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2. TALLER

Fisica Matematica Cristian C.Toledo C 1 .; Sergio A. Rojas T 2 . Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Surcolombiana. Neiva-Huila 21 de septiembre 2017

8.108Encuentre (3A–2B) (2A–B), donde A y B son las matrices del problema anterior.     3 −1 4 3 a) A = , B= 2 4 −2 −1     9 −3 8 6 3A = , 2B = −4 −2 6 12     1 −9 6 −2 3A − 2B = , 2A = 10 14 4 8   2 −5 2A − B = , 6 9     (2 − 54) (−5 − 81) −52 86 (3A − 2B)(2A − B) = = (20 + 84) (−50 + 126) 104 76 

 1 2 , −1



 1 −1 2 2 −4 B= 3 −1 −2 2     2 −2 4 4 0 2 4 −8 2B =  6 2A = −2 −4 4  −2 −4 4   −2 6 −2 −1 3 1 0 14  2A − B = −5 −6 8  −7 −1 8 −4    (12 − 10 + 1) (4 − 12 − 8) (16 + 4) 3 −16 20 163 −136 (3A−2B)(2A−B) = (−27 + 50 − 14) (−9 + 60 + 112) (−80 − 56)  =  9 (−3 − 65 + 7) (−1 + 78 − 56) (−104 + 28) −61 −135 132

2 0  b) A = −1 −2 −1 3   6 0 3 3A = −3 −6 6  −3 9 −3 4 2 3A − 2B = −9 −10 −1 13

1

8.109 a) V erif ique que det(AB) = [detA][detB] para las matrices del problema 8,107. b)?‘Se cumple que det(AB) = det(BA)? 

 3 −1 a) A = 2 4



 4 3 B= −2 −1

,

det(A) = (12 − (−2)) = 14 , det(B) = (−4 − (−6)) = 2     14 10 (12 + 2) (9 + 1) AB = = (8 − 8) (6 − 4) 0 2 det(AB) = 28.

[det(A)][detB] = 28

b) 

   (12 + 6) (−4 + 12) 18 8 BA = = (−6 − 2) (2 − 4) −8 −2 det(BA) = −36 − (−64) = 28 det(AB) = 28. Ef ectivamente si se cumple.     2 0 1 1 −1 2 2 −4 b) A = −1 −2 2  , B= 3 −1 3 −1 −1 −2 2   2 0 1 −1 −2 2     det(A) =  −1 3 −1 = (4 − 3) − (2 + 12) = −13, 2 0 1 −1 −2 2   1 −1 2 3 2 −4    = (4 − 12 − 4) − (−4 + 8 − 6) = −10 −1 −2 2 det(B) =     1 −1 2  3 2 −4     1 −4 6 1 8 −3 AB = −9 −7 10  , BA =  8 −16 11  9 9 −16 −2 10 −7   1 −4 6 −9 −7 10    9 −16 det(AB) =  9  = (112 − 486 − 360) − (−378 + 90 − 576) = 130  1 −4 6  −9 −7 10   1 8 −3  8 −16 11     = (112 − 240 − 176) − (−96 + 110 − 448) = 130 −2 10 −7 det(BA) =    1 8 −3 8 −16 11 2

a). det(AB) = (detA)(detB) = 130 b). si se cumple que det(AB) = det(BA) = 130

  −3 2 −1 B =  1 3 −2 2 1 2 Demuestre que : a) AB estan de f inido y calculelo, b) BA y A + B no estan def inidos.     −3 2 −1 3 −1 2 a). A = , B =  1 3 −2 3 2 3 2 1 2   3 −1 2 8.110 Sea A = , 3 2 3

Si estan def inidos AB.     (−9 − 1 + 4) (6 − 3 + 2) (−3 + 2 + 4) −6 5 3 AB = = (−12 + 2 + 6) (8 + 6 + 3) (−4 − 4 + 6) −4 17 −2 b). BA = N o esta def inido porque A es una matriz (2x3) y B una M atriz (3x3), al hacer el producto nos damos cuenta que el numero de columnas de B son dif erentes al numero de f ilas de A, para la multiplicacion de una matriz debe ser de la f orma (mxn)(nxp). A + B = para ef ectuar la sumas las matrices deben ser de dimenciones iguales (nxn) + (nxn). N o esta def inida.

8.111 Encuentre x,

y

y

z

demodo que :

     F1 2 −1 3 x 1      F2 1 2 −4 y = −3 F3 −1 3 −2 z 6 Se intercambia la F1

con F2 . 1 2 −4 −3 2 −1 3 1 −1 3 −2 6

−2F1 + F2 → F2 ,

DESP U ES,

1F 1 + F3 → F3

3

1 2 −4 −3 0 −5 11 9 0 5 −6 3 − F52 → F2 ,

DESP U ES,

−2F2 + F1 → F1

− 5F2 + F3 → F3

y

1 0 2 − 1 3 5 0 1 − 11 − 7 5 5 0 0 5 10 F3 5

→ F3 ,

11 F 5 3

DESP U ES,

+ F2 → F2

− 25 F2 + F1 → F1

y

1 0 0 −1 0 1 0 −3 0 0 1 2 T enemos que x = −1, y = 3 y z = 2

8.112 La inversa de una matriz cuadrada A, que se escribe A−1 , esta def inida por la ecuacion AA−1 = I, donde I es la matriz identidad que tiene unos en su diagonal principal y ceros en todos los demas elementos.     1 −1 1 3 −2 Obtenga A−1 si, a). A = , b). A = 2 1 −1 . −5 4 1 −1 2 −1 ?‘es A A = I, en estos casos?   F1 3 −2 1 0 F2 −5 4 0 1

A= F1 3

→ F1 ,

LU EGO

5F1 + F2 → F2 

3 F 2 2

→ F2

LU EGO 

2 F 3 2

1 − 23 0 23

1 3 5 3

0 1

+ F1 → F1

 1 0 2 1 0 1 52 32

T EN EM OS

QU E,

−1

A

 =

2 1 5 2

3 2

   6 − 5 −4 + 4 1 0 A A = 15 15 = = I. 0 1 − 2 −5 + 6 2 −1



Ef ectivamente  se cumple.  1 −1 1 b). Sea A = 2 1 −2 ?‘Es A−1 A = I 1 −2 2 4

en estos casos?



T

adjA A−1 = det(A)      1 −2 −1 −2 −1 −  −2 2   1 2      1 1 −2 1  2 1 1 1 1 AT = −1 1 −2 = adj(AT ) =  − − −2 2    1 2   1 1 −2 2  2 1 1 1 1 − 1 −2 −1 −2 −1     (2 − 4) −(−2 + 2) (2 − 1) −2 0 1 T    (2 − 1) −(−2 − 2) = −6 1 4 adj(A ) = −(4 + 2) (−4 − 1) −(−2 (1 −5 1 3  + 1)  + 2)  2 0 −1 −2 0 1 1 −1    A = −6 1 4 . −1 = 6 −1 −4 5 −1 −3 −5  1 3    (2 − 1) (−2 + 2) (2 − 2) 1 0 0 A−1 A = (6 − 2 − 4) (−6 − 1 + 8) (6 + 2 − 8) = 0 1 0 = I. (5 − 2 − 3) (−5 − 1 + 6) (5 + 2 − 6) 0 0 1

8.113 P ruebe que  2 1 1 −2  det(A) =  4 −3 2 1 1 −2 Es una matris es cero(0). por

  2 1 −2 A = 1 −2 3  4 −3 4

 1 −2   2   −2   2  1

no tiene inversa.

 −2 3  4  == (−16 + 6 + 12) − (16 − 18 + 4) = 0. −2 3 singular ya que su determinante lo tanto no tiene inversa.

8.114 P ruebe que (AB)−1 = B −1 A−1 , matrices cuadradas no singulaes.



donde A y

B

son

   3 2 4 5 A= , B= 1 3 2 1     (12 + 4) (15 + 2) 16 17 (AB) = = , det(AB) = 128 − 170 = −42 (4 + 6) (5 + 3) 10 8    
−0,1905 0,4048 8 −17 −1 1 (AB) = − 42 = 0,2381 −0,3810 −10 16     3 2 4 5 det(A) = = 9 − 2 = 7, det(B) = = 4 − 10 = −6 1 3 2 1 5

  1 5 
1 −5 − 1 B = − 6 = 16 62 −2 4  3 3 −2 3   − 3 −2 1
= 71 37 A−1 = 67 −
7 7 −1  3


 5 −1 53 13 + − 6
7 + 6 7
− 16 −2 −1 −1 6 7

7 B A = 13 1 −2 + − 23 −1 + − 32 37 37 7 3 7 −1



−1

B A

−1

  −0,1905 0,4048 = 0,2381 −0,3810

8.115 Exprese con notacion matricial a)un vector

las ecuaciones de transf ormacion para :

contravariante

Ecuacion de transf ormacion. p

A =

∂xp q A ∂xq

 ∂x1 ∂x1 ∂x1   1  1 A A ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 ∂x2 ∂x2 ∂x2   2   A = A ∂x1 ∂x2 ∂x3 3 ∂x3 ∂x3 ∂x3 A3 A ∂x1 ∂x2 ∂x3 b)un tensor covariante de rango dos    ∂x1 A11 A12 A13 ∂x1 A21 A22 A23  =  ∂x12 ∂x ∂x1 A31 A32 A33 ∂x3

 1 1 A1 A2  2 2 A1 A2 3 3 A1 A2

∂x2 ∂x12 ∂x ∂x22 ∂x ∂x3

∂x3 A11 ∂x13 ∂x   A21 ∂x23 ∂x A31 ∂x3



c) un tensor   1  1 1 ∂x ∂x1 ∂x1 A3 A1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 ∂x2 ∂x2 ∂x2   2  A1 A3  = ∂x1 ∂x2 ∂x3 3 3 ∂x3 ∂x3 ∂x3 A 1 A 1 2 3 3

∂x

∂x

∂x

  ∂x1 A12 A13 ∂x12 ∂x A22 A23   ∂x 1 ∂x3 A32 A33 1 ∂x

∂x1 ∂x22 ∂x ∂x32 ∂x ∂x2

∂x1 ∂x32 ∂x  ∂x33 ∂x ∂x3



mixto de rango dos.   ∂x1 ∂x1 ∂x1  A12 A13 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2 2   ∂x2 ∂x2 ∂x2  A2 A3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂x3 A32 A33 1 2 3 ∂x



∂x

∂x

 2 −2 8.116 Dada A = , determine los valores de la constante λ −3 1 de modo que AX = λX, para cierta matriz X dif erente de cero (y que depende de λ). Estos valores de λ se llaman valores caracteristicos o eigenvalores (o valores propios) de la matriz A.

6

A − λI       2 −2 λ 0 2 − λ −2 A= − = = λ2 − 3λ − 4 = 0 −3 1 0 λ −3 1 − λ λ2 − 3λ − 4 = 0 (λ + 1) (λ − 4) λ = −1 λ=4

8.118 demuestre que (AB)T = B T AT 3 2 B = 1 0 1 −1 (3 + 2 − 1) (2 + 0 + 2) 4 3 A.B = A.B = (0 + 2 + 1) (0 + 0 − 1) 3 −1 4 3 (A.B)T = 3 −1 1 0 3 1 1 T T B = A = 2 2 2 0 −1 −1 1 (3 + 2 − 1) (0 + 2 + 1) T T A B = (2 + 0 + 1) (0 + 0 − 1) 4 3 AT B T = 3 −1 1 2 −1 A= 0 2 1

8.119 Determine el tensor m´etrico y el tensor m´etrico conjugado en coordenadas: a) cil´ındricas parab´olicas y b) cil´ındricas el´ıpticas. a)tensor m´etrico cil´ındricas parab´olicas x = 21 (u2 − v 2 )

hu =

√

y = uv

h1 = hu

h2 = hv

u2 + v 2

hv =

h2u = u2 + v 2

√

z=z h3 = hz

u2 + v 2

h2v = u2 + v 2

entonces ds = dx2 + dy 2 + dz 2 2

7

hz = 1 h2z = 1

ds2 = (u2 + v 2 )du2 + (u2 + v 2 )dv 2 + dz 2 as´ı en forma matricial: 2 u + v 2 0 0 2 2 u + v 0 gkj = 0 0 0 1 tensor m´etrico conjugado 1 1 2 du2 + u2 +v 2 dv + u2 +v 2 21 2 0 0 u +v 1 0 g kj = 0 2 2 u +v

ds2 =

0

0

dz 2

1

b)tensor m´etrico cil´ındricas el´ıpticas: x = dcoshucosv h1 = hu √ hu = a senh2 u + sen2 v h2u = a2 (senh2 u + sen2 v)

y = asenhusenv h2 = hv

z=z

h3 = hz

√ hv = a senh2 u + sen2 v h2v = a2 (senh2 u + sen2 v)

hz = 1 h2z = 1

entonces ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 ds2 = a2 (senh2 u + sen2 v)du2 + a2 (senh2 u + sen2 v)dv 2 + dz 2 As´ı en forma matricial: 2 a (senh2 u + sen2 v) 0 0 2 2 2 0 a (senh u + sen v) 0 gkj = 0 0 1 Tensor m´etrico conjugado ds2 =

1 du2 a2 (senh2 u+sen2 v)

g kj

+

a2 (senh21u+sen2 v) 0 = 0

1 dv 2 a2 (senh2 u+sen2 v)

0 1 a2 (senh2 u+sen2 v)

0

+ dz 2

0 0 1

8.121 Determine gyg jk que corresponde a ds2 = 3(dx1 )2 +2(dx2 )2 +4(dx3 )2 −6(dx1 dx3 )

8

g11 = 3 ,

g22 = 2 ,

g33 = 4 , 3 g = 0 −3

g12 = 0 , 0 −3 2 0 0 4

g23 = 0 ,

g13 = −3

por cofactores resolvemos, nos queda: 8 0 6 g = 0 3 0 6 0 6

3 0 −3 det(g) = 0 2 0 = 6 −3 0 4

hallamos g jk 1 (8) 6

= 34 , 1 (0) = 0, 6 1 (6) = 1, 6

1 (0) = 0, 6 1 (3) = 12 , 6 1 (0) = 0, 6

1 (6) = 1 6 1 (0) = 0 6 1 (6) = 6

1,

As´ı: g jk

4 0 1 3 = 0 12 0 1 0 1

8.122 Sea Ak = g jk Aj . Demuestre que Aj = gjk Ak y la inversa. Ak = g jk Aj multiplicamos por gjn gjn Ak = g jk gjn Aj = δnk Aj = Aj Aj = gjn Ak Aj = gjk Ak

8.123 Exprese la relaci´on entre los tensores asociados. a) Apq

y

A.q j

b) Ap.r .q

y

Ajql

a) Apq = g pj A.q j pj rl b) Ap.r .q = g g Ajql rl jk c) A..r pq = gpj gqk g A..l 9

c) A..r pq

y

Ajk ..l

8.126Demuestre que los tensores gpq

g pq

,

y

δqp son tensores asociados

Apq = glp glq Als Apq = g rp g rp Ars δqp = g mp gnq δnm

j

q

∂x ∂x 8.127 Pruebe que a)g jk ∂x p = qpq ∂xk

p

k

b)g jk ∂x = g pq ∂x ∂xq ∂xj

y

j

q

∂x lo multiplicamos por ∂x en ambos lados j ∂xq ∂xl ∂xl ∂xj g jk ∂xj ∂xp = gpq ∂xk ∂xj ∂xq ∂xl l g jk δp = gpq ∂x donde l = p k ∂xj ∂xq ∂xl g jk = ∂xk ∂xj gpq

p

k

lo multiplicamos por ∂x en ambos lados ∂xl j p k j ∂x ∂x g jk ∂x = g pq ∂x ∂xq ∂xl ∂xl ∂xj k j ∂x donde p = l g jk δlp = g pq ∂x ∂xq ∂xl ∂xj ∂xk pq jk g = ∂xl ∂xq g

∂x ∂x a)g jk ∂x p = gpq ∂xk

b)g jk ∂x = g pq ∂x ∂xq ∂xj

l

j

8.128 Sea Ap un campo vectorial. Encuentre el vector unitario correspondiente

Como rˆ =

r |r| q 2

entonces A =

Aq |Aq |

|A | =pAq Aq |Aq | = Aq Aq q A = √Aq A Aq

8.129 Demuestre que los cosenos de los ´angulos que forma el vector unitario tridimen√U2 sional U i con las curvas coordenadas est´an dados por √Ug111 , y √Ug333 g22 U i = U1 + U2 + U3 hacemos una matriz identidad 10

1 0 0 gi = 0 1 0 0 0 1

U1 i entonces U = U2 U3 1 0 0 U1 i A = g i U = 0 1 0 U2 0 0 1 U3 U1 0 0 A = 0 U2 0 = √Ug111 , √Ug222 y √Ug333 0 0 U3

8.130 Determine los s´ımbolos de Christoffel del primer y segundo tipo, en coordenadas: a) rectangulares, b) cil´ındricas y c) esf´ericas. a) rectangulares x = x, x2 = y y 1

g11 = 1, [pp, p] =

x3 = z

g22 = 1 y 1 ∂g pp , 2 ∂xp

g33 = 1

[pp, r] = − 12

∂g pp , ∂xr

[pq, p] =

1 ∂g pp 2 ∂xq

[pq, p] =

1 ∂g pp 2 ∂xq

∂1 [11, 1] = 21 ∂x =0 en todas dan cero. b) cilindricas. x1 = ρ, x2 = ψ y x 3 = z

g11 = 1, [pp, p] =

g22 = ρ2 1 ∂g pp , 2 ∂xp

y

g33 = 1

[pp, r] = − 12

∂g pp , ∂xr

2

= −ρ, [12, 2] = [21, 2] = [22, 1] = − 21 ∂ρ ∂ρ en todas san cero.

1 ∂ρ2 2 ∂ρ

=ρ

c). Esf ericas. x1 = r, g11 = 1,

x2 = θ g22 = r2 2

[22, 1] = − 12 ∂r = −r ∂r [32, 3] = [23, 3] =

y

g33 = r2 sen2 θ

,

[12, 2] = [21, 2] =

1 ∂r2 sen2 θ 2 ∂θ

[33, 2] = − 12 ∂r

2 sen2 θ

[33, 1] = − 21 ∂r

2 sen2 θ

∂θ

∂r

x3 = ψ

y

1 ∂r2 2 ∂r

= r2 senθcosθ

= −r2 senθcosθ = −rsen2 θ

,

11

=r

[13, 3] =

1 ∂r2 sen2 θ 2 ∂r

= rsen2 θ

Ahora con las de segundo tipo.   p pp

=

 

1 ∂g pp 2gpp ∂xp

,

s pp

=

∂g − 2g1ss ∂xpps

  p pq

,

=

1 ∂g pp 2gpp ∂xq

a). Rectangulares. x1 = x,

x2 = y

x3 = z

y

gn11 o = 1, g22 = 1 y g33 = 1 ∂1 1 1 = 2(1) ∂x = 0 , de igual manera todos son 11

cero.

b). Clindricas. x1 = ρ,

x2 = ψ

x3 = z

y

g11 = 1, g22 = ρ2 y n o 1 ∂ρ2 1 = −ρ , = − 2ρ ∂ρ 22

g33 = 1 n o n o 2 = 2 = 21

12

1 ∂ρ2 2ρ2 ∂ρ

=

1 ρ

c). Esf ericas. x1 = r,

x2 = θ

y

x3 = ψ

g11 = 1, g22 = r2 y g33 = r2 sen2 θ n o 2 1 = −r = − 12 ∂r ∂r 22 n o n o 2 2 = 2 = 2r12 ∂r = 1r ∂r 21 12 n o 2 sen2 θ 1 = −rsen2 θ, = − 12 ∂r ∂r 33 n o 2 sen2 θ 2 = − 2r12 ∂r ∂θ = −senθcosθ 33 n o n o ∂r2 sen2 θ 1 3 = 3 = 2r2 sen = 1r 2θ ∂r 31 13 n o n o 1 ∂r2 sen2 θ 3 = 3 = 2r2 sen = cotθ 2θ ∂θ 32

23

8.131Determine los simbolos de Christof f el de los tipos primero y segundo, encoordenadas : a) cilindricas parabolicas y b) cilindricas elipticas. a). se def ine 12

x1 = u

x2 = v

g11 = u2 + v 2

x3 = z

g22 = u2 + v 2

g33 = 1

evaluando los simbolos de primer [pp, p] =

1 ∂g pp , 2 ∂xp

[pp, r] = − 12

∂g pp , ∂xr

tipo tenemos.

[pq, p] =

1 ∂g pp 2 ∂xq

Buscamos los dif erentes de cero. [11, 1] =

1 ∂u2 +v 2 2 ∂u

=u

[12, 1] = [21, 1] = [22, 2] =

1 ∂u2 +v 2 2 ∂v

2

1 ∂u2 +v 2 2 ∂v

=v

=v

Ahora las del   ∂g p = 2g1pp ∂xppp pp

2

[11, 2] = − 21 ∂u∂v+v = −v

,

,

,

2

2

[22, 1] = − 21 ∂u∂u+v = −u

[12, 2] = [21, 2] =

1 ∂u2 +v 2 2 ∂u

=u

segundo tipo, usando los simbolos de segundo tipo.     ∂g 1 ∂g pp p s = 2g1pp ∂xppq , , = − 2gss ∂xs pq

pp

Buscamos dif erentes de cero rotando entre 1 y 2. porque en el tensor metrico no hay quien dependa de z. n o n o 2 2 2 2 u v 1 2 = 2u21+v2 ∂u∂u+v = u2 +v = 2u21+v2 ∂u∂v+v = u2 +v 2, 2 11 22 n o 2 2 u 1 = − 2u21+v2 ∂u∂u+v = − u2 +v 2 22 n o 2 2 v 2 = − 2u21+v2 ∂u∂v+v = − u2 +v 2 11 n o n o 2 2 u 2 = 2 = 2u21+v2 ∂u∂u+v = u2 +v 2 21 12 n o n o 2 2 v 1 = 1 = 2u21+v2 ∂u∂v+v = u2 +v 2 21

12

b). se def ine. x1 = u

x2 = v

x3 = z

g11 = a2 (senh2 u + sen2 v) g22 = a2 (senh2 u + sen2 v) evaluando los simbolos de primer ∂g

tipo tenemos.

∂g

[pp, p] = 21 ∂xppp , [pp, r] = − 12 ∂xppr , [pq, p] = Buscamos los dif erentes de cero. [11, 1] =

2 1 ∂a2 (senh u+sen2 v) 2 ∂u

[11, 2] = − 12 ∂a

∂v

1 ∂g pp 2 ∂xq

= 2a2 senh(u)cosh(u),

2 (senh2 u+sen2 v)

g33 = 1

= −2a2 sen(v) cos(v),

13

[12, 1] = [21, 1] = [22, 1] = − 21 ∂a [22, 2] =

2 2 1 ∂a (senh u+sen2 v) 2 ∂v

2 (senh2 u+sen2 v)

∂u

2 1 ∂a2 (senh u+sen2 v) 2 ∂v

[12, 2] = [21, 2] = Ahora las del   ∂g p = 2g1pp ∂xppp pp

= 2a2 sen(v) cos(v) ,

= −2a2 senh(u)cosh(u),

= 2a2 sen(v) cos(v)

2 1 ∂a2 (senh u+sen2 v) 2 ∂u

,

= 2a2 senh(u)cosh(u)

segundo tipo, usando los simbolos de segundo tipo.     ∂g pp ∂g 1 p s , = − 2gss ∂xs , = 2g1pp ∂xppq pp

pq

Buscamos dif erentes de cero rotando entre 1 y 2. porque en el tensor metrico no hay quien dependa de z. n o 2 2 2 1 , = 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂uu+sen v) = senh(u)cosh(u) senh2 u+sen2 v 11 n o 2 2 2 cos(v) 2 = 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂vu+sen v) = sen(v) 2 2v senh u+sen n22o 2 2 2 1 = − 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂uu+sen v) = − senh(u)cosh(u) senh2 u+sen2 v 22 n o 2 2 2 cos(v) 2 = − 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂vu+sen v) = − sen(v) 2 2v senh u+sen 11 n o n o 2 2 2 2 = 2 = 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂uu+sen v) = senh(u)cosh(u) senh2 u+sen2 v 21 12 n o n o 2 2 2 cos(v) 1 = 1 = 2a2 (senh21u+sen2 v) ∂a (senh∂vu+sen v) = sen(v) senh2 u+sen2 v 21

12

8.133 Demuestre que la geod´esicas en un plano son l´ıneas rectas. partimos de: ds2 =pdx2 + dy 2 + dz 2 ds = dx2 + dy 2 + dz 2 Necesitamos recurrir a ecuaciones parametricas para poder describir una linea cualesquiera. As´ı: s=

q

( dx )2 + ( dy )2 + ( dz )2 dt dt dt

Para poder utilizar la ecuaci´on de euler con la finalidad de determinar la ruta extrema entre t1 y t2 , describiremos euler como: q F = ( dx )2 + ( dy )2 + ( dz )2 dt dt dt p F = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 14

As´ı tendremos tres ecuaciones de euler, las cuales: ∂F ∂x

−

d ∂F dt ∂ x˙

∂F ∂y

=0 ;

−

d ∂F dt ∂ y˙

∂F ∂z

=0 ;

−

d ∂F dt ∂ z˙

=0

As´ı: ∂F ∂x

=

∂F ∂y

=

∂F ∂z

=0

Entonces d ∂F dt ∂ x˙

d ∂F dt ∂ y˙

=0 ;

d ∂F dt ∂ z˙

=0 ;

F =

Rp = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ∂F ∂ x˙

√

F =

Rp = x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ∂F ∂ y˙

√

F =

Rp x˙ 2 + y˙ 2 + z˙ 2 ∂F = ∂ z˙

√

x˙ x˙ 2 +y˙ 2 +z˙ 2 y˙

x˙ 2 +y˙ 2 +z˙ 2 z˙ x˙ 2 +y˙ 2 +z˙ 2

=0

= C1 = C2 = C3

igualando las ecuaciones y˙ C2

;

y˙ C2

R

y˙ dt C2

;

R

=

y2 −y1 C2

;

y2 −y1 C2

x˙ C1

integramos respecto a t R x˙ C1

dt =

x2 −x1 C1

=

=

z˙ C3

y˙ dt C2

=

=

R

z˙ dt C3

z2 −z1 C3

igualamos C1 , C2 , yC3 2 −y1 2 −z1 = yy−y = zz−z 1 1 esta es precisamente la ecuaci´on de una recta en el espacio tridimensional euclidiano que pasa por los puntos P (x1 , y1 , z1 ) , y, Q(x2 , y2 , z2 )

x2 −x1 x−x1

8.134 Pruebe que las geod´esicas en una esfera son arcos de c´ırculos m´aximos. partimos de: ds2 =pdx2 + dy 2 + dz 2 ds = dx2 + dy 2 + dz 2 Trabajaremos en coordenadas esf´ericas, por que as´ı lo pide el problema. x = rsenθcosϕ y = rsenθsenϕ z = rcosθ 15

as´ı ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sen2 θdϕ2 donde r = cte entonces dr = 0 por lo tanto 2 ds = p r2 dθ2 + r2 sen2 θdϕ2 ds = r dθ2 + r2 sen2 θdϕ2 Sacando a dϕ, la distancia entre el punto 1 y 2 sobre la superficie de una esfera. R 2 q dθ 2 s = r 1 [( dϕ ) + sen2 θ]dϕ como estamos buscando la geod´esica, entonces usamos la ecuaci´on de euler: q dθ 2 dθ F = ( dϕ ) + sen2 θ donde θ˙ = dϕ p entonces F = θ˙2 + sen2 θ Ahora usamos la segunda forma de ecuaci´on de euler: p p θ˙2 + sen2 θ − θ˙ ∂∂θ˙ θ˙2 + sen2 θ = C diferenciando y multiplicando p a trav´es de F, tenemos 2 sen θ = C θ˙2 + sen2 θ entonces 1

(θ˙2 + sen2 θ) 2 −

θ˙2 1

(θ˙2 +sen2 θ) 2

2 θ−θ˙ 2 ˙ θ+sen 1

(θ˙2 +sen2 θ) 2 sen4 θ θ˙2 +sen2 θ

=C

=C

= C2

sen4 θ = C 2 θ˙2 + C 2 sen2 θ θ˙2 =

sen4 θ−C 2 sen2 θ C2

q 4 2 sen2 θ = sen θ−C C2 invirtiendo C = √sen4 θ−C 2 sen2 θ donde senθ = dθ dϕ

dϕ dθ

dϕ dθ

dϕ dθ

C

= =

dϕ dθ

ϕ=

q

csc3 θ √ C csc2 θ−C 2 csc4 θ

= R

2 1 − C2 csc4 θ csc θ

csc2 θ √C 1−C 2 csc2 θ csc2 θ √C dθ 1−C 2 csc2 θ

donde csc2 θ + cot2 θ = 1 16

1 cscθ

ϕ = sen−1 ( cotθ )+k α 2

k = 1−C C2 entonces cotθ = αsen(ϕ − k) Este resultado no nos ilustra mucho sobre la geod´esica, entonces revertimos las coordenadas y multiplicamos por rsenθ As´ı (αcosk)rsenθsenϕ − (αcosk)rsenθcosϕ = rsenθ como k y α son constante. As´ı A = αcosk ; B = αsenk entonces A(rsenθsenϕ) − B(rsenθcosϕ) = rsenθ Aplicamos la trasformaci´on de coordenadas esf´ericas a coordenadas cartesianas. As´ı no queda: Ay − Bx = z Esta ecuaci´on en el espacio tridimensional euclidiano, esta es precisamente la ecuaci´on de un plano que corta a la esfera pasando por el centro de la misma. se concluye que la geod´esica es la curva de dicho plano forma la intersecci´on de la superficie de la esfera, en pocas palabras, es un arco de c´ırculos m´aximos.

8.135 Escriba los s´ımbolos de Christoffel del segundo tipo para la m´etrica ds2 = (dx1 )2 + [(x2 )2 − (x1 )2 ](dx2 )2 y las ecuaciones geod´esicas correspondientes

8.136Escriba la derivada covariante con respecto de xq de cada uno de los tensores siguientes: a) Ajk l,

; b)Ajk ; c)Ajklm, ; d)Ajkl y m, lm,       ∂Ajk jk jk sk l j s As + Al + k Asj a) Al,q = ∂xq − l qs qs lq         ∂Ajk jk jk jk sk lm j s s b)Alm,q = ∂xq − Asl + Alm + k Asj Asm − lm mq qs qs lq         ∂Aj c)Ajklm,q = ∂xklm − s Ajslm − s Ajskm − s Ajskl + j Asklm q kq

mq

lq

17

qs

e)Ajk lmn

d)Ajkl m,q

=

∂Ajkl m ∂xq

e)Ajk lmn,q =

 

−

∂Ajk lmn ∂xq

Ajkl s

 

Askl m

 

Asjl m

 

Asjk m           jk jk jk sk j s s s Asln − Aslm + − Asmn − Almn + k Asj lmn s mq

lq

+

j sq

+

mq

k qs

+

nq

8.137 Encuentre la derivada covariante de: a)gjk Ak , respecto a xq a)gjk Ak = gjk Ak,q b)Aj Bk = Aj,q Bk + Aj Bk,q c)δkj Aj = δkj Aj,q

18

l qs

qs

qs

b)Aj Bk

y

c)δkj Aj , con