4

;

V T2 = T1  1 V  2

 15V 2 T2 = (300.15 [K] )   V  2

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

   

   

k

  ;   P2 = 4 431 265 [Pa] ;

   

k 1

;

1.4

;

T2 = 886.6962 [K] ;

67

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

b)

{1W2} =

P2 V2  P1 V1 k 1

6.666710-5 [m3];

4 431 265[Pa ]  6.666  10 {1W2} =

V1 = 1 [  ] = 0.001 [m3] ;

;

5

 

V2 =

0.001[m 3 ] 15

=

 ;



[m 3 ]  100000[Pa ] 0.001[m 3 ]

1 .4  1

{1W2} = 488.5479 [J] 7. Para el ciclo del problema anterior, se sabe que su eficiencia es de 0.38 y que el trabajo neto que entrega es de 200 [J]. Si la masa del gas es 44 [g], determine: a) La cantidad de calor que recibe el aire en el proceso isobárico. b) El cambio de la entropía y el de la entropía específica del gas durante la compresión adiabática. a)  =

lo que se desea

lo que hay que aportar | Wneto | 200 [J] | Qrecibido | = = 0.38 0.38

; entonces

=

| Wneto | |Q recibido |

; | Qrec | = 526.316 [J]

b) como la compresión es adiabática y el ciclo es reversible, todos sus procesos son reversibles. Por lo tanto los procesos adiabáticos involucrados son isoentrópicos, es decir: S12 = 0 y s12 = 0 8. En un ciclo de Rankine básico, el agua entra en la turbina a 25 [bar] y sale a 1 [bar], entra en la bomba con una densidad de 103 [kg/m3] como líquido saturado y en la caldera recibe 2 000 [kJ/kg]. Si la eficiencia del ciclo es 0.3, determine el trabajo, asociado a cada unidad de masa, de la bomba y de la turbina. Considere que ambos equipos son adiabáticos y que las variaciones de energía cinética y potencial gravitatoria son despreciables. Sea nuestro sistema el agua en la bomba (sistema termodinámico abierto) : sabemos que en la bomba: {3q4} = 0 ;

3ec 4

=0;

{3q4} + {3w4} = 3[ec + ep + h]4 ; considerando que 3ep 4

= 0 , tenemos

{3w4} = h4 – h3 = (u4 + P4v4) – (u3 + P3v3) = u4 – u3 + P4v4 – P3v3 ; {3w4} = 3u4 + v3 (P4 – P3) ;

como: T3 = T4 , entonces

3u4

=0,

{3w4} = v3 (P4 – P3) = (0.001 [m3/kg] ) (25  1) 105 [Pa] = 2 400 [J/kg] , {w}bomba = 2.4 [kJ/kg] ; sea nuestro sistema el agua en el ciclo:

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

68

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

|w T| = |w neto| + |w B| ;

=

wn q sum

wn =  qsum = (0.3) (2 000 [kJ/kg] ) = 600

[kJ/kg] ; |w T| = (600 [kJ/kg] ) + (2.4 [kJ/kg] ) = 602.4 [kJ/kg];

{w}turbina =  602.4 [kJ/kg]

9. Un ciclo de Diesel que funciona con aire, en un ciclo reversible, tiene una relación de compresión r. El gas tiene una temperatura de 26 [°C] al inicio de la compresión adiabática y, al final de la misma, llega a 611 [°C] y 0.5 [m3/kg]. Si después de la expansión isobárica la temperatura que alcanza el fluido es 2 500 [°C], determine para dicha expansión: a) El volumen específico final del gas. b) El cambio de entropía específica. P2 =

a) P v = R T ; v3 =

RT2 286.7 [J /(kg  K )]884.15 K   = 506 971.61 [Pa] = P3 ; v2 0.5 [m 3 / kg ]

RT3 286.7 [J /(kg  K )]2 773.15 K   =1.5683 [m3/kg] P3 506 971.61 [Pa ]

b) 2s3 = cv Ln

T3 T2

 R Ln

v3 v2

2s3 = (718 [J/(kgK)] ) Ln

2s3

2 773.15 [K ] 884.15 [K ]

+ (286.7 [J/(kgK)] ) Ln

1.5683 [m 3 / kg] 0.5 [m 3 / kg]

= 820.7547 [J/(kgK)] + 327.7381 [J/(kgK)] = 1 148.4928 [J/(kgK)]

10. En un ciclo de Rankine se sabe que la turbina desarrolla trabajo en cada unidad de masa de 521.8 [kJ/kg] cuando la entalpia específica del vapor a la entrada es 2 675.8 [kJ/kg]. La presión del agua a la entrada de la caldera es 1 100.32 [kPa] y en ella recibe una cantidad de calor, asociado a cada unidad de masa, de q = 2 592.2 [kJ/kg]. Si la presión y el volumen específico del agua en la entrada de la bomba son 2.34 [kPa] y 0.001 [m3/kg] respectivamente, determine: a) El trabajo neto, asociado a cada unidad de masa, que entrega el ciclo. b) La entalpia específica de la sustancia de trabajo cuando entra al condensador y la eficiencia del ciclo. a) Sistema: agua en el ciclo de Rankine. {qsum} = 2 592.2 [kJ/kg] {wT} =  521.8 [kJ/kg] ; h1 = 2 675.8 [kJ/kg] Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

69

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

P4 = 1 100.32 [kPa] v3 = 0.001 [m3/kg] = v4

P3 = 2.34 [kPa] ;

{wB} = v3 (P4 – P3) = (0.001 [m3/kg] ) (1 100.32 – 2.34) 103 [Pa] {wB} = 1 097.98 [J/kg] = 1.097 [kJ/kg] ; |wT| = |wneto| + |wB|;

|wneto| = |wT| – |wB| = (521.8 – 1.097) [kJ/kg]

|wneto| = 520.703 [kJ/kg]

{wneto} = – 520.703 [kJ/kg]

b) {wT} = h2 – h1;

h2 = {wT} + h1

h2 = ( – 521.8 [kJ/kg] ) + (2 675.8 [kJ/kg] )

h2 = 2 153.99 [kJ/kg] ; η=

| w neto | 520.703 [kJ / kg] = = 0.2009 [1] | q sum | 2 592.2 [kJ / kg]

11. Con el equipo de la práctica de laboratorio del ciclo de refrigeración por compresión de un vapor, el cual se muestra en la figura, unos alumnos utilizaron alcohol en vez de agua cuya capacidad térmica específica es c = 2 428 [J/(kg°C)]. Los datos que midieron del alcohol se encuentran en la tabla. Sabiendo que el equipo estuvo operando 5 [min], determine: a) La potencia del compresor. b) El coeficiente de rendimiento (o de desempeño) del equipo de refrigeración utilizado. En el evaporador: Tinicial = 20 [°C] Tfinal = 12 [°C] m = 3 [kg]

En el condensador: Tinicial = 20 [°C] Tfinal = 33 [°C] m = 3 [kg]

t = 5 [min] = 300 [s] ; en el evaporador: {Qevap} = malc. calc. T = (3 [kg] ) (2 428 [J/(kg°C)]) (1220) [°C] =  58 272 [J] (lo entrega el alcohol) {Qcond} = malc. calc. T = (3 [kg] ) (2 428 [J/(kg°C)]) (3320) [°C] = 94 692 [J] (lo recibe el alcohol) Sea el sistema el refrigerante utilizado en el ciclo, entonces: {Q}evap = 58 272 [J] (lo recibe el refrigerante) {Q}cond =  94 692 [J] (lo entrega el refrigerante) Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

70

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

{Q}ciclo + {W}ciclo = 0 ;

{Q}evap + {Q}cond + {W}comp = 0 ;

{W}comp = – {Q}evap – {Q}cond = – (58 272 [J] ) – ( – 94 692 [J] ) = 36 420 [J]

W 

comp

b)  =



Qevap Wcomp

W 

comp

t 



36 420 [J]  121.4 [W] 300 [s]

58 272 [J] = 1.6 [1] 36 420 [J]

12. Un ciclo de Diesel reversible funciona con aire considerado como gas ideal, el cual entra a 77 000 [Pa] y 21 [°C]. La relación de compresión es 15 y la temperatura máxima que alcanza es 2000 [°C], determine en el proceso isobárico: a) La presión del aire. b) La variación de entropía específica. a) T1 = 21 [°C] = 294.15 [K],

T3 = 2 000 [°C] = 2 273.15 [K]

k

v  P2 = P1  1  = P1 rk = (77 000 [Pa] ) (15)1.4 = 3 412 074.37 [Pa] = 3 412.074 [kPa]  v2  T P P b) 2Δs3 = cp Ln 3  R Ln 3 como P3 = P2; Ln 3 = Ln (1) = 0 T2 P2 P2 T3 P2 V2 P1V1 PVT V  ; T2 = 2 2 1 ; r= 1 ; 2Δs3 = cp Ln T2 T1 P1V1 V2 T2 PT V P T 1  3 412 074.37 [Pa] 294.15 [K] T2 = 2 1 . 2 = 2 1 . = = 868.9711 [K] P1 V1 P1 r  77 000 [Pa]15 2 273.15 [K] = 965.17 [J/(kgK)] 2Δs3 = (1 003.7 [J/kg.K]) Ln 868.9711 [K]

13. En el diagrama se muestra un ciclo ideal y reversible de Brayton que utiliza aire. La relación de presiones es de 5 y la temperatura a la entrada de la turbina es T3 = 900 [°C]; se sabe que la presión y la temperatura del aire a la entrada del compresor son P1 = 10 5 [Pa] y T1 = 40 [°C] respectivamente. Determine para el ciclo: a) El volumen específico del aire a la entrada y a la salida del quemador. b) El trabajo, asociado a cada unidad de masa, que recibe el compresor.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

71

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

a) T3 = 900 [°C] = 1 173.15 [K] ; rp =

P2 P1

T 1 = 40 [°C] = 313.15 [K]

P 2 = r p P1

P1 v1 = R T1;

RT1  286.7 [J / kg  K] 313.15 [K] v1 =  = 0.8978 [m3/kg] ; 5 P1 10 [Pa] 1  v1  k ;  r     p  v2 

v2 =

v1

r  p

1 k

=

0.8978 [m3 / kg]

 5

1 1.4

k

 v1  P2     rp P1  v2 

= 0.2844 [m3/kg]

P2 = P3 = 5 (105 [Pa] ) = 5  105 [Pa] RT3  286.7  J / kg  K  1 173.15 [K] = 0.6727 [m3/kg] P3 v 3 = R T 3 v3 =  5 P3 5  10 [Pa] 2

b) {1w2} =   Pdv = 1

P2 v 2  P1v1 (5  105 [Pa])(0.2844[m 3 / kg])  (105 [Pa])(0.8978[m 3 / kg]) = k 1 1.4  1 {1w2} = 131 050 [J/kg]

14. En un ciclo de Diesel reversible, que utiliza aire, la relación de compresión es de 20 y el calor transferido al fluido, en cada ciclo, es 1 800 [kJ/kg]. Si al inicio del proceso de compresión las condiciones del fluido son 15 [°C] y 0.1 [MPa], determine: a) El volumen específico mínimo del fluido en el ciclo. b) La presión al inicio de la expansión adiabática.

v1 ; v2

v1 ; P1 v 1 = R T 1 r RT1  286.7 [J / (kg  K)] 288.15 [K]  = 0.8261 [m3/kg] v1 = 6 P1 0.1  10 [Pa]

a) r =

v2 =

v2 =

0.8287 [m3 / kg] = 0.0413 [m3/kg] 20 k

 v1  P2 P ; ( r )k = 2 b) P3 = P2 ;    P1 P1  v2  k 6 1.4 P2 = P1 r = (0.1  10 [Pa] ) (20) = 6.6289 [MPa] 15. En un ciclo de Rankine, se tiene la información del diagrama. Sabiendo que el gasto másico que utiliza el ciclo es 4.5 [kg/s], determine la eficiencia del ciclo.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

72

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

P2 = 0.1 [bar]

P1 = 20 [bar]

h1 = 2 800 [kJ/kg] h2 = 1 934.2 [kJ/kg] h3 = 200 [kJ/kg] h4 = 206.7 [kJ/kg]

η=

| wneto | ; | qsum |

{wneto} = {w}T + {w}B

sistema: agua en la turbina; sistema termodinámico abierto; {1q2} = 0 , {1q2} + {1w2} = 1{Δec}2 + 1{Δep}2 + 1{Δh}2 ; {1w2} = h2 – h1 = (1 934.2 – 2 800 ) [kJ/kg] = – 865.8 [kJ/kg] ,

1 m 2 m  m 1{Δec}2 = 0 , 1{Δep}2 = 0 , {w}T = – 865.8 [kJ/kg]

sistema: agua en la bomba; sistema termodinámico abierto; {3q4} = 0 , {3q4} + {3w4} = 3{Δec}4 + 3{Δep}4 + 3{Δh}4 ;

3 m 4 m  m 3{Δec}4 = 0 , 3{Δep}4 = 0 ,

{3w4} = h4 – h3 = (206.7  200) [kJ/kg] = 6.7 [kJ/kg] ,

{w}B = 6.7 [kJ/kg]

entonces: {w}neto = (  865.8 [kJ/kg] ) + (6.7 [kJ/kg] ) =  859.1 [kJ/kg], sistema: agua en la caldera, sistema termodinámico abierto; {4w1} = 0 , {4q1} + {4w1} = 4{Δec}1 + 4{Δep}1 + 4{Δh}1 ;

4 m 1 m  m 4{Δec}1 = 0 , 4{Δep}1 = 0 ,

{4q1} = h1 – h4 = (2 800 [kJ/kg] ) – (206.7 [kJ/kg] ) = 2 593.3 [kJ/kg] , η=

{q}sum = 2 593.3 [kJ/kg]

859.1 [kJ / kg] = 0.3313 [1] 2593.3 [kJ / kg]

16. En la práctica de Ciclo de refrigeración por compresión de un vapor realizada en el laboratorio de esta asignatura, un alumno obtuvo la información que se indica en la tabla. Sabiendo que el compresor estuvo funcionando 10 minutos, determine el coeficiente de rendimiento del refrigerador. evaporador:

sustancia c [J/(kg°C)] m [kg] Tfinal [°C] Tinicial [°C] agua 4 186 2 12 17 condensador:

sustancia c [J/(kg°C)] m [kg] Tfinal [°C] Tinicial [°C] agua 4 186 2 30 24 en el evaporador tenemos {Q}evap = cagua magua (ΔT)agua = (4 186 [J/(kgK)] ) (2 [kg] ) (12 – 17) [°C] = – 41 860 [J] , Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

en el condensador tenemos {Q}cond = cagua magua (ΔT)agua = (4 186 [J/(kgK)]) (2 [kg] ) (30 – 24) [°C] = 50 232 [J] ; de acuerdo con lo anterior, para el refrigerante podemos escribir: {Q}evap = 41 860 [J] y {Q}cond = – 50 232 [J] por otra parte

{Q}ciclo + {W}ciclo = 0,

entonces

{Q}evap + {Q}cond + {W}comp = 0

{W}comp =  {Q}evap  {Q}cond =  ( 41 860 [J] ) – (  50 232 [J] ) = 8 372 [J] ; β=

Qevap Wcomp



 Q evap ;  W comp

β=

41 860 [J] = 5 [1] 8 372 [J]

Ejercicios propuestos 1.

En los dos primeros procesos del ciclo de Otto se sabe que: a) al inicio de la compresión adiabática se tienen 95 [kPa], 17 [°C] y 2.2 [dm3] con k = 1.4; b) en el calentamiento isométrico se reciben 3.6 [kJ] y c) se presenta una relación de compresión de 8 , determine el cambio de la energía interna, en [kJ], del conjunto de procesos. Respuesta: U = 4.28 [kJ]

2. Un ciclo de refrigeración utiliza refrigerante R134a. La temperatura del refrigerante en la salida del evaporador es  20 [°C] y en la del condensador es 40 [°C]. Se sabe además que el refrigerante circula a razón de 0.03 [kg/s]. En la tabla se muestran algunas propiedades de la sustancia de trabajo para los estados termodinámicos que se indican. Con base en ello determine, en el SI, los flujos energéticos asociados a cada unidad de masa en cada uno de los procesos, así como el coeficiente de operación, o rendimiento, de la máquina.

1

2 3

h1 = 386.1 [kJ/kg] s1 = 1.7395 [kJ/(kgK)] P2 = 1 017 [kPa] T2 = 47.7 [°C] s2 = 1.7395 [kJ/(kgK)] h2 = 428.4 [kJ/kg] h3 = 256.5 [kJ/kg]

Respuestas: {1q2} = 0 , {w}comp = 42.3 [kJ/kg] ; {q}cond =  171.9 [kJ/kg] , {2w3} = 0 ; {3q4} = 0 , {3w4} = 0 ; {4w1} = 0 , {q}evap = 129.6 [kJ/kg] ;  = 3.064 [1]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

3. En un ciclo de Diesel reversible, que opera con aire como gas ideal, se sabe que la relación de compresión es de 20 y que el calor suministrado al fluido es {q}sum = 1 800 [kJ/kg]. En la tabla se muestran algunas propiedades termodinámicas del fluido en diferentes estados. Con base en ello, determine: a) Las propiedades termodinámicas que faltan en la tabla. b) La eficiencia térmica del ciclo.

estado 1 2 3 4 Respuestas: a) estado 1 2 3 4 b) η = 0.61 [1]

presión [MPa] 0.1

volumen específico [m3/kg]

6.6289

presión [MPa] 0.1 6.6289 6.6289 0.4392

temperatura [K] 288.2 2 748.1

volumen específico [m3/kg] 0.8263 0.0413 0.1189 0.8263

temperatura [K] 288.2 955.22 2 748.1 1265.82

4. Un ciclo de Brayton ideal opera con aire entre las temperaturas extremas de 37.8 [°C] y 704 [°C]. La presión al inicio de la compresión adiabática es 103.42 [kPa] y al final de la misma la temperatura es 551.334 [K]. Considerando el aire como gas ideal determine para el fluido: a) El volumen específico al final de la compresión adiabática. b) El cambio de entropía específica en la combustión isobárica. Respuestas: a) v2 = 0.2059 [m3/kg] ; b) 2s3 = 574.42 [J/(kgK)] 5. Un ciclo de Otto tiene una relación de compresión de 8. En el proceso de admisión, el aire entra con una presión de 98 [kPa] y una temperatura de 29 [°C]. Si el aire se puede analizar como gas ideal, determine: a) La presión y la temperatura del gas al final de la compresión adiabática. b) Si la temperatura máxima del aire es 1 800 [°C], ¿cuál es el calor, asociado a cada unidad de masa, proporcionado al fluido de trabajo?

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

Respuestas: a) P2 = 1 801.159 [kPa] , T2 = 694.16 [K] ; b) {2q3} = 988.736 [kJ/kg]

6. Un ciclo de Otto ideal monocilíndrico de cuatro tiempos y 60 [mm] de diámetro de pistón está limitado por los volúmenes V1 = 480 [cm³] y V2 = 120 [cm³], y por las presiones absolutas siguientes: P1 = 0.1 [MPa], P2 = 0.7 [MPa], P3 = 3.5 [MPa] y P4 = 0.5 [MPa]. Si consideramos que la sustancia de trabajo es aire como gas ideal, determine: a) El diagrama de la presión en función del volumen, P = f (V) y la relación de compresión. b) La temperatura del fluido al final de la compresión, si la temperatura al final del rechazo de calor al medio, a volumen constante, es 35 [°C]. c) La masa de aire. d) La variación de entropía en el proceso de la compresión. Respuestas: a)

r = 4 [1]

b) T2 = 536.52 [K] ; c) m = 0.5433 [g] ; d) 1∆S2 = 0 [J/K] 7. Una planta termoeléctrica utiliza un ciclo de Rankine, opera con una presión y una temperatura a la salida de la caldera de 6 [MPa] y 500 [°C] respectivamente, una presión de 7.384 [kPa] en el condensador y un volumen específico de 10 3 [m3/kg] a la salida de este último. Si el trabajo que entrega la turbina, en cada unidad de masa, es 1 279.358 [kJ/kg], determine: a) El trabajo, asociado a cada unidad de masa, que entrega el ciclo. b) La cantidad de calor, en cada unidad de masa, suministrada al ciclo si la eficiencia del mismo es 39.19%. Respuestas: a) {w}neto = – 1 273.3654 [kJ/kg] ; b) {qsum} = 3 249.21 [kJ/kg] 8. Un ciclo de Diesel ideal que funciona con aire tiene una relación de compresión de 10.7; en el proceso de admisión el aire entra con una presión de 85 [kPa] y una temperatura de 20 [°C]. Si al final de la combustión isobárica la temperatura es 2 000 [°C], determine: a) La presión y la temperatura al final de la compresión adiabática. b) La variación de entropía específica en el proceso de admisión de combustible. Respuestas: a) P2 = 2 347.2331 [kPa] , T2 = 754.8479 [K] ; b) s = 1 104.2104 [J/(kg·K)]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Ciclos termodinámicos

9. En un ciclo de refrigeración por compresión de vapor, la sustancia de trabajo tiene a la salida del compresor una presión de 686.5 [kPa], la diferencia de entalpias específicas en el evaporador es 114.9311 [kJ/kg] y en el compresor es 31.25 [kJ/kg], calcule: a) El coeficiente de operación del ciclo de refrigeración. b) La cantidad de calor que se cede al ambiente en cada unidad de masa. Interprete el signo de este flujo energético. c) El diagrama del ciclo en las coordenadas (v, P). Respuestas: a)  = 3.6778 [1] ; b) {q}cond =  146.1811 [kJ/kg], el signo negativo indica que es una energía que entrega la sustancia de trabajo; c)

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

77

Electromagnetismo

Ejercicios resueltos 1. Se tiene una carga puntual, Q = 5 [C] ubicada en el origen, como se muestra en la figura. Se coloca un electrón (qe = – 1.6  10 – 19 [C] ) en el punto A, de coordenadas (3,4) [cm]. Sabiendo que el arreglo está en el vacío, determine: a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. b) El vector campo eléctrico en el punto A debido a la carga puntual Q. c) El trabajo para trasladar casiestáticamente al electrón del punto A al punto B (3,0) [cm]. 0 = 8.8510 – 12 [C2/(Nm2)]   q eQ ˆ r (0,0)  (3,4) 3ˆ 4ˆ   a) Fe  k 2 r ; i j rˆ  OA  rOA | rOA | 5 5 (3) 2  (4) 2  (1.6  10 19 [C] ) (5 10 6 [C] ) = 2.88  10 – 12 [N] | Fe | = (9109 [(Nm2) / C2] ) 2 (0.05 [m] )   3 4 Fe = (2.88  10 – 12 [N] ) (  ˆi  ˆj ) ; Fe = ( 1.728 ˆi  2.304 ˆj) [pN] 5 5     F (1.728 ˆi  2.304 ˆj )  10 12 [ N ] 6 N ˆ ˆ EA = E b) E A  e ; ; A  (10.8 i  14.4 j )(10 )  19 qe  1.6  10 [C]  C 

1 1 1 Q   ; 4 0  rB rA   1 1  VAB = (9109 [(Nm2) / C2] ) (510 – 6 [C] )    = 600 000 [V]  0.03[m] 0.05[m]  {AWB} =  0.096 [pJ] {AWB} = (  1.6  10 –19 [C] ) (600 000 [V] ) ;

c) {AWB} = qe VBA ;

VBA =

2. En la figura se muestra un solenoide de 5000 vueltas, cuyo eje coincide con el “x” y un conductor recto largo, que es paralelo al eje “y” y que pasa por el punto B. Si por el solenoide circula una corriente de 2 [mA] y por el conductor recto 20 [A], determine: a) El vector campo magnético en el punto P. Exprese el resultado en [T]. b) La fuerza de origen magnético (magnitud y dirección) que experimentaría un electrón que pasa por el punto  P con una velocidad de v =  103 ˆi [m/s] y la

aceleración que esta fuerza le produce al electrón. Considere para este inciso que no hay corriente eléctrica en el solenoide. N = 5000 A = 3.14103 [m2] P (7.5, 0, 0) [cm] B (17, 0, 0) [cm]

qe =  1.6  10  19 [C] me = 9.1  10  31 [kg] 0 = 410  7 [Wb /(Am)]

   a) B P = B PS + B PC ;   i N (4  10 7 [( Wb /(A  m)] (0.002 [mA] ) (5000) ˆ (i ) = – 83.7758 (ˆi ) [T] ; B PS = 0 S S ( ˆi ) =  0.15 [m]   7   i (4  10 [( Wb /(A  m)] (20 [A] ) ˆ (k ) = 42.1053 (kˆ ) [T] B PC = 0 C (kˆ ) = 2a 2  (0.095[m] ) por lo tanto:  B P = ( – 83.7758 ˆi + 42.1053 kˆ ) [T]    b) Fm  q e v  B P ;  Fm = ( – 1.6  1019 [C] ) ( – 10 3 ˆi ) [m/s]  (42.1053 kˆ ) [T] (10 –6 )    Fm = – 6.7367  1021 ˆj [N] ; Fm = me a ;    Fm  6.7367  10 21 ˆj[ N] a = a = – 7.403  109 ˆj [m/s2] 31 me 9.1  10 [kg ]

[

]

3. En la figura se muestra una espira contenida en el plano “xz” de radio de 3 [cm] y con centro en el origen del sistema de referencia; a 3 [cm] de la espira se halla un conductor con corriente el cual está ubicado en el plano “yz” y pasa por el eje “y” en el punto M (0,3,0) [cm] y otro conductor con igual corriente que el anterior que pasa por el punto N (5,0,0) [cm]. a) Determine el vector campo magnético en el origen debido a las corrientes en los conductores. b) Indique en un diagrama el sentido de la corriente inducida que se tendría en un resistor conectado entre los puntos A y B de la espira, si el conductor 2, con corriente, se desplazara en el sentido positivo del eje “x”, manteniéndose paralelo al eje “z”. Justifique su respuesta. a = 3 [cm] i c = 12 [A] M (0,3,0) [cm] N (5,0,0) [cm]    a) B O  B Oc1  B Oc 2 ;

  i B Oc1  0 c (ˆi ) 2  a1  (4  10 7 [ Wb /(A  m)] ) (12 [A] ) ˆ B Oc1  (i ) 2  (0.03[m] )  B = – 80 ˆi [T] ; Oc1

  i (4  10 7 [ Wb /(A  m)] ) (12 [A] ) ˆ B Oc 2  0 c ( ˆj ) = ( j) = 48 ˆj [T] ; 2a2 2  (0.05[m] )  B O = ( – 80 ˆi + 48 ˆj ) [T] ind = –

b) De acuerdo con la ley de Faraday :

d b , si dt

d b  0 y habría dt diferencia de potencial inducida entre los puntos A y B. De acuerdo con el Principio de Lenz: Va > Vb por lo tanto la corriente inducida circularía como se indica en el diagrama.

se aleja el conductor entonces

4. Se tienen dos cargas puntuales (Q1 y Q2) formando un dipolo como se indica en la figura. Determine, en el origen del sistema de referencia: a) El vector campo eléctrico. b) La fuerza que actúa en un electrón al colocarlo en el origen. Q1 = 2 [C]; A ( 2,0 ) [m] Q2 =  2 [C]; B (1,0 ) [m]

 E 01 

   a) E O  E O1  E O 2 ;  E O1 



1 Q1 ˆ r1 ; 2 4 0 rAO



ˆr1  ˆi ;

2 6      9  10 9  N  m   2  10 [C] ˆi = 4 500 ˆi  N  ; E 02  1 Q 2 ˆr2 ; 2 2 2 C   4 0 rBO    C    2 [m]  

ˆr2   ˆi ;

   N  m2  E O 2   9  10 9   2  C  









 2  10 6 [C] N   ˆi =  18 000 ˆi     1[m] 2 C 



 N E O  4 500 ˆi  18 000 ˆi   =  13 500 ˆi [N/C] C

  Fe b) E 0  ; qe

  Fe = qe E 0 ;

 N Fe = (  1.61019 [C] ) (13 500 ˆi   ) C  Fe = 2.161015 ˆi [N]

5. En la figura se muestra un solenoide largo de sección transversal circular y núcleo de aire, en él circula una corriente de 22 [A]. a) Si el punto P se halla contenido en el eje del solenoide, determine el vector campo magnético en el punto P. b) Al aumentar la corriente eléctrica en el solenoide, aumenta el flujo magnético que enlaza al inductor de N2 vueltas. Se sabe que dicho flujo aumenta a razón de 15 [mWb] en cada segundo [s] y con ello, la magnitud de la diferencia de potencial entre a y b es |Vab| = 16 [mV]. Calcule la corriente eléctrica inducida que circularía por el resistor R = 8 [] indicando su sentido en el esquema.

Ns = 3500 vueltas S = 40 [cm]

  Ni a) Bp = Bp (  ˆi ) ; Bp = o s s ; s

  Wb    4  10 7    3 500  22 A   A  m   Bp = = 0.2419 [T] 0.4 m 

 Bp =  0.2419 ˆi [T]

b) |Vab| = R i ;

i=

| Vab | 0.016 [V] = = 0.002 [A] ; 8 [ ] R

i = 2 [mA]

como el flujo magnético está aumentando, entonces

d > dt

0; de acuerdo con el Principio de Lenz se tiene que : Va > Vb, en consecuencia:

6. En la figura se muestran dos conductores contenidos en el plano xy. Si la corriente eléctrica i1 = 20 [A] y la corriente i2 = 30 [A], determine: a) El vector campo magnético en el origen del sistema de referencia. b) La fuerza de origen magnético que experimentaría un electrón al pasar por el origen con una velocidad de 105

ˆi

[m/s].

A ( 0,  4, 0 ) [cm] B ( 0, 0, 4 ) [cm]





  i 4   10 7 [ Wb /( A  m)] 20 A    ˆ  ˆ B 01 = 0 1   k  =  k   2  a1   2  0.04 [m]   B 01 =  110-4 kˆ [T] =  100 kˆ [T] ;

   a) B 0 = B 01 + B 02 ;

  i B 02 = 0 2 2a2

7  kˆ  = 4   10 [ Wb /( A  m)] 30 A    kˆ  ;         2  0.04 [m] 

 B 02 = 1.510-4 kˆ [T] = 150 kˆ [T] ;  B 0 = 50 kˆ [T]

    b) Fe = qe v  B 0 ; Fe = ( 1.61019 [C] ) (105 ˆi ) [m/s]  ( 50 kˆ ) (106) [T] ;   ˆ Fe = ( 1.61019 ) (105) (50) (106) [ ˆi  kˆ ] [N] ; Fe =  810-19 ( j) [N]

[

]

 ˆ Fe = 810-19 ( j) [N]

7. En la figura se muestran dos cargas eléctricas puntuales. Determine, para la carga puntual 2: a) La fuerza eléctrica que experimenta. b) La energía potencial que tiene.

q1 = 5 [C] q2 =  3 [C]

a) rAB = F21 

rBA

tan 30° =

6 a

;

a=

6 [cm] tan 30

= 10.3923 [cm] ;

a 2  (6 [cm]) 2  (10.3923 [cm]) 2  (6 [cm]) 2 ;

1 q1 q 2 rˆ ; 2 4 0 rAB

r rˆ  BA ; rBA

rAB = 12 [cm] = 0.12 [m] = rBA

rBA  (10.3923, 0) [cm] – (0, 6) [cm] ;

ˆ ˆ ˆr  (10.3923 i  6 j ) [cm] 12 [cm]

ˆ ˆ  (10.3923 i  6 j ) [cm];

ˆ ˆ rˆ =  0.866 i  0.5 j ; F21  (9109 [(Nm2)/C2])

(5  10 6 [C] )(3  10 6 [C] ) (0.12 [m] ) 2

ˆ ˆ (  0.866 i  0.5 j )

ˆ ˆ ˆ ˆ F21  (9.375 [N] ) (0.866 i  0.5 j ) = (8.1188 i  4.6875 j ) [N]

b) VB =

U q2 q2

;

(5  10 6 [C] ) 1 q1 9 2 2 VB = = 375 000 [V] = (910 [(Nm )/C ]) 4 0 rAB 0.12 [m]

Uq2 = q2 VB = ( 3106 [C] ) (375 000 [V] ) =  1.125 [J] 8. En la figura se muestra un conductor muy largo que coincide con el eje “z” y que transporta una corriente eléctrica ic. Se sabe que el campo magnético en el punto  ˆ A es B A =  0.34 i [mT], determine: a) La magnitud y sentido de la corriente en el conductor. b) La fuerza que experimentaría una partícula alfa ( q = 2 |qe| ) al pasar por el punto A con una velocidad de ˆ ˆ (8 i + 6 j ) (106) [m/s]. ˆ a) B A = BA (  i );

BA =

0 ic 2a

; ic =

2  a B A (2 )(0.05 [m] )(0.34  10 3 [T ] )  0 (4   10 7 [ Wb /( A  m)] )

ic = 85 [A] ˆ para que B A = BA (  i ), la corriente tiene que circular como se indica en la figura:

Electromagnetismo

ˆ ˆ ˆ F = (2) |qe| [(8 i + 6 j )  ( 0.34 i )] (106) (103) [N] ˆ ˆ F = (2) |qe| [( 2.04) (  k )] (103) [N] = 2 (1.6  1019 ) (103) (2.04) k [N] ˆ F = 6.528  1016 k [N]

b) F = qα v  B A ;

P3 v3 = R T3 ;

P3 =

R T3 v3

=

( 286.7 [ J /(kg  K ) ] ) ( 885.1609 [K ] ) 0.1325 [m 3 / kg ]

= 1 915 288 [Pa]

9. En la figura se muestra una bobina, de 500 vueltas cuya resistencia es 1 []. Se sabe que el flujo magnético que la atraviesa está dado por la expresión  (t) = 0.004 + 50 t, donde  está en [Wb] y t en [s]. Determine, para t = 0.02 [ms]: a) La diferencia de potencial Vab. b) La corriente inducida al conectar entre a y b un resistor de R = 4 []. Indique en un esquema su sentido. a) De acuerdo con la Ley de Faraday: || =  N

d dt

=N

d dt

 0.004 [ Wb]  50 [ Wb / s] t [s]  = N 50 [ Wb / s]  = (500) ( 50 [Wb/s] )

|| = 25 000 [V], de acuerdo con el Principio de Lenz: Va  Vb ,

Vab  0, entonces Vab =  25 [kV]

|Vab| = Req i , b) Req = R + Rb = ( 4 + 1 ) [], Vab 25 000 [ V ] = = 5 [kA] ; como Va  Vb, entonces i= R eq 5 [ ] 10. Se desea construir un solenoide, se dispone de un núcleo ferromagnético cilíndrico, de 30 [cm] de longitud, cuya permeabilidad magnética es  = 716.2 0 y área transversal de 1 [cm2], determine: a) El número de vueltas requerido para que la magnitud del campo magnético en el punto medio y en el eje del solenoide sea B = 90 [T] al hacer circular una corriente eléctrica de 10 [A]. b) Si la inductancia del solenoide anterior es L, ¿cuánto valdría la inductancia nueva si se duplica el número de vueltas? justifique algebraicamente su respuesta. a) A = 1 [cm2] = 10 4 [m2] ,

Electromagnetismo

para un solenoide largo, en un punto de su eje y en su punto medio, el campo magnético B  Ni B = , de donde: N = = está dado por: B =  i 716.2  0 i ( 90 [T ] ) ( 0.3[m] ) 716.2 ( 4  10 7 [ Wb /( A  m) ] ) (10 [A ] )

N = 2 999.9885 [vueltas]  3 000 [vueltas] b) Lo =

Ln =

No  i

=

 N 2n A 

No i

=

BA =

No  No i i

 (2 N o ) 2 A

A =

 N o2 A



=

4  N o2 A



;

como Nn = 2 No , tenemos que:



= 4 Lo ;

Ln = 4 Lo



11. En la figura se muestra una carga puntual (Q) colocada en el punto P en una región de vacío. Si el campo eléctrico en el  punto A es E A = 135106 ˆj [N/C], determine:

a) El vector fuerza eléctrica que actuaría sobre un electrón colocado en el punto A. b) El valor de la carga puntual Q (magnitud y signo).   Fe a) E A  , qe

  Fe  q e E A = (  1.610 19 [C] ) ( 13510 6 [N/C] ˆj ) =  2.16 10 11 ˆj [N]

 b) como E A = EA ˆj , entonces: Q < 0 ;

 Fe =  21.6 ˆj [pN]  EA 

Q 1 Q k 2 ; 2 4 0 rPA rPA

Q 

E A rPA 2 k

(135  106 [ N / C] ) ( 0.02 [m] ) 2 = 610 6 [C] ; Q =  6 [C] 9  109 [( N  m 2 ) / C 2 ) ] 12. En la figura se muestra un conductor recto y largo que coincide con el eje “x” por el cual fluye una  ˆ corriente eléctrica. Si el campo magnético en el punto A es B =  200 (k ) [T], determine: |Q| =

a) La corriente eléctrica, en magnitud y sentido, que circula por el conductor recto. b) El vector campo eléctrico en el punto B debido a un electrón que se colocara en el origen. Considere para este inciso que no está el conductor.

a)

  como BA  BA k

 

 BA  200 k [T]

Electromagnetismo

entonces

la corriente eléctrica circula en el conductor en sentido del eje “x” negativo. 6 2aBA 2 (0.04 [m])  200 x 10  i= = 40 [A]  0 4 x 107 [Wb / A  m]

i BA = 0 ; 2a

 

 1 qe b) E B  j ; 2 4 0 r0B

 1.6  1019 [C] j E B  9  109 (N  m 2 ) / C2  2  0.04 [m]  E B  9  107 j [N / C]  0.9 j [N / C]



 



 

13. En la figura se muestran dos conductores rectos muy largos, paralelos al eje “y”. Si se sabe que el campo magnético en el punto A debido a la corriente eléctrica que circula en el conductor 2 es:  BA 2 =  150 kˆ [T], determine:

a) El vector campo magnético en el punto B. b) La fuerza magnética que experimentan cuatro metros del conductor 1. A (1, 0, 0) [cm] B (2, 0, 0) [cm] C (3, 0, 0) [cm]    a) BB  BB1  BB2 ;

i1 = 12 [A]





 





 

i2 = 15 [A]

4  107  Wb /  A  m   12  A    0i1  BB1  k   k =  240 k T  ; 2  a1 2  0.01  m 

 

4  107  Wb /  A  m   15  A    0i 2  BB2  k   k =  300 k T  ; 2 a 2 2  0.01  m   BB   540 k T 

 

   b) F12  i1 1 x B12 ;

i1 = 12 [A];

 1  4 j  m 



 



   F12  12  A   4 j  m   150 k 106  T  BA2  B12  150 k T  ;    F12  12  A   4  m  150  T  106  j   k      F12  7.2  103  N   i ; F12   7.2 i  mN 

 



  

Electromagnetismo

14. Dos conductores rectos largos, paralelos entre sí y perpendiculares al plano xy transportan corrientes eléctricas; el primer conductor pasa por el punto A ( 0, 5 ) [cm] y el segundo  por el punto B ( 4,0 ) [cm]. Si el vector campo magnético en el origen es B0 = (  8 ˆi  16 ˆj ) [T], determine: a) Las corrientes eléctricas en cada conductor. Indique en un esquema su sentido. b) La fuerza magnética que experimentan 8 [m] del conductor 1 al colocarlo paralelo al 2 de manera que pase por el origen.

 

 

   a) BO  BO1  BO2  BO1 ˆi  BO2 ˆj  B0 = (  8 ˆi  16 ˆj ), por lo tanto: BO1 = 8 [μT] y BO2 = 16 [μT] ; 0 i1 BO1 = , 2  rOA





 2  0.05 [m] 8  106 [T] 2 rOA BO1 i1 = = , 0 4  107 [Wb / (A  m)] i1 = 2 [A] (entra a la hoja)



 b) F12  F12



 2  0.04 [m] 16  106 [T] 2 rOB BO2 i2 = = , 0 4  107 [Wb / (A  m)] i1 = 3.2 [A] (sale de la hoja)      1  8 kˆ [m] ; B12  BO2  BO2 ˆj   16  106 [T] ˆj  i1 1  B12 ; i1 = 2 [A] ,  ˆ [m]  16  106 [T] ˆj  ,   2 [A]  8(k) F12  0.256 ˆi [mN]  

 i B02 = 0 2 ; 2 rOB



   

   

 

15. En la figura se muestra una bobina de 2500 vueltas inmersa en un campo magnético. Se sabe que la intensidad de este último varía de manera que el flujo magnético disminuye a razón de 5 [mWb] cada segundo. Determine: a) La diferencia de potencial inducida Vab. b) La potencia que disipa un resistor de 2.5 [] al conectarse entre los puntos a y b. a)

d 0.005 [Wb] =  0.005 [Wb/s]  dt 1 [s] d = |  2 500 ( 0.005 [Wb/s] )| = 12.5 [V], de acuerdo con el Principio de Lenz:   N dt

Electromagnetismo

Va < Vb ;

Vab =  12.5 [V]

Vab < 0 ,

Vab 2  12.5 [V] 2   b) We  R i  R 2.5 []

2

  62.5 [W] W e

16. En la figura se muestra un solenoide largo de 6 250 vueltas. a) Determine la corriente eléctrica (i) que debe circular para que el campo magnético en el punto C  (ubicado en el centro del solenoide) sea: Bc = 0.25 ˆi [T]. Indique en el esquema su sentido. b) Si al acercar un imán, como se indica, la diferencia de potencial inducida es vab < 0 [V], ubique en la figura el polo magnético norte de dicho imán.

  iN a) BC = 0 s (  ˆi ) , 

i=

  iN | BC | = 0 s , 

(0.25[T]) (10) (102 [m]) = 10 [A] , (4 107 [Wb / (A  m)]) (6 250)

i=

BC  0 Ns i = 10 [A]

entonces va < vb ; b) Si vab = va  vb < 0, la corriente inducida circularía entrado al solenoide por el nodo a. Si acercamos el polo norte del imán al solenoide, el flujo que genera dicho imán se incrementa en el sentido negativo del eje x. De acuerdo con el Principio de Lenz, el flujo inducido circularía de manera que se oponga al aumento de flujo del imán, es decir, genera una diferencia de potencial vab negativa. Por lo tanto el polo norte magnético del imán es el que está más próximo al solenoide.

Electromagnetismo

17. En la figura se muestran dos cargas eléctricas puntuales, determine: a) El vector campo eléctrico en el origen debido únicamente a la carga Q1. b) La energía potencial eléctrica que tiene la carga Q2. Q1 = 8 [C] Q2 =  12 [C]

 a) E O1 

1 Q1 rˆAO , 2 40 rOA

rˆAO

 rAO   0, 0  [m]  1, 2  [m]

rˆAO

 ˆi  2ˆj [m] ;  5 [m]

  r 2 2 rAO  1[m]   2 [m]  5 [m] ;  AO , rAO  rAO   1, 2  [m]  ˆi  2ˆj [m]





8  106 [C]  1  9  2 2 ˆi  2 ˆj  E 01  9  10 (N  m ) / C    2  5 5   5 [m]  E O1  6 439.86 ˆi  12 879.75 ˆj [N / C]







b) UQ2 = Q2VB













8  106 [C] 1 Q1 9  2 2 (VB)Q1 = ; (VB)Q1 = 9  10  (N  m ) / C  40 rAB  4 [m]

(VB)Q1 = 18 000 [V];







UQ2 = ( 12  10 6 [C] ) (18 000 [V] ) =  0.216 [J]

18. Un electrón es lanzado con una velocidad de 2  106 ˆi [m/s] en una región entre dos placas cargadas como se indica en la figura. Si la diferencia de potencial aplicada entre dichas placas es de 12 [V], determine: a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón. b) El vector campo magnético necesario para que el electrón pase entre las placas sin desviación. d = 2.5 [cm]

Electromagnetismo

  Fe E q

a)

  Fe  q E ,

como E = cte., entonces

 12[V] = 480 [V/m] , E =  480 ˆj [V/m] 0.025[m]   entonces: Fe = (  1.6  10 19 [C] ) (  480 ˆj [N/C] ) = 7.68  10 17 ˆj [N] ; Fe = 76.8 ˆj [aN]

E=

VAB d

E=

      Fm   76.8 1018 ˆj[N] ; Fm  q   B b) Fm  Fe ,    ˆ , entonces B  B( k) ˆ para una carga negativa; para que Fm  Fm (ˆj) y como    (i)    de acuerdo con la figura =90 [°] entonces: Fm  q   B  q  B sen  , B

Fm=|q| ν B

Fm 76.8  1018 [N] = 2.4  10 4 [T]  19 6 q  (1.6 10 [C]) (2 10 [m / s])

 B  240 kˆ [T]

19. En la figura se muestra una carga puntual negativa Q =  6 [C] ubicada en el punto P ( 2, 4 ) [cm]. Determine: a) El vector campo eléctrico en el punto A ( 1, 0 ) [cm]. b) Las coordenadas del punto B, en el eje de las abscisas, en el que su potencial es  1.35 [MV].

a)

 1 EA  40

Q

r

2

b)

3i  4 j ; 5

rˆAP

AP

 rAP  (3,4) [cm] , rˆAP 

rˆAP ;

 r  AP ; rAP

 rAP  [(2,4)  (1,0)] [cm]

 rAP  32  42 [cm]  5 [cm]  0.05 [ m] ; 6   2  6  10 C 3ˆ 4ˆ MN 3 ˆ 4ˆ  , E A  (9  109 NCm2 ) ( i  j ) E A  21.6 C  5 i  5 j 5 2  5 ( 0 . 05 m )    E A  12.96 ˆi  17.28 ˆj 106  NC 

Q 1 Q VB  , VB  k , rBP 40 r BP





r BP





9  109 NCm2  6  106 C Q k  VB  1.35  106 V 2



r BP = 0.04 [cm], entonces el punto B tiene como coordenadas: B(2,0) [cm]

 

Electromagnetismo

20. Dos placas con carga eléctrica se hallan como se muestra en la figura. La magnitud de la densidad superficial de cada placa es |  | = 8.85 [nC/m2] y la distancia entre ellas es de 5 [cm]. Con base en ello, determine:

a) El vector fuerza eléctrica que actúa sobre una carga puntual q = 10 9 [C] colocada entre las dos placas. b) La diferencia de potencial aplicada entre las dos placas, es decir VAB. d = 5 [cm]

a)



E



Fe , q



E  1000ˆj

b)







Fe  q E ,

 NC ,



A 

B A

B



VAB    E d    | E |  | d | cos  ; A

VAB    E (dy)(1)  E  dy ; B



9 C  ˆ 8.85  10 m 2 ˆ j j 2 0 8.85  1012 NCm 2





F e  10 9 C 1000ˆj NC ,

entonces

A 

E



F e  10  6 ˆj [ N ] = ˆj [µN]

α = 180 [°] , cos α =  1 ;

VAB  E y AB   E ( y A  yB )

B

VAB = E ( yB  yA) = E d = ( 1 000 [V/m] ) ( 0.05 [m] ) = 50 [V]

d =  dy ;

Electromagnetismo

Ejercicios propuestos 1. Calcule la fuerza eléctrica sobre cada una de las cargas que se muestra en la figura. y [cm] 3

q1 = +16106 [C] q2 = 32106[C] k = 9109 [(Nm2)/C2]

q1

2 1

q2 x [cm] 1

2

3

4

  Respuestas: F1  (1 474.56 ˆi 1105.92 ˆj) [ N] ; F2  (  1 474.56 ˆi  1105.92 ˆj) [ N ]

2. Las cargas y las coordenadas de dos partículas cargadas localizadas en el plano xy son: q1= + 3.0  10 6 [C], x = 3.5 [cm], y = 0.50 [cm] y q2 =  4.0  10 6 [C], x =  2.0 [cm], y = 1.5 [cm]. a) Encuentre la fuerza sobre la carga q2. b) ¿En dónde se debería colocar una tercera carga q3 = +4.0  10 6 [C] para que la fuerza total sobre q2 fuese cero?  Respuestas: a) F2  ( 34 ˆi  6.18 ˆj) [ N ] ; b) se debe colocar en x =  7.33 [cm], y = 1.33 [cm].

3. Una bolita cargada (q2) pende de un hilo ligero en la forma indicada en la figura. La bolita tiene una carga q2 de 0.075 [C]. Se mantiene fija una carga q1 de 0.125 [C]. A partir de estos datos y de las dimensiones señaladas en la figura calcule el peso de la bolita si la aceleración gravitatoria del lugar es de 9.78 [m/s2].  Respuesta: | W | bolita = 2.343  10 4 [N]

Electromagnetismo

4. Calcule la energía potencial electrostática necesaria para formar el sistema de tres cargas puntuales que se muestra en la figura. (d=50 [cm] ) q1= 2 [nC] q2=  3 [nC] q3= 4 [nC]

d

d q1

q2

q3

Respuesta: Ue =  2.52  10 7 [J]

5. Calcule la energía potencial del sistema de cuatro cargas puntuales q1 = 2 [nC], q2 = 4 [nC], q3 = 8 [nC], q4 = 3 [nC], situadas en los puntos (1, 0), (0, 1), (0, 1), (1, 0) [m], respectivamente en el plano xy, como se muestra en la figura. Respuesta: Ue =  145.5  10 9 [J]

6. Se tiene una distribución de tres cargas puntuales q1 = 2 [nC], q2 = 4 [nC], q3 =  8 [nC], situadas en los puntos (1, 0), (0, 1), (0, 1) [m], respectivamente en el plano xy, como se muestra en la figura. Calcule: a) El potencial eléctrico en el punto A (1, 0) [m]. b) La energía potencial eléctrica de una carga de prueba de  3 [nC] si se colocara en el punto A. c) El trabajo realizado para llevar dicha carga de prueba desde A hasta B (2,1) [m]. Respuestas: a) VA =  16.5 [V] ; b) Ue = 49.4  10 9 [J] ; c) {AWB} =  3.3  10 9 [J] 7. Un conductor de longitud L = 3 [m] está situado en una región del espacio en donde existe un  campo magnético dado por B  0.2 ˆj  Bz kˆ [T]. Sabiendo que sobre dicho conductor el campo B  ejerce una fuerza dada por F  0.75ˆj  0.3kˆ [N] determine la intensidad de corriente I que circula por el conductor y la componente z del campo magnético (BZ). Respuestas: I = 0.5 [A] , Bz = 0.5 [T]

Electromagnetismo

8. El conductor de la figura transporta una corriente I = 25 [A], si se sabe que la permeabilidad magnética del cubo mostrado es 410-7 [Wb/(Am)] y tiene como longitud en su arista 100 [cm]. ¿ Cuál es el valor de la magnitud campo magnético B en los puntos indicados?  Respuesta: | B | = 1010-6 [T] = 10 [T].

9. En la figura se representa esquemáticamente un solenoide con L = 18 [cm], el radio de las espiras que se muestran es de 1.2 [cm]. Si se tienen 1 100 espiras muy juntas ¿ Cuál es el valor del vector B en el centro y en los extremos del eje de dicho solenoide, si la corriente eléctrica I = 2.5 [A]?

Respuestas:   En el centro del solenoide B =  0.1920 ˆi [T] ; en los extremos B =  0.0960 ˆi [T] 10. Aplicando la ley de inducción de Faraday, encuentre la magnitud del voltaje inducido (fem inducida) en una bobina con 10 espiras y que tiene un área de 120 [cm2], si ésta se encuentra entre los polos de un imán cuyo campo magnético es uniforme y cuya magnitud aumenta a razón de 0.02 [T/s]. Respuestas Vxy = 2410-4 [V] = 2.4 [mV]. 11. En la figura se muestran dos conductores muy largos y paralelos sobre el plano xy, en el aire, los cuales transportan las corrientes eléctricas indicadas. Determine: a) La distancia b, tal que en el punto P el campo magnético sea cero. b) La fuerza de origen magnético que experimentan 2.5 [m] del conductor 1. i1 = 60 [A] i2 = 80 [A]  = 45 [cm]

Electromagnetismo

 Respuestas: a) b = 0.1929 [m] ; b) F1 = 5.3333 ˆi [mN] 12. En la figura se muestran dos inductores (A y B). Considerando que el interruptor S se encuentra cerrado, indique en un diagrama el sentido de la corriente que circula por el resistor R2 así como qué punto está a mayor potencial (“a” o “b”), si: a) El inductor B se acerca al inductor A. b) Los inductores permanecen fijos, pero R1 aumenta de valor.

Respuestas: a) “b” está a mayor potencial que “a”

b) “a” está a mayor potencial que “b”

13. En la figura se muestran cuatro cargas puntuales negativas cuyo valor absoluto en magnitud de cada una es |Q|, colocadas en el vacío. a) La magnitud del vector campo eléctrico en el origen del sistema de referencia, se encuentra en la opción: A)

D)

Q

B) 0

( 2) 0 a

C)

Q 2 0 a

Q 2 0 a 2

b) El potencial eléctrico en el origen del sistema de referencia es: A) 0

B)

Q

( 2) 0 a

Respuestas: a) opción B ; b) C

2

C)

Q

( 2) 0 a

D)

Q

( 2)0

Electromagnetismo

14. Dos conductores paralelos se encuentran colocados en el plano “xy”, como se muestra en la figura. Ambos transportan corriente eléctrica. Si el campo magnético en el punto P, debido a las corrientes  ˆ T] , determine: en ambos conductores es BP  0.8 k[ a) El valor de la corriente que circula en el conductor 2. Indique en el esquema su sentido. b) La fuerza de origen magnético que experimenta una carga q = – 5 [pC] al pasar por el punto P con  una velocidad v  2  106 ˆi[m / s] . i1 = 2 [A]  = 25 [cm]

Respuestas: a) i 2  3  A  ,  b) Fm  8 ˆj  pN 

15. Un solenoide de 4 000 vueltas, con núcleo de aire, tiene una longitud  de 10 [cm] como se muestra en la figura. Si el punto C está justo en el eje de dicho solenoide y en su parte central, determine: a) La corriente que tendría que circular en el solenoide para que el campo magnético en el punto C  fuese Bc = 136 ˆi [mT]. Indique en el diagrama el sentido de dicha corriente. b) La diferencia de potencial Vab inducida si se sabe que el imán se acerca al solenoide de manera que la variación uniforme de flujo magnético es 0.027 [Wb/s]. Indique qué punto estaría a mayor potencial.

Respuestas: a) i = 8.5 [A] ,

b) Vab  108  V  y el punto a está a mayor potencial.

Electromagnetismo

16. Una espira cuadrada de 20 [cm] de lado se encuentra inmersa en un campo magnético uniforme de 0.045 [T]. Determine el flujo a través de la espira si el plano de ésta y las líneas de campo magnético forman un ángulo de 60 [°]. Respuesta:  = 1.5588 [mWb]

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

TEMA VI. CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE DIRECTA

Ejercicios resueltos 1. En el laboratorio de Principios de Termodinámica y Electromagnetismo, un alumno construye un capacitor de placas planas y paralelas (C1) y arma el circuito que se muestra. Considerando que los interruptores permanecen abiertos y que la inductancia mutua entre los solenoides es despreciable, determine: a) La potencia que disipa el resistor R1. b) La capacitancia que indicaría un medidor RCL al conectarse entre los nodos “c” y “b”, así como la inductancia que marcaría al conectarse entre los nodos “e” y “b”. 1 = 20 [V], R1 = R2 = 1 [k], C2 = 23.5 [pF], L1 = L2 = 9.4 [mH],

2 = 4 [V], R3 = 220 [], L3 = 33 [mH],

para el capacitor C1: A = 6.25 10 4 [m2] d = 0.1 [mm] 0 = 8.85 10 12 [C2/(Nm2)] a) Aplicando ley de voltajes de Kirchhoff, tenemos: R1 i + 2 + R3 i + R2 i – 1 = 0 1   2 (20  4) [V] = 7.2072 [mA] ; i= = R1  R 2  R 3 (1000  1000  220) []  }R1 = R1 i 2 =(1000 [] ) ( 7.2072 10 3 [A] )2 {Q

 }R1 = 0.0519 [W] {Q  0 A (8.85  10 12 [C 2 /( N  m 2 ) ] ) (6.25  10 4 [m 2 ] )  b) C1 = d 0.1  10 3 [m] C1 C 2 (55.3125) (23.5) = [pF] C1 = 55.3125 [pF] ; Ceq ce = C1  C 2 55.3125  23.5 Ceq ce = 16.4929 [pF]

Leq de = L12 + L3 ;

Leq de = (4.7 + 33) [mH]

L12 =

L1 L 2 (9.4) (9.4) [mH] = 4.7 [mH] = L1  L 2 9 . 4  9 .4 Leq de = 37.7 [mH]

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98

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

2. Para el circuito eléctrico que se muestra, determine: a) Las corrientes eléctricas indicadas. b) La energía que disipa el foco durante una hora. 1 = 2 = 12 [V] R1 = R2 = 100 [] R3 = R4 = 2 [] Rf = 6 [] a) Aplicando LCK en el nodo a : i1 – i2 – i3 = 0 [A].......... (1) Aplicando LVK en la malla I : 2 + R4 i2 + R3 i1 – 1 + R1 i1 = 0 (R1 + R3) i1 + R4 i2 = 1 – 2 (102 [] ) i1 + (2 [] ) i2 = 0 [V]……(2) Aplicando LVK en la malla II : 2 + R4 i2 – Rf i3 – R2 i3 = 0 – R4 i2 + (Rf + R2) i3 = 2 – ( 2 [] ) i2 + (106 [] ) i3 = 12 [V] …….(3) Resolviendo el sistema de ecuaciones formado por (1), (2) y (3): i2 = – 109.01 [mA] ; i3 = 111.15 [mA] i1 = 2.14 [mA] ;  } t = ( 6 [] ) (111.15 3 [A] )2 ( 3 600 [s] ) b) {Q} = { Q {Q} = ( 0.0741 [W] ) ( 3 600 [s] ) = 266.8567 [J]

3. Se tienen dos circuitos eléctricos, determine: a) Para el circuito A la energía que almacena el conjunto de capacitores.

circuito A

 = 15 [V] C1 = 20 [F], C2 = C3 = 10 [F]

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99

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

b) Para el circuito B la corriente eléctrica que circula por la fuente .  = 24 [V] R1 = 60 [] R2 = R3 = 30 []

circuito B

a) C2 y C3 están en paralelo, por lo tanto: C23 = C2 +C3 ;

C23= ( 10 + 10 ) [F] = 20 [F] ;

C1 y C23 están en serie, entonces: C1C 23 (20)(20) [F] = 10 [F] ; = Ceq = 20  20 C1  C 23 en consecuencia U = ½ Ceq Vab2 = ½ (10106 [F] ) (15 [V] )2 = 1.125 [m J] b) R2 y R3 están en serie, por lo tanto: R23 = R2 + R3 ;

R23 = ( 30 + 30 ) [] = 60 [] ;

como R1 y R23 están en paralelo: R 1 R 23 (60)(60) = = 30 [] ; Req = R 1  R 23 60  60 entonces:  = Req if ;

if =

 R eq

=

24 [V] 30 []

= 0.8 [A]

if = 0.8 [A]

4. Para los circuitos que se muestran, determine la energía que almacena cada arreglo. a) C1 = 30 [F] , C2 = 20 [F] , C3 = C4 = 80 [F] ; VAB = 24 [V]

b) L1 = 20 [mH] , L2 = L3 = 10 [mH] , L4 = 25 [mH] ; I = 8.5 [A]

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100

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo

a)

C34 =

Circuitos eléctricos en corriente directa

80  80  C3 C 4  [F] = 40 [F]; C3  C4 80  80

C234 = C2 + C34

30  60  C1C234 [F] = 20[F]  C1  C234 30  60 U = (½) CAB VAB2 = ½ (20  10-6 [F] ) ( 24 [V] )2 = 5.76 [mJ]

C234 = (20 + 40) [F] = 60 [F];

CAB =

L 2 L3 (10)(10)  [mH] = 5 [mH]; L 2  L3 10  10 LAB = (20 + 5 + 25) [mH] = 50 [mH]

b) L23 =

LAB = L1 +L23 + L4

U = (½) LAB I2 = (½) (50  10 3 [H] ) (8.5 [A] )2 = 1.8063 [J] . 5. En la figura se muestra un circuito eléctrico, el cual consta de 4 resistores y una fuente de fuerza electromotriz, determine: a) La diferencia de potencial Vbc. b) La energía que entrega la fem en 10 [min]  = 13.5 [V]

a) R12 =

R1 = R2 = 10 [] R3 = R4 = 22.5 []

R 1R 2 (10)(10) = [] = 5 [] ; R1  R 2 10  10

R34 = (22.5+22.5) [] = 45 [] ;

Vbc = R4 iR4 , iR4 = iR3 = iR34 , Vac =  = R34 iR34 ,  13.5[V] = 0.3 [A] = iR4 , iR34 =  R 34 45[] Vbc = (22.5 [] ) (0.3 [A] ) = 6.75 [V]  (t) , b) U = W e

i = iR12 + i R34 ,

 =  i , W e

U =  i (t) ,  13.5[V] = = 2.7 [A] 5[] R12 U = ( 13.5 [V] ) (3 [A] ) ( 1060 [s] ) = 24.3 [kJ]

 = Vac = R12 iR12 ,

i = (2.7 + 0.3) [A] = 3 [A] ,

iR12 =

6. En el circuito eléctrico que se muestra, la corriente eléctrica i1 = 0.39 [mA]. Con la información proporcionada, determine: a) El valor de la fuente 2. b) La diferencia de potencial Vab.

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101

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

1 = 70 [V]

3 = 80 [V]

R1 = 2 [k]

R2 = 4 [k]

R3 = 3 [k]

a) Aplicando el principio de conservación de la energía en la malla externa: 1  R1i1  3 + R2i2 = 0 , R2 i2 = 3 + R1i1  1   R 1i1  1 i2 = 3 R2 (80[V])  (2 000[]) (0.39 103 [A])  (70[V]) = 2.695 [mA] ; i2 = 4 000[] aplicando el principio de conservación de la carga en el nodo “a”: i1 + i2 – i3 = 0 ,

i1 + i2 = i3

i3 = (0.39 + 2.695) [mA] = 3.085 [mA] ;

aplicando el principio de conservación de la energía en la malla de la izquierda: 1  R1i1  R3i3  2 = 0 ,

2 = 1  R1i1  R3i3

}

2 = (70 [V] )  (2 000 [Ω] )(0.3910 3 [A] ) – (3 000 [Ω] )(3.08510 3 [A] ) = 59.965 [V] 2 = 59.965 [V] Vab = 1  R1i1 = (70 [V] ) – (2 000 [Ω] )(0.3910 3 [A] )

b) Vab + R1i1  1 = 0 ,

Vab = 69.22 [V] 7. Para la conexión de capacitores que se muestra se sabe que la energía que almacena todo el arreglo es 0.81 [mJ] y la diferencia de potencial Vad = 18 [V], determine: a) El valor del capacitor C1. b) La carga eléctrica en los capacitores C3 y C4. C2 = 3 [F] C3 = 4.5 [F] C4 = 9 [F]

2 a) U T  12 Cad Vad ,

Cad 

2 U T 2 (0.81103 [J])  = 5 [F] 2 Vad (18[V]) 2

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C3 C 4 (4.5)(9)  [F] = 3 [F] , C3  C4 (4.5  9) C12 = Cad  C34 = ( 5 [F] )  ( 3 [F] ) = 2 [F] , CC C12 C2 C12  1 2 de donde C1  C1  C2 C12  C2 (2) (3) C1 = 6 [F] C1  [F]  6[F] , (2)  (3) C34 

Q , Q = C V, V Q34 = ( 3 106 [F] ) ( 18 [V] ) = 5.4  10 5 [C] ;

b) Q3=Q4 ;

C

Cad  C34  C12

Q 34 = C 34 V ad. Q3 = Q4 = 54 [C]

8. En el circuito eléctrico que se muestra se sabe que la diferencia de potencial entre A y B es 15 [V]. Con la información adicional que se indica, determine: a) La corriente eléctrica i2. b) La energía que entrega la fuente 2 en 5 minutos, al resto del circuito. 1 = 10 [V]

R1 = 1 []

R2 = 2 []

R3 = 100 [] VAB 15[V]   0.15[A] R 3 100[] aplicando el principio de conservación de la energía en la malla de la izquierda:

a) VAB  R 3i3 ,

i3 

1  VAB  R1i1  0 , R1i1  1  VAB ,   VAB (10  15)[V] i1  1   5  A  R1 1[] de acuerdo con el principio de conservación de la carga en el nodo A: i1  i 2  i3 , i 2  i3  i1  (0.15[A])  (5[A])  5.15  A  b) E  2  P2 t ;

P2   2i 2 ,

en la malla de la derecha, tenemos:

de acuerdo con el principio de conservación de la energía

2  R 3i3  R 2i2  0,

 2  (100[])(0.15[A])  (2[])(5.15[A])  25.3  V  ;

la energía que entrega la 2 es:

2  R 3i3  R 2i2

P2  (25.3V)(5.15A)  130.295  W 

E  2  (130.295[W])(60 )(5)[s]  39 088.5  J 

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103

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

9. Para la conexión de resistores que se muestra, determine: a) La corriente eléctrica que entrega la fuente . b) La potencia eléctrica que disipa el resistor R4.  = 7.5 [V] R1 = 25 [Ω] R2 = 70 [Ω] R3 = 20 [Ω] R4 = 30 [Ω] R5 = 80 [Ω] a) R24 = R2 +R4 = (70 + 30) [Ω] = 100 [Ω] , R R 100 (100) R be  24 35  []  50 [] , R 24  R 35 100  100 ε = Rae iε

i 

 7.5[V ]  R ae 75[]

R35 = R3 +R5 = (20 + 80) [Ω] = 100 [Ω]

R ae  R 1  R be  (25  50) []  75[] iε = 0.1 [A]

b) Vbe = Rbe iε = (50 [Ω] ) (0.1 [A] ) = 5 [V] , Vbe = R24 i24 V 5[V] PR 4  R 4 i 2R 4 i R 4  be   0.05[A ] , R 24 100 [] PR4 = (30 [Ω] ) (0.05 [A] )2 PR4 = 0.075 [W] 10. Para el circuito eléctrico que se muestra se sabe que la potencia del motor es Pm = 16.9044 [W], con base en ello y en la información proporcionada, determine: a) Las corrientes eléctricas indicadas. b) La diferencia de potencial que mediría un voltímetro entre el punto A y C, es decir VAC. 1 = 3 [V] 2 = 24 [V] R1 = 10 [] R2 = R4 = 3 [] R3 = R5 = R6 = 2 [] Vmotor = 12 [V] = Vm

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

a) Pm = 16.9044 [W] ,

Pm 16.9044 W   1.4087 [A] Vm 12 V R5 i2 = ε2  ( R2 + R6 ) i3 Vm ,

P m = V m i3 ;

i3 

ε2  R5 i2  R6 i3  Vm  R2 i3 = 0 ,   (R 2  R 6 )i3  Vm i2  2 R5 (24V)  (3  2)(1.4087A)  (12V) = 2.4783 [A] i2  2 i1 = i2  i3 = (2.4783[A] )  (1.4087[A] ) = 1.0696 [A]  i1 + i2  i3 = 0 b) VAC  ( R4 + R3 )i1  ε1 = 0 ,

VAC = ε1 + ( R4 + R3 ) i1 = ( 3V ) + ( 2 + 3 ) Ω (1.0696A ) VAC = 8.348 [V]

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

Ejercicios propuestos 1. El conductor de la figura, tiene una resistencia eléctrica de 0.2 [] y tiene aplicada una diferencia de potencial de 100 [mV], ¿ cuál es el valor de la corriente eléctrica que circula por él ? Si el material del alambre es aluminio (Al= 2.83x10-8 [ m]), ¿cuál es el diámetro del alambre?

Respuestas: I = 0.5 [A] ;  = 0.7352 [mm] 2. Se cuenta con tres resistores cuyos valores de resistencia son, R1 = 100 [], R2 = 220 [] y R3 = 330 []. Las potencias máximas de cada resistor son iguales P1 = P2 = P3 = 0.5 [W]; con base en esta información, obtenga lo que pide a continuación: a) Si se conectaran todas en serie, ¿cuál sería el valor del resistor equivalente? b) Si se conectaran todas en paralelo, ¿cuál sería el valor del resistor equivalente? c) Si se conectaran todas en serie y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos, ¿cuál sería el valor de la diferencia de potencial en cada resistor? d) Si se conectaran todas en paralelo y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos ¿cuál sería el valor de la corriente eléctrica en cada resistor? e) ¿Algún resistor elevaría excesivamente su temperatura por las condiciones indicadas en el inciso c) o en d) ?, es decir, ¿se sobrepasa la potencia de 0.5 [W] en algún resistor? Respuestas: a) Req = 650 [], b)Req = 56.8966 [], c) V1 = 1.5385 [V], V2 = 3.3846 [V], V3 = 5.0769 [V], d) i1 = 0.1 [A], i2 = 0.04545 [A], i3 = 0.030303 [A], e) solamente el resistor R1 en el inciso d) sobrepasa su potencia, Pdisip = 1 [W] 3. Se cuenta con tres capacitores cuyos valores de capacitancia son C1 = 100 [F], C2 = 220 [F] y C3 = 330 [F]. Obtenga lo que pide a continuación: a) Si se conectaran todos en serie, ¿cuál sería el valor del capacitor equivalente? b) Si se conectaran todos en paralelo, ¿cuál sería el valor del capacitor equivalente?

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

c) Si se conectaran todos en serie y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos, ¿cuál sería el valor de la diferencia de potencial en cada capacitor? d) Si se conectaran todos en paralelo y se aplica una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos ¿cuál sería el valor de la carga almacenada en cada capacitor? Respuestas: a) Ceq = 58.8966 [F] , b) Ceq = 650 [F] , c) V1 = 5.6897 [V], V2 = 2.5862 [V], V3 = 1.7241 [V], d) Q1 =110 3 [C], Q2 = 2.210 3 [C], Q3 = 3.310 3 [C] 4. Se cuenta con tres inductores cuyos valores de inductancia propia son, L1 = 100 [mH], L2 = 220 [mH] y L3 = 330 [mH]. Obtenga lo que pide a continuación: a) Si se conectaran todos en serie, ¿cuál sería el valor del inductor equivalente? b) Si se conectaran todos en paralelo, ¿cuál sería el valor del inductor equivalente? c) Si se conectaran todos en serie y se aplica una corriente i (t) = (10 t +3) [A] ¿ cuál sería el valor de la diferencia de potencial en cada inductor y en los extremos de la conexión? d) Si se conectaran todos en paralelo y se tiene una diferencia de potencial de 10 [V] en los extremos ¿cuál sería el valor de la corriente eléctrica de 0 a t, en cada inductor? Respuestas: a) Leq = 650 [mH] , b) Leq = 58.8966 [mH] c) V1 = 1.0 [V], V2 = 2.2 [V], V3 =3.3 [V] ; Vad = 6.5 [V] d) i1 (t) = 100 t [A], i2 (t) = 45.4545 t [A], i3 (t) = 30.3030 t [A] 5. En la figura se representa esquemáticamente un capacitor de placas planas paralelas, con un área de placas A = 255 [cm2] y una distancia de separación entre placas de d = 0.18 [mm], si la permitividad eléctrica del medio es 0 = 8.8510-12 [C2/(Nm2)], ¿cuál es su valor de capacitancia en farad?, ¿cuál es la energía almacenada U si Vab = 12 [V]? Respuestas: C = 1.253810-9 [F] ; U = 0.090310-6 [J]

6. En la figura se muestra un solenoide con una longitud  = 23 [cm] y un diámetro de 2.5 [cm]. Si la permeabilidad magnética del medio es 0 = 4 107 [Wb/(Am)] y el número de espiras es de 760, ¿cuál es el valor de su inductancia en henry? Si la I = 2.5 [A], ¿cuál es la energía magnética U almacenada?

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

Respuestas: L = 1.5491103 [H]; U = 4.8409103 [J] 7. El voltaje de fem es E =9 [V], si al conectar una resistencia de 20 [] circula una corriente 0.4 [A] ¿Cuál es el valor del voltaje Vab? ¿Cuál es el valor de la resistencia interna de la fem?

a

E=9V

R=20 

r []

Respuestas: Vab = 8.0 [V], r = 2.5 []

b

8. Para el circuito eléctrico con la fuente de fem de 12 [V], calcule: a) La corriente eléctrica que circula en el circuito. b) La energía que entrega la fuente de fem real en 30 minutos. a) I = 0.2376 [A],

E = 12 V

R=50 

0.5 

b) U = 5081.85 [J]

9. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 = 100 [], R2 = 220 [], R3 = 330 [] y R4 = 150 [];  =9 [V].

10. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 = 120 [], R2 = 220 [], R3 = 100 [] y R4 = 150 [];  =24 [V].

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108

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

11. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes y los voltajes en cada resistor, si R1 =120 [], R2 = 220 [], R3 = R4 = 330 [] y R5 = 150 [] ; =12 [V].

12. En el circuito que se muestra en la figura, la diferencia de potencial VAB es 12 [V], determine: a) La capacitancia equivalente entre los puntos A y B. b) La energía que almacena el capacitor 2. C1 = 3 [nF]

C2 = 1 [nF]

C3 = 6 [nF]

C4 = 2 [nF]

Respuestas: a) CAB = 1.2 [nF] ; b) U2 = 11.52 [nJ] 13. En el circuito con capacitores que se muestra, se sabe que VAB = 4.5 [kV], determine: a) La capacitancia equivalente entre los puntos A y B. b) La carga eléctrica almacenada en el capacitor C2. C1 = 12 [F] C2 = C3 = 3 [F] C4 = 2 [F]

4 Respuestas: a) C AB  [F] ; b) Q2 = 3 [mC] 3

14. En el laboratorio de esta asignatura, con un medidor RLC, un grupo de alumnos midió el valor del resistor y del inductor equivalentes entre los puntos A y C en los circuitos que se muestran. Se conocen los datos de algunos elementos eléctricos; con base en ello determine el valor de los elementos eléctricos faltantes. 109 Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente directa

RAC = 80 [Ω] R1 = 5 [Ω] R2 = 100 [Ω]

LAC = 7.5 [mH] L1 = 5 [mH] L3 = 3.75 [mH]

Respuestas: R3 = 300 [Ω] , L2 = 15 [mH]

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110

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente alterna

TEMA VII. CIRCUITOS ELÉCTRICOS EN CORRIENTE ALTERNA

Ejercicios resueltos 1. En la figura se muestra un circuito de corriente alterna donde v(t) = 12 sen (t) [V]. Determine: a) La corriente i(t) que circula por el resistor R1. b) El voltaje eficaz que se le aplica al resistor R2. f = 60 [Hz] R1 = 1.15 [k] R2 = 1 [k] R3 = 4.8 [k]

a) R23 =

R2 R3 R2  R3

=

(1[k] ) ( 4.8[k] ) (1  4.8 ) [k]

= 0.8276[k] ,

Req = R1 + R23 = 1.9776 [k] Req = 1 977.6 [] v (t) = Req i (t),

i (t) =

v (t) R eq

=

12 sen (t ) 1977.6 []

= 6.068  103 sen (t) [A] i (t) = 6.068 sen (t) [mA]

b) vR2 = vR3 = vR23 = R23 i (t), vR2 (t) = (827.6 [] ) ( 6.068  103 sen (t) [A] ) = 5.0219 sen (t) [V], Vef =

Vmáx 2

=

5.0219 [V ] 2

= 3.551 [V]

2. En la figura se muestra una bobina de 85 vueltas y el flujo magnético que la atraviesa varía de acuerdo con la gráfica mostrada. De acuerdo con lo anterior, determine en el intervalo 0  t  π/2 : a) La diferencia de potencial inducida entre los puntos a y b, es decir vab (t). b) La corriente eléctrica eficaz que circula por el resistor R. Indique en un diagrama su sentido.

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111

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente alterna

 (t) = 5 sen (t) [mWb]  = 2 π f = 120 π [rad/s], f = frecuencia f = 60 [Hz] R = 28 []

a)

vab   N

d ; dt

 (t) = 5 sen (ωt) [mWb] = 0.005 sen (ωt) [Wb]

d d d   0.005 sen(t)   0.005 cos(t) [t] = 0.005 ω cos (ωt) dt dt dt |vab| = |  N [0.005 ω cos (ωt)] | = (0.005) N ω cos (ωt) [Wb/s]

|vab| = (0.005) (85) (120 π) cos (120 π t) [Wb/s] = 160.2212 cos (120 π t) [V] |vab| = 160.2212 cos (ωt) [V] ; vb > va; entonces

b) |vab| = R i ;

de acuerdo con el Principio de Lenz: vab =  160.2212 cos (ωt) [V]

vab < 0

i (ωt) =

v ab (t)

i (ωt) = 5.7222 cos (ωt) [A] ;

R



160.2212 cos ( t)[V] 28 [] Ip = 5.7222 [A] , I 5.7222 [A] = 4.0462 [A] Ief = p  2 2

3. Para el circuito que se muestra, determine en el resistor equivalente entre los puntos a y b: a) La corriente i (t). b) El valor eficaz de la diferencia de potencial y de la corriente.

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

112

Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente alterna

vab (t) = √2 (100) cos (  t ) [V] , a) R R

R 100

50 Ω

150 Ω

Ω v t



√ √

100 V

V

V

0.6667 A

I

I

√ .

√

√

V

R I

I

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

R1 = R2 = R3 = 100 [Ω]

R

50 Ω

i t

0.9428 cos  t A

R i t

 Ω

b) V

o bien :

R

√

i t

I

R ;

f = 60 [Hz]

100 V 0.6667 A Ω

I

A I

A

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente alterna

Ejercicios propuestos 1. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las diferencias de potencial, en función del tiempo, en cada resistor, si R1= 100 [], R2 = 220 [], R3 = 330 [] y R4 = 150 []; v (t) = 13 sen 120t [V].

Respuestas: VR1 (t) = 1.625 sen 120t [V] VR2 (t) = 3.575 sen 120t [V] VR3 (t) = 5.363 sen 120t [V] VR4 (t) = 2.438 sen 120t [V] 2. Para el circuito eléctrico que se muestra en la figura, obtenga las corrientes eléctricas, en función del tiempo, en cada resistor, si R1 = 120 [], R2 = 220 [], R3 = 100 [] y R4 = 150 [] ; v (t) = 162.6 sen 377 t [V].

Respuestas: iR1 (t) = 0.48 sen 377t [A] iR2 (t) = 0.15 sen 377t [A] iR3 (t) = 0.33 sen 377t [A] 3. Si en el circuito eléctrico que se muestra el voltaje eficaz Vab=9 [V], obtenga la corriente i(t), en función del tiempo y la diferencia de potencial Vac(t), si R1= 4 [], R2 = 8 [], R3 = 8 [] y Vac(t)=Vp cost; f=50 [Hz] Respuestas: i (t) = 4.7729 cos 314.16t [A] Vac (t) = 50.9117 cos 314.16t [V]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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Principios de Termodinámica y Electromagnetismo Circuitos eléctricos en corriente alterna

4. En el circuito eléctrico que se muestra el voltaje entre c y d es 2 6sen377t , obtenga la corriente i(t) y el voltaje v(t), en función del tiempo, y el voltaje eficaz entre a y b (Vab), si R1= 4 [], R2 = 3 [], R3 = 10 [], R4 = 5 []

Respuestas: i (t) = 2 1.8sen377t [A]

Vac (t) = 2 18.6 sen377t [V] Vab=7.2 [V]

Bárcenas Escobar M., Gámez Leal R., Hernández Quintero A.

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