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Fundación Matemáticas Anthony Croft y Robert Davison

cuarta edición

Fundación Matemáticas Visita laFundación Matemáticas, cuarta ediciónSitio web compañero en www.pearsoned.co.uk / croftpara encontrar valiosaestudiantematerial de aprendizaje que incluyen: Paquete de Apoyo al Estudiante. Contiene resúmenes de una página de temas claves completas con ejemplos, ejercicios y respuestas Preguntas adicionales al final de su capítulo con respuestas

Trabajamos con los autores principales para desarrollar el materiales educativos más fuertes en las matemáticas, con lo que el pensamiento de vanguardia y las mejores prácticas de aprendizaje para un mercado global.

En virtud de una serie de huellas bien conocidos, incluyendo Prentice Hall, elaboramos la impresión de alta calidad y publicaciones electrónicas que ayudan a los lectores a entender y aplicar su contenido, ya sea estudiando o trabajando.

Para obtener más información sobre la gama completa de nuestra publicación, por favor visítenos en la World Wide Web en: www.pearsoned.co.uk

Fundación Cuarta edición Matemáticas Anthony Croft Universidad de Loughborough

Robert Davison De Montfort University

Pearson Educación, SA Puerta de Edimburgo Harlow Essex CM20 2JE Inglaterra

y empresas asociadas en todo el mundo Visítenos en la World Wide Web en: www.pearsoned.co.uk

Primera edición 1995 Tercera edición de 2003 Cuarta edición publicada 2006

#Pearson Educación, SA 1995, 2006 Los derechos de Anthony Croft y Robert Davison a ser identificados como autores de este trabajo ha sido afirmado por ellos de conformidad con los Derechos de Autor, Diseños y Patentes de 1988.

Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada en un sistema de recuperación o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, fotocopiado, grabación u otros, sin que el anterior permiso escrito del editor o de un permiso de copia restringida en el Reino Unido emitido por el Derecho de Autor Licensing Agency Ltd, 90 Tottenham Court Road, Londres W1T 4LP. Descripción: 978-0-13-197921-5

British Library de datos Catalogación en la fuente Un registro de catálogo de este libro se encuentra disponible en la Biblioteca Británica Biblioteca del Congreso de datos Catalogación en la fuente Croft, Tony, 1957 Matemáticas Foundation / Anthony Croft, Robert Davison.À4th ed. p. cm. Incluye índice. ISBN-13: 978-0-13-197921-5 (alk. papel) ISBN-10: 0-13-197921-3 (alk. papel) 1. Matemáticas. I. Davison, Robert. II. Título. QA37.3.C76 2006 510Àdc22 2006007747

10 9 8 7 6 5 4 3 2 10 09 08 07

Compuesta en 10 = 12,5 Times de 72 Impreso y encuadernado por Ashford Color Press, Gosport

La política de la Editorial es usar papel fabricado a partir de bosques sostenibles.

Contenido

Prefacio Visita guiada Los símbolos matemáticos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

Aritmética de los números entero Fracciones Las fracciones decimales Sets Porcentaje y relación Álgebra Índices Bases numéricas Lógica elemental Simplificar expresiones algebraicas Factorización Fracciones algebraicas La transposición de fórmulas Resolución de ecuaciones Sucesiones y series Funciones Las gráficas de las funciones La línea recta La función exponencial La función logaritmo Angles Introducción a la trigonometría Las funciones trigonométricas y sus gráficas Identidades trigonométricas y ecuaciones Solución de triángulos Matrices Medición Las rampas de las curvas Las normas de productos y cocientes de diferenciación Integración y áreas bajo la curva Integración por partes Funciones de más de una diferenciación variable y parcial Tablas y gráficos Estadística

vii ix xi 1 14 26 34 46 54 63 78 89 100 108 115 129 135 146 161 174 194 207 216 234 244 252 265 277 294 300 316 333 340 357 365 382 399

vi

Contenido

35 36 37

Probabilidad Correlación Regresión

413 422 437

Soluciones Índice

444 520

Apoyo a los recursos Visitawww.pearsoned.co.uk / croftencontrar valiosos recursos en línea Sitio web compañero para estudiantes Paquete de Apoyo al Estudiante. Contiene resúmenes de una página de temas clave completos, con ejemplos, ejercicios y respuestas Preguntas adicionales al final de su capítulo con respuestas Para los instructores Manual de soluciones que contienen soluciones a los ejercicios de prueba y de asignación en el extremo de cada uno capítulo Diapositivas de PowerPoint con personajes del libro y los puntos clave de la agenda con su relacionada ejemplos prácticos Para obtener más información, póngase en contacto con su representante de ventas local de Pearson Education o visite el sitiowww.pearsoned.co.uk / croft

Prefacio

Hoy en día, una gran variedad de disciplinas que sus alumnos tienen conocimiento de ciertas herramientas matemáticas con el fin de apreciar la aspectos cuantitativos de sus súbditos. Al mismo tiempo, la educación superior instituciones han ampliado el acceso de modo que no es mucho mayor variedad en la experiencias matemáticas preuniversitarias del alumnado. Algunos los estudiantes están regresando a la educación después de muchos años en el lugar de trabajo o en casa la educación de las familias. Fundación Matemáticas ha sido escrito para aquellos estudiantes de mayor la educación que no se han especializado en matemáticas en A o AS nivel. Es destinada a los no especialistas que necesitan un poco pero no mucho matemáticas mientras se embarcan en sus cursos de educación superior. Es probable que sea especialmente útil para aquellos estudiantes que embarcan en un Grado Fundación con contenido matemático. Se lleva a los estudiantes de alrededor de los niveles más bajos de GCSE a un estándar que les permitirá participar plenamente en un grado o diplomatura. Es ideal para aquellos el estudio de marketing, estudios de negocios, la gestión, la ciencia, la ingeniería, ciencias sociales, geografía, estudios y diseño combinados. Será útil para aquellos que carecen de la confianza y la necesidad de una orientación cuidadosa y constante en los métodos matemáticos. Incluso para aquellos cuya experiencia matemática es ya establecida, el libro será una revisión útil y guía de referencia. El estilo del libro también lo hace adecuado para aquellos que deseen participar en autoaprendizaje o el aprendizaje a distancia. Hemos tratado a lo largo de adoptar un enfoque informal, fácil de usar y se han descrito procesos matemáticos en el lenguaje cotidiano. Las ideas matemáticas suelen ser desarrollados por ejemplo en lugar de por prueba formal. Esto refleja nuestra experiencia que los estudiantes aprenden mejor de ejemplos que de desarrollo abstracto. En su caso, el ejemplos contienen una gran cantidad de detalles para que el alumno no se quede preguntándose cómo una etapa de un cálculo conduce a la siguiente. En Fundación Matemáticas, los objetivos están claramente definidos al comienzo de cada capítulo, y puntos clave y fórmulas se destacan a lo largo del libro. Autopreguntas de evaluación se proporcionan al final de la mayoría de las secciones. Estas pruebas comprensión de las características importantes de la sección y las respuestas se dan en la parte posterior del libro. Estos son seguidos por ejercicios, sino que es esencial que estos se trataron como la única manera de desarrollar la competencia y

viii

Prefacio

comprensión es a través de la práctica. Las soluciones a estos ejercicios se dan en la parte posterior del libro y se debe consultar sólo después de los ejercicios tienen ha intentado. Se presenta una nueva serie de ejercicios de prueba y asignación a Al final de cada capítulo. Estos se proporcionan para que el tutor puede establecer asignaciones regulares o pruebas a lo largo del curso. Las soluciones a estos son no proporcionado. La retroalimentación de los estudiantes que han utilizado las ediciones anteriores de este libro indica que han encontrado el estilo y el ritmo del libro útil en su estudio de las matemáticas en la universidad. Con el fin de mantener el tamaño del libro razonable nos hemos esforzado por incluir temas que creemos que son las más importantes, hacer que la mayor parte problemas para los estudiantes, y que tienen la aplicabilidad más amplia. Tenemos comenzado el libro con materiales de aritmética, incluyendo números enteros, fracciones y decimales. Esto es seguido por varios capítulos que introducir gradualmente los temas importantes y de uso común en álgebra. Los capítulos restantes presentan funciones, trigonometría, cálculo, matrices, estadística y probabilidad. Estos se pueden encontrar útiles en la cursos enumerados anteriormente. La mejor estrategia para aquellos que utilizan el libro sería leer a través de cada sección, cuidadosamente el estudio de todos los ejemplos y soluciones trabajadas. Muchas de estas soluciones se desarrollan resultados importantes que se necesitan más tarde en el libro. Entonces es una buena idea para cubrir la solución y tratar de trabajar el ejemplo de nuevo de forma independiente. Es solamente haciendo el cálculo de que dejaré dominar las técnicas necesarias. Al final de cada sección de la preguntas de autoevaluación se debe intentar. Si estos no pueden ser contestadas entonces las páginas anteriores se deben trabajar a través de nuevo con el fin de encontrar las respuestas en el texto, sin consultar con las respuestas dadas en la parte posterior del libro. Por último, los ejercicios se debe intentar, una y otra vez, las respuestas deben examinarse regularmente con los que figuran en la parte posterior del libro. En conclusión, recuerde que el aprendizaje de matemáticas requiere tiempo y esfuerzo. Llevar a cabo un gran número de ejercicios permite al estudiante experimentar una mayor variedad de problemas y construir así la experiencia y confianza. Armado con estos el alumno será capaz de hacer frente a más problemas no familiares y exigentes que se plantean en otros aspectos de su Por supuesto.

Esperamos que usted encuentre la Fundación Matemáticas útil y desea que el muy mejor de las suertes. Anthony Croft, Robert Davison 2006

Visita guiada

Puntos clave destacan importantes resultados que necesitan ser denominado con facilidad o recordado.

11111112

Ejemplos resueltos se incluyen en el libro para reforzar el aprendizaje de los estudiantes y para ilustrar un paso a paso enfoque para resolver problemas matemáticos.

011

x

Visita guiada

Se proporcionan Preguntas de autoevaluación al final de la mayoría de secciones para probar comprensión de las partes importantes de la sección. Las respuestas se dan en el parte posterior del libro.

11111112

Ejercicios son una oportunidad clave para desarrollar la competencia y la comprensión a través de la práctica. Las respuestas se dan en la parte posterior del libro.

11111112

Ejercicios de ensayo y de asignación (con las respuestas proporcionadas en un Manual de Profesores 'aparte) permitir que los profesores y tutores para establecer tareas o exámenes regulares durante el curso.

011

Los símbolos matemáticos

þ

más

À

menos

Æ

más o menos

Â

multiplicar por

Á

multiplicar por

Ä

dividir por

¼

es igual a es idénticamente igual a

%

es aproximadamente igual a

6 ¼ no es igual a >

es mayor que

Ç

es mayor que o igual a


0, la gráfica de y¼e2xse eleva más rápidamente que la de los y¼2ex. Pasamos ahora la atención sobre una función asociada: y¼eHacha. Los valores se enumeran en la Tabla 19.3 y la función se ilustra en la figura 19.3. De la tabla y el gráfico observamos las siguientes propiedades de y¼eHacha: (A) La función nunca es negativo. (B) Cuando x¼0, la función tiene un valor de 1. (C) Como x aumenta, entonces eHachadisminuye, acercándose más a 0. Esto se conoce como decaimiento exponencial.

212

La función exponencial

Cuadro 19.3

x

À3

À2

A1

0

1

2

3

3

2

1

0

A1

À2

À3

7.3891

2.7183

1

0.3679

0.1353

0.0498

Hacha

eHacha 20.086

Figura 19.3 Gráfico de y¼eHacha

Preguntas de autoevaluación 19.2 1. Lista de propiedades que son comunes a y¼exe Y¼eHacha. 2. Al elegir x suficientemente grande, entonces eHachase puede hacer para ser negativo. Verdadero o falso?

Ejercicio 19.2 1. Elaborar una tabla de valores de y¼e3xpara x entre A1y 1 a intervalos de 0,2. Dibuje la gráfica de y ¼e3x. Comentario de su forma y propiedades. 2. Una especie de animal tiene la población P (t) en el tiempo t dado por P¼10À5e

En

(A) Dibuja una gráfica de P contra t para 0 ˘t˘5. (B) ¿Cuál es el tamaño de la población de la especie como t se vuelve muy grande?

(B) ¿Qué valor tiene la concentración acercarse cuando t se hace grande? 4. Las funciones hiperbólicas senh x y cosh x se definen por exÀeHacha senh x¼

exþeHacha cosh x¼

2

2

(A) Demuestre ex¼cosh xþsenh x: (B) Mostrar la direcciónHacha¼cosh xÀsenh x: 5. Exprese 3 senh xþ7 cosh x en términos de funciones exponenciales.

3. La concentración, c (t), de un producto químico en 6. Expresar 6exÀ9eHachaen términos de senh x una reacción es modelada por la ecuación y cosh x: c (t)¼6þ3eA2T (A) Dibuja una gráfica de c contra t para 0 ˘t˘2:

7. Show (cosh x)2À(Senh x)2¼1.

19.3

Y

Solución de ecuaciones que involucran términos exponenciales usando un método213 gráfico

19.3 Solución de ecuaciones que involucran términos exponenciales utilizando un método gráfico Muchas ecuaciones que involucran términos exponenciales se pueden resolver mediante gráficos. Un método gráfico producirá una solución aproximada, que puede luego ser refinado por la elección de un intervalo más pequeño para el dominio. La siguiente ejemplos ilustran la técnica.

Ejemplo práctico 19.7

(A) Parcela y¼eX = 2e Y¼2eHachaparaA1˘x˘1. (B) Por lo tanto resolver la ecuación ex = 2À2eHacha¼0

Solución

Cuadro 19.4

(A) Una tabla de valores está redactado para el correox = 2y 2eHachapor lo que los gráficos pueden redactarse. Tabla 19.4 enumera los valores y la figura 19.4 muestra la gráficas de las funciones.

x

A1

± 0.75

A0.5

± 0,250

ex = 2

0.607

0.687

0.779

0.882

1 1.133 1.284 1.455 1.649

2eHacha 5.437

4.234

3.297

2.568

2 1.558 1.213 0.945 0.736

0.25

0.5

0.75

1

Figura 19.4 Las gráficas de y¼ex = 2 e Y¼2eHachacruzarse en A

(B) Observamos que las gráficas se intersecan, el punto de intersección es A. El ecuación ex = 2À2eHacha¼0

214

La función exponencial

es equivalente a ex = 2¼2eHacha Las gráficas de y¼ex = 2e Y¼2eHachase cortan en un, donde x¼Doce y cuarenta y cuatro. Por lo tanto x¼Doce y cuarenta y cuatro es una solución aproximada de correo x = 2À2eHacha¼0. La respuesta exacta puede demostrarse que es 0,46 (2 D.P.).

Ejercicio 19.3 1. (A) Parcela y¼15Àx2e Y¼expara 0 ˘x˘3. (B) Por lo tanto, encontrar una solución aproximado a exþx2¼15

(B) exÀ01:05¼0 (C) exÀxÀ5¼0 exx (D)þ À5¼0 22 4. (A) Dibuje y¼2þ6eEnpara 0˘t˘3

2. (A) Parcela y¼12x2À1 e Y¼3eHachapara A1˘x˘1. (B) declarar lo que ya dos solución aproximada ciones de 3e Hacha¼12x2À1.

(B) Utilice la gráfica para hallar una casolución imate a 2þ6eEn¼5 (C) Añadir la recta y¼tþ4 a su gráfico y por lo tanto encontrar una solución aproximada ción a

3. Dibujando y¼exparaÀ3˘x˘3 y líneas apropiadas adicionales resuelven el siguientes ecuaciones: (A) e xþx¼0

6eEn¼tþ2

Prueba y asignación de ejercicios de 19 1. Usa una calculadora para evaluar 1 (A) e A3: 1(B) e0:2(C) e 2. (A) Dibuje las gráficas de y¼e

Hacha

e Y¼

(B) resuelva lo tanto la ecuación 2eHachaÀx¼0

x 2

para 0˘x˘2. 3. Simplifique cuando sea posible: e 2xe3x 2x 3A3X x 2x A3X(A) e e e (b) (C) (e) e e 4x

(D) e

2x

þe

3x

Àe

5x

e3xþe5x (E) e2x

19.3

Y

Solución de ecuaciones que involucran términos exponenciales usando un método215 gráfico

4. Amplíe los soportes de: (B) (eHachaÀ1)2

(A) (exÀ1)2

(D) 2ex(EHachaþ3ex)

(C) e2x(Exþ1)

5. Simplificar (A) etet = 2 e2zþ3e5Àz (E) ezþ2

(C) e3x(ExÀe2x)À(E2x)2 (B) e2e3e pffiffiffiffiffiffi (F) e4z (G) (Ex = 2ex)2

(D) e3þte5À2t pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffi (H) e2tþ2e2tþ1þe2tþ2

etþe2t (I) e2tþe3t 6. Utilice un método gráfico para resolver (A) e

2x

¼2xþ2

(B) e

Hacha

¼2Àx

2

x3

x (C) e¼2þ

2 7. (A) Dibuje las gráficas de

(B) Utilice los gráficos para resolver

y¼2þeHachae Y¼ex

exÀeHacha¼2

para 0˘x˘2. 8. Retire los soportes de las siguientes expresiones: (B) et(EtÀeEn) (A) (e2t)4 (C) e2a(E3yþeA2Yþey) 9. La altura del mercurio en un experimento, H (t), varía según H (t)¼10þ3eEnÀ4eA2T ¿Qué valor tiene el enfoque H como t hace muy grande? 10. Dado 3þ2e2t X (t)¼ 4þe2t encontrar el valor que X se acerca como t hace muy grande.

(D) (1þet)2

La función logaritmo

Objetivos:

20

En este capítulo: Y

explica 'la base del logaritmo' el término

Y

muestra la forma de calcular el logaritmo de un número en cualquier base

Y

establece las leyes de los logaritmos y las utiliza para simplificar expresiones

Y

muestra cómo resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Y

define la función logaritmo

Y

ilustra gráficamente la función logaritmo

20.1 logaritmos Introducción Dada una ecuación tal como 125¼53, Llamamos a 5 de la base y 3 el poder o índice. Podemos usar logaritmos para escribir la ecuación en otra forma. La forma logaritmo es log5125¼3 Esto se lee como 'logaritmo en base 5 de 125 es 3'. En general, si y¼unx entonces loguny¼x

Punto clave

y¼unxy el registro deuny¼x son equivalentes. 'El logaritmo en base a de y es x' es equivalente a decir que 'y es una de la potencia x '. La palabra logaritmo es usualmente reducido a sólo 'log'.

20.1

Y

La introducción de los logaritmos 217

Ejemplo práctico 20.1

Anote la forma logarítmica de los siguientes: (A) 16¼42

Solución

(B) 8¼23

(C) 25¼52

(A) 16¼42puede ser escrito como 2¼log416 es decir, 2 es el logaritmo a la base 4 de 16. (B) 8¼23puede expresarse como 3¼log28 que se lee como '3 es el logaritmo en base 2 de 8 '. (C) 25¼52puede expresarse como 2¼log525 es decir, 2 es el logaritmo a la base 5 de 25.

Dada una ecuación tal como 16 ¼42entonces "tomar registros 'a la base 4 resultará en el registro de forma logarítmica416¼2.

Ejemplo práctico 20.2

Escribe la forma exponencial de los siguientes: (A) de registro216¼4(B) registro327¼3 (C) registro5125¼3 (D) de registro10100¼2

Solución

(A) A continuación, la base es 2 y así podemos escribir 16¼24. (B) La base es 3 y así 27¼33. (C) La base es 5 y así 125¼53. (D) La base es 10 y así 100¼102.

Aunque la base de un logaritmo puede ser cualquier número positivo distinto de 1, las Recordemos que el correo es el bases utilizadas son 10 y e. Los logaritmos de base 10 son a menudo denotado por "registro" o "log10'; Logaritmos en base e se indican con' ln 'o' loge' constante 2,71828 ..., se refirió a los logaritmos como naturales. La mayoría de las calculadoras científicas que se produce con frecuenciayen fenómenos naturales. poseen 'log' y botones 'ln', que se utilizan para evaluar los logaritmos en base 10 y la base e.

Ejemplos resueltos 20.3

Usa una calculadora científica para evaluar lo siguiente: (A) log 71

(B) En 03:07 (C) iniciar 0:4615 (D) En 0:5

(E) En 1000

218

La función logaritmo Solución

Usando una calculadora científica obtenemos (A) log 71¼1:8513 (b) ln 03:07¼1:3083 (c) iniciar 0:4615¼ A0: 3358 (D) En 0:5¼ A0: 6931(E) En 1000¼6:9078 Usted debe asegurarse de que sabe cómo utilizar su calculadora para verificar estos resultados.

20.4

Dada 100:6990¼5 evaluar lo siguiente: (A) 101:6990

Solución

(B) log 5

(C) iniciar 500

(A) 101:6990¼101: 100:6990¼10 (5)¼50 (B) Se nos ha dado 100:6990¼5 y mediante la adopción de registros a la base 10 obtenemos 0:6990 ¼log 5. (C) A partir de 100:6990¼5 podemos ver que 100 (5)¼100 (100:6990) y entonces 500¼102: 100:6990¼102:6990 Tomando los registros a la base 10 da ingrese 500¼2:6990

Pregunta de autoevaluación 20.1 1. La base de un logaritmo es siempre un número entero positivo. Verdadero o falso?

Ejercicio 20.1 1. Usa una calculadora científica para evaluar (A) ingrese 150 (b) ln 150 (C) iniciar 0:316 (d) En 0:1 2. Anote la forma logarítmica de la siguiente: (A) 3 8¼6561 (b) 65¼7776 (C) 2 10¼1024 (d) 105¼100000 (E) 4 7¼16384 0 15 1 (F) @ A¼0:03125 2 (G) 123¼1728

(H) 94¼6561

3. Escribe la forma exponencial de las actividades complementarias ción: (A) de registro61296¼4 (b) de registro15225¼2 (D) de registro72401¼4 (c) de registro8512¼3 (F) registro6216¼3 (e) registro3243¼5 (G) registro208000¼3 (h) registro164096¼3 (I) registro 24096¼12 4. Dada 100:4771 ¼3, evalúe lo siguiente: (A) log 3 (b) log 300 (c) log 0,03 5. Dada registro 7¼0:8451 evaluar el seguimiento ción: (A) 100.8451(B) log 700 (c) log 0,07

20.2

Y

Cálculo de logaritmos de cualquier base 219

20.2 Cálculo de logaritmos a cualquier base Enx20.1nos mostró cómo las ecuaciones de la forma y¼unxpodría ser escrito en forma logarítmica como loguny¼x. El número a, llamado base, es siempre positivo, es decir, una>0. También introdujimos las bases comunes y 10 e. Las calculadoras científicas se programan con logaritmos en base 10 y para base e. Supongamos que queremos calcular logaritmos a bases distintas de 10 o por correo. Por ejemplo, en teoría de la comunicación, a los logaritmos de base 2 son utilizado comúnmente. Para calcular logaritmos basar un usamos uno de los siguientes dos fórmulas:

Punto clave

logunX¼

log10X

logunX¼

log10un

ln X En un

Ejemplo práctico 20.5 Solución

Evaluar (a) log619, (b) registro729. (A) Utilizamos la fórmula logunX¼

log10X log10un

Comparando registro619 con registrounX vemos X¼19 y un¼6. Así log619¼

log1019 log106

¼

1:2788

¼1:6433

0:7782

Podríamos haber utilizado igualmente bien la fórmula logunX¼

ln X En un

Con esta fórmula se obtiene log619¼

ln 19 ln 6

¼

2:9444

¼1:6433

1:7918

(B) La comparación de registrounX con el registro729 vemos X¼29 y un¼7. Por lo tanto log1029 1:4624 log729¼ ¼ ¼1:7304 log107 0:8451

220

La función logaritmo

Alternativamente usamos log729¼

ln 29 ln 7

¼

3:3673

¼1:7304

1:9459

Al tener en cuenta la fórmula log10X

logunX¼

log10un con X¼un obtenemos logunun¼

log10un

¼1

log10un

Punto clave

logunun¼1 Este mismo resultado podría obtenerse escribiendo la forma logaritmo de un¼un1.

Ejercicio 20.2 1. Evalúe las siguientes acciones: (A) de registro46 (b) de registro310 (C) registro20270 (G) registro10010 (f) de(H) registro77 registro20:03 2. Demostrar que

(D) de registro50:65 (E) registro2100

2:3026 registro10X¼ln X 3. Evaluar el siguiente (A) de registro37þlog47þlog57

(B) registro84þlog8Doce y (C) registro0:72(D) de registro20:7 veinticinco

20.3 Leyes de logaritmos Logaritmos obedecen varias leyes, que ahora examinamos. Se introducen a través de ejemplos.

Ejemplo práctico 20.6

Evaluar (a) ingrese 7, (b) log 12, (c) log 84 log 7þingrese 12. Opina sobre sus hallazgos.

20.3 Solución

Y

Leyes de los logaritmos 221

(A) ingrese 7¼0:8451 (b) log 12¼1:0792 (C) log 84¼1:9243, y registro 7þlog 12¼0:8451þ1:0792¼1:9243 Tomamos nota de ese registro 7þlog 12¼ingrese 84.

Ejemplo 20.6 ilustra la primera ley de los logaritmos, que establece:

Punto clave

log Aþlog B¼iniciar AB Esta ley es válida para cualquier base. Sin embargo, en un cálculo cualquier todas las bases debe ser el mismo.

Ejemplos resueltos 20.7

Simplificar a un solo término log (A) ingrese 9þlog x (B) log tþiniciar 4t (C) iniciar 3x2þiniciar 2x

Solución

(A) ingrese 9þlog x¼iniciar 9x (B) registro de tþiniciar 4t¼log (t: 4t)¼iniciar 4t2 (C) iniciar 3x2þiniciar 2x¼log (3x2: 2x)¼iniciar 6x3

20.8

Simplificar (A) log 7þlog 3þlog 2 (B) iniciar 3xþlog xþiniciar 4x

Solución

(A) Sabemos registro 7þlog 3¼log (7Â3)¼ingrese 21, y así log 7þlog 3þlog 2¼log 21þlog 2 ¼log (21Â2)¼log 42 (B) Tenemos iniciar 3xþlog x¼log (3x: x)¼iniciar 3x2 y entonces iniciar 3xþlog xþiniciar 4x¼iniciar 3x2þiniciar 4x ¼log (3x2: 4x)¼log 12x3

Consideremos ahora un ejemplo que introduce la segunda ley de la logaritmos.

222

La función logaritmo Ejemplo práctico

20.9

Solución

(A) Evaluar log 12, ingrese 4 y log 3. (B) Comparar los valores de log 12Àingrese 4 y log 3. (A) log 12¼1:0792; ingrese 4¼0:6021; identifícate 3¼0:4771. (B) de la parte (a), log 12Àingrese 4¼1:0792À0:6021¼0:4771 y también log 3¼0:4771 Tomamos nota de que log 12Àingrese 4¼log 3.

Este ejemplo ilustra la segunda ley de logaritmos, que establece:

Punto clave

01 La log AÀlog B¼log@ A B

Ejemplos resueltos

20.10

Utilice la segunda ley de logaritmos para simplificar el siguiente para un solo registro plazo: (A) log 20Àlog 10 (b) iniciar 500Àlog 75 (D) registro de 5a3Àlog y

Solución

(C) iniciar 4x3Àiniciar 2x

(A) El uso de la segunda ley de logaritmos tenemos 01 20 log 20 Àlog 10¼log@ A¼log 2 10 010 1 50020 La¼log@ A(B) iniciar 500Àlog 75¼log@ 753 01 34x La¼iniciar 2x2(C) iniciar 4x3Àiniciar 2x¼log@ 2x 01 35a La¼iniciar 5a2(D) registro de 5a3Àlog y¼log@ y

20.3 20.11

Y

Leyes de los logaritmos 223

Simplificar (A) log 20þlog 3Àingrese 6 (B) log 18Àlog 24þlog 2

Solución

(A) El uso de la primera ley de los logaritmos vemos que log 20þlog 3¼log 60 y entonces log 20þlog 3Àingrese 6¼log 60Àingrese 6 El uso de la segunda ley de logaritmos vemos que 01 60 log 60 Àingrese 6¼log@ A¼log 10 6 Por lo tanto log 20 þlog 3Àingrese 6¼log 10 01 18 (B) log 18Àlog 24þlog 2¼log@ Aþlog 2 24 01 3 ¼log@ Aþlog 2 4 01 3 ¼log@Â2La 4 ¼iniciar 01:05

20.12

Simplificar (A) log 2þiniciar 3xÀiniciar 2x (B) 5a registro2þiniciar 4yÀingrese 10y2

Solución

(A) log 2þiniciar 3xÀiniciar 2x¼log (2Â3x)Àiniciar 2x ¼iniciar 6xÀiniciar 2x 01 6x ¼log@ A¼log 3 2x (B) 5a registro2þiniciar 4yÀingrese 10y2¼log (5a2: 4y)Àingrese 10y2 ¼ingrese 20y3Àingrese 10y2 01 320y La¼iniciar 2a¼log@ 210y

224

La función logaritmo

Se considera un caso especial de la segunda ley. Considere la posibilidad de iniciar un Àingrese A. Esto es claramente 0. Sin embargo, utilizando la segunda ley podemos escribir 01 La log A Àlog A¼log@ A¼log 1 La Así

Punto clave

log 1¼0 En cualquier base, el logaritmo de 1 es igual a 0. Por último, se introduce la tercera ley de los logaritmos.

Ejemplo práctico 20.13

Solución

(A) Evaluar log 16 log 2. (B) Compare ingrese 16 y 4 log 2. (A) log 16¼1:204; log 2¼0:301. (B) log 16¼1:204; 4 log 2¼1:204. Por lo tanto vemos que 4 log 2¼ingrese 16.

Tomando nota de que el 16 por¼24Ejemplo 20.13 sugiere la tercera ley de logaritmos: n log A¼log An

Punto clave

Esta ley se aplica si n es un entero, fraccionario, positivo o negativo.

Ejemplos resueltos 20.14

Escribe lo siguiente como una sola expresión logarítmica: (A) 3 log 2

Solución

(B) 2 log 3

(C) 4 log 3

(A) 3 log 2¼log 23¼ingrese 8 (B) 2 log 3¼log 32¼ingrese 9 (C) 4 log 3¼log 34¼log 81

20.15

Escribir como un término único registro 1 (A) log 16 (b)Alog4 (c)À2log 2 2 1

Solución

(A) 2

pffiffiffiffiffi log 16¼log 161 = 2¼log 16¼ingrese 4

1 (D)Àiniciar 0:5 2

20.3

Y

Leyes de los logaritmos 225

01 1 (B)Alog4¼ A1: log4¼ingrese 4A1¼log@ A¼ingrese doce y veinticinco 4 0 10 1 11 (C)À2log 2¼log 2À2¼log@ A¼log@ A¼ingrese doce y veinticinco 224 0 10 1A1 = 2 pffiffiffi1111 (D)Àiniciar 0:5¼ Àlog@ A¼log@ A¼log 21 = 2¼log 2 2222 20.16

Simplificar (A) 3 log xÀlog x2 (B) 3 log t3À4 log t2 (C) iniciar YÀ3 log 2Yþ2 log 4Y

Solución

(A) 3 log xÀlog x2¼log x3Àlog x2 01 x3 @ A¼log x2 ¼log x (B) 3 log t3À4 log t2¼log (t3)3Àlog (t2)4 ¼log t9Àlog t8 01 t9 ¼log@ A t8 ¼log t (C) iniciar YÀ3 log 2Yþ2 log 4Y¼log yÀlog (2Y)3þlog (4Y)2 ¼log yÀiniciar 8Y3þiniciar 16Y2 01 2Y: 16Y La¼log@ 38Y ¼log 2

20.17

Simplificar 1 (A) 2 de registro 3xÀlog 16x2 2 01 31 (B) iniciar 4x2Àlog@ A 2x 0 10 1 22 (C) 2 log@ AÀ3 log@ A x2x

226

La función logaritmo

Solución

1 (A) 2 de registro 3xÀlog 16x2¼log (3x)2Àlog (16x2)1 = 2 2 ¼iniciar 9x2Àiniciar 4x 01 29x La¼log@ 4x 01 9x ¼log@ A 4 01 31 (B) iniciar 4x2Àlog@ A¼log (4x2)3 = 2Àlog (xA1) 2x ¼iniciar 8x3þlog x ¼ iniciar 8x4 0 10 130 10 12 2222 (C) 2 log@ AÀ3 log@ A¼log@ AÀlog@ A x2xx2x 0 10 1 48 ¼log@ AÀlog@ A x4x3 01 44 = x La¼log@ 38 = x 01 1 ¼log@ A 2x

Pregunta de autoevaluación 20.3 1. Indique las tres leyes de los logaritmos.

Ejercicio 20.3 1. Escriba el siguiente como un término único registro 2. Simplificar tanto como sea posible: usando las leyes de los logaritmos: (A) log 3 þlog x (A) ingrese 5 þingrese 9 (b) iniciar 9Àingrese 5 (B) log 4 þiniciar 2x (C) log 5 Àingrese 9 (d) 2 log 5þlog 1 (C) iniciar 3X Àiniciar 2X (E) 2 log 4 À3 log 2 (f) log 64À2 log 2 (D) log T 3Àlog T (G) 3 log 4 þ2 log 1þlog 27À3 log 12 (E) iniciar 5X þiniciar 2X

20.4

3. Simplificar pffiffiffi (A) 3 log XÀiniciar X2(B) log yÀ2 log y 1 (C) 5 log x 2þ3 log x (D) 4 log X À3 log X2þiniciar X3 (E) 3 log y01:04þ2 log y0:4Àlog y01:02

Y

Solución de ecuaciones con logaritmos

227

01 1pffiffiffi (H) 4 log xþ2 log@ A x 1 (J) Un registroÀiniciar 4A 2 iniciar 9xþiniciar 3x2

(I) 2 log xþ3 log t

(K) 3

4. Simplifique la siguiente medida de lo posible utilizando las leyes de los logaritmos: (A) iniciar 4x Àlog x (b) registro de t3þlog t4 01 t (C) iniciar 2t Àlog@ A 4 0 10 1 3x (D) log 2 þlog@ AÀlog@ A x2 0 10 10 1 2t61 (E) registro@ Aþlog@ AÀlog@ A 3JT (F) 2 log yÀlog y2

0 10 1 xy (L) log xyþ2 log@ Aþ3 log@ A yx 0 10 1 AB (M) de registro@ AÀlog@ A BA 0 10 1 2T11 (N) log@ Aþiniciar 9tÀlog@ A 32t 5. Exprese como un término único de registro: log10Xþln X 6. Simplificar (A) log (9x À3)Àlog (3xÀ1) (B) log (x 2À1)Àlog (xþ1) (C) log (x 2þ3x)Àlog (xþ3)

01 1 (G) 3 log@ Aþlog t2 t

20.4 Solución de ecuaciones con logaritmos En esta sección se muestra el uso de logaritmos en la solución de ciertos tipos de ecuaciones. Como referencia tomamos nota dex20.1la equivalencia de y¼unxy el registro deuny¼x y desdex20.3las leyes de los logaritmos: log Aþlog B¼iniciar AB 01 La log AÀlog B¼log@ A B n log A¼log An

228

La función logaritmo Ejemplos resueltos

20.18

Resuelve las siguientes ecuaciones: (A) 10x¼59

Solución

(B) 10x¼Doce y treinta (C) eyx¼100 siete

(D) ex¼0:5

(A) 10x¼59 Tomando los registros de base 10 da x¼log 59¼1:7709 (B) 10x¼Doce y treinta y siete Tomando los registros de base 10 da x¼ingrese doce y treinta y siete¼ A0: 4318 (C) ex¼100 Tomando los registros de base e da x¼ln 100¼4:6052 (D) ex¼0:5 Tomando los registros de base e tenemos x¼En 0:5¼ A0: 6931

20.19

Resuelve las siguientes ecuaciones: (A) log x¼1:76 (b) ln x¼ A0: 5(C) registro (3x)¼0:76 01 x (D) En@ A¼02:06 (e) log (2xÀ4)¼01:01 (f) Ln (7À3x)¼1:75 2

Solución

Observamos que si logunX¼n, entonces X¼unn. (A) log x¼1:76 y así x¼101:76. Uso de la cm xyBotón "de un científico calculadora encontramos x¼101:76¼57:5440 (B) ln x¼ A0: 5 x¼eA0: 5¼0:6065 (C) iniciar 3x¼0:76 3x¼100:76 100:76 x¼

¼1:9181 3

20.4

Y

Solución de ecuaciones con logaritmos

01 x (D) En@ A¼02:06 2 x

¼e02:06

2 x¼2e02:06¼26:9275 (E) registro (2xÀ4)¼01:01 2xÀ4¼1001:01 2x¼1001:01þ4 1001:01þ4 x¼

¼8:2946 2

(F) ln (7À3x)¼1:75 7À3x¼e1:75 3x¼7Àe1:75 7Àe1:75 x¼

¼0:4151 3

20.20

Resuelve lo siguiente: 0 1 01 x1 (B) ln@þ1Laþln@ A¼ A1 3x

(A) e3þx: Ex¼1000 (C) 3exÀ1¼75

Solución

(D) log (xþ2)þlog (XÀ2)¼01:03

(A) El uso de las leyes de los logaritmos que tenemos e3þx: Ex¼e3þ2x Por lo tanto e3þ2x¼1000 3þ2x¼En 1000 2x¼ln (1000)À3 ln (1000)À3 x¼

¼1:9539 2

229

230

La función logaritmo

(B) El uso de las leyes de los logaritmos podemos escribir 0 10001011 1 x1x11 1 ln@þ1Laþln@ A¼ln@ @þ1Un Un¼ln@þLa 3x3x3 x Así 0 1 11 ln@þLa¼ A1 3x 11 þ ¼eA1 3x 1

1

¼eA1À

3

x 1

¼0:0345

x x¼28:947 (C) 3exÀ1¼75 exÀ1¼25 xÀ1¼ln 25 x¼ln 25þ1¼4:2189 (D) El uso de la primera ley, podemos escribir log (xþ2)þlog (xÀ2)¼log (xþ2) (xÀ2)¼log (x2À4) Por lo tanto log (x2À4)¼01:03 x2À4¼1001:03 x2¼1001:03þ4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi x¼1001:03þ4¼4:8941

Ejercicio 20.4 1. Resuelve las siguientes ecuaciones, dando su respuesta a la 4 D.P.: (A) log x ¼1:6000 (b) 10x¼75 (C) ln x ¼1:2350 (d) ex¼36

2. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones, dar su respuesta a 4 D.P.: (A) registro (3t) ¼1:08 (b) 102t¼150 (C) ln (4t) ¼02:08 (d) e3t¼90

20.5

Y

231

(K) Ln (2r3þ1)¼3:0572 2ln (log t)¼ a0: 3(M) (L) (N) 10tÀ1¼180 4103r¼170 000 (O) log (10t)¼1:06 (p) ln (ex)¼20 000

3. Resuelve las siguientes ecuaciones, dando su respuesta a la 4 D.P.: (A) log x ¼0:3940 (b) ln x¼0:3940 (C) 10 y¼05:05 (d) ez¼5000 1 t (E) registro (3)¼1:6512 (F) ln@ A¼1 6 (G) 102rþ1¼25

Propiedades y gráfica de la función logaritmo

4. Resuelve las siguientes ecuaciones: (A) e 3x: E2x¼59 (B) 10 3t: 104Àt¼27 (C) log (5 Àt)þlog (5þt)¼01:02 (D) log x þln x¼4

(H) e(2tÀ1) = 3¼7:6700

(I) log (4b2)¼2:6987 01 6 La¼01:05 (j) registro@ 2þt

20.5 Propiedades y gráfica de la función logaritmo Valores de registro de X y ln x se dan en la Tabla 20.1, y gráficas de las funciones y¼log x e y¼ln x se ilustran en la figura 20.1. La siguiente adecuadalos lazos se observan en los gráficos: (A) Como x aumenta, los valores de log xy ln x aumento. (B) log 1¼ln 1¼0. Cuadro 20.1

Figura 20.1 Gráficas de y¼log x y y¼ln x

x

0.01

0.1

0.5

1

2

5

10

100

log x

À2

A1

À0.30

0

0.30

0.70

1

2

ln x

À4.61

À2.30

À0.69

0

0.69

1.61

2.30

4.61

232

La función logaritmo

(C) Cuando x tiende a 0 los valores de log xy ln x aumento negativamente. (D) Cuando x