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Hallar “X + Z” A) 18 B) 9 D) 32 E) 23 1. Señale con V(verdadero) o F(falso) según corresponda a un vector unitario : I. Una de sus componentes puede ser nula. II. Define siempre la dirección positiva de los ejes . III. Dos vectores colineales poseen el mismo vector unitario. A) VVF B) VFV C) FVV D) VFF E) VVV 2. En

la

expresión

del

vector

representa u ? A) módulo de P C) Un vector unitario

: P  P .u ;

¿qué

B) Dirección de  P D) Ninguna

E) El vector unitario en la dirección de P 3. Dado el vector A  (1; 2; 2) ¿Cuál es su respectivo unitario? A) A /2 B) A /4 C) A /5 D) A /3

8. Si

ortogonales. Hallar Z. A) 1 B) 2 D) 4 E) 5

M  (2; 3;1) y N  (1; 2;Z)

son

C) 3

A  (3 / 2;1 / 5;4) es un vector en el

9. Si el vector

espacio tridimensional, además el vector A forma con el eje x un ángulo de 60º y con el eje y forma un ángulo de 45º. Hallar el ángulo que forma el vector A con el eje z. A) 37º B) 30º C) 60º D) 90 E) 45º 10. Un vector M  3 forma un ángulo de 120º con el eje x y un ángulo de 53º con el eje y. Hallar sus coordenadas si: M  10 . A) (-5; 6; 6; 24) B) (-5; 6; 0) D) (-5;-6;-6;24) E)(-5;5;-6) 11.

5. Sean los vectores A  (1; 2; 1) y B  (2; 3;1) , Hallar A.B A) 0 D) 3

los

B) 1 E) 4

C) 2

vectores

A  (1; 2; 3) : B  (2; 1;3) y

C  (1; 4;  3) ; Hallar A . (B + C) A) 0 B) 2 D) 4 E) 5

7. Si

vectores

C) (5; 6; -6; 24)

E) A

4. Señale con V(verdadero) o F(falso) según corresponda al producto escalar de dos vectores . I Proporciona como resultado otro vector. II Se usar para determinar el ángulo entre los vectores. III Su modulo puede ser igual al producto de los módulos de los vectores dados. A) FFV B) VVF C) VFV D) FVV E) VVV

6. Sean

los

C) 27

los

colineales.

vectores

C) 3

P  (2;5;4) y Q  (6; Y;Z)

son

Sean los vectores A  (1; 3; 2) y B  (2;1;4) Hallar

el vector A  B y la norma del vector A  B . A) (10;8;7) y

213

B) (  10;8;  7) y

C) (5;  4;3) y

50

D) (  5;4;  3) y

E) (10;8; 7) y 12.

Dados

213 50

213 los

vectores

A  (1; 2; 3) y

B  (2; 1; 2) . Hallar las coordenadas del vector (3 A  B)  B. A) (21; -24; -9) D) (-21;-24;-9)

13.

B) (21;24;9) E) (21;-24;9)

C) (-21;24;9)

Dados los vectores P  ( 1; 2;  3) y Q  (2;3;1) ,

Hallar el seno del ángulo  que forma dichos vectores. A) 0,93 B) 0,24 C) 0,75 D) 0,5 E) 0,84

Vectores Dados los vectores P  (1;2;Z) y Q  (2;Y; 2) Hallar el

14.

valor máximo de “Y + Z” si A) 3

C) 3 

B) 4 2 1

D)

P 2 2 y Q 

3

E) 1

a)4 5

b)6 7

d)3 17

e)4 7

(2;1; 2) 3

C)

1 (2; 2;1) 3

D)

(2;1;1) 6

E)

1 (1; 2;1) 3

15

Si  3 ; Q  7 y P . Q  19. Hallar P  Q

15.

B)

Z

Y X

c)8 5

Se dan los vectores: a  2i  3 j ; b  i  2k y

22.

c  j  k . Se pide evaluar el ángulo que forma los Si: A  (1; 2; 3) ; B  (2;1;3) y C  (5;3;1) .

16.

vectores (a  b) y (a  c) .

Hallar A(B C) A) -2 D) -5

B) -3 E) 7

C) -4

Si el vector M  (5 / 2; 2 / 5;3) es un vector en el

17.

espacio tridimensional. Además el vector M forma con el eje x un ángulo de 60º y con el eje y forma un ángulo de 120º. Hallar el ángulo que forma el vector M con el eje z. A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º

18. Determinar el vector unitario que sea paralelo a la suma de los vectores:

A  3i  2j  7k

B  9i  5 j  3k

2 3 4 i j k A) 13 13 13

12 i j k B) 13

12i  3 j  4k 13 12 3 4 i j k E) 13 13 13 C)

D)

12 2 4 i j k 13 13 13

19.

Encuentre el vector A que tiene 12 unidades de longitud con la misma dirección que 3i  4 j . 48 36 48 36 i i j j A) 3i  4 j B) C) 5 5 5 5 D)

3 4 i j 5 5

E) 36i  48 j

Determinar el vector unitario que sea ˆ y paralelo a la suma de los vectores: A  3iˆ  2ˆj  7k ˆ B  9iˆ  5ˆj  3k

 6  A) cos 1   7 6 

2 6 B) cos 1   7

 12 6  C) cos 1    7 

 7  D) cos 1    12 6 

 6 E) cos 1    7 

23.

21. La figura muestra un cubo de lado a, halle el vector unitario de la suma de los vectores mostrados en la figura. (1;1; 2) A) 6

Dados los vectores:

A  2i  2 3 j ; B  4i Entonces A  B y | A  B| son respectivamente. A) 8; 8 3

B) 4; 2 3

D) 8 3 ; 4

E) F.D

C) 8; 6 3

tienen los vectores A y B , si B  2i  2j  k , el

24.

módulo de A es 4 y A  B  6 , hallar el módulo del producto vectorial A  B . A) 6

B) 4 3

D) 8 3

E) 3 6

C) 6 3

25. En la figura determine un vector unitario paralelo a la línea CD en el cubo de arista “a” y donde “D” es punto medio de la arista.

20.

ˆ ˆ B) 12 ˆi  ˆj  k A) 2 ˆi  3 ˆj  4 k 13 13 13 13 12iˆ  3ˆj  4kˆ ˆ C) D) 12 ˆi  2 ˆj  4 k 13 13 13 13 E) 12 ˆi  3 ˆj  4 ˆk 13 13 13

  

A)

i  j  k 3

Z

(2;1; 2) B) 3

C D

2 2 1 C)  i  j  k 3 3 3 2 2 1 D)  i  j  k 3 3 3

E)

26.

i  2j  k 6

Y X

Dados los vectores:

A  4i  4 j

B  2 cos 8º i  2sen8º j

Hallar el producto vectorial A  B

la juventud no es la esperanza de mañana, es la acción de hoy

2

Vectores A) 

12 12 2 k B) 2k 5 5

24 5

D)

27.

24 5

E) 

2k

2 2k 5

C)

   Dada la figura cúbica, halle A  2 B  C

31.





2k

A

B

Halle el vector P , si su módulo es Z



6.

C

A) (1; 2; 2) B) (2; 1;1) C) (2; 1;1)

P A) B

2 Y

E) (4; 2; 2)



4

D) -2 B

2 X Hallar el módulo del vector resultante: z 6

28.

 B)  B   E) C  B



D) (2; 1;3)

32.

A) Cero D) 5

A

4

Si: a = (1;1;2) y

a  b  • a  b 

b =(-1;2;-3), hallar:

B) 2 E) 7

D

F 3

Si

los

B  bi  2b j  4 k son perpendiculares, halle el vector

E

B) 13 E) 15

C) 14



los

vectores:

A  2i  j  3k

determine  

el



resultado

de

A)

3i  5 j  6k 70

B)

3i  5 j  6k 14

C)

3i  5 j  6k 14

D)

i  j  6k 38

E)

i  j  6k 38

y



B  4i  3 j  5k ,



unitario de la suma A B

A) 10 D) 16 Dados

y



G

29.

A  2i  3 j  2k

vectores 

x

C) 3



33.

y

B

C



C) 0

la



siguiente operación (A B)(A B) A) 26(2i  j  k)

B) 2(2i  j  k)

C) 52(2i  j  k)

D) 52(2i  j  k)







34. Los vectores a  3i  10 j , b y c  12i  6 j forman un polígono cerrado. Determine el producto  

E) 26(2i  j  k)

escalar b  c

30. El grupo de vectores mostrados se encuentran inscritos en un cubo. Determine el vector resultante. 

A) 84 D) – 84

B) 42 E) – 132

C) - 42

35. En la figura, encuentre el área del triángulo ABC; en m 2 . z B(0, 0, 3)

A 

B

C(0, 3, 0) 



C

E

y



A(3, 0, 0) x

D

  A) 2 D  B

 B) 2 B





D) B

E) E

  C) 2 D  C

A) 4, 5 3

B) 2, 5 3

D) 2, 5 2

E) 14

C) 4,8

36. Calcular el ángulo que forman los vectores:

A  8i  6 j y B  24i  7 j

la juventud no es la esperanza de mañana, es la acción de hoy

3

Vectores A) 53º D) 74º 37.

B) 37º E) 16º

C) 45º

vectores

Para los vectores mostrados se cumple:

c =m a +n b . Si a =3; m+n

Determinar para que valores de  y  los vos

45.

b =2 y

c =6, calcular

colineales. A) 4 Y 1 D) -4 Y -1

b  i  6 j  2k

B) -4 Y 1 E) 2 Y -1/2

son

C) 4 Y -1

Dados los vectores a   5, 2  ; b    3, 4 

46.

y

a  2i  3 j  k y

y

c   7, 4  , resolver la ecuación:

c

b 30º 30º

A)

5 3 3

B)

4 3 D) 3 38.

2x  5 a  3 b  4c

a

x

7 7

C)

39.

B) 1 E) 4

101

M  (1; 2; Z) y N  ( 1; 3; 2) .

B) 2 E) 0

C) 3

Dado el vector a  (4; 12; z)

, hallar z, siendo

47.

Siendo

C)  2, 5 

b   2,  5  ;

a   5,  2  ;

A) 1 D) 7

B) 2 E) 9

D)

8,2

B)

15 , 4 17

E)

7 , 15 2

5

C)

41. Hallar el punto N, con el que coincide el extremo del vector a  (3; 1;4) , si su origen coincide

En la figura, si q  a  b  c , determinar q

sabiendo que la segunda componente de q es cero, b  20 , a  10 2 y que la 1ra componente de c es igual a 20. Y A) 12 a b B) 13 37º

C) 14

45º

X

23. Determinar la resultante del vectores mostrados, en la figura z

c a

b

y

 x  45º ;  y  60º y  z  120º calcular las coordenadas

6

del vector a sobre los ejes coordenados.

B)(1; 1;1)

D)( 2; 1; 1)

E )(1; 1; 1)

C )(1; 1;0,5)

43. Calcular los cosenos directores del vector a  (3; 4;12) A) 3; 4; 12 B) 3/13; 4/13; 12/13

C )3 / 13;4 13;12 / 13

D)1/3; 1/4; 1/12

E) Faltan Datos

coordenadas sabiendo que a  2

d)(1;1;  2)

6

x

A) 4 13 - 2 B) 5 11 C) 2 3  1 E) 6 2 49.

D) 3 11 - 4 3

Encontrar una expresión para el vector T Z

A) i  2j  4k

2

44. Un vector a forma con los ejes coordenados OX y OY los ángulos   60º y   120º . Calcular sus

a)(1; 1;  2)

conjunto

C) (1; 2; 3)

Dado el modulo del vector a  2 y los ángulos

A)( 2; 1;1)

b)(1; 1;1) e)(1; 1; 1)

4 ,3 5

E) 16

C) 3

con el punto M = (1; 2; -3) A) (4; 1; 1) B) (2; -1; 1) D) (-4; -1; -1) E) (-2; 1; -1)

c    3,1  .

Hallar un vector unitario en la dirección y sentido de:

D) 15

a  13 .

42.

E)  3, 6 

48.

Hallar Z si: (2M  N)  N  6 5

40.

D)  4, 8 

C) 2

Dados los vectores

A) 1 D) 4

B)  9, 3 

v  2a  3b  4c . 8 , 15 A) 17

3 5 E) 3

Dados los vectores. Hallar “y” si A  B 

A) 0 D) 3

5 5

A)  3, 9 

c)(1; 1;0, 5)

B)  i  2 j  2k C) i  2j  4k

4

D)  i  2 j  4 k E) i  2 k

la juventud no es la esperanza de mañana, es la acción de hoy

Y

O 2 X

4

de

Vectores 50. Hallar el valor resultante y su módulo en el sistema vectorial mostrado.

Z

A) 3i  4 j  k

3

A

B) 3i  4 j  6k

Z

B

C) 4i  3 j  6k

3

Y

4

3

D) 4i  3 j  6k

O

E) 4 i

6

X

C

X

A) 3i  12j  4k ; 13

B) 3i  12j  4k ; 13

C) 3i  12j  4k ; 13

D) 3i  12j  4k ; 13

57.

Hallar un vector unitario en la dirección de P.

 2, 0, 2  A)  7

E) 3i  2j  4k

B)

 3, 2,6 

51. Hallar la resultante de los vectores mostrados en la figura Z

C)

 1, 0,1 

D)

 3, 2, 6 

A) 4i  2j  k

C

2

B) 4i  2j  k

A

D) 2i  4 j  3k

Y

O

X

E) i  2j  2k

Z

7 6

7

4

C)

 2, 2,1  / 2

B) 2i  j  k

D)

 2, 2,1  / 3

C) i  2j  k

E)

Z

1

D) 2i  2j  k E) i  j  k

O

X

Y 2

2

53. Hallar el vector unitario en la dirección de R Z A) (2;2;-1)/6 B) (-2;2;-1)/5 1 Y

O 2

E) (2;-2;1)/2 X 54. PQ

2 Z

Y

X

 2, 2, 1  / 5

59.

1

2

En la figura el resultado de la expresión

A  B . C es:

Z

A) 62 i B) i  j  k

4 Y 4

D) 64k

60.

4

X

Calcular el módulo del vector S  P  2 Q en el

sistema mostrado. Si: P  25 u , Q  15 u . Z A) 40

A) (2;1;1)/2

4

B) (2;2;1)/3

3

B) 45

1

P

C) (1;2;2)/2

C) 30

Y X

6

Y

D) 50

1

E) N. A.

55.

1

E) 3i  4 j  5k

Hallar un vector unitario en la dirección de

D) (2;1;2)/3

2

C) 12i  j

C) (2;2;-1)/4 D) (-2;2;1)/3

2

58. Encontrar un vector unitario en la dirección de A B Z A)   2, 0, 2  / 6

 2, 2, 1  / 4

Encontrar una expresión para el vector S

A) 2i  2j  k

3

7 X

B)

52.

Y

O

 3, 2,6  E) 7

B 3

C) 3i  2j  3k

Y

4

O

En la figura el resultado de la expresión: Z (DxE).F

E) 60

10 X

Q

A) 16 B) –12 C) 10

2

2

Y

D) –8 E) 6

X

2

2

56. Encontrar una expresión para A  2B  C ; en el sistema de la figura.

la juventud no es la esperanza de mañana, es la acción de hoy

5