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• JUAN JOSE RAMIREZ MARTINEZ

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TALLER 2 - EJERCICIOS

Juan José Ramírez Martínez - 20171025056 Marcela Fernanda Vargas Camargo - 20171025104

Prof. Diego Julián Rodríguez Patarroyo

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS INGENIERÍA ELECTRICA FISICA III: ONDAS FISICA MODERNA BOGOTA.DC 2020-1

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EJERCICIOS:

13.59. El movimiento de un oscilador subamortiguado está descrito por la ecuación (13.42). Sea el ángulo de fase f ɸ= 0. 𝑏

𝑋 = 𝐴𝑒 −(2𝑚)𝑡 cos (𝑤 ′ 𝑡) cómo es subamortiguado 𝑏 < 2√𝑘𝑚 𝛽=

𝑏 2𝑚

a) Según la ecuación, ¿cuánto vale x en t = 0? 𝑏

𝑋 = 𝐴𝑒 −(2𝑚)(0) cos (𝑤 ′ (0)) 𝑋 = 𝐴𝑒 (0) cos (0) 𝑋=𝐴

b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad en t = 0? ¿Qué nos dice el resultado acerca de la pendiente de la curva de x contra t cerca de t = 0? 𝑉=

𝑑𝑥 𝑏 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)𝑡 [− cos(𝑤 ′ 𝑡) − 𝑤 ′ 𝑠𝑒𝑛 (𝑤 ′ 𝑡)] 𝑑𝑡 2𝑚

𝑉 = 𝐴𝑒 −(𝑏/2𝑚)(0) [−

𝑏 cos(0) − 𝑤 ′ 𝑠𝑒𝑛 (0)] 2𝑚

𝑏

𝑉 = 𝐴 [− 2𝑚] 𝑉=−

𝐴𝑏 2𝑚

La magnitud es

𝐴𝑏 2𝑚

y la dirección es negativa

la gráfica de x contra t nos indica que la pendiente baja cerca de t = o

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c) Deduzca una expresión para la aceleración a en t = 0. ¿Para qué valor o intervalo de valores de la constante de amortiguamiento b (en términos de k y m) en t = 0, la aceleración es negativa, cero o positiva? Comente cada caso en términos de la forma de la curva de x contra t cerca de t =0. 𝑎=

𝑏 𝑑𝑣 𝑏2 𝑤′𝑏 = 𝐴𝑒 (−2𝑚)𝑡 [( 2 − 𝑤′2 ) cos 𝑤′𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤′𝑡] 𝑑𝑡 4𝑚 2𝑚

𝑏2 𝑤′𝑏 𝑎 = 𝐴𝑒 (0) [( 2 − 𝑤′2 ) cos 𝑤′0 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤′0] 4𝑚 2𝑚

𝑏2 𝑎 = 𝐴 ( 2 − 𝑤′2 ) 4𝑚

𝐴𝑏 2 𝑘 𝑎= − 4𝑚2 𝑚

será negativa si: 𝑏 < √2𝑘𝑚 será igual a 0 si: 𝑏 = √2𝑘𝑚 será positiva si: 𝑏 > √2𝑘𝑚 El gráfico en los tres casos será: curvado hacia abajo, no curvado y curvado hacia arriba, respectivamente.

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13.62. Un paquete experimental y su estructura de soporte que se colocarán a bordo de la Estación Espacial Internacional actúan como sistema de resorte-masa subamortiguado con constante de fuerza de 2.1 x 10^6 N/m y masa de 108 kg. Un requisito de la NASA es que no haya resonancia para oscilaciones forzadas en ninguna frecuencia menor que 35 Hz. K = 2.1 x 10^6 N/m 𝑚 = 108 kg

𝑊𝑓 ≠ 𝑊0 no resonancia 𝑊𝑓 = 𝑊0 resonancia

𝑊0 = √𝑘/𝑚 𝑊0 = √

2.1𝑥106 = 139.4433 𝑟𝑎𝑑𝑠/𝑠 108

Como la frecuencia obtenida es la frecuencia angular, la convertiremos a frecuencia simple

𝑓 = 𝑊0/2𝜋 𝑓=

139.4433 2𝜋

𝑓 = 22.1931 𝐻𝑧

El paquete con los requerimientos establecidos por la NASA ya que su frecuencia es menor a 35 Hz.

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13.68. Un bloque de masa M descansa en una superficie sin fricción y está conectado a un resorte horizontal con constante de fuerza k. El otro extremo del resorte está fijo a una pared (figura 13.36). Un segundo bloque de masa m está sobre el primero. El coeficiente de fricción estática entre los bloques es μs. Determine la amplitud de oscilación máxima que no permite que el bloque superior resbale.

En el movimiento armónico simple

Si aplicamos sumatoria de fuerzas al bloque superior:

La máxima aceleración del bloque inferior no puede exceder la máxima aceleración que puede ser dada al otro bloque por la fuerza de fricción. Para el bloque m, la máxima fuerza de fricción es:

Ahora debemos considerar el movimiento armónico simple de ambos bloques

donde

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Ahora despejamos A:

Finalmente:

13.91. Una varilla metálica delgada y uniforme con masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro extremo del resorte se fija a un soporte rígido. La varilla se desplaza un ángulo pequeño ϴ con respecto a la vertical (figura 13.40) y se suelta. Demuestre que se mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: suponga que ϴ es suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen ϴ = ϴ y cos ϴ = 1 sean válidas. El movimiento es armónico simple si 𝑑 2 𝜃/𝑑𝑡 2 = −𝜔2 𝜃 , y el periodo es entonces T = 2π/ω.

Para demostrar que es un MAS, realizaremos una sumatoria de momentos para dos casos: Si está en reposo. 𝑚𝑔 = 2𝐾𝑋1 (1)

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Si se movió, hay aceleración angular. 𝜑

−𝑚𝑔 cos 𝛳 ( 2 ) + 𝐾(𝑋1 + 𝑋2) cos 𝛳 𝜑 = −𝐼α

(2)

Sustituyendo (1) en (2) obtenemos 𝜑 −2𝐾𝑋1𝑐𝑜𝑠𝛳 ( ) + 𝐾(𝑋1 + 𝑋2)𝑐𝑜𝑠𝛳 𝜑 = − 𝐼α 2 −𝐾𝑋1𝑐𝑜𝑠𝛳 𝜑 + 𝐾𝑋1𝑐𝑜𝑠𝛳𝜑 + 𝐾𝑋2𝑐𝑜𝑠𝛳𝜑 = −𝐼α 𝐾𝑋2𝑐𝑜𝑠𝛳𝜑 = −𝐼α (3)

Conociendo que el momento de inercia de una varilla es 1

𝐼 = 3 𝑚𝜑 2

(4)

Sustituyendo (4) en (3) 1 𝐾𝑋2𝑐𝑜𝑠𝛳𝜑 = − 𝑚𝜑 2 α 3 Despejando la aceleración α=

α=

−3𝐾𝑋2𝑐𝑜𝑠𝛳𝜑 𝑚𝜑 2 −3𝐾𝑋2𝑐𝑜𝑠𝛳 𝑚𝜑

(5)

Como la varilla esta inclinada podemos expresar X2 así 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑋2/𝜑 𝑋2 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝜑 (6)

Sustituyendo (6) en (5) tenemos que α= α=

−3𝐾𝑠𝑒𝑛 𝜃𝜑 𝑐𝑜𝑠𝛳 𝑚𝜑 −3𝐾𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝛳 𝑚

(7) 7

Suponemos que el ángulo 𝛳 es lo suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen es suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen𝛳 ≈ 𝛳 y cos𝛳 ≈ 1 sean válidas. Simplificamos (7) α=

−3𝐾𝛳

(8)

𝑚

Así logramos demostrar que la varilla sigue el MAS, sabiendo esto el periodo esta definido como: 𝑇=

2𝜋 𝑊

Por la ecuación (8) sabemos que 𝑊 = √−

3𝐾 𝑚

Entonces 𝑇=

2𝜋 √− 3𝐾 𝑚

Finalmente 𝑇=

2𝜋√𝑚 √−3𝐾

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13.97. Constante de fuerza efectiva de dos resortes. Dos resortes con la misma longitud no estirada, pero diferentes constantes de fuerza k1 y k2, se unen a un bloque de masa m en una superficie plana sin fricción. Calcule la constante de fuerza efectiva kefe en cada uno de los tres casos: a), b) y c) de la figura 13.43. (La constante de fuerza efectiva está definida por ∑ 𝐹 𝑥 = −𝐾 𝑋 ) d) Un objeto de masa m, suspendido de un resorte uniforme con constante de fuerza k, vibra con una frecuencia f1. Si el resorte se parte a la mitad y el mismo objeto se cuelga de una de las mitades, la frecuencia es f2. Determine la relación f2/f1.

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d) El resultado de la parte (c) muestra que cuando un resorte se corta por la mitad, la constante efectiva del resorte se duplica y, por lo tanto, la frecuencia aumenta en un factor de 2. En los casos (a) y (b) la constante de fuerza efectiva es mayor que 1 k o 2 k y en el caso (c) es menor.

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