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Ecuaciones Diferenciales A Grupo 3 - Semestre 2019 B Docente: Janeth Alpala 23 de octubre de 2019

Taller N◦ 2. Observaci´ on: Puede realizar el taller en grupos de m´aximo 4 estudiantes. Deben entregarlo en hojas papel ministro, marcadas con los nombres completos de los integrantes del grupo y su respectivo c´odigo estudiantil, hasta el d´ıa 30 de Octubre de 2019 a las 5:00 pm. Cada grupo debe entregar los siguientes puntos. Ejercicio Item

Valor

1

b

0.5 pt

5

a

1 pt

6

b

0.5 pt

7

b

1 pt

9

a,c

1 pt

10

a

0.5 pt

11

b

0.5 pt

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integraci´ on apropiado.   ex 2 a) (e + y )dx + xy − − 2y dy = 0 y     1 x 1 b) 2 sen y − sen x + cos x dx + cos x + x cos y + sen y dy = 0 x y y x

2

c) (6x2 y 2 − 4y 4 )dx + (2x3 y − 4xy 3 )dy = 0

2. Resolver el problema de valor inicial usando el m´etodo de factor integrante.   2x a) xy + 1 + xy dx + x2 dy = 0, para y(−3) = 0 e b) (ye2y + x + 1)dx + (ye2y + e2y − x)dy = 0, √ c) y 0 − (tan x)y = x sec x, para y(0) = π

para y(1) = 0

3. Resolver las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por el m´etodo de factor integrante. a) y 0 + (cos x)y = cos x b) xy 0 + 4y = 9x5 + 2x3 c) xy 0 − 3y = x4 sen x d ) xy 0 − 5y = x6 sec2 x 4. Resolver las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden por el m´etodo de variaci´ on de par´ ametros. 1 1 y= 2 1+x 1 + x2 b) y 0 − (1 + 3x2 )y = 3 + 9x2

a) y 0 −

c) xy 0 + 4y = 9x5 + 2x3 d ) xy 0 − 3y = x4 sen x 5. Resolver el problema de valor inicial usando el m´etodo de variaci´ on de par´ ametros. 3 1 y=√ , 1 − x2 1 − x2 sen x , b) y 0 + (sec x tan x)y = cos2 x

a) y 0 + √

para y(0) = 4 para y(0) = 6

6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli. dy − y = ex y 2 dx 4 b) xy 0 + 6y = 3xy 3

a)

1

c) y 0 + xy = xy − 2 1 2 d ) y 0 + y = x4 y 4 x 3 7. Transformar la ecuaci´on diferencial dada en una ecuaci´on de Bernoulli y resolverla. a) y 2 dx + (2xy − 5x3 )dy = 0 b) (y ln x − 2)ydx = xdy c) (1 − x2 )y 0 − xy = 7xy 2 d ) 2x2 + 2xyy 0 = x2 + y 2 e) xy 0 + 2y + x5 y 3 ex = 0 8. Se˜ nalar la regi´on del plano xy donde cada ecuaci´on diferencial tiene soluci´on u ´nica.

a) y 0 =

−5x y

dy b) x dx =y

c) (x2 + y 2 )y 0 = y 2 d ) y 0 = 1 − cot y 9. Resolver las ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden 2

d y a) y dx 2 +


dy 2 dx

=

dy dx

b) 2yy 00 = 1 + (y 0 )2 c) 2xy 00 − y 0 +

1 y0

= 0.

Aplicaciones

10. Ley de Enfriamiento de Newton a) Seg´ un la ley de Enfriamiento de Newton, la velocidad a la que se enfr´ıa una sustancia al aire libre es proporcional a la diferencia de temperaturas de la sustancia y del aire. Si la temperatura del aire es 28◦ y la sustancia se enfr´ıa de 100◦ a 80◦ en 12 minutos, ¿en qu´e momento estar´a a una temperatura de 50 grados? b) Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en una habitaci´on en la cual hay una temperatura constante de 18◦ . Si despu´es de 15 minutos la temperatura del cuerpo es de 8◦ y despu´es de 25 minutos es de 12◦ , hallar la temperatura inicial del cuerpo. 11. Mezclas a) Un tanque contiene inicialmente 60 galones de agua pura. Entra al tanque, a una tasa de 2 gal/min, salmuera que contiene 1 Lb de sal por gal´on, y la soluci´on (perfectamente mezclada) sale de ´el a raz´on de 3 gal/min. Obtenga el n´ umero de libras A(t) de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cu´anto demorar´a el tanque en vaciarse? ¿Cu´al es la m´axima cantidad de sal que llega a tener el tanque? b) Una cierta presa, en su m´axima capacidad, contiene 1,000 millones de m3 de agua. En un instante dado, estando llena la presa, tiene una masa de 2 toneladas de contaminantes, distribuida en forma homog´enea. Suponga que en temporada de lluvias entra agua a la presa a raz´on de 10 millones de m3 por d´ıa, con una masa de contaminantes de 0.09 % toneladas por mill´on de m3 de

agua y sale con la misma rapidez. Determine la cantidad de contaminantes en la presa en cualquier instante. ¿En cu´anto tiempo se reducir´a la contaminaci´on total de la presa a 1.2 toneladas? c) Un tanque contiene inicialmente 100 dl de agua, en el cual se disuelven 80 kg de sal. Se introduce en el tanque agua pura a velocidad de 4 dl/min y la mezcla, conservada homog´enea mediante agitaci´on, sale a la misma velocidad y va a parar a un segundo tanque que contiene al principio 100 dl de agua pura. Agitando se mantiene homog´enea la mezcla que sale de este segundo tanque a la misma velocidad ya citada. Hallar la cantidad de sal en el segundo tanque al cabo de 1 hora. 12. Modelos de Poblaci´ on a) La poblaci´on de cierta ciudad aumenta proporcionalmente al n´ umero de habitantes que hay en un momento dado en ella. Si despu´es de 5 a˜ nos, la poblaci´on se ha triplicado y despu´es de 8 a˜ nos es de 45 000 habitantes, hallar el n´ umero de ciudadanos que hab´ıa inicialmente. b) La tasa de crecimiento de una poblaci´on es proporcional al n´ umero de sus habitantes. Si despu´es de 18 a˜ nos la poblaci´on se ha duplicado y despu´es de 25 a˜ nos la poblaci´on es de 200 000 habitantes, hallar: El n´ umero inicial de habitantes. Cu´antos habitantes tendr´a al cabo de 100 a˜ nos. c) En cierto zool´ogico se ha observado que la cantidad de animales aumenta proporcionalmente al n´ umero actual de dichos animales. Si despu´es de 5 a˜ nos su n´ umero se ha duplicado y despu´es de 7 a˜ nos el n´ umero de animales es 576, hallar el n´ umero de animales con que se contaba el d´ıa de la inauguraci´on del zool´ogico.