• Author / Uploaded
• Paula Barahona

• Categories
• Kit de batería
• Probabilidad
• Red eléctrica
• Aleatoriedad
• Tecnología

Citation preview

2.- Probabilidades – Ejercicios Resueltos –  Definiciones, Axiomas y Propiedades de Probabilidades  Diagrama de Árbol y de Venn  Probabilidad Condicional  Teorema de la Multiplicación  Teorema de la Probabilidad Total  Teorema de Bayes  Independencia de Eventos  Aplicaciones

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- El (la) compañero(a) que casualmente está sentado(a) detrás suyo me contó, antes de entrar a la sala, que sufre de cierto problemilla sicológico en las pruebas. Según su experiencia, el 90% de las veces que delante suyo se sentó una niña, su nota fue inferior a 4, mientras que siempre sacó por lo menos 4 si delante suyo había un varón. 1.1) Usando la información que usted dispone, ¿Cuál es la probabilidad de que ese(a) compañero(a) suyo(a) saque una nota superior a 4 en esta prueba? 1.2) Si ayer su compañero(a) calculó la probabilidad de sacar una nota superior a 4, sabiendo que en este curso hay el doble de varones que de mujeres y suponiendo que no iba a tener la posibilidad de elegir quien se sentara delante suyo ¿Cuánto le dio dicha probabilidad? ¡¡OJO!! SI USTED ESTÁ SENTADO EN LA ÚLTIMA FILA, REEMPLACE LA PALABRA detrás POR delante Y VICEVERSA. 1.1) Solución: Con la información que nos otorga el ejercicio, tenemos que: 𝑁 = “Delante (detrás) de mi compañero se sienta niña” 𝑉 = “Delante (detrás) de mi compañero se sienta varón”

𝑃(𝐴 𝐶 /𝑁) = 0,9

𝐴𝐶 = “Mi compañero se saca nota menor a 4” 𝐴 = “Mi compañero se saca nota mayor o igual a 4”

𝑃(𝐴/𝑉) = 1

1.1) Solución: Si me encuentro delante (detrás) de mi compañero y soy: → →

Niña → 𝑃(𝐴/𝑁) = 1 – 𝑃(𝐴 𝐶 /𝑁) = 0,1 Varón → 𝑃(𝐴/𝑉) = 1

Respuesta: La probabilidad que ese(a) compañero(a) suyo(a) saque una nota superior a 4 en esta prueba es: En el caso que sea niña: 0,1 ; y en el caso que sea varón; 1 1.2) Solución: Sabiendo que: El curso tiene el doble de varones que de mujeres → 𝑃(𝑉) = 2 𝑃(𝑁) La suma de hombres y mujeres conforman el curso → 𝑃(𝑉) + 𝑃(𝑁) = 1 Concluimos que: 𝑃(𝑉) = 2/3 ; 𝑃(𝑁) = 1/3 Finalmente, por medio del teorema de la probabilidad total: 𝑘

𝑃 𝐴/𝐵𝑖 ∙ 𝑃 𝐵𝑖

𝑃𝐴 = 𝑖 =1

Obtenemos: 𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐴/𝑉) ∙ 𝑃(𝑉) + 𝑃(𝐴/𝑁) ∙ 𝑃 𝑁 = 0,7 Respuesta: La probabilidad es igual a 0,7 2. Los informes de inspección final de defectos de cierto artículo que salen de una línea de armado indican que existen tres tipos de defectos (A, B y C) y 10% de los artículos salen con defecto tipo A, 9% con defecto tipo B, 8% con defecto tipo C, 6% salen con defecto A pero no con defecto B , de los artículos con defecto C un 43,75% tienen defecto A, 4,2% salen con defecto B y C, un 17,8% de los artículos salen por lo menos con uno de los tres defectos. De la producción total, se decide seleccionar al azar y en forma independiente dos artículos, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los dos tenga los tres defectos?

Página 30

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

2) Solución: Sean:

𝐴 = “El artículo sale con defecto tipo A” 𝐵 = “El artículo sale con defecto tipo B” 𝐶 = “El artículo sale con defecto tipo C”

El ejercicio nos entrega las siguientes probabilidades: 𝑃 𝐴 = 0,10 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 = 0,06

𝑃 𝐵 = 0,09

𝑃 𝐴 𝐶 = 0,4375

𝑃 𝐶 = 0,08

𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 = 0,042

𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 0,178

Luego determinaremos las probabilidades por propiedades: • 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 + 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 • 𝑃 𝐴 𝐶 =

→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝐶

𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) → 𝑃 𝐴∩𝐶 = 𝑃 𝐶 ∙𝑃 𝐴 𝐶 𝑃(𝐶)

→

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,04

→ 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 = 0,035

• 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 + 𝑃 𝐶 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐶 − 𝑃 𝐵 ∩ 𝐶 + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) 𝑃 𝐴∩ 𝐵∩𝐶 = 𝑃 𝐴 ∪𝐵∪ 𝐶 − 𝑃 𝐴 −𝑃 𝐵 −𝑃 𝐶 +𝑃 𝐴 ∩𝐵 +𝑃 𝐴 ∩𝐶 +𝑃 𝐵∩𝐶 → Sea:

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 0,025

𝐷𝑖 = “El artículo 𝑖 seleccionado tiene los tres defectos” = 𝑃 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 𝑃

𝑖 = 1,2

𝐷1 , 𝐷2 , 𝐷1 , 𝐷2 𝐶 , 𝐷1 𝐶 , 𝐷2 , 𝐷1 𝐶 ,𝐷2 𝐶

𝐷1 , 𝐷2 𝐶 ∪ 𝐷1 𝐶, 𝐷2

= 𝑃 𝐷1 ∙ 𝑃 𝐷2𝐶 + 𝑃 𝐷1 𝐶 ∙ 𝑃 𝐷2 = 2 0,025 (0,975)

𝑃 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 = 0,04875 Respuesta: La probabilidad de que sólo uno de los dos tenga los tres defectos es 0,04875 3.- Una planta de concentrado de mineral, recibe diariamente material de tres diferentes minas de cobre y se sabe que dos de estas minas producen 1% y 2% de oro. Las minas que producen cobre y oro proporcionan, respectivamente, el 20% y 35% de concentrado diario a la planta; el resto de la capacidad proviene de la mina de cobre. El Ingeniero Químico toma una muestra al azar de concentrado y encuentra en ella oro ¿Cuál es la probabilidad de que el oro encontrado provenga de la mina que aporta el 2%? 3) Solución: Definimos:

𝑀𝑖 = “El concentrado proviene de la mina 𝑖 " ; 𝑖 = 1,2,3 𝜃 = ”La mina produce oro”

Por la información otorgada por el ejercicio, tenemos que: 𝑃(𝜃/𝑀1 ) = 0,01 𝑃 𝑀1 = 0,20 𝑃(𝜃/𝑀2 ) = 0,02 𝑃 𝑀2 = 0,35 𝑃(𝜃/𝑀3 ) = 0,00 𝑃 𝑀3 = 0,45

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 31

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Luego, por propiedad de probabilidad total, tenemos que: 𝑃 𝜃 = 𝑃(𝜃/𝑀1 ) ∙ 𝑃(𝑀1 ) + 𝑃(𝜃/𝑀2 ) ∙ 𝑃(𝑀2 ) + 𝑃(𝜃/𝑀3 ) ∙ 𝑃(𝑀3 ) = 9 ∙ 10 −3 Además, por teorema de Bayes: 𝑃(𝑀2 /𝜃) =

𝑃(𝜃/𝑀2 ) ∙ 𝑃(𝑀2 ) 0,02 ∙ 0,35 = = 0, 77 𝑃(𝜃) 9 ∙ 10−3

Respuesta: La probabilidad de que el oro encontrado provenga de la mina que aporta el 2%, o sea la 𝑀2, es igual a 0, 77. 4.- Se sabe que 7 de cada 1000 artículos son defectuosos. Un test para detectar si un artículo es defectuoso da un resultado positivo con una probabilidad de 0,98 de que el artículo sea defectuoso y un resultado positivo con una probabilidad de 0,09 de que el artículo sea bueno. Es decir, con probabilidad de 0,98 el test avisa que el artículo es defectuoso, cuando este efectivamente lo es, y con probabilidad 0,09, el test avisa que el artículo es defectuoso cuando efectivamente el artículo está bueno. Se elige, al azar, un artículo y se le aplica el test. 4.1) Halle la probabilidad de que: 4.4.1) El artículo sea defectuoso y el resultado sea positivo. 4.4.2) El artículo sea defectuoso y el resultado sea negativo. 4.4.3) El artículo sea bueno y el resultado sea positivo. 4.4.4) El artículo sea defectuoso sabiendo que el resultado es positivo. 4.2) Halle la proporción de artículos que da un resultado positivo. 4.3) Se aplica un test más exacto a todos los artículos que dan un resultado positivo en el test anterior. El segundo test da un resultado positivo con una probabilidad de 0,99 de que el artículo sea defectuoso y el resultado positivo con una probabilidad de 0,01 de que el artículo sea bueno. Halle la probabilidad de que un artículo sea defectuoso cuando el segundo test de también un resultado positivo. 4) Solución: Usaremos las notaciones 𝐷 = “Artículo es defectuoso” 𝐵 = “Artículo es bueno”

+ = “El test avisa que el artículo es defectuoso” – = “El test avisa que el artículo es bueno”

Con estas notaciones, las hipótesis del problema se traducen en: 𝑃 𝐷 = 0,007 ; 𝑃(+/𝐷) = 0,98 ; 𝑃(+/𝐵) = 0,09 4.1.1) Solución:

𝑃 𝐷 ∩ + = 𝑃(+/𝐷) ∙ 𝑃(𝐷) = 0,98 ∙ 0,007 = 0,00686

4.1.2) Solución: 𝑃 𝐷 ∩– = 𝑃(–/𝐷) ∙ 𝑃(𝐷) = [1 − 𝑃(+/𝐷)] ∙ 𝑃(𝐷) = (1 − 0,98) ∙ 0,007 = 0,00014 4.1.3) Solución: 𝑃 𝐵 ∩ + = 𝑃(+/𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) = 0,09(1 − 𝑃 𝐷 ) = 0,09 ∙ 0,993 = 0,08937 4.1.4) Solución: 𝑃(𝐷/+) =

Página 32

𝑃(+/𝐷) ∙ 𝑃(𝐷) 𝑃(+/𝐷) ∙ 𝑃(𝐷) 0,00686 = = = 0,07129 𝑃(+) 𝑃(+/𝐷) ∙ 𝑃(𝐷) + 𝑃(+/𝐵) ∙ 𝑃(𝐵) 0,00686 + 0,08937

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

4.2) Solución: Como 𝑃 + = 0,09623 =

96,23 1000

Respuesta: La proporción de artículos que da resultado positivo en el test es 96 en 1000. 0,99

4.3) Solución: 0,98

+

+

-

D 0,007

0,02

0,01

0,09

0,993

+

+

-

B 0,91

--

“Diagrama de árbol para el test” En este caso, la probabilidad pedida es: 𝑃=

0,007 ∙ 0,98 ∙ 0,99 = 0,88371 0,007 ∙ 0,98 ∙ 0,99 + 0,993 ∙ 0,09 ∙ 0,01

Respuesta: La probabilidad requerida por el ejercicio es 0,88371. 5.- A fines de la estación, un criadero pone a la venta diez duraznos, de los cuales se han desprendido las tarjetas identificadoras. Se sabe que 4 de los árboles son de una variedad A y los restantes son de la variedad B. Considere cada uno de las siguientes situaciones: 5.1) Un cliente compró 4 árboles. ¿Cuál es la probabilidad de que tres sean de una misma variedad? 5.2) Tres clientes entran al criadero y adquieren dos árboles cada uno ¿Cuál es la probabilidad de que el primer cliente lleve sólo variedad A, el segundo cliente lleve sólo variedad B y el último cliente lleve uno de cada variedad? 5) Solución: Usaremos las notaciones: 𝐴 𝑖 = “Duraznos de la variedad A” ; 𝑖 = 1,2,3,4 𝐵𝑖 = “Duraznos de la variedad B” ; 𝑖 = 1,2,3,4,5,6 𝑃 𝐴 =

4 = 0,4 10

𝑃 𝐵 =

6 = 0,6 10

5.1) Solución: Sea: 𝑃(𝐶) = “Probabilidad de que el cliente al comprar 4 duraznos, tres sean de la misma variedad” 4 𝑃𝐶 = 𝑃 𝐴1 ∩ 𝐴 2 ∩ 𝐴 3 ∩ 𝐵1 + 𝑃 𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐴1 3

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 33

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

𝑃 𝐶 =

4 4 3 2 6 6 5 4 4 ∙ ∙ ∙ + ∙ ∙ ∙ = 0,495 3 10 9 8 7 10 9 8 7

Respuesta: La probabilidad de que al comprar 4 duraznos tres de ellos sean iguales, corresponde a 0,495 5.2) Solución: 𝐶1 = “Cliente compra dos árboles, sólo de la variedad A” 𝐶2 = “Cliente compra dos árboles, sólo de la variedad B” 𝐶3 = “Cliente compra dos árboles, uno de cada variedad” 𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶3 =

2 2 4 3 6 5 2 4 𝑃 𝐶1 ∙ 𝑃 𝐶2 ∙ 𝑃 𝐶3 = ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ = 0,0381 1 1 10 9 8 7 6 5

Respuesta: La probabilidad pedida es igual 0,0381 6.- Un artefacto electrónico funciona con dos baterías de 9 volt. Para su funcionamiento se dispone de 5 de estas baterías (de la misma marca), de las cuales dos de ellas están descargadas. Se eligen uno a uno baterías hasta que el instrumento funcione o hasta elegir tres baterías. 6.1) Encuentre el espacio muestral asociado a este experimento. 6.2) Calcule la probabilidad de que el artefacto funcione. 6) Solución: Usaremos las notaciones: 𝐵 = “La batería está buena”

𝑀 = “La batería está mala”

6.1) Solución: El espacio muestral asociado a este experimento es: 𝛺 = { 𝐵, 𝐵 ; 𝐵, 𝑀, 𝐵 ; 𝐵, 𝑀, 𝑀 ; 𝑀, 𝐵, 𝑀 ; 𝑀, 𝐵, 𝐵 ; 𝑀, 𝑀, 𝐵 } 6.2) Solución: Sea: 𝑤 = “El aparato electrónico funcione” 𝑃 𝑤 = 𝑃 𝐵, 𝐵 + 𝑃 𝐵, 𝑀, 𝐵 + 𝑃 𝑀, 𝐵, 𝐵 =

3 2 3 2 2 2 3 2 ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ = 0,7 5 4 5 4 3 5 4 3

Respuesta: La probabilidad de que el artefacto funcione es 0,7 7.- Se realiza un Congreso de Delegados de diferentes Universidades del país, para discutir acerca del tema “La Universidad en el próximo siglo”. De acuerdo al lugar geográfico de donde provienen los delegados, se sabe que el 15% provienen de la zona norte, el 40% de la región metropolitana, el 25% de la zona central y el resto de la zona sur. En cuanto a la distribución por sexo, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres, el 60% de los delegados de la región metropolitana son hombres, de la zona central hay un 30% de mujeres y no hay delegados mujeres provenientes de la zona sur. Se elige un delegado al azar: 7.1) ¿Cuál es la probabilidad que resulte elegida una mujer? 7.2) Si el elegido resulta ser hombre, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la zona sur?

Página 34

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

7) Solución: Usaremos las notaciones: 𝑁 = “Delegado de la Zona Norte” 𝑅 = “Delegado de la Región Metropolitana” 𝐶 = “Delegado de la Zona Centro” 𝑆 = “Delegado de la Zona Sur”

𝑀 = “Delegado sea Mujer” 𝐻 = “Delegado sea Hombre”

Además, se expresan los datos que se nos otorgan en el problema: 𝑃(𝑀/𝑁) = 0,15 𝑃 𝑁 = 0,15 𝑃(𝐻/𝑅) = 0,60 − − − − − − −−→ 𝑃 𝑅 = 0,40 𝑃(𝑀/𝐶) = 0,30 𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝐶 = 0,25 𝑃 𝑆 = 0,20 𝑃(𝑀/𝑆) = 0,00

𝑃(𝐻/𝑁) = 0,85 𝑃(𝑀/𝑅) = 0,40 𝑃(𝐻/𝐶) = 0,70 𝑃(𝐻/𝑆) = 1,00

7.1) Solución: Por la Propiedad de Probabilidad Total, para el caso de las mujeres, tenemos: 𝑃 𝑀 = 𝑃(𝑀 𝑁) ∙ 𝑃 𝑁 + 𝑃 𝑀 𝑅 ∙ 𝑃 𝑅 + 𝑃 𝑀 𝐶 ∙ 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝑀 𝑆 ∙ 𝑃(𝑆) 𝑃 𝑀 = 0,15 ∙ 0,15 + 0,4 ∙ 0,4 + 0,3 ∙ 0,25 + 0 ∙ 0,2 = 0,2575 Respuesta: La probabilidad que al elegir al azar un delegado resulte mujer es 0,2575 7.2) Solución: Por propiedad de Probabilidad Total, para el caso de los hombres, tenemos: 𝑃 𝐻 = 𝑃(𝐻 𝑁) ∙ 𝑃 𝑁 + 𝑃 𝐻 𝑅 ∙ 𝑃 𝑅 + 𝑃 𝐻 𝐶 ∙ 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐻 𝑆 ∙ 𝑃(𝑆) 𝑃 𝐻 = 0,85 ∙ 0,15 + 0,6 ∙ 0,4 + 0,7 ∙ 0,25 + 1 ∙ 0,2 = 0,7425 Además por teorema de Bayes, tenemos: 𝑃 𝐻 𝑆 ∙ 𝑃(𝑆) 1 ∙ 0,2 𝑃 𝑆 𝐻 = = = 0,26936 𝑃(𝐻) 0,7425 Respuesta: Si al elegir azar un delegado resulta ser hombre, la probabilidad de que provenga de la zona sur es 0,26936 8.- Según estudios de seguimientos de los Ingenieros Civiles recién egresados de una determinada universidad, el 98% de estos jóvenes encuentran trabajo en su primer intento por trabajar. Se realizó un estudio sobre una muestra aleatoria de 2.500 pequeñas empresas, 750 grandes empresas y 30 organismos gubernamentales, encontrándose que el cabo de 5 años de permanencia directivo. También se encontró que, de los Ingenieros Civiles egresados de la Universidad XX, el 61% que trabajan en una pequeña empresa, el 76% que trabajan en grandes empresas y el 72% de los que trabajan en organismos gubernamentales, consiguen un puesto en la directiva de la empresa. En Septiembre del año recién pasado se organizó un congreso de directivos de empresas, que egresaron de Ingeniería Civil de la Universidad XX, con el objeto de formar la Asociación de Directivos. Se eligió la directiva de esta Asociación, ¿Cuál es la probabilidad de que su presidente trabaje en una gran empresa?

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 35

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

8) Solución: Usaremos las siguientes notaciones: 𝑒 = “Pequeñas empresas” 𝐸 = “Grandes empresas” 𝜃 = “Organismos gubernamentales” 𝑈 = “Ingenieros Civiles Egresados de la Universidad XX que consiguen un puesto en la directiva”

𝑒 𝐸 𝜃

𝑛𝑖 2500 750 30 n = 3280

ℎ𝑖 0,7622 0,2287 0,0091

Además las probabilidades que poseemos son las siguientes: 𝑃 𝑒 = 0,7622 𝑃(𝑈/𝑒) = 0,61 𝑃 𝐸 = 0,2287 𝑃(𝑈/𝐸) = 0,76 𝑃 𝜃 = 0,0091 𝑃(𝑈/𝜃) = 0,72 8.1) Solución: Por la propiedad de Probabilidad Total, tenemos: 𝑃 𝑈 = 𝑃(𝑈 𝑒) ∙ 𝑃 𝑒 + 𝑃 𝑈 𝐸 ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝑈 𝜃 + 𝑃 𝜃 𝑃 𝑈 = 0,61 ∙ 0,7622 + 0,76 ∙ 0,2287 + 0,72 ∙ 0,0091 = 0,6453 Luego, por Teorema de Bayes: 𝑃𝐸 𝑈 =

𝑃(𝑈/𝐸) ∙ 𝑃(𝐸) 0,76 ∙ 0,2287 = = 0,2693 𝑃(𝑈) 0,6453

Respuesta: La probabilidad que el presidente de la Asociación de Directivos trabaje en una gran empresa es de 0,2693. 9.- En un torneo Universitario de basquetbol, el equipo A derrotó al equipo B, 3 veces de cada 5 encuentros, 4 de cada 6 al equipo C, 8 de cada 10 al equipo D y el equipo C derrotó a D, 3 veces de cada 8 encuentros. Para que el equipo A gane el torneo, debe derrotar a B y al vencedor entre C y D. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el equipo A el torneo? 9) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones: 𝐴 𝑖 = “El equipo A le gana al equipo 𝑖” ; 𝑖 = 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝐶𝐷 = “El equipo C le gana al equipo D” 𝑄 = “El equipo A le gana al equipo B, y al equipo vencedor entre el equipo C y D” 3 3 4 3 5 8 𝑃 𝑄 = 𝑃 𝐴 𝐵 ∩ 𝐶𝐷 ∩ 𝐴 𝐶 + 𝑃 𝐴 𝐵 ∩ (𝐶𝐷) 𝐶 ∩ 𝐴 𝐷 = ∙ ∙ + ∙ ∙ = 0,45 5 8 6 5 8 10 Respuesta: La probabilidad que el equipo A gane el torneo es 0,45. 10.- Un equipo de música con capacidad para 3 CD, tienen puesto un CD de música clásica, uno de música folklórica y uno de jazz. Si una persona se dispone a escuchar música, la probabilidad que elija el CD de música clásica es del 60% que escuche al menos un CD es del 90%, que elija el CD de música clásica y folklórica es del 20%, que sólo escuche el CD de jazz es del 5%, que escuche música clásica, folklórica y jazz es del 5%. Si escuchó música clásica, la probabilidad que escuche un CD con música de jazz es del 33,33%. Por otra parte si escucha un CD con música de jazz, la probabilidad que escuche un CD con música folklórica es del 42,85%.

Página 36

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

10.1) Calcular la probabilidad que una persona solo escuche música folklórica. 10.2) Si una persona escuchó música de jazz, ¿Cuál es la probabilidad que escuche música clásica? 10.1) Solución: Utilizaremos las siguientes notificaciones: 𝐶 = “CD de música Clásica” 𝐹 = “CD de música folclórica” 𝐽 = “CD de música Jazz” Además se extrae del enunciado, lo siguiente: 𝑃 𝐶 = 0,6 𝑃 𝐶 ∪ 𝐹 ∪ J = 0,9 𝑃 𝐶 ∩ 𝐹 = 0,2 𝑃 𝐶 𝐶 ∩ 𝐹 𝐶 ∩ 𝐽 = 0,05 𝑃 𝐶 ∩ 𝐹 ∩ 𝐽 = 0,05 𝑃 𝐽 𝐶 = 0,3333 𝑃 𝐹 𝐽 = 0,4285

Con la ayuda del diagrama de Venn, antes expuesto, tenemos que: 𝑃 𝐶 ∩ 𝐹 = 0,05 + β

→

0,2 = 0,05 + β

→ β = 0,15

Además, por propiedad tenemos que: 𝑃(𝐽 𝐶) =

𝑃 𝐽∩𝐶 𝑃𝐶

→

𝑃(𝐽 ∩ 𝐶) = 0,3333 ∙ 0,6 = 0,2

𝑃 𝐽 ∩ 𝐶 = ε + 0,05

→

ε = 0,15

También sabemos que: 𝑃 𝐶 = α + ε + β + 0,05 𝑃 𝐹 𝐽 =

𝑃(𝐹 ∩ 𝐽) 𝑃(𝐽)

→ 0,4285 =

→

α = 0,25

0,05 +  0,05 + 0,05 +  + ε

Finalmente, tenemos que: 𝑃 𝐶 ∪ 𝐹 ∪ J = α + β + ε +  + δ + 0,05 + 0,05

→

→  = 0,1

δ = 0,15 = P(F)

Respuesta: La probabilidad que una persona sólo escuche música folclórica es 0,15 10.2) Solución: 𝑃 𝐶 𝐽 =

𝑃(𝐶 ∩ 𝐽) 0,2 = = 0,57 𝑃 (𝐽) 0,35

Respuesta: Si una persona escuchó música Jazz, la probabilidad que escuche música clásica es igual a 0,57.

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 37

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

11.- En una Consultora trabajan ingenieros especialistas en tránsito, construcción e informática. Además se sabe que, en un año esta Empresa se presenta a 45 propuestas en la especialidad de tránsito, 71 en la especialidad de construcción y a 94 en la especialidad de informática. De años anteriores se sabe que si se presenta a propuestas de tránsito, construcciones e informática, las probabilidades de adjudicárselas son 0,35; 0,72 y 0,75 respectivamente. 11.1) Si la Consultora se presenta a una propuesta y no se la adjudica, ¿Cuál es la probabilidad de que la propuesta sea de informática 11.2) Se estudia 4 propuestas, elegidas al azar de entre las presentadas, ¿Cuál es la probabilidad de que en este estudio se incluya a lo más una propuesta de construcción? 11) Solución: Utilizaremos las siguientes notaciones: 𝑇 = “Propuestas en la especialidad de tránsito” 𝐶 = “Propuestas en la especialidad de construcción” 𝐼 = “Propuestas en la especialidad de informática” 𝐴 = “Que sea adjudicada la propuesta” 𝐴 = “Que no sea adjudicada la propuesta” Luego, la información que se nos entrega es la siguiente: 𝑛𝑖 45 71 94

𝑇 𝐶 𝐼

ℎ𝑖 0,214 0,338 0,448

𝑃 𝐴 𝑇 = 0,35 − − − − − − −−→ 𝑃(𝐴 𝐶 𝑇) = 0,65 𝑃 𝐴 𝐶 = 0,72 𝑃𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑃 𝐴 𝐶 𝐶 = 0,28 𝑃 𝐴 𝐼 = 0,25 𝑃 𝐴 𝐶 𝐼 = 0,25

11.1) Solución: Por propiedad de Probabilidad Total: 𝑃 𝐴𝐶 = 𝑃 𝐴𝐶 𝑇 ∙ 𝑃 𝑇 + 𝑃 𝐴𝐶 𝐶 ∙ 𝑃 𝐶 + 𝑃 𝐴𝐶 𝐼 ∙ 𝑃 𝐼 𝑃 𝐴 𝐶 = 0,65 ∙ 0,214 + 0,28 ∙ 0,338 + 0,25 ∙ 0,448 = 0,3457 Luego, por Teorema de Bayes: 𝑃 𝐼 𝐴𝐶 =

𝑃 𝐴𝐶 𝐼 ∙ 𝑃 𝐼 0,25 ∙ 0,448 = = 0,3239 𝐶 𝑃 𝐴 0,3457

Respuesta: Si la Consultora se presenta a una propuesta y no se la adjudica, la probabilidad de que sea de informática es 0,3239. 11.2) Solución:

𝐶 ∗ = “Número de propuestas de construcción en 4 propuestas elegidas al azar ” 𝑄 = “Estudio incluya a lo más una propuesta de construcción” 𝑃 𝑄 = 𝑃 𝐶∗ ≤ 1 =

𝑃𝑄 =

4 𝑃 𝐶𝐶 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 0

4 4 𝑃 𝐶∗ = 0 + 𝑃 𝐶∗ = 1 0 1 4 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 + ∙ 𝑃 𝐶 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 ∙ 𝑃 𝐶𝐶 1

𝑃 𝑄 = 0,6624 + 4 ∙ 0,338 ∙ 0,6623 = 0,5484 Respuesta: Si se estudian 4 propuestas, elegidas al azar, la probabilidad de que en este estudio se incluya a lo más una propuesta de construcción es igual a 0,5484

Página 38

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

(*)

12.- Un sistema de telecomunicaciones sólo admite dos tipos de señales, codificadas como 0 (cero) y 1 (uno).   

Un estudio estadístico ha establecido lo siguiente: La probabilidad de emitir señal cero es 0,4 La probabilidad que emitida la señal cero, se produzca un error de transmisión y se reciba un uno, es 0,1 La probabilidad que emitida la señal uno, se reciba la señal cero es 0,2

12.1) Al enviar un mensaje de 5 señales independientes, ¿Cuál es la probabilidad que sólo se reciba una señal cero? 12.2) De 14 revisiones al sistema de telecomunicaciones, se encontró que en cuatro oportunidades el sistema presentó fallas. Un organismo estatal elige al azar la mitad de las revisiones hechas al sistema, ¿Cuál es la probabilidad que entre las revisiones al sistema elegidas, resulten más de dos de las que presentaron fallas? 12) Solución: Sean los sucesos:

𝐸 = “La señal emitida es cero” 𝑅 = “La señal recibida es cero”

Además los datos que nos proporciona el ejercicio son: 𝑃 𝐸 = 0,4

𝑃 𝑅𝐶 𝐸 = 0,1

𝑃 𝑅 𝐸 𝐶 = 0,2

𝑃 𝐸 𝐶 = 0,6

𝑃 𝑅 𝐸 = 0,9

𝑃 𝑅𝐶 𝐸 𝐶 = 0,8

Por complemento tenemos:

12.1) Solución: Por propiedad de Probabilidad Total, tenemos: 𝑃 𝑅 = 𝑃 𝑅 𝐸 ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝑅 𝐸 𝐶 ∙ 𝑃 𝐸 𝐶 = 0,9 ∙ 0,4 + 0,2 ∙ 0,6 = 0,48 Usaremos la siguiente notación: 𝐴 = “Solo se recibe una señal cero al enviar cinco señales” 𝑃 𝐴 = 𝑃{ (𝑅1 ∩ 𝑅𝐶2 ∩ 𝑅 𝐶3 ∩ 𝑅4𝐶 ∩ 𝑅𝐶5 ) ∪ … ∪ (𝑅1𝐶 ∩ 𝑅𝐶2 ∩ 𝑅 𝐶3 ∩ 𝑅4𝐶 ∩ 𝑅5 ) } 5 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑅 ∙ P 𝑅𝐶 ∙ P 𝑅 𝐶 ∙ P 𝑅 𝐶 ∙ P 𝑅𝐶 → P A = 5 ∙ 0,48 ∙ 0,524 = 0,1755 1 Respuesta: Al enviar un mensaje de 5 señales independientes, la probabilidad que sólo se reciba una señal cero es igual a 0,1755 12.2) Solución: Utilizaremos la siguiente notación: 𝐵 = “En las 7 revisiones hay más de dos de las cuatro falladas” 4 𝑃𝐵 = 3

10 4 10 + 4 4 3 = 840 + 120 = 0,2797 14 3432 7 Respuesta: La probabilidad que entre las revisiones al sistema elegidas, resulten más de dos de las que presentaron fallas es igual a 0,2797

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 39

2. Probabilidades – Ejercicios Resueltos ANÁLISIS ESTADÍSTICO (*)

13) Un ingeniero necesita seleccionar, entre dos diseños circuitos (A y B), tal que cada uno de los componentes, (resistencias) funcionan independientemente y en forma correcta, con probabilidad 0,9 cuando se sube el switch. El ingeniero escogerá el circuito que tenga mayor probabilidad de paso de corriente de E a S. Figura N° 1: Circuito A

Figura N° 2: Circuito B

Utilizando propiedades de las probabilidades ¿Cuál de los circuitos debería elegir el ingeniero? Sea 𝑪𝒊 = el componente i funciona correctamente, i = 1, 2, 3, 4 13) Solución: Por complemento sabemos que: 𝐶𝑖𝐶 = “El componente i no funciona correctamente” ; i = 1, 2, 3, 4 Por lo tanto, quedan expresados de la siguiente manera los circuitos: Circuito A: 𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶3𝐶 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶4𝐶 + 𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶3𝐶 ∩ 𝐶2𝐶 ∩ 𝐶4 + 𝑃 𝐶1𝐶 ∩ 𝐶3 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶4𝐶 + 𝑃(𝐶1𝐶 ∩ 𝐶3 ∩ 𝐶2𝐶 ∩ 𝐶4) = 4 ∙ 0,92 ∙ 0,1 = 0,0324 Circuito B:

𝑃 𝐶1 ∩ 𝐶3𝐶 ∩ 𝐶2 ∩ 𝐶4𝐶 + 𝑃 𝐶1𝐶 ∩ 𝐶3 ∩ 𝐶2𝐶 ∩ 𝐶4 = 2 ∙ 0,92 ∙ 0,12 = 0,0162 Respuesta: El circuito que debería elegir el ingeniero es el Circuito A, ya que es más probable el paso de corriente de E a S

Página 40

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

1.- Un sistema electrónico avisa peligro cuando al menos dos de sus tres componentes (A, B, C) fallan. Suponga que la probabilidad de que falle A es 0.2, que falle B es 0.15 y que falle C es 0.2. Asuma además que la falla de C es independiente de las otras dos, mientras que la probabilidad de que falle B sabiendo que ha fallado A es 0.5 1.1) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro 1.2) Calcule la probabilidad de que el sistema avise peligro debido a la falla de sólo dos de sus componentes 2.- El circuito siguiente constituido por 5 dispositivos funciona si y sólo si, existe una trayectoria de dispositivos en funcionamiento, de izquierda a derecha (de E hacia S). Suponga que los dispositivos fallan de manera independiente. En la figura siguiente se indica la probabilidad de falla de cada uno de ellos. ¿Cuál es la probabilidad de que el circuito esté en funcionamiento en S? 1

2

4

0,01

0,01

0,1

E

S 0,1

0,1

3

5

3.- El MOP contempla la construcción de 4 nuevas carreteras, para lo cual llamará a 4 licitaciones. Por las condiciones impuestas sólo podrían adjudicárselas, las empresas Alfa y Beta. Estas empresas, por decisión de sus respectivos directorios, llegaron al acuerdo siguiente: si una de ellas se adjudica dos de las carreteras en forma consecutiva, la otra no seguirá participando. Por antecedentes que se manejan, Alfa tiene una probabilidad constante de ganar en cualquiera de estas licitaciones de 0.6 y Beta de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que Beta “no siga participando”? 4.- Una multitienda en su Departamento de Electrónica tiene para la venta computadores que son armados a requerimiento de los clientes. Estos computadores pueden presentar problemas en su tarjeta de video, modem, adaptador de red, entre otros. Se sabe que la probabilidad que presente problemas: en la tarjeta de video es 0.12; en el modem 0.08 y en el adaptador de red 0.1. La probabilidad de que presente problema en el adaptador de red y tarjeta de video es 0.025, la probabilidad que presente problema en el modem o en el adaptador de red es 0.15. De los computadores que presentan problema en el modem, la probabilidad que tenga problema la tarjeta de video es 0.625. La probabilidad de que un computador presente sólo problema en la tarjeta de video es 0.055 4.1) Un cliente compra un computador y este presenta problema en el adaptador de red ¿Cuál es la probabilidad que tenga problema en el modem o en la tarjeta de video? 4.2) Si un cliente compra 3 computadores de los armados en la multitienda ¿Cuál es la probabilidad que dos presenten problema solo en la tarjeta de video?

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 41

02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

5.- En cierta metrópolis los motivos de viaje en día laboral corresponden a 26% por trabajo, 18% por estudio y el resto corresponde a otros motivos. Además, se sabe que el 38% del total de viajes se hace caminando y el 62% corresponde a viajes realizados en algún medio motorizado (bus, auto, metro, taxi, etc.). De los viajes realizados por motivos distintos a trabajo y estudio el 44% se efectúa caminando. De los viajes que se efectúan por motivos de estudios el 58% se hace en un medio motorizado 5.1) ¿Cuál es la probabilidad que un viaje por trabajo, se haga caminando? 5.2) Se elige aleatoriamente y en días distintos dos viajes de los que se han efectuado por motivos de estudio, ¿Cuál es la probabilidad que sólo uno de ellos se efectúe en locomoción motorizada? 6.- Niko Electronics Company es una empresa que se dedica a grabar CD’s: con música, software, juegos, etc. Estos CD’s pueden tener los siguientes tipos de defectos; los cuales son independientes entre sí: estar rayados (R), mal copiados (M) o quebrados (Q). Se sabe que el 5% de los CD’s quedan mal copiados, el 8,2935% de los CD’s están solo quebrados. De los CD’s rayados, el 91% no están quebrados. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un CD este tenga al menos uno de estos tres tipos de defectos? 7.- Una pieza producida en una empresa puede tener dos tipos de defectos. El 8% de la producción presenta el defecto de tipo A, el 5% de la producción presenta el defecto de tipo B, se supone que no hay pieza que tengan los dos tipos de defectos y que el resto de las piezas no tienen defecto. Después de ser producida cada pieza es sometida de manera automática a un test de ruptura, con las siguientes posibilidades: Si la pieza tiene el defecto de tipo A, tiene una probabilidad de 0,90 de romperse. Si la pieza tiene el defecto de tipo B, tiene una probabilidad de 0,95 de romperse. Finalmente, si la pieza no tiene ningún tipo de defecto, tiene una probabilidad de 0,01 de romperse. 7.1) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza escogida al azar, de la producción, se rompa cuando es sometida al test? 7.2) Se eligen al azar y en forma independiente 3 piezas de la producción: 7.2.1) Si las piezas elegidas resultan no rotas en la aplicación del test, ¿Cuál es la probabilidad de que sólo una presente defecto tipo A? 7.2.2) Se define la variable aleatoria discreta: “𝑥= N° de piezas que se rompen en la aplicación del test, entre las tres piezas elegidas” Determine distribución de probabilidad de 𝑥 y el número esperado de piezas que se rompen en la aplicación del test. 8.- Un prefabricado de hormigón puede presentar defectos, que pueden inutilizarlo. Los defectos que puede presentar son: no cumplir con las dimensiones requeridas; no tener la resistencia adecuada o bien, otro defecto. El 7% de los prefabricados de hormigón presenta problemas en sus dimensiones, el 2% no tienen una resistencia adecuada y un 2,5% presenta otro tipo de defecto. Si los defectos ocurren en forma independiente: 8.1) ¿Qué porcentaje de los prefabricados de hormigón presentan alguno de estos defectos?

Página 42

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

8.2) Si se elige un prefabricado de hormigón para ser inspeccionado. ¿Cuál es la probabilidad que presente solo defecto de resistencia? 8.3) Se inspeccionan prefabricados de hormigón hasta encontrar uno que presente problema de dimensiones. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan inspeccionados más de 3 prefabricados? 9.- En cierta región el mercado de telefonía celular está cubierto por 3 compañías. La compañía A cubre el 60% del mercado, la compañía B el 25% y el resto del mercado lo tiene la compañía C. De los clientes de A el 55% está disconforme con el servicio, de los clientes de B el 50% está disconforme y de los de C, 7 de cada 10 está disconforme. Además, de los clientes disconformes y que son de A, el 70% desea cambiarse de compañía. También se sabe, que un 6,3% de los clientes: están disconformes, son de C y desean cambiarse de compañía. Mientras que, de los clientes de B hay 40% que está disconforme y desea cambiarse de compañía. Los clientes conformes no desean cambiarse de compañía. 9.1) Si de la región, se elige aleatoriamente una persona que posee celular, 9.1.1) ¿Cuál es la probabilidad que esté conforme con el servicio que le presta la compañía? 9.1.2) ¿Cuál es la probabilidad que desee cambiarse de compañía? 9.1.3) ¿Cuál es la probabilidad que desee cambiar de compañía sabiendo que está disconforme y tiene celular de la compañía C? 9.2) Si de la región se elige aleatoria e independientemente tres personas con celular, ¿cuál es la probabilidad que a lo menos dos tengan celular de la compañía A? 10.- Para llenar de agua depósitos con superficie flexibles de forma automática, una máquina puede realizar el proceso a baja o alta velocidad. Cuando el proceso se realiza a baja velocidad, el 0.1% de los depósitos tienen un volumen de llenado incorrecto. Mientras que si el proceso se realiza a alta velocidad, el 1% de los depósitos presentan un volumen incorrecto. Se sabe que el 30% de los depósitos se llenan a alta velocidad. 10.1) Si se inspecciona un depósito al azar y se encuentra que su volumen es incorrecto. ¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado a alta velocidad? 10.2) Defina los sucesos y justifique probabilísticamente su respuesta. Se eligen al azar y en forma independiente depósitos llenados por la máquina, hasta encontrar uno que no ha sido llenado en forma correcta. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan tenido que revisar cinco depósitos? (*)

11.- En una empresa de computación los pedidos de los insumos se realizan por tres medios: teléfono, mail, mensajero. Se sabe que el último año: el 30% de los pedidos se realizaron por teléfono, el 60% vía mail y el 10 % por mensajero. De los pedidos que se hacen por teléfono, el 80% llega en el tiempo establecido. El 75% llega a tiempo, si el pedido se hizo por mail. De los pedidos vía mensajero, un 32% no llega a tiempo. 11.1) Si se elige un pedido al azar de los que no llegan a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad que se haya realizado por mensajero o vía teléfono?

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 43

02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

11.2) Se revisan pedidos hasta encontrar uno que haya sido realizado vía mail y entregado en el plazo estipulado. ¿Cuál es la probabilidad que se hayan revisado a lo más 3 pedidos? 11.3) De entre 18 pedidos analizados, 5 se realizaron por teléfono. Si se eligen 6 pedidos al azar, de los analizados, ¿cuál es la probabilidad de que más de un pedido se haya realizado por teléfono? 12.- En la red de comunicaciones de 9 componentes conectados según la Figura 3, la probabilidad de que funcione cada componente Ci es de p. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. Se supone que la probabilidad de funcionar cada componente es independiente de los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B?

13.- En la red de comunicaciones de 5 componentes conectados según la Figura, la probabilidad de que funcione el componente 𝐶1 es de 0.90, la de 𝐶2 es 0.75, la de 𝐶3 es de 0.75, la de 𝐶4 es de 0.90 y la de 𝐶5 es de 0.90. La red funciona si entre A y B es posible encontrar un camino de componentes que funcione. Se supone que la probabilidad de funcionar cada componente es independiente de los demás. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya comunicación entre A y B?

Página 44

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

02. Probabilidades – Ejercicios Propuestos ANÁLISIS ESTADÍSTICO

Soluciones: 02. Probabilidades 1.1) 0,13

1.2) 0,11

8.1) 11,1385%

8.2) 0,018135

2) 0,01926

9.1.1) 0,44

9.1.2) 0,394

3) 0,5904

10.1) 0,8108

10.2) 0,0036 11.2) 0,833625

8.3) 0,804357

9.1.3) 0,6

9.2) 0,648

4.1) 0,45

4.2) 0,005717

11.1) 0,3802

5.1) 0,2231

5.2) 0,4872

12) 1 + 𝑝 9 − 2𝑝 8 − 𝑝 7 + 3𝑝 6 + 2𝑝 4 − 4𝑝 3

6) 0,161435 7.1) 0,1282

11.3) 0,561

13) 0,10005625 7.2.1) 0,0271

7.2.2) 0,3846

Alejandro González Tapia – Ingeniería Civil en Minas

Página 45