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02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- Un sistema electrónico avisa peligro cuando al menos dos de sus tres componentes (A, B, C) fallan. Suponga que la probabilidad de que falle A es 0.2, que falle B es 0.15 y que falle C es 0.2. Asuma además que la falla de C es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que falle B sabiendo que ha fallado A es 0.5 1.1) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro 1.2) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro debido a la falla de sólo dos de sus componentes 2.- El circuito siguiente constituido por 5 dispositivos funciona si y sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha (de E hacia S). Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente. En la figura siguiente se indica la probabilidad de falla de cada uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito esté en funcionamiento en S? 1

2

4

0,01

0,01

0,1

E

S 0,1

0,1

3

5

3.- El MOP contempla la construcción de 4 nuevas carreteras, para lo cual llamará a 4 licitaciones. Por las condiciones impuestas sólo podrían adjudicárselas, las empresas Alfa y Beta. Estas empresas, por decisión de sus respectivos directorios, llegaron al acuerdo siguiente: si una de ellas se adjudica dos de las carreteras en forma consecutiva, la otra no seguirá participando. Por antecedentes que se manejan, Alfa tiene una probabilidad constante de ganar en cualquiera de estas licitaciones de 0.6 y Beta de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que Beta “no siga participando”? 4.- Una multitienda en su Departamento de Electrónica tiene para la venta computadores que son armados a requerimiento de los clientes. Estos computadores pueden presentar problemas en su tarjeta de video, modem, adaptador de red, entre otros. Se sabe que la probabilidad que presente problemas: en la tarjeta de video es 0.12; en el modem 0.08 y en el adaptador de red 0.1. La probabilidad de que presente problema en el adaptador de red y tarjeta de video es 0.025, la probabilidad que presente problema en el modem o en el adaptador de red es 0.15. De los computadores que presentan problema en el modem, la probabilidad que tenga problema la tarjeta de video es 0.625. La probabilidad de que un computador presente sólo problema en la tarjeta de video es 0.055 4.1) Un cliente compra un computador y este presenta problema en el adaptador de red ¿Cuál es la probabilidad que tenga problema en el modem o en la tarjeta de video? 4.2) Si un cliente compra 3 computadores de los armados en la multitienda ¿Cuál es la probabilidad que dos presenten problema solo en la tarjeta de video?

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

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02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

5.- En cierta metrópolis los motivos de viaje en día laboral corresponden a 26% por trabajo, 18% por estudio y el resto corresponde a otros motivos. Además, se sabe que el 38% del total de viajes se hace caminando y el 62% corresponde a viajes realizados en algún medio motorizado (bus, auto, metro, taxi, etc.). De los viajes realizados por motivos distintos a trabajo y estudio el 44% se efectúa caminando. De los viajes que se efectúan por motivos de estudios el 58% se hace en un medio motorizado 5.1) ¿Cuál es la probabilidad que un viaje por trabajo, se haga caminando? 5.2) Se elige aleatoriamente y en días distintos dos viajes de los que se han efectuado por motivos de estudio, ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno de ellos se efectúe en locomoción motorizada? 6.- Niko Electronics Company es una empresa que se dedica a grabar CD’s: con música, software, juegos, etc. Estos CD’s pueden tener los siguientes tipos de defectos; los cuales son independientes entre sí: estar rayados (R), mal copiados (M) o quebrados (Q). Se sabe que el 5% de los CD’s quedan mal copiados, el 8,2935% de los CD’s están solo quebrados. De los CD’s rayados, el 91% no están quebrados. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un CD este tenga al menos uno de estos tres tipos de defectos? 7.- Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos. El 8% de la producción presenta el defecto de tipo A, el 5% de la producción presenta el defecto de tipo B, se supone que no hay pieza que tengan los dos tipos de defectos y que el resto de las piezas no tienen defecto. Después de ser producida cada pieza es sometida de manera automática a un test de ruptura, con las siguientes posibilidades: Si la pieza tiene el defecto de tipo A, tiene una probabilidad de 0,90 de romperse. Si la pieza tiene el defecto de tipo B, tiene una probabilidad de 0,95 de romperse. Finalmente, si la pieza no tiene ningún tipo de defecto, tiene una probabilidad de 0,01 de romperse. 7.1) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar, de la producción, se rompa cuando es sometida al test? 7.2) Se eligen al azar y en forma independiente 3 piezas de la producción: 7.2.1) Si las piezas elegidas resultan no rotas en la aplicación del test, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una presente defecto tipo A? 7.2.2) Se define la variable aleatoria discreta: “𝑥= N° de piezas que se rompen en la aplicación del test, entre las tres piezas elegidas” Determine distribución de probabilidad de 𝑥 y el número esperado de piezas que se rompen en la aplicación del test. 8.- Un prefabricado de hormigón puede presentar defectos, que pueden inutilizarlo. Los defectos que puede presentar son: no cumplir con las dimensiones requeridas; no tener la resistencia adecuada o bien, otro defecto. El 7% de los prefabricados de hormigón presenta problemas en sus dimensiones, el 2% no tienen una resistencia adecuada y un 2,5% presenta otro tipo de defecto. Si los defectos ocurren en forma independiente: 8.1) ¿Qué porcentaje de los prefabricados de hormigón presentan alguno de estos defectos?

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8.2) Si se elige un prefabricado de hormigón para ser inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad que presente solo defecto de resistencia? 8.3) Se inspeccionan prefabricados de hormigón hasta encontrar uno que presente problema de dimensiones. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan inspeccionados más de 3 prefabricados? 9.- En cierta región el mercado de telefonía celular está cubierto por 3 compañías. La compañía A cubre el 60% del mercado, la compañía B el 25% y el resto del mercado lo tiene la compañía C. De los clientes de A el 55% está disconforme con el servicio, de los clientes de B el 50% está disconforme y de los de C, 7 de cada 10 está disconforme. Además, de los clientes disconformes y que son de A, el 70% desea cambiarse de compañía. También se sabe, que un 6,3% de los clientes: están disconformes, son de C y desean cambiarse de compañía. Mientras que, de los clientes de B hay 40% que está disconforme y desea cambiarse de compañía. Los clientes conformes no desean cambiarse de compañía. 9.1) Si de la región, se elige aleatoriamente una persona que posee celular, 9.1.1) ¿Cuál es la probabilidad que esté conforme con el servicio que le presta la compañía? 9.1.2) ¿Cuál es la probabilidad que desee cambiarse de compañía? 9.1.3) ¿Cuál es la probabilidad que desee cambiar de compañía sabiendo que está disconforme y tiene celular de la compañía C? 9.2) Si de la región se elige aleatoria e independientemente tres personas con celular, ¿cuál es la probabilidad que a lo menos dos tengan celular de la compañía A? 10.- Para llenar de agua depósitos con superficie flexibles de forma automática, una máquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad. Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0.1% de los depósitos tienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso se realiza a alta velocidad, el 1% de los depósitos presentan un volumen incorrecto. Se sabe que el 30% de los depósitos se llenan a alta velocidad. 10.1) Si se inspecciona un depósito al azar y se encuentra que su volumen es incorrecto. ¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado a alta velocidad? 10.2) Defina los sucesos y justifique probabilísticamente su respuesta. Se eligen al azar y en forma independiente depósitos llenados por la máquina, hasta encontrar uno que no ha sido llenado en forma correcta. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan tenido que revisar cinco depósitos? (*)

11.- En una empresa de computación los pedidos de los insumos se realizan por tres medios: teléfono, mail, mensajero. Se sabe que el último año: el 30% de los pedidos se realizaron por teléfono, el 60% vía mail y el 10 % por mensajero. De los pedidos que se hacen por teléfono, el 80% llega en el tiempo establecido. El 75% llega a tiempo, si el pedido se hizo por mail. De los pedidos vía mensajero, un 32% no llega a tiempo. 11.1) Si se elige un pedido al azar de los que no llegan a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado por mensajero o vía teléfono?

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11.2) Se revisan pedidos hasta encontrar uno que haya sido realizado vía mail y entregado en el plazo estipulado. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan revisado a lo más 3 pedidos? 11.3) De entre 18 pedidos analizados, 5 se realizaron por teléfono. Si se eligen 6 pedidos al azar, de los analizados, ¿cuál es la probabilidad de que más de un pedido se haya realizado por teléfono? 12.- En la red de comunicaciones de 9 componentes conectados según la Figura 3, la probabilidad de que funcione cada componente Ci es de p. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. Se supone que la probabilidad de funcionar cada componente es independiente de los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B?

13.- En la red de comunicaciones de 5 componentes conectados según la Figura, la probabilidad de que funcione el componente 𝐶1 es de 0.90, la de 𝐶2 es 0.75, la de 𝐶3 es de 0.75, la de 𝐶4 es de 0.90 y la de 𝐶5 es de 0.90. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. Se supone que la probabilidad de funcionar cada componente es independiente de los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B?

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