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• Beto Pacichana Dominguez

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Tarea 1 - Error y Ecuaciones no Lineales

Presentado por: LUIS ALBERTO PACICHANA DOMÍNGUEZ Código: 98216087 EMER ADELMO DAZA CHAVES Código:1085688554 EILEEN ADRIANA VILLAQUIRAN Código: 25670677 NERLY DEL SOCORRO ANDRADE CHALACÁN Código: 27108693 IDER ARDILA Código:

Grupo: 100401_15

Tutor: Ing. Joan Sebastián Bustos

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA CURSO: MÉTODOS NUMÉRICOS. 4 DE JULIO DE 2019

Introducción Los métodos numéricos con sus técnicas, nos apoyan para lograr encontrar soluciones aproximadas a problemas complejos utilizando operaciones simples, los métodos numéricos tratan de diseñar métodos para aproximar más eficientemente a la solución de problemas matemáticos. Con el desarrollo de la tarea No1 se desarrollan contenidos donde se estudian los métodos numéricos más utilizados como 

Regula Falsi o Falsa Posición o Regla Falsa.



Newton – Raphson



Secante



Bisección



Newton – Raphson



Secante

Además de destacar la importancia del apoyo de un programa como es el Excel para la solución de las ecuaciones y lo solicitado de forma fácil y con la utilización de poco tiempo lo que será de gran ayuda para el desempeño en nuestras carreras. El presente trabajo tienen como finalidad, desarrollar la unidad 1 tarea 1 - error y ecuaciones no lineales, dando aplicabilidad de las temáticas del curso de métodos numéricos: tipos de error, exactitud, redondeo, método de newton-raphson, método de la Secante, Método de la Regla falsa y Método de Bisección. Como actividad individual el estudiante identifica los ejercicios que debe solucionar de acuerdo a las indicaciones dadas, la distribución se da por el último dígito de su número de documento, los aportes se deben entregar en forma individual en el foro de la tarea, como también revisar la videoconferencia que sirve como apoyo para la solución de la actividad. En la fase grupal, cada integrante del equipo asumirá un rol el cual debe informar en el foro de la actividad.

Cada estudiante del grupo colaborativo debe realizar como mínimo 2 observaciones y realimentar los aportes de sus compañeros que presenten ejercicios diferentes a los realizados por cada uno, se debe revisar procedimientos y resultados. Por último el estudiante que asume el rol de compilador, consolida el documento final donde se presenta la solución de todos los ejercicios mediante la utilización de un editor de ecuaciones y se verifica que los procedimientos son correctos.

Desarrollo de los ejercicios asignados Aporte: LUIS ALBERTO PACICHANA DOMÍNGUEZ COD: 98216087 -

Para estudiantes cuyo documento de identidad 𝒌 termine en dígito impar: Se está implementando un centro de cómputo que va a costar $1.500.000.000 (mil quinientos millones de pesos) y será pagado durante un periodo de 𝑘 años. El pago anual está dado por la siguiente ecuación:

$1.500.000.000 + 𝑘

$25.000.000. La relación entre

el costo del centro de cómputo 𝑃, el pago anual 𝐴, el número de años 𝑛 y la tasa de interés 𝑖, es la siguiente: 𝐴=𝑃

𝑖(1 + 𝑖)𝑘 (1 + 𝑖)𝑘 − 1

Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [0.01, 0.05] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.002 que le permita observar adecuadamente el cambio de signo).

DATOS

Último dígito cédula

k

1o6

5

2o7

6

3o8

7

4o9

8

0o5

9

REPRESENTACION VALOR (millones)

COSTO DEL CENTRO DE COMPUTO P

1500000000

PAGO ANUAL

A

275000000

NUMERO DE AÑOS

K

6

TASA DE INTERES

i

?

INTERVALO a

0,01

b

0,05

PASO

0,002

Tabla en el intervalo [0.01, 0.05] ITERACION i

f(i)

1

0,01

-16177449,93

2

0,012

-14395634,16

3

0,014

-12608091,42

4

0,016

-10814839,69

5

0,018

-9015897,017

6

0,02

-7211281,497

7

0,022

-5401011,306

8

0,024

-3585104,675

9

0,026

-1763579,893

10

0,028

63544,6917

11

0,03

1896250,675

12

0,032

3734519,6

13

0,034

5578332,956

14

0,036

7427672,183

15

0,038

9282518,671

16

0,04

11142853,76

17

0,042

13008658,75

18

0,044

14879914,9

19

0,046

16756603,41

20

0,048

18638705,46

21

0,05

20526202,17

En algún punto entre 0,026 y 0,028 la función cambio de signo, lo que significa que entre este intervalo se encuentra la raíz.

Grafica de la función

f(i) 30000000 20000000 10000000 0 -10000000

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

-20000000

Ejercicio 2. Determine, con una exactitud de 10−𝑘 , la raíz visualizada en la gráfica del punto anterior empleando cada uno de los siguientes métodos: 

Bisección



Newton – Raphson



Secante

Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, 𝑥𝑖 , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, 𝑓(𝑥𝑖 ), y el error relativo, 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de 𝑓(𝑥𝑖 ) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos.

METODO DE BISECCIÓN

# DE ITERACIONES 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

a

f(a)

b

f(b)

m

f(m)

Error (%) Evaluación

0,01 0,01 0,02 0,025 0,0275 0,0275 0,0275 0,0278125 0,0278125 0,027890625 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027930298 0,027930298 0,02793045 0,027930527 0,027930527

-16177449,93 -16177449,93 -7211281,497 -2675043,407 -393760,4304 -393760,4304 -393760,4304 -107985,624 -107985,624 -36520,62167 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -226,5390301 -226,5390301 -86,94216359 -17,1437186 -17,1437186

0,05 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02875 0,028125 0,028125 0,02796875 0,02796875 0,02796875 0,02794922 0,02793945 0,02793457 0,02793213 0,02793091 0,02793091 0,0279306 0,0279306 0,0279306 0,02793056

20526202,17 1896250,675 1896250,675 1896250,675 1896250,675 750156,3556 177925,4894 177925,4894 34952,89872 34952,89872 34952,89872 17083,72011 8149,330431 3682,185495 1448,625505 331,8486291 331,8486291 52,65473402 52,65473402 52,65473402 17,75550616

0,03 0,02 0,025 0,0275 0,02875 0,028125 0,0278125 0,02796875 0,027890625 0,027929688 0,027949219 0,027939453 0,02793457 0,027932129 0,027930908 0,027930298 0,027930603 0,02793045 0,027930527 0,027930565 0,027930546

1896250,675 -7211281,497 -2675043,407 -393760,4304 750156,3556 177925,4894 -107985,624 34952,89872 -36520,62167 -784,9261671 17083,72011 8149,330431 3682,185495 1448,625505 331,8486291 -226,5390301 52,65473402 -86,94216359 -17,1437186 17,75550616 0,305893183

50% 20% 9% 4% 2% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

CONVERGE NO CONVERGE NO CONVERGE CONVERGE NO CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE CONVERGE

En la anterior tabla se pude observar que la raíz se halla en la decimoquinta iteración es mucho lo que la hace un poco demorada.

METODO DE NEWTON-RAPHSON Es el método más empleado a nivel mundial en problemas no lineales, el primer problema de este método es derivar, y cabe resaltar que si

la derivada en el punto

𝑥𝑘 = 0 es otro inconveniente. DATOS REPRESENTACION COSTO DEL CENTRO DE P COMPUTO PAGO ANUAL A NUMERO DE AÑOS K TASA DE INTERES x

VALOR (millones) 1500000000 275000000 6 ?

Esta fórmula se la aplica en la columna de la x, para hallar la raíz a partir de la iteración 2: # de x iteraciones 0 0,028 1 0,027930549 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545 0,027930545

f(x)

f '(x)

63544,6917 3,365311742 0,083722532 0,002082169 -5,25117E-05 2,02656E-06 9,53674E-07 -8,9407E-07 0 0 0 0 0 0

914959177,9 892654870,6 0,00248656 892653653,8 892653684,1 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4 892653683,4

Error (%)

1,3498E-07 3,358E-09 8,3513E-11 2,1062E-12 8,1238E-14 3,8259E-14 3,5899E-14 0 0 0 0 0

En la anterior tabla se puede observar que la raíz se halla desde la iteración 2, es una ventaja ya que es mucho más rápida con respecto al método de Bisección.

METODO DE LA SECANTE Consiste en tomar el valor de la derivada y por series de Taylor convertir esa derivada en una serie, ya desaparece la derivada así se soluciona un posible valor de cero que presentado en el método de newton-raphson. En este método se utilizan 2 puntos que cumplan la condición de que la raíz no necesariamente debe estar entre los puntos dichos.

DATOS COSTO DEL CENTRO DE COMPUTO PAGO ANUAL NUMERO DE AÑOS TASA DE INTERES

REPRESENTACION

VALOR (millones)

P

1500000000

A K x

275000000 6 ?

Esta fórmula se la aplica en la columna de la x, para hallar la raíz a partir de la iteración 1.Los puntos tomados para la son 0.028 y 0.027: # de iteraciones x f(x) -1 0,028 63544,6917 0 0,027 -850716,427 1 0,027930496 -45,14737546 2 0,027930546 0,032082617 3 0,027930545 -7,7486E-07 4 0,027930545 0 5 0,027930545 0

Error (%) 0,037037037 0,033314701 1,7681E-06 1,25555E-09 3,03089E-14 0

En la anterior tabla se puede observar que la raíz se halla desde la iteración 3.

Ejercicio 3. Con los resultados de los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única

gráfica

Número

de

iteraciones

vs

𝐸𝑟𝑒𝑙 (%)

que

permita

comparar

comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones.

GRAFICA DE EL METODO DE BISECCIÓN NÚMERO DE ITERACIONES VS 𝐸_𝑟𝑒𝑙 (%) 60%

Error(%)

50% 40% 30% 20% 10% 0% 0

5

10

15

20

25

# DE ITERACIONES

GRAFICA DE EL METODO DE NEWTON-RAPHSON NÚMERO DE ITERACIONES VS 𝐸_𝑟𝑒𝑙 (%)

0.003 0.0025

Error (%)

0.002 0.0015 0.001 0.0005 0 -0.0005 0

2

4

6

8

10

12

# de iteraciones

GRAFICA DE EL METODO DE NEWTON-RAPHSON NÚMERO DE ITERACIONES VS 𝐸_𝑟𝑒𝑙 (%)

14

el

0.04 0.035

Error (%)

0.03 0.025 0.02 0.015 0.01

0.005 0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

# de iteraciones

Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método presenta un mejor desempeño para encontrar la solución. ¿Cuál es su conclusión? Para mi apreciación el método que mejor desempeño presenta es el método de bisección, porque, se facilita demasiado, realizando la solución grafica donde se puede observar en que intervalo se encuentra la raíz aproximada. Resumido en pasos: PASO 1: ya realizada la solución grafica se elige los valores iniciales 𝑋𝑖 (valor inferior) y 𝑋𝑠 (valor superior), y comprobar que: 𝑓(𝑋𝑖 ) ∗ (𝑋𝑠 ) < 0 Para que exista al menos una raíz. PASO 2: consiste en realizar una aproximación de la raíz, la cual se calcula utilizando el punto medio que existe entre 𝑋𝑖 y 𝑋𝑠 : 𝑚=

𝑋𝑖 + 𝑋𝑠 2

PASO 3: se evalúa las siguientes condiciones, para determinar en que subintervalos se encuentra la raíz: a- Si 𝑓(𝑋𝑖 ) ∗ (𝑋𝑠 ) < 0 cambiar 𝑋𝑠 = 𝑚 y dirigirse al paso 2 nuevamente. b- Si 𝑓(𝑋𝑖 ) ∗ (𝑋𝑠 ) > 0 cambiar 𝑋𝑖 = 𝑚 y dirigirse al paso 2 nuevamente.

PASO 4: pero si el producto de Si 𝑓(𝑋𝑖 ) ∗ (𝑋𝑠 ) = 0 entonces 𝑚 es la raíz aproximada que se busca y por consiguiente es el fin del proceso. Dependiendo de la función que se tenga en particular, el método de la bisección puede converger ligeramente más rápido o más lento que el método de posición falsa. La gran ventaja sobre el método de posición falsa es que proporciona el tamaño exacto del intervalo en cada iteración. Para aclarar esto, se nota que en este método, después de cada iteración, el tamaño del intervalo se reduce a la mitad.

Aporte: EMER ADELMO DAZA CHAVES

-

Para estudiantes cuyo documento de identidad termine en dígito par:

La siguiente ecuación puede ser empleada para calcular el nivel de concentración de oxígeno 𝑐 en un rio, en función de la distancia 𝑥, medida a partir del local de descarga de contaminantes: 𝑐(𝑥) = 10 − 20(𝑒 −0.2𝑥 − 𝑒 −0.75𝑥 ) Encuentre la distancia a la cual el nivel de oxígeno desciende a un valor de 𝑘. Solución: Paso 1). Despejar la distancia a la cual el nivel de oxígeno desciende a un valor de k = 8, para lo que partimos suponiendo lo siguiente: 𝒄(𝒙) = 𝟖 Donde 8, representa el nivel de concentración de oxígeno. Paso 2). Planteamos la ecuación. 𝟖 = 𝟏𝟎 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 ) 𝑬𝟏 : 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 ) = 𝟎 Paso 3) Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [0.0 , 1.0] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.05, que le permita observar adecuadamente el cambio de signo).

Realizamos la tabla y los respectivos cálculos en Excel. x 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Paso 4) Gráfica en Geogebra.

C(x) 10 9,462891679 8,95089626 8,463036271 7,998370745 7,555993874 7,135033704 6,734650889 6,354037486 5,992415789 5,649037215 5,323181228 5,014154298 4,721288906 4,443942579 4,181496966 3,933356943 3,698949753 3,477724184 3,269149763 3,072715993

Ejercicio 2. Determine, con una exactitud de 10−k, la raíz visualizada en la gráfica del punto anterior empleando cada uno de los siguientes métodos:   

Regula Falsi (En algunos textos se encuentra también como Falsa Posición o Regla Falsa) Newton – Raphson Secante

Para cada método elabore una tabla con los resultados obtenidos que debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, xi , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, f(xi ), y el error relativo, Erel (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de f(xi ) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos. Paso 1) Realmente lo que se debe determinar no es una raíz como tal visualizada en la gráfica del punto anterior (recuerde que la raíz de una función se define como el valor de x para el que f(x) = 0), sino el valor de x para el que la función c(x) = 8. No obstante, para este problema debemos partir de hallar la raíz a la ecuación planteada en el Paso 2) E1 del ejercicio 1, en el intervalo [0.15, 0.2], que es alrededor entre los cuales c(x) = 8, la cual se expresa como: 𝑬𝟏 : 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 ) = 𝟎

x 0.15 0.2

Función C(x) 8,463036271 7,998370745

Paso 2) Dada la ecuación, evaluamos los valores. x 0.15 0.2

Ecuación: E1 0.4630362712 -0.001629254520

Paso 3) Usamos la regla de la falsa posición, para determinar la raíz de la ecuación. 𝒙𝒓 = 𝒙𝒖 −

𝒇(𝒙𝒖 )(𝒙𝒍 − 𝒙𝒖 ) 𝒇(𝒙𝒍 ) − 𝒇(𝒙𝒖 )

𝒙𝒓 = 𝒓𝒂í𝒛 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏.

𝒙𝒍 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝒙𝒖 = 𝟎. 𝟐 Donde 𝒇(𝒙𝒍 ) = 𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔𝟐𝟕𝟏𝟐 𝒇(𝒙𝒖 ) = −𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟔𝟐𝟗𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟎 Haremos la iteración 1, para que se observe el reemplazo en la ecuación. 𝒙𝒓 = 𝒙𝒖 −

𝒇(𝒙𝒖 )(𝒙𝒍 −𝒙𝒖 ) 𝒇(𝒙𝒍 )−𝒇(𝒙𝒖 )

(−𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔𝟐𝟗𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟎)(𝟎.𝟏𝟓−𝟎.𝟐)

= 𝟎. 𝟐 − 𝟎.𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔𝟐𝟕𝟏𝟐−(−𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟔𝟐𝟗𝟐𝟓𝟒𝟓𝟐𝟎) = 𝟎. 𝟏𝟗𝟗𝟖𝟐𝟒𝟔𝟖𝟓𝟐

Paso 4) Definimos los extremos para la siguiente iteración. 𝒇(𝒙𝒍 )𝒇(𝒙𝒓 ) < 𝟎,

→

𝒙𝒍 𝒔𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒚 𝒙𝒖 = 𝒙𝒓

𝒇(𝒙𝒍 )𝒇(𝒙𝒓 ) > 𝟎,

→

𝒙𝒖 𝒔𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒚 𝒙𝒍 = 𝒙𝒓

𝒇(𝒙𝒍 )𝒇(𝒙𝒓 ) = (+)(−) = − Paso 5) Ahora ponemos todas estas condiciones en Excel, y realizamos la tabla y los respectivos cálculos:

// Cuando x = 0.199820334, C(x) = 8, con una precisión de 3x10-8 % con el Método de Falsa Posición (quinta iteración). Paso 6) Resolvemos la ecuación por el método de Newton – Raphson. 𝒇(𝒙 )

La fórmula es: 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − 𝒇′(𝒙𝒊 ) 𝒊

Donde 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟏𝟓 𝒇(𝒙𝒊 ) = 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 ) 𝒇′ (𝒙𝒊 ) = 𝟒𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝟏𝟓𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 𝒙𝟎+𝟏 = 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟓 Iteración número 1.

𝒙𝟏+𝟏 = 𝒙𝟐 = 𝒙𝟏 −

𝒇(𝒙𝟏 ) 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐(𝟎.𝟏𝟓) − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓(𝟎.𝟏𝟓) ) = 𝟎. 𝟏𝟓 − = 𝟎. 𝟏𝟗𝟖𝟔𝟐𝟕𝟏𝟑𝟖𝟒 𝒇′ (𝒙𝟏 ) (𝟒𝒆−𝟎.𝟐(𝟎.𝟏𝟓) − 𝟏𝟓𝒆−𝟎.𝟕𝟓(𝟎.𝟏𝟓) )

Realizamos los cálculos en Excel para las siguientes iteraciones.

// Cuando x = 0.199820334, C(x) = 8, con una precisión de 0.012x10-8 % con el Método de Newton Raphson (cuarta iteración). Paso

7)

Resolvemos

la

ecuación

por

el

método

de

Secante.

𝑬𝟏 : 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐𝒙 − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓𝒙 ) = 𝟎 La fórmula es: 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −

𝒇(𝒙𝒊)(𝒙𝒊−𝟏 −𝒙𝒊 ) 𝒇(𝒙𝒊−𝟏 )−𝒇(𝒙𝒊 )

Donde 𝒙−𝟏 = 𝟎. 𝟏

𝒇(𝒙−𝟏 ) = 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐(𝟎.𝟏) − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓(𝟎.𝟏) ) = 𝟎. 𝟗𝟓𝟎𝟖𝟗𝟔𝟐𝟔𝟎𝟒

𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟏𝟓

𝒇(𝒙𝟎 ) = 𝟐 − 𝟐𝟎(𝒆−𝟎.𝟐(𝟎.𝟏𝟓) − 𝒆−𝟎.𝟕𝟓(𝟎.𝟏𝟓) ) = 𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔𝟐𝟕𝟏𝟐

Iteración 1 (𝟎.𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔𝟐𝟕𝟏𝟐)(𝟎.𝟏−𝟎.𝟏𝟓)

𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟓 − 𝟎.𝟗𝟓𝟎𝟖𝟗𝟔𝟐𝟔𝟎𝟒−𝟎.𝟒𝟔𝟑𝟎𝟑𝟔𝟐𝟕𝟏𝟐 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟕𝟒𝟓𝟓𝟖𝟓𝟔𝟑 Realizamos los siguientes cálculos en Excel.

// Cuando x = 0.199820334, C(x) = 8, con una precisión de 0.09x10-8 % con el Método de Newton Raphson (cuarta iteración).

Ejercicio 3.

Con los resultados de los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%) que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones. Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método presenta un mejor desempeño para encontrar la solución. ¿Cuál es su conclusión?

Paso 1) Debido a que para el desarrollo de del ejercicio 2 tomamos un intervalo muy reducido para hallar la raíz de la ecuación, para este ejercicio hemos decidido modificar el intervalo con el fin de poder visualizar mejor el comportamiento del error con respecto a cada método. Como ya tenemos programado en Excel cada método y además sabemos que la solución se encuentra en el intervalo [0,1], entonces tomaremos este intervalo para visualizar dicho comportamiento. A continuación, presentamos las gráficas con respecto a la siguiente tabla.

Iteración

Falsa posición 1 2 3 4 5 6 7 8

38,588507% 3,840036% 0,362621% 0,034071% 0,003200% 0,000300% 0,000028%

Error % / Método Newton -R Secante 8,937159% 0,079071% 0,000006% 0,000000% 0,000000% 0,000000% 0,000000%

84,3496030522908% 22,3645439568254% 0,9340742225525% 0,0200997556719% 0,0000188315370% 0,0000000003714% 0,0000000000001%

Gráficas

Falsa posición 10.000000% 9.000000% 8.000000% 7.000000%

Error

6.000000% 5.000000% 4.000000% 3.000000% 2.000000% 1.000000% 0.000000% 0

2

4

6

8

10

Iteraciones

Newton -R 1.000000%

0.800000%

Error

0.600000% 0.400000% 0.200000% 0.000000% 0

2

4

6

Iteraciones

8

10

Secante 90.0000000000000% 80.0000000000000% 70.0000000000000%

Error

60.0000000000000% 50.0000000000000% 40.0000000000000% 30.0000000000000% 20.0000000000000% 10.0000000000000% 0.0000000000000% 0

2

4

6

8

10

Iteraciones

Paso 2) Análisis. Observemos la siguiente tabla de análisis del porcentaje de reducción del error. iteración Falsa posición 3 90,0% 4 90,6% 5 90,6% 6 90,6% 7 90,6% 8 90,6%

Newton -R

Secante

99,1% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0% 100,0%

73,5% 95,8% 97,8% 99,9% 100,0% 100,0%

Como podemos visualizar, el método de Falsa Posición tiene un porcentaje de reducción del error que es relativamente lineal. Esto a su vez representa una desventaja con respecto al método de la secante donde podemos que el porcentaje de reducción del error tiene un comportamiento más exponencial, es decir, la convergencia a la solución de la ecuación se hace de forma más rápida. De la misma manera, el método de Newton Raphson representa mayor eficiencia con respecto a los métodos de la secante y de la falsa posición, pues aunque el porcentaje

de reducción del error tiene un comportamiento exponencial, la convergencia a la solución de la ecuación se hace de una forma mucho más rápida que los métodos del párrafo anterior. Observemos la siguiente gráfica extraída del Libro de Métodos Numéricos de Steve C. Chapra,

En esta gráfica observamos que el método de Newton Raphson, representa una mejor eficiencia que el método de la Secante, y, el Método de la Secante, representa una mejor eficiencia que el método de la Falsa posición. Aunque con una ecuación diferente, en nuestro problema observamos el mismo comportamiento, donde podemos concluir que: El método de Newton Raphson, representa una mejor eficiencia que el método de la Secante, y, el Método de la Secante, representa una mejor eficiencia que el método de la Falsa posición. De esta forma: // Cuando x = 0.199820334, C(x) = 8, con una precisión de 0.09x10-8 % con el Método de Newton Raphson (cuarta iteración). Así entonces, resolvemos el problema estableciendo que: La distancia a la cual el nivel de oxígeno desciende a un valor de 𝟖 es: = 0.199820334

Aporte: Nerly del Socorro Andrade Chalacán -- Código: 27108693

TAREA 1 - ERROR Y ECUACIONES NO LINEALES Se está implementando un centro de cómputo que va a costar $1.500.000.000 (mil quinientos millones de pesos) y será pagado durante un periodo de 𝑘 años. El pago anual está dado por la siguiente ecuación:

$1.500.000.000 + 𝑘

$25.000.000. La relación entre

el costo del centro de cómputo 𝑃, el pago anual 𝐴, el número de años 𝑛 y la tasa de interés 𝑖, es la siguiente:

𝐴=𝑃

P = $ 1.500.000.000

=>

𝑖(1 + 𝑖)𝑘 (1 + 𝑖)𝑘 − 1

A(𝑖 )= 1.500.000.000

𝑖(1+𝑖)7 (1+𝑖)7 −1

EJERCICIO 1. Realice una tabla en el intervalo [0.01, 0.05] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.002 que le permita observar adecuadamente el cambio de signo). Se sustituye:

𝒊 por x

𝑓(𝑥) = 𝐴(𝑥) − 239.285.714,3 𝑓(𝑥) = 1.500.000.00

x 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028 0,030 0,032

𝑥(1 + 𝑥)7 − 239.285.714,3 (1 + 𝑥)7 − 1

(1500000000*x*(1+x)^7)/((1+x)^7-1)-239285714,30 -16343289,93 -14591606,40 -12833192,02 -11068068,35 -9296257,11 -7517780,15 -5732659,45 -3940917,14 -2142575,47 -337656,82 1473816,33 3291821,35

0,034 0,036 0,038 0,040 0,042 0,044 0,046 0,048 0,050

5116335,51 6947335,95 8784799,72 10628703,76 12479024,89 14335739,83 16198825,22 18068257,59 19944013,37

Entre los puntos 0,026 y 0,028 la función cambia de signo.

Gráfica de la función 25000000.00 20000000.00 15000000.00 10000000.00 5000000.00 0.00 0.000 -5000000.00

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

-10000000.00 -15000000.00 -20000000.00

1. Método de bisección Determine, con una exactitud de 10−𝑘 , la raíz visualizada en la gráfica del punto anterior empleando cada uno de los siguientes métodos:

• Bisección. •

Newton – Raphson

• Secante

Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, 𝑥𝑖 , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, 𝑓(𝑥𝑖 ), y el error relativo, 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de 𝑓(𝑥𝑖 ) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos.

𝑋𝑚 =

𝑋1 + 𝑋𝐷 2

Se toma 𝑋1 = 0.01

y

Número de iteraciones 𝑋𝐷 - 𝑋1 = 0.04 

𝑛=

𝑋𝐷 = 0.05

𝑛=

𝑙𝑛 (𝑋𝐷 − 𝑋1)− 𝑙𝑛 𝐸 𝑙𝑛 2

e = 1 * 10−7

𝑙𝑛 (0.04) − 𝑙𝑛(1 ∗ 10−7 ) 𝑙𝑛(2)

≈

19

Se requieren 19 iteracciones 𝑋1 = 0.01 => f(0.01) = - 16.343.289,93 𝑋𝐷 = 0.05 => f(0.05) = 19.944.013,17 • MÉTODO DE BISECCION

•

NEWTON – RAPHSON

𝑋𝐷 = 0.05 𝑋𝑖 + 1 = 𝑋𝑖 −

𝑓(𝑋𝑖) = 𝑔(𝑋𝑖) 𝑓 1 (𝑋𝑖)

𝑋𝑖(1 + 𝑋𝑖)7 𝑓(𝑋𝑖) = 1.500.000.000 − 239.285.714,3 (1 + 𝑋𝑖)7 − 1

𝑓 1 (𝑋𝑖) = 1.500.000.000

𝑋𝑖 + 1 = 𝑋𝑖 −

(1 + 𝑋𝑖)6 ((1 + 𝑋𝑖)8 − 8𝑋𝑖 − 1) ((1 + 𝑋𝑖)7 − 1)2

𝑋𝑖 (1+𝑋𝑖)7 −239.285.714,3 (1+𝑋𝑖)7 −1 (1+𝑋𝑖)6 ((1+𝑋𝑖)8 −8𝑋𝑖−1) 1.500.000.000 ((1+𝑋𝑖)7 − 1)2

1.500.000.000

Iteración

Valor aproximado de la raíz

Error absoluto

Error relativo

I 0 1 2 3 4

Xi 0,0500000 0,0287707 0,0283735 0,0283733 0,0283733

|Xi - Xi+1|

|Xi - Xi+1|/Xi

0,0212293 0,0003972 0,0000001 0,0000000

42,45870% 1,38044% 0,00050% 0,00000%

Valor de la función

Derivada de la función

f(Xi) 19944013,37 359575,60 129,09 0,00 0,00

f'(Xi) 939454808,29 905361802,31 904711643,42 904711409,75 904711409,75

• METODO DE LA SECANTE 𝑋𝐷 = 0.05

𝑋1 = 0.04

𝑓(𝑋𝑖) = 1.500.000.000

𝑋𝑖 + 1 = 𝑋𝑖 −

𝑋𝑖(1 + 𝑋𝑖)7 − 239.285.714,3 (1 + 𝑋𝑖)7 − 1

(𝑋𝑖 − 𝑋𝑖 − 1) 𝑓(𝑋𝑖) = 𝑔(𝑋𝑖) 𝑓(𝑋𝑖) − 𝑓(𝑋𝑖 − 1)

Iteracción (i)

valor aproximado raíz (Xi)

Iteración

Valor aproximado de la raíz

i 0 1 2 3 4 5

Xi 0,0500000 0,0400000 0,0285901 0,0283756 0,0283733 0,0283733

función f(Xi)

Error absoluto

Error relativo

|Xi - Xi+1|

|Xi - Xi+1|/Xi

0,0100000 0,0114099 0,0002145 0,0000022 0,0000000

20,0000% 28,5248% 0,7502% 0,0079% 0,0000%

Error relativo

Valor de la función

f(Xi) 19944013,37 10628703,76 196109,86 2027,42 0,40 0,00

EJERCICIO 3. Con los resultados de los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%) que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones.

Iteración 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Error relativo método de bisección

50,00000% 20,00000% 9,09091% 4,34783% 2,22222% 1,09890% 0,55249% 0,27548% 0,13755% 0,06882% 0,03442% 0,01721% 0,00861% 0,00430% 0,00215% 0,00108% 0,00054% 0,00027%

Error relativo Error relativo método de método de la Newton-Raphson secante

42,45870% 1,38044% 0,00050% 0,00000%

42,45870% 1,38044% 0,00050% 0,00000%

GRAFICA

Chart Title 60.00000%

50.00000%

40.00000%

30.00000%

20.00000%

10.00000%

0.00000% 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-10.00000% Series1

Series2

Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método presenta un mejor desempeño para encontrar la solución. ¿Cuál es su conclusión? Análisis de resultado

El mejor método para encontrar la raíz de la función es el de Newton-Raphson, ya que se tiene una única raíz y en estos casos este método es el más eficiente. El método de la secante también es bueno en este caso, empleando sólo una iteración más respecto al método de Newton-Raphson ya que en este no se usa la derivada de la función sino una aproximación.

El método de bisección también logra el objetivo de encontrar la raíz de la función, solo que necesita 5 veces más iteraciones respecto al método de Newton-Raphson ya que el error pedido es muy pequeño, del orden de 1 en 10 millones. En conclusión la raíz encontrada corresponde a la tasa de interés préstamo.

Aporte: Eileen Adriana Villaquiran Cod, 25670677 -

Para estudiantes cuyo documento de identidad 𝒌 termine en dígito impar

Se está implementando un centro de cómputo que va a costar $1.500.000.000 (mil quinientos millones de pesos) y será pagado durante un periodo de 𝑘 años. El pago anual está dado por la siguiente ecuación:

$1.500.000.000 + 𝑘

$25.000.000. La relación entre

el costo del centro de cómputo 𝑃, el pago anual 𝐴, el número de años 𝑛 y la tasa de interés 𝑖, es la siguiente: Eileen Adriana Villaquiran Cc 25670677 𝑘=6 𝐴=𝑃

𝑖(1 + 𝑖)𝑘 (1 + 𝑖)𝑘 − 1

Desarrollo: Ejercicio 1. Realice una tabla en el intervalo [0.01, 0.05] y grafique la función en ese intervalo (use un tamaño de paso de 0.002 que le permita observar adecuadamente el cambio de signo).

a b x

0,01 0,05 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018 0,02 0,022 0,024 0,026 0,028 0,03 0,032 0,034 0,036 0,038 0,04 0,042 0,044 0,046 0,048 0,05

f(x) -290922802 -14395634,2 -12608091,4 -10814839,7 -9015897,02 -7211281,5 -5401011,31 -3585104,67 -1763579,89 63544,6917 1896250,68 3734519,6 5578332,96 7427672,18 9282518,67 11142853,8 13008658,8 14879914,9 16756603,4 18638705,5 20526202,2

Entre los puntos 0,026 y 0,028 la función cambia de signo.

Grafica de la función

Ejercicio 2. Determine, con una exactitud de 10−𝑘 , la raíz visualizada en la gráfica del punto anterior empleando cada uno de los siguientes métodos: 

Bisección.

• Newton – Raphson • Secante Para cada método elabore una tabla con los resultados. Debe contener al menos la siguiente información por columna: Número de iteración, i, valor aproximado de la raíz en esa iteración, 𝑥𝑖 , el valor de la función evaluada en la raíz aproximada en esa iteración, 𝑓(𝑥𝑖 ), y el error relativo, 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%). Note que, si el método converge, en cada iteración, i, el valor de 𝑓(𝑥𝑖 ) se debe ir aproximando cada vez más a cero. Si esto no ocurre, revise cuidadosamente sus cálculos. Desarrollo: 

Bisección Tolerancia= 10−6 =0,000001

ITERACIONES

a

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

0,01 0,01 0,02 0,025 0,0275 0,0275 0,0275 0,0278125 0,0278125 0,027890625 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027929688 0,027930298 0,027930298 0,02793045 0,027930527 0,027930527 0,027930527





f(a)

b

-16177449,93 -16177449,93 -7211281,497 -2675043,407 -393760,4304 -393760,4304 -393760,4304 -107985,624 -107985,624 -36520,62167 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -784,9261671 -226,5390301 -226,5390301 -86,94216359 -17,1437186 -17,1437186 -17,1437186

f(b)

0,05 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02875 0,028125 0,028125 0,02796875 0,02796875 0,02796875 0,027949219 0,027939453 0,02793457 0,027932129 0,027930908 0,027930908 0,027930603 0,027930603 0,027930603 0,027930565 0,027930546

Newton – Raphson o método ITERACIONES x 0 0,028 1 0,027930549 2 0,027930545 3 0,027930545 4 0,027930545 5 0,027930545 6 0,027930545 7 0,027930545 8 0,027930545 9 0,027930545 10 0,027930545 11 0,027930545 12 0,027930545 13 0,027930545 14 0,027930545

m

20526202,17 1896250,675 1896250,675 1896250,675 1896250,675 750156,3556 177925,4894 177925,4894 34952,89872 34952,89872 34952,89872 17083,72011 8149,330431 3682,185495 1448,625505 331,8486291 331,8486291 52,65473402 52,65473402 52,65473402 17,75550616 0,305893183

0,03 0,02 0,025 0,0275 0,02875 0,028125 0,0278125 0,02796875 0,027890625 0,027929688 0,027949219 0,027939453 0,02793457 0,027932129 0,027930908 0,027930298 0,027930603 0,02793045 0,027930527 0,027930565 0,027930546 0,027930536

de punto fijo. f(x) 63544,6917 3,365311742 -0,083722532 0,002082169 -5,25117E-05 2,02656E-06 9,53674E-07 0 0 0 0 0 0 0 0

f(m)

Error(% )

1896250,675 -7211281,497 -2675043,407 -393760,4304 750156,3556 177925,4894 -107985,624 34952,89872 -36520,62167 -784,9261671 17083,72011 8149,330431 3682,185495 1448,625505 331,8486291 -226,5390301 52,65473402 -86,94216359 -17,1437186 17,75550616 0,305893183 -8,418912947

f'(x) 914959177,9 892654870,6 892653653,8 892653684,1 892653683,4 892653683,4 9845851391 9845851391 -9,45763E+13 -9,45763E+13 9970472228 9970472228 9845929555 9845929555 9845849972

50% 20% 9% 4% 2% 1% 1% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%

x -1 0 1 2 3 4 5

0,028 0,027 0,027930496 0,027930546 0,027930545 0,027930545 0,027930545

f(x) 63544,6917 -850716,427 -45,14737546 0,032082617 -7,7486E-07 0 0

NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO NO HA CONVERGIDO CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ CONVERGIÓ

Error (%) 0,002486555 1,34978E-07 3,35799E-09 8,35129E-11 2,10622E-12 8,12379E-14 3,47807E-15 0 0 0 0 0 0 0

Secante

ITERACCIONES

Evaluación

Error (%) 0,037037037 0,033314701 1,7681E-06 1,25555E-09 3,03089E-14 0

Ejercicio 3.

Con los resultados de los métodos desarrollados en el punto anterior, realice una única gráfica Número de iteraciones vs 𝐸𝑟𝑒𝑙 (%) que permita comparar el comportamiento del error a medida que se aumenta el número de iteraciones.

Bisección

Iteraciones v/sError% 25 20 15 10 5 0 0

5

10

15

ITERACIONES



20

25

Error(%)

Newton – Raphson o método de punto fijo

ITERACION v/S ERROR % 2E+13 0 -2E+13

0

2

4

6

8

10

-4E+13 -6E+13 -8E+13 -1E+14 -1.2E+14 ITERACIONES

f'(x)

12

14

16



Secante

Iteraciones v/s error% 6 5 4 3 2

1 0 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

-2 ITERACCIONES

error%

Realice un análisis de resultados indicando claramente, y apoyado en la teoría, cuál método presenta un mejor desempeño para encontrar la solución. ¿Cuál es su conclusión? Conclusión: Lo métodos numéricos son herramientas importantes porque mediante sus técnicas se puede formular problemas matemáticos y solucionarlos por medio de operaciones aritméticas. Los métodos numéricos usados para las soluciones de ecuaciones según el ejemplo trabajado, se evidencia que, con cada método utilizado, cada uno busca minimizar el número de iteraciones para encontrar prontamente las raíces. Es importante para la solución con métodos numéricos tener un orden dado a la cantidad de datos que suelen tener cada problema, además es importante y necesario apoyarse en programas como el Excel. Para facilitar la solución

CONCLUSIONES

 Esta actividad permitió a los estudiantes desarrollas una serie de ejercicios de manera practica con las temáticas de la unidad 1 del presente curso.  Cada estudiante se personalizo de las diferentes temáticas y contextos que permitieron la solución de unos ejercicios expuestos por la guía de actividades.  Las diferentes temáticas permitieron el análisis y la implementación de fórmulas y con la ayuda de hojas de cálculo se desarrollaron las posibles soluciones a los ejercicios expuestas por la guía.

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