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• Olha Sharhorodska

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´Indice general 1. Introducci´ on

1

1.1. Concepto de la investigaci´on operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1. Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1.1. Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1.2. Organizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1.3. M´etodo cient´ıfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1.4. Grupo interdisciplinario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1.5. Toma de decisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1.6. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. T´ecnicas que integran a la investigaci´on operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Historia de la INVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Perspectivas de la Investigaci´on de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2. Modelaci´ on de problemas de optimizaci´ on

15

2.1. Modelos usados por la programaci´on matem´atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2. El proceso de construcci´ on de modelos de optimizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2.1. Reconocer el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.2. Definir el problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2.3. Construir el modelo matem´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.4. Solucionar el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.5. Validar el modelo y la soluci´on obtenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

i

2.2.6. Control de la soluci´on o an´alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.7. Implementaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.8. Modelaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.9. Paso 0: Entendimiento del enunciado (modelo descriptivo del problema). . . .

25

2.2.10. Paso 1: Definici´ on de las variables de decisi´on.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3. Paso 2: Determinaci´ on de las restricciones del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1. Relaci´ on del tipo de la igualdad (x1i ± x1j = b1 ) . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.2. Relaci´ on del tipo mayor o igual que (x1i ± x1j

b1 ) . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.3. Relaci´ on del tipo menor o igual que (x1i ± x1j  b1 ) . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.4. Restricciones de no negatividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3.5. Paso 3: Determinaci´on de una medida de desempe˜ no del sistema. . . . . . . .

28

2.3.6. Paso 4: Estructuraci´on o s´ıntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.7. Ejemplos del procedimiento para modelar un problema. . . . . . . . . . . . .

28

2.3.8. Problema 1. Control de contaminantes. (Haeussler E. F., 1997) . . . . . . . .

29

2.3.9. Formulaci´ on del modelo matem´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.9.1. Paso 0: Entender el enunciado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.9.2. Paso 1: Determinaci´on de variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.9.3. Pas´ o 2: Determinaci´on de las restricciones. . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3.9.4. Paso 3: Determinaci´on de la funci´on objetivo. . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.9.5. Pas´ o 4: Estructuraci´on o s´ıntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.10. Problema 2. Dise˜ no de terapia (J., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.3.10.1. Formulaci´on del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3.10.2. Paso 0: Entender el enunciado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3.10.3. Paso 1: Determinaci´on de variables de decisi´on. . . . . . . . . . . . .

33

2.3.10.4. Paso 2: Determinar las restricciones del problema. . . . . . . . . . .

33

2.3.10.5. Pas´ o 3: Determinaci´on de la funci´on objetivo. . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.10.6. Pas´ o 4: Estructuraci´on o s´ıntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.11. Problema 3. Ensamble de autom´oviles. (J., 2001) . . . . . . . . . . . . . . . .

34

ii

2.3.11.1. Formulaci´on del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.11.2. Paso 0: Entender el enunciado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.3.11.3. Paso 1: Determinaci´on de las variables de decisi´on. . . . . . . . . . .

36

2.3.11.4. Pas´ o 2: Determinaci´on de las restricciones. . . . . . . . . . . . . . .

36

2.3.11.5. Pas´ o 3: Determinaci´on de funci´on objetivo. . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.11.6. Paso 4: Estructuraci´on o s´ıntesis del modelo. . . . . . . . . . . . . .

38

2.3.11.7. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3.11.8. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.3.12. 3. Otras clases de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.12.1. Problema de producci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.13. Problema de Selecci´on de Portafolios

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.13.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.14. Problema de cubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3.15. Problema de transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.15.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.16. Problema de asignaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.3.16.1. RESOLUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.17. Problema de Flujo M´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2.3.18. Problema de planeaci´on de la producci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

2.3.19. Problema de Mercadotecnia

50

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Elementos b´ asicos de la Programaci´ on lineal

51

3.1. Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1.1. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.1.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.1.3. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.1.4. Operaciones b´ asicas con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.4.1. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.1.4.2. Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

iii

3.2. Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2.0.3. Optimo local y global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

3.2.0.4. Espacio de b´ usqueda y espacio factible . . . . . . . . . . . . . . . .

70

3.2.0.5. Paisaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3.2.0.6. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

3.3. Problemas cl´ asicos de la programaci´on lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

3.3.1. Problema de dieta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.3.2. Problema 1. Problema de dieta (fertilizantes en un cultivo) . . . . . . . . . .

76

3.3.3. Paso 3. Formulaci´ on de la Funci´on Objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

3.3.4. Paso 4. Sintetizar el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.3.5. Problema 2. Problema de dieta (dieta humana).

. . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.3.6. Problema de mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

3.3.7. Problema 3. Problemas de mezcla (mezclas qu´ımicas) . . . . . . . . . . . . .

81

3.3.8. Problema 4. Problema de mezclas (Composici´on de pinturas) . . . . . . . . .

83

3.4. Problema de Inversi´ on.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

3.4.1. Problema 5. Problema de inversi´on (herencia). (Gallagher C. A., 1982) . . . .

86

3.4.2. Problema 6. Problema de inversi´on (combinaci´on de productos para maximizar la utilidad). (Haeussler E. F., 1997) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

3.4.3. Problema 7. Problema de inversi´on (Pol´ıtica de pr´estamos bancarios) (A., 2004). 90 3.4.4. Problema de Transporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

3.4.5. Problema 8. Problema de transporte (distribuci´on de cosechas). . . . . . . . .

97

3.4.6. Problema de transporte. (energ´ıa el´ectrica) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.4.7. Modelo general de los problemas de asignaci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4.8. El Problema de ruta m´as corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.4.9. Problema del Flujo M´aximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.10. Ruta Critica en la Planificaci´on de Proyectos de Redes. . . . . . . . . . . . . 113 3.4.11. Problema de Flujo de Costo M´ınimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.12. Problema de redes (´arbol de expansi´on minima). . . . . . . . . . . . . . . . . 115

iv

3.5. Soluci´ on de problemas por el m´etodo gr´afico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4. Algoritmo simplex

125

4.1. Conceptos b´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 4.2. B´ usqueda exhaustiva de soluciones b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.3. M´etodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.4. Estructura del m´etodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.5. Clases de problema de acuerdo a la soluc´on obtenida con el algoritmo simplex . . . . 146 4.5.1.

Soluci´ on u ´nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5.2.

M´ ultiples soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.5.3. Soluciones no acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.5.4. No tiene soluci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.6. Motivaci´ on geom´etrica del algoritmo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ´ 4.7. Algebra del m´etodo simplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.8. Recontruyendo el tablero inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5. Soluci´ on inicial y convergencia

167

5.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.2. ¿C´ omo se obtiene una soluci´on basica factible inicial?

. . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.3. El m´etodo de las dos fases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.1. FASE 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.2. FASE 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.4. El m´etodo de la gran “M” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6. Dualidad

192

6.1. Dualidad y An´ alisis de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.1.2. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.1.3. Relaciones entre Primal y Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

v

6.1.4. Adaptaci´ on a otras formas del Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.1.5. Introducci´ on al an´alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6.1.6. Aplicaci´ on del an´ alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 ´ 6.2. METODO SIMPLEX Y DUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.2.1. PROBLEMA DUAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.2.2. An´ alisis de sensibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 6.2.3. El algoritmo dual simplex y an´alisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 242 7. Problemas de transporte y asignaci´ on

248

7.0.4. Definici´ on y propiedades del modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.0.5. Representaci´ on gr´ afica del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.0.6. Soluci´ on Inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 7.0.6.1. Algoritmo de la esquina noroeste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.0.6.2. Algoritmo de costo m´ınimo 7.0.7. Optimalidad de soluciones 7.0.8. Algoritmo de transporte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.0.8.1. Algoritmo de transporte 7.1. Problema de ordenamiento

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7.1.1. Problema de ordenamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.1.2. Formulaci´ on PERT

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.1.3. Algoritmo de soluci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 7.1.4. Justificaci´ on del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.2. ARBOL DE PESO M´INIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.2.1. ALGORITMO DE DIJKSTRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.2.2. ALGORITMO KRUSKAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 7.2.3. ALGORITMO DE PRIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7.2.4. TRANSPORTE

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

7.2.5. ALGORITMO DE TRANSPORTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 ´ CORTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.2.6. RUTA MAS

vi

´ 7.2.7. FLUJO MAXIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 ´ 7.2.8. TEOREMA DE FLUJO MAXIMO CON EL CORTE M´INIMO . . . . . . . 331 7.2.9. TSP SIMETRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 ´ DE NODOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 7.2.10. COLORACION 7.2.11. PLANARIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 7.2.12. PROBLEMA DE ASIGNACION 7.2.13. ACOPLAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 7.2.14. FLUJO CON COSTO M´ıNIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 7.2.15. METODO COSTO M´ıNIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 7.2.16. CONEXIDAD EN REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 ´ 7.2.17. ANALISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 7.2.18. RUTA CR´ITICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

vii

Cap´ıtulo 1

Introducci´ on El objetivo de este cap´ıtulo es dar una panor´amica general sobre la investigaci´on de operaciones (INVO). En est´e se da el concepto de INVO y conceptos relacionados, as´ı como una breve descripci´ on hist´ orica de la INVO.

1.1.

Concepto de la investigaci´ on operaciones

El hombre est´ a en contacto con el mundo real y capta por medio de sus sentidos situaciones o hechos que le cautivan. Por el proceso de razonamiento abstrae dicha informaci´on y crea ideas e im´ agenes sobre la realidad con objeto de obtener conocimiento. A dichas im´agenes delimitadas y conceptualizadas de la realidad se les denomina “sistema”. La comprensi´ on del sistema, la formulaci´on adecuada en un modelo, las bases te´oricas utilizadas en la resoluci´ on de los problemas, as´ı como la experiencia, interpretaci´on de los resultados y el juicio que se haga de estos permiten llegar a soluciones significativas. De manera informal se puede decir que el t´ermino Investigaci´ on de Operaciones (INVO) es el uso del m´etodo cient´ıfico para solucionar los problemas dentro de sistemas a fin de lograr un objetivo, ya que el t´ermino de investigaci´ on indica el uso de un enfoque similar al m´etodo cient´ıfico para solucionar los problemas; mientras que el t´ermino de operaciones implica que se analizan sistemas de actividad donde se tiene que lograr un objetivo y se tiene recursos escasos.

1

Algunas de las definiciones construidas para definir investigaci´on de operaciones son: Definici´ on 1 La investigaci´ on de operaciones es una rama de las matem´ aticas aplicadas, que consiste en el uso del enfoque cient´ıfico en la toma de decisiones con el objeto de mejorar el dise˜ no u operaci´ on de un sistema [?] Definici´ on 2 La investigaci´ on de operaciones es la aplicaci´ on por grupos interdisciplinarios del m´etodo cient´ıfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizaci´ on [?] De las definiciones anteriores, se deben resaltar los siguientes t´erminos: organizaci´on, sistema, m´etodo cient´ıfico grupo interdisciplinario y toma de decisiones; ya que estos conceptos interrelacionados dan la idea central del concepto INVO. A continuaci´on, se describen estos conceptos, adem´ as se define el concepto de modelo.

1.1.1.

Conceptos b´ asicos

1.1.1.1.

Sistema

El hombre est´ a en contacto con el mundo real y capta por medio de sus sentidos situaciones o hechos que le cautivan. Por el proceso de razonamiento abstrae dicha informaci´on y crea ideas e im´ agenes sobre la realidad con objeto de obtener conocimiento. Dichas im´agenes delimitadas y conceptualizadas de la realidad se les denomina sistema. Acko↵ define a un sistema como un conjunto de elementos interrelacionados[?], en contraste Winston, como una organizaci´ on de componentes interdependientes que trabajan juntos para alcanˆ A´una ˆ zar un objetivo [?]. En t´erminos generales, se puede definir a un sistema como :A´ serie de objetos con determinada relaci´ on e interacci´on entre esos objetos y entre sus atributos”. Entendiendo por objetos las partes o componentes del sistema y a los atributos como las propiedades del objeto. Debido a la naturaleza tan amplia del concepto de sistemas es necesario clasificarlos para poder entender el concepto, en la figura 1.1 se da una clasificaci´on de los sistemas; cabe mencionar que existen otras clasificaciones de sistemas.

2

Figura 1.1: Tipos de modelos Sistemas conceptuales: son una unidad formada por un conjunto organizado de definiciones, nombres, s´ımbolos y otros instrumentos de pensamiento o comunicaci´on. Ejemplos de este tipo de sistemas son la notaci´ on musical, las matem´aticas, etc. Sistemas reales: son una entidad material formada por partes organizadas que interact´ uan entre s´ı. Ejemplos de estos sistemas son la sociedad, una c´elula, etc. Sistemas naturales: Es un conjunto de elementos f´ısicos (bi´oticos y abi´oticos) que se encuentran estructurados y organizados. Ejemplos de este tipo de sistemas es el cuerpo humano, la bi´osfera, la tierra misma. Sistemas humanos: son un conjunto de elementos organizados, estructurados y sistematizados por el hombre con la finalidad de obtener alg´ un grado de beneficio. Ejemplos de este tipo de sistemas son: la sociedad, una unidad de manejo forestal, un campo de ma´ız, una f´abrica, etc. Sistemas sociales: es un conjunto interrelacionado y estructurado por el hombre que proporciona alg´ un servicio o bien a la sociedad pero cuyo objetivo primordial no es el generar riqueza. Ejemplos de este tipo de sistemas son: la cruz roja, la iglesia, un club de beneficencia, etc. Sistemas productivos: es un conjunto de elementos interrelacionados y estructurados que llevan a cabo un proceso de transformaci´on con un objetivo determinado (generalmente producir riqueza). Ejemplos de este tipo de sistemas es un aserradero, una tienda, una mina, una f´abrica de tableros, etc.

3

1.1.1.2.

Organizaci´ on

Una organizaci´ on puede entenderse como un sistema, en el cual existen componentes; canales que comunican tales componentes e informaci´on que fluye por dichos canales. En todo sistema las componentes interact´ uan unas con otras y tales interacciones pueden ser controlables e incontrolables. En un sistema grande, las componentes se relacionan de muchas maneras, pero no todas son importantes, o mejor dicho, no todas las interacciones tienen efectos importantes en las componentes del sistema.

1.1.1.3.

M´ etodo cient´ıfico

El m´etodo cient´ıfico es un procedimiento que ha caracterizado a la ciencia natural desde el siglo XVII, que consiste en la observaci´on sistem´atica, medici´on y experimentaci´on, y la formulaci´ on, an´ alisis y modificaci´ on de las hip´ otesis. El m´etodo cient´ıfico se basa en los preceptos de falsabilidad 1

y reproducibilidad 2 . Los pasos que conforman el m´etodo cient´ıfico son: a) observaci´on (el investigador debe apelar a

sus sentidos para estudiar el fen´ omeno de la misma manera en que ´este se muestra en la realidad) b) la inducci´ on (partiendo de las observaciones, el cient´ıfico debe extraer los principios particulares de ellas), c) el planteo de una hip´ otesis (surgido de la propia observaci´on), d) experimentaci´on (con base a ella se obtienen datos que se utlizar´an para aceptar o rechazar la hip´otesis), e) an´alisis de resultados y f) presentaci´ on de resultados.

1.1.1.4.

Grupo interdisciplinario

Un grupo interdisciplinario es un conjunto de profesionales formados en diferentes ´areas del saber; el trabajo conjunto de estos profesionales permite poseer una visi´on integral del problema de estudio; con base en lo cual crean sistemas metodol´ogicos integrales, se aportan soluciones y recomendaciones que, por su car´ acter hol´ıstico, superen el vac´ıo de la acci´on multidisciplinar. 1 indica 2 un

que cualquier proposici´ on de la ciencia debe resultar susceptible a ser falsada experimento tiene que poder repetirse en lugares indistintos y por un sujeto cualquiera

4

1.1.1.5.

Toma de decisiones

Seguramente alguna vez en el trabajo o en la escuela se ha planteado alguna de las siguientes interrogantes ¿Cu´ al decisi´ on se debe tomar en estas circunstancias? ¿La decisi´on tomada es la mejor?. Estas preguntas son las inc´ ognitas fundamentales en el proceso de toma de decisiones. Se define a la toma de decisiones como el conjunto de herramientas que permiten seleccionar una alternativa entre un conjunto de ellas. Es cierto que cuando se toma una decisi´on se toma como base la experiencia personal, la tradici´ on, la costumbre o la fe pero estos aspectos no garantizan que la alternativa seleccionada sea la mejor. Cuantas veces usted ha o´ıdo frases como “bien o mal ya est´a hecho”, “siempre se ha hecho as´ı”, etc. como repuestas de personas cuando se les cuestiona por una decisi´on mal tomada. Si bien es cierto que la naturaleza humana (gustos, preferencias, afinidades) juegan un papel importante en las decisiones que se toman es necesario entender que no pueden ser la base fundamental para un decisor racional. Un decisor racional debe cumplir con los siguientes aspectos para garantizar que sus decisiones son basadas en elementos no subjetivos. Debe estar bien informado: El decisor debe conocer todos los hechos y relaciones pertinentes sobre el problema a tratar. Conocer todas las alternativas: Identificar todas las alternativas posibles de soluci´on al problema. Ser objetivo: Entender que las decisiones se basan en obtener el m´aximo de beneficios posibles. A causa de la complejidad del ser humano es muy dif´ıcil alcanzar el estado racional para las decisiones. Pero es posible llegar con facilidad al estado de racionalidad acotada. Estado al que se llega tratando de ser lo mas racional posible dentro de las fronteras de informaci´on limitada mitigando lo m´ as posible los objetivos en conflicto.

5

1.1.1.6.

Modelo

Un “modelo” es una representaci´on o abstracci´on selectiva (cuantitativa o cualitativa) de las caracter´ısticas de un sistema. Un modelo permite abordar un problema de forma tal que se hace posible la identificaci´ on y evaluaci´on sistem´atica de todas las alternativas de decisi´on del problema, es decir, el objetivo de los modelos es el brindar alg´ un grado de certidumbre en la toma de decisiones. Cabe mencionar que los modelos no trasladan enteramente al sistema real a t´erminos comprensivos. La elaboraci´ on de modelos conceptualiza, sistematiza y organiza el conocimiento y la experiencia del tomador de decisiones con respecto al sistema. Y tambi´en revela y aclara lo que no se entiende ni se conoce pero deber´ıa comprenderse, de las operaciones del sistema. Por lo tanto se dirige a un importante proceso de conocimiento. Debe hacerse notar que un mismo sistema puede ser representado por diferentes modelos, de acuerdo con el problema que se desee enfrentar y resolver; en otras palabras el tipo de modelo que se utilice para hacer frente a una situaci´on siempre depender´ a del prop´ osito y la naturaleza del estudio, adem´as es posible combinar distintos tipos de modelos con objeto de comprender mejor el sistema bajo estudio. Los modelos se pueden clasificar de acuerdo con sus caracter´ısticas ( forma o grado de abstracci´ on, el grado adaptaci´ on a cambios del sistema en el tiempo y la forma de manipulaci´on del modelo). A continuaci´ on, se da una breve descripci´on de los tipos de modelos m´as utilizados. Modelos materiales Son transformaciones de los sistemas reales (sistemas f´ısicos) en otros sistemas tambi´en f´ısicos m´ as sencillos que el original, pero que conservan las caracter´ısticas esenciales de estos. Ejemplos de esta clase de modelos son: las maquetas y modelos a escala usadas por los arquitectos e ingenieros, los mapas y planos de todo tipo, las fotograf´ıas, pinturas o esculturas, etc. Los modelos materiales tambi´en se conocen como modelos ic´onicos y pueden ser subdivididos en tres tipos de acuerdo con el grado de semejanza que se tenga con la realidad. • Tipo replica. Son representaciones f´ısicas de los sistemas f´ısicos originales; que conservan la dimensionaldad de los objetos reales. Dichas representaciones pueden tener reducciones o aumentos en la escala de las dimensiones con respecto al objeto material, no tenerlas o no tener la proporcionalidad en todas sus dimensiones. Ejemplos de este tipo de modelos 6

son: modelos a escala de un barco o avi´on, las maquetas usadas por los ingenieros, etc. • Tipo cuasi-replica. Son representaciones f´ısicas de los sistemas originales, en los cuales, una o m´ as de las dimensiones del objeto original no son reflejadas en el modelo.Un ejemplo de cuasi-replicas es una fotograf´ıa donde en general el objeto original es tridimensional y el modelo es bidimensional. Otros ejemplos son. Las cartas topogr´aficas, los mapas y los planos. • Tipo anal´ ogicos. Son representaciones f´ısicas de los sistemas reales, en los cuales, el modelo no tiene un parecido directo con los objetos reales. Sin embargo es posible establecer una relaci´ on directa uno a uno entre las variables del sistema y las del modelo. Ejemplos de este tipo de modelos son: en el campo de la Psicolog´ıa el comportamiento de aprendizaje de los animales ha servido para crear modelos de aprendizaje para el ser humano, en medicina el comportamiento que tienen los medicamentos sobre los animales sirve para crear modelos de comportamiento en los seres humanos. Modelos simb´ olicos Consisten en una serie de declaraciones expresadas en t´erminos l´ogicos que representen las propiedades esenciales de los sistemas originales. Ejemplos de esta clase de modelos son: la constituci´ on de M´exico, los diez mandamientos de la iglesia cat´olica, la ley de Ohm, etc. Los modelos simb´ olicos tambi´en son conocidos como modelos formales, y se pueden distinguir tres categor´ıas de acuerdo al grado de abstracci´on utilizada. • Tipo descriptivos (tambien llamdos modelos ling¨ uisticos). Este tipo de modelos consisten en una serie de aseveraciones sobre el sistema original, expresadas en lenguaje com´ un. Constituye la clase menos abstracta de los modelos simb´olicos y solo pueden ser manipulados y transformados usando las reglas gramaticales. Ejemplos de este tipo de modelos son: la constituci´ on de los Estados Unidos Mexicanos, los estatutos y reglamentos de alguna empresa, un libro de divulgaci´on sobre teor´ıa econ´omica. • Tipo gr´ aficos. Son representaciones de los sistemas reales en los que se hace uso de esquemas, grafos o diagramas. Este tipo de modelos es muy utilizado en la vida diaria por la facilidad que ofrece de organizar una gran cantidad de informaci´on. Ejemplos de este tipo 7

de modelos son: los diagramas de flujo, los diagramas de actividades, los grafos, etc.Los modelos gr´ aficos pueden ser clasificados de acuerdo a tipo de representaci´on y el tipo de informaci´ on utilizada en su construcci´on. Representaciones esquem´aticas. Son representaciones del sistema real o de una parte de el por medio de esquemas en los que se hace uso de informaci´on estructurada y sistematizada. En dicha representaci´on se manifiesta las relaciones y propiedades de los sub-sistemas esenciales que forman el objeto de estudio. Grafos. Es una representaci´on constituida por un conjunto de puntos (distintos y numerables), llamados v´ertices y un conjunto de ramas orientadas a las que se les denomina arcos que unen a dos v´ertices en un sentido determinado. Son en sentido estricto las representaciones m´as abstractas de los modelos gr´aficos. Los grafos generalmente son utilizados para registrar informaci´on acerca de las relaciones o conexiones entre cada elemento (v´ertice). Por la gran generalidad de la definici´ on de los grafos se pueden utilizar para modelar m´ ultiples problemas, de los que se pueden dar como ejemplos: redes de transporte, redes de distribuci´on el´ectrica, etc. • Tipo formales. Son representaciones de los sistemas reales que consisten en una serie de aseveraciones sobre el sistema original, expresadas en s´ımbolos, manipuladas mediante una estructura formal. Ejemplos de estos se tienen, el algoritmo de ruta critica, la ley de Ohm, etc. De acuerdo con la estructura formal utilizada para la manipulaci´on de dichos modelos es posible clasificarlos. 1. Modelos matem´ aticos. Son representaciones de los sistemas reales, en los cuales se utilizan expresiones matem´aticas. Es preciso que la representaci´on matem´atica tenga una forma utilizable y que traduzca la realidad de los hechos lo m´as fielmente como sea posible. a) Modelos de programaci´on matem´atica corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la ´optima. b) Modelo descriptivo. Constituye sencillamente una descripci´on matem´atica de una condici´ on real del sistema, es decir, este modelo solo intenta describir la situaci´ on 8

no elegir una alternativa. c) Modelo Probabil´ıstico. Aquellos basados en la estad´ıstica y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo general acompa˜ nan nuestras observaciones de eventos reales). d ) Modelos deterministas. Son aquellos que no contienen elementos aleatorios, que afecten el desempe˜ no del sistema. Ecuaciones lineales, ley de Newton, etc. e) Entre otros. 2. Pseudoc´ odigos. Son representaciones del sistema real en los que se realizan una serie de aseveraciones expresadas en un lenguaje de simulaci´on, aunque tambi´en puede contener expresiones de lenguaje natural, f´ormulas o expresiones matem´aticas. Ejemplos de estos modelos son: el algoritmo de ruta critica, el programa de una computadora, etc.

1.2.

T´ ecnicas que integran a la investigaci´ on operaciones

Las caracter´ısticas b´ asicas de las t´ecnicas y m´etodos que conforman a la investigaci´on de operaciones son: Un enfoque de sistema (el paradigma sist´emico). Con lo cual se usa el enfoque del telescopio para concebir los problemas en un sistema Aplicar el m´etodo cient´ıfico. Es decir se utiliza un procedimiento estructurado, comprobable y objetivo para el planteamiento, an´alisis y soluci´on de problemas. Bases cuantitativas para la toma de decisiones. Se refiere a utilizar modelos matem´aticos para que den una idea cuantificable del impacto de las decisiones que se propongan en un sistema. Enfoque de equipo para resolver los problemas. Con lo que se busca enriquecer y estructurar el conocimiento disponible sobre el problema a tratar. Los equipos pueden ser multidisciplinarios o interdisciplinarios de acuerdo con la naturaleza del problema.

9

Es posible clasificar las herramientas de la INVO de acuerdo al objetivo que se busca al aplicarlas. As´ı pues se tienen dos categor´ıas que son las de optimizaci´on y las de an´alisis. Lo anterior se esquematiza en la figura ??

Figura 1.2: Herramientas de la Investigaci´on de operaciones

La optimizaci´ on es una idea fundamental en diversas disciplinas del conocimiento, como son: investigaci´ on de operaciones, administraci´on, finanzas, telecomunicaciones... la cual se utiliza en el dise˜ no, el an´ alisis y toma de decisiones en sistemas. Algunas definiciones del t´ermino son: 1. Luenberger precisa que la optimizaci´on es uno de los principios b´asicos del an´alisis de problemas3 complejos de decisi´ on, y su proceso consiste en la asignaci´on de valores a un conjunto de variables interrelacionadas, centrando la atenci´on en un mecanismo dise˜ nado para cuantificar la calidad de la decisi´ on [?]. 3 Un

problema es una diferencia, desviaci´ on o un desequilibrio entre el estado real e ideal de un sistema, adem´ as

de ser lo suficientemente importante para justificar su resoluci´ on.

10

2. Hall expresa que la optimizaci´on es lograr la mejor armon´ıa entre el sistema y sus integrantes; y su proceso comprende desde el planteamiento de un problema, hasta el an´alisis y selecci´ on de la mejor alternativa [?]. 3. La optimizaci´ on es seleccionar de un conjunto de alternativas posibles a la mejor de ellas, con base en alg´ un criterio de decisi´on [?]. 4. Optimizaci´ on es obtener la mejor soluci´on posible de una actividad o un proceso, a trav´es del uso adecuado de informaci´ on y conocimientos disponibles. 5. La optimizaci´ on (tambi´en denominada “programaci´on matem´atica”) es una parte de la investigaci´ on de operaciones4 , la cual trata de resolver problemas de decisi´on en los que se deben determinar las acciones que optimicen un determinado objetivo, pero satisfaciendo ciertas limitaciones en los recursos disponibles [?]. 6. La “programaci´ on matem´ atica” es una potente t´ecnica de modelado usada en el proceso de toma de decisiones [?]. Basado en lo anterior, el t´ermino “optimizaci´on” se puede entender como el conjunto de conocimiento, principios, teor´ıas, t´ecnicas, herramientas u ´tiles y necesarias para resolver problemas de programaci´ on matem´ atica. De manera general, resolver un problema es un proceso racional que involucra desde identificar el problema de inter´es hasta la elecci´on y ejecuci´on de alguna acci´on a fin de eliminarlo o reducirlo. Este proceso debe ser sistem´ atico y guiado por el conocimiento disponible sobre el sistema. Un “problema de optimizaci´ on” puede ser expresado como encontrar el valor de unas variables de decisi´ on para las que una determinada funci´on 4 La

5

objetivo (o varias funciones objetivo) alcanza su

investigaci´ on de operaciones es una rama de las matem´ aticas aplicadas, que consisten en el uso del enfoque

cient´ıfico en la toma de decisiones con el objeto de mejorar el dise˜ no u operaci´ on de un sistema. [?]. Acko↵ la define como la aplicaci´ on por grupos interdisciplinarios del m´ etodo cient´ıfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizaci´ on [?]. 5 Una

funci´ on f : D ✓ Rn ! Rm es cualquier criterio que a cada punto x 2 D le asigna un u ´nico punto f (x) 2 Rm .

El conjunto D se llama dominio de la funci´ on y f (x) es la imagen de x por f .

11

valor m´ aximo o m´ınimo, de acuerdo con las caracter´ısticas del problema. En ocasiones el valor de las variables de decisi´ on est´ a sujeto a un conjunto de restricciones [?]. La INVO es una ciencia y un arte que sirve como herramienta para la toma de decisiones. Es una ciencia por el uso de una metodolog´ıa estructurada y comprobable (m´etodo cient´ıfico) y es un arte porque el ´exito de todas las fases dependen la creatividad y experiencia de los analistas. Todo problema de optimizaci´ on debe ser formulado a trav´es de un “modelo matem´atico”; ya que estos modelos describen de modo conciso y sin ambig¨ uedad las relaciones o condiciones del problema a resolver por medio del lenguaje y estructuras matem´aticas; lo cual permite emplear t´ecnicas matem´ aticas y computacionales de alto poder, para analizar y resolver dicho problema. En el anexo 3 , se analiza el proceso de modelaci´on de los problemas de optimizaci´on. Cuando se aplica la INVO para definir, analizar y solucionar problemas presentes en un sistema se puede perder de vista el objetivo central del estudio. Este riesgo esta presente cuando se manipulan los problemas para ajustarlos a las diferentes t´ecnicas en lugar de analizar y resolver los problemas. En otras palabras el analista tiene como objetivo central de su estudio lucirse aplicando t´ecnicas complejas en lugar de solucionar problemas. Para llegar a hacer un uso apropiado de las herramientas de la INVO, es necesario primero comprender la metodolog´ıa para resolver los problemas, as´ı como los fundamentos de las t´ecnicas de soluci´on para de esta forma saber cuando utilizarlas o no en las diferentes circunstancias.

1.3.

Historia de la INVO

La investigaci´ on de operaciones se formaliz´o como un conocimiento a partir de la primera mitad del siglo XX como un desarrollo de t´ecnicas b´elicas durante la segunda guerra mundial. Existe distintos puntos de vista dentro de la literatura disponible sobre el pa´ıs de origen de este conocimiento, algunos autores como Taha (8) afirman que este conocimiento es de origen brit´anico, mientras otros como Haeusseler (9) afirman que este conocimiento tubo sus origen en E.U.A. Algunas de las investigaciones realizadas por los brit´anicos comprend´ıan el determinar el tama˜ no optimo de las caravanas que permitiera minimizar las perdidas por los ataques de los contrarios. ´ Mientras que los estudios de los americanos comprend´ıan la soluci´on a problemas log´ısticos, la

12

planeaci´ on de nuevos patrones de vuelo. Las bases iniciales de estos estudios en un principio se fundamentaban en an´ alisis estad´ıstico simple. La IO nace con los primeros intentos de aplicar el m´etodo cient´ıfico a la administraci´on ya que se ten´ıa la necesidad de asignar recursos escasos a una serie de actividades de la forma m´as efectiva posible. (10) Despu´es de la guerra los conocimientos generados por la INVO fueron adoptados por las empresas con gran entusiasmo, ya que buscaban soluciones a problemas causados por el aumento en la complejidad y especializaci´ on. Lo que se traduc´ıa como problemas complejos de decisi´on. Por lo que la INVO fue adoptada como una t´ecnica de decisiones para problemas, pero fueron necesarios algunas aportaciones para concretar este conocimiento de las cuales se destacan las siguientes. A) Se mejoraron y desarrollaron las t´ecnicas disponibles (programaci´on lineal, programaci´ on din´ amica, l´ıneas de espera y teor´ıa de inventarios que fueron desarrollados casi en su totalidad antes de la d´ecada de los 50). B) El desarrollo de modelos inter-industriales en econom´ıa por Leontief. C) La revoluci´ on y facilidad de manejo de problemas complejos con el uso de las computadoras. D) El desarrollo por George B. D´anzig del algoritmo del m´etodo simplex.

1.4.

Perspectivas de la Investigaci´ on de operaciones

El impacto de la INVO ha sido impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones en todo el mundo. Y ha hecho contribuciones significativas al incremento de la productividad dentro de la econom´ıa de varios pa´ıses. (10). Lo que se refleja en el creciente n´ umero de asociaciones dedicadas a promover este conocimiento en el mundo. Ahora existen 48 pa´ıses que son miembros de la International Federation of Operational Research Societies (IFORS) (11). Y a nivel Am´erica Latina existe la Asociaci´on Latinoamericana de Investigaci´on de operaciones (ALIO) cuyo objetivo es el de promover, el intercambio de informaci´on experiencias entre investigadores, acad´emicos, y profesionales relacionados con la Investigaci´on Operativa en la regi´on, as´ı como de nuevas t´ecnicas y conocimientos relacionados. (12) Sin duda, la demanda de profesionales de la investigaci´ on de operaciones continuar´a aumentando. Pero se espera que el empleo de los analistas de

13

la investigaci´ on de operaciones crezca m´as lentamente que el promedio del resto de las ocupaciones a partir del 2014 (13), reflejando crecimiento lento en el n´ umero de trabajos con el t´ıtulo .analista de la investigaci´ on de operaciones.”Sin embargo cada vez los trabajos ser´an m´as atractivos, ya que ser´ a un reto para las organizaciones lograr la competitividad y uso racional de los recursos en la aldea global.

14

Cap´ıtulo 2

Modelaci´ on de problemas de optimizaci´ on 2.1.

Modelos usados por la programaci´ on matem´ atica

Estos modelos, generalmente, contienen los siguientes elementos: [?, ?, ?]: Alternativas o variables de decisi´ on: Son n decisiones cuantificables, cuyo valor afecta el desempe˜ no del sistema. Restricciones: Representan un conjunto de m relaciones o condiciones (expresadas como ecuaciones e inecuaciones) que un subconjunto de variables est´an obligadas a satisfacer. Funci´ on objetivo (o funciones objetivo): Es una medida cuantitativa sobre la calidad de las soluciones de un problema. Se expresa como una funci´on matem´atica de las variables de decisi´ on. Modelar es un proceso creativo-intelectual para la generaci´on de modelos, el cual debe ser sistem´ atico, racional y te´ oricamente guiado, su objetivo es analizar y resolver problemas. La modelaci´ on de problemas de optimizaci´ on ha sido abordada, estudiada y sistematizada por la investigaci´ on de operaciones (v´ease Figura 2.1). La modelaci´on es de crucial importancia, ya que permite generar un

15

Figura 2.1: Fases de la modelaci´on de un problema de optimizaci´on instrumento para describir, estudiar, analizar y comprender el comportamiento del sistema. Debido a su importancia se analiza brevemente esta proceso intelectual.

2.2.

El proceso de construcci´ on de modelos de optimizaci´ on

De la modelaci´ on de un problema se obtienen algunos beneficios impl´ıcitos y expl´ıcitos, como: a) el modelo del sistema; b) favorece el intercambio de opiniones y conocimiento entre los actores involucrados; c) organizaci´ on, sistematizaci´on y explotaci´on de la informaci´on disponible sobre el sistema; d) el an´ alisis de los resultados obtenidos servir´a como guia para la toma de decisiones, entre otros. Generalmente, se utilizan los principios de parsimonia -tambi´en conocido como principio de sencillez, Navaja de Occam u Ockham- y el de no contradicci´on como guias en la modelaci´on. El “principio de parsimonia” (Guillermo de Ockham, 1280-1349), establece no emplear m´as conceptos, ideas u objetos te´ oricos que los estrictamente necesarios para generar una explicaci´on que sea satisfactoria del fen´ omeno (o fen´ omenos) de inter´es [?, ?, ?]. Principio 2.1 (Principio de parsimonia) Entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem (el n´ umero de entes no debe ser multiplicado sin necesidad.)[?] El “principio de no contradicci´on”, establece que dos juicios contradictorios sobre un objeto o evento no pueden ser simult´ aneamente v´alidos; y por lo tanto, basta con reconocer la validez de uno 16

de ellos para poder negar formalmente el otro. En otras palabras: no se puede atribuir al mismo concepto dos cualidades opuestas en las mismas condiciones y en el mismo instante. A continuaci´ on, se expresa este principio en la l´ ogica proposicional: Principio 2.2 (Principio de no contradicci´ on) ¬(p ^ ¬p)

2.2.1.

Reconocer el problema

En esta fase se detectan, definen y plantean los problemas presentes en el sistema; para lo cual se crean, comparan y analizan un modelo ideal y otro real del sistema, las actividades que conforman esta fase son: Determinar las fronteras del sistema. Determinar y caracterizar el medio ambiente en el que se desenvuelve el sistema. Identificar, caracterizar y analizar la funci´on 1 , los fines

2

y los medios

3

del sistema.

Evaluar la situaci´ on actual del sistema. Crear la situaci´ on ideal del sistema. Detectar las posibles causas de los problemas. Identificar las posibles consecuencias de los problemas. Plantear los problemas. Lo anterior, se basa en el hecho de que para la planeaci´on adecuada se requiere adicionar la informaci´ on de los elementos que influyan directamente en el desarrollo del sistema. Por lo que el equipo de INVO debe detectar, conocer y clasificar los siguientes aspectos del sistema: Entradas 1 Es

la acci´ on principal que realiza el sistema. los resultados que persiguen las acciones del sistema, pueden ser usados como una guia en la toma de

2 Son

decisiones. 3 Son el conjunto de elementos que interact´ uan para alcanzar los fines del sistema.

17

Son elementos que fluyen del exterior al interior del sistema con el fin de proveer al sistema de los recursos necesarios para alcanzar sus fines. Lo anterior se basa en el hecho de que todo sistema requiere de bienes y servicios producidos por otros sistemas. Subsistemas Son los elementos que lo forman e interact´ uan para alcanzar los fines del sistema. Para lo cual se utiliza la construcci´ on por descomposici´on funcional del sistema. Salidas del sistema Son elementos que fluyen del interior del sistema hacia el exterior. Estos son, en un sistema productivo: a) desperdicios del sistema: son salidas producto de las transformaciones del sistema y no representan al bien central de transformaci´on y B) productos: son el resultado de las transformaciones hechas por el sistema a las entradas, es decir, son los resultados de la funci´on del sistema. La informaci´ on obtenida de esta fase ser´a utilizada en la etapa siguiente.

2.2.2.

Definir el problema

En la fase cr´ıtica se establecen los l´ımites del problema a resolver; por ende, esta etapa afecta en forma significativa los resultados y conclusiones obtenidos de la modelaci´on ; ya que generalmente es dif´ıcil obtener una respuesta “correcta” de un problema “equivocado” [?]. En esta fase, se tomar´ a la decisi´ on sobre cual de los problemas presentes en el sistema se debe solucionar, para lo que es conveniente tomar como referencia los fines del sistema. Las actividades que se realizan en esta fase son: Definir el problema que va a ser investigado. Especificar los supuestos bajo los cuales el sistema ser´a modelado. Identificar y describir las alternativas de soluci´on. Determinar los objetivos del estudio. Recolectar informaci´ on sobre el problema. Descripci´ on verbal del problema.

18

2.2.3.

Construir el modelo matem´ atico

Consiste en el reemplazo del objeto cognitivo por su imagen matem´atica. Durante la escritura matem´ atica, se deben definir: las caracter´ısticas de las variables de decisi´on, estructurar las ecuaciones o inecuaciones que representen correctamente las relaciones existentes entre las variables de decisi´ on en el problema real, la funci´on objetivo (funciones objetivos), y los par´ametros necesarios. Esta es una fase creativa, en la cual se debe prestar atenci´on a la precisi´on de la formulaci´on. Los modelos matem´ aticos usados por la INVO constan de las siguientes partes: a) Variables y par´ ametros de decisi´ on: Los par´ ametros son valores conocidos relacionados a las variables de decisi´ on Las variables son inc´ ognitas (decisiones) que deben ser determinadas al resolver el modelo. b) La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una funci´ on y se le conoce con el nombre de funci´on objetivo. c) Las limitantes del problema denominadas generalmente como restricciones que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras (fronteras del modelo) y obst´aculos para la consecuci´on del objetivo. La construcci´ on de un modelo adecuado para reproducir la realidad, es una etapa crucial para obtener una soluci´ on satisfactoria del problema real. Los modelos de programaci´on matem´ atica pueden ser clasificados de acuerdo a las caracter´ısticas y propiedades de sus elementos en [?, ?]: a) Modelos continuos y modelos discretos. Si todas las variables de decisi´on del modelo pueden asumir cualquier valor R entonces se dice que el modelo de optimizaci´on es un modelo continuo; en contraste, cuando al menos una variable de decisi´ on debe asumir valores en: Z o N; entonces, se dice que el modelo de optimizaci´ on es mixto, si todas las variables asumen valores en Z o N, se dice que el modelo es discreto. En el ejemplo 2.1, se muestran algunos problemas de optimizaci´on de estos modelos.

Ejemplo 2.1 Modelo continuo

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Pn

m´ın

j=1 ci

⇤ xi

sujeto a: Pn

j=1

ai,j ⇤ xi,j ,

o = bj 8 i = 1, 2, . . . , m xi

0

x 2 Rn , c 2 R n Modelo discreto m´ax

Pn

i=1 ci

⇤ xi

sujeto a: Pn

j=1

ai,j ⇤ xi,j ,

o = bj 8 i = 1, 2, . . . , m xi

0

x 2 Zn Modelos lineales y modelos no lineales. Un modelo lineal implica que todas las restricciones y el conjunto de funciones objetivo cumplen con los principios de proporcionalidad

4

y superposici´on 5 , pero si alguna restricci´ on

o alguna de las funciones objetivo no cumplen con dichos principios entonces se trata de un modelo no lineal. En el ejemplo 2.2, se muestran algunos problemas de optimizaci´ on de estos modelos.

Ejemplo 2.2 Modelo lineal

m´ın

Pn

i=1 ci

⇤ xi

sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj 8 j = 1, . . . , m xi

0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1] 4 Implica 5 Se

satisfacer la propiedad:f (↵ ⇤ x) = ↵ ⇤ f (x) satisface la propiedad f (x + y) = f (x) + f (y)

20

Modelo no-lineal

Pn

m´ın

i=1 ci

⇤ xki

sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj 8 j = 1, . . . , m x 2 Rn k 6= 1

Modelos mono objetivo o multiobjetivos. En un modelo multiobjetivo se plantea un conjunto de funciones objetivo –dos o m´ as– normalmente en conflicto entre s´ı. La existencia de m´ ultiples funciones objetivo plantea una diferencia fundamental con un modelo mono objetivo: no existir´a una u ´nica soluci´ on al problema, sino un conjunto de soluciones que plantear´an diferentes compromisos entre los valores de las funciones a optimizar.

Ejemplo 2.3 Modelo mono objetivo

m´ın

Pn

i=1 ci

⇤ xi

sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj 8 j = 1, . . . , m xi

0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1] Modelo multiobjetivo m´ın{f1 (x), f2 (x), . . . , fk (x)} sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj para todo j = 1, . . . , m xi

0

x 2 Rn , c 2 Rn , A 2 Rn⇥m , b 2 Rn Modelos determin´ısticos y estoc´asticos. Un modelo determinista es aquel donde se supone que todos los datos pertinentes 21

se conocen con certeza; es decir, para cualquier conjunto de valores de las variables de decisi´ on se conoce con seguridad el valor de la funci´on objetivo (o funciones objetivo) y si las restricciones se cumplen o no. En contraste, en los modelos estoc´ asticos –tambi´en conocidos como probabil´ısticos– se presupone que algunas variables son aleatorias y por lo tanto, no se conocer´ a su valor con exactitud hasta tomar las decisiones correspondientes, tal desconocimiento debe ser incorporado al modelo. En el ejemplo 2.4, se muestran algunos problemas de optimizaci´ on de estos modelos.

Ejemplo 2.4 Modelo determin´ıstico

m´ın

Pn

i=1 ci

⇤ xi

sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj 8 j = 1, . . . , m xi

0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1] Modelo estoc´ astico m´ın

Pr

i=1

G(i)

sujeto a: T

0 ^ T 2 Zn x(1)

x(i + 1)

0

x(i), i = 1, . . . , T

x(N )  horizonte de planeaci´on x(i)

0 ^ x(i) 2 Zn

Modelos est´ aticos y din´ amicos. Un modelo est´ atico se utiliza para analizar un sistema en un instante en el tiempo, por lo cual en su formulaci´ on no se considera el avance del tiempo. Por el contrario, en un modelo din´ amico se considera que al menos un elemento de decisi´on evoluciona o cambia con respecto del tiempo; por ende, en el modelo se describen las variables de decisi´on como

22

funciones del tiempo, describiendo trayectorias temporales. En el ejemplo 2.5, se muestran algunos problemas de optimizaci´on de estos modelos.

Ejemplo 2.5 Modelo est´ atico

m´ın

Pn

i=1 ci

⇤ xi

sujeto a: ai,j ⇤ xi ,

o = bj 8 j = 1, . . . , m xi

0

x 2 Zn ^ x 2 [0, 1] Modelo din´ amico m´ın

RT 0

c1 [x0 (t)]2 + c2 x(t) dt sujeto a: x(0) = 0 x(T ) = B x0 (t)

0

Las ventajas de utilizar un modelo matem´atico con objeto de entender, analizar y solucionar un problema, sobre otro tipo de modelos son las siguientes: a) Un modelo matem´atico describe un problema en forma m´ as concisa. b) Facilita el manejo del problema en su totalidad y el estudio de todas sus interrogaciones. c) Forma un puente para poder emplear t´ecnicas matem´aticas y computacionales de alto poder, para analizar el problema. Pero tambi´en existen desventajas entre los modelos matem´ aticos y otros tipos de modelos las cuales son: a) Un modelo requiere de aproximaciones, suposiciones y simplificaci´ on con objeto de hacerlo manejable (susceptible de ser resuelto). Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una representaci´on sencilla pero v´alida del problema. b) Debe existir una alta correlaci´on entre la predicci´on del modelo y lo que ocurre en la vida real. Es decir el modelo debe representar de manera fiel el problema que se desea analizar.

23

2.2.4.

Solucionar el modelo

Despu´es de construir el modelo, se utilizan mecanismos, generalmente un algoritmo6 , con el objeto de encontrar la soluci´ on ´ optima (o cuasi-´optima) del problema en cuesti´on. El m´etodo de soluci´ on a usar en la resoluci´ on de cualquier problema est´a en funci´on de las caracter´ısticas y propiedades de su modelo matem´ atico. Durante esta fase es posible el desarrollo o adecuaci´on de alg´ un (os) algoritmo (s) para resolver un modelo de programaci´on matem´atica.

2.2.5.

Validar el modelo y la soluci´ on obtenida

Tiene como prop´ osito perfeccionar el modelo propuesto de tal forma que, dicho modelo sea una herramienta adecuada para analizar y predecir el comportamiento del sistema. Comprobar si el ˆ modelos hace lo que se espera que haga, A¿tiene sentido la soluci´on?

2.2.6.

Control de la soluci´ on o an´ alisis de sensibilidad

ˆ omo se modifica la soluci´ ˜ A¿C´ on ´optima si cambia o cambian algunos de los parA¡metros del problema?

2.2.7.

Implementaci´ on

Traducci´ on de los resultados en instrucciones de operaci´on detallada emitidos en forma comprensible para administradores del sistema.

2.2.8.

Modelaci´ on

Aunque el lector lo dude la parte m´as dif´ıcil de la IO es la formulaci´on matem´atica del sistema que desea estudiar. Ya que esta actividad involucra n decisiones relacionadas a la percepci´ on y razonamiento de los involucrados en el sistema. Una vez que se ha definido el problema el analista del sistema tiene que traducir del lenguaje de uso com´ un a un lenguaje matem´atico una representaci´ on del sistema que desea estudiar. Esta es la fase tres de la metodolog´ıa de la investigaci´ on de operaciones. Antes de iniciar esta fase el analista debe verificar que los aspectos son directrices del 6 Un

algoritmo es un procedimiento con un n´ umero finito de pasos bien definidos para realizar una tarea.

24

problema que se est´ a estudiando. El procedimiento para formular el modelo matem´atico a partir de un modelo descriptivo del problema bajo estudio conlleva cinco pasos los cuales se esquematizan a continuaci´ on.

Figura 2.2: Figura 1

A continuaci´ on se da una breve descripci´on de cada uno de los pasos. As´ı como las consideraciones generales a considerar durante cada uno de ellos.

2.2.9.

Paso 0: Entendimiento del enunciado (modelo descriptivo del problema).

En este paso comienza con una lectura del enunciado sobre el problema. Durante la lectura el analista debe separar las ideas centrales que describan al problema de forma general. Dichas ideas podr´ an ser identificadas por el analista contestando las siguientes interrogantes:

25

* Cu´ al es el problema? * Por qu´e es un problema que se desee resolver? * Para qu´e se desea resolver ese problema en particular? * Cu´ al es el objetivo que se busca al resolver el problema? * Cu´ ales son los elementos que intervienen en el problema y cu´al es su importancia? * Cu´ ales son las relaciones e interacciones entre los elementos que intervienen en el sistema? En caso de ser necesario se puede hacer uso de modelos gr´aficos u otro instrumento que le permita al analista una mayor comprensi´ on del problema.

2.2.10.

Paso 1: Definici´ on de las variables de decisi´ on.

Una vez comprendido el problema se procede a determinar a las variables de decisi´on del sistema. Entendiendo como variables de decisi´on a aquellas que al ser manipuladas afectan el estado del sistema. Por convenci´ on se utiliza la notaci´on x1 para indicar el numero de variable del que se trata. Esta notaci´ on representa el hecho de que las variables seleccionadas representan un vector de soluciones factibles al sistema. Cuando se est´e definido cada una de las variables es necesario expresar las unidades que ser´ an cuantificadas cada una de ellas con el objeto de tener una mejor interpretaci´on de las soluciones obtenidas.

2.3.

Paso 2: Determinaci´ on de las restricciones del modelo.

En esta fase se representan las relaciones entre las variables del sistema en t´erminos de afirmaciones l´ ogicas. Adem´ as de establecer las relaciones entre variables tambi´en establece un lazo entre estas y los recursos de el sistema. Xalgo ± xalgo  xalgo

26

No existe un l´ımite del n´ umero de restricciones que puede contener un modelo. Las relaciones se expresan en t´ermino de ecuaciones en forma de desigualdades e igualdades. El signo de las ecuaciones representa el tipo de relaci´ on l´ ogica que se establece entre las variables de decisi´on y los recursos.

2.3.1.

Relaci´ on del tipo de la igualdad (x1i ± x1j = b1 )

Se establece que la combinaci´ on de las variables i hasta j debe ser estrictamente igual a la cantidad de recurso. El enunciado incluir´ a t´erminos como: que se garantice utilizar la totalidad del recurso b, que sea igual a b, que se ocupe todo b, etc.

2.3.2.

Relaci´ on del tipo mayor o igual que (x1i ± x1j

b1 )

Se establece que la combinaci´ on de las variables i hasta j debe ser por lo menos igual a la cantidad de recurso. Es decir la combinaci´ on de variables puede tomar valores superiores al establecido en el enunciado. El modelo descriptivo incluir´a t´erminos como: mayor o igual que b, por lo menos b, cuando menos b, con l´ımite inferior de b, etc.

2.3.3.

Relaci´ on del tipo menor o igual que (x1i ± x1j  b1 )

Se establece que la combinaci´ on de las variables i hasta j debe ser cuando mucho la cantidad de recursos del sistema. Es decir la combinaci´on de variables podr´a tomar siempre valores inferiores a lo establecido en el enunciado y se tomara como l´ımite superior a los recursos del sistema. El modelo descriptivo incluir´ a t´erminos como: menor o igual que b, a lo mucho b, a lo sumo b, con l´ımite superior en b, etc.

2.3.4.

Restricciones de no negatividad.

Son una serie de condiciones que establecen que el valor m´as peque˜ no que puede asumir una variable es cero. En caso de que las variables pudiesen asumir valores negativos existen t´ecnicas para salvar este obst´ aculo que se ver´ an m´as adelante.

27

2.3.5.

Paso 3: Determinaci´ on de una medida de desempe˜ no del sistema.

Es el objetivo que se busca alcanzar al satisfacer todas las restricciones del modelo. Los modelos lineales solo pueden contener uno y solo un objetivo. La forma matem´atica del objetivo se llama funci´ on objetivo. El cual se expresa siempre en t´erminos de maximizaci´on (conseguir el valor m´ as grande) o minimizaci´ on (conseguir el valor m´as peque˜ no). Adem´as sirve como una medida de cuantificaci´ on num´erica del comportamiento de determinada combinaci´on de recursos. Su forma convencional es: Funci´ on objetivo ! Max o Min(Z)=a1 ⇤ x1 + a2 ⇤ x2 + . . . + an ⇤ xn

2.3.6.

Paso 4: Estructuraci´ on o s´ıntesis del modelo.

Este paso consiste en dar la estructura convencional a lo obtenido en los pasos 2 y 3 de este procedimiento de forma tal que se enuncie en primer lugar a la funci´on objetivo del modelo y despu´es las restricciones a la que queda sujeto este objetivo dentro del sistema. Funci´ on objetivo ! Max o Min(Z)= a1 ⇤ x1 + a2 ⇤ x2 + . . . + an ⇤ xn Sujeto a: a11 ⇤ x1 + a12 ⇤ x2 + . . . + a1n ⇤ xn = b1 a21 ⇤ x1 + a22 ⇤ x2 + . . . + a2n ⇤ xn = b2

.... .. am1 ⇤ x1 + am2 ⇤ x2 + . . . + amn ⇤ xn = bm x1

2.3.7.

, x2

0, . . . , xn

0

Ejemplos del procedimiento para modelar un problema.

A continuaci´ on se muestran unos ejemplos de c´omo aplicar esta metodolog´ıa a los problemas con objeto de encontrar el modelo matem´atico correspondiente. 28

2.3.8.

Problema 1. Control de contaminantes. (Haeussler E. F., 1997)

A causa de las reglamentaciones de la nueva ley de equilibrio ecol´ogico sobre emisiones de contaminantes para las industrias, una compa˜ n´ıa ”x” ha pensado introducir un nuevo y costoso procedimiento para la fabricaci´ on del producto A que reemplazar´ıa al procedimiento actual de forma total o parcial. El proceso actual descarga 15 g de di´oxido de azufre y 40 g de di´oxido de carbono por cada unidad de A. Mientras que el nuevo proceso descargar´ıa 5 g de di´oxido de azufre y 20 g de di´ oxido de carbono a la atm´ osfera por cada unidad de A. La compa˜ n´ıa obtiene una utilidad de $1.25 pesos por cada unidad nuevo proceso. La ley establece que la empresa descargue a la atm´osfera diariamente a lo sumo 10500 g de di´ oxido de azufre y de no m´as de 30000 g de di´oxido de carbono. La compa˜ n´ıa desea saber cu´ antas unidades de A deben producir /d´ıa en cada uno de los procesos con objeto de obtener la mayor cantidad de utilidades posibles.

2.3.9.

Formulaci´ on del modelo matem´ atico.

2.3.9.1.

Paso 0: Entender el enunciado.

Para lograr esto se hace uso en este caso de un modelo gr´afico del sistema Figura 2. Modelo gr´ afico de problema de la compa˜ n´ıa ”x”

2.3.9.2.

Paso 1: Determinaci´ on de variables.

Observe que los elementos que influyen directamente en el problema son la cantidad de productos A hechos en el proceso actual y la cantidad de A hecha en el nuevo proceso. Por lo tanto estas son las variables de decisi´ on del sistema. x1 : U nidadesproducidasaldiaenelsistemaactual x2 : U nidadesproducidasaldiaenelnuevosistema 2.3.9.3.

Pas´ o 2: Determinaci´ on de las restricciones.

En el modelo gr´ afico se observa que las restricciones del problema est´an relacionadas con la cantidad de contaminantes que es posible descargar a la atm´osfera diariamente por producir n 29

Figura 2.3: Figura 2 cantidad de A. Pero para reafirmar esta idea se analizaran los enunciados del problema original. a) La ley establece que la empresa descargue a la atm´osfera diariamente a lo sumo 10500 g de di´ oxido de azufre. Esta cantidad ser´a resultado de la combinaci´on de la cantidad producidas en el sistema actual (15 g/unidad) y de la cantidad producida en el nuevo sistema (5 g/unidad). Lo anterior queda representado en la siguiente afirmaci´on.

15x1 + 5x2  10500 b) La ley establece que la empresa descargue a la atm´osfera diariamente no m´as de 30000 g de di´ oxido de carbono. Esta cantidad ser´a resultado de la combinaci´on de las cantidades producidas en el sistema actual (40 g/unidad) y por el nuevo sistema (20 g/unidad). Lo anterior queda representado en la siguiente afirmaci´ on.

40x1 + 20x2  30000 c) Las condiciones de no negatividad resultan l´ogicas si se parte del hecho de que la cantidad 30

m´ınima de art´ıculos que se pueden fabricar con cualquiera de los dos proceso es de 0. Lo que se representa en las siguientes afirmaciones.

2.3.9.4.

x1

0

x2

0

Paso 3: Determinaci´ on de la funci´ on objetivo.

El objetivo de la empresa es obtener la mayor cantidad de utilidades como sea posible. Dichas utilidades ser´ an resultado del aporte de las utilidades resultado de la venta de las unidades producidas en el sistema actual (contribuye $1.25/unidad) y del nuevo proceso (contribuyen $0.87 / unidad). Lo anterior se traduce en la siguiente afirmaci´on. Max (Z) 1,25x1 + 0,87x2 2.3.9.5.

Pas´ o 4: Estructuraci´ on o s´ıntesis del modelo.

Funci´ on Objetivo: Max (Z) 1,25x1 + 0,87x2 15x1 + 5x2  10500 40x1 + 20x2  30000 x1

2.3.10.

0 x2

0

Problema 2. Dise˜ no de terapia (J., 2001)

Acaban de diagnosticarle a Silvia c´ancer de est´omago en etapa 2. Lo que lleva a Silvia a buscar las mejores opciones m´edicas de tratamiento que le ofrezcan mayores posibilidades de supervivencia. Uno de los m´edicos onc´ ologos que Silvia visita le explica que el tratamiento con radiaci´on le ofrece mejores posibilidades de supervivencia. El m´edico le explica tambi´en que la base del tratamiento es pasar radiaci´ on ionizante a trav´es de su cuerpo que da˜ nara los tejidos cancerosos pero que tambi´en da˜ nara a los tejidos sanos y que el da˜ no en estos tejidos ser´a m´as severo cuanto m´as cercanos est´en

31

los tejidos a la zona del tumor. As´ı mismo que las c´elulas cancer´ıgenas generalmente se encuentran diseminadas entre c´elulas sanas. Una vez terminada la explicaci´on del onc´ologo Silvia decide someterse al tratamiento. Ahora el m´edico se encuentra en la disyuntiva de balancear con cuidado todos los factores involucrados en la terapia de radiaci´ on. Con el objetivo de dise˜ nar la combinaci´on adecuada de rayos a e intensidades de cada uno para generar el tratamiento que sea lo m´as efectivo posible para eliminar el tumor, y a su vez sea lo menos da˜ nino para Silvia. Despu´es de una serie de an´alisis exhaustivos el equipo dirigido por el onc´ ologo estima que solo es necesario utilizar dos rayos de los cuales es necesario estimar la dosis a aplicar. El equipo considera como objetivo prioritario del tratamiento es minimizar la radicaci´on en el tejido sano. Los datos necesarios a considerar en el tratamiento de Silvia se muestran en la siguiente tabla.

Figura 2.4: Figura 3

2.3.10.1.

Formulaci´ on del modelo.

2.3.10.2.

Paso 0: Entender el enunciado.

Lea otra vez el problema y se dar´a cuenta que los primeros p´arrafos solo dan el contexto de referencia en el cual surge el problema el cual servir´a como base al momento de tomar decisiones. Y que el problema propiamente dicho esta expresado en los dos u ´ltimos p´arrafos y en la tabla correspondiente.

32

2.3.10.3.

Paso 1: Determinaci´ on de variables de decisi´ on.

Los elementos que afectan directamente al problema es la dosis (en kilorads) a aplicar con cada uno de los rayos en el tratamiento. Lo cual queda expresado en las siguientes sentencias. x1 : intensidaddelrayo1 x2 : intensidaddelrayo2 2.3.10.4.

Paso 2: Determinar las restricciones del problema.

A continuaci´ on se sistematizan las restricciones del modelo que se encuentran enunciadas en la tabla anterior. a) La dosis total que puede aplicarse a los tejidos cr´ıticos (tejidos sanos cercanos al tumor) es como m´ aximo de 2.7. Esta radiaci´ on es una combinaci´on de la dosis aplicada por el rayo 1 y el rayo 2. Lo que se representa con la siguiente afirmaci´on.

0,3x1 + 0,1x2  2,7

b) La dosis total a aplicarse a la regi´on del tumor es de 6 Kilorads. Esta dosis es una combinaci´ on de lo aplicado con el rayo 1 y rayo 2.

0,5x1 + 0,5x2 = 6

c) La dosis total a aplicarse en el centro del tumor es de cuando menos 6 Kilorads. Esta dosis es una combinaci´ on de lo aplicado con el rayo 1 y 2.

0,6x1 + 0,4x2

33

6

d) Las condiciones de no negatividad resultan l´ogicas si se parte del hecho de que la dosis m´ as peque˜ na que se puede aplicar con cualquiera de los dos rayos de cero. Lo cual se expresa en las siguientes sentencias.

2.3.10.5.

x1

0

x2

0

Pas´ o 3: Determinaci´ on de la funci´ on objetivo.

El enunciado dice que el objetivo prioritario del tratamiento es minimizar la radicaci´on en el tejido sano. Lo que se expresa en la siguiente sentencia. Min (Z) 0,4x1 + 0,5x2 2.3.10.6.

Pas´ o 4: Estructuraci´ on o s´ıntesis del modelo.

Funci´ on objetivo: Min (Z) 0,4x1 + 0,5x2 0,3x1 + 0,1x2  2,7 0,5x1 + 0,5x2 = 6 0,6x1 + 0,4x2 x1

2.3.11.

0 x2

6 0

Problema 3. Ensamble de autom´ oviles. (J., 2001)

Una gran compa˜ n´ıa manufacturera dedicada a ramo automotriz organiza los veh´ıculos que fabrica en tres grupos distintos de acuerdo a sus caracter´ısticas los cuales son A) Camiones, B) Autom´ oviles compactos C) Autom´ oviles familiares. 34

Una de las plantas de la compa˜ n´ıa que se encuentra localizada en Quer´etaro ensambla dos modelos del grupo de autom´ oviles familiares. El primer modelo es un TSURU-87 de cuatro puertas con asientos de vinil, recubrimientos de pl´astico de caracter´ısticas austeras y de buen rendimiento. Este modelo es generalmente comprado por familias de clase medio y por cada unidad vendida la compa˜ n´ıa recibe una utilidad de $5 600. El segundo modelo es un TSURU-91 con cuatro puertas, asientos e interiores en piel negra, con un sistema de navegaci´on guiado v´ıa sat´elite con caracter´ısticas de lujo. Este modelo es comprado por familias de clase media-alta y por cada unidad vendida se genera una ganancia de $9 400. Un gerente de la compa˜ n´ıa debe decidir el programa de producci´on para el pr´oximo mes en la planta. Es decir el debe determinar cu´antas unidades de TSURU-87 y TSURU-91 debe ensamblar la f´ abrica con el objeto de maximizar las ganancias de la compa˜ n´ıa. El sabe de antemano que la planta cuenta con 50 000 h/mes de mano de obra y que el ensamble de una unidad TSURU-87 tarda 8.5 h mientras que una unidad TSURU-91 tarda 10.2 h. Debido a que la planta solo ensambla los autom´oviles requiere de partes que le son suministradas por otras 2 f´ abricas de la compa˜ n´ıa. El gerente conoce que la f´abrica A solo proporcionara a la planta de Quer´etaro 10000 pares de puertas, los modelos fabricados ocupan la misma cantidad de puertas. Y la f´ abrica de llantas solo proporcionara a lo sumo 5000 juegos de llantas de las que ocupa el modelo TSURU-91 y cuando menos 2000 juegos de las que ocupa el modelo TSURU-87 . Un pron´ ostico hecho por el departamento de ventas de la compa˜ n´ıa estima que las ventas del TSURU-91 est´ a limitada a 3500 autos al mes. Y que las ventas del TSURU-87 es superior a 2000 autos al mes

2.3.11.1.

Formulaci´ on del modelo.

2.3.11.2.

Paso 0: Entender el enunciado.

En este caso ser´ au ´til valerse de un modelo gr´afico del problema, para ayudar a la concepci´ on del modelo matem´ atico.

35

Figura 2.5: Figura 4 2.3.11.3.

Paso 1: Determinaci´ on de las variables de decisi´ on.

Note que la cantidad de veh´ıculos producidos de cada uno de los modelos son los elementos que afectan directamente al problema por lo cual se escoge a estas como las variables de decisi´ on del problema.

2.3.11.4.

x1 : CantidaddevehiculosproducidospormesdelmodeloT SU RU

87

x2 : CantidaddevehiculosproducidospormesdelmodeloT SU RU

91

Pas´ o 2: Determinaci´ on de las restricciones.

a) La cantidad disponibles de puertas es a lo m´as de 10000 juegos. Estas cantidad ser´a consumida por una combinaci´ on de ambos modelos en una proporci´on de 1 por cada unidad producida.

x1 + x2  10000

36

b) La cantidad disponible de mano de obra al mes es a lo sumo de 50000. Esta cantidad ser´ a consumida por una combinaci´ on del TSURU-87 (requiere 8.5 h/unidad) y del TSURU-91 (requiere 10.2h/ unidad).

8,5x1 + 10,2x2  50000

c) La cantidad de llantas disponibles para el TSURU-87 es de por lo menos 2000 juegos.

x2

2000

d) La cantidad de llantas disponibles para el TSURU-91 es de por lo menos 5000 juegos.

x1  5000

e) La demanda del TSURU-87 es cuando menos de 2000 unidades al mes.

x2

2000

f) La demanda de TSURU-91 es cuando mucho de 3500 unidades al mes.

x2  3500

37

g) Las condiciones de no negatividad resultan l´ogicas si se considera el hecho de que la cantidad m´ınima de ambos modelos que puede producir la planta es de cero.

x1

0

x2

0

Note que la restricci´ on c y e son iguales ya que representan la misma regi´on en el plano por lo tanto al momento de estructurar el modelo solo se escribir´a un ves esta para no ser redundante en el sistema. As´ı mismo que cumplir la condici´on f involucra cumplir la condici´on d, ya que si x1  3500 necesariamente involucra que x2 sea menor que 5000. 2.3.11.5.

Pas´ o 3: Determinaci´ on de funci´ on objetivo.

El gerente debe determinar cu´antas unidades de TSURU-87 y TSURU-91 debe ensamblar la f´ abrica con el objeto de maximizar las ganancias de la compa˜ n´ıa. Lo que se traduce en la siguiente afirmaci´ on. Max (Z): 5600x1 + 9400x2 2.3.11.6.

Paso 4: Estructuraci´ on o s´ıntesis del modelo.

Funci´ on objetivo: Max (Z) 5600x1 + 9400x2 Sujeta a: x1 + x2  10000 8,5x1 + 10,2x2  50000 x1

2000

x2  3500 x1

0

x2

0

38

A lo largo del presente capitulo se seguir´a utilizando este procedimiento para la formulaci´ on de modelos matem´ aticos con el objeto de que el lector se habitu´e a ´el. En los posteriores se dar´ a por hecho que esta habilidad ha sido ya adquirida.

2.3.11.7.

Ejemplo 1

Un fabricante manufactura un producto en dos versiones diferentes: est´andar (E) y lujo (L). Las principales operaciones relacionadas con la fabricaci´on del producto son las siguientes: ⇤ corte y te˜ nido ⇤ Costura ⇤ Acabados ⇤ Inspecci´ on y empaque Datos: El jefe de producci´ on ha estimado, para cada art´ıculo, los siguientes tiempos unitarios de procesamiento (horas)

Figura 2.6: Figura 1

Asi mismo, la disponibilidad total de tiempo para cada departamento es la siguiente:

Figura 2.7: Figura 2

39

El departamento de contabilidad y finanzas estima que la contribuci´on marginal a la utilidad de la empresa seg´ un el tipo de producto que se fabrique es la siguiente: Producto Est´ andar =$ 10 por unidad Producto de Lujo = $ 9 por unidad Desarrollar un modelo matem´ atico que permita maximizar la utilidad marginal de la empresa.

2.3.11.8.

RESOLUCION

1) Definimos variables de decisi´on: X= Numero de piezas producidas del tipo i I 2 1, 2 Funci´ on Objetivo = Max Z: 10x1 + 9x2 Sujeto A 7/10x1 + x2  630 1/2x1 + 5/6x2  600 x1 + 2/3x2  708 1/10x1 + 1/4x2  135 X 1 , x2

0

Formulaci´ on verbal del problema:FO + Restricciones Formulaci´on del problema: variables + FO + Restricciones Formulaci´on cl´asica de un PL (completa) Ejemplo 2 La empresa Qu´ımica M&D desea programar la producci´on del pr´oximo mes de dos de sus productos (A y B), a partir del mismo equipo. Conforme a la pol´ıtica de producci´on de la empresa, el programa de producci´ on para el mes siguiente debe cumplir con las condiciones: * La producci´ on combinada de ambos productos debe ser de al menos 350 litros. * El cliente principal ha hecho un pedido de 125 litros del producto A para el pr´oximo mes. Datos. - La fabricaci´ on de un litro de producto A requiere de 2 horas de procesamiento - La fabricaci´ on de un litro de producto B requiere de 1 hora de procesamiento,

40

- La disponibilidad del equipo para el pr´oximo mes es de 600 horas, - Los costos de producci´ on son de $2 por cada litro de producto A y de $3 por cada litro de producto B. Proponga un plan de producci´ on que minimice los costos. Formulaci´ on verbal del problema: FO + restricciones Formulaci´ n del problema: variables + FO + restricciones Formulaci´ on cl´ asica de un PL (completa)

2.3.12. 2.3.12.1.

3. Otras clases de problemas Problema de producci´ on

La compa˜ n´ıa QUIMEX produce pinturas para interiores y exteriores, a partir de las materias primas M1 y M2. La tabla siguiente proporciona los datos de disponibilidad de materias primas, requerimientos de las mismas y utilidad de cada tipo de pintura.

Figura 2.8: Figura 3

De acuerdo con su nivel de participaci´on en el mercado, la gerencia de la empresa estima que puede vender la producci´ on total de pintura de cada d´ıa, por lo que desea obtener el nivel de producci´ on que le permita maximizar sus utilidades. Se debe producir al menos el doble de pintura para interiores que de pintura para exteriores. Se pueden producir cuando mucho 8 toneladas de pintura cada d´ıa. El objetivo es maximizar la utilidad. Problema de la Dieta Se desea determinar los ingredientes a incluir en el men´ u m´as econ´omico, que satisfaga los requerimientos nutricionales

41

diarios. Los nutrientes a considerar en este ejemplo, junto con el requerimiento diario de los mismos; as´ı como los alimentos disponibles, su precio, y su contenido nutricional se muestran en la tabla siguiente:

Figura 2.9: Figura 4

Generalizaci´ on. En una instancia del problema de la dieta se tienen:

n alimentos m nutrientes Para los cuales se conoce: El requerimiento diario del nutriente i, i = 1, 2,. . . ,m El costo de una unidad del alimento j, j = 1, 2,. . . ,n La cantidad del nutriente i contenida en una unidad del alimento j (i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n) Se definen las variables de decisi´ on (controlables). Sea xj la cantidad del alimento j (j = 1, 2,. . . ,n) incluida en la dieta. Problema de Mezclado. El nutri´ ologo de un laboratorio de investigaci´on en alimentos est´a trabajando en el desarrollo de un nuevo tipo de harina multigrano. En la elaboraci´on de la harina tiene contemplado el uso de cuatro granos cuya composici´ on en nutrientes y precio se muestran a continuaci´on: Por consideraciones de gusto, la mezcla no debe contener m´as del 20 % del grano dos, pero debe contener al menos 30 % del grano tres, y entre 10 % y 25 % del grano uno. Adem´as, la harina debe 42

Figura 2.10: Figura 5 contener al menos 18 % de prote´ınas, entre 8 % y 13 % de gluten y no m´as de 50 % de fibra. Se desea encontrar la mezcla de granos que permita obtener la harina m´as econ´omica, que satisfaga las condiciones dadas.

2.3.13.

Problema de Selecci´ on de Portafolios

Usualmente, se trata de maximizar el retorno de inversi´on o minimizar el riesgo asociado a la inversi´ on. Las restricciones t´ıpicamente toman la forma de inversi´on m´axima permitida (legislaci´ on o pol´ıtica de la empresa), m´ aximo riesgo permitido, etc. Considere el caso de Welte Mutual Funds, Inc (WMF), quienes han obtenido $100,000 al convertir bonos industriales en efectivo, y ahora buscan otra oportunidad para invertir. . . Espec´ıficamente, existen 5 oportunidades diferentes:

Figura 2.11: Figura 6

Especificaciones: - Ninguna industria (Petr´ oleo y Acero) debe de tener invertidos m´as de $50,000.

43

- Los bonos de gobierno deben ser al menos iguales al 25 % de la inversi´on en industria del acero. - La inversi´ on en Pacific Oil no debe ser mayor al 60 % del total de la industria del petr´oleo.

2.3.13.1.

RESOLUCION

Definimos variables de decisi´ on: Xi : Cantidad de dinero invertida F.O: Z= 0,073x1 + 0,103x2 + 0,64x3 + 0,075x4 + 0,045x5

x1 + x2  50, 000 x3 + x4  50, 000 X5

0,25x1 x5

0,25x2

0 (industria de petr´oleo)

0,25(x3 + x2 ) (industria del acero) x2  0,60(x1 + x2 )

despejando

06x1 + 0,4x2  0

2.3.14.

Problema de cubrimiento

Cada hora, desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m., un banco recibe cheques y debe procesarlos. Su objetivo es procesar todos los cheques el mismo d´ıa en que los recibe. El banco tiene 13 m´aquinas procesadoras de cheques, cada una de las cuales tiene la capacidad de procesar hasta 500 cheques por hora. Se requiere un trabajador que opere cada m´aquina. El banco contrata empleados de tiempo completo y de medio tiempo. os trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m. a 6 p.m., de 11 a.m. a 7 p.m. ´ o de medio d´ıa a 8 p.m., y cobran $160 diarios. Los empleados de medio tiempo trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. ´ o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les paga $75 diarios. El n´ umero de cheques

44

Figura 2.12: Figura 7 que se reciben cada hora est´ a representado en la tabla. Dado que al banco le interesa conservar la continuidad, opina que debe tener por lo menos tres trabajadores de tiempo completo bajo contrato. Desarrollar un horario de trabajo de costo m´ınimo que tenga procesados todos los cheques a las 8 p.m. Definimos variables de decisi´ on: Xij I= tipo de empeado J=horario de trabajo F.O: Min Z= 160(x11 + x12 + x13 + 75(x21 + x22 )) S.A x11 + x12 + x13 )

3

500(x11 + x12 + x13 + x21 + x22 )  5, 000

2.3.15.

Problema de transporte

Problema de transporte. La compa˜ n´ıa azucarera Diamante tiene dos ingenios localizados en C´ ordoba, Ver. y Ciudad Valles, SLP. La compa˜ n´ıa surte el az´ ucar que requiere una compa˜ n´ıa productora de refrescos con plantas en R´ıo Blanco, Ver., San Luis Potos´ı, SLP y Tehuac´an, Pue. La compa˜ n´ıa Diamante produce 5 y 8 toneladas de az´ ucar por semana en los ingenios de C´ordoba y Ciudad Valles, respectivamente, mientras que las embotelladoras requieren de 3, 5 y 4 toneladas de az´ ucar por semana en R´ıo Blanco, San Luis Potos´ı, y Tehuac´an, respectivamente. El az´ ucar puede ser enviado de cualquier ingenio a cualquier embotelladora, pero el costo de transporte difiere seg´ un la trayectoria. Los costos de enviar una tonelada de az´ ucar del ingenio i a la embotelladora j se

45

muestran en la tabla siguiente:

Figura 2.13: Figura 8

Se desea determinar la manera de transportar el az´ ucar de los ingenios a las embotelladoras que tenga un m´ınimo costo.

2.3.15.1.

RESOLUCION

Xij = i = 1, 2j = 1, 2, 3 Min Z= 2x11 + 6x12 + 3x13 + 5x21 + 3x22 + 7x23 S.A x11 + x12 + x13  5 x21 + x22 + x23  8 x11 + x21 = 3 x12 + x22 = 5 x13 + x23 = 4

2.3.16.

Problema de asignaci´ on

Cuatro trabajos deben realizarse simult´aneamente y se dispone de cuatro m´aquinas diferentes para ello, en las cuales es posible realizar cualquiera de los trabajos, pero con diferentes costos. Los costos de realizar el trabajo i en la m´aquina j, para cada pareja (i,j), se muestran en la siguiente tabla:

Figura 2.14: Figura 9

46

Se desea determinar la asignaci´on de los trabajos a las m´aquinas que permita realizar los trabajos con el menor costo posible.

2.3.16.1.

RESOLUCION

Determinar variables de decisi´ on: Min Z: 3x11 + 4x12 + 2x13 + 7x14 + 4x21 + 6x22 + 3x23 + 8x24 + 5x31 + 3x32 + 3x33 + 9x34 + 6x41 + 7x42 + 4x43 + 6x44 S.A: Nota: estas restricciones aseguran que para cada trabajo hay una maquina. x11 + x12 + x13 + x14 = 1 x21 + x22 + x23 + x24 = 1 x31 + x32 + x33 + x34 = 1 x41 + x42 + x43 + x44 = 1 Nota: estas restricciones aseguran que para cada m´aquina se le asign´o un trabajo. x11 + x21 + x31 + x41 = 1 x12 + x22 + x32 + x42 = 1 x13 + x23 + x33 + x43 = 1 x14 + x24 + x34 + x44 = 1 xi

2.3.17.

0

Problema de Flujo M´ aximo

Consid´erese una red de tuber´ıa (drenaje, cables el´ectricos, etc), teniendo, cada una, una capacidad (l´ımite superior de la cantidad de flujo que por ella puede pasar por unidad de tiempo). Se busca determinar la cantidad m´ axima de flujo que se puede enviar desde un v´ertice origen o fuente F a un v´ertice destino o sumidero S, sabiendo que el flujo es conservativo (la cantidad de flujo que entra en un v´ertice intermedio es igual a la cantidad de flujo que sale del mismo). Suponga que se trata de una red de agua potable constituida por la gr´afica G = (V,A) mostrada en la figura siguiente, en la cual se indica para cada arista su capacidad, en m3/seg. Se desea determinar la cantidad del l´ıquido que debe viajar por cada arco de manera que se maximice el flujo enviado de F a S. Problema de corte Una empresa papelera vende rollos de papel en tres presentaciones: Rollos 47

Figura 2.15: Figura 10 de 1.5 pulgadas, rollos de 2.5 pulgadas y rollos de 3.5 pulgadas. Para producirlos, utiliza un rollo maestro de papel de 10 pulgadas de ancho, el cual puede ser cortado de acuerdo a las siguientes alternativas de corte. Por ejemplo, si se corta el rollo maestro de acuerdo a la alternativa 1, se obtienen 6 rollos de 1.5 pulgadas de ancho y un rollo de desperdicio de una pulgada de ancho. Si se corta el rollo maestro de acuerdo a la alternativa 2, se obtienen 4 rollos de 2.5 pulgadas sin generar desperdicio. Etc.

Figura 2.16: Figura 11

La demanda esperada para las tres presentaciones es de al menos 1000, 2000 y 4000 rollos. Formule el problema de Programaci´on Lineal que minimice el desperdicio que se generar´ıa en un programa de producci´ on que satisfaga la demanda apuntada para las tres presentaciones.

2.3.18.

Problema de planeaci´ on de la producci´ on

Se debe determinar los niveles de producci´on que permitan que la empresa cumpla con sus niveles de demanda, dadas las limitaciones de capacidad, mano de obra y espacio de almacenamiento, y

48

para que los costos totales (producci´on, mantenimiento de inventario y cambio en los niveles de producci´ on) se minimicen. Datos Una compa˜ n´ıa manufactura 2 componentes electr´onicos A y B. La demanda para el pr´ oximo trimestre, los requerimientos de tiempo y espacio por componente, las capacidades de las m´ aquinas, la mano de obra y almacenamiento se ense˜ nan en las tablas siguientes:

Figura 2.17: Figura 12

El costo de producci´ on es de $20 para un componente A y de $10 para un componente B. Los costos de inventario son de 1.5 % del costo de producci´on. La empresa considera que el costo asociado a: - un incremento en el nivel de producci´on es de $0.50 por unidad, - un decremento en el nivel de producci´on es de $0.20 por unidad. Suponga que el inventario al inicio del periodo es de 500 unidades del componente A y 200 unidades del componente B. La compa˜ n´ıa desea tener un inventario m´ınimo de 400 unidades de componente A y 200 unidades de componente B. Finalmente, la producci´on en marzo (mes anterior al trimestre considerado) fue de 1500 unidades de A y de 1000 unidades de B. Problema de producci´ on modificado Corresponde al an´ alisis de cu´antos componentes deber´ıa de manufacturar una empresa y cu´ antos de ellos deber´ıa comprar a un proveedor. Una compa˜ n´ıa que fabrica 2 modelos de calculadora (Financiera y T´ecnica) busca determinar cu´antos de sus componentes producir y cu´antos comprar El 49

pron´ ostico de la demanda indica que se requerir´an 3000 calculadoras financieras y 2000 calculadoras t´ecnicas. La capacidad de producci´on est´a limitada a 200 hrs de mano de obra en tiempo regular y 50 en tiempo extra (el cual se paga a $9 extra sobre salario normal). Datos del problema:

Figura 2.18: Figura 13

2.3.19.

Problema de Mercadotecnia

La compa˜ n´ıa R-E desea comercializar un fraccionamiento de descanso orientado a personas de clase media-alta y alta, que viven en un radio de 100 millas. La compa˜ n´ıa BP&J est´a a cargo del plan de medios. El presupuesto disponible para el primer mes de publicidad es de $30,000, el cual ser´ a sujeto a las siguientes condiciones: - Usar al menos 10 comerciales de TV - Mostrar la publicidad a al menos 50,000 personas - No gastar m´ as de $18,000 en TV

50

Cap´ıtulo 3

Elementos b´ asicos de la Programaci´ on lineal 3.1. 3.1.1.

Algebra Lineal Vectores

Un n vector o (tambi´en llamado vector de tama˜ no n) es una colecci´on finita y ordenada de elementos homog´eneos de datos en una hilera (rengl´on) o una columana; algunos ejemplos de vec2 3 2 3 1 1 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 tores son:6 2 7, [1 2 3], 6 0 7 3 0,65 9] entre otros. Generalmente, se emplean letras 7 y [1 0 4 5 4 5 3 0 min´ usculas para denotar a un vector, ya sea columna o hilera. 2 3 6 6 6 a 6 1 6 7 2 6 Si a = 4 y adem´ a s a y a 2 R entonces se dice que a 2 R ; si a = 5 1 2 6 6 a2 6 4 2

3

1, . . . , n entonces se dice que a 2 Rn .

a1 7 7 7 a2 7 7 y ai 2 R 8i = .. 7 . 7 7 5 an

Un vector se puede representar por un punto, o bien, por un segmento de recta. Los elementos ´ ´ y c) SENTIDO. de un vector son: a) MODULO: b) DIRECCION

51

El m´ odulo de vector a es la longitud del vector y se denota como |a| y se determina a trav´es de la siguiente ecuaci´ on: |a| =

q a21 + a22 + . . . + a2n

La direcci´ on de un vector a es la recta que lo contiene, mientras que el sentido de un vector es la orientaci´ on de dicho vector. Si dos vectores a y b poseen la misma magnitud, direcci´on y sentido, entonces se dice que ambos vectores son igules a = b. Antes de continuar se revisan algunos vectores especiales. Vector cero es aquel cuyas componentes son todas cero y se denota como 0 e.g: a = [0 0 0 0 0]. Vector de unos es aquel cuyas componentes son todas unos e.g: a = [1 1 1]. Vector unitario es aquel cuyo m´ odulo es uno, en otras palabras, es un vector cuyas componentes todas son cero excepto por un uno en la i

3.1.2.

´esima posici´ on e.g: a = [0 0 1 0 0].

Operaciones con vectores

Suma entre vectores. Dados los vectores a = [a1 , a2 , . . . , an ] y b = [b1 , b2 , . . . , bn ] , se define el vector suma a + b como: [a1 + b1 , a2 + b2 , . . . , an + bn ] Resta entre vectores. Dados los vectores a = [a1 , a2 , . . . , an ] y b = [b1 , b2 , . . . , bn ] , se define el vector resta a

b como: [a1

b1 , a2

b2 , . . . , a n

bn ]

Producto de un escalar con un vector. Dado un vector a = [a1 , a2 , . . . , an ] y un escalar k se define el producto del escalar como: ka = [ka1 , ka2 , . . . , kan ]. Producto interior. Dados los vectores a = [a1 , a2 , . . . , an ] y b = [b1 , b2 , . . . , bn ] , se define al Pn producto interior entre los vectores como a ⇥ b = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn = i=1 ai bi . Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto interior es cero.

Norma de un vector: la norma del vector a = [a1 , a2 , . . . , an ] se denota como ||a|| y es ||a|| = pPn 2 i=1 ai .

Se dice que un vector b = [b1 , b2 , . . . , bn ] es una combinaci´on lineal de a1 , a2 , . . . , ak en un espacio Pk Pk euclidiano n dimensional E n ; si b = i=1 i a, en donde i 2 R 8i = 1, . . . , n. Si adem´as i=1 i = 1 entonces se dice que b es una combinaci´on afin de a1 , a2 , . . . , ak . 52

Se dice que un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinaci´ on lineal de los restantes.

3.1.3.

Matrices

Una matriz es un arreglo rectangular de n´ umeros, llamados elementos, ordenados de tal manera que cuente con “m” filas y “n” columnas. Los elementos pueden ser n´ umeros reales o complejos. Para definir un elemento dentro de una matriz se utiliza una notaci´on con doble sub´ındice 2

6 a11 6 6 6 a21 A=6 6 . 6 .. 6 4 an1

As´ı el elemento aij es aquel localizado en la i

a12

...

a22 .. .

... .. .

an2

...

3

a1m 7 7 7 a2m 7 7 .. 7 . 7 7 5 anm

´esima fila y en la j

´esima columna.

A continuaci´ on, se presentan algunas definiciones de matrices importantes. MATRIZ CUADRADA: Es una matriz donde m = n, se llama simplemente de n ⇥ n. e.g: 2 3 6 2 3 4 5 7 6 7 6 7 6 0 3 0 5 7 7 A=6 6 7 6 2 4 3 9 7 6 7 4 5 2 3 4 5

MATRIZ DE CEROS: Todos los elementos de la matriz son cero. e.g: 2 3 6 0 0 7 A=4 5 0 0

MATRIZ IDENTIDAD: Es una matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son ”1”; mientras que todos los dem´as elementos 2 6 1 6 6 6 0 A=6 6 6 0 6 4 0

son cero. e.g: 3 0 0 0 7 7 7 1 0 0 7 7 7 0 1 0 7 7 5 0 0 1

53

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR: Es una matriz cuadrada, donde los elementos por abajo de la diagonal principal son todos cero, esto es: 2 6 1 6 6 6 0 A=6 6 6 0 6 4 0

2

4

1

3

0

1

0

0

3

5 7 7 7 7 7 7 7 9 7 7 5 1

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR: Es una matriz cuadrada en la que los elementos por arriba

de la diagonal superior son cero; esto es: 2

6 1 6 6 6 2 A=6 6 6 2 6 4 4

3.1.4.

0

0

3

0

4

3

4

4

3 0 7 7 7 0 7 7 7 0 7 7 5 1

Operaciones b´ asicas con matrices

Suma entre matrices. Dadas las matrices A y B, ambas con el mismo n´ umero de hileras y columnas, se define a la matriz suma como A + B = aij + bij Resta entre matrices. Dadas las matrices A y B, ambas con el mismo n´ umero de hileras y columnas, se define a la matriz suma como A

B = aij

bij

Producto escalar con matricez. Dada la matriz A y el escalar k, se define al producto escalar como kA = k ⇤ aik Producto entre matrices. Sean A y B matrices, donde el n´ umero de columnas de A es igual al Pm n´ umero de filas de B se define al producto como A ⇤ B = C donde cij = k=1 aik bkj 3.1.4.1.

Rango de una matriz

El rango de una matriz es el n´ umero de vectores (filas o columnas) de esa matriz que son linealmente independientes. Un vector es linealmente dependiente de otro u otros si se puede establecer una combinaci´ on lineal entre ellos. Un vector es linealmente independiente de otro si no se

54

puede establecer una combinaci´ on lineal entre ellos. Generalmente se denota el rango como rang(A) o r(A). Se puede decir que el rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definici´ on se puede calcular el rango usando determinantes.

3.1.4.2.

Inversa de una matriz

En matem´ aticas, en particular en ´algebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A

1

. Las propiedades de la inversa son: a) La inversa

de una matriz, si existe, es u ´nica. b) La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden. c) Si la matriz es invertible, tambi´en lo es su transpuesta, y la inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa. d) Una matriz es invertible s´ı y s´olo si el determinante de A es distinto de cero.

3.2.

Conjuntos Convexos

Una colecci´ on g de conjuntos abiertos cuya uni´on contiene a X con frecuencia se llama cubierta de X. De modo que el requisito para que X sea compacto es que toda cubierta g de X se pueda sustituir por una cubierta finita g de X. Definici´ on 3 Se dice que X es compacto si siempre que est´e contenido en la uni´ on de una colecci´ on g = G↵ de conjuntos abiertos, tambi´en est´ a contenido en la uni´ on de alg´ un n´ umero finito de conjuntos en g. Generalmente, se dice que un conjunto X es convexo si cualquier par de puntos en X se unen por un segmento lineal l, el cual est´a totalmente incluido en X ; en contraste, se dice que X es no-convexo si l 2 / X. En otras palabras, X es convexo si la combinaci´on lineal de cualquier par de puntos en X queda contenida en X. De otra manera, X es un conjunto no convexo [?]. En la Figura 3.1, se muestran algunos conjuntos convexos y no-convexos en R2 . A continuaci´ on, se define formalmente conjunto convexo, as´ı como otras ideas relacionadas que ser´an utilizadas en los siguientes cap´ıtulos.

55

Figura 3.1: Conjuntos Convexos y No-convexos

56

Definici´ on 4 Un conjunto F ✓ Rn es convexo si para todo xi , xj 2 F y

2 [0, 1] se satisface que:

)xj 2 F

xi + (1

(3.2.1)

[?, ?]. Una ecuaci´ on equivalente es: dado un par de puntos cualquiera xi , xj el conjunto de puntos del segmento rectil´ıneo que los une tambi´en est´ aF

)xj )  f (xi) + (1

f ( xi + (1

)f (xj )

(3.2.2)

[?]

Definici´ on 5 Un elemento x0 2 X es una combinaci´ on lineal convexa de x1 , x2 , . . . , xk 2 Rn si se satisface el siguiente sistema de ecuaciones lineales: x0 = Pk

Pk

i=1

i=1

i

i

i xi

=1

(3.2.3)

0 para todo i = 1, 2, . . . , k

[?, ?]. Topol´ ogicamente, un conjunto conexo es un subconjunto de un espacio topol´ogico (X, U) tal que no puede ser descrito como la uni´ on disjunta de dos conjuntos abiertos de la topolog´ıa U. Es decir, el conjunto X es conexo, si y s´ olo si, los u ´nicos conjuntos de U abiertos y cerrados a la vez son los conjuntos triviales. Definici´ on 6 Un conjunto X es conexo, si y s´ olo si, cada vez que X ⇢ A[B siendo A y B conjuntos abiertos y A \ B = ? entonces A = X y B = ? o bien A = ? y B = X. Proposici´ on 1 Los conjuntos convexos tienen de las siguientes propiedades [?, ?, ?]:

El ? es un conjunto convexo. Un punto es un conjunto convexo. 57

Un segmento de l´ınea recta es conjunto convexo pues satisface la siguiente condici´ on x 2 Rn /x = xi + (1

)xj ; xi , x2 2 Rn ;

2 [0, 1].

El conjunto Rn es conjunto convexo. La intersecci´ on finita o infinita de conjuntos convexos es un conjunto convexo. La uni´ on de conjuntos convexos en general, no tiene que ser un conjunto convexo. La combinaci´ on lineal de conjuntos convexos es un conjunto convexo. Si A y B son conjuntos convexos y k 2 R entonces los siguientes conjuntos tambi´en son convexos : • A ⇥ B = {¯ x 2 R2n /¯ x = (¯ a, ¯b), a ¯ 2 A, ¯b 2 B}. • A + B = {¯ x 2 R2n /¯ x = (¯ a, ¯b), a ¯ 2 A, ¯b 2 B}. • k ⇤ A = {¯ x 2 Rn /¯ x=k⇤a ¯, a ¯ 2 A}. En los teoremas de Heine-Borel y selecci´on de Blaschke se combinan los conceptos de conjuntos compactos y conexos. Teorema 1 (Teorema de Heine-Borel) Si un conjunto X ⇢ Rn tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces poseer´ a tambi´en las otras dos: X es cerrado y conexo. X es conexo Todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulaci´ on en la frontera de X. Teorema 2 (Selecci´ on de Blaschke) De cualquier sucesi´ on uniformemente acotada de conjuntos convexos compactos se puede extraer una subsucesi´ on convergente a un conjunto convexo y compacto. Definici´ on 7 Un hiperplano h(X) es un subespacio de Rn , el cual, satisface la siguiente ecuaci´ on [?]: h(X) =

n X i=1

donde: h(X) 2 Rn , ai 2 Rn , ai 6= 0, b 2 R.

58

ai xi = b

Teorema 3 Un hiperplano es un conjunto convexo [?] Un hiperplano divide a Rn en dos regiones denominadas semiespacios. En la Figura 3.2, se muestran ejemplos de hiperplano y semiespacio en R2 y en R3 . S

Figura 3.2: Ejemplos de hiperplano y semiespacios

Definici´ on 8 Un semiespacio F es un conjunto de puntos, el cual satisface [?]: F = x 2 Rn : a T x  b o bien:F = x 2 Rn : aT x

(3.2.4) b

Si un semiespacio F satisface la ecuaci´on 3.2.4 como una desigualdad estricta, entonces se dice F es un espacio abierto. En otro caso se dice que F es un espacio cerrado. Teorema 4 Un semiespacio es un conjunto convexo [?]. La envoltura convexa o casco convexo de X

representada como conv(X) es el conjunto que

contiene a todas las combinaciones lineales convexas de los puntos xi , xj 2 X [?, ?]. En la Figura 3.3, se muestra un ejemplo de una envoltura convexa para nueve puntos en R2 n Pk Definici´ on 9 conv(X) = xi 2 X| i=1 ↵i xi , ↵i 59

0 8i = 1, 2, . . . , k,

Pk

i=1

o ↵i = 1, k 2 R .

Figura 3.3: Ejemplo de envoltura convexa Teorema 5 El conv(X) de un conjunto X es el menor conjunto convexo que contiene a ese conjunto [?]. Una clase muy importante de los conjuntos convexos es la de conos convexos [?]. De manera informal, se define a un cono convexo como un conjunto convexo cuyos elementos son todos los segmentos de l´ınea que salen del origen. En la Figura 3.4 se muestra un ejemplo de cono convexo.

Figura 3.4: Ejemplo de cono convexo

A continuaci´ on, presenta la definici´on de cono convexo: 60

Definici´ on 10 Si un conjunto convexo C satisface: x 2 C para todo x 2 C y todo

0, entonces

se dice que C es un cono convexo Un rayo es una colecci´ on de puntos que satisface x0 + d :

0, donde d es un vector distinto

de cero al cual se le denomina direcci´ on del rayo. Un conjunto poli´ edrico o poliedro P es la intersecci´ on de un n´ umero finito de semiespacios; a un conjunto poli´edrico acotado se le denomina politopo [?]. En la Figura 3.5 se muestra un ejemplo de politopo en R3 .

Figura 3.5: ejemplo de politopo en R3

A continuaci´ on, se define lo que es un poliedro y un politopo: Definici´ on 11 Un P 2 Rn es el conjunto de puntos x que satisface P = {x 2 Rn : Ax  b}, donde: A es una matriz tal que A 2 Rm⇥n y b es un vector tal que b 2 Rm . Si A y b son racionales , entonces P es un poliedro racional [?]. Definici´ on 12 Un politopo convexo es resultado por la intersecci´ on finita no vac´ıa de semiespacios cerrados engendrados h(X) [?]. Teorema 6 Todo politopo es un conjunto convexo cerrado [?]. C) Funciones convexas y c´ oncavas Sobre la idea de conjunto convexo, se definen las funciones c´ oncavas y convexas, las cuales desempe˜ nan un papel importante en la optimizaci´on [?].

61

Definici´ on 13 Dado un conjunto convexo y no vac´ıo F ✓ Rn y f : F ! R. La funci´ on f es convexa en F si y s´ olo si para todo par de puntos xi , xj 2 F y f ( xi + (1

)x2 )  f (xi ) + (1

2 [0, 1] se satisface que )f (x2 )

(3.2.5)

[?, ?] En la Figura 3.6, se se presenta un eemplo de una funci´on convexa.

Figura 3.6: Ejemplo de funci´on convexa

Definici´ on 14 Dado un conjunto convexo y no vac´ıo F ✓ Rn y f : F ! R. La funci´ on f es estrictamente convexa en F si y s´ olo si para todo par de puntos xi , xj 2 F y

2 [0, 1] se satisface

que f ( xi + (1

)x2 ) < f (xi ) + (1

)f (x2 )

(3.2.6)

[?] Definici´ on 15 Dado un conjunto convexo no vac´ıo F ✓ Rn y f : F ! R. La funci´ on f es c´ oncava en F si y s´ olo si para todo par de puntos xi , xj 2 F y f ( xi + (1

)x2 )

2 [0, 1] se satisface que

f (xi ) + (1

)f (x2 )

(3.2.7)

[?] En la Figura 3.7, se presenta un ejemplo una funci´on c´oncava. Definici´ on 16 Dado un conjunto convexo y no vac´ıo F ✓ Rn y f : F ! R. La funci´ on f es estrictamente c´ oncava en F si y s´ olo si para todo par de puntos xi , xj 2 F y 62

2 [0, 1] se satisface

Figura 3.7: Ejemplo de funci´on c´oncava que f ( xi + (1

)x2 ) > f (xi ) + (1

)f (x2 )

(3.2.8)

[?] El teorema 7 establece un criterio de convexidad de las funciones diferenciables: Teorema 7 Sea f una funci´ on diferenciable en F. Entonces f es convexa si, y s´ olo si: f (x)

f (x0 ) + 4f (x0 (x

x0 ))

(3.2.9)

para todo x, x0 2 F. Definici´ on 17 Sea f una funci´ on convexa definida sobre un conjunto F ✓ R (convexo no vac´ıo), entonces la funci´ on

f se define como una funci´ on c´ oncava en F

Teorema 8 Dada una funci´ on f doblemente diferenciable, si su segunda derivada f 00 (x) es positiva, entonces f es convexa; si f 00 (x) es negativa, entonces es c´ oncava. Si f 00 (x) es cero entonces f no es c´ oncava ni convexa (v´ease Figura 3.8).

Definici´ on 18 Una funci´ on f definida sobre un conjunto F ✓ R (convexo no vac´ıo), es lineal, si y s´ olo si, para todo par de puntos xi , xj 2 F y

2 [0, 1] se satisface que:

f ( xi + (1

)x2 )

f (xi ) + (1

)f (x2 )

f ( xi + (1

)x2 )  f (xi ) + (1

)f (x2 )

63

(3.2.10)

Figura 3.8: Ejemplo de funci´on ni c´oncava ni convexa

Figura 3.9: Ejemplo de funci´on lineal

64

En la Figura 3.9, se presenta un ejemplo una funci´on lineal. Algunas de las propiedades de las funciones c´oncavas y convexas son: Dada una familia de funciones convexas, representada con (fi 8i = 1 . . . m, definida sobre el Pn conjunto X ✓ Rn convexo y no vac´ıo, la funci´on f = i=1 fi es convexa en X. Sea f : X ✓ Rn ! R y sea X un conjunto convexo y no vac´ıo, entonces se tiene: • f es convexa, si y s´ olo si, ✓f , con ✓ > 0, es convexa. • f es estrictamente convexa, si y s´olo si, ✓f , con ✓ > 0, es estrictamente convexa. • f es convexa, si y s´ olo si, ✓f , con ✓ < 0, es c´oncava. • f es estrictamente convexa, si y s´olo si, ✓f , con ✓ < 0, es estrictamente c´oncava. Una funci´ on f : X ! R lineal es convexa y c´oncava. 3.2.0.3.

Optimo local y global

El concepto de “punto extremo” es fundamental para definir si un punto es ´optimo; en t´erminos generales, se dice que x 2 F es un punto extremo, si y s´olo si, x no puede ser expresado como una combinaci´ on convexa estricta de cualquier par de puntos distintos en F [?]. En la definici´on 19 se formaliza dicho concepto. Definici´ on 19 Dado x 2 F. Si no existen x1 , x2 2 F, tales que: x = x1 + (1

)x2

donde:

(3.2.11)

x1 6= x2 2 (0, 1) entonces se dice que x es un punto extremo de F. Con base en las ideas de conjunto convexo y la de punto extremo, se concluye que dado un punto x en conjunto convexo X, si no existe ning´ un segmento de recta (no degenerado) en X que contenga a x en su interior relativo, entonces x es un punto extremo de X. Al conjunto de todos los puntos extremos de X se le denomina perfil de X y se le denota como: ext(X). 65

Teorema 9 (Minkowski, Krein-Milman) Todo cuerpo convexo X 2 R es la envoltura convexa de sus puntos extremos [?]. Un punto extremo es un punto frontera; sin embargo, no todos los puntos frontera son puntos extremos. Localizar los puntos extremos es fundamental para la optimizaci´on, particularmente para la programaci´ on lineal, ya que en ellos se encuentran los valores m´aximos o m´ınimos de un funci´ on. Definici´ on 20 Sea x un punto en el dominio de una funci´ on f . Si f 0 (x) = 0, o bien, f 0 (x) no est´ a definida; entonces, se le denomina a x como un valor cr´ıtico y (x, f (x)) es un punto cr´ıtico. Si en un intervalo [a, b] entorno al punto x, la funci´on f toma el mayor (o menor) valor, entonces se dice que x es m´ aximo (o m´ınimo). A continuaci´on, se definen los conceptos de m´aximo y m´ınimo. Definici´ on 21 Sea f una funci´ on con dominio F. Si para un punto x⇤ se satisface: f (x⇤ ) f (x) 8x 2 F, entonces se dice que x⇤ es un m´ aximo global de f . Si se satisface la desigualdad f (x⇤ ) > f (x) para todos x 6= x⇤ 2 F, entonces se dice que: x⇤ es un punto m´ aximo global estricto. Definici´ on 22 Sea f una funci´ on con dominio F. Si para un punto x⇤ se satisface: f (x⇤ )  f (x) 8x 2 F, entonces se dice que x⇤ es un m´ınimo global de f . Si se satisface la desigualdad f (x⇤ ) < f (x) para todos x 6= x⇤ 2 F, entonces se dice que: x⇤ es un punto m´ınimo global estricto. Con base en lo anterior y al concepto de conjunto, se puede concluir que: un elemento x⇤ en un conjunto F es un elemento m´ aximo, si no existe un x1 2 F tal que f (x⇤ ) < f (x1 ). En contraste, el elemento x⇤ 2 F es un elemento m´ınimo de F si no existe un elemento x1 2 F tal que f (x⇤ ) > f (x1 ). Generalmente, se dice que un punto x es un m´ aximo local, si f (x)  f (xi ) 8xi 2 X 0 , donde X 0 es un intervalo semiabierto de F. Por otro lado, se dice que x es un m´ınimo local, si f (x)  f (xi ) 8xi 2 X 0 . En la Figura 3.10, se presenta un ejemplo con las ideas de m´ınimo global y local.

66

Figura 3.10: Ejemplo de m´ınimo local y global Si x⇤ es m´ınimo global tambi´en ser´a una m´ınimo local; ya que al ser f (x⇤ ) el valor m´as peque˜ no de f en F se implica que f (x⇤ ) sea el valor m´as peque˜ no f en X 0 . Por otro lado un m´aximo global tambi´en es una m´ aximo local. A continuaci´ on, se dan las reglas de la primera y la segunda derivada; las cuales, permiten identificar un m´ınimo (o m´ aximo) local. Prueba 3.1 (Prueba de la primer derivada) Sea f una funci´ on continua diferenciable en intervalo (a, b), excepto posiblemente en el punto cr´ıtico x 2 (a, b). Si al moverse a lo largo de f cerca de x se satisface que: f 0 cambie de negativo a positivo en x, entonces f tiene un m´ınimo local en x. f 0 cambie de positivo a negativo en x, entonces f tiene un m´ aximo local en x. f 0 no cambie de signo en x, entonces f no tiene un extremo local en x. [?] En el ejemplo 3.1 se muestra el uso de la prueba de la primera derivada.

67

Ejemplo 3.1 Dada la funci´ on f (x) = 5x4 6x2 +1. Utilizar la prueba de la primera derivada con el fin de encontrar y caracterizar los puntos extremos locales. Como primer paso, se determinan los puntos cr´ıticos de la funci´ on.

f 0 (x) =

d 4 dx (5x

6x2 + 1)

f 0 (x) = 20x3

12x

igualando f 0 (x) a cero 20x3

12x = 0

5x3

3x = 0

x(5x2

3) = 0

lo cual implica que: x=0 o bien q x = ± 35

En las tablas 3.1, se caracterizan los tres puntos cr´ıticos de la funci´on.

Cuadro 3.1: Comportamiento de f (x) = 5x4 Intervalo

q

1< q 3 5 0 tal que x + ↵d 2 F para todos los 0  ↵  ↵. En modelos los optimizaci´ on se define de manera impl´ıcita el espacio de b´ usqueda S al definir las variables de decisi´ on. S es un conjunto finito o infinito contable de puntos, integrado por todas las soluciones candidatas; es decir, este conjunto puede verse como un rect´angulo n dimensional generado por la intersecci´ on del dominio de cada una de las variables [?]. En contraste, el espacio factible F es F ✓ S definido por un conjunto adicional de m restricciones (m

0). Lo anterior se

ilustra en la Figura 3.12.

Figura 3.12: Espacio de b´ usqueda S y regi´on factible F Fuente [?].

Definici´ on 24 Dados un espacio de b´ usqueda S y la regi´ on factible F, un problema de optimizaci´ on es buscar un elemento x 2 F tal que: f (x) es mejor que f (y) para toda y 2 F

(3.2.12)

[?] Cualquier x 2 F satisface el conjunto de m restricciones. Se denomina restricci´ on cerrada aquella inecuaci´ on o ecuaci´ on cuyo lado derecho es igual al lado izquierdo. 70

De manera informal, se dice que una vecindad de un punto x 2 F es el conjunto abierto N (x) ✓ F formado por aquellos puntos “cercanos” al punto x (incluyendo al propio punto x). En otras palabras, N (x) es un mapeo que asigna a cada elemento x 2 S un conjunto de elementos y 2 S. Lo anterior se ilustra en la Figura 3.13 .

Figura 3.13: Vecindad de una potencial soluci´on x Fuente [?]

Definici´ on 25 Dado un problema de optimizaci´ on con instancias (F, c) , una vecindad es un mapeo N (x) sobre el espacio de b´ usqueda S, tal que: N (x) : S ! 2S

(3.2.13)

[?] Ahora, se define una vecindad en t´erminos de una funci´on distancia sobre el espacio de b´ usqueda como: Definici´ on 26 Sea d una funci´ on distancia sobre el espacio de b´ usqueda S, tal que: d:S ⇥S !R

71

(3.2.14)

por lo tanto una vecindad N (x) se define como: N (xi ) = {xi : xi 2 S ^ d(xi , xj )  ✏} para alg´ un ✏

(3.2.15)

0

Todas las soluciones contenidas en una vecindad de la soluci´on x pueden ser encontradas desde x a trav´es de s´ olo un movimiento. Teorema 10 Dada alguna instancia de un problema de optimizaci´ on (F, f ), donde F ✓ Rn convexo y f es una funci´ on convexa F, entonces una vecindad N (x) se define como: N (x) = {xi : xi 2 F ^ d(xi , xj )  ✏}

3.2.0.5.

para alg´ un ✏ > 0 pPn donde: d(xi , xj ) = i=1 (xi

Paisaje

(3.2.16) xj ) 2

Un paisaje es una tercia (S, N, f ) donde S es el conjunto de soluciones factibles, N es un operador de vecindad y f : X ! R es una funci´on de aptitud [?]. Una funci´ on de aptitud sirve para evaluar un conjunto de atributos: valor de la funci´on objetivo, fatibilidad, entre otros; para una particular soluci´on admisible; por ende una funci´on de aptitud sirve para cuantificar la calidad de cada soluci´on. La aptitud del paisaje

1

es una representaci´on de la estructura del espacio de b´ usqueda y se

define por el valor de la funci´ on de aptitud, un conjunto de soluciones admisibles y un operador de vecindad. La estructura y propiedades de la aptitud de paisaje juegan un papel importante para determinar el grado de dificultad de un problema y el m´etodo m´as adecuado para explorar el espacio de b´ usqueda. Un concepto importante emanado de la aptitud de paisaje es vecindad neutral (Nn (s)) de una soluci´ on s 2 S, el cual es una vecindad de la soluci´on con el mismo valor de la funci´on de aptitud; en otras palabras,Nn (s) = {s0 2 N (s)|f (s0 ) = f (s)} [?]. 1 Concepto

propuesto por Wright.

72

3.2.0.6.

Conceptos b´ asicos

La programaci´ on lineal (PL) es una t´ecnica de la programaci´on matem´atica u optimizaci´ on, la cual se utiliza para resolver un modelo matem´atico compuesto por una funci´on objetivo lineal y un conjunto de restricciones tambi´en lineales; en este modelo todas las variables decisi´on toman sus valores del conjunto de los n´ umeros reales no negtivos. En la ecuaci´on 3.2.17, se muestra el modelo de un problema de programaci´ on lineal.

m´ın o m´ax

Pn

i=1 ci xi

sujeto a ai,j xi ,

o = bj para todo j = 1, . . . , m xi

(3.2.17)

0

x 2 Rn , c 2 Rn , A 2 Rn⇥m , b 2 Rn El modelo de programaci´ on lineal satisface las suposiciones de: a) proporcionalidad 2 , b) aditividad 3 , c) divisibilidad 4 y d) certidumbre 5 Algunos de estos supuestos se exponen con mayor detalle en el Anexo 3. Un programa lineal est´a en forma est´andar si: Todas las restricciones son ecauciones con los eleentos del vector b Una instancia de PL se puede expresar en diferentes formas equivalentes a trav´es de manipulaciones apropiadas; en la tabla 3.3) se muestras dichas formas equivalentes. Generalmente, las instancias de PL se expresan en forma mixta, la cual implica que algunas resticciones son ecuaciones y otras inecuaciones; adem´as, alguna de las variables de decisi´on puede no ser positiva. Cualquier problema PL en forma mixta, a trav´es de manipulaciones matem´ aticas adecuadas, se puede expresar en equivalente forma can´onica o estandar (v´ease el ejemplo 3.2) 2 La

supocisi´ on de proporcionalidad significa que la contribuci´ on al valor de la funci´ on objetivo y el consumo o

requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisi´ on. 3 La suposici´ on de aditividad significa que se puede valorar la funci´ on objetivo z y los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada una de las variables que intervienen en la funci´ on z y en las restricciones 4 La supocisi´ on de divisibilidad significa que las variables de decisi´ on pueden tener cualquier valor que sea positivo o nulo. 5 La suposici´ on de certidumbre significa que se conocen los par´ ametros del modelo.

73

Cuadro 3.3: Formas equivalentes del problema de PL Nombre de la forma

Caso de la minimizaci´ on

Caso de la maximizaci´ on

Can´ onica m´ın cT x

m´ ax c T x

sujeto a:

sujeto a:

Ax x

Ax  b

b 0

x

0

Est´ andar m´ın cT x

m´ ax c T x

sujeto a:

sujeto a:

Ax = b

Ax = b

x

0

x

Ejemplo 3.2 Para el siguiente problema de PL en forma mixta m´ax 2x1

3x2

sujeto a: x1 + x2  3 x1 

3 2

x1

0

Su correspondiente forma est´ andar es: 3(x+ 2

m´ax 2x1

x2 )

sujeto a: x1 + x+ 2

x2 + x3 = 3

x1

x4 = x1

0

x+ 2

0

x2

0 74

3 2

0

y su pertinente forma can´ onica es: 3(x+ 2

m´ax 2x1

x2 )

sujeto a: x1 + x+ 2

x2  3 3 2

x1  x1

0

x+ 2

0

x2

0

Las ideas de poliedro, regi´ on factible y ´optimo (expuestas anteriormente) han sido la base para el desarrollo de m´etodos de soluci´on de programci´on lineal. Dichos conceptos se conjuntan en el teorema fundamental de la programaci´on lineal (v´ease Teorema 11). Teorema 11 (Teorema fundamental de la programaci´ on lineal) Dado el programa lineal m´ın cT x sujeto a: Ax = b x

0

donde: Am⇥n es una matriz de rango m;

3.3.

Problemas cl´ asicos de la programaci´ on lineal.

Los modelos de programaci´ on lineal adem´as de satisfacer las propiedades de linealidad (proporcionalidad y superposici´ on), determinismo y convexidad y la identificaci´on de uno y solo un objetivo a satisfacer se caracterizan porque las variables de decisi´on son del tipo continuo (existen algunos modelos que requieren variables enteras, tales como asignaci´on o transporte, que pueden ser resueltos con t´ecnicas de PL debido a la propiedades de dichos problemas). Es decir resulta conveniente utilizarla solo cuando se trabaja con elementos que pueden ser divisibles (dinero, propiedades, tiempo, comida, etc).

75

3.3.1.

Problema de dieta.

En este tipo de problemas es necesario satisfacer una serie de criterios (consumo de calor´ıas, prote´ınas, vitaminas, minerales, etc), pero que sea al costo m´ınimo. Es decir en este tipo de problemas se satisfacen cada una de las necesidades pero a un m´ınimo costo. El modelo general del problema de dieta es el siguiente: Funci´ on objetivo ! Min(z)= c1 ⇤ x1 + c2 ⇤ x2 + . . . + cn ⇤ xn Sujeto a: a11 ⇤ x1 + a12 ⇤ x2 + . . . + a1n ⇤ xn

b1

a21 ⇤ x1 + a22 ⇤ x2 + . . . + a2n ⇤ xn

b2

... ... ... am1 ⇤ x1 + am2 ⇤ x2 + . . . + amn ⇤ xn

bm

Se incluyen las condiciones de no negatividad. x1

0, x2

0, . . . , xn

0

Existen variantes de este problema donde las necesidades a cumplir no se satisfacen con alimentos, sino con medicamentos, nutrientes, etc. O bien que la dieta no es dise˜ nada para humanos sino para plantas o animales, as´ı como otras variaciones menos obvias. Pero se conserva la esencia del problema que queda de manifiesto en el modelo general. Como ejemplos considere los siguientes problemas.

3.3.2.

Problema 1. Problema de dieta (fertilizantes en un cultivo)

Suponga que un agricultor necesita fertilizar su cultivo de calabaza de forma tal que garantice aplicar por lo menos 10 kg de nitr´ogeno por hect´area, 7 kg de potasio/ha y 5 kg de f´osforo/ha. Los fertilizantes disponibles en el mercado son A y B a un precio por kilogramo de 25y 18.50 u.m. respectivamente. Por cada kilogramo de A se obtienen 400 g de nitr´ogeno, 76

300 g de potasio y 300 g de f´ osforo. Mientras que por cada kg de B se obtienen 500 g de nitr´ ogeno, 300 g de potasio y 200 g de f´ osforo. ¿Cu´antos kg de cada fertilizante debe comprar el agricultor para satisfacer las necesidades de su cultivo minimizando el costo? Paso 1. Determinaci´ on de variables. x1 ! Cantidad de kg compradas del fertilizante A x2 ! Cantidad de kg compradas del fertilizante B Paso 2. Formulaci´ on de las restricciones del sistema. a) Se deben garantizar por lo menos 10 kg de nitr´ogeno/ha con la combinaci´on de los fertilizantes A (aporta 0.4 kg de nitr´ ogeno / kg comprado) y B (aporta 0.5 kg de nitr´ogeno / kg comprado). 0,4x1 + 0,5x2

10

b) Se deben garantizar por lo menos 7 kg de nitr´ogeno/ha con la combinaci´on de los fertilizantes A (aporta 0.3 kg de nitr´ ogeno / kg comprado) y B (aporta 0.3 kg de nitr´ogeno / kg comprado). 0,3x1 + 0,3x2

7

c) Se deben garantizar por lo menos 5 kg de nitr´ogeno/ha con la combinaci´on de los fertilizantes A (aporta 0.3 kg de nitr´ ogeno / kg comprado) y B (aporta 0.2 kg de nitr´ogeno / kg comprado). 0,3x1 + 0,2x2

5

d) Las condiciones de no negatividad son obvias pues la m´ınima cantidad que el agricultor puede aplicar de cualquiera de los 2 fertilizantes es de 0.0 kg x1

3.3.3.

0 ,x2

0

Paso 3. Formulaci´ on de la Funci´ on Objetivo.

El enunciado indica que se desea encontrar la soluci´on del problema que garantice minimizar los costos necesarios para satisfacer las necesidades de fertilizante del cultivo. Y que el costo asociado al fertilizante A es de $25 u.m. mientras que el costo asociado a B es de $18.50 u.m. Min (z)=25x1 + 18,50x2 77

3.3.4.

Paso 4. Sintetizar el modelo. F.O.! Min (z) = 25x1 + 18,50x2

Sujeta a: 0,4x1 + 0,5x2

10

0,3x1 + 0,3x2

7

0,3x1 + 0,2x2

5

x1

0 ,x2

0

Como se puede observar este modelo particular es una aplicaci´on del modelo general del problema de dietas.

78

3.3.5.

Problema 2. Problema de dieta (dieta humana).

Suponga que los alimentos A y B son los u ´nicos disponibles para satisfacer su dieta diaria. El alimento A cuesta 12 u.m. / oz mientras que el alimento B cuesta 8 u.m. / oz. Se busca minimizar el costo total de los alimentos mientras se satisfacen sus requerimientos alimenticios. Se desea que usted consuma por d´ıa lo menos 30 g de vitamina C, 1500 calor´ıas, 0.6 g de sodio y 0.02 g de cloro a. Los aportes nutritivos de cada alimento se observan en la siguiente tabla.

Figura 3.14: Figura 1

Paso 1. Determinaci´ on de las variables. x1 !Cantidad de oz compradas del alimento A x2 !Cantidad de oz compradas del alimento B Paso 2. Determinaci´ on de restricciones. a) Se debe garantizar la ingesta de por lo menos 30 g/d´ıa de vitamina C con la combinaci´ on de los alimentos A (aporta 2 g / oz comprada) y B (aporta 4 g / oz comprada). 2x1 + 4x2

30

b) Se debe garantizar la ingesta de por lo menos 1500 cal/d´ıa con la combinaci´on de los alimentos A (aporta 95 cal / oz comprada) y B (aporta 120 g / oz comprada). 95x1 + 120x2

1500

c) Se debe garantizar la ingesta de por lo menos 0.6 g/d´ıa de sodio con la combinaci´on de los alimentos A (aporta 0.08 g / oz comprada) y B (aporta 0.05 g / oz comprada). 0,08x1 + 0,05x2

0,6

d) Se debe garantizar la ingesta de por lo menos 0.02 g/d´ıa de cloro con la combinaci´on de los alimentos A (aporta 0.0007 g / oz comprada) y B (aporta 0.005 g / oz comprada). 79

2x1 + 4x2

30

e) Las condiciones de no negatividad son obvias pues la m´ınima cantidad que usted puede comprar de cualquiera de los 2 alimentos es de 0 oz. Paso 3. Determinaci´ on de la funci´on objetivo. El enunciado indica que se desea encontrar la soluci´on del problema que garantice la ingesta necesaria de los nutrientes requeridos por d´ıa mientras se minimizan los costos asociados.. Y que el costo por los alimentos son de A de 12 u.m. mientras que el costo asociado a B es de 8 u.m. F.O.. . . M in(z) = 12x1 + 8x2 Sujeta a: 2x1 + 4x2 95x1 + 120x2

30 15000

0,08x1 + 0,05x2

3.3.6.

2x1 + 4x2

30

x1

0

0, x2

Problema de mezclas.

En este tipo de problemas la inc´ognita es encontrar la mejor combinaci´on de ingredientes con un menor costo posible que satisfagan las especificaciones del producto final (Gallagher C. A., 1982). La forma general de este tipo de problemas es la siguiente: Funci´ on objetivo !Min (z)= c1 ⇤ x1 + c2 ⇤ x2 + . . . + cn ⇤ xn Sujeto a restricciones de la forma: a11 ⇤ x1 + a12 ⇤ x2 + . . . + a1n ⇤ xn  b1 a21 ⇤ x1 + a22 ⇤ x2 + . . . + a2n ⇤ xn  b2 ... ... ... 80

am1 ⇤ x1 + am2 ⇤ x2 + . . . + amn ⇤ xn  bm Es necesario incluir una restricci´on cuya suma sea por lo menos uno, lo que significa que la mezcla de las sustancias tiene como prop´ osito impl´ıcito producir por lo menos una unidad que satisfaga las necesidades. x1 + x2 + . . . + xn

1

Condiciones de no negatividad. x1

0,x2

0,. . .,xn

0

Existe una gran cantidad de variaciones que se pueden hacer con este tipo de modelo, en donde se pueden incluir problemas de planeaci´on del trabajo, mezclas de recursos escasos para obtener un producto, etc. A continuaci´ on se analizan ejemplos de este tipo de problemas.

3.3.7.

Problema 3. Problemas de mezcla (mezclas qu´ımicas)

Una ama de casa combina dos productos de limpieza comerciales para obtener un producto ´ adecuado para satisfacer sus necesidades. Las sustancias activas de ambos productos son Acido ´ ac´etico, cloruro de sodio, Acido muri´atico y aceites esenciales. Para que la sustancia resultante no le sea toxica al ama de casa las concentraciones por litro de las sustancias activas deben ser a lo mas del 12 % de ´ acido ac´etico, del 15 % de cloruro de sodio, del 10 % de ´acido muri´atico y del 5 % de aceites esenciales. En la siguiente tabla se muestra la concentraci´on/l de los componentes activos en cada uno de los productos.

Figura 3.15: Figura 1

El objeto de la ama de casa es obtener la mejor combinaci´on, pero que sea al m´ınino costo ya que un litro de producto A le cuesta $18.50 y un litro del limpiador B le cuesta $18.79. Paso 1: Determinaci´ on de variables 81

x1 !Cantidad de l comprados del producto A x2 !Cantidad de l comprados del producto B Paso 2. Determinaci´ on de restricciones. (niveles t´oxicos de las sustancias) a) Se debe garantizar que la concentraci´on / l de ´acido ac´etico sea lo m´as del 10 % en el producto resultante de combinar A (que tiene una concentraci´on/l del 1.8 %) y a B (que tiene una concentraci´ on/l del 1.5 %) 1,18x1 + 1,17x2  12 b) Se debe garantizar que la concentraci´on / l de cloruro de sodio sea lo m´as del 15 % en el producto resultante de combinar A (que tiene una concentraci´on/l del 2.1 %) y a B (que tiene una concentraci´ on/l del 1.8 %) 2,1x1 + 1,95x2  15 c) Se debe garantizar que la concentraci´on / l de ´acido muri´atico sea lo m´as del 7 % en el producto resultante de combinar A (que tiene una concentraci´on/l del 0.75 %) y a B (que tiene una concentraci´ on/l del 0.85 %) 1,95x1 + 1,15x2  10 d) Se debe garantizar que la concentraci´on / l de aceites esenciales sea lo m´as del 2 % en el producto resultante de combinar A (que tiene una concentraci´on/l del 0.09 %) y a B (que tiene una concentraci´ on/l del 0.1875 %) 0,58x1 + 0,52x2  5 f) Se incluye la condici´ on de que al mezclar los productos A y B se produce por lo menos una unidad del limpiador que usa el ama de casa. x1 + x2

1

g) Las condiciones de no negatividad son obvias pues la m´ınima cantidad que el ama de casa puede comprar de cualquiera de los 2 productos es de 0. 82

x1

0 ,x2

0

Paso 3. Formulaci´ on de la Funci´on Objetivo. Min (z)=18,50x1 + 18,79x2 Paso 4: S´ıntesis del modelo. F.O.!Min (z)= 18,50x1 + 18,79x2 Sujeta a: 1,18x1 + 1,17x2  12 2,1x1 + 1,95x2  15 1,95x1 + 1,15x2  10 0,58x1 + 0,52x2  5 x1 + x2 x1

3.3.8.

0 ,x2

1 0

Problema 4. Problema de mezclas (Composici´ on de pinturas)

La compa˜ n´ıa COMEX dedicada a la producci´on de pinturas para exterior e interior con dos materias primas, necesita minimizar sus costos de producci´on y seguir satisfaciendo las necesidades del mercado. Por lo que le proporciona los datos que se expresan en la tabla n´ umero 1. Una encuesta en el mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos 2 toneladas m´ as que la pintura de exteriores y que la producci´on diaria de pintura de interiores es como m´ınimo 3 toneladas. TABLA 1. Tabla de datos de COMEX. Paso 1: Determinaci´ on de variables. x1 !Cantidad en toneladas producidas de la pintura de exteriores x2 !Cantidad en toneladas producidas de la pintura de interiores

83

Figura 3.16: Figura 1 Paso 2. Determinaci´ on de restricciones. a) La cantidad m´ axima disponible de materia prima A es de 28 ton. La pintura de exteriores necesita 6 ton. de la materia prima A para producir una unidad; mientras que la pintura de interiores requiere 4 de A. 6x1 +4x2  28 b) La cantidad m´ axima disponible de materia prima B es de 20 ton. La pintura de exteriores necesita 2 ton. de la materia prima B para producir una unidad; mientras que la pintura de interiores requiere 5 de B. 2x1 +5x2  20 c) La demanda diaria de pintura para interiores es por lo menos 2 toneladas m´as que la pintura de exteriores. x2

2 + x1

Se reescribe esta restricci´ on con objeto de tener las variables de un solo lado de la ecuaci´on. x1 + x2

2

d) La producci´ on diaria de pintura de interiores es como m´ınimo 3 toneladas. x2

3

e) Se agrega la restricci´ on de los modelos de mezclas que garantiza la elecci´on diferente de cero. x1 + x2 84

1

f) Se agregan las condiciones de no negatividad ya que lo m´ınimo que se puede producir de cualquier pintura es de 0 unidades. x1

0 ,x2

0

Paso 3: Determinaci´ on de la funci´on El objetivo es minimizar los costos de producci´on, el costo por producci´on de una tonelada de la pintura de exteriores es de 5 mil pesos, mientras que el costo de producci´on de una tonelada de pintura de interiores es de 6 mi pesos. Min (z):5x1 + 6x2 Paso 4: S´ıntesis del modelo. Funci´ on Objetivo. Min (z):5x1 + 6x2 Sujeta a: 6x1 + 4x2  28 2x1 + 5x2  20 x1 + x2

2

x2  3 x1 + x2  1 x1

3.4.

0 ,x2

0

Problema de Inversi´ on.

El problema de inversiones es encontrar la combinaci´on de elementos que satisfagan las condiciones del mercado pero que a su vez maximicen los beneficios obtenidos. El modelo general de los problemas de inversiones es el siguiente: Funci´ on objetivo!Max (z)= c1 ⇤ x1 + c2 ⇤ x2 + . . . + cn ⇤ xn

85

Sujeto a restricciones de la forma: a11 ⇤ x1 + a12 ⇤ x2 + . . . + a1n ⇤ xn  b1 a21 ⇤ x1 + a22 ⇤ x2 + . . . + a2n ⇤ xn  b2 ... ... ... am1 ⇤ x1 + am2 ⇤ x2 + . . . + amn ⇤ xn  bm

3.4.1.

Problema 5. Problema de inversi´ on (herencia). (Gallagher C. A., 1982)

Jos´e acaba de recibir una herencia por la muerte de un t´ıo lejano. El monto de la herencia es de $10 000.00. Jos´e desea invertir la herencia de forma tal que obtenga los mayores rendimientos posibles. El decide por invertir tanto en acciones como en bonos. Pero piensa solo invertir entre el 10-25 % del total en acciones. Existe un bono que resulta sumamente interesante, por lo cual Jos´e desea invertir por lo menos $4 000 en el. La tasa anual de rendimientos en bonos es del 8 % y en acciones ˆ es del 10 % A¿Cu´ anto debe invertir Jos´e en acciones y cuanto en bonos?. Paso 1: Determinaci´ on de variables. x1 !Cantidad en pesos invertida en acciones x2 !Cantidad en pesos invertida en bonos Paso 2: Determinaci´ on de restricciones. a) El recurso disponible a invertir es el monto de la herencia ($10 000) que se invertir´an tanto en acciones como en bonos. x1 + x2  10000 b) La cantidad m´ axima a invertir en las acciones es del 25 % del total invertido. x1  0,25(x1 + x2 ) 86

Reescribiendo la restricci´ on para tener las variables en un solo extremo de la ecuaci´on. 0,25(x1 + x2 )  0,75

x1

0,25x2  0

x1

c) La cantidad m´ınima a invertir en las accione es del 10 % del total invertido. x1

0,10(x1 + x2 )

Reescribiendo la restricci´ on para tener las variables en un solo extremo de la ecuaci´on. x1

0,10(x1 + x2 )

0,90x1

0,10x2

0 0

d) Jos´e quiere invertir por lo menos $4 000 en bonos. x2

4000

e) Las condiciones de no negatividad, est´an dadas ya que lo m´ınimo que puede invertir Jos´e en acciones o bonos es de $0.00 x1

0, x2

0

Paso 3. Formulaci´ on de la Funci´on Objetivo: Max (z):10x1 + 8x2 Paso 4. S´ıntesis del sistema. Funci´ on objetivo: Max (z):10x1 + 8x2 Sujeta a: x1 + x2  10000 0,75x1

0,25x2  0

0,90x1

0,10x2

x2 x1

0

4000 0, x2

87

0

3.4.2.

Problema 6. Problema de inversi´ on (combinaci´ on de productos para maximizar la utilidad). (Haeussler E. F., 1997)

Una compa˜ n´ıa fabrica dos tipos de estantes (est´andar y ejecutivo) y desea obtener los mayores beneficios disponibles. Cada tipo de estantes requiere un tiempo de ensamble y de terminado distinto como lo indica la tabla siguiente. TABLA 2. Datos de producci´on de los estantes.

Figura 3.17: Figura 1

El n´ umero de horas disponibles por semana del departamento de ensambles es de 400 h, mientras que el departamento de acabados dispone de 510 h. Por una clausula del contrato colectivo de trabajo se debe garantizar para el departamento de acabados por lo menos 240 h de trabajo a las semana y al departamento de ensambles de por lo menos 100 h. Paso 1. Determinaci´ on de variables. x1 !Cantidad de estantes est´ andar producidos x2 !Cantidad de estantes ejecutivos producidos Paso 2. Determinaci´ on de restricciones. a) Disponibilidad de horas en el taller de ensamble es de 400 h /semana. La cual ser´a ocupada por la fabricaci´ on de estantes del tipo est´andar (demanda 1 h/unidad) y ejecutivos (demanda 2 h/unidad). x1 + 2x2  400 b) Disponibilidad de horas en el taller de acabado es de 510 h/semana. La cual ser´a ocupada por la fabricaci´ on de estantes del tipo est´andar (demanda 2 h/unidad) y ejecutivos (demanda 3 h/semana). 88

2x1 + 3x2  510 c) Se debe garantizar por contrato que se le asigne al departamento de acabado por lo menos 240 h/semana de trabajo. 2x1 + 3x2

240

d) Se debe garantizar por contrato que se le asigne al departamento de ensamble por lo menos 100 h de trabajo a la semana. x1 + 2x2

100

e) Las condiciones de no negatividad se dan ya que lo m´ınimo de unidades producidas de cada uno de los tipos de estantes es de 0 unidades. x1

0, x2

0

Paso 3. Formulaci´ on de la Funci´on Objetivo: Max (z):10x1 + 12x2 Paso 4. S´ıntesis del modelo. Max (z):10x1 + 12x2 Funci´ on objetivo. Sujeta a. x1 + 2x2  400 2x1 + 3x2  510 x1 + 2x2

100

x1 + 2x2

100

x1

0, x2

89

0

3.4.3.

Problema 7. Problema de inversi´ on (Pol´ıtica de pr´ estamos bancarios) (A., 2004).

El Banco Nacional con oficinas centrales en la ciudad de M´exico esta desarrollando una pol´ıtica de prestamos por un m´ aximo de $12 000 000.00. La tabla siguiente muestra los datos pertinentes de los distintos tipos de pr´estamo. TABLA 3. Datos de los distintos tipos de pr´estamos.

Figura 3.18: Figura 1

Consid´erese que las deudas impagables no son recuperadas por el banco y no producen intereses. Por la globalizaci´ on del mercado burs´atil el banco debe dise˜ nar una estrategia que le permita ser competitiva. Por lo que necesita un m´ınimo del 40 % de pr´estamos agr´ıcolas y PYMES del total disponible. Y para incentivar a la industria de la construcci´on de su regi´on de influencia requiere que los pr´estamos para vivienda sean por lo menos del 50 % de los pr´estamos personales, estudiantiles y de vivienda. Y que el total de los pr´estamos personales y de vivienda sean cuando menos del 38 % del total disponible. Los pr´estamos estudiantiles y de autom´ovil en conjunto no pueden ser mayores que el 20 % del total disponible. El banco tiene una pol´ıtica de que la relaci´on de la deuda impagable entre todos los pr´estamos nunca sea mayor que el 4 % del total asignado. El objetivo del banco es producir en mayor retorno neto que esta en funci´on del retorno por inter´es y los pr´estamos impagables. Formulaci´ on del modelo matem´atico. Paso 1. Definici´ on de las variables de decisi´on. x1 !Pr´estamos personales. x2 !Pr´estamos para autom´ ovil 90

x3 !Pr´estamos vivienda x4 !Pr´estamos PYMES x5 !Pr´estamos agr´ıcola x6 !Pr´estamos estudiantiles Paso 2. Definici´ on de restricciones. a) Fondos disponibles para el pr´estamo es de 12 000 000. El cual se utiliza en una combinaci´ on de los pr´estamos asignados de cada tipo. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6  12000000 b) Cantidad de fondos disponibles para pr´estamos agr´ıcolas y de PYMES, Debe ser cuando menos del 40 % del total del recurso disponible para pr´estamos. x4 + x5

4800000

c) Los pr´estamos para vivienda sean por lo menos del 50 % de los pr´estamos personales, estudiantiles y de vivienda. x3

0,5(x1 + x3 + x6 )

Reescribiendo la restricci´ on para colocar todas las variables del lado derecho de la desigualdad. 0,5x3

0,5x1

0,5x6

0

d) Cantidad de fondos disponibles para pr´estamos personales y de vivienda. Debe ser cuando menos del 38 % del total del recurso disponible para pr´estamos. x1 + x3

4560000

e) Cantidad de fondos disponible para pr´estamos estudiantiles y para autom´ovil. x2 + x6  2400000 f) L´ımite de deuda impagable. 0,1x1 + 0,07x2 + 0,03x3 + 0,05x4 + 0,02x5 + 0,02x6  0,04(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 )

91

Reescribiendo la restricci´ on para colocar todas las variables del lado derecho de la desigualdad. (0,1 0,04)x1 +(0,07 0,04)x2 +(0,03 0,04)x3 +(0,05 0,04)x4 +(0,02 0,04)x5 +(0,02 0,04)x6  0) 0,06x1 + 0,03x2

0,01x3 + 0,01x4

0,02x5

0,02x6  0

g) Condiciones de no negatividad. xi

0 para toda i= 1,2,3,4,5,6.

Paso 3: Determinaci´ on de la funci´on objetivo. El objetivo del banco es producir en mayor retorno neto que esta en funci´on del retorno por inter´es y los prestamos impagables. Hay que considerar que por cada pr´estamo personal otorgado con un inter´es de retorno del 14 % y que un 10 % de los pr´estamos otorgados resultan en una deuda impagable (es decir solo se pagan el 90 % de las deudas). Por lo tanto el banco calculara al retorno neto como el producto del inter´es de retorno y el valor de la deuda que si es pagada. Lo que en el caso de los pr´estamos personales es del 12.6 %. Haciendo un razonamiento similar para cada uno de los pr´estamos se obtiene la siguiente tabla.

92

TABLA 4. Coeficientes de retorno neto para cada uno de los pr´estamos.

Figura 3.19: Figura 1

Por lo anterior la funci´ on objetivo queda definida como. Max (z):0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1746x3 + 0,190x4 + 0,1764x5 + 0,098x6 Paso 4. S´ıntesis del modelo lineal. Max (z):0,126x1 + 0,1209x2 + 0,1746x3 + 0,190x4 + 0,1764x5 + 0,098x6 Sujeto a: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6  12000000 x4 + x5 0,5x3

4800000

0,5x1

x1 + x3

0,5x6

0

4560000

x2 + x6  2400000 0,06x1 + 0,03x2 xi

3.4.4.

0,01x3 + 0,01x4

0,02x5

0paratodai = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Problema de Transporte.

Introducci´ on.

93

0,02x6  0

En t´erminos generales los modelos de transporte se refieren (en sentido literal o figurado) a la distribuci´ on de cualquier bien desde uno o varios puntos origen m hasta uno o varios puntos destino n (J., 2001). Con el objeto de minimizar los costos totales por la distribuci´on.

A veces se confunden a los problemas de transporte con problemas de programaci´on l´ıneal, pero los problemas de transporte pueden tener la propiedad de que las variables de decisi´on sean enteras. Lo anterior se debe al hecho de que es posible utilizar la programaci´on lineal para resolver este tipo de modelos, pero existen procedimientos espec´ıficos (algoritmos) para los modelos de transporte que son m´ as adecuados.

Para identificar un problema que se ajusta a un modelo de transporte es necesario que se puedan contestar las siguientes interrogantes:

1. ¿Qu´e bienes se est´ an trasportando? 2. ¿Cu´ ales son los m puntos de origen? 3. ¿Cu´ ales son los n puntos de destino? 4. ¿Qu´e cantidad de bienes existe en cada punto origen? 5. ¿Qu´e cantidad de bienes se requiere en cada punto destino? 6. ¿Cu´ al es el costo por llevar los bienes de los puntos origen a los pintos destino?

En caso de no poderse contestar alguna de estas interrogantes el problema estudiado no se puede representar por un modelo de transporte.

Modelo general.

En el problema general se tienen ”a” cantidades de ciertos bienes en ”m” puntos de origen que tienen que ser enviados a ”n” puntos destinos que recibir´an ”b” cantidades de bienes. Para llevar esto a cabo existen rutas que enlazan al punto de origen i con el punto destino j el cual es asociado

94

con un costo cij . (D., 1989) Para comprender mejor lo anterior obs´ervese la tabla siguiente de costos y requerimientos, donde se ordenan los elementos del modelo de transporte as´ı como sus relaciones. Tabla de costos y requerimientos de los problemas de transporte.

Figura 3.20: Figura 1

A partir de la definici´ on de los problemas de transporte se puede inferir la estructura siguiente de los modelos matem´ aticos. Funci´ on Objetivo.

Figura 3.21: Figura 1

Donde: cij :costo de distribuci´ on del origen i al destino j xij :n´ umero de unidades distribuidas del origen i al destino j

Sujeta a: Agreg´ andose la condici´ on de no negatividad. Suposiciones.

Al representar un sistema con el modelo de transporte se deben cumplir las suposiciones de

95

Figura 3.22: Figura 1

Figura 3.23: Figura 1 balance (una cantidad de suministro igual a la demanda fija) y costos (el costo es directamente proporcional al n´ umero de unidades distribuidas). En caso de no cumplirse alguna de estas se consideraciones el sistema a no puede ser descrito como un modelo de transporte.

Suposici´ on de balance. (J., 2001) Cada punto de origen m tiene una cantidad abasto fija de unidades (ai ) y la cantidad total de las ai debe ser distribuida por completo a los puntos destino n. De igual manera los puntos destino n tiene una cantidad de demanda fija de unidades bj que deben ser satisfechas por los puntos de origen.

Figura 3.24: Figura 1

Suposici´ on de costos.

El costo por distribuir unidades de un origen i a un destino j es directamente proporcional al numero de unidades distribuidas. Por lo tanto el costo implicado en los modelos de transporte es el costo unitario. Ejemplos del modelo de transporte.

96

3.4.5.

Problema 8. Problema de transporte (distribuci´ on de cosechas).

Una uni´ on de campesinos de la zona oriente del estado de M´exico cuenta con dos almacenes para hacer el acopio de las hortalizas producidas por sus agremiados. De los cuales el primero se encuentra localizado en el municipio de Texcoco y tiene una capacidad de 48 toneladas y el segundo en el municipio de Netzahualc´ oyotl con una capacidad de 52 toneladas. Los municipios que conforman la uni´ on de campesinos son Texcoco, Ixtapaluca y Chalco los cuales producen respectivamente 12, 59 y 29 toneladas de hortalizas, con los siguientes costos de distribuci´on Costos de distribuci´ on entre los centros de producci´on y los almacenes en pesos por tonelada.

Figura 3.25: Figura 1

Se le encarga a un Ingeniero Agr´onomo que dise˜ ne la forma de distribuir las cosechas desde los centros de producci´ on a los centros de almacenamiento pero de forma tal que sea al m´ınimo costo. Formulaci´ on del problema. Paso 0: Entender el enunciado. Antes de formular el problema como un modelo de transporte se distinguen las caracter´ısticas del modelo de transporte del sistema. 1. ¿Qu´ e bienes se est´ an trasportando? toneladas de hortalizas. 2. ¿Cu´ ales son los m puntos de origen? Texcoco, Chalco, Ixtapaluca. 3. ¿Cu´ ales son los n puntos de destino? Texcoco y Netzahualc´ oyotl.

97

4. ¿Qu´ e cantidad de bienes existe en cada punto origen? Texcoco 12 toneladas, Chalco 29 toneladas e Ixtapaluca 59 toneladas. En total en los tres puntos existen 100 toneladas. 5. ¿Qu´ e cantidad de bienes se requiere en cada punto destino? En Texcoco se almacenan 52 toneladas y en Netzahualc´oyotl se almacenan 52 toneladas. En total por los dos puntos se almacenan 100 toneladas.

6. ¿Cu´ al es el costo por llevar los bienes de los puntos origen a los puntos destino? Los costos asociados por llevar una tonelada de hortalizas de los puntos origen a los puntos destino se observa en la tabla anterior.

Para representar el enunciado se hace uso de un modelo gr´afico. Modelo gr´ afico de la distribuci´ on de cosechas.

Figura 3.26: Figura 1

Paso 1. Definir las variables de decisi´on.

Las variables de decisi´ on son el n´ umero de toneladas que se distribuyen del punto de origen i al punto destino j. Se conoce que existen 3 puntos de origen y 2 puntos destinos.

98

x11 :Toneladas de Texcoco-Texcoco. x21 :Toneladas de Ixtapaluca-Texcoco. x31 :Toneladas de Chalco-Texcoco. x12 :Toneladas de Texcoco-Netzahualc´oyotl. x22 :Toneladas de Ixtapaluca-Netzahualc´oyotl. x32 :Toneladas de Chalco-Netzahualc´oyotl. Paso 2. Determinaci´ on de las restricciones.

Antes de formular las restricciones se organizan los datos dentro de la tabla de costo y requerimientos del problema de transporte. Tabla de costos y requerimientos del problema de cosechas.

Figura 3.27: Figura 1

a) Restricciones sobre la cantidad disponible en cada punto de origen.

x11 + x12 = 12 x21 + x22 = 59 x31 + x32 = 29 b) Restricciones sobre la cantidad requerida en cada punto destino. x11 + x21 + x31 = 48 x12 + x22 + x32 = 52 99

c) Condiciones de no negatividad. xij para(i = 1, 2, 3@j = 1, 2)

Paso 3. Determinaci´ on de la funci´on objetivo. Dise˜ nar la forma de distribuir las cosechas desde los centros de producci´on a los centros de almacenamiento pero de forma tal que sea al m´ınimo costo. Min (z): 500x11 + 750x12 + 850x21 + 750x22 + 1000x31 + 850x32 Paso 4. S´ıntesis del sistema.

Funci´ on objetivo: Min (z):500x11 + 750x12 + 850x21 + 750x22 + 1000x31 + 850x32 Sujeta a: x11 + x12 = 12 x21 + x22 = 59 x31 + x32 = 29 x11 + x21 + x31 = 48 x12 + x22 + x32 = 52 xij para(i = 1, 2, 3) (j = 1, 2) Obs´ervese que la informaci´ on que contiene el modelo matem´atico tambi´en se encuentra contenida dentro de la tabla de costo y requerimiento del problema. Por lo que en algunos libros se formula el modelo de transporte solo haciendo uso de la tabla.

3.4.6.

Problema de transporte. (energ´ıa el´ ectrica)

Tres ciudades se abastecen de electricidad de dos centrales el´ectricas con capacidades de 90 y 60 megawatts (MW). Las demandas de las tres ciudades son 50,30 y 70 respectivamente. El precio

100

por llevar un MW de cada una de las centrales a cada una de las ciudades se expresa en la tabla siguiente. Precio por transportar un MW en pesos Ciudad destino A

B

C

Origen

1

150

400

150

Origen

2

140

100

500

El gobierno federal requiere dise˜ nar un plan de distribuci´on de energ´ıa el´ectrica que le garantice satisfacer los requerimientos de energ´ıa de las tres ciudades al costo m´ınimo. Formulaci´on del modelo Paso 0. Entender el enunciado. El problema puede ser representado por el siguiente modelo gr´afico. Modelo gr´afico de la distribuci´on de electricidad.

Figura 3.28: Figura 1

Paso 1. Determinaci´ on de variables. x11 : M W quevandelacentral1alaciudadA. x12 :MW que van de la central 1 a la ciudad B.

101

x13 :MW que van de la central 1 a la ciudad C. x21 :MW que van de la central 2 a la ciudad A. x22 :MW que van de la central 2 a la ciudad B. x23 :MW que van de la central 2 a la ciudad C. Paso 2. Determinaci´ on de las restricciones. Limitaciones de oferta. x11 + x12 + x13 = 90 x21 + x22 + x23 = 60 Limitaciones de demanda. x11 + x21 = 50 x12 + x22 = 30 x13 + x23 = 70 Condiciones de no negatividad.

xij para(i = 1, 2)

(j = 1, 2, 3) Paso 3. Determinaci´ on de la funci´on objetivo. Min (z):150x11 + 400x12 + 150x13 + 140x21 + 100x22 + 500x23 Paso 4. S´ıntesis del modelo. Funci´ on objetivo: Min (z):150x11 + 400x12 + 150x13 + 140x21 + 100x22 + 500x23 Sujeta a:

102

x11 + x12 + x13 = 90 x21 + x22 + x23 = 60 x11 + x21 = 50 x12 + x22 = 30 x13 + x23 = 70 xij para(i = 1, 2) (j = 1, 2, 3) Se reescribe el modelo del problema en t´erminos de la tabla de costo y requerimientos. Tabla de costos requerimientos de electricidad. Ciudad destino A

B

C

Recursos disponibles

Origen

1

150

400

150

90

Origen

2

140

100

500

60

50

30

70

Cantidad de electricidad requerida Problema de asignaci´ on.

Introducci´ on.

“La mejor persona para el puesto” resulta ser una buena descripci´on del modelo de asignaci´ on. (A., 2004) El problema de asignaci´on debe su nombre a la aplicaci´on particular de asignar hombres a trabajos (o trabajos a m´ aquinas), con la condici´on de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendr´ a asignada una persona. El modelo de asignaci´ on para varios autores como Taha resulta ser un caso especial del modelo de transporte en el cual los trabajadores representan el origen y los puestos de trabajo los destinos (A., 2004), mientras otros como Hillier lo catalogan como un modelo especial de los modelos de programaci´ on lineal en que los asignados son recursos destinados a la realizaci´on de una tarea. (J., 2001). Lo que es cierto es que esta clase de modelo presenta una serie de caracter´ısticas particulares

103

que difieren de los modelos anteriores.

3.4.7.

Modelo general de los problemas de asignaci´ on.

Dentro de los problemas de asignaci´on las variables de decisi´on son binarias es decir solo pueden asumir valores de uno o cero.

Figura 3.29: Figura 1

Los problemas de asignaci´ on tienen el siguiente modelo matem´atico. Funci´ on objetivo.

Figura 3.30: Figura 1

Donde: cij : costodeasignaraltrabajadorialatareaj xij : numerodetrabajadoresiquerealizanlatareaj N´ otese que la cantidad de trabajadores siempre es igual al n´ umero de tareas a realizarse. Sujeta a: Agreg´ andose la condici´ on de que las variables de decisi´on son binarias y no negativas

xij

0P aratodaiyj

104

Figura 3.31: Figura 1

xij = (0, 1)P aratodaiyj.

Pero la condici´ on de valores binarios es posible suprimirla debido al hecho de que las soluciones posibles son enteros y que las restricciones funcionales del modelo de asignaci´on evitan que las soluciones sean mayores a uno y que la condici´on de no negatividad evita que tome valores inferiores (J., 2001). Quedando as´ı como valores posibles solo el uno y el cero.

Al igual que el modelo de transporte a veces la representaci´on del modelo de asignaci´on se hace con una matriz. Modelo general de los problemas de asignaci´on.

Figura 3.32: Figura 1

Suposiciones del modelo de asignaci´on.

Para que un problema se ajuste al modelo de asignaci´on es necesario se cumplan las siguientes suposiciones. 105

1. El n´ umero de asignados es igual al n´ umero de tareas. 2. A cada asignado se le asignan estrictamente una tarea. 3. Cada tarea es realizada estrictamente solo por un asignado. 4. Existe un costo asociado con el asignado i por realizar la tarea j. 5. El objetivo es determinar como se deben hacer n asignaciones para minimizar los costos.

Ejemplos del modelo de asignaci´on.

Problema 10. Problema de asignaci´on (asignaci´on de trabajo a tres m´aquinas.)

Una compa˜ n´ıa compro tres m´ aquinas nuevas de diferente tipo. Existen tres lugares diferentes para colocarlas dentro del taller. Los cuales resultan m´as adecuados para algunas de las m´aquinas en particular que para otras debido a la cercan´ıa con los centros de trabajo que tendr´ıan un flujo intenso hacia y desde la m´ aquina. Por lo tanto el objetivo es asignar un lugar a las nuevas maquinas de forma tal que se minimicen los costos totales de manejo de materiales. En la tabla siguiente se estiman los costos estimados por unidad de tiempo en el manejo de materiales en cuesti´ on, con cada m´aquina en los sitios respectivos. Costo por manejo de materiales en unidad de tiempo. Localizaci´on 1

2

3

Maquina

A

13

18

20

Maquina

B

11

15

18

Maquina

C

21

32

11

Formulaci´ on del modelo. Paso 0. Entender el enunciado.

106

El problema puede ser representado por medio de un modelo gr´afico.

Figura 3.33: Figura 1

Paso 1. Determinar variables de decisi´on. x11 : M aquinaAcolocadaenellugar1 x12 : M aquinaAcolocadaenellugar2 x13 : M aquinaAcolocadaenellugar3 x21 : M aquinaBcolocadaenellugar1 x22 : M aquinaBcolocadaenellugar2 x23 : M aquinaBcolocadaenellugar3 x31 : M aquinaCcolocadaenellugar1 x32 : M aquinaCcolocadaenellugar2 x33 : M aquinaCcolocadaenellugar3 Paso 2. Determinaci´ on de restricciones.

a) Limitaciones en cuanto a las maquinas. x11 + x12 + x13 = 1 x21 + x22 + x23 = 1 x31 + x32 + x33 = 1

107

b) Limitaciones en cuanto a la localizaci´on.

x11 + x21 + x31 = 1 x12 + x22 + x32 = 1 x13 + x23 + x33 = 1 c) Condici´ on de no negatividad. xij

0 Para toda i y j

Paso 3. Determinaci´ on de la funci´on objetivo.

El objetivo es asignar un lugar a las nuevas m´aquinas de forma tal que se minimicen los costos totales de manejo de materiales. Min (z):13x11 + 18x12 + 20x13 + 11x21 + 15x22 + 18x23 + 21x31 + 32x3 2 + 11x33 Paso 4. S´ıntesis del modelo.

Min (z):13x11 + 18x12 + 20x13 + 11x21 + 15x22 + 18x23 + 21x3 1 + 32x3 2 + 11x33 Sujeta a:

x11 + x12 + x13 = 1 x21 + x22 + x23 = 1 x31 + x32 + x33 = 1 x1 1 + x2 1 + x3 1 = 1 x1 2 + x2 2 + x3 2 = 1 x1 3 + x2 3 + x3 3 = 1 xij

0 Para toda i y j

108

Problema de asignaci´ on (Determinaci´on de Actividades) (A., 2004). El gerente de relaciones p´ ublicas de una tras-nacional ubicada en Guadalajara (Gdl.) tiene que programar sus actividades por las pr´oximas cinco semanas. Ya que tiene reuniones con los representantes de los medios masivos del Distrito Federal (D.F.) y Guadalajara. (Gdl.) Los compromisos contra´ıdos con anterioridad le exigen estar de lunes a mi´ercoles en Gdl. y de viernes a s´ abado en el D.F Un boleto de viaje redondo le cuesta $1,400.00 pesos y se ofrece un 30 % de descuento si las fechas abarcan todo un fin de semana, pero si el viaje dura de 2 o mas semanas se ˆ omo debe comprar los boletos el gerente para el periodo de cinco aplica un descuento del 50 % A¿C´ semanas con el objetivo de minimizar los gastos? Formulaci´ on del modelo. Paso 0. Entender el enunciado. Se esquematiza el problema con un cronograma Cronograma de actividades del gerente.

Figura 3.34: Figura 1

Paso 1. Determinaci´ on de variables de decisi´on. xij :viaje redondo de Gdl.-Df-Gdl.que se sale en la semana i y se regresa en la semana j 8 i y j

Paso 2. Determinaci´ on de restricciones.

109

a) Limitaciones de origen.

Figura 3.35: Figura 1

b) Limitaciones de destino.

Figura 3.36: Figura 1

c) Condiciones de no negatividad. xij

0 Para toda i y j

Paso 3. Determinaci´ on de la funci´on objetivo. 110

Figura 3.37: Figura 1 Paso 4. S´ıntesis del sistema. De forma simplificada el modelo queda representado con la siguiente tabla costo requerimiento. Modelo simplificado de la asignaci´on de actividades. Destino Origen

(D.F-1)

(D.F-2)

(D.F-3)

(D.F-4)

(D.F-5)

(Gdl.-1)

1400

980

700

700

700

1

(Gdl.-2)

980

1400

980

700

700

1

(Gdl.-3)

700

980

1400

980

700

1

(Gdl.-4)

700

700

980

1400

980

1

(Gdl.-5)

700

700

700

980

1400

1

1

1

1

1

1

Modelo de redes.

Introducci´ on.

Los modelos de redes son aplicables a una extensa variedad de problemas de decisi´on, los cuales pueden ser modelados como problemas de optimizaci´on de redes que pueden ser eficiente y efectivamente resueltos. Algunos de estos problemas de decisi´on son realmente problemas f´ısicos, tales como el transporte o flujo de bienes materiales. Sin embargo, muchos problemas de redes no son m´ as que una representaci´ on abstracta de procesos o actividades, tales como el camino cr´ıtico

111

en las actividades entre las redes de un proyecto gerencial.

La familia de redes de los problemas de optimizaci´on incluye los siguientes prototipos de modelos: Camino cr´ıtico, flujo m´ aximo, camino mas corto, y costo m´ınimo de flujos. Los problemas son establecidos f´ acilmente mediante el uso de arcos de redes y de los nodos.

¿Que es un Nodo? Es usualmente llamado v´ertice, o punto. Es usualmente representado por un c´ırculo. En las redes de transporte, estos deber´ıan ser las localidades o las ciudades en un mapa.

¿Que es un Arco? Es usualmente llamado borde o flecha. Este podr´ıa ser directo o indirecto. La cabeza es el destino, y la cola el origen. La cabeza y la cola son nodos que pueden estar tanto al origen como al final. En las redes de transporte, los arcos podr´ıan ser los caminos, los canales de navegaci´ on en un r´ıo, o los patrones de vuelo de un avi´on. Los arcos proporcionan la conectividad entre los nodos. Una calle de una sola direcci´on podr´ıa ser representada por un arco, mientras que una calle de dos direcciones podr´ıa representada por un arco sin direcci´on o por dos arcos que apuntan a direcciones opuestas.

3.4.8.

El Problema de ruta m´ as corta

El problema es determinar la mejor manera de cruzar una red para encontrar la forma mas econ´ omica posible desde un origen a un destino dado. Suponga que en una red dada existen m nodos y n arcos (bordes) y un costo Cij asociado con cada arco (i a j) en la red. Formalmente, el problema del camino mas corto (CC) es encontrar el camino m´as corto (menor costo) desde el nodo de comienzo 1 hasta el nodo final m. El costo del camino es la suma de los costo de cada arco recorrido. Defina las variables binarias Xij, donde Xij=1 si el arco (i a j)es sobre el CC y Xij = 0 de lo contrario. Existen dos nodos especiales llamados origen y destino. El objetivo es encontrar el camino m´ as corto entre el origen y el destino.

112

3.4.9.

Problema del Flujo M´ aximo.

En una red con flujo de capacidades en los arcos, el problema es determinar el flujo m´ aximo posible proveniente de los or´ıgenes de forma tal de ahogar las capacidades de flujos de los arcos. Considere una red con m nodos y n arcos con un flujo simple de bienes. Denote el arco de flujo (i a j) como Xij. Asociamos cada arco a una capacidad de flujo, kij. En esta red, deseamos encontrar el flujo total m´ aximo en la red, F, del nodo 1 al nodo m. En la formulaci´ on de la programaci´on lineal, el objetivo es maximizar F. El monto que parte del origen por varias rutas. Para cada nodo intermedio, lo que entra debe ser igual a lo que sale. En algunas rutas los flujos pueden tomar ambas direcciones. La capacidad que puede ser enviada a una direcci´ on en particular tambi´en es mostrada en cada ruta.

3.4.10.

Ruta Critica en la Planificaci´ on de Proyectos de Redes.

El M´etodo de Camino (o trayectoria) Cr´ıtico (MCC) intenta analizar la planificaci´ on de proyectos. Esto posibilita un mejor control y evaluaci´on del proyecto. Por ejemplo, queremos saber ¿Cuanto tiempo durar´ a el proyecto?, ¿Cu´ando se estar´a listo para comenzar una tarea en particular?, si la tarea no es completada a tiempo, ¿El resto del proyecto se retrasar´a?, ¿Qu´e tareas deben ser aceleradas (efectivo) de forma tal de terminar el proyecto antes? Dado una red de actividades, el primer problema que nos interesa es determinar la amplitud del tiempo requerido para finalizar el proyecto y el conjunto de actividades que controlan el tiempo para culminar el proyecto. Suponga que en un proyecto de actividades de redes determinado existen m nodos, n arcos (i.e. actividades) una duraci´on de tiempo estimada, Cij, asociada a cada arc (i a j) en la red. El nodo inicial de un arco corresponde al comienzo de la actividad asociada y al nodo final que completa la actividad. Para encontrar el camino o trayectoria cr´ıtica (CC), se definen las variables binarias Xij, donde Xij = 1 si la actividad i j es sobre la CC y Xij = 0 por lo contrario. La amplitud de la trayectoria es la suma de la duraci´on de las actividades en la trayectoria. La amplitud de la trayectoria m´ as larga es el tiempo m´as corto que es necesario para completar el proyecto. Formalmente, el problema de CC es encontrar la trayectoria mas larga desde el nodo 1

113

hasta el nodo m.

3.4.11.

Problema de Flujo de Costo M´ınimo.

Todos los problemas de red anteriores son casos especiales del problema de flujo de costos m´ınimo. Al igual que el problema de flujo m´aximo, este considera flujos en las redes con capacidades. Al igual que el problema del camino m´ as corto, este considera un costo por flujo hacia un arco. Al igual que el problema de transporte, este permite m´ ultiples or´ıgenes y destinos. Por lo tanto, todos estos problemas pueden ser vistos como casos especiales del problema de flujo de costos m´ınimo.

114

3.4.12.

Problema de redes (´ arbol de expansi´ on minima).

Se tiene la siguiente gr´ afica con 6 V´ertices y 7 Arcos

Figura 3.38: Figura 1

Aplicamos el teorema para formar los ´arboles de expansi´on m´ınima y se obtiene la siguiente figura.

Figura 3.39: Figura 1

La grafica G produce dos ´ arboles de expansi´on m´ınima. Los cuales son S y V-S. El ´arbol S contiene 4 v´ertices (J,B,D,H) y 3 arcos ((J,B),(J,D),(D,H)).Y ´el ´arbol V-S contiene 2 v´ertices (C,F) y un arco (C,F). El ´ arbol S tiene un peso total de 3 mientras que el ´arbol V-S tiene un peso de 1 la suma de ambos ´ arboles es 4. El conjunto de arcos de cruce E se compone de los arcos (B,F) y (B,H) si agreg´aramos alguno de estos con objeto de unir amos arboles se obtendr´ıa un ´arbol que pesar´ıa 14. Que no es el ´arbol de expansi´ on m´ınima pues la suma de ambos arboles como ya se menciono es 4 Se considera que se han obtenido los ´ arboles de expansi´ on m´ınima cuando se llegado a ´arboles cuya suma de los pesos de los arcos es la m´ınima. Por tanto los arcos que no pertenecen al ´arbol, son arcos que deben tener un peso 115

igual o mayor que los arcos que pertenecen al ´arbol. y que al agregarse a los ´arboles incrementar´ıan su peso.

3.5. 3.5.1.

Soluci´ on de problemas por el m´ etodo gr´ afico. Introducci´ on

Existen varias maneras para resolver los problemas de programaci´on lineal. El m´etodo gr´ afico es el m´ as simple de los m´etodos pero limita a resolver problemas de PL que tienen una, dos variables de decisi´on (es posible utilizarlo hasta con 3 variables pero resulta sumamente dif´ıcil su manipulaci´ on). Sin embargo, este proporciona una clara ilustraci´on de donde se encuentran la regi´ on de factibilidad y de no-factibilidad, as´ı como tambi´en de los v´ertices. El tener una comprensi´ on visual del problema ayuda a un mejor proceso de pensamiento racional del mismo. Las restricciones de los problemas de programaci´on lineal forman un sistema de ecuaciones lineales (ya sean igualdades o desigualdades).

Conceptos b´ asicos Regi´ on geom´ etrica que representa cada tipo de restricci´ on en el plano Cuando se grafican representan en un plano las restricciones de un problema de PL forman una regi´ on en el plano distinta de acuerdo al tipo de ecuaci´on que se trate. Una restricci´ on del tipo a1 x1 + a2 x2 = bi queda representado por una recta que es una regi´ on de todos los puntos (x1 , x2 ) que satisfacen la ecuaci´on. Regi´ on geom´etrica de las restricciones de igualdad. Una restricci´ on del tipo a1 x1 + a2 x2  bi se representa por una regi´on del plano que se forma por todos los puntos x1 , x2 por debajo de la recta y la misma recta que satisfacen la desigualdad.

116

Figura 3.40: Figura 1 Regi´ on geom´etrica de las restricciones de desigualdad el tipo menor o igual que

Figura 3.41: Figura 1

Una restricci´ on del tipo a1 x1 + a2 x2

bi se representa por una regi´on del plano que se forma

por todos los puntos (x1 , x2 ) por arriba de la recta y la misma recta que satisfacen la desigualdad. Regi´ on geom´etrica de las restricciones de desigualdad del tipo mayor o igual que

Soluci´ on de sistema de ecuaciones lineales. La soluci´ on de un sistema de ecuaciones lineales consiste en todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen de manera simult´ anea todas las ecuaciones dadas. Geom´etricamente es la regi´on com´ un a todas las regiones determinadas por las ecuaciones (restricciones) proporcionadas. Por ejemplo considere el siguiente sistema de ecuaciones. 117

Figura 3.42: Figura 1 12x1 + 15x2  85 4x1 + 7x2

25

x1

5

x2

0

Representando este sistema de ecuaciones lineales en el plano se obtiene la siguiente figura.

118

Regi´ on factible de las soluciones del sistema.

Figura 3.43: Figura 1

Se determina regi´ on factible al conjunto de puntos xi que satisfacen simult´aneamente las ecuaciones del sistema, y existe un n´ umero infinito de soluciones factibles dentro de este conjunto.

Lineas de indiferencia. Aunque existe un n´ umero infinito de soluciones en la regi´on factible, es necesario considerar que el objetivo de los problemas de PL es obtener el mejor valor que satisfaga el objetivo del modelo (maximizar o minimizar). La funci´ on objetivo cambia de valor de acuerdo con el valor que adquieran las variables de decisi´ on x1 y x2 proporcionando un determinado valor Pi. Lo cual queda representado en la siguiente expresi´ on.

Pi = ax1 + bx2

119

Se reescribe esta afirmaci´ on para que asemeje la ecuaci´on punto pendiente de una l´ınea recta. Quedando la siguiente expresi´ on.

x2 =

a/bx1 + p1 /b

Lo que representa una familia de rectas paralelas con una pendiente de

a ÷ b a esta familia de

rectas se les denomina l´ıneas de iso-utilidad. Todos los puntos contenidos dentro de una l´ınea de iso-utilidad proporcionan el mismo grado de satisfacci´on.

Las l´ıneas de iso-utilidad se desplazan de acuerdo con el objetivo de la funci´on objetiv´ o. Para ilustrar este concepto observe las siguientes figuras.

120

Mejora del valor de la funci´ on objetivo en problemas de maximizaci´ on.

Figura 3.44: Figura 1

Observe que el valor de la funci´on objetivo del tipo de maximizaci´on mejora conforme la l´ınea de iso-utilidad se desplace hacia arriba y hacia la derecha. Mejora del valor de la funci´ on objetivo en problemas de minimizaci´ on.

Figura 3.45: Figura 1

En caso contrario a la maximizaci´on, el valor de una funci´on objetivo de minimizaci´on mejora mientras mas se desplace hacia la izquierda y hacia abajo.

121

Las l´ıneas de iso-utilidad no pueden crecer infinitamente quedan restringidas a la regi´on factible acotada por las restricciones. Como se observa en la siguiente figura.

122

Figura 3.46: Figura 1

Hay que recordar que de acuerdo con el concepto de optimalidad se busca el punto que proporcione el mayor grado de cumplimiento con el objetivo del sistema.

Procedimiento del m´ etodo Procedimiento del soluci´ on de problemas de PL con el m´ etodo gr´ afico.

123

Figura 3.47: Figura 1

124

Cap´ıtulo 4

Algoritmo simplex 4.1.

Conceptos b´ asicos

Con base en el problema de programaci´on lineal continua en la forma est´andar: m´ın cx sujeto a: Ax = b x

0

se pueden definir los siguientes t´erminos: V´ertices: un v´ertice se tiene en la intersecci´on de 2 o m´as restricciones. Soluci´ on factible: valores de x que satisfacen todas las restricciones, incluidas las de no negatividad Soluci´ on factible ´ optima: la soluci´on factible que proporciona el ´optimo para la funci´on objetivo Base o matriz b´ asica: una matriz cuadrada “B” de dimensi´on y rango m (n´ umero de restricciones del problema) extra´ıda de las columnas de A Matriz no b´ asica: matriz residual “N” formada por las columnas de A que no est´an en B Variables b´ asicas:: las m variables xB de x asociadas a las columnas de B 125

Variables no b´ asicas: las n

m variables restantes de x

Soluci´ on b´ asica: Si se expresa a la matriz A y el vector x descompuestos en variables b´asicas y no b´ asicas se tiene que: A = [BN ] y x = [xB xN ] si estos elementos se sustituyen en el conjuto de restricciones del problema de programaci´on 2  6 xB Ax = b =) 4 BN xN

lineal (PL) entonces se obtiene: 3 7 5 = b =) BxB + N xN = b

El sistema de ecuaciones lineales simult´aneas anterior tiene m ecuaciones con n variables, al resolver este sistema se pueden presentar las siguientes situaciones: 1. Tenga soluci´ on u ´nica. 2. Tenga infinitas soluciones. 3. No tenga soluci´ on (en caso de ocurrir esto se dice que el sistema es no consistente o inconsistente). La soluci´ on b´ asica de un sistema de ecuaciones lineales de m ⇥ n, si existe, es una soluci´ on en la que se forza a que (n

m) variables tomen valor igual a cero. Es decir al eliminar (n

m)

variables del sistema de ecuaciones lineales, la soluci´on existe s´ı y s´olo si el sistema resultante de m ⇥ m es consistente. Con base en lo anterior si se asume que xN = 0, entonces el sistema se reduce a BxB = b cuya soluci´on es xB = B

1

b, la cual es la soluci´on b´asica de Ax = b.

La direcci´ on de m´ aximo gradiente de la funci´on objetivo es la direcci´on en la cual se genera el mayor beneficio posible en la funci´on objetivo desde una soluci´on b´asica a alguna de sus adyacentes. Funci´ on de costo de una soluci´on b´asica factible Si se expresa a al vector costo c (c = [cB cN ]) y se asocia con la soluci´ on b´ asica xb si estos elementos se sustituyen en la funci´on objetivo del problema de PL, entonces se obtiene:

zB = cx =) zB =



cB cN

126

2

3 x 6 B 7 4 5 =) zB = cB xB 0

4.2.

B´ usqueda exhaustiva de soluciones b´ asicas

El teorema fundamental de la programaci´on lineal asegura que si un problema de programaci´ on lineal tiene soluci´ on ´ optima finita, entonces necesariamente existe un punto extremo de la regi´ on factible en el que se alcanza dicha soluci´on. Por ende, el problema de programaci´on lineal, se puede resolver examinando el valor de la funci´on objetivo en un n´ umero finito de puntos (v´ertices de regi´ on factible). En general, el m´ aximo n´ umero de soluciones b´asicas, si existen, del problema de PL es igual al n´ umero de formas de escoger m variables de entre las n, es decir: 0 1 n! B n C @ A= m!(n m)! m .

Ejemplo 4.1 Se desea encontrar todas las soluciones b´asicas del siguiente problema. m´ın W = s.a

x1 + 3x2 x1

3x2  3

2x1 + x2  2 x1 , x 2

0

Como paso inicial se escribe el modelo en forma est´andar.

m´ın W = s.a

x1 +

3x2

x1

3x2 +

2x1 +

x2 +

xi

0

x3

=3 x4

8

=2

i = 1, . . . , 4

En el modelo anterior existen 4 variables y dos restricciones adem´as de las de no negatividad, entonces el m´ aximo n´ umero de v´ertices a evaluar en este problema son: n! 4! 4 ⇥ 3 ⇥ 2! 12 = = = =6 m!(n m)! 2!(4 2)! 2!(2!) 2

127

Ahora bien si la matriz A de este problem es 0 3 B 1 A=@ 2 1

1 0 C A 0 1

1

La matriz “B” se forma con 2 de las 4 columnas, como se mencion´o, existen 6 combinaciones posibles de la colummnas de A tomadas en grupos de dos. En la siguiente tabla se muestran y evaluan cada una de estas combinaciones.

Cuadro 4.1: Tabla inicial del simplex

Base 0 B 1 B=@ 0 0 B 1 B=@ 2 0 B 3 B=@ 1 0 B 1 B=@ 2 0 B 3 B=@ 1 0 B 1 B=@ 2

1

0 C A 1 1 1 C A 0 1 1 C A 0 1 0 C A 1 1 0 C A 1 1 3 C A 1

inversa 0 B 1 B 1=@ 0 0 B 0 B 1=@ 1 0 B 0 B 1=@ 1 0 B 1 B 1=@ 2 0 B

B

1

1

B =@

0

B =@

1 3

1 3

1 7 2 7

1

0 C A 1 1 1 2

1 2

C A

1

1 C A 3 1 0 C A 1 1 0 C A 1 1 3 7 1 7

C A

Valor de las variables x1 = 0 x2 = 0

Tipo de soluci´on Soluci´on factible

x3 = 3 x4 = 2 x1 =

1

x2 = 0

x3 = 4

Soluci´on no factible

x4 = 0

x1 = 0 x2 = 2

Soluci´on factible

x3 = 9 x4 = 0 x1 = 3 x2 = 0

Soluci´on factible

x3 = 0 x4 = 8 x1 = 0 x2 = x3 = 0 x1 =

1

Soluci´on no factible

x4 = 3 1,8

x2 =

x3 = 0

1,6

Soluci´on no factible

x4 = 0

En la figura 4.1 se muestra la regi´on factible del problema anterior; donde se observa que los tres v´ertices que son soluciones factibles del an´alisis anterior corresponden a los v´ertices de la regi´ on factible. Para conocer la soluci´ on o´ptima del problema de deben evaluar los v´ertices factibles con la funcion objetivo. En la tabla 4.2 se muestra dicha evaluaci´on. Ya que objetivo del problema es minimizar el valor de la funci´on objetivo, con base en la in128

Figura 4.1: Regi´on factible

V´ertice de la regi´on factible

Valor de la funci´on objetivo

x1 = 0 x2 = 0

0 + 3(0) = 0

x3 = 3 x4 = 2 x1 = 0 x2 = 2

0 + 3(2) = 6

x3 = 9 x4 = 0 x1 = 3 x2 = 0

3 + 3(0) = 3

x3 = 0 x4 = 8

formaci´ on obtenida de la evaluaci´on anterior se concluye que la soluci´on o´ ptima del problema es x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3, x4 = 2, la cual genera que x1 + 3x2 ) 0 + 3 ⇥ 0 = 0. El principal problema con la estrategia de enumeraci´on exhaustiva es el gran n´ umero de operaciones que se requiere al evaluar soluciones factibles y no factibles. Adem´as, es dif´ıcil determinar si la regi´ on factible es no acotada. 129

4.3.

M´ etodo simplex

El M´etodo Simplex es la soluci´on algor´ıtmica inicial para resolver problemas de PL. Este es una implementaci´ on eficiente para resolver una serie de sistemas de ecuaciones lineales mediante el uso de una estrategia ambiciosa que salta desde un v´ertice factible hacia otro adyacente, el algoritmo termina en una soluci´ on ´ optima.. En el modelo, los t´erminos independientes de las restricciones, es decir los del vector b, deben ser mayores o iguales a 0, si no, no se puede emplear el m´etodo Simplex. Lo u ´nico que habr´ıa que hacer es multiplicar por “-1” las restricciones donde los t´erminos independientes sean menores que 0. Con ´esta simple modificaci´ on de los signos en la restricci´on se puede aplicar el m´etodo Simplex al modelo. Sin embargo, puede resultar que en las restricciones donde se tenga que modificar el signo del t´ermino independiente, los signos de las desigualdades fueran (“=”, “”), quedando (“=”, “ ”) lo que implica utilizar otro m´etodo. Todas las restricciones son de igualdad. Si en nuestro modelo aparece una inecuaci´on con una desigualdad del tipo “ ”, deberemos a˜ nadir una nueva variable, llamada variable de exceso con la restricci´ on “ ” . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la funci´on objetivo, y restando en las inecuaciones. Surge ahora un problema, veamos como queda una de nuestras inecuaciones que contenga una desigualdad “ ” : Como todo nuestro modelo, est´a basado en que todas sus variables sean mayores o iguales que cero, cuando hagamos la primera iteraci´on con el m´etodo Simplex, las variables b´asicas no estar´ an en la base y tomar´ an valor cero, y el resto el valor que tengan. En este caso nuestra variable xs,no cumplir´ıa la condici´ on de no negatividad, por lo que habr´a que a˜ nadir una nueva variable, xr , que aparecer´ a con coeficiente diferente de cero en la funci´on objetivo, y sumando en la inecuaci´on de la restricci´ on correspondiente; a este tipo de variables se les llama variables artificiales, y aparecer´ an cuando haya inecuaciones con desigualdad (“=”,“ ”). Del mismo modo, si la inecuaci´on tiene una desigualdad del tipo “”, deberemos a˜ nadir una nueva variable, llamada variable de holgura . La nueva variable aparece con coeficiente cero en la funci´ on objetivo, y sumando en las inecuaciones. A modo resumen podemos dejar esta tabla, seg´ un la desigualdad que aparezca, y con el valor que deben estar las nuevas variables.

130

Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece - exceso + artificial

4.4.

=

+ artificial



+ holgura

Estructura del m´ etodo simplex

El m´etodo simplex explota la estructura combinatoria del problema de programaci´on lineal; ya que la soluci´ on ´ optima de una instancia de PL se puede encontrar al analizar el conjunto (finito) de puntos extremos del poliedro formado por las restricciones [?]. Con base en lo anterior, la idea b´asica del m´etodo simplex consiste en partir de un punto extremo (soluci´ on b´ asica factible) xextemo ; si existe una soluci´on adyacente xadyacente que mejore el valor de la funci´ on objetivo; entonces xextemo

xadyacente ; se contin´ ua con este proceso hasta que los puntos

adyacentes a xextemo no mejoren el valor de la funci´on objetivo. La esencia del m´etodo simplex resinde en reconocer la optimalidad de un punto extremo soluci´on dado con base en consideraciones locales, sin tener que enumerar todas las soluciones b´asicas factibles [?]. El algoritmo 1 muestra el modelo general del algoritmo simplex. El algoritmo simplex tiene una complejidad del orden exponencial (O(2m )), ya que el algoritmo puede recorrer todos los v´ertices del poliedro para encontrar la soluci´on ´optima (v´ease Teorema 12). Sin embargo, para la mayor´ıa de los problemas pr´acticos el algoritmo requiere de

3m 2

-en raras

ocasiones de 3m- iteraciones para solucionarlos [?]. Teorema 12 El algoritmo simplex a lo m´ as realizar´ a

m n

iteraciones antes de terminar [?]

Dedido a la gran variedad en las intancias de PL, se han desarrollado variantes del algoritmo simplex, las cuales permiten de manera natural a un conjunto particular de instancias de PL. A continuaci´ on se muestran dos ejemplos del algoritmo simplex

131

Algorithm 1: Pseudoc´ odigo del algoritmo simplex [?] Input: Instancia de PL a resolver

2

Output: Soluci´ on 8 de la instancia > < c¯ = c z 0 criterio de paro > : c¯ = c z  0

3

soluci´ on no acotada

4

Determinar una soluci´ on b´ asica factible inicial.

5

repeat

1

6 7 8

9

soluci´ on o ´ptima

en minimizaci´ on en maximizaci´ on

No;

No;

if Se satisface el criterio de paro then soluci´ on o ´ptima

Si;

else Elegir alg´ un j, tal que:

↵;

10

⇥

11

for i = 1 : n do

12

if xi,j

13

⇥i

8 > < c¯j < 0 > : c¯j > 0

;

en maximizaci´ on

0 then xi,0 xi,j

else

14

⇥i

15

1

end

16 17

end

18

⇥k = m´ın(⇥i ) if ⇥k = 1 then soluci´ on no acotada

19 20

en minimizaci´ on

Si;

else

21

k sea la fila asociada al ⇥k ;

22

Pivotear sobre xi,k para determinar las nueva soluci´ on;

23 24 25

end end until soluci´ on o ´ptima = No y soluci´ on no acotada = No;

132

Ejemplo 4.2 Se desea resolver el siguiente problema m´ax x1 + x2 Sujeto a: x1 + 2x2  4 x2  2 x1 , x 2

0

En la figura 4.2 se muestra la regi´ on factible del problema

Figura 4.2: Regi´on factible

˜ Como paso inicial se escribe el modelo en forma estA¡ndar. m´ax x1 + x2 Sujeto a: x1 + 2x2 + x3 = 4 x2 + x4 = 2 x 1 , x 2 , x 3 y x4

0

A continuaci´ on, se construye la tabla simplex inicaial. Construcci´ on de la primera tabla: En la primera columna de la tabla aparecer´a lo que llamaremos base, en la segunda el coeficiente que 133

tiene en la funci´ on objetivo cada variable que aparece en la base (llamaremos a esta columna Cb), a partir de esta columna aparecer´an cada una de las variables de la funci´on objetivo y por ultimo se agregara una ultima columna con el valor de lado derecho. Al final de esta tabla incluiremos una fila, en la cual aparecer´ an los coeficientes de la funci´on objetivo. En la tabla 4.2 se muetra la tabla inicial del problema planteado

Cuadro 4.2: Tabla inicial del simplex variable

c.f.o

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

3

1

0

4

x4

0

0

1

0

1

2

-1

1

1

0

0

0

c

z

c.f.o es el coeficiente de la funci´ on objetivo, se puede usar cB para distinguirlos

En esta soluci´ on b´ asica se implica que la variable x3 = 4 y x4 = 2; caba hacer notar que todas aquellas variables que no estan en la base asumen un valor de cero, por lo cual x1 = 0 y x2 = 0. En otras palabras, la soluci´ on b´ asica del tablero inicial esta en el punto (x1 ,x2 ) (0,0) (ver figura 4.3) por lo que se tiene una holgura de 4 en la primera restricci´on y una holgura de 3 en la segunda restricci´ on. Una vez que se ha contruido el i ´esimo tablero del algoritmo simplex se debe verificar si se satisface el criterio de paro del algoritmo simplex (ver algorimo 1). Dicha prueba se realiza sobre el vectro hilera c

z he implica que para todos los elementos del vector c

z (con esepci´ on del

elemento en el vector columna de los coeficientes de la funci´on objetivo y el vector columan b) se 8 > < c¯ = c z 0 en minimizaci´on debe cumplir lo siguiente > : c¯ = c z  0 en maximizaci´on Al verificar el criterio de paro sobre el vectro c z se obtiene lo siguiente: Cuadro 4.3: Prueba de optimalidas c

z

1

satisface el criterio de paro

134

1

1

0

0

No

No

Si

Si

0

Figura 4.3: Regi´on factible Como se ve en la tabla 4.3 no se cumple el criterio de paro en 2 elementos del vector c

z, lo

cual indica que la solucion b´ asica actual no es ´optima, por lo que se debe volver a iterar. Para volver a iterar es necesario determinemos que variable sale de la base (variable que debe asumir un valor igual a cero) y que variable entra a la base (variable que debe asumir un valor diferente de cero) en la siguiente iteracion. Elecci´ on de la variable que entra: Seleccionar la variable que entra en la base como aquella como aquella que produsca el m´ aximo gradiente, es decir: en el caso de minimizaci´on seleccionamos como la variable que entra a la base como aquella variable asociada al elemenoto m´as negativo en c

z, en contraste en el caso de maximizaci´on seleccionamos como la variable que entra a la base

como aquella variable asociada al elemenoto m´as positivo en c

z, en ambos casos si se preserenta

un empate se rompe de forma arbitraria selecionando alguna de las variables con m´aximo gradiente. Cabe mencionar que seleccionar la variable que entra con el criterio de gradiente maximo no es la unica opci´ on se pueden emplear otros criterios (e.g: gratiente minimo) si el leector desea mayor informaci´ on por favor consulte el [?]. En la tabla 4.4, se muetran las posibles variables que pueden entrar a la base Se observa que considerando el maximo gradiente se puede seleccionar la variable x1 y x2 , ya que ambas presentan el valor m´ as positivo en el vector c 135

z. Dado a que se tiene un empate se procede

Cuadro 4.4: Tabla inicial del simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

3

1

0

4

x4

0

0

1

0

1

2

-1

1

1

0

0

0

c

z

a romperlo de forma arbitraria, por lo cual se seleciona la variable x1 (veas´e la tabla 4.5)

Cuadro 4.5: Tabla inicial del simplex (selecci´on de la variable que entra) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

3

1

0

4

x4

0

0

1

0

1

2

-1

1

1

0

0

0

c

z

Una vez obtenida la variable entrante, se debe determinar a la variable que sale, para ello se calcula el cociente ✓o = m´ın

xij >0

xi,0 xi j

donde xi j es estrictamente positivo (mayor de 0), cabe mencionar que este cociente no se calcula en el vector c

z. En la tabla 4.14, se muestra el calculo del cociente ✓o Se observa en la tabla que la

Cuadro 4.6: Tabla inicial del simplex (selecci´on variable que sale de la base) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

✓o

x3

0

1

3

1

0

4

4

x4

0

0

1

0

1

2

no se puede calcular, ya que x1,2 = 0

c

z

-1

1

1

0

0

136

0

variable que sale de la base es x3 (vease tabla 4.7)

Cuadro 4.7: Tabla inicial del simplex (selecci´on de la variable que entra) variable

c.f.o

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

3

1

0

4

x4

0

0

1

0

1

2

1

1

1

0

0

0

c

z

A continuaci´ on se procede a actualizar el tablero simplex; por lo cual como primer paso se busca volver al elemento en la intereccion entre la hilera de la variable que sale y la columna de la variable que entra en un 1; para ello se puede mutiplicar el vector hilera de la variable que sale por alguna constante k 2 R, el vector resultado de la multiplicaci´on se escribe en lugar del vector de la variable que sale y se etiqueta con el nombre de la variable que entra en la base, a este vector hilera se le denimina hilera pivote. En la tabla 4.16, se muestra esta acci´on

Cuadro 4.8: Tabla inicial del simplex (selecci´on de la variable que entra) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x1

1

1

3

1

0

4

x4

0

c

z

-1

Posteriormente, se busca hacer cero a todos los elementos en la columna de la variable que entra, para ello se utilizan las operaciones elementales entre renglones las cuales son: Multiplicar un rengl´ on por un n´ umero diferente de cero. Sumar o restar un rengl’onn a otro rengl´on. Sumar o restar el m´ ultiplo de un rengl´on a otro rengl´on. En la tabla 4.9, se muestra esta acci´on 137

Cuadro 4.9: Tabla inicial del simplex (selecci´on de la variable que entra) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x1

1

1

3

1

0

4

x4

0

0

1

0

1

2

-1

0

-2

-1

0

-4

c

z

En la figura 4.4, se muestra la nueva soluci´on b´asica encontrada. La verificaic´on del criterio de

Figura 4.4: Regi´on factible

paro sobre el vectro c

z se muestra en la tabla 4.10

Cuadro 4.10: Prueba de optimalidas c

z

0

satisface el criterio de paro

0

-2

-1

0

Si

Si

Si

Si

4

Dado que se satisface el criterio, se puede afirmar que se ha encontrado la soluci´on ´optima. En

138

esta soluci´ on x1 = 4, x2 = 0,x3 = 0 y x4 = 2 con un valor de funci´on objetivo igual a 4. Una vez resuelto el problema de PL se debe distinguir entre:

Restricciones activas: son aquellas que se cumplen con exacta igualdad en la soluci´on ´optima. Las restricciones activas son las que impiden el obtener una soluci´on mejor que la soluci´ on optima encontrada. En nuetro problema la restricci´on activa es x1 + 2x2  4 ´ Restricciones inactivas: son aquellas que se cumplen como una desigualdad en la soluci´ on optima. En nuetro problema la restricci´on inactiva es x2  2 ´ Restricciones redundante Son aquellas que de no estar presentes en el modelo, no modificar´ıan la regi´ on factible ni la soluci´on ´optima. En nuestro problema no existen restricciones redundantes. Ejemplo 4.3 Se desea resolver el siguiente problema m´ax 2x1 + 3x2 Sujeto a: x1 + 2x2  3 2x1

x2  3

x1 , x 2

0

En la figura 4.5 se muestra la regi´ on factible del problema ˜ Como paso inicial se pasa al modelo aforma estA¡ndar. m´ax 2x1 + 3x2 Sujeto a: x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1

x2 + x4 = 3

x 1 , x 2 , x 3 y x4

0

A continuaci´ on, se construye la tabla simplex inicaial, en la tabla 4.11 se muetra la tabla inicial del problema planteado 139

Figura 4.5: Regi´on factible

Cuadro 4.11: Tabla inicial del simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

2

1

0

3

x4

0

2

-1

0

1

3

-1

2

3

0

0

0

c

z

En esta soluci´ on b´ asica se implica que la variable x3 = 3, x4 = 3 x1 = 0,x2 = 0; por lo que se tiene una holgura de 3 en la primera restricci´on y una holgura de 3 en la segunda restricci´on. Ahora se verifica el criterio de paro sobre el vectro c

z se obtiene lo siguiente:

Cuadro 4.12: Prueba de optimalidas c

z

-1

satisface el criterio de paro

140

2

3

0

0

No

No

Si

Si

0

Como se ve en la tabla 4.12 no se cumple el criterio de paro en 2 elementos del vector c

z, lo

cual indica que la soluci´ on b´ asica actual no es ´optima, por lo que se debe volver a iterar. Se selecciona a la variable que entra en la base como aquella como aquella que produsca el m´ aximo gradiente, en la tabla 4.13, se muetran las posibles variables que pueden entrar a la base

Cuadro 4.13: Tabla inicial del simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

2

1

0

3

x4

0

2

-1

0

1

3

-1

2

3

0

0

0

c

z

Se selecciona a la variable x2 , tiene el valor m´as positivo en el vector c

z.

Posteriormente, se selecciona a la variable entrante. En la tabla ??, se muestra el calculo del cociente ✓o Se observa en la tabla que la variable que sale de la base es x3 (vease tabla 4.15)

Cuadro 4.14: Tabla inicial del simplex (selecci´on variable que sale de la base) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

✓o

x3

0

1

2

1

0

3

3 2

x4

0

2

-1

0

1

3

no se puede calcular, ya que x2,2 es menor a cero

c

z

-1

2

3

0

0

0

A continuaci´ on se procede construir el nuevo tablero simplex Posteriormente, se busca hacer cero a todos los elementos en la columna de la variable que entra, para ello se utilizan las operaciones elementales entre renglones. En la tabla 4.17, se muestra esta acci´ on La verificaci´ on del criterio de paro sobre el vectro c

z se muertra en la tabla 4.18

Dado que no se satisface el criterio, se contruye un nuevo tablero simplex en la tabla 4.19 se 141

Cuadro 4.15: Tabla inicial del simplex (selecci´on de la variable que entra) variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

2

1

0

3

x4

0

2

-1

0

1

3

-1

2

3

0

0

0

c

z

Cuadro 4.16: Segundo tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x2

3

1 2

1

1 2

0

3 2

x4

0

c

z

-1

Cuadro 4.17: Segundo tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x2

3

0.5

1

0.5

0

1.5

x4

0

2.5

0

0.5

1

4.5

-1

0.5

0

-1.5

0

-4.5

c

z

Cuadro 4.18: Prueba de optimalidas c

z

-1

satisface el criterio de paro

0.5

0

-1.5

0

No

Si

Si

Si

-4.5

muetra la variable que entra y que sale de la base. En la tabla 4.20, se muetra el nuevo tablero simplex. En este tablero se muestra que la soluci´ on optima del problema x1 = 1,8 y x2 = 0,6, con la que se obtien un beneficio de 5.4 ´

142

Cuadro 4.19: Segundo tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

✓o

x2

3

0.5

1

0.5

0

1.5

3

x4

0

2.5

0

0.5

1

4.5

1.8

-1

0.5

0

-1.5

0

-4.5

c

z

Cuadro 4.20: Tercer tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x2

3

0

1

0.4

-0.2

0.6

x1

2

1

0

0.2

0.4

1.8

-1

0

0

-1.6

-0.2

-5.4

c

z

Ejemplo 4.4 Se desea resolver el siguiente problema m´ın 2x1

3x2

10x3 + x4

Sujeto a: x3 + x4  4

4x1 + 2x2

x1 + 5x2 + x3  0 x4  10

2x1 + x3

x1 , x 2 , x 3

0

˜ Como paso inicial se pasa al modelo aforma estA¡ndar. m´ın 2x1

3x2

10x3 + x4

Sujeto a: 4x1 + 2x2

x3 + x4 + x5 = 4

x1 + 5x2 + x3 + x6 = 0 2x1 + x3

x4 + x7 = 10

x1 , x2 , x3 , x04 , x004 , x5 , x6 , x7 143

0

Cuadro 4.21: Tablero simplex inicial variable

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

x5

0

4

2

-1

1

-1

1

0

0

4

x6

0

-1

5

1

0

0

0

1

0

0

x7

0

2

0

1

-1

1

0

0

1

10

-1

-2

-3

-10

1

-1

0

0

0

0

c

z

Ahora, se contruye el tablero simplex inicial (veas´e tabla 4.22) La verificaci´ on del criterio de paro sobre el vectro c

z se muertra en la tabla 4.22

Cuadro 4.22: criterio de paro variable c

z

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

-1

-2

-3

-10

1

-1

0

0

0

0

No

No

No

Si

No

Si

Si

Si

satisface el criterio de paro

Como no se cumple el criterio de paro se construye el nuevo tablero (ver tabla 4.23).

Cuadro 4.23: Tablero simplex inicial variable

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

x5

0

4

2

-1

1

-1

1

0

0

4

x6

0

-1

5

1

0

0

0

1

0

0

0

x7

0

2

0

1

-1

1

0

0

1

10

10

-1

-2

-3

-10

1

-1

0

0

0

0

c

z

✓

En la tabla 4.24 se muestra el segundo tablero simplex, adem´as se muestra que variables entran y salen de la base En la tabla 4.25 se muestra el tercer tablero simplex, adem´as se muestra que variables entran y

144

Cuadro 4.24: Segundo tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

✓

x5

0

3

7

0

1

-1

1

1

0

4

4 3

x3

-10

-1

5

1

0

0

0

1

0

0

x7

0

3

-5

0

-1

1

0

-1

1

10

-1

-12

47

0

1

-1

0

10

0

0

c

z

10 3

salen de la base

Cuadro 4.25: Tercer tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

x1

-2

1

7 3

0

1 3

- 13

1 3

1 3

0

4 3

x3

-10

0

22 3

1

1 3

- 13

1 3

4 3

0

1 3

x7

0

0

-12

0

-2

2

-1

-2

1

6

-1

0

75

0

5

-5

4

14

0

16

c

z

✓

3

En la tabla 4.26 se muestra el cuarto tablero simplex.

Cuadro 4.26: Cuarto tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x04

x004

x5

x6

x8

b

x1

-2

1

1 3

0

0

0

1 6

0

1 6

7 3

x3

-10

0

16 3

1

0

0

1 6

1

1 6

7 3

x004

-1

0

-6

0

-1

1

- 12

-1

1 2

3

-1

0

45

0

0

0

3 2

9

5 2

31

c

z

En el tablero 4.20 se muestra que la soluci´on ´optima del problema x1 = 71 , x3 = la que se obtien un beneficio de

31

145

7 1

y x004 = 3, con

4.5.

Clases de problema de acuerdo a la soluc´ on obtenida con el algoritmo simplex

El modelo en forma est´ ndar es de dimensiones m (restricciones, ecuaciones lineales) por n (variables). Un sistema de ecuaciones lineales simultaneas de m por n puede tener soluci´on o no. Generalmente, ocurren alguna de siguientes soluciones: Tenga una soluci´ on u ´nica Tenga m´ ultiples soluciones Tenga soluciones no acotadas. No tiene soluci´ on.

4.5.1.

Soluci´ on u ´ nica

Una instancia del problema PL tiene una soluci´on unica, si dada la intancia del problema de PL m´ın c0 x sujeto a: Ax x

b 0

existe un unico vector x tal que se obtiene el valor minimo de la funci´on objetivo. En un tablero simplex se identifica que la instancia tiene soluci´on u ´nica si en el vector c

z se satisface el criterio

de ´ optimalidad y ninguna de las variables no b´asicas tienen un cero en el vector c

4.5.2.

z.

M´ ultiples soluciones

Este caso se presenta cuando la funci´on objetivo es paralela a una de las restricciones activas del problema, entonces la funci´ on objetivo asume el valor optimo en m´as de un v´ertice de la regi´ on factible. Es decir, en una soluci´ on b´asica factible optima al menos una de las variables no-b´ asicas tiene un coeficiente igual a cero en el vector c

z

146

Un problema con soluciones multiples se pueden identificar, si al obtener la soluci´on ´optima de dicho problema se presenta las siguientes situaciones: a Una de las variables no-b´ asicas tiene un coeficiente cero en el rengl´on c

z.

b Al menos uno de los coeficientes de la columna identificada en el inciso “a” es positivo. Otra soluci´ on ´ optima es generada introduciendo a la base a la variable identificada en el inciso “a” aplicando el algoritmo simplex.

4.5.3.

Soluciones no acotadas

Este tipo de problemas se presenta cuando el espacio de soluciones factibles es no-acotado, por lo cual la funci´ on objetivo puede incrementar (caso de maximizaci´on) o disminur (caso de minimizaci´ on) infinitamente. Un problea no acotado se identifica cuando en alguna iteraci´on del algoritmo simplex, sobre dicho problema, se puede determinar a la variable que entra a la base, pero no es posible identificar a la variable saliente, porque todos los coeficientes de la columna asociada con la variable entrante son negativos o ceros. Cabe mencionar que existen problemas con una regi´on factible no acotado pero si poseen una soluci´ on ´optima.

4.5.4.

No tiene soluci´ on

Un problema no tiene soluci´ on si la regi´on factible es el conjunto vaci´o, en otras palabra dada una instancia del problema de PL m´ın c0 x sujeto a: Ax x

b 0

no existe un vector x tal que se satisfagan todas las restriciones del problema. Esta clase de problemas se abordaran en la siguiente unidad.

147

4.6.

Motivaci´ on geom´ etrica del algoritmo simplex

Es necesario analizar las operaciones anteriores desde un punto de vista geom´etrico. La representaci´ on del espacio de variables no b´asicas, la regi´on factible del PL se define t´erminos de n semiespacios que se intersecan, m restricciones y p = n

m asociados con las restricciones de no

negatividad. Para cada uno los semiespacios existen cierta variable que asume un valor de cero sobre el semiespacio correspondiente. Ejemplo 4.5 Se desea resolver el siguiente problema: m´ax 4x1 + 9x2 sujeto a x1 + 2x2  5 x1  4 x 1 , x2

0

La regi´ on factible se muestra en la figura 4.6

Figura 4.6: Regi´on factible

La soluci´ on b´ asica factible inicial corresponde al v´ertice v1 , es decir, al origen. Observe tambi´en 148

que cualquier otro punto extremo tambi´en est´a definido por la intersecci´on de p = 2 hiperplanos linealmente independientes. As´ı, para el v´ertice v2 con las variables no b´asicas x1 = 0 y x3 = 0 y las variables b´ asicas son x2 y x4 . El v´ertice v3 consta de dos hiperplanos que pasan por ´el, con las variables no b´ asicas x3 = 0 y x4 = 0 y las variables b´asicas son x2 y x1 . Por ultimo el v´ertice v4 consta de dos hiperplanos que pasan por ´el, con las variables no b´asicas x2 = 0 y x4 = 0 y las variables b´ asicas son x3 y x1 . En el v´ertice v1 existen 2 hiperplanos definitorios asociados con las variables no b´asicas correspondientes (x1 = 0 y x2 = 0). En el tablero inicial del algoritmo simplex se muestra que la soluci´ on inicial es x1 = 0, x2 = 0 x3 = 5 y x4 = 4 ver 4.27.

Cuadro 4.27: Cuarto tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x3

0

1

2

1

0

5

x4

0

1

0

0

1

4

-1

4

9

0

0

0

c

j

Posteriormente, se busca un movimiento atractivo en una direcci´on factible hacia alguna de las soluciones adyacente, es decir, se cambia a la soluci´on adyacente que genere el mejor cambio en la funci´ on objetivo. Esta direcci´ on se encuntra a trav´es de determinar la variable que entra y que sale de la base. La variable que entra en la base es aquella asociada a coeficiente con el mayor beneficio en la funci´ on objetivo, en contraste, la variable que sale de la base es aquella que tiende m´as rapidamente a cero (ver tablas 4.32 ).

Cuadro 4.28: Tablero simplex inicial variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

✓

x3

0

1

2

1

0

5

5 2

x4

0

1

0

0

1

4

-1

4

9

0

0

0

c

j

149

Al seleccionar a x2 como la variable que entra de la base y a x3 como la variable que entra de la base se implica un movimiento del v´ertice v1 al v2 , lo cual genera un incremeto en la funci´ on objetivo de 22.5 (ver figura 4.7). En la tabla 4.29 se muestra el nuevo tablero simplex. Al verificar

Figura 4.7: Regi´on factible

Cuadro 4.29: Segundo tablero simplex variable

cB

x1

x2

x3

x4

b

x2

0

1 2

1

1 2

0

5 2

x4

0

1

0

0

1

4

-1

-0.5

0

-4.5

0

-22.5

c

j

el criterio de paro se observa que se satisface; lo cual indica que no existe una direcci´on que mejore la soluci´ on actual (ver figura 4.8). Es decir, cuando el criterio de paro se satisface indica que ya no existe una soluci´ on adyacente que mejore la soluci´on actual

150

Figura 4.8: Regi´on factible En resumen el algoritmo simplex inicia en una soluci´on b´asica factible, posteriormente el algoritmo b´ usca entre las soluciones adyacentes a la soluci´on actual aquella que genere la mayor mejora en el valor de la funci´ on objetivo. El algoritmo simplex termina cuando ya no existe ningun movimiento que mejore la soluci´ on actual.

4.7.

´ Algebra del m´ etodo simplex

˜ Dado el problema de programaci´on lineal en forma estA¡ndar m´ax c0 x sujeto a: Ax = b x

0

donde: vector de costos: c =



c1

c2

...

cn

151

2

6 6 6 6 vector de variables de desic´ on: x = 6 6 6 6 4

3

x1 7 7 7 x2 7 7 .. 7 . 7 7 5 xn

2

6 6 6 6 vector de recursos (o vector del lado derecho) b = 6 6 6 6 4

2

3

b1 7 7 7 b2 7 7 .. 7 . 7 7 5 bm

6 a1,1 6 6 6 a2,1 matriz de los coeficientes de las restricciones: A = 6 6 . 6 .. 6 4 am,1  A = a1 a2 . . . a n

a1,2

...

a2,2 .. .

... .. .

am,2

...

3 a1,n 7 7 7 a2,n 7 7 .. 7 . 7 7 5 am,n

2

3 a 6 1,j 7 6 7 6 7 6 a2,j 7 6 j´esima columna de la matriz A aj = 6 . 7 7 6 .. 7 6 7 4 5 xm,j

Se asume que b

0, adem´ as que el conjunto de restricciones Ax = b se conforma por m ecuaciones

lineales con n variables donde (m < n) y el rango de la matriz A es de rango completo (rango de A es m); entonces se puede obtener una soluci´on haciendo n

m variables igual a cero y resolviendo

el sistema ecuaciones lineales para las m variables restantes, siempre y cuando el determinante de los coeficientes de estas m variables no seas cero. Se llaman variables b´asicas a las m variables y a la soluci´ on del sistema obtenida con ellas, se le denomina soluci´on b´asica. Para resolver el sistema Ax = b se debe considerar que matriz A = [B|N ]; donde: B es una submatriz no singular formada por las columnas asociadas a las variables b´asicas, en contraste N es la submatriz formada por las columnas asociadas a las variables no b´asicas. El vector de las variables de desici´ on x = [xB |xN ]; ya que las variables no b´asicas (xN ) asumen un valor igual a cero, entonces 152

se puede reescribir el vector x como x = [xB |0] Ax = b 2 3 6 xB 7 [B | N ] 4 5=b 0 por lo tanto:

B ⇤ xB + N ⇤ 0 = b BxB = b al despejar xB se obtiene B

1

1

BxB = B

IxB = B xB = B

1 1

b

b

b

Existen varios casos en la soluci´ on del sistema xB = B

1

b, los cules son:

Soluci´ on b´ asica factible (SBF). Todas las variables b´asicas son mayores o iguales que cero. Soluci´ on b´ asica factible no degenerada. Todas las variables b´asicas son estrictamente positivas. Soluci´ on b´ asica factible degenerada. Alguna variable b´asica toma un valor nulo

153

El valor de la fuci´ on objetivo se puede determinar a trav´es de la siguiente ecuaci´on: z = cx al sustituir 2 3 x 6 B 7 x por x = 4 5 0

y c = [cB | cN ], se obtiene: 2 3 x 6 B 7 z = [cB | cN ] 4 5 0 z = c B ⇤ xB + c N ⇤ 0 z = c B ⇤ xB al sustituir 1

xB por B

b

se obtiene 1

z = cB B

b

Adem´ as sea A? una matriz generada a partir de A; donde las columnas de las variables en la base sea vectores elementales, entonces A? = B

1

A y el vector z se define como: z = cB A? = cB B

por lo cual el cambio producido en el vector de costos es c˜ = c

z

al sustirur z c˜ = c

cB B

1

A

al sustirur c = [cB | cN ] y A por [B | N ] 1

c˜ = [cB | cN ]

cB B

c˜ = [cB | cN ]

cB [I | B

c˜ = [cB | cN ]

[B | N ]

[cB | cB B

c˜ = [0 | cN

1

cB B

1

N]

1

N]

N]

y por tanto el cambio producido en el costo de la j ´esima variable es c˜j = cj

cB B

154

1

aj

1

A,

Con base en la informaci´ on anterior se puede construir el tablero simplex. En la Tabla 4.30 se muestra la estructura general del tablero simplex.

Cuadro 4.30: Estructura de tablero simplex variable

cB

xB

c0B

x1

x2

...

1

B

c˜

c˜1

c˜2

b

xn

A

B

...

c˜n

1

b

z

Con objeto de explicar lo anterior considere los siguientes ejemplos: Ejemplo 4.6 Considerar el siguiente problema: m´ax z = 9x1

3x2

sujeto a: x1

x2  1

3x1 + x2  6 x1 , x 2

0

Iteraci´ on 1 ˜ PASO 1 se escribe el modelo en forma estA¡ndar y determinar su forma matricial: m´ax z = 9x1

3x2

sujeto a: x1

x2 + x3 = 1

3x1 + x2 + x4 = 6 x1 , x 2 , x 3 , x 4

155

0

Forma matricial del modelo anterior es la siguiente: 2

3 x 6 1 7 6 7 6 7 6 x2 7 6 7 3 0 0] 6 7 6 x3 7 6 7 4 5 x4

m´ax z = [9

2

6 1 4 3

1 1

sujeto a: 2 x1 36 6 6 1 0 7 6 x2 56 6 0 1 6 6 x3 4 x4 x

0

3

7 2 3 7 7 7 6 1 7 7=4 5 7 7 6 7 5

Paso 2 Construr la matriz B y su inversa. (Recuerde que incialmente las variables que forman la base inicial son las varriables de holgura o las artificiales)

2

6 1 B=4 0

B = [x3 x4 ] 3

0 7 5)B 1

1

2

6 1 =4 0

3 0 7 5 1

Paso 3 Determinar cB , A? , xB y z a trav´es de operaciones matriciales. El vector cB se forma por los coeficiente en la funci´on objetivo asociados a las varibales b´ asicas cB = [0 0] Determinaci´ on de la matriz A? 2

6 1 A? = B 1 A = 4 0

Determinaci´ on del vector xB

xB = B

32 0 76 1 54 1 3

1

2

6 1 b=4 0

1 1

3 2 0 7 6 1 5=4 0 1 3

1

32

3

2

1 1 3

0 76 1 7 6 1 7 54 5=4 5 6 1 6 156

3 0 7 5 0 1

1

Determinaci´ on de z z = cB B

1

2

3

6 1 7 b = cB xB = [0 0] 4 5=0 6

Paso 4 Determinar c˜ y realizar la prueba de optimalidad en sus elementos. c˜ = c c˜ = [9

1

cB B

3 0 0] c˜ = [9

c B A?

A=c 2 6 1 [0 0] 4 3

3 0 0]

c˜ = [9

1

3 0 7 5 0 1

1

1

[0 0 0 0]

3 0 0]

Lo anterior se puede simplificar s´ olo calculando c˜j para las variables no b´asicas.

c˜j = cj variable x1 c˜1 = 9 variable x2 c˜1 =

3

cB B 2

1

aj

3

6 1 7 [0 0] 4 5=9 3 2

3 1 6 7 [0 0] 4 5= 1

Al realizar la prueba de optimalidad (en maximizaci´on c

0=9

3

0=

3

z  0 y en minimizaci´on c

z

0 ) sobre

c˜ se observa que no se satisface por el elemento c˜1 , pues c˜1 = 9, por lo tanto la soluci´on actual no es optima. ´ Paso 5 Determinar la variable que entra de la base. Si se utiliza el criterio del m´ aximo gradiente se identifica en los elementos de c˜ que no satisfacen el criterio de paro; ente estos valores se busca aquel que represente el gradiente m´aximo (el valor m´ as positivo si es un problema de maximizaci´on o el valor m´as negativo si es un problema de minimizaci´ on). La variable que entra a la base es aquella asociada a valor de maximo gradiente. Ya que c˜ = [9

3 0 0] el valor con el maximo gradiente es c˜1 ; por lo tanto x1 entra a la base.

Paso 6 Determinar la variable que sale de la base; para ello se debe recordar que la variable que sale de la base es aquella que tienda m´as rapido a 0. 157

La variable que sale de la base es la asociada al m´ın ✓ = m´?ın

ai,j >0

2

(

xBi,1 a?i,j

3

)

2

3

6 1 7 6 1 7 ya que los elementos xB y a?j son: xB = 4 5 y a?1 = 4 5. Entonces los cocientes 6 3 los siguientes:

m´ın

ai,j >0

(

xBi,1 a?i,j

)

= m´ın

ai,j >0

⇢

1 6 , 1 3

xBi,1 a? i,j

son

= m´ın{1, 2} = 1

Puesto que el minimo elemento ✓ se asocia con x3 , entonces se concluye que la variable que sale de la base es x3 . Paso 7 Construr la nueva matriz B y su inversa. En la nueva base la variable que entra sustitye a la variable que sale de la base. En nuestro ejemplo, para esta iteraci´on la variable x3 sale de la base y es substituida por la vaiable x1 ; por lo tanto B = [x1 x4 ] Tomando de A los vectores columnas asociado a x1 y x4 se contruye B. 2 3 6 1 0 7 B=4 5 3 1 La inversa de B es

B

1

2

6 1 =4 3

3 0 7 5 1

Paso 8 Regresar al paso 3, hasta cumplir la prueba de optimalidad considerada en el paso 4. Iteraci´ on 2 Paso 3 Determinar cB , A? , xB y z a trav´es de operaciones matriciales. El vector cB se forma por los coeficiente en la funci´ on objetivo asociados a las varibales b´asicas cB = [9 0] Determinaci´ on de la matriz A?

158

A? = B

1

2

32

6 1 A=4 3

0 76 1 54 1 3

Determinaci´ on del vector xB

xB = B Determinaci´ on de z

1

1 1

2

1

2

3

2

0 7 6 1 5=4 0 1 0

32

6 1 b=4 3

3

1 4

3

1

0 7 5 1

3

3

0 76 1 7 6 1 7 54 5=4 5 1 6 3 2

3 1 6 7 z = cB B 1 b = cB xB = [9 0] 4 5=9 3

Paso 4 Determinar c˜ y realizar la prueba de optimalidad en sus elementos.

c˜ = c c˜ = [9

1

A = c c B A? 2 1 1 6 1 [9 0] 4 0 4 3

cB B

3 0 0] c˜ = [9

3 0 0] c˜ = [0 6

[9

9 9 0]

3 0 7 5 1

9 0]

se observa que no se satisface el criterio de optimalidad ya que c2 = 6. Paso 5 Determinar la variable que entra a la base. Al analizar c˜ = [0 6

9 0] se observa a que

el m´ aximo gradiente es c2 = 6, por lo tanto la variable que entra a la base es x2 . Paso 6 Determinar la variable que sale de 2 la 6 1 Ya que los elementos xB y a?j son: xB = 4 3 los siguientes:

m´ın

ai,j >0

(

xBi,1 a?i,j

)

= m´ın

ai,j >0

⇢

base. 3

2

3

7 6 1 7 5 y a?2 = 4 5. Entonces los cocientes 4

1 3 , 1 4

xBi,1 a? i,j

son

= m´ın{1, 0,75} = 0,75

Puesto que el minimo elemento ✓ se asocia con x4 , entonces se concluye que la variable que sale de la base es x4 . Paso 7 Construr la nueva matriz B y su inversa. En nuestro ejemplo, para esta iteraci´ on la variable x4 sale de la base y es substituida por la vaiable x2 ; por lo tanto B = [x1 x2 ] 159

Tomando de A los vectores columnas asociado a x1 y x2 se contruye B. 2 3 1 1 6 7 B=4 5 3 1 La inversa de B es

1

B

2

1 4

6 =4

1 4

3 4

1 4

3 7 5

Paso 8 Regresar al paso 3, hasta cumplir la prueba de optimalidad considerada en el paso 4. Iteraci´ on 3 Paso 3 Determinar cB , A? , xB y z a trav´es de operaciones matriciales. El vector cB se forma por los coeficiente en la funci´ on objetivo asociados a las varibales b´asicas cB = [9

3]

Determinaci´ on de la matriz A?

A? = B

1

2

6 A=4

1 4

1 4

3 4

1 4

Determinaci´ on del vector xB

xB = B

1

Determinaci´ on de z z = cB B

1

32

76 1 54 3 2

1

6 b=4

1

32

1 4

3 4

2

0 7 6 1 5=4 0 1 0

1

1 4

3

3

2

0

0,25

1

0,75 3

7 6 1 7 6 1,75 7 54 5=4 5 6 0,75

1 4

2

3 1,75 6 7 3] 4 5 = 13,5 0,75

b = cB xB = [9

Paso 4 Determinar c˜ y realizar la prueba de optimalidad en sus elementos.

c˜ = [9

c˜ = c

cB B

3 0 0]

[9

c˜ = [9

1

A = c j c B A? 2 6 1 0 0,25 3] 4 0 1 0,75

3 0 0]

[9

c˜ = [0 0 160

3 4,5 1,5]

4,5 1,5]

3 0,25 7 5 0,25

3

0,25 7 5 0,25

z  0 y es un problema de maximizaci´ on,

Como todos los elementos en c˜ satisfacen que c entonces se determina que la soluci´on es ´optima. Ejemplo 4.7 Considerar el siguiente problema: m´ın z =

9x1 + 3x2 + 9x3 sujeto a:

x1

x2  0

3x1 + x2  6 x2 + 4x3  2 x1 , x 2

0

Iteraci´ on 1 ˜ Paso 1Pasar a forma estA¡ndar y contruir la forma matricial del modelo. ˜ Forma estA¡ndar m´ın z =

9x1 + 3x2 + 9(x03

x003 )

sujeto a: x1

x2 + x4 = 0

3x1 + x2 + x5 = 6 x2 + 4(x03 + x003 ) + x6 = 2 x1 , x2 , x03 , x003 , x4 , x5 x6

161

0

Forma matricial

2

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 9 0 0 0] 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4

m´ın z = [ 9 3 9

sujeto a:

2

1 6 6 6 3 6 4 1

1

0

0

1

0

0

0

4

2

6 6 6 6 36 6 1 0 0 6 76 76 6 0 1 0 7 76 56 6 0 0 1 6 6 6 6 6 6 4

4

x

0

3

x1 7 7 7 x2 7 7 7 0 7 x3 7 7 7 00 7 x3 7 7 x4 7 7 7 7 x5 7 7 5 x6 3

x1 7 7 7 x2 7 7 2 3 7 0 7 x3 7 0 7 7 6 7 7 6 00 7 = 6 x3 7 6 6 7 7 5 7 4 x4 7 2 7 7 7 x5 7 7 5 x6

Paso 2 Construr la matriz B y su inversa. (Recuerde que incialmente las variables que forman la base inicial son las varriables de holgura o las artificiales) B = [x4 x5 x6 ] 2

1

6 6 B=6 6 0 4 0

Paso 3 Determinar cB , A? , xB y z.

0 1 0

0

3

7 7 0 7 7)B 5 1

1

2

1

6 6 =6 6 0 4 0

0 1 0

0

3

7 7 0 7 7 5 1

El vector cB se forma por los coeficiente en la funci´on objetivo asociados a las varibales b´ asicas cB = [0 0 0] Determinaci´ on de la matriz A?

162

?

A =B

1

2

1

6 6 A=6 6 0 4 0

0 1 0

0

32

1

1

76 76 6 0 7 76 3 54 1 1

0

0

1

0

0

0

4

4

1

0

3

0

2

1

1

7 6 7 6 6 0 1 0 7 7=6 3 5 4 0 0 1 1

0

0

1

0

0

0

4

4

1

0

0

3

7 7 0 1 0 7 7 5 0 0 1

Determinaci´ on del vector xB

xB = B

1

2

1

6 6 b=6 6 0 4 0

0 1 0

0

32

z = cB B

3

2

3

0

76 7 6 7 76 7 6 7 7 6 7 6 0 76 6 7 = 6 6 7 7 54 5 4 5 1 2 2

Determinaci´ on de z 1

0

2

0

3

6 7 6 7 6 b = cB xB = [0 0 0] 6 6 7 7=0 4 5 2

Paso 4 Determinar c˜ y realizar la prueba de optimalidad en sus elementos. c˜ = c

c˜ = [ 9 3 9

9 0 0 0]

c˜ = [ 9 3 9

A = c j c B A? 2 1 1 0 0 6 6 [0 0 0] 6 6 3 1 0 0 4 1 0 4 4

cB B

1

9 0 0 0]

c˜ = [ 9 3 9

[0 0 0 0 0 0 0]

1

0

0

3

7 7 0 1 0 7 7 5 0 0 1

9 0 0 0]

Al realizar la prueba de optimalidad sobre c˜ se observa que no se satisface en los elementos c˜1 =

9 y c˜003 =

9, por lo tanto la soluci´on actual no es ´optima.

Paso 5 Determinar la variable que entra de la base. Si se utiliza el criterio del m´ aximo gradiente en este caso se en este caso se b´ usca el valor m´ as negativo en los elementos de c˜ que no satisfacen el criterio de paro; dichos elementos son: c˜1 = c˜003 =

9y

9. Ya que, hay un empate, ´este se debe romper de forma arbitraria, por lo que se selecciona

como variable que entra a la base a x003 Paso 6 Determinar la variable que sale de la base

163

La variable que sale de la base es la asociada al m´ın ✓ = m´?ın

ai,j >0

a?j

ya que los elementos xB y

conciente

xBi,1 a? i,j

son: xB

2

0

(

xBi,1 a?i,j

)

3

2

3

0

6 7 6 7 6 7 6 7 ? 6 7 6 = 6 6 7 y a300 = 6 0 7 un 7. Se puede observar ning´ 4 5 4 5 2 4

se puede calcular, ya que todos los elementos de a?300 son negativos o cero.

Puesto que no se puede determinar la variable que sale de la base, entonces se concluye que el problema es no acotado y se para el algoritmo.

4.8.

Recontruyendo el tablero inicial

La matriz inversa de la base se puede identificar del tablero actual como una submatriz, de la matriz A, cuadrada de tama˜ no m; la cual se forma por las columnas donde inicialmente se encontraba la matriz identidad. Dicho en otras palabras, la B

1

se forma por las columnas asociadas a las

variables que estaba en la base inicial. Para explicar lo anterior considerese el siguiente ejemplo: Ejemplo 4.8 A continuaci´ on, se muestra la soluci´on ´optima de un problema del tipo maximizar, en el cual las variables x4 y x5 son variables de holguara. Determine: la matriz inversa B

1

, B contruya el tablero

original.

Cuadro 4.31: Cuarto tablero simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

b

x3

c3

1

0

1

2

5

100

x2

c2

1

1

0

1

4

50

-1

-4

0

0

-1

-2

z

200 3

Ya que x4 y x5 son variables de holgura, entonces se sabe que la base inicial (matriz identidad) 164

se conformaba por estas variables. Por lo tanto:

1

1

)

= B, entonces:

Recordando que A? = B

1

2

A, b? = B

6 B=4 1

3 5 7 5 4

6 2 =4 1

1

B

Ya que (B

2

4 3

5 3

1 3

2 3

3 7 5

b , entonces:

BA? = BB

1

A

BA? = IA BA? = A Bb? = BB

1

b

Bb? = Ib Bb? = b Al sustituir valores se obtiene: 2

6 A=4

4 3

5 3

1 3

2 3

2

6 A=4 2

6 b=4

[

4

4

0

0

0 [

76 1 54 1

1 3

4 3

5 3

1 3

2 3

0

1

2

1

0

1

5 3

4 3

1

2 3

1 3

0

32

3

0 7 5 1

3 5 7 5 4

3 2 3 100 50 76 7 6 7 54 5=4 5 50 0

cB A? , entonces al substituir valores se obtiene:

Ya que c˜ = c

[

1 3

32

0

1 4

0

2 ] = [ c1

1

2 ] = [ c1 0

1

c2

c3

2 ] = [ c1

c2

c3

0 ]

0 c3

0 ]

0

c2

165



6 1 [c3 c2 ] 4 1

c3 + c2 0

0

2

0

1

2

1

0

1

c2

c3

2c3 + c2

2c3

c2

5c3

3

5 7 5 4 5c3 + 4c2

4c2 ]

De lo anterior, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: 4 = c1

c3

c2

1=

2c3

c2

2=

5c3

4c2

c1 + c3 + c2 = 4 2c3 + c2 = 1 5c3 + 4c2 = 3 Al resolver el sistema, de ecuaciones anterior, se obtiene: c1 =

10 3

c2 =

2 3

c3 =

1 3

Con la informaci´ on abterior se puede contruir el tablero siguiente:

Cuadro 4.32: tablero simplex inicial

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

b

x4

0

- 13

- 53

4 3

1

0

50

x5

0

1 3

2 3

- 13

0

1

0

-1

- 10 3

2 3

1 3

0

0

0

z

166

Cap´ıtulo 5

Soluci´ on inicial y convergencia 5.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo se abordaran aquellos problemas donde no se tiene una sloluci´on factible inical; por ende se requiere de utilizar un trbajo previo a fin de alcanzarla y poder aplicar el algoritmo simplex. Estos problemas son aquellos problemas donde se agregan variables artificiales, es decir son aquellos problemas con resticciones del tipo

o =. En esta secci´on se revisan el m´etodo de las dos

fases y el m´etodo de la gran “M”.

5.2.

¿C´ omo se obtiene una soluci´ on basica factible inicial?

En el caso que el conjunto de restricciones del problema sean del Ax  b, la soluci´on basica factible inicial se contruye con las variables de holgura agregadas a las resticciones. Sin embargo cuando el sistema de restricciones es Ax

b, se agregan variables de exeso y artificialaes, en este

caso las variables artificiales desempe˜ nan una funci´on similar a las variables de holgura, ya que proporcionan una variable b´ asica inicial al agregarse a aquellas restricciones que no tenga variables b´ asicas iniciales evidentes (resticiones del tipo

e =). Esta variable desempe˜ na la misma funci´ on

que una variable de holgura, al proporcionar una variable b´asica inicial para una soluci´on b´ asica inicial. Como se menciono anteriormente las variables artificiales no tienen sentido f´ısico y por lo

167

tanto se b´ usca que estas asuman un valor igual a cero en la soluci´on final, de lo contrario, la soluci´ on resultante no factible.

5.3.

El m´ etodo de las dos fases

Como su nombre lo indica, consiste resolver la instancia de interes en dos etapas o fases. En P la primera fase se busca minimizar la suma de las variables artificiales (m´ın x↵ i ); sujeto a: Ax + Ix↵ = b, x

0 y x↵

0; si el valor ´optimo para este problea es cero y todas las variable

artificiales toman un valor igual a cero entonces la instancia original tiene una soluci´on factible, por lo que se procede con la segunda fase, en la cual se aplica el algoritmo siplex; en contraste, si al resolver este problema se determina que alguna variable artificial es positiva entonces el problema original no tiene soluci´ on, por lo que se da por teminado el agoritmo. En la segunda fase se inicia con base en el tablero final de la primera fase, se retoma la funci´on objetivo de la instancia original, haciendo todas las variables artificiales iguales a cero y se las columnas asociadas del tablero. En el algoritmo 2 se mestra el pseudocodigo del algortmo de dos fases.

5.3.1.

FASE 1

En esta primera fase, el objetivo es minimizar la suma de las variables artificiales. Al terminar la primera fase pueden ocurrir dos casos: la funci´on toma un valor 0, lo cual significa, que el problema original tiene soluci´ on basica factible; en contraste si el valor de la funci´on objetivo toma un valor distinto, indica que el problema no tiene soluci´on basica factible. Se pueden clasificar a los problema en funci´on de la soluci´on obtenida de la primera fase en : Problemas factibles • Problemas no redundantes • Problemas redundantes Problemas infactibles

168

Algorithm 2: Algoritmo de las dos fases 1

infactible= N O

2

redundante= N O

3

Pasar el modelo a forma estandar.

4

Construir el tablero correspondiente

5

Agregar como ultima del tablero un vectro hilera denomindo “⇠”, en el cual sus elementos son 1 si la i ´esima variable es una variable artificial y 0 si la i ´esima variable no es una variable artificial.

6

Por medio de operaciones elementales entre hilera volver a las columnas asociadas a la b´ase en vectores columnas elementales.

7

Fase I

8

Aplicar el algoritmo simplex para minimizar ⇠ = ⇠ como el vector objetivo.

9

P

x↵ i , cosidere para ello que tomar el vector

if ⇠ > 0 then

10

infactible= SI

11

Terminar el algoritmo, ya que el problema es infactible.

12 13

else if alguna variable artificial esta en la base then

14

redundante= SI

15

El problema es redundate, por lo que se eliminan las hileras correspondientes en el tablero.

16

end

17

Borrar las columnas asociadas a las variables artificiales.

18

Borar la hilera ⇠

19

Fase II

20

Aplicar el algoritmo simplex sobre el tablero resultante considerando el objetivo original.

21

end

169

5.3.2.

FASE 2

En el caso que el problema tenga una soluci´on basica factible se utiliza la soluci´on encontrada en la primera fase como punto de partida para la segunda fase. Para lo cual se eliminan los vectores columna de las variables artificiales y el vector auxiliar xi del tablero de la primera fase. En los siguiente ejemplos se ilustra el funcionamiento del algoritmo de las dos fases. Problemas factibles Problemas no redundantes Ejemplo 5.1 Se desea encontrar la soluci´ on ´ optima del siguiente problema: m´ax 4x1 + 5x2

3x3

sujeto a: 4x1 + 2x2

x4  14

5x2

15

3x3

x1 + x2 + x3 + x4 = 10 x1 , x 2 , x 3 , x 4

0

Paso 1 y 2 infactible= N O y redundante= N O. Paso 3 Pasar el problema a forma estandar. m´ax 4x1 + 5x2

3x3

sujeto a: 4x1 + 2x2

x4 + x5 = 14

5x2

x6 + x↵ 7 = 15

3x3

x1 + x2 + x3 + x4 + x↵ 8 = 10 ↵ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x ↵ 7 , x8

0

Paso 4 Construir el tablero correspondiente. Recuerdese la base del tablero inicial s´olo puede conformarse con variables do holgura o variables artificiales. En este problema las variables de la base ↵ inicial son x5 , x↵ 7 y x8 (ver tablero 5.1).

Paso 5 Agregar el vector ⇠ al tablero inicial (ver tablero 5.2). 170

Cuadro 5.1: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

x5

0

4

2

0

-1

1

0

0

0

14

x↵ 7

0

0

5

-3

0

0

-1

1

0

15

x↵ 8

0

1

1

1

1

0

0

0

1

10

-1

4

5

-3

0

0

0

0

0

0

c

z

Cuadro 5.2: Tablero inicial

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

x5

0

4

2

0

-1

1

0

0

0

14

x↵ 7

0

0

5

-3

0

0

-1

1

0

15

x↵ 8

0

1

1

1

1

0

0

0

1

10

-1

4

5

-3

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

z ⇠

Paso 6 Por medio de operaciones elementales entre hilera volver a las columnas asociadas a la b´ ase en vectores columnas elementales. Para eliminar los unos que estan en el vector ⇠ y la columna de las variables artificaiales se resta al vector ⇠ la suma de los vectores hilera asociados a las variables artificiales. Suma de los vectores hileras asociados a variables artificiales +

x↵ 7

0

5

-3

0

0

-1

1

0

15

x↵ 8

1

1

1

1

0

0

0

1

10

↵ x↵ 7 + x8

1

6

-2

1

0

-1

1

1

25

↵ Restar al vector ⇠ el vector x↵ 7 + x8

⇠

0

0

0

0

0

0

1

1

0

↵ x↵ 7 + x8

1

6

-2

1

0

-1

1

1

25

⇠

-1

-6

2

-1

0

1

0

0

-25

Se sustituye el antiguo vector ⇠ por el nuevo vector ⇠ (ver tablero 5.3). 171

Cuadro 5.3: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

x5

0

4

2

0

-1

1

0

0

0

14

x↵ 7

0

0

5

-3

0

0

-1

1

0

15

x↵ 8

0

1

1

1

1

0

0

0

1

10

-1

4

5

-3

0

0

0

0

0

0

-1

-6

2

-1

0

1

0

0

-25

c

z ⇠

Fase I

Paso 8 Aplicar el algoritmo para minimizar ⇠ = iteraci´ on 1

P

x↵ i

Determinamos si la soluc´ on actual es optima Aplicamos el criterio de paro sobre los elementos ⇠. La soluci´ on ser´ a´ optima si todos los elementos en ⇠ son mayores e iguales a cero (ver tablero 5.4).

Cuadro 5.4: Determinar si la soluci´on actual es optima ⇠

-1

-6

2

-1

0

1

0

0

cumple el criterio de paro

No

NO

Si

No

Si

Si

Si

Si

-25

Determinar la variable que entra y la que sale de la base. Ya que x2 es la variable que tiene el elemento m´ as negativoe en ⇠, esta variable es la que debe entrar a la base. Por otra parte, x↵ 7 es la variable asociada el menor valor de ✓, por lo cual esta variable es la que debe salir de la base (ver tablero 5.5). Construir el nuevo tablero simplex. Veas´e tablero 5.6.

172

Cuadro 5.5: Variable que sale de la base y variable que entra a la base xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

✓

x5

0

4

2

0

-1

1

0

0

0

14

7

x↵ 7

0

0

5

-3

0

0

-1

1

0

15

3

x↵ 8

0

1

1

1

1

0

0

0

1

10

10

-1

4

5

-3

0

0

0

0

0

0

-1

-6

2

-1

0

1

0

0

-25

c

z ⇠

Cuadro 5.6: Tablero primera iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

x5

0

4

0

1.2

-1

1

0.4

-04

0

8

x2

5

0

1

-0.6

0

0

-0.2

0.2

0

3

x↵ 8

0

1

0

1.6

1

0

0.2

-0.2

1

7

-1

4

0

0

0

0

1

-1

0

-7

-1

0

-1.6

-1

0

-0.2

1.2

0

-7

z ⇠

iteraci´ on 2 Determinamos si la soluc´ on actual es optima. Veas´e tablero 5.7.

Cuadro 5.7: Determinar si la soluci´on actual es optima ⇠

-1

0

-1.6

-1

0

-0.2

1.2

0

cumple el criterio de paro

No

Si

No

No

Si

No

Si

Si

-7

Determinar la variable que entra y la que sale de la base. Veas´e tablero 5.8. Construir el nuevo tablero simplex. En el tablero 5.9 se muestra el tablero correspondiente a la segunda iteraci´ on del algoritmo simplex. Determinar si la soluc´ on actual es optima Veas´e tablero 5.10. Todos los elementos ⇠ son

173

Cuadro 5.8: Tablero primera iteraci´on xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

✓

x5

0

4

0

1.2

-1

1

0.4

-04

0

8

20 3

x2

5

0

1

-0.6

0

0

-0.2

0.2

0

3

x↵ 8

0

1

0

1.6

1

0

0.2

-0.2

1

7

-1

4

0

0

0

0

1

-1

0

-7

-1

0

-1.6

-1

0

-0.2

1.2

0

-7

c

z ⇠

35 8

Cuadro 5.9: Tablero segunda iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x↵ 7

x↵ 8

b

x5

0

3.25

0

0

-1.75

1

0.25

-0.25

-0.75

2.75

x2

5

0.375

1

0

0.375

0

-0.125

0.125

0.375

5.625

x3

-3

0.625

0

1

0.625

0

0.125

-0.125

0.625

4.375

-1

4

0

0

0

0

1

-1

0

-15

0

0

0

0

0

0

1

1

0

z ⇠

Cuadro 5.10: Determinar si la soluci´on actual es optima ⇠

0

0

0

0

0

0

1

1

cumple el criterio de paro

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

Si

0

mayores o iguales que cero, por lo cual, se determina que la soluci´on actual es ´optima. Paso 9 ¿⇠ > 0? Ya que el valor de ⇠ = 0 se determina que el problema tiene soluciones factibles, es decir el problema es factible. Paso 13 ¿Existe una variable en la base? En la base no existen variables artificiales, por lo cual, se puede decir que el problema actual no es redundante. Paso 17 Borrar las columnas asociadas a las variables artificales. Del tablero final se eliminan las columnas asociadas a las variables artificiales. Veas´e tablero 5.11.

174

Cuadro 5.11: Eliminar columnas artificiales del tablero xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x5

0

3.25

0

0

-1.75

1

0.25

2.75

x2

5

0.375

1

0

0.375

0

-0.125

5.625

x3

-3

0.625

0

1

0.625

0

0.125

4.375

-1

4

0

0

0

0

1

-15

0

0

0

0

0

0

0

c

z ⇠

Paso 18 Borrar la hilera ⇠ del Tablero En el tablero 5.12, se muestra el tablero obtenido mediante la primera fase.

Cuadro 5.12: Eliminar hilera ⇠ del tablero

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x5

0

3.25

0

0

-1.75

1

0.25

2.75

x2

5

0.375

1

0

0.375

0

-0.125

5.625

x3

-3

0.625

0

1

0.625

0

0.125

4.375

-1

4

0

0

0

0

1

-15

z

Fase II

Paso 20 Aplicar el algoritmo simplex sobre el tablero resultado de la primera fase. El tablero resultado de la primera fase da una soluci´on factible inicial, la cual ser´a como punto de partida para aplicar el agoritmo simplex. iteraci´ on 1

Determinar si la soluci´ on actual es optima. Sobre los elementos de la hilera c

z se aplica

el criterio de parada, se considera el objetivo del problema que se esta resolviendo. En este problema, ya que el objetivo es maximizar, se b´ usca que todos los elementos en c

175

z sean negativos o cero (ver

tablero 5.13)

Cuadro 5.13: Prueba de optimalidad c

z

-1

cumple el criterio de paro

4

0

0

0

0

1

No

Si

Si

Si

Si

No

-15

Determinar la variable que entra a la base y la que sale de la base En el tablero 5.14 se muestra que la variable x1 es la que entra a la base y que la variable x5 debe salir de la base

Cuadro 5.14: Determinaci´ on de la variable que entra y la variable que sale en la primera iteraci´ on xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

✓

x5

0

3.25

0

0

-1.75

1

0.25

2.75

0.846153

x2

5

0.375

1

0

0.375

0

-0.125

5.625

15

x3

-3

0.625

0

1

0.625

0

0.125

4.375

7

-1

4

0

0

0

0

1

-15

c

z

Construir el nuevo tablero simplex. En el tablero 5.15 se muestra el tablero correspondiente a la primera iteraci´ on del algoritmo simplex.

Cuadro 5.15: Tablero primera iteraci´on del simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x1

4

1

0

0

7 - 13

4 13

1 13

11 13

x2

5

0

1

0

15 26

3 - 26

2 - 13

4 5 13

x3

-3

0

0

1

25 26

5 - 26

1 13

3 11 13

-1

0

0

0

2 2 13

3 -1 13

9 13

5 -18 13

z

iteraci´ on 2

176

Determinar si la soluci´ on actual es optima En la tabla 5.16 se muetra si se cumple el criterio de paro en los elementos c

z

Cuadro 5.16: Prueba de optimalidad c

z

-1

cumple el criterio de paro

0

0

0

2 2 13

3 -1 13

9 13

Si

Si

Si

No

Si

No

5 -18 13

Determinar la variable que entra a la base y la que sale de la base En el tablero 5.17 se muestra que la variable x4 es la que entra a la base y que la variable x3 sale de la base.

Cuadro 5.17: Tablero primera iteraci´on del simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

✓

x1

4

1

0

0

7 - 13

4 13

1 13

11 13

25

x2

5

0

1

0

15 26

3 - 26

2 - 13

4 5 13

x3

-3

0

0

1

25 26

5 - 26

1 13

3 11 13

-1

0

0

0

2 2 13

3 -1 13

9 13

5 -18 13

z

50

Construir el nuevo tablero simplex. En el tablero 5.18 se muestra el tablero correspondiente a la segunda iteraci´ on del algoritmo simplex.

Cuadro 5.18: Tablero segunda iteraci´on del simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x1

4

1

0

14 25

0

1 5

3 25

3

x2

5

0

1

- 35

0

0

- 15

3

x4

0

0

0

1 1 25

1

- 15

2 25

4

-1

0

0

6 -2 25

0

- 45

13 25

-27

z

177

iteraci´ on 3

Determinar si la soluci´ on actual es optima En la tabla 5.19 se muetra si se cumple el criterio de paro en los elementos c

z

Cuadro 5.19: Prueba de optimalidad c

z

-1

cumple el criterio de paro

0

0

6 -2 25

0

- 45

13 25

Si

Si

Si

Si

Si

No

-27

Determinar la variable que entra a la base y la que sale de la base En el tablero 5.20 se muestra que la variable x6 es la que entra a la base y que la variable x1 sale de la base.

Cuadro 5.20: Tablero segunda iteraci´on del simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x1

4

1

0

14 25

0

1 5

3 25

3

x2

5

0

1

- 35

0

0

- 15

3

x4

0

0

0

1 1 25

1

- 15

2 25

4

-1

0

0

6 -2 25

0

- 45

13 25

-27

z

Construir el nuevo tablero simplex. En el tablero 5.21 se muestra el tablero correspondiente a la segunda iteraci´ on del algoritmo simplex. iteraci´ on 4 Determinar si la soluci´ on actual es optima En la tabla 5.22 se muetra si se cumple el criterio de paro en los elementos c

z

Ya que se satisface el criterio de paro, se puede concluir que la soluci´on actual es ´optima.

178

Cuadro 5.21: Tablero tercera iteraci´on del simplex

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x5

x6

b

x6

0

8 13

0

4 23

0

1 23

1

25

x2

5

1 23

1

1 3

0

1 3

0

8

x4

0

- 23

0

2 3

1

- 13

0

2

-1

-4 13

0

-4 23

0

-1 23

0

-40

z

Cuadro 5.22: Prueba de optimalidad c

z

-1

cumple el criterio de paro

-4 13

0

-4 23

0

-1 23

0

Si

Si

Si

Si

Si

Si

-40

Ejemplo 5.2 Se desea encontrar la soluci´ on ´ optima del siguiente problema: m´ax x1 + 5x2 sujeto a: x1

4

x1 + x2

6

x1 , x 2

0

Paso 1 y 2 infactible= N O y redundante= N O. Paso 3 Pasar el problema a forma estandar. m´ax x1 + 5x2 sujeto a: x1 x1 + x2

x3 + x↵ 4 =4 x5 + x↵ 6 =6

↵ x1 , x 2 , x 3 , x ↵ 4 , x5 , x6

0

Paso 4 y 5 Construir el tablero correspondiente. Recuerdese la base del tablero inicial s´olo puede

179

conformarse con variables do holgura o variables artificiales. En este problema las variables de la ↵ base inicial son x↵ as se agrega el vector hilera ⇠; veas´e tablero 5.23. 4 y x6 . Adem´

Cuadro 5.23: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x3

x↵ 4

x5

x↵ 6

b

x↵ 4

0

1

0

-1

1

0

0

4

x↵ 6

0

1

1

0

0

-1

1

6

-1

1

5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

c

z ⇠

Paso 6 Por medio de operaciones elementales entre hilera volver a las columnas asociadas a la b´ ase en vectores columnas elementales. Para eliminar los unos del vector ⇠ se resta este vector la suma de los vectores hilera asociados a las variables artificiales, veas´e tablero 5.24.

Cuadro 5.24: Tablero inicial

c

xB

cB

x1

x2

x3

x↵ 4

x5

x↵ 6

b

x↵ 4

0

1

0

-1

1

0

0

4

x↵ 6

0

1

1

0

0

-1

1

6

-1

1

5

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

z ⇠

Paso 8 Aplicar el algoritmo para minimizar ⇠ iteraci´ on 1 (ver tablero 5.25) iteraci´ on 2 (ver tablero 5.26) Paso 9 ¿⇠ > 0? En el Tablero 5.26 se puede observar que ya se ha satisfecho el criterio de paro. Ya que el valor de ⇠ = 0 se determina que el problema tiene soluciones factibles, es decir el problema es factible. Paso 13 ¿Existe una variable en la base? En la base no existen variables artificiales.

180

Cuadro 5.25: Tablero primera iteraci´on xB

cB

x1

x2

x3

x↵ 4

x5

x↵ 6

b

x1

0

1

0

-1

1

0

0

4

x↵ 6

0

0

1

1

-1

-1

1

2

-1

0

5

1

-1

0

0

-4

0

-1

-1

2

1

0

-2

c

z ⇠

Cuadro 5.26: Tablero segunda iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x↵ 4

x5

x↵ 6

b

x1

0

1

0

-1

1

0

0

4

x2

0

0

1

1

-1

-1

1

2

-1

0

0

-4

4

5

-5

-14

0

0

0

1

0

1

0

z ⇠

Paso 17 Borrar las columnas asociadas a las variables artificales. Del tablero final se eliminan las columnas asociadas a las variables artificiales. Veas´e tablero 5.27.

Cuadro 5.27: Tablero segunda iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x5

b

x1

0

1

0

-1

0

4

x2

0

0

1

1

-1

2

-1

0

0

-4

5

-14

0

0

0

0

0

z ⇠

Paso 18 Borrar la hilera ⇠ del Tablero En el tablero 5.28, se muestra el tablero obtenido mediante la primera fase. Paso 20 Aplicar el algoritmo simplex sobre el tablero resultado de la primera fase.

181

Cuadro 5.28: Tablero segunda iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x5

b

x1

0

1

0

-1

0

4

x2

0

0

1

1

-1

2

-1

0

0

-4

5

-14

z

El tablero resultado de la primera fase da una soluci´on factible inicial, la cual ser´a como punto de partida para aplicar el agoritmo simplex. En el tablero 5.28, se observa que debe salir la variable x3 , sin embargo no se puede determinar la varible que debe salir de la base por lo tanto el problema es no acotado.

Problemas redundantes Ejemplo 5.3 Se desea encontrar la soluci´ on ´ optima del siguiente problema: m´ın 4x1 + 5x2 sujeto a: x1 + 2x2 = 4 7x1 + 14x2 = 28 x1 , x 2

0

Paso 1 y 2 infactible= N O y redundante= N O. Paso 3 Pasar el problema a forma estandar. m´ın 4x1 + 5x2 sujeto a: x1 + 2x2 + x↵ 3 =4 7x1 + 14x2 + x↵ 4 = 28 x1 , x 2 , x 3 , x 4 182

0

Paso 4 y 5 Construir el tablero correspondiente. Recuerdese la base del tablero inicial s´olo puede conformarse con variables do holgura o variables artificiales. En este problema las variables de la ↵ base inicial son x↵ as se agrega el vector hilera ⇠; veas´e tablero 5.29. 3 y x4 . Adem´

Cuadro 5.29: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x↵ 3

x↵ 4

b

x↵ 3

0

1

2

1

0

4

x↵ 4

0

7

14

0

1

28

-1

4

5

0

0

0

0

0

1

1

0

c

z ⇠

Paso 6 Por medio de operaciones elementales entre hilera volver a las columnas asociadas a la b´ ase en vectores columnas elementales. Para eliminar los unos del vector ⇠ se resta este vector la suma de los vectores hilera asociados a las variables artificiales, veas´e tablero 5.31.

Cuadro 5.30: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x↵ 3

x↵ 4

b

x↵ 3

0

1

2

1

0

4

x↵ 4

0

7

14

0

1

28

-1

4

5

0

0

0

-8

-16

0

0

-32

c

z ⇠

Paso 8 Aplicar el algoritmo para minimizar ⇠ iteraci´ on 1 (ver tablero 5.31) Paso 9 ¿⇠ > 0? En el Tablero 5.31 se puede observar que ya se ha satisfecho el criterio de paro. Ya que el valor de ⇠ = 0 se determina que el problema tiene soluciones factibles, es decir el problema es factible. Paso 13 ¿Existe una variable en la base? En la base existe una variable artificiale (x↵ 4) ,

183

Cuadro 5.31: Tablero primera iteraci´on xB

cB

x1

x2

x↵ 3

x↵ 4

b

x2

5

0.5

1

0.5

0

2

x↵ 4

0

0

0

-7

1

0

-1

1.5

0

-2.5

0

-10

0

0

8

0

0

c

z ⇠

por lo cual, se puede decir que el problema actual es redundante. Se elimina el vector hilera asociado a x↵ 4 del tablero 5.32. redundante= SI

Cuadro 5.32: Tablero primera iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x↵ 3

x↵ 4

b

x2

5

0.5

1

0.5

0

2

-1

1.5

0

-2.5

0

-10

0

0

8

0

0

z ⇠

Paso 17 Borrar las columnas asociadas a las variables artificales. Del tablero final se eliminan las columnas asociadas a las variables artificiales. Veas´e tablero 5.33.

Cuadro 5.33: Tablero primera iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

b

x2

5

0.5

1

2

-1

1.5

0

-10

0

0

0

z ⇠

Paso 18 Borrar la hilera ⇠ del Tablero En el tablero 5.34, se muestra el tablero obtenido mediante la primera fase.

184

Cuadro 5.34: Tablero primera iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

b

x2

5

0.5

1

2

-1

1.5

0

-10

z

Paso 20 Aplicar el algoritmo simplex sobre el tablero resultado de la primera fase. El tablero resultado de la primera fase da una soluci´on factible inicial, la cual ser´a como punto de partida para aplicar el agoritmo simplex. Ya que, la soluci´on actual satisface ha encontrado la soluci´ on ´ optima del problema

Problemas infactibles Ejemplo 5.4 Se desea encontrar la soluci´ on ´ optima del siguiente problema: m´ın 4x1

5x2

10x3

sujeto a: 4x1 + 2x2 + x3 = 14 3x1

3x3 = 15 x1

x1 , x 2 Paso 1 y 2 infactible= N O y redundante= N O.

185

8 0

Paso 3 Pasar el problema a forma estandar. m´ın 4x1

10(x03

5x2

x003 )

sujeto a: 4x1 + 2x2 + (x03 5(x03

3x1

x003 ) + x↵ 4 = 14 x003 ) + x↵ 5 = 15

x6 + x↵ 7 =8

x1

↵ ↵ x1 , x2 , x03 , x003 , x↵ 4 , x5 , x6 , x7

0

Paso 4 y 5 Construir el tablero correspondiente. Recuerdese la base del tablero inicial s´olo puede conformarse con variables do holgura o variables artificiales. En este problema las variables de la ↵ ↵ base inicial son x↵ as se agrega el vector hilera ⇠; veas´e tablero 5.36. 4 , x5 y x7 . Adem´

Cuadro 5.35: Tablero inicial

c

xB

cB

x1

x2

x03

x003

x↵ 4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x↵ 4

0

4

2

1

-1

1

0

0

0

14

x↵ 5

0

3

0

-5

5

0

1

0

0

15

x↵ 7

0

1

0

0

0

0

0

-1

1

8

-1

4

-5

-10

10

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

z ⇠

Paso 6 Por medio de operaciones elementales entre hilera volver a las columnas asociadas a la b´ ase en vectores columnas elementales. Para eliminar los unos del vector ⇠ se resta este vector la suma de los vectores hilera asociados a las variables artificiales, veas´e tablero 5.37. Paso 8 Aplicar el algoritmo para minimizar ⇠ iteraci´ on 1 De la primera iteraci´on del algoritmo simplex se obtiene el tablero 5.37 iteraci´ on 2 De la segunda iteraci´on del algoritmo simplex se obtiene el tablero 5.38 Paso 9 ¿⇠ > 0? Ya que el valor de ⇠ > 0 se determina que el problema es infactible; por lo que infactible= N O. Con base en lo anterior se termina el algoritmo.

186

Cuadro 5.36: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x03

x003

x↵ 4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x↵ 4

0

4

2

1

-1

1

0

0

0

14

x↵ 5

0

3

0

-5

5

0

1

0

0

15

x↵ 7

0

1

0

0

0

0

0

-1

1

8

-1

4

-5

-10

10

0

0

0

0

0

-8

-2

4

-4

0

0

1

0

-37

c

z ⇠

Cuadro 5.37: Tablero primera iteraci´on simplex xB

cB

x1

x2

x03

x003

x↵ 4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x1

4

1

0.5

0.25

-0.25

0.25

0

0

0

3.5

x↵ 5

0

0

-1.5

-5.75

5.75

-0.75

1

0

0

4.5

x↵ 7

0

0

-0.5

-0.25

0.25

-0.25

0

-1

1

4.5

-1

0

-7

-11

11

-1

0

0

0

-14

0

2

6

-6

2

0

1

0

-9

c

z ⇠

Cuadro 5.38: Tablero segunda iteraci´on simplex

c

xB

cB

x1

x2

x03

x003

x↵ 4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x1

4

1

10 23

0

0

5 23

1 23

0

0

3 16 23

x003

0

0

6 - 23

-1

1

3 - 23

4 23

0

0

18 23

x↵ 7

0

0

- 10 23

0

0

5 - 23

1 - 23

-1

1

7 4 23

-1

0

3 -4 23

0

0

5 1 23

1 1 23

1

0

-22 14 23

0

10 23

0

0

5 1 23

1 1 23

1

0

7 -4 23

z ⇠

5.4.

El m´ etodo de la gran “M”

Tambi´en conocido como m´etodo de penalizaci´on o t´ecnica M de Charnes [?, ?], asigna una penalizaci´ on, de valor M 1 , en la funci´ on objetivo a cada una de las variables artificiales. La penalizaci´ on 1M

es un n´ umero positivo suficientemente grande, te´ oricamente se requiere que M ! 1. Se asigna un coeficiente

M a las variables artificiales en un problema de minimizaci´ on; en contraste, se asigma un coeficiente

187

M a las variables

tiene como objeto consguir que las varibles artificiales asuman un valor de cero en la soluci´on final. El procedimento del m´etodo de la gran “M” se muestra en el algoritmo 3

Algorithm 3: M´etodo de la gran “M” 1

Expresar la instancia de PL en su forma est´andar.

2

Incluir las artificiales con su correspondiente coeficiente en la funci´on objetivo.

3

Contruir el tablero correspondiente

4

LLevar a cero los coeficientes de las variables artificiales del rengl´on asociado a la funci´on objetivo a trav´es de operaciones elementales.

5

Aplicar el algoritmo simplex para resolver el problema.

6

if Todas las variables artificiales son igual a cero en la soluci´ on ´ optima then

7 8 9 10

Se ha encontrado la soluci´ on ´optima del problema original else Se ha encontrado que el problema original es no factible end

En los siguientes ejemplos se muestra la aplicaci´on del m´etodo de la gran “M”. Ejemplo 5.5 Se desea obtener la soluci´ on optima del siguiente problema m´ın x1

x2

x3

sujeto a: x1 + x2  4 x1 + 2x2 + 4x3 = 10 4x2 + x3 x1 , x 2 , x 3

10 0

Paso 1 y 2 Se construye la forma estandar del modelo y se agregan los coeficientes de penalizaci´ on artificiales en un problema de maximizaci´ on

188

en la funci´ on objetivo m´ın x1

↵ x3 + M x↵ 5 + M x7

x2

sujeto a: x1 + x2 + x4 = 4 x1 + 2x2 + 4x3 + x↵ 5 = 10 x6 + x↵ 7 = 10

4x2 + x3

↵ x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x ↵ 5 , x6 , x7

0

Paso 3 Contruir el tablero correspondiente (ver tablero 5.39)

Cuadro 5.39: Tablero inicial

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x4

0

-1

1

0

1

0

0

0

4

x↵ 5

M

1

2

4

0

1

0

0

10

x↵ 7

M

0

4

1

0

0

-1

1

10

-1

1

-1

-1

0

M

0

M

0

z

Paso 4 Las columnas asociadas a las variables basicas se vuelven columnas linealmente independientes a trav´es de operaciones elementales (ver tablero 5.40) M ⇤ x↵ 5

M

2M

4M

0

M

0

0

10M

M ⇤ x↵ 7

0

4M

M

0

0

-M

M

10M

↵ M ⇤ (x↵ 5 + x7 )

M

6M

5M

0

M

-M

M

20M

+

c -

z

↵ M ⇤ (x↵ 5 + x7 )

c

z

1

-1

-1

0

M

0

M

0

M

6M

5M

0

M

-M

M

20M

1-M

-1-6M

-1-5M

0

0

M

0

-20M

Paso 5 Aplicar el algoritmo simplex para resolver el problema. Considerando el objetivo del problema a resolver se aplica el algoritmo simplex sobre el tablero simplex iteraci´ on 0 (veas´e algoritmo 5.41) iteraci´ on 1 (veas´e algoritmo 5.42) 189

Cuadro 5.40: Tablero inicial xB

cB

x1

x2

x3

x4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x4

0

-1

1

0

1

0

0

0

4

x↵ 5

M

1

2

4

0

1

0

0

10

x↵ 7

M

0

4

1

0

0

-1

1

10

-1

1-M

-1-6M

-1-5M

0

0

M

0

-20M

c

z

Cuadro 5.41: Tablero inicial

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x4

0

-1

1

0

1

0

0

0

4

x↵ 5

M

1

2

4

0

1

0

0

10

x↵ 7

M

0

4

1

0

0

-1

1

10

-1

1-M

-1-6M

-1-5M

0

0

M

0

-20M

z

Cuadro 5.42: Tablero primera iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x4

0

-1

0

-0.25

1

0

0.25

-0.25

1.5

x↵ 5

M

1

0

3.5

0

1

0.5

-0.5

5

x2

-1

0

1

0.25

0

0

-0.25

0.25

2.5

-1

1-M

0

-0.75-3.5M

0

0

-0.25-0.5M

0.25+0.5M

2.5-5M

z

iteraci´ on 2 (veas´e algoritmo 5.43) Como se cumple el criterio de paro en c

z se termina el m´etodo de la gran M

Cuando las variables artificiale salen de la base, significa que se ha encontrado una soluci´ on factible inicial del problema original; la soluci´on ´optima se encotrara por el m´etodo simplex. Si durante la ejecuci´ on del m´etodo se llega a una soluci´on ´optima en que alguna variable artificial tiene un valor positivo, entonces implica que el problema original no tiene soluci´on. En otras palabras,

190

Cuadro 5.43: Tablero segunda iteraci´on

c

xB

cB

x1

x2

x3

x4

x↵ 5

x6

x↵ 7

b

x4

0

- 13 14

0

0

1

1 14

2 7

- 27

15 7

x3

-1

2 7

0

1

0

2 7

1 7

- 17

10 7

x2

-1

0

1

0.25

0

0

-0.25

0.25

2.5

-1

17 14

0

0

0

z

si en el valor de z existe un t´ermino “M”.

191

1,5 7

+M

- 17

2 7

+M

25 7

Cap´ıtulo 6

Dualidad Introducci´ on al problema dual. Los problemas de programaci´ on lineal tienen una SIMETRIA que es u ´til. Como todo problema PL esta asociado con un problema con el que guarda esta simetr´ıa (problema dual).

El problema dual. Un agricultor desea programar sus cultivos para el a˜ no venidero con dos cultivos: papas y trigo. El es poseedor 100 hect´ areas (ha) de tierra cultivable. Cuenta con una disponibilidad de 160 d´ıas de mano de obra para emplearle en sus cosechas, el trigo requiere cuatro d´ıas de mano de obra por hect´ area de cultivo y la papa requiere un d´ıa por hect´area de cultivo. El capital disponible por el agricultor es de $1,100 u.m. para cubrir los costos resultado de la siembra y labores culturales . El costo de la siembra y labores culturales asociadas con una hect´area de trigo son de 20 u.m. mientas que el costo de siembra y labores culturales de una hect´area de papa es de 10 u.m.

Si un agricultor espera un beneficio de 40 u.m. por hect´area de papa y un beneficio de 120 u.m. por hect´ area de trigo. ¿Cu´ antas hect´areas de cada cultivo debe sembrar para alcanzar la m´ axima ganancia?.

192

Formulaci´ on del modelo. Variables de decisi´ on. Sea x1 =n´ umero de hect´ areas sembradas de papa. x2 =n´ umero de hectareas sembradas de trigo. Max z=40x1 + 120x2 s.a. x1 + x2  100 Restricci´on de disponibilidad de tierra. x1 + 4x2  160 Restricci´on de disponibilidad de d´ıas de labor. 10x1 + 20x2  1100 Restricci´on de capital. x 1 , x2

0

El agricultor se encuentra dentro de un sistema econ´omico como lo muestra la siguiente figura. Situaci´ on de agricultor en el sistema econ´ omico

Figura 6.1: Figura 1

Contexto econ´ omico y supuestos. Se supone una econom´ıa de “competencia perfecta”, es decir que en tal mercado. Si el agricultor decide vender, o rentar los excedentes de sus recursos a otras personas con el objeto de incrementar sus ganancias debe considerar que los precios de dichos recursos tender´ an a la baja a medida que la cantidad ofertada en el mercado aumente.

193

El agricultor estar´ a dispuesto a vender sus recursos siempre y cuando el los ingresos que reciba por esta acci´ on sean por lo menos iguales al ingreso que obtendr´ıa por usarlos en la producci´ on.

En tanto si ´el agricultor decide comprar o rentar recursos a otras personas para producir mas y con ello incrementar sus ganancias, el agricultor debe considerar que a medida que la demanda de alg´ un recurso se incrementa en el mercado su precio se eleva.

El agricultor estar´ a dispuesto a pagar por una combinaci´on de recursos para producir una unidad mas como m´ aximo el beneficio que obtendr´ıa de la venta de la unidad adicional producida. Se pueden vender o rentar los recursos excedentes (hect´areas de tierra, d´ıas de labor y capital) o comprar unidades adicionales de estos recursos si el empresario lo necesita.

Denotando por y1 ,y2 ,y3 como el precio unitario por comprar o vender los recursos necesarios para la producci´ on

El determinar el costo de los recursos necesarios para producir papa y trigo conducir´ıa al siguiente an´ alisis.

Para producir papa se requiere destinar un numero de hect´areas donde se sembraran, el costo por destinar estas hect´ areas a esta actividad la denotaremos como y1 .

Para producir una hect´ area de papa se requiere invertir un d´ıa de labor y el costo de es de y2

Y para cada hect´ area producida de papa el agricultor destinara 10 u.m. para cubrir las actividades de siembra y labores culturales, ´el costo por cada u.m. invertida ser´a de y3 .

Resumiendo el costo total por producir un unidad comercial papa se determina por la siguiente expresi´ on.

194

y1 + y2 + 10y3 Recordamos que de acuerdo al problema el precio de venta por unidad comercial de papa es de 40 u.m. Podemos determinar la ganancia por unidad comercial con la siguiente ecuaci´on

Ganancia=Precio de venta-Costo de produccion. Sustituyendo

Ganancia=40-(y1 + y2 + 10y3 ) La ganancia debe ser por lo menos cero ya que nadie producir´ıa un art´ıculo si este representara una perdida.

0  40

(y1 + y2 + 10y3 )

Despejando la ecuaci´ on anterior.

40  y1 + y2 + 10y3 De manara similar obtenemos el costo y la ganancia para el cultivo de trigo. Recordando que el precio de venta por unidad comercial de trigo es de 120 u.m. Se obtienen las siguientes expresiones. Costo total por unidad comercial de trigo.

y1 + 4y2 + 20y3 Ganancia= 120

(y1 + 4y2 + 20y3 )

120  y1 + 4y2 + 20y3

195

La funci´ on objetivo entonces cambia a hora se tratara de minimizar los costos ligados con la utilizaci´ on de los recursos. Min z=100y1 + 160y2 + 1100y3 Entonces se ha formulado el problema dual para poder calcular los costos asociados con la producci´ on de los cultivos de papa y trigo. Modelo Dual. Min z=100y1 + 160y2 + 1100y3 s.a.

40  y1 + y2 + 10y3 Costos asociados a la producci´on de papa. 120  y1 + 4y2 + 20y3 Costos asociados a la producci´on de trigo. y1 , y2 , y3

0

Una caracter´ıstica importante, es que cualquier problema puede ser primal o dual para obtener el dual a partir de un primal o viceversa puede hacerse uso de la siguiente tabla. Elementos para convertir un problema primal en su dual.

Figura 6.2: Figura 1

De lo anterior se deduce que el paso al dual se lleva a cabo teniendo presente las cuatro reglas siguientes:

196

* Los coeficientes de la i-´esima restricci´on para el problema primal pasan a ser los coeficientes de las variables Wi en las restricciones del problema dual. El problema dual tiene tantas variables como restricciones hay en el primal. * Los coeficientes de las variables de decisi´on Xj en el problema primal pasan a ser los coeficientes de la restricci´ on j-´esima en el problema dual. El problema dual tiene tantas restricciones como variables hay en el primal. * Los coeficientes de la funci´ on objetivo en el problema primal pasan a ser los coeficientes del segundo miembro de las restricciones en el problema dual. * Los coeficientes del segundo miembro de las restricciones del problema primal pasan a ser los coeficientes de la funci´ on objetivo del dual.

Interpretaci´ on de dual de un problema de maximizaci´ on. Imagine que usted es due˜ no de una compa˜ n´ıa de muebler´ıa en la cual se producen sillas mesas y escritorios. Para cada uno de sus productos usted necesita los siguientes recursos: madera, tiempo de carpinter´ıa y tiempo de acabados. Como lo muestra la siguiente tabla. Requerimientos de recursos de los tres productos. Escritorios

Mesas

Sillas

Cantidad de recurso disponible

Piezas de madera

8

6

1

48

Horas de acabados

4

2

1.5

20

Horas de carpinteria

2

1.5

0.5

8

Precio unitario en el mercado

60

30

20

El problema de programaci´ on lineal que usted tiene con la producci´on de su empresa es el siguiente. Variables: x1 =Numero de escritorios x2 =Numero de mesas x1 =Numero de sillas

197

Problema original max z:60x1 + 30x2 + 20x3 8x1 + 6x2 + x3  48 ! (rest. madera) 4x1 + 2x2 + 1,5x3  20 ! (rest. acabado) 2x1 + 1,5x2 + 0,5x3  8 !(rest. carpinter´ıa) Considere que a usted le quieren comprar su fabrica. Entonces cabria preguntar ¿Cu´al es el precios que usted pedir´ıa por ella? y ¿Cu´anto seria lo que estar´ıan dispuestos a darle sus compradores?. Considere para ello que se esta en un mercado de competencia perfecta. Bueno el empresario estar´ıa dispuesto a pagar el m´ınimo de lo que usted fuese a ganar con la producci´ on dado a sus recursos limitados. Esto lo llevar´ıa al siguiente problema Variables y1 = Precio asociado a una unidad de madera y2 = Precio asociado a una unidad de acabado y3 = Precio asociado a una unidad de carpinteria Problema dual. min w: 48y1 + 20y2 + 8y3 8y1 + 4y2 + 2y3

60 !(Escritorios)

6y1 + 2y2 + 1,5y3

30 !(Mesas)

y1 + 1,5y2 + 0,5y3

20 !(Sillas)

Existe una relaci´ on del problema original con el problema dual. Observe que la primera restricci´ on del dual corresponde esta relacionada con la columna 1 del problema original es decir con la cantidad de recursos necesarios para producir un escritorio. De igual manera para las restricciones 2 y 3 correspondes a las columnas 2 y 3 del original respectivamente. En cambio la variable yi del problema dual; se asocia con la i-esima restricci´on del problema 198

original. Por ejemplo y1 se asocia con la restricci´on de madera; por que cada coeficiente asociado a y1 proviene de la restricci´ on de madera del problema original. Como se muestra a continuaci´ on.

* Primera restricci´ on del dual se relaciona con los escritorios (x1 ). * Segunda restricci´ on del dual se relaciona con las mesas (x2 ). * Tercera restricci´ on del dual se relaciona con las mesas (x3 ). * La variable y1 se relaciona con la restricci´on de madera del original. * La variable y2 se relaciona con la restricci´on de horas de acabado del original. * La variable y3 se relaciona con la restricci´on de horas de carpinter´ıa del original. Como s´ıntesis se podr´ıa se˜ nalar que la i-esima (hilera) restricci´on del dual se relaciona con la i-esima columna del original. Como ya se menciono las variables yi est´an asociadas al precio de una unidad del recursos. Dichos precios de yi se deben determinar resolviendo el problema dual. El empresario que quiere comprar su empresa tratar´ıa de pagar el m´ınimo costo por adquirir sus recursos dados por la siguiente relaci´on. min w: 48y1 + 20y2 + 8y3 La restricciones a las que esta sujeta el empresario son: Los precios ofrecidos por el empresario sobre los recursos disponibles en su empresa deben ser atractivos para su compa˜ n´ıa y que usted decida venderlos. Por ejemplo el empresario debiese ofrecer por lo menos 60 u.m por la siguiente combinaci´on de recursos de 8 unidades de madera, 4 horas de acabado y 2 horas de carpinter´ıa. Dado a que con esta combinaci´on de recursos usted podr´ıa producir un escritorio que representa para usted una ingreso de 60 u.m. Lo anterior se puede representar con la siguiente igualdad.

8y1 + 4y2 + 2y3

199

60

Lo que representa que el empresario debe estar dispuesto a pagar por una combinaci´on de recursos que produzcan un escritorio por lo menos 60 u.m. Se observa que esta es la primera restricci´ on del dual. An´ alogamente se debe pagar por lo menos 30 u.m por los recursos utilizados para la fabricaci´ on de una mesa es decir debe satisfacer la siguiente ecuaci´on.

6y1 + 2y2 + 1,5y3

30

Finalmente la restricci´ on para las sillas seria la siguiente.

y1 + 1,5y2 + 0,5y3

20

Por ultimo se incluyen las restricciones de no negatividad dado a que no puede existir un precio negativo para ning´ un producto. y 1 + y2 + y 3

0

El an´ alisis anterior muestra que la i-esima variable del problema dual corresponde con la i-esima restricci´ on del problema primal. Nota: Cuando el primal es un problema de maximizaci´on “normal” las variables del dual representan el valor de los recursos que se tienen disponibles. A estos valores se les denomina precio sombra. Para casos de maximizar un problema no normal siga los siguientes pasos. Un problema no normal es aquel que tiene dos tipos de restricciones ( y ), y/o una igualdad, y/o una variable sin restricci´ on de signo por se considera no normal. Considere el siguiente ejemplo Max = 2x1 + x2 s.a.

x1 + x2 = 2 2x1

x2

x1

x2  1 200

3

x1

0, x2 libre

PASOS: * Multiplique cada restricci´ on Por ejemplo:

2x1 + x2 

por -1. Esto convertir´a cada restricci´on

en una restricci´ on .

3

* Reemplace cada restricci´ on en forma de igualdad por dos restricciones en forma de desigualdad. en una restricci´on .

Despu´es convierta la restricci´on

2x1 + x2  2

X1 + x 2 X1

x2 

2

* Cambie cada variable xi es libre por xi = (x+ i

x1

x2 

2

xi )

Resumen Obtener el dual de una problema de maximizaci´on no normal * Si la i-´esima restricci´ on del primal es una restricci´on

, la variable correspondiente del dual

yi tendr´ a que satisfacer yi  0. * Si la i-´esima restricci´ on del primal es una restricci´on en forma de igualdad, la variable dual yi ahora ser´ a sin restricci´ on de signo. * Si la i-´esima variable del primal es libre, la i-´esima restricci´on del dual ser´a una restricci´ on en forma de igualdad

Interpretaci´ on de dual de un problema de minimizaci´ on. Para el siguiente an´ alisis considere el problema de dieta siguiente: Informaci´ on nutricional sobre distintos tipos de alimentos

201

Tipo de alimento

Unidades de calorias

Unidades de chocolate

Unidades de az´ ucar

Barra de chocolate (1 unidad)

400

3

2

2

Helado (1 bola)

200

2

2

4

Bebida (1 botella)

150

0

4

1

Pastel (1 rebanada)

500

0

4

5

Restricciones * El consumo de calor´ıas debe ser por lo menos de 500 cal/ d´ıa. * El consumo de chocolate debe ser de por lo menos 6 oz. /d´ıa. * El consumo de az´ ucar debe ser de por lo menos 10 oz. /d´ıa. * El consumo de grasas debe ser de por lo menos 8oz /dia. Precios de los alimentos: * Cada barra de chocolate cuesta a lo mucho 50 u.m. * Cada bola de helado cuesta hasta 20 u.m. * Cada botella de bebida cuesta hasta 30 u.m. * Cada rebanada de pastel cuesta hasta 80 u.m. De lo anterior puede ser formulado el PL de la mejor dieta posible con el m´ınimo costo. Variables de decisi´ on. x1 = Unidades de barras de chocolate / d´ıa x2 = Unidades de bolas de helado / d´ıa x3 = Unidades botellas / d´ıa x4 = Unidades de renadas de pastel / d´ıa

Modelo de la determinaci´ on de dieta.

202

Unidades

Min w=50x1 + 20x2 + 30x3 + 80x4 s.a. 400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 3x1 + 2x2

500 (res. Calor´ıas)

6 (res. Chocolate)

2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 2x1 + 4x2 + x( 3) + 5x( 4)

10 (res. Az´ ucar) 8 (res. Grasa)

Solucionando el problema con WINQSB Min w= 90.00 u.m. x1 = x4 = 0 x2 = 2,5 x3 = 1,25 Suponga que usted va a la cafeter´ıa de Do˜ na Rosa. Ella tiene el dilema de asegurar a una persona una dieta diaria que satisfaga sus requerimientos m´ınimos mediante la venta de sus productos y obtener el m´ aximo beneficio por ello. Por lo cual ella debe resolver el problema dual. Variables de decisi´ on.

y1 =Precio por caloria que se carga al consumidor y2 =Precio por onza de chocolate que se carga al consumidor y3 =Precio por onza de az´ ucar que se carga al consumidor y4 =Precio por onza de grasa que se carga al consumidor

Modelo dual Max z=500y1 + 6y2 + 10y3 + 8y4 s.a. 400y1 + 3y2 + 2y3 + 2y4  50 (res. Barra de chocolate) 200y1 + 2y2 + 2y3 + 4y4  20 (res. Bola de helado) 203

150y1 + 4y3 + y4  30 (res. Botella de bebida) 500y1 + 4y3 + 4y4  80 (res. Rebanada de pastel)

As´ı el beneficio que obtendr´ a la vendedora estar´a representado por la siguiente ecuaci´on.

500y1 + 6y2 + 10y3 + 8y4 Intentando obtener el m´ aximo beneficio. Max z=500y1 + 6y2 + 10y3 + 8y4 Considerando lo siguiente. Poner los precios de sus productos de forma tal que sean competitivos en el mercado. Es decir, que a lo sumo sean iguales al precio medio en el mercado. Por ejemplo si el consumidor compra una barra de chocolate en 50 u.m. en el local de Don Nacho y obtiene por ella 400 cal., 3 oz. de chocolate, 2 oz. de az´ ucar y 2 oz. de grasa. Entonces el consumidor no estar´ıa dispuesto a pagar mas de 50 u.m. por la misma barra en la cafeter´ıa de Do˜ na Rosa. Por lo anterior la vendedora no puede cargar mas de 50 u.m. por dicha combinaci´on de ”nutrientes” a sus clientes. Por un razonamiento similar, se obtienen la restricci´on 2,3 y 4. Resolviendo el problema dual se obtiene le siguiente resultado. Max z=90.00 y1 = y4 = 0 y2 = 2,5 y3 = 7,5 El valor de y2 ,y3 representan el precio sombra es decir el valor del costo de las variables que son cargadas a los clientes

An´ alisis de sensibilidad. El an´ alisis de sensibilidad es una herramienta utilizada una vez encontrada la soluci´on ´optima. Se emplea esta herramienta para estudiar que par´ametros son los sensibles y observar el alcance de la soluci´ on ´ optima. Es decir los intervalos donde sigue siendo factible. 204

Este an´ alisis sirve para observar los cambios en ciertos par´ametros del modelo y sus efectos en la funci´ on objetivo. Ejemplo. Max z=40x1 + 10x2 s.a. 10x1 + 2x2  400 15x1 + 10x2  1020 3x1 + 5x2  420 Pasando al tablero simplex. Basica

x1

x2

s1

s2

s3

Soluci´on

Z

-40

-10

0

0

0

0

s1

10

2

1

0

0

400

s2

N 15

10

0

1

0

1020

s3

3

5

0

0

1

420

Resolviendo en dos iteraciones se obtiene le siguiente cuadro simplex. Basica

x1

x2

s1

s2

s3

Soluci´on

Z

0

0

25/7

2/7

0

1720

x1

1

0

1/7

-1/31

0

28

x2

0

1

-3/14

1/7

0

60

s3

0

0

9/14

-22/33

1

36

Grafica de la regi´ on factible. Los correspondientes recursos a s1 y s2 .Son totalmente usados entonces si adquiri´eramos recursos adicionales podr´ıa resultar un aumento en el valor ´optimo de la funci´on objetivo. Por lo tanto realizaremos un an´alisis de sensibilidad del problema a trav´es de cambiar la cantidad en cualquier recurso escaso.

205

Figura 6.3: Figura 1 La soluci´ on del dual (valor de los recursos) son y1 = 25/7 , y2 = 2/7 dado a que y1 > y2 se observa que lo conveniente es analizar el impacto que traer´ıa el cambio al recurso correspondiente a la primera restricci´ on. Sea

el cambio en el recurso de la primera restricci´on. Entonces reescribimos la restricci´on uno

en t´erminos de delta.

10x1 + 2x2 + s1 = 400 + Sin embargo el valor des1 = 0 seg´ un la tabla ´optima por lo tanto.

10x1 + 2x2 = 400 + 10x1 + 2x2 Sea s1 =

= 400

y s1 es una variable de holgura o artificial dependiendo de la restricci´on.

Entonces 10x1 + 2x2 + s1 = 400 Expresando las restricciones a partir de la tabla ´optima en forma de ecuaciones se tendr´ a lo siguiente. z + 25/7 s1 + 2/7 s2 = 1720 x1 +s1 /7-s2 /35 = 28 x2 -(3s1 )/14+ s2 /7 = 60 206

(9s1 )/14-(22s2 )/35 +s3 = 36 Ya que s1 =

y s2 = 0 sustituimos estos valores en el sistema anterior, obteniendo lo siguiente.

z

25/7 = 1720 x1

/7 = 28

x2 + 3 /14 = 60 9 /14 + s3 = 36 El problema a resolver es ¿Qu´e tan grande puede ser

sin afectar la base del la soluci´ on del

problema? Para cualquiera de los recursos, las variables deben permanecer no negativos as´ı debe satisfacer lo siguiente.

x1 = 28 + /7 x2 = 60

3 /14

s3 = 36 + 9 /14

0! 0! 0!

28/(1/7) =

196

 60/(3/14) = 280 36/(9/14) =

56

Por lo tanto, el recurso puede aumentar a lo m´as 280 unidades, ya que cualquier aumento m´ as all´ a de este l´ımite har´ıa negativa x2 . Tambi´en, los c´ alculos presentan a dos posibles candidatos para determinar el limite inferior para la disminuci´ on del recurso-

Figura 6.4: Figura 1

207

En la grafica anterior se observa que la m´axima disminuci´on es la cantidad que se encuentra en el extremo izquierdo de la regi´ on factible ya que la otra cantidad fuera de esta violar´ıa la restricci´ on de s3 . As´ı el intervalo de valores para el recurso de la primera restricci´on que dejar´ıa sin cambio la base es de:

400

56  b1  400 + 280 344  b1  680

La siguiente grafica ilustra este cambio. Grafica representativa en el cambio del recurso

Figura 6.5: Figura 1

Para

=280, obtenemos la siguiente tabla ´optima. x1 = 28 + 280/7 = 68 x2 = 60

0

(3(280))/14 = 0

s3 = 36 + (9(280))/14 = 216 208

0 0

z = 1720 + (25(280))/14 = 2720

Las variables de holgura s1 y s2 permanecen igual a cero. Observe que mientras x2 =0 es considerada como una variable b´ asica, simplemente hemos elegido el m´aximo aumento posible en el primer recurso y obligado a la variable a tomar el valor factible mas peque˜ no. Obs´ervese tambi´en que el aumento de $1000.00 en la funci´on objetivo es un incremento de 25/7 por cada unidad de las 280 que se a incrementado. Ya que como se explico el valor de y1 =25/7 representa el valor unitario del recurso de la primera restricci´on. Lo anterior significa que ser´ıa deseable que la compa˜ n´ıa adquiriera recursos adicionales de 280 unidades, si el precio (costo) unitario es menor que $25/7. La gr´ afica muestra que al cambiar el recurso b1 , se mueve el punto de intersecci´on de las rectas. 10x1 + 2x2 = b1 y 15x1 + 10x2 = 1020 A lo largo del intervalo , que une los puntos (20,72) y (68,0) . El m´aximo aumento de 280 desde 400 a 680 mueve la intersecci´ on a (68,0), deteni´endose cuando el eje x1 este a punto de violar la restricci´ on de x2

0.

La m´ axima disminuci´ on de 400 a 344 mueve la intersecci´on de (20,72) y reduce el valor de la funci´ on objetivo a $1520, una disminuci´on de 25/7 por cada unidad de decrecimiento en b1 . El movimiento de la intersecci´ on en tal direcci´on es determinada por las restricciones.

3x1 + 5x2  420 Para evitar que la variable de holgura s3 se convierta en negativa.

El algoritmo dual simplex. Este algoritmo tiene como objetivo facilitar el proceso de la optimizaci´on. Para ilustrar la metodolog´ıa del algoritmo simplex dual se utilizar´a el siguiente ejemplo explicativo.

209

Min z:5y1 + 4y2 Sujeto a: y1 + 2y2

12

5y1 + y2

31

3y1 + y2

21

y1 , y2

0

PASO 1: Se deben agregar las variables necesarias para pasar el problema a la forma est´ andar. En este caso se agregaran variables de exceso. Min z:5y1 + 4y2 Sujeto a:

y1 , y2

y1 + 2y2

s1 =12

5y1 + y2

s2 =31

3y1 + y2

s3 =21

0 . PASO 2: Se deben adecuar las variables. De modo que las variables agregadas tengan

un valor superior o igual que cero. Sujeto a:

y1

2y2 + s1 =

5y1

y2 +s2 =-31

3y1

y2 +s3 =-21

y1 , y2

0 s 1 , s2 , s 3

12

0

PASO 3: Es necesario reescribir la funci´on objetivo para eliminar las incongruencias. Max z: 5y1

4y2

Sujeto a: y1 5y1

2y2 + s1 =-12 y2 +s2 =-31

210

3y1

y2 +s3 =-21 y1 , y2

s 1 , s2 , s3

0 0

PASO 4: Escribimos el problema en un tablero de soluci´on simplex.

Figura 6.6: Figura 1

Observe que las soluciones a las ecuaciones de las restricciones son negativos.

211

PASO 5: Se selecciona el rengl´on con el valor de soluci´on m´as negativo. (rengl´on pivote) TABLA 4. Selecci´on del rengl´on pivote.

Figura 6.7: Figura 1

Si todas las otras entradas en el rengl´on seleccionado son no negativas , entonces no existe soluci´ on factible. Aqu´ı se detiene el algoritmo.

PASO 6: Se calculan los cocientes de los coeficientes de la funci´on objetivo entre el valor de su correspondiente en el rengl´ on pivote seleccionado. Cocientes (y1 =

5/5, y2 =

4/1)

La columna del pivote es aquella que produce el m´aximo cociente negativo del la entrada del rengl´ on objetivo sobre el valor del elemento correspondiente de la columna pivote. Las correspondientes variables entran a la base. Se puede solucionar el problema usando eliminaci´on gaussiana.

PASO 7: De los cocientes encontrados seleccionar el cociente m´as grande y tomar como columna pivote a la asociada con este valor. Como lo muestra la tabla siguiente. TABLA 5. Selecci´on de la columna pivote.

Figura 6.8: Figura 1

212

Con base en el paso anterior pivoteamos en la primera columna y obtenemos el siguiente tablero simplex.

Figura 6.9: Figura 1

PASO 8: Se repiten los pasos del 4 al 7 hasta tener valores estrictamente positivos en la columna soluci´ on. En ese momento se habr´a terminado el algoritmo simplex.

213

De la tabla anterior se observa que el valor mas negativo es el de

29/5 por lo cual escogemos

la hilera de s1 como hilera pivote. Calculando los coeficientes se observa lo siguiente.

Figura 6.10: Figura 1

Por lo que se escoge para pivotear la columna y2 como lo muestra la siguiente tabla.

Figura 6.11: Figura 1

10/9 es el valor m´ as negativo as´ı que seleccionamos a s3 como la hilera pivote. Calculamos los cocientes asociados.

Figura 6.12: Figura 1

214

De lo anterior se escoge a s2 como columna pivote. Y obtenemos la siguiente tabla simplex.

Figura 6.13: Figura 1

Como ya no existen valores negativos del lado derecho de las ecuaciones ligada a las restricciones entonces se da por concluido el algoritmo y obtenemos de la u ´ltima tabla la soluci´on al problema. Por lo anterior se entiende que la soluci´on del problema encontrada sea y1 = 6 ,y2 = 3,s1 = 0,s2 = 2,s3 = 0 con un valor de z = 42 recuerde que este valor fue multiplicado por -1 al principio. Por lo que es necesario regresarla a su forma original multiplicando el valor obtenido por -1.

6.1. 6.1.1.

Dualidad y An´ alisis de Sensibilidad Introducci´ on

C´ amaras Polarex produce tres modelos de c´amaras. C1 , C2 y C3 . El pr´oximo a˜ no, basado en su plan anual, Polarex planea vender al menos 5000 del modelo C1 , 300 del C2 y 24 del C3 . El exceso en la capacidad de producci´ on la usar´a en la producci´on de accesorios, actividad que es muy rentable para Polarex. Polarex tiene dos plantas, en Guadalajara (G) y en Quer´etaro (Q). Se desea conocer la planeaci´ on diaria de producci´ on asignada a cada planta, para producir las c´amaras a un costo m´ınimo. Los costos estimados de producci´on diarios son $5000 en G y $7000 en Q. Los n´ umeros m´ aximos de c´ amaras de cada tipo que se pueden producir diariamente en cada planta se presentan en la siguiente tabla:

215

Modelo

Guadalajara

Quer´etaro

C1

100

140

C1

10

6

C1

4

8

Variables de decisi´ on: X1 = n´ umero de d´ıas trabajados en Guadalajara. X2 = n´ umero de d´ıas trabajados en Quer´etaro. Modelo PL: Min C= 5000 x1 + 7000 x2 s.t. 100x1 + 140x2

5000

10x1 + 6x2

300

4x1 + 8x2

240

x 1 , x2

0

Si, en lugar de fabricar las c´ amaras, Polarex decide encarg´arselas a otro fabricante, ´este necesita determinar el precio al que tendr´ıa vender las c´amaras a Polarex para que le resulte ventajoso. Variables de decisi´ on: yi = precio al que el fabricante estar´ıa dispuesto a vender una c´amara Ci (i=1, 2, 3). Modelo lineal correspondiente:

Max Z = 5000y1 + 300y2 + 240y3 s.t. 100y1 + 10y2 + 4y3  5000 140y1 + 6y2 + 8y3  7000 y1 , y2 , y3

0

Ejemplo 2 Retomando el ejemplo 1 de los cap´ıtulos anteriores, el modelo era:

216

Max 10X1 + 9X2 s.t. 7/10X1 + X2  630 1/2X1 + 5/6X2  600 1X1 + 2/3X2  708 1/10X1 + 1/4X2  135 X 1 , X2

0

Consideramos ahora el punto de vista de un proveedor que quisiera vender los productos manufacturados a la empresa. Variables de decisi´on: Yi = contribuci´on a la ganancia por hora de tiempo disponible en el departamento i. Modelo lineal correspondiente: Min Z = 630Y1 + 600Y2 + 708Y3 + 135Y4 7/10Y1 + 1/2Y2 + Y3 + 1/10Y4 Y1 + 5/6Y2 + 2/3Y3 + 1/4Y4 Y 1 , Y2 , Y3 , Y4

10 9

0.

Las nuevas formulaciones desarrolladas representan el problema dual, asociado al modelo inicial (primal ).

6.1.2.

Generalidades

Motivaciones:

- interpretaci´ on de resultados y an´alisis de sensibilidad (precios sombra). - aplicaciones para problemas de redes.

En lo que sigue, asumimos que el modelo est´a en forma est´andar (aunque sin la restricci´ on de que los TLD son no-negativos). Formulaci´on cl´asica: Las regiones factibles del problema Dual y Primal no se cubren, pero tienen la misma soluci´ on optima: o sea que la funci´ ´ on objetivo en la soluci´on ´optima es la misma para los problemas Primal y Dual. 2 ESQUEMAS (RF y FO). 217

Figura 6.14: Figura 1 Condici´ on de optimalidad: en el problema Primal, se trata de tener todos los coeficientes de las variables no-b´ asicas no negativos (o sea, en el ejemplo, cuando la participaci´on de las variables no-b´ asicas no permite mejorar el valor de la FO). En el problema Dual, las u ´nicas soluciones factibles son las que cumplen con la prueba de optimalidad del Primal. Se trata por lo tanto de minimizar el valor total de los recursos consumidos por las actividades; la condici´on de optimalidad del Dual se expresa como”la cantidad m´ınima del valor de los recursos consumidos” para obtener la ganancia ´ optima.

La soluci´ on ´ optima Y* proporciona los precios sombra para el problema Primal: en cada tabla simplex, los coeficientes de las variables de holgura representan los valores de los Yi para el problema dual. Antes de llegar a la soluci´ on ´optima (al resolver el problema Primal), estos Yi representan una soluci´ on no factible para el Dual.

6.1.3.

Relaciones entre Primal y Dual

Propiedades de Dualidad Propiedad de dualidad d´ebil: si X es una soluci´ on factible para el problema Primal y Y es una soluci´on factible para el problema Dual, entonces: cX  bY .

Propiedad de dualidad fuerte:

218

si X es una soluci´ on ´ optima para el problema Primal y Y es una soluci´on ´optima para el problema Dual, entonces: cX = bY . (Por lo tanto, si tenemos cX ¡ Yb , al menos una de las dos soluciones X o Y no es ´ ´ optima). Soluciones complementarias Definici´ on:

en cada iteraci´ on, el m´etodo simplex identifica simult´aneamente una soluci´on b´asica factible, X, para el Primal y una soluci´ on complementaria Y para el Dual, tales que cX = Yb . Si X no es ´optima, entonces Y no puede ser factible. En la u ´ltima operaci´on, el simplex identifica una soluci´on ´optima X* para el Primal y su soluci´ on ´ optima complementaria Y* para el Dual, de tal forma que: cX * = bY *. Propiedad de simetr´ıa:

para cualquier problema Primal y su problema Dual, las relaciones entre ellos son sim´etricas debido a que el Dual del Dual es el Primal. En consecuencia, el m´etodo Simplex se puede aplicar de forma indiferenciada al Primal o al Dual, identificar´a al mismo tiempo las soluciones complementarias. Teorema de Dualidad.

las sig. relaciones son las u ´nicas posibles entre los problemas Primal y Dual: 1. Si un problema tiene soluciones factibles y una FO acotada, entonces ocurre lo mismo para el otro problema. 2. Si uno de los problemas tiene soluciones factibles y una FO no acotada, entonces el otro problema no tiene soluciones factibles. 3. Si uno de los problemas no tiene soluciones factibles, entonces el otro problema no tiene soluciones factibles o bien tiene una FO no acotada.

219

Aplicaciones: - Se puede resolver el Primal o el Dual de forma indistinta; as´ı pues, dado que, en el desarrollo del Simplex, las restricciones afecta mucho m´as el esfuerzo computacional que el n´ umero de variables, se sugiere resolver la variante (Primal o Dual) m´as econ´omica en t´erminos de restricciones. - Pruebas de optimalidad. - An´ alisis de sensibilidad. - Interpretaci´ on econ´ omica.

Soluciones b´ asicas complementarias El problema Dual es un PL cl´ asico, por lo tanto se puede analizar como tal:

- Tiene m variables de decisi´ on, - Tiene n restricciones.

Por lo tanto, requiere de n variables b´asicas y m variables no-b´asicas (=0). La correspondencia entre variables del Primal y del Dual es la siguiente: Primal

Dual

n variables de decisi´on xi

n variables de super´avit

m variables de holgura

m variables de decisi´on yj

La clave de la correspondencia entre las variables primales y duales es el rengl´on (0) de la tabla simplex: Ec.

Z

X1

X2

...

Xn

S1

S2

...

Sm

TLD

(0)

1

a1

a2

...

a3

Y1

Y2

...

Ym

W

La soluci´ on del Dual se lee, por lo tanto, en el rengl´on (0) de la tabla para el Primal: las m variables b´ asicas del Primal tienen un coeficiente igual a 0: son las m variables no-b´asicas del problema Dual. Asimismo, las n variables del Primal tienen un coeficiente diferente de 0: son las n variables b´ asicas del problema Dual.

220

) Por lo tanto, la soluci´ on complementaria de una soluci´on b´asica para el Primal tambi´en es b´ asica para el Dual. N´ otese que, por la propiedad de simetr´ıa, realmente no importa cu´al es el problema Primal y el Dual, ya las relaciones son sim´etricas.

Propiedad de las soluciones b´ asicas complementarias: Cada soluci´ on b´ asica en el Primal tiene una soluci´on b´asica complementaria en el Dual, y los valores de la FO son iguales para ambos (Z=W). Para una soluci´on Primal, el rengl´on (0) de la tabla simplex indica el valor de las variables para el Dual. Recuerde, sin embargo, que la soluci´on del Dual es factible si la del Primal lo es.

Propiedad de holgura complementaria:

Para una soluci´ on b´ asica en el Primal y su complementaria en el Dual, se definen las relaciones de holgura complementaria como: Variable Primal

Variable Dual

B´asica

No b´asica

No b´asica

B´asica

[Si una variable tiene holgura con respecto a su restricci´on de no-negatividad (¿0), entonces la variable complementaria no tiene holgura con su restricci´on de no-negatividad (=0)]

Propiedad de las soluciones b´ asicas ´ optimas complementarias:

Cada soluci´ on b´ asica ´ optima en el Primal tiene una soluci´on b´asica ´optima en el Dual, donde los valores de la FO son iguales. La soluci´on Dual se lee en el rengl´on (0) de la tabla simplex para el Primal. Esta propiedad tambi´en se puede expresar: una condici´on necesaria y suficiente para que una pareja de soluciones factibles de programas lineales duales (P) y (D) sea ´optima es que: * Si una restricci´ on de uno de los programas lineales no es activa, la variable correspondiente 221

del dual es nula. * Si una variable de uno de los programas lineales es positiva, la restricci´on correspondiente del dual es activa. Ejemplo: retomando el problema de las c´amaras Polarex, la soluci´on ´optima es (X1 =26.667, X2 = 16.667) con Z=250,000. Podemos checar que: * Las restricciones 1 y 3 son activas, pero las 2 no: implica que la variable Dual asociada Y2 = 0. * X1 y X2 son mayores que cero, entonces las restricciones del Dual son cerradas. ¿Deduzca el Precio Sombra de las restricciones del Primal? Problema de aplicaci´ on: Considere el siguiente PL: Max x1 + 2x2 + x3 s.t. 2x1 + x2 + x3  10 5x1

x2

x3  5

x1 , x2 , x3

0

Resuelva este problema con el m´etodo Simplex. Encuentre la forma Dual del problema. Encuentre la soluci´ on del Dual sin re-optimizar.

6.1.4.

Adaptaci´ on a otras formas del Primal

Si el problema Primal no est´ a en forma est´andar, entonces se pueden realizar los pasos para estandarizar y, luego, derivar la formulaci´on del Dual. Sin embargo, existen mecanismos m´as directos: * Si una restricci´ on del Primal es de tipo “=”, entonces implica en el Dual una variable no restringida. * Si tenemos una restricci´ on de tipo “

” con un problema de maximizaci´on, la variable Dual

asociada es no-positiva. 222

Regla del Com´ un-Extra˜ no-Raro Se reduce a:

6.1.5.

Primal(Dual)

Dual(Primal)

Funci´ on Objetivo a Maximizar

Funci´on Objetivo a Minimizar

j-´esima restricci´on

j-´esima variable  0

j-´esima restricci´on 

j-´esima variable

j-´esima restricci´on =

j-´esima variable X 0

i-´esima variable

i-´esima restricci´ on

0

0

i-´esima variable  0

i-´esima restricci´ on 

i-´esima variable X 0

i-´esima restricci´ on =

Introducci´ on al an´ alisis de sensibilidad

Generalidades Los par´ ametros aij , bj y ci del modelo de PL son regularmente susceptibles de sufrir alg´ un cambio. Nos gustar´ıa conocer cu´ al es el impacto de uno de estos cambios sobre la soluci´on ´optima encontrada al final del Simplex: ¿sigue siendo ´optima?, ¿sigue siendo factible? Asimismo, se puede determinar los par´ametros sensibles (los par´ametros cuyo cambio tiene un impacto en la soluci´ on ´ optima actual); se puede incluso determinar, para estos par´ametros, el rango permisible para que la soluci´ on permanezca ´optima, o factible. Se puede usar, para contestar a estas preguntas, el problema Dual, ya que los cambios en el problema Primal se repiten en el problema Dual.

Por ejemplo: - Cambio en los coeficientes de una variable no-b´asica: obviamente, ya que es no-b´asica, la soluci´ on actual sigue siendo factible. Para la optimalidad, usamos la factibilidad del Dual: los coeficientes asociados a una variable del Primal s´olo aparecen en una restricci´on del Dual: por lo tanto, s´ olo al checar la factibilidad de la restricci´on Dual asociada, se puede concluir si todav´ıa es ´optima la soluci´ on.

223

- Introducci´ on de una nueva variable: agregar una nueva variable equivale, para el Dual, a agregar una sola restricci´ on. Si se satisface la nueva restricci´on, entonces la soluci´on actual es ´optima.

Un procedimiento general consistir´ıa en modificar los datos del problema inicial y luego aplicar a la nueva instancia los mismos pasos que los que se usaron en el problema original. Se puede entonces checar si la nueva soluci´ on obtenida es factible y ´optima. En caso negativo, se puede partir de esta nueva soluci´ on para seguir iterando el algoritmo Simplex. Sin embargo, volver a aplicar los mismos pasos del simplex anterior a la nueva instancia puede resultar tedioso o pesado computacionalmente. Pero existe una forma de conseguir la tabla final revisada a partir de la tabla final del problema original.

Precisiones preliminares

Comparemos las tablas inicial y final para el problema cl´asico de maximizaci´on:

Figura 6.15: Figura 1

224

y

Figura 6.16: Figura 1

Que se pueden representar bajo la forma:

Figura 6.17: Figura 1

Dado que inicialmente, la matriz S es la matriz identidad, entonces todos los cambios (e.g., las operaciones algebraicas de eliminaci´on de GJ) efectuados se encuentran registrados en S*: La matriz [A*—b*] se puede deducir de la matriz S*: [A*—b*] = S* x[A—b]. Y sabemos que, dado que y* representa los precios sombra, entonces tenemos que Z* = y* x b. N´ otese que se tiene entonces que acomodar la tabla en caso de que variables b´asicas tengan un coeficiente diferente de 0 en el rengl´on de la FO. Nota: tendr´ıamos tambi´en que w* = y*x A.

Por lo tanto, si se conocen los nuevos datos iniciales, se pueden aplicar las mismas operaciones a la tabla simplex usando las relaciones anteriores.

Ejemplo de aplicaci´ on:

225

considere el modelo siguiente

Max Z = 3 X1 + 5 X2 s.t. X1  4 2 X2  12 3X1 + 2 X2  18 X1, X2 ¿ = 0 1. Resolver con el Simplex. 2. Cambio en los par´ ametros;

Max Z = 4 X1 + 5 X2 s.t. X1  4 2 X2  24 2 X1 + 2 X2  18 X1, X2 ¿ = 0 Encuentre la nueva soluci´ on.

6.1.6.

Aplicaci´ on del an´ alisis de sensibilidad

Cambio en las bi Podemos volver a calcular la nueva tabla simplex completa: [A*—b*] = S* x [A—b], y deducir Z*=y*xb. Por lo tanto 4Z⇤ = y ⇤ x 4 b⇤ = y ⇤ x(S ⇤ x 4 b). Podemos, por lo tanto, deducir el nuevo valor de las variables b´ asicas y de la FO en la nueva soluci´on. Ejemplo: para el problema anterior, s´olo hay un cambio en el 2ndo TLS, igual a 24 en vez de 12. Calcule el nuevo valor de la FO y de las variables. Concluya sobre la factibilidad de la soluci´ on y encuentre la nueva soluci´ on ´ optima. Encontramos nuevamente el resultado enunciado anteriormente: 4Z* = y*(1) x 4b1 .

226

Intervalo permisible para seguir factible la soluci´ on:

b⇤ = S ⇤ x b, o sea que b⇤new =b⇤old + S*x

b. Dado que b* proporciona el valor de las

variables b´ asicas, para que la soluci´on sea factible queremos: b⇤new

0, es decir S*x

b

b⇤old .

Esto deriva en una condici´ on por cada rengl´on de b, y posiblemente en un intervalo de variaci´ on por cada rengl´ on de b. Rangos de factibilidad: intervalo de valores para cada TLD en el que la soluci´on b´asica factible optima es factible. As´ı, el Precio Sombra del recurso i sigue siendo v´alido para calcular el nuevo ´ valor de la FO ssi el TLD se queda en el rango de factibilidad. N´ otese que los rangos de factibilidad calculados por cada bi son v´alidos s´olo si es el u ´nico cambio en el modelo.

Ejemplo: Determine los rangos permisibles de variaci´on de los TLDs para que la soluci´on siga siendo factible para el problema anterior.

Cambios simult´ aneos en los TLDs

Como se vio ahora mismo, se puede deducir el nuevo valor de las variables (b*’=S*xb’): si los TLDs son todos no-negativos, la soluci´on es factible y es ´optima (ya que no hubo cambio en el rengl´ on de la FO). Podemos tambi´en calcular los rangos de factibilidad para cada bi (cambio de un solo par´ametro). Si cambian varios bi simult´ aneamente, los rangos de factibilidad ya non v´alidos. Regla del 100 %: los Precios Sombra permanecen v´alidos cuando los cambios en los par´ametros bi no son muy grandes. Para verificar que son suficientemente peque˜ nos, para cada cambio se calcula el porcentaje del cambio permitido (disminuci´on o aumento) para que este TLD siga dentro del rango de factibilidad (intervalo permisible factible).. Si la suma de los porcentajes (en valor absoluto) no excede () 100 %, es definitivo que la los Precios Sombra todav´ıa ser´an v´alidos.

227

Si la suma excede 100 %, no se puede concluir.

Ejemplo: el vector b del ejemplo anterior cambia de [4 12 18] a [4 15 15]. ¿Es factible la soluci´ on b´ asica ´ optima actual? Cu´ al es nuevo valor de la FO y de las variables?

Cambio en los coeficientes de una variable no-b´ asica

Pueden cambiar los coeficientes de costo/matriz de una variable no-b´asica xi , identificados en una misma columna de la tabla simplex. Siendo factible la soluci´on ´optima actual (ya que es no-b´ asica la variable considerada), s´olo hace falta comprobar su optimalidad: para ello se refiere a la restricci´ on del Dual asociada con la variable xi . Si sigue factible la soluci´on complementaria en el Dual, entonces es ´ optima la soluci´on.

En caso de que ya no sea ´ optima la soluci´on actual y que se desee conocer la nueva soluci´ on optima, se modifica el coeficiente de xi en la FO y se consigue el nuevo valor final aplicando: ´

y los coeficientes de xi en los renglones 1 a m aplicando:

A ⇤ i ’ = S*x Ai ’ Se inicia ahora el m´etodo simplex con xi siendo la nueva variable entrante.

Ejemplo: retome la soluci´ on ´ optima de la variaci´on (cambio en los TLDs) del problema anterior. X1 es no-b´ asica, su coeficiente de costo cambia de 3 a 4 y la columna asociada cambia de [1 0 3] a [1 0 2].

Intervalo permisible para permanecer ´ optima.

Particularmente, se considera un cambio en un solo par´ametro de costos (ci). Buscamos el rango

228

de variaci´ on de ci para que la soluci´on permanezca ´optima. Para verificar que la soluci´ on sigue siendo ´optima, aplicamos la prueba de optimalidad. El coeficiente de la variable considerada en el regl´on (0) de la tabla final es el u ´nico que cambi´o: si este nuevo coeficiente es no-negativo, entonces la soluci´on sigue siendo ´optima:

Ejemplo: retomando la soluci´ on ´optima de la variaci´on (cambio en los TLDs) del problema anterior, determine el rango de c1 para que la soluci´on actual permanezca ´optima. Ilustrar con una gr´ afica.

En ciertas ocasiones, el valor para una variable no-b´asica se llama el costo reducido de la variable xi , es decir la cantidad m´ınima que tendr´ıa que reducirse el costo unitario de la actividad i para que valga la pena realizarla (o sea aumentar el valor de xi a m´as de 0). El valor es entonces el incremento m´ aximo para que la soluci´on b´asica actual siga siendo ´optima. Si el costo reducido es igual a 0 y que la variable es no-b´asica, entonces es que tenemos soluciones m´ ultiples.

Introducci´ on de una nueva variable

Se regresa al caso anterior: introducir una nueva variable equivale a considerar un cambio de par´ ametros en una variable no-b´ asica, cuyos par´ametros eran todos iguales a 0: se presume que la nueva variable formaba parte del modelo inicial, pero con coeficientes iguales a 0 en el vector de costos y la matriz de coeficientes. El procedimiento es, por lo tanto, id´entico al del caso anterior.

Cambio en los coeficientes de una variable b´ asica

Al contrario de cambios en los coeficientes de una variable no-b´asica, ac´a la columna asociada a la variable xi debe de tener puros 0s y 1. Entonces, tenemos que volver a calcular la nueva columna de xi en la matriz A y el nuevo coeficiente de xi en el rengl´on de la FO:

229

Figura 6.18: Figura 1 Puede que la nueva tabla no est´e en forma de eliminaci´on de Gauss. Por lo tanto se tiene que aplicar las operaciones de eliminaci´on y checar si la soluci´on es factible y/o ´optima: - Si es factible - ´ optima entonces ya se acab´o. - Si es factible - no ´ optima, se termina de optimizar el Primal partiendo de la tabla actual. - Si no es factible, se consigue el problema Dual y se optimiza el problema Dual.

Ejemplo. Retomando la soluci´on ´optima de la variaci´on (cambio en los TLDs) del problema anterior, c2 = 3 (en vez de 5) y A2 = [0 3 4] (en vez de [0 2 2]). Determine si cambia la soluci´ on optima, en caso positivo determine la nueva soluci´on. ´

Intervalo permisible para permanecer ´ optima.

Como en el caso de variables no-b´asicas, se considera un cambio en un solo par´ametro de costos (ci ). Por la necesidad de convertir la tabla a la forma de eliminaci´on de Gauss, el procedimiento es un poco m´ as complicado. xi es una variable b´ asica entonces su coeficiente en la tabla final. Se incrementa ci en

ci : el

coeficiente es ahora. Se tiene que convertir la tabla a la forma apropiada de eliminaci´on de Gauss para conseguir los nuevos coeficientes: van a ser ahora funciones de

ci .

Si queremos mantener la soluci´ on ´ optima (e.g., para evaluar la variaci´on permisible para permanecer optima) el coeficiente de las variables no-b´asicas en la FO debe de quedar no-negativo: se obtiene de ´ esta restricci´ on un rango de variaci´on permisible de

ci para que permanezca ´optima la soluci´ on

actual; del cual se deduce el rango de variaci´on permisible de ci .

Ejemplo. Retomando la soluci´on ´optima de la u ´ltima variaci´on (cambio en los coeficientes de x2 ) del problema anterior, determine el rango permisible para que permanezca ´optima la soluci´ on.

230

Ilustraci´ on gr´ afica.

Los rangos calculados en esta secci´on se suelen denotar como rangos de optimalidad. N´ otese que los rangos de optimalidad son v´alidos para un cambio en un solo coeficiente de la FO; si cambian simult´ aneamente los coeficientes de varias variables en la FO, hay que aplicar la regla del 100 % para determinar si permanece ´optima la soluci´on actual.

Cambios simult´ aneos en los coeficientes de la FO.

Sin importar si las variables involucradas son b´asicas o no, el rango de variaci´on de los coeficientes para que permanezca ´ optima la soluci´on actual es v´alido para un cambio en solo coeficiente. Regla del 100 %: si se hacen cambios simult´aneos en los coeficientes de la FO, para cada cambio se calcula el porcentaje del cambio permisible. Si la suma de los porcentajes no excede 100 % entonces la soluci´ on ´ optima original definitivamente ser´a todav´ıa ´optima (si excede 100 %, entonces no hay seguridad: si los cambios son en la misma direcci´on, puede que la suma se pase de 100 % sin que cambie la FO).

Introducci´ on de una nueva restricci´ on

En este caso sencillamente se checa que si la soluci´on ´optima actual cumple con la nueva restricci´ on o no:

* Si se cumple, la soluci´ on ´ optima actual sigue sin cambiar.

* Si no se cumple, hay que agregar un nuevo rengl´on en la tabla final del simplex, con los coeficientes de la nueva restricci´on y la variable de holgura/artificial como variable b´ asica. Eventualmente se reacomoda la tabla simplex para ponerla en forma apropiada de eliminaci´ on de Gauss y se reoptimiza (aplicando el Simplex al problema Dual, ya que la soluci´on actual

231

no es factible en el Primal).

6.2.

´ METODO SIMPLEX Y DUAL

Soluci´ on por m´etodo simplex: a las restricciones t´ecnicas, se le suman las variables de holgura (cantidad de recurso no utilizado), convirtiendo a estas inecuaciones en ecuaciones. Utilizando los coeficientes de estas nuevas ecuaciones y los coeficientes de la funci´on de beneficio, se arma una matriz, la cual se transforma por el m´etodo del pivote hasta hallar el m´aximo de la producci´ on.

Ejemplo

Max B = 2 Heladeras + 3 Lavarropas Sujeto a: g1 = 3H + 4L  60 Mat. Prima g2 = 2H + 4L  48 Mano de Obra

Agrego las variables de holgura convirtiendo las inecuaciones en ecuaciones,

3H + 4L + R1 = 60 R1 = 60 - 3H - 4L 2H + 4L + R2 = 48 R2 = 48 - 2H - 4L Armo la matriz de coeficientes, donde en las filas de R1 y R2 bajo las columnas H y L, los coeficientes son negativos, pues requiero insumos para su fabricaci´on; si los coeficientes fuesen positivos estar´ıa generando insumos, lo que ser´ıa una inconsistencia:

Ahora se debe elegir el elemento que es el PIVOTE, para ello se debe elegir una fila y una columna, de forma tal que el elemento que los una sea dicho PIVOTE. Para elegir por cual columna “entr” tengo que buscar cu´ al es el producto de mayor beneficio unitario, y entrar por esa columna. Teniendo la columna busco por cu´al fila “salg”, para esto tengo que buscar cu´al es el insumo m´ as

232

Figura 6.19: Figura 1 restrictivo (para el producto de la columna elegida), y salgo por esta fila.

En el ejemplo, el beneficio unitario de los Lavarropas es mayor al de las Heladeras (2H¡3L), as´ı que entro por esta columna. Busco ahora el insumo m´as restrictivo para los Lavarropas,

Mat. Prima | 60/-4L|=15 Mano de Obra |48/-4L|=12 ! a menor valor, menor cantidad de unidades puedo fabricar, entonces es el insumo m´ as restrictivo.

Ahora que encontr´e el PIVOTE, lo que busco es transformar su columna en fila y su fila en columna; y a partir de la relaci´ on obtenida, transformar las otras filas,

R2 = 48 - 2H - 4L ) L = 12

1/2H

1/4R2

Sustituyo en las otras filas, B=2H+3L ) B = 2H + 3(12 - 1/2 H - 1/4 R2) ) B = 36+ 1/2 H - 3/4 R2) R1 = 60 - 3H - 4L ) R1 = 60 - 3H - 4(12 - 1/2 H - 1/4 R2) ) R1 = 12 - H + R2 Armo la nueva tabla Repito el m´etodo, entrando ahora por H y saliendo por R1 233

Figura 6.20: Figura 1

Figura 6.21: Figura 1 Como ninguno de los beneficios unitarios es positivo, esto quiere decir que se arribo al m´ aximo beneficio (42), produciendo 6 Lavarropas y 12 Heladeras.

Doonde los coeficientes de R1 y R2 en la fila de beneficio son, (con signo opuesto) los precios sombra de cada insumo respectivamente. Y estos verifican la siguiente ecuaci´on:

Max Ben = Disp MP. Precio Sombra de Mp + Disp MO . Precio Sombra de MO Max Ben = 60. 1/2 + 48 . 1/4 Max Ben = 30 + 12 Max Ben = 42

Tambi´en se puede transformar la matriz dividiendo la columna del pivote por ´este, la fila del pivote tambi´en por el pivote, pero manteniendo el signo original de los coeficientes; y el resto de los elementos con el m´etodo tradicional del pivote (rect´angulo).

6.2.1.

PROBLEMA DUAL

A cada problema de programaci´on lineal, que denominamos primal, le corresponde un segundo problema de tal programaci´ on que recibe el nombre de DUAL.

234

El Teorema Fundamental de la dualidad dice, que si existe un valor ´optimo para cada uno de los problemas, primal y dual, el valor m´aximo de la funci´on objetivo del primal coincide con el valor m´ınimo que toma la funci´ on objetivo del dual.

S´ıntesis: 1) El dual tiene una variable para cada restricci´on del primal. 2) El dual tiene tantas restricciones como variables existen en el primal. 3) Cuando el primal es de maximizaci´on (de beneficio), el dual es de minimizaci´on (de costo) y viceversa. 4) Los coeficientes del funcional del programa original son los t´erminos independientes de las restricciones del dual y los t´erminos independientes de las restricciones originales son los coeficientes del funcional del problema dual. 5) Los coeficientes de una variable cualquiera en las inecuaciones del problema original aparecen como coeficientes de una inecuaci´ on en el dual, pero transpuestos. 6) Las desigualdades tienen sentidos inversos en el problema dual y en el problema original.

Soluci´ on por el M´ etodo Simplex

A partir del problema primal, planteo el dual y luego armo la matriz de coeficientes,

Primal: Max B = 2 Heladeras + 3 Lavarropas

Sujeto a: g1 = 3H + 4L  60 Mat. Prima g2 = 2H + 4L  48 Mano de Obra Dual:

Min C = 60 MP + 48 MO 235

Sujeto a: g1 = 3 MP + 2 MO g2 = 4 MP + 4 MO

2

3

Agrego las variables holgura y transformo las inecuaciones en ecuaciones para armar la matriz:

3 MP + 2 MO - L1 = 2 4 MP + 4 MO - L2 = 3 - L1 = 2 - 3 MP - 2 MO - L2 = 3 - 4 MP - 4 MO

Figura 6.22: Figura 1

236

Entro por la columna con menor costo unitario y salgo por la m´as restrictiva, repitiendo el m´etodo hasta no poder entrar (o salir):

Figura 6.23: Figura 1

Como ninguno de los costos unitarios es positivo, esto quiere decir que se arribo al m´ınimo costo (42), donde los coeficientes L1 y L2 en la fila de costo son (con signo opuesto) las cantidades de cada producto.

6.2.2.

An´ alisis de sensibilidad.

El an´ alisis de sensibilidad es una herramienta utilizada una vez encontrada la soluci´on ´optima. Se emplea esta herramienta para estudiar que par´ametros son los sensibles y observar el alcance de la soluci´ on ´ optima. Es decir los intervalos donde sigue siendo factible. Este an´ alisis sirve para observar los cambios en ciertos par´ametros del modelo y sus efectos en la funci´ on objetivo. Ejemplo. Max z=40x1 +10x2 s.a. 10x1 +2x2  400 15x1 +10x2  1020 3x1 +5x2  420

Pasando al tablero simplex. Resolviendo en dos iteraciones se obtiene le siguiente cuadro simplex.

237

Figura 6.24: Figura 1

Figura 6.25: Figura 1 Grafica de la regi´ on factible.

Figura 6.26: Figura 1

Los correspondientes recursos a s1 y s2 .Son totalmente usados entonces si adquiri´eramos recursos adicionales podr´ıa resultar un aumento en el valor ´optimo de la funci´on objetivo.

Por lo tanto realizaremos un an´alisis de sensibilidad del problema a trav´es de cambiar la cantidad en cualquier recurso escaso.

La soluci´ on del dual (valor de los recursos) son y1 =25/7 , y2 =2/7 dado a que y1 ¿y2 se observa

238

que lo conveniente es analizar el impacto que traer´ıa el cambio al recurso correspondiente a la primera restricci´ on.

Sea

el cambio en el recurso de la primera restricci´on. Entonces reescribimos la restricci´on uno

en t´erminos de delta.

10x1 +2x2 +s1 =400+ Si embargo el valor de s1 =0 seg´ un la tabla ´optima por lo tanto.

10x1 +2x2 =400+ 10x1 +2x2 - =400 Sea s1 =- y s1 es una variable de holgura o artificial dependiendo de la restricci´on.

Entonces

10x1 +2x2 +s1 =400 Expresando las restricciones a partir de la tabla ´optima en forma de ecuaciones se tendr´a lo siguiente. z+25/7 s1 +2/7 s2 =1720 x1 +s1 /7-s2 /35=28 x2 -(3s1 )/14+s2 /7=60 (9s1 )/14-(22s2 )/35+s3 =36 Ya que s1 =

y s2 =0 sustituimos estos valores en el sistema anterior, obteniendo lo siguiente. z-25/7 =1720 x1 - /7=28 x2 +3 /14=60 -9 /14+s3 =36

239

El problema a resolver es ¿Qu´e tan grande puede ser sin afectar la base del la soluci´on del problema? Para cualquiera de los recursos, las variables deben permanecer no negativos as´ı debe satisfacer lo siguiente. x1 =28+ /7 0 ! x2 =60 - 3 /14 s3 =36+9 /14

0! 0!

- 28/(1/7)=-196  60/(3/14)=280 - 36/(9/14)=-56

Por lo tanto, el recurso puede aumentar a lo m´as 280 unidades, ya que cualquier aumento m´as all´ a de este l´ımite har´ıa negativa x2 . Tambi´en, los c´ alculos presentan a dos posibles candidatos para determinar el limite inferior para la disminuci´ on del recurso-

Figura 6.27: Figura 1

En la grafica anterior se observa que la m´axima disminuci´on es la cantidad que se encuentra en el extremo izquierdo de la regi´ on factible ya que la otra cantidad fuera de esta violar´ıa la restricci´ on de s3 . As´ı el intervalo de valores para el recurso de la primera restricci´on que dejar´ıa sin cambio la base es de:

400

56  b1  400 + 280 344  b1  680

240

La siguiente grafica ilustra este cambio. Grafica representativa en el cambio del recurso

Figura 6.28: Figura 1

Para =280, obtenemos la siguiente tabla ´optima. x1 =28+280/7=68

0

x2 =60-(3*(280))/14=0

0

s3 =36+(9*(280))/14=216

0

z=1720+(25*(280))/14=2720 Las variables de holgura s1 y s2 permanecen igual a cero. Observe que mientras x2 =0 es considerada como una variable b´ asica, simplemente hemos elegido el m´aximo aumento posible en el primer recurso y obligado a la variable a tomar el valor factible mas peque˜ no. Obs´ervese tambi´en que el aumento de $1000.00 en la funci´on objetivo es un incremento de 25/7 por cada unidad de las 280 que se a incrementado. Ya que como se explico el valor de y1 =25/7 representa el valor unitario del recurso de la primera restricci´on. Lo anterior significa que ser´ıa deseable que la compa˜ n´ıa adquiriera recursos adicionales de 280 unidades, si el precio (costo) unitario es menor que $25/7. La gr´ afica muestra que al cambiar el recurso b1 , se mueve el punto de intersecci´on de las rectas. 241

10x1 +2x2 = b1 y 15x1 +10x2 =1020 A lo largo del intervalo , que une los puntos (20,72) y (68,0) . El m´aximo aumento de 280 desde 400 a 680 mueve la intersecci´ on a (68,0), deteni´endose cuando el eje x1 este a punto de violar la restricci´ on de x2

0.

La m´ axima disminuci´ on de 400 a 344 mueve la intersecci´on de (20,72) y reduce el valor de la funci´ on objetivo a $1520, una disminuci´on de 25/7 por cada unidad de decrecimiento en b1 . El movimiento de la intersecci´ on en tal direcci´on es determinada por las restricciones. 3x1 +5x2  420 Para evitar que la variable de holgura s3 se convierta en negativa.

6.2.3.

El algoritmo dual simplex y an´ alisis de sensibilidad

Este algoritmo tiene como objetivo facilitar el proceso de la optimizaci´on. Para ilustrar la metodolog´ıa del algoritmo simplex dual se utilizara el siguiente ejemplo explicativo. Min z:5y1 +4y2 Sujeto a: y1 +2y2

12 5y1 +y2

31 3y1 +y2

21 y1 ,y2

0

PASO 1: Se deben agregar las variables necesarias para pasar el problema a la forma est´ andar. En este caso se agregaran variables de exceso.

Min z:5y1 +4y2 Sujeto a: y1 +2y2 -s1 =12 5y1 +y2 -s2 =31 3y1 +y2 -s3 =21

y1 ,y2 242

0

PASO 2: Se deben adecuar las variables. De modo que las variables agregadas tengan un valor superior o igual que cero.

Sujeto a: -y1 -2y2 +s1 =-12 -5y1 -y2 +s2 =-31 -3y1 -y2 +s3 =-21 y1 ,y2

0 s 1 , s2 , s 3

0

PASO 3: Es necesario reescribir la funci´on objetivo para eliminar las incongruencias.

Max z:-5y1 -4y2 Sujeto a: y1

2y2 + s1 =-12

-5y1 - y2 +s2 =-31 -3y1 - y2 +s3 =-21 y1 ,y2 s 1 , s2 , s3

0 0

PASO 4: Escribimos el problema en un tablero de soluci´on simplex.

Figura 6.29: Figura 1

Observe que las soluciones a las ecuaciones de las restricciones son negativos.

PASO 5: Se selecciona el rengl´on con el valor de soluci´on m´as negativo. (rengl´on pivote)

243

Selecci´ on del rengl´ on pivote.

Figura 6.30: Figura 1

Si todas las otras entradas en el rengl´on seleccionado son no negativas , entonces no existe soluci´ on factible. Aqu´ı se detiene el algoritmo.

PASO 6: Se calculan los cocientes de los coeficientes de la funci´on objetivo entre el valor de su correspondiente en el rengl´ on pivote seleccionado.

Cocientes y1 =-5/5,y2 =-4/1 La columna del pivote es quella que produce el m´aximo cociente negativo del la entrada del rengl´ on objetivo sobre el valor del elemento correspondiente de la columna pivote. Las correspondientes variables entran a la base. Se puede solucionar el problema usando eliminaci´on gaussiana.

PASO 7: De los cocientes encontrados seleccionar el cociente m´as grande y tomar como columna pivote a la asociada con este valor. Como lo muestra la tabla siguiente. Selecci´ on de la columna pivote.

Figura 6.31: Figura 1

244

Con base en el paso anterior pivoteamos en la primera columna y obtenemos el siguiente tablero simplex.

Figura 6.32: Figura 1

PASO 8: Se repiten los pasos del 4 al 7 hasta tener valores estrictamente positivos en la columna soluci´ on. En ese momento se habr´a terminado el algoritmo simplex.

De la tabla anterior se observa que el valor mas negativo es el de -29/5 por lo cual escogemos la hilera de s1 como hilera pivote. Calculando los coeficientes se observa lo siguiente.

245

Figura 6.33: Figura 1

Por lo que se escoge para pivotear la columna y2 como lo muestra la siguiente tabla.

Figura 6.34: Figura 1

-10/9 es el valor mas negativo as´ı que seleccionamos a s3 como la hilera pivote. Calculamos los cocientes asociados.

Figura 6.35: Figura 1

246

De lo anterior se escoge a s2 como columna pivote. Y obtenemos la siguiente tabla simplex.

Figura 6.36: Figura 1

Como ya no existen valores negativos del lado derecho de las ecuaciones ligada a las restricciones entonces se da por concluido el algoritmo y obtenemos de la u ´ltima tabla la soluci´on al problema.

Por

lo

anterior

se

entiende

que

la

soluci´on

del

problema

encontrada

sea

y1 =6

,y2 =3,s1 =0,s2 =2,s3 =0 con un valor de z=42 recuerde que este valor fue multiplicado por -1 al principio. Por lo que es necesario regresarla a su forma original multiplicando el valor obtenido por -1.

247

Cap´ıtulo 7

Problemas de transporte y asignaci´ on 7.0.4.

Definici´ on y propiedades del modelo.

Sup´ ongase que se requiere transportar cierto producto desde m centros de oferta, tambi´en llamados or´ıgenes, a n centros de demanda, denominados destinos. Sean oi la oferta del origen i (i=1,. . ., m) y dj la demanda del destino j (j=1,. . ., n). Sea cij el costo unitario de transporte del producto del origen i al destino j (i=1, . . . , m; j=1, . . . , n). Se desea transportar el producto de los or´ıgenes a los destinos de tal modo que no exceda la producci´on de cada origen, se satisfaga la demanda en cada destino y se incurra en el m´ınimo costo de transporte. Este problema puede ser formulado mediante el siguiente modelo de programaci´on lineal: Donde: Xij = n´ umero de unidades del producto a transportar del origen i al destino j; (i=1, . . ., n). Las desigualdades (5.1) y (5.2) se llaman restricciones de oferta y demanda respectivamente. Las propiedades de este modelo se estudian para el caso de que se cumpla el supuesto de que la oferta total es igual a la demanda total; esto es: Sin embargo, si esto no se cumple, puede asociarse al modelo original otro equivalente en donde este supuesto se satisfaga. En efecto, si la oferta total excede a la demanda total, puede definirse un destino ficticio cuya demanda sea el exceso de producci´on, es decir:

248

Figura 7.1: Figura 1

Figura 7.2: Figura 1 El costo de transporte del origen i (i=0 1,. . ., m) al destino n+1 es cj ,n+1=0. Anal´ogicamente, si la demanda total excede la oferta total, se define un origen ficticio con oferta igual a:

249

Figura 7.3: Figura 1

Figura 7.4: Figura 1

En donde cm +1,j=0 para j=1, . . ., n. De lo anterior se concluye que cualquier modelo de trasporte puede ser formulado como uno en donde se satisfaga que la oferta total es igual a la demanda total por lo que de aqu´ı en adelante se supondr´ a este hecho. La primera propiedad del modelo de transporte es que ´este puede expresarse en forma est´andar sin necesidad de agregar variables de holgura. Esto se establece en el siguiente teorema:

y propiedades del modelo

Teorema 5.1. Cualquier soluci´on factible del problema de transporte (PT) satisface las restricciones (5.1) y (5.2) como igualdades.

Demostraci´ on. Entonces:

250

Figura 7.5: Figura 1

Figura 7.6: Figura 1 Lo cual es una contradicci´ on puesto que los extremos de esta desigualdad estricta son iguales. Por tanto se cumple para toda soluci´on factible de (PT) que:

Figura 7.7: Figura 1

Anal´ ogicamente, para toda soluci´on factible de (PT) se cumple: El modelo de transporte puede formularse entonces:

251

Figura 7.8: Figura 1

Figura 7.9: Figura 1 N´ otese que la estructura de la matriz de restricciones de (PT), de orden (m+n), es muy especial: Matriz de restricciones de (PT) Cada columna tiene exactamente dos elementos iguales a 1 y el resto son 0, puesto que la cantidad xij s´ olo aparece en la i-´esima restricci´on de oferta y en la j-´esima restricci´on de demanda con coeficiente 1 en ambas. Adem´ as, como puede observarse en la figura 5.1, los primeros n elementos del primer rengl´on son iguales a 1 y el resto son 0, los segundos n elementos del segundo rengl´on 1, y as´ı sucesivamente hasta el rengl´ on m. Los u ´ltimos n renglones de la matriz est´an compuestos por m submatrices id´enticas de n x n. Esta estructura especial se aprovecha para una especializaci´on del algoritmo simplex que se aplica a este tipo de modelos. Otra propiedad importante de la matriz y restricciones de (PT) es que no es de rango completo; es

252

Figura 7.10: Figura 1 decir, hay una restricci´ on redundante. En efecto, si se suman los primeros m renglones y se restan los siguientes n se obtiene el vector 0. Intuitivamente esto se interpreta del siguiente modo: si se desconoce la oferta de alg´ un origen, o la demanda de alg´ un destino, puede calcularse ´esta con ayuda del supuesto de que la oferta es igual a la demanda total. De hecho puede demostrarse que el rango de la matriz es exactamente m+n-1.

Representaci´ on gr´ afica del problema

Intuitivamente: si se desconoce la oferta de los or´ıgenes, o la demanda de dos destinos, se podr´ a calcular la oferta (o la demanda) conjunta de ambos pero no la de cada uno. De aqu´ı podemos concluir que:

N´ umero de variables b´ asicas en una soluci´ on b´ asica = m+n-1 Otras propiedades de la matriz son la unimodularidad total (es decir el determinante de cada submatriz cuadrada vale 1-1 o 0) y la triangularidad de sus bases. Las propiedades anteriores pueden ser explotadas cuando se aplica el algoritmo simplex al problema (PT). En efecto, el primer paso es construir la forma est´andar; (PT) ya tiene ´esta. Lo siguiente es la determinaci´ on de una soluci´on b´asica inicial. Esto puede resolverse utilizando, por ejemplo, el m´etodo simplex de las dos fases; sin embargo, existen m´etodos m´as eficientes que aprovechan la ´ estructura especial de este modelo particular de programaci´on lineal. Estos ser´an descritos en la 253

secci´ on 5.3. Antes de describir tales m´etodos se proporciona una representaci´on gr´afica muy u ´til del problema de transporte.

7.0.5.

Representaci´ on gr´ afica del problema.

El modelo de transporte puede representarse gr´aficamente mediante la red bipartita R=(X a U X b , A, c) en donde: i) Xa representa el conjunto de or´ıgenes. ii) Xb representa el conjunto de destinos. iii) E(i, j)" A $ es posible transportar el producto del origen i al destino j. iv) c es una funci´ on real tal que c(i, j) =cij , para (i, j) " A.

Red asociada al problema de transporte.

Figura 7.11: Figura 1

Al arco (i,j) " A puede asociarse la variable de decisi´on xij . Obs´ervese que, formulado de este modo el problema, determinar una soluci´on b´asica equivale a encontrar un conjunto de arcos de R y la cantidad xij asociada a ellos Soluci´on b´asica: ´arbol expandido.

254

Figura 7.12: Figura 1 De hecho, basta determinar aquellos arcos para los cuales xij es variable b´asica (para las otras xij es cero); de la secci´ on anterior se sabe que el n´ umero de variables b´asicas es m + n - 1 por lo cual el n´ umero de arcos en la representaci´ on gr´afica de la soluci´on b´asica es m+n-1. Adem´as puede probarse que estos m+n-1 arcos no formas ciclos, pues las columnas de la matriz de restricciones asociadas con ellos son linealmente independientes y por tanto la representaci´on gr´afica de una soluci´on b´ asica del problema corresponde a un ´ arbol expandido de R (hay m+n v´ertices). Esta propiedad juega un papel importante en el desarrollo de m´etodos para determinar la soluci´on b´asica inicial del problema (PT) y en la especializaci´ on del algoritmo simplex para estos modelos. Otra propiedad de esta red es que, puesto que es bipartida, no existen en ella ciclos de cardinalidad impar. Esto ser´ a de gran importancia cuando efectuemos un cambio de soluci´on b´asica; es decir, cuando realicemos un pivoteo.

7.0.6.

Soluci´ on Inicial.

El modelo de transporte puede ser representado en una tabla llamada de transporte. Cada rengl´ on de esta tabla est´ a asociado a un origen y cada columna a un destino por lo cual a cada variable xij corresponde una casilla; es decir, a cada arco de la red bipartita corresponde una de ´estas. En la casilla (i,j) aparece el costo de xij .

En la figura 5.4 se muestra la tabla correspondiente a la red bipartida de la figura 5.2.

255

Figura 7.13: Figura 1 Para determinar una soluci´ on b´asica factible tendremos que determinar m+n-1 casillas de la tabla de transporte que correspondan a un ´arbol. En la figura 5.5 se muestra la tabla correspondiente al arbol de la figura 5.3. ´

Figura 7.14: Figura 1

Si tenemos un ciclo en la red bipartita ´este puede detectarse en la tabla. En efecto, una secuencia de casillas en un rengl´ on (o columna), de tal manera que no haya tres consecutivas en el mismo y que la u ´ltima tenga un rengl´ on (o columna) en com´ un con la primera, forman un ciclo. Por ejemplo el ciclo formado por los arcos asociados a las variables x12 , x13 ,x23 ,x22 , se muestra en la figura 5.6.

256

Figura 7.15: Figura 1

Este mismo ciclo se muestra en la figura 5.7

Figura 7.16: Figura 1

De lo anterior se concluye que, para determinar una soluci´on b´asica factible, debemos determinar un conjunto de m+n-1 casillas que no formen ciclo junto con los valores de las variables correspondientes. Las variables restantes ser´an no b´asicas por lo cual su valor es cero. Se han desarrollado diversos m´etodos para hacer lo anterior. Aqu´ı se presentan dos de ellos: el de la esquina noroeste y el de la casilla de costo m´ınimo.

257

En ambos la filosof´ıa es an´ aloga:

1. Se escoge una casilla (i,j).

2. Se asigna a la variable xij el m´aximo valor posible. Este ser´ıa el m´ınimo entre la oferta a´ un no asignada del origen i y la demanda a´ un no satisfecha del destino j.

3. Se cancelan las casillas correspondientes al rengl´on o columna que haya definido el m´ınimo anterior. Esto garantiza que no se formar´an ciclos. 4. Si ya se han asignado m+n-1 casillas se termina el procedimiento con una soluci´on inicial. En otro caso se repiten los pasos 1, 2 y 3. La u ´nica diferencia entre estos dos m´etodos y otros como m´ınimo rengl´ on, m´ınima columna, Vogel, etc, consiste en el criterio de selecci´on de la casilla que va a ser asignada (paso1).

7.0.6.1.

Algoritmo de la esquina noroeste.

En este algoritmo se siguen los pasos 1 a 4 comentados anteriormente y el criterio para elegir la casilla en el paso uno es: Se escoge la casilla, no asignada y no cancelada, que est´e situada en la parte superior e izquierda de la tabla. Esto u ´ltimo da al algoritmo su nombre. A continuaci´ on presentamos un ejemplo:

Ejemplo 5.1 Consideramos el problema de transporte con 3 or´ıgenes con oferta 5, 2 y 3 unidades respectivamente, 4 destinos con demanda 3, 3, 2 y 2 unidades respectivamente y cuya matriz de costos es:

Observemos primero que la oferta total es igual a la demanda total: La tabla de transporte correspondiente es la figura 5.8 Soluci´ on inicial 258

Figura 7.17: Figura 1

Figura 7.18: Figura 1

La esquina noroeste es la casilla (1,19. El m´aximo valor de x11 es el m´ınimo entre la oferta del origen 1 y la demanda del destino 1; es decir:

X11 = Min 5, 3 = 3. En la figura 5.9 se muestra la parte de la soluci´on que se ha construido. Puesto que la demanda del destino 1 ha sido satisfecha, las casillas restantes de la primera columna han sido canceladas.

259

Figura 7.19: Figura 1 Tambi´en se ha indicado en esta figura cu´anto falta a´ un por agotarse la oferta del origen 1.

Figura 7.20: Figura 1

La esquina noroeste corresponde ahora a la casilla (1,2) pues es la superior izquierda no asignada ni cancelada. El valor de x12 = 2,3 = 2 pues en el origen 1 a´ un quedan disponibles 2 unidades y en el destino 2 faltan por satisfacerse 3 unidades. En la figura 5.10 se ha anotado este valor as´ı como la demanda por satisfacer del destino 2. Puesto que ha agotado la oferta del origen 1 las casillas restantes del rengl´on 1 han sido canceladas. La casilla no asignada y no cancelada de la esquina noroeste es la (2,2) Entonces X22 = Min2, 1 = 1. En la figura 5.11 se han realizado las anotaciones correspondientes. En esta tabla se observa que la casilla a elegir es ahora la (2,3). Entonces: X23 = Min 1, 2 = 1. Si asignamos este valor obtenemos la parte de la soluci´on que se ha generado 260

Figura 7.21: Figura 1 en la figura 5.12.

261

Figura 7.22: Figura 1

Figura 7.23: Figura 1

Las restantes iteraciones se muestran en las figuras 5.13 y 5.14. En esta u ´ltima se tiene la soluci´ on completa pues el n´ umero de casillas asignadas es m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6. Esta soluci´on b´ asica factible es: X11 = 3, X12 = 2, X22 = X23 = X33 = 1, X34 = 2.

262

Las dem´ as variables (no b´ asicas) tienen valor O. El costo de esta soluci´on es: 4(3) + 7(2) + 4(1) + 4(1) + 8(1) + 5(2) = 52.

Figura 7.24: Figura 1

Una observaci´ on importante que debe hacerse es que en este algoritmo no se realiza ning´ un an´ alisis del costo. El siguiente paso consiste en “probar” la soluci´on. Esto lo veremos en la siguiente secci´on.

7.0.6.2.

Algoritmo de costo m´ınimo

En este algoritmo se siguen los pasos 1 a 4 comentados anteriormente y el criterio para elegir la casilla a ser asignada es:

263

Se escoge la casilla, no asignada y no cancelada, que tenga el menor costo en la tabla. A continuaci´ on presentamos un ejemplo:

Ejemplo 5.2. Consideremos el problema de transporte del ejemplo 5.1. La casilla con costo menor es la (3, 2). El m´ aximo valor de X32 es el m´ınimo entre la oferta del origen 3 y la demanda del destino 2; es decir:

X32 = Min 3, 3 = 3. En este caso se ha agotado la oferta a la vez que la demanda ha sido satisfecha. Si cancel´ aramos las casillas restantes de la columna 2 y del rengl´on 3, no asignar´ıamos m + n - 1 variables b´ asicas y esto, como veremos en la siguiente secci´on ser´a importante cuando se realicen pivoteos. Para completar el n´ umero de variables b´asicas requeridas se asignar´a valor O en una casilla del rengl´ on o columna en consideraci´on.

En la figura 5.15 se muestra la parte de la soluci´on que se ha construido.

Figura 7.25: Figura 1

Las restantes iteraciones se muestran en las figuras 5.16 a 5.19. En la u ´ltima se tiene la soluci´ on completa pues el n´ umero de casillas asignadas es m + n - 1 = 3 + 4 - 1 = 6.

264

Figura 7.26: Figura 1 Esta soluci´ on b´ asica factible (degenerada) es: Xll = 1, X12 = O, X13 = X14 = X21 = 2, X32 = 3. Las dem´ as variables (no b´ asicas) tienen valor O. El costo de esta soluci´on es:

4(1) + 7(0) + 7(2) + 5(2) + 3(2) + 2(3) = 40. Una observaci´ on importante que debe hacerse es que en este algoritmo, aun cuando se realiza un an´ alisis del costo (a diferencia del de la esquina noroeste), no se garantiza siquiera una buena soluci´ on.

De nuevo, el siguiente paso consiste en “probar” la soluci´on. Esto lo veremos en la siguiente secci´ on.

7.0.7.

Optimalidad de soluciones

Una vez que se ha determinado una soluci´on b´asica factible surge el problema de “probar” la optimalidad de ´esta; es decir, debe verificarse si esta soluci´on es ´optima o se tiene que cambiar por otra adyacente.

Para esta prueba de optimalidad se utiliza el problema dual del de transporte (PT). Este es: 265

Figura 7.27: Figura 1 Donde u; es la variable dual asociada a la i-´esima restricci´on de oferta (i = 1,. . ., m) y “i” es la variable dual asociada a la j-´esima restricci´on de demanda (j = 1, ... , n).

Para que un vector (u, v) E Rm+n sea soluci´on factible de (D PT) debe satisfacerse que Ui + Vj :::;cij (i = 1, , m; j = 1, ... , n) o equivalentemente Ci j -Ui -Vj2 : O (i = 1, ... ,m; j = 1, ,n).

Sea x una soluci´ on b´ asica factible de (PT) y constr´ uyase el vector (u, v)" Rm+n, de componentes Ul , U2 ,... ,um , VI ,... , Vn , resolviendo el sistema: Ci j= Ui + Vj , para Xi j variable b´asica. (5.3) En donde se tienen m + n inc´ ognitas y tantas ecuaciones como variables b´asicas de x; es decir m + n - 1 ecuaciones. Puesto que se tiene una inc´ognita m´as que ecuaciones, para obtener una soluci´ on del sistema, el valor de una de las variables puede fijarse y las dem´as pueden calcularse por sustituci´ on. 266

Figura 7.28: Figura 1

Figura 7.29: Figura 1

Obs´ervese que el vector (u, v) se construye de tal modo que satisface, con igualdad, m + n - 1 restricciones del problema dual (D PT). Si adem´as se satisfacen las m * n - (m + n - 1) restricciones restantes, esto es si:

Cij -ui - vj

O, para toda Xij no b´asica. (5.4)

Entonces (u, v) es una soluci´ on factible de (D PT). Por otro lado recu´erdese que la factibilidad dual equivale a la optimalidad primal. En efecto, esto se establece a continuaci´on.

Proposici´ on 5.2 Sean x una soluci´on b´asica factible del problema de transporte (PT) y (u,v) " Rm+n calculado por medio de (5.3); si (u,v) satisface (5.4) entonces x es soluci´on ´optima para (PT) y (u,v) es soluci´ on ´ optima para el dual (Dp T ).

267

Demostraci´ on. Que (u, v) sea factible es inmediato de la hip´otesis. Para probar la optimalidad evaluemos la funci´ on objetivo de (PT) en el vector x:

268

Figura 7.30: Figura 1

Puesto que las variables no b´ asicas valen O y (u, v) se calcula mediante (5.3), La cantidad anterior es igual a:

Figura 7.31: Figura 1

Dada la factibilidad de x la cantidad anterior es igual a:

Figura 7.32: Figura 1

Por tanto el valor de las funciones objetivo de (PT), en x, y de (DP T ), en (u, v), coincide y de aqu´ı se concluye que ambas soluciones son ´optimas para sus respectivos problemas. La estructura especial del modelo lineal estudiado en este cap´ıtulo permite simplificaciones del algoritmo simplex. Esta especializaci´on se conoce como algoritmo de transporte y se presenta en la siguiente secci´ on.

269

7.0.8.

Algoritmo de transporte

El algoritmo de transporte consiste, como se ha mencionado anteriormente, en una especializaci´ on del algoritmo simplex. Se describen detalladamente los pasos a continuaci´on.

Determinaci´ on de una soluci´ on b´ asica factible inicial

La soluci´ on b´ asica inicial x se determina utilizando cualquiera de los m´etodos descritos anteriormente (esquina noroeste, costo m´ınimo).

Prueba de optimalidad

De la secci´ on anterior se deduce que esta prueba consiste en la construcci´on del vector de variables duales (u, v) " Rm+n resolviendo el sistema.

De ecuaciones (5.3) de esa secci´on. La soluci´on x ser´a ´optima si el vector (u,v) satisface la condici´ on (5.4); en otro caso debe procederse al cambio de soluci´on. Recu´erdese que en el algoritmo simplex la herramienta de optimalidad utilizada es el vector de coeficientes de costos reducidos:

Figura 7.33: Figura 1

En donde: CB es el vector de coeficientes de las variables b´asicas B es la base correspondiente a x y A es la matriz de restricciones.

Recu´erdese tambi´en que la soluci´on dual es cBB-1(factible en optimalidad). Ya que la matriz

270

de restricciones de (PT) tiene exactamente dos elementos distintos de cero e iguales a 1 en cada columna, el coeficiente de costo reducido de la variable Xij es:

Figura 7.34: Figura 1

Puesto que se est´ a minimizando se desea que esta cantidad sea mayor o igual a cero para concluir la optimalidad de x. Adem´as Cij deber´a ser cero para Xij b´asica.

De nuevo puede observarse que la factibilidad dual equivale a la optimalidad primal puesto que en la construcci´ on de (u, v) se satisface Ci = Ui + Vj para Xij b´asica y para verificar la optimalidad de la soluci´ on primal se comprueba precisamente que las dem´as restricciones duales son satisfechas:

Ui + Vj  Cij para Xij no b´asica. Determinaci´ on de la variable que entra a la base. Esta es cualquiera que cumpla Cij < O. Determinaci´ on de la variable que sale de la base

Cuando el arco correspondiente a la variable entrante se agrega al ´arbol asociado con la soluci´ on b´ asica, se forma un ciclo u ´nico de cardinalidadpar (recu´erdese que la gr´afica es bipartita). Esto significa que para obtener una nueva soluci´on b´asica debe eliminarse un arco de tal ciclo. La variable correspondiente a ´este es la que dejar´a de ser b´asica.

Para determinar que arco dejar´a la base notemos lo siguiente: Cuando una variable entra a la base su valor aumentar´ a, para conservar factibilidad las variables b´asicas adyacentes a ´esta deber´ an 271

entonces bajar su valor en la misma cantidad y as´ı sucesivamente (ver figuras 5.20 y 5.21). Puesto que nos interesa que la entrante aumente lo m´as posible, conservando factibilidad, debemos cuidar que aquellas que disminuyen no se vuelvan negativas. El m´ aximo valor de la variable entrante es igual entonces al m´ınimo valor de las que bajan de valor.

Supongamos, por ejemplo, que la variable elegida para convertir en b´asica es la de la casilla (i3 , j1 )y que forma ciclo con las casillas b´asicas (i3 ,js ), (il ,j3 ) e (il ,jl ). Este ciclo se muestra en la gr´ afica de la figura 5.20 y en la tabla de la figura 5.21.

Figura 7.35: Figura 1

Puesto que se est´ a minimizando se desea que esta cantidad sea mayor o igual a cero para concluir la optimalidad de x. Adem´ as Cij deber´a ser cero para Xij b´asica. De nuevo puede observarse que la factibilidad dual equivale a la optimalidad primal puesto que en la construcci´on de (u, v) se satisface Ci = Ui + Vj para Xij b´ asica y para verificar la optimalidad de la soluci´on primal se comprueba precisamente que las dem´ as restricciones duales son satisfechas: Ui + Vj  Cij para Xij no b´asica. Determinaci´ on de la variable que entra a la base Esta es cualquiera que cumpla Cij < O. Determinaci´on de la variable que sale de la base Cuando el arco correspondiente a la variable entrante se agrega al ´arbol asociado con la soluci´ on b´ asica, se forma un ciclo u ´nico de cardinalidad par (recu´erdese que la gr´afica es bipartita). Esto significa que para obtener una nueva soluci´on b´asica debe eliminarse un arco de tal ciclo. La variable 272

correspondiente a ´este es la que dejar´a de ser b´asica.

La variable Xi3 ,jl aumentar´ a (pues siendo no b´asica val´ıa cero) en una cantidad 0;esto se ha marcado con un signo + en las figuras, por lo anterior, para conservar la factibilidad, la variable b´ asica xi1 . j1 deber´ a bajar su valor en la misma cantidad (se˜ nal´andose con - en las figuras) y as´ı sucesivamente hasta completar el ciclo. Como ´este es de cardinalidad par, cuando se suma (se resta) o: al valor de las variables marcadas + (-) se obtiene una soluci´on que respeta las restricciones de oferta y demanda. Ahora bien, deben cuidarse tambi´en las restricciones de no negatividad. Entonces el valor m´ aximo de a est´ a dado por el de la variable menor marcada con aquella variable que se vuelva cero es la que deja la base. (si hay varias se elige arbitrariamente una para sacarla de la base).

273

Figura 7.36: Figura 1

Actualizaci´ on de la soluci´ on Una vez que se aumente el valor de las variables marcadas + en el ciclo, se disminuya el de las marcadas - y se convierta en no b´asica aquella cuyo valor nuevo es cero se habr´a obtenido una nueva soluci´ on b´ asica factible y por tanto se realiza con ´esta la prueba de optimalidad. En resumen: Algoritmo de transporte.

Objetivo: Resolver un problema de transporte.

Paso 1. Determinar una soluci´on b´asica inicial (Esquina noroeste o costo m´ınimo). (Prueba de optimalidad)

Paso 2. Obtener una soluci´ on dual resolviendo el sistema

Figura 7.37: Figura 1

274

7.0.8.1.

Algoritmo de transporte

Si cij = Cij - ui - vj

O 8 xi j no b´asica terminar; la soluci´on actual es ´optima. - Si cij ¡O para

alguna Xij no b´ asica ir al paso 3. (Cambio de soluci´ on)

Paso 3. Determinar la variable entrante (Cualquiera con cij ¡O). Paso 4. Determinar la variable saliente. Marcar alternadamente + y - las variables del ciclo empezando con la entrante. La m´ınima variable marcada - es la que sale. Sea ↵ su valor. Paso 5. Sumar ↵ a las variables marcadas +, restar ↵ a las marcadas - e ir al paso 2.

Ejemplo 5.3. Consideremos el problema de transporte del ejemplo 5.I.

A continuaci´ on se aplicar´ a el algoritmo de transporte para determinar la forma m´as econ´ omica de env´ıo.

Iteraci´ on 1

(Inicio)

Paso 1. Se tomar´ a la soluci´ on b´asica inicial obtenida en el ejemplo 5.1. Esta se muestra, de nuevo, en la figura 5.22. El costo es de:

3 (4) + 2 (7) + 1 (4) + 1 (4) + 1 (8) + 2 (5) = 52 (Prueba de optimalidad) Paso 2. Las variables b´ asicas son X11 , X12 , X22 , X23 , X33 Y X34 , entonces: Si se fija ul = O, se obtiene: vI = 4, v2 = 7, u2 = -3, v3 = 7, u3 = 1 Y v4 = 4. Recordemos que las variables duales ui est´an asociadas a las restricciones de oferta; es decir a los or´ıgenes. En la figura 5.22 se muestran acopladas al rengl´on correspondiente al origen i. 275

Figura 7.38: Figura 1 An´ alogamente la variable dual Vj se ha asociado a la columna j. En la tabla de transporte es sencillo saber que ecuaciones corresponden al sistema Cij = ui + vj (8 xij b´ asica) pues basta con conocer las casillas b´asicas, fijar una de las variables duales en cualquier valor y despejar las dem´ as utilizando estas casillas.

Figura 7.39: Figura 1

Calcularemos ahora Cij = Cij

Ui

Vj para las casillas no b´asicas:

C13 = C13

ul

v3 = 7

O

7=O

C14 = C14

ul

v4 = 5

O

4=1

C21 = C21

u2

vI = 3

( 3)

4=2

C24 = C24

u2

v4 = 3

( 3)

4=2

C31 = C31

u3

vI = 4

1

4=

1

C32 = C32

u3

v2 = 2

1

7=

6

Como C31 , C32 < O la soluci´on actual no es ´optima. 276

(Cambio de soluci´ on) Paso 3. Se elige X31 para convertirla en b´asica. Paso 4. El ciclo formado se muestra en la figura 5.22. Se han marcado con + y - alternadamente las casillas del ciclo, empezando con (3,1). Entonces a = min x11 , x22 , x33 = 3, 1, 1 = 1. Se elige x22 para dejar la base. Paso 5. Se suma y resta alternadamente esta cantidad a las variables del ciclo y se obtiene la soluci´ on mostrada en la figura 5.23, de costo:

52

1(1) = 51.

Iteraci´ on 2 (Prueba de optimalidad)

Paso 2. Se fija vI = O, Como la casilla (1,1) es b´asica se obtiene: ul = 4 de la ecuaci´on 4 = c11 = ul + vI

(1,2) es b´asica ! 7 = C12 = ul + v2 ! v2 = 3, (3, 1) es b´asica ! 4 = C31 = u3 + vI ! u3 = 4, (3,3) es b´asica ! 8 = C33 = u3 + v3 ! v3 = 4, (2,3) es b´asica ! 4 = C23 = u2 + v3 ! U2 = O, (3,4) es b´asica ! 5 = C34 = u3 + v4 ! v4 = 1. Estos valores se muestran en la figura 5.23. Calcularemos ahora cij = cij - ui - vi para las casillas no b´asicas:

c13 C13

ul

v3 = 7 - 4 - 4 = -1

277

c14 C14

ul

v4 = 5 - 4 - 1 = O

c21 C21

u2

vI = 3 - O - O = 3

c22 C22

u2

v2 = 4 - O - 3 = 1

c24 C24

u2

v4 = 3 - O - 1 = 2

c32 C32

u3

v2 = 2 - 4 - 3 = -5.

Figura 7.40: Figura 1

Como C13 , C32 < O la soluci´ on actual no es ´optima. (Cambio de soluci´on) Paso 3. Se elige x32 para convertir en b´asica.

Paso 4. El ciclo formado se muestra en la figura 5.23. Se han marcado con + y - alternadamente las casillas del ciclo, empezando con (3,2). Entonces ↵ = min x12 , x31 = 3, 1 = 1 Y x31 deja la base.

Paso 5. Se suma y resta alternadamente esta cantidad a las variables del ciclo y se obtiene la soluci´ on mostrada en la figura 5.24, de costo:

51

5(1) = 46.

Iteraci´ on 3 (Prueba de optimalidad)

278

Figura 7.41: Figura 1 Paso 2. Se fija UI = O,

(1,1) es b´asica = 4 = c11 = uI + vI = vI = 4, (1,2) es b´asica = 7 = CI2 = u1 + v2 = v2 = 7, (3,2) es b´asica = 2 = C32 = u3 + v2 = u3 = -5, (3,3) es b´asica = 8 = C33 = u3 + v3 = v3 = 13, (2,3) es b´asica = 4 = C23 = u2 + v3 = u2 = -9, (3,4) es b´asica = 5 = C34 = u3 + v4 = v4 = 10. Estos valores se muestran en la figura 5.24.

Calcularemos ahora c = Cij

ui

vj para las casillas no b´asicas:

Figura 7.42: Figura 1

Como C13 , C14 < O la soluci´ on actual no es ´optima. (Cambio de soluci´ on)

279

Paso 3. Se elige xI3 para convertir en b´asica. Paso 4. El ciclo formado se muestra en la figura 5.24. Se han marcado con + y - alternadamente las casillas del ciclo, empezando con (1,3).

Entonces a = min xI2 , x3 3 = 2, O = O Y x33 deja la base.

Paso 5. Se suma y resta alternadamente esta cantidad a las variables del ciclo y se obtiene la soluci´ on mostrada en la figura 5.25, de costo:

46

6(O) = 46.

Figura 7.43: Figura 1

Paso 4. El ciclo formado se muestra en la figura 5.25. Se han marcado con + y - alternadamente las casillas del ciclo, empezando con (1,4). Entonces a = min xI2 , x34 = 2,2 = 2. Se elige x34 para dejar la base.

280

Figura 7.44: Figura 1 Paso 5. Se suma y resta alternadamente esta cantidad a las variables del ciclo y se obtiene la soluci´ on mostrada en la figura 5.26, de costo:

46

5(2) = 36.

Figura 7.45: Figura 1

Iteraci´ on 5 (Prueba de optimalidad)

281

Paso 2. Se fija uI = O, (1,1) es b´ asica ! 4 = c11 = UI + VI :::: vI = 4, (1,2) es b´ asica ! 7 = CI2 = UI + V2 :::: v2 = 7, (1,3) es b´ asica ! - 7 = CI3 = UI + V3 :::: v3 = 7, (1,4) es b´ asica ! - 5 = CI4 = UI + V4 :::: v4 = 5, (2,3) es b´ asica ! - 4 = C23 = U2 + V3 :::: u2 = -3, (3,2) es b´ asica ! 2 = C32 = U3 + V2 :::: U3 = -5. Estos valores se muestran en la figura 5.26. Calcularemos ahora Cij = Cij

ui

vj para las casillas

no b´ asicas: C2I = C2I

u2

vI = 3 - (-3) - 4 = 2 C22 = C22

u2

v2 = 4 - (-3) - 7 = O C24 = C24

u2

v4

= 3 - (-3) - 5 = 1

Figura 7.46: Figura 1

Como Cij = Cij

ui

vj

O 8 ij no b´asica la soluci´on actual es ´optima. Ejemplo 5.4. Conside-

remos el siguiente problema de asignaci´on. Tres trabajos deben ser asignados a dos personas de tal manera que reciban uno y s´ olo uno de ellos. El tiempo, en horas, que tarda la persona i (i = 1,2) en realizar el trabajo j (j = 1,2,3) es hij y se muestra en la siguiente tabla: Trabajo 1

Trabajo 2

Trabajo 3

Persona

9

8

7

Persona

2

1

5

Se desea determinar la asignaci´on persona-trabajo de menor tiempo. Este problema puede ser reformulado como uno de transporte. En efecto, def´ınanse los or´ıgenes como las personas y los destinos como los trabajos. La oferta de cada origen y la demanda de cada destino es igual a 1 puesto que cada persona har´ a un s´olo trabajo. Es decir: 282

Oi = dj = 1; i= 1,2; j = 1,2,3. El costo de transporte es igual al tiempo de realizaci´on. Esto es:

Cij = hij , i= 1,2; j = 1,2,3. Ahora bien, en este caso:

Figura 7.47: Figura 1

Entonces deber´ a agregarse un origen ficticio, al que se numerar´a 3, con oferta igual a uno. Se define tambi´en C3j = O, j = 1,2,3.

La tabla de transporte correspondiente es la de la figura 5.27. En ella se muestra la soluci´ on inicial calculada con el m´etodo de costo m´ınimo.

Figura 7.48: Figura 1

En las figuras 5.28 a 5.30 se muestra la aplicaci´on del algoritmo de transporte a este problema. En cada tabla se han anotado las variables duales y el coeficiente de costo reducido para las variables 283

no b´ asicas (encerrado en un c´ırculo). Tambi´en se marca la variable que viola la optimalidad y el ciclo formado por ella.

Figura 7.49: Figura 1

284

Figura 7.50: Figura 1

En la figura 5.30 observamos que la soluci´on ´optima es X13 = X22 = X31 = 1, Y todas las dem´ as variables iguales a O, con un costo de 8 unidades. En t´erminos del problema de asignaci´ on, la persona 1 debe realizar el trabajo 3 y la persona 2 el 2; el tiempo ´optimo es de 8 horas y el trabajo 1 es el que no se realizar´ a. Finalmente comentaremos que, a pesar de que el problema de asignaci´on puede reformularse como uno de transporte, ´esta no es la manera m´as eficiente de resolverlo pues existe alta degeneraci´ on en las soluciones b´ asicas. Se han desarrollado algoritmos que explotan mejor la estructura del modelo como el h´ ungaro o el de subastas que pueden consultarse en Bertzekas [1992] y Murty [1995].

285

Cap´ıtulo 8

Problema de ordenamiento 8.0.9.

Problema de ordenamiento

La administraci´ on de un proyecto complejo compuesto de m´ ultiples trabajos elementales crea problemas de planificaci´ on y de control de ejecuci´on del proyecto. Las t´ecnicas de ordenamiento tienen como objetivo ayudar a resolver este tipo de problemas. En general, resolver un problema de este tipo significa establecer el orden en que deber´an ser ejecutadas las actividades de manera tal que se optimice cierta funci´ on objetivo (por ejemplo, realizar el proyecto en el menor tiempo posible). Las actividades deben satisfacer ciertas restricciones dadas por una relaci´on de precedencia (anterioridad de unas actividades respecto a otras) que tiene las propiedades de ser transitiva, no reflexiva y no sim´etrica.

Sean j1 , j2 ,. . ., jm las actividades del proyecto y d(j1 ) = d1 ,d(j2 ) = d2 , . . . , d(jm ) = dm sus respectivos tiempos estimados de ejecuci´on. Se define una etapa como el inicio o el t´ermino de una actividad; as´ı esta u ´ltima puede representarse mediante la pareja de sus etapas inicial y final.

Puesto que se trata de establecer un calendario de ejecuci´on de las distintas actividades que satisfaga las restricciones de precedencia y que permita realizar el proyecto en el menor tiempo posible, se deben determinar n´ umeros a(i) para cada etapa, que indiquen la fecha en que debe alcanzarse

286

el evento i, tales que la cantidad a (F) (donde F es el final del proyecto) sea m´ınima. El n´ umero a(i) recibe el nombre de ”fecha m´ as pr´oxima”para i y representa la m´ınima fecha en la cual es posible alcanzar la etapa i; es decir, en la cual es posible empezar a realizar las actividades cuyo inicio es i.

Sup´ ongase que una actividad k = (i’, i”) requiere que otra actividad j = (i, i’) sea realizada por completo para poder llevarse a cabo; esto significa que el tiempo m´as pr´oximo en que es posible empezar la ejecuci´ on de k debe ser mayor o igual que el tiempo m´as pr´oximo en que se comienza a realizar j m´ as la duraci´ on de esta actividad. La restricci´on de precedencia se expresa entonces:

a(i’) > a(i) + d(i, i’) o a(i’) - a(i) 2: d(i, i’). Cualquier funci´ on ↵: N ! lR, donde N representa el conjunto de etapas del proyecto, que satisfaga las restricciones de precedencia, es un calendario posible de ejecuci´on de ´el.

Por otro lado, si 1 y F son las etapas inicial y final, la cantidad a(F)- a(I) representa la duraci´ on total del proyecto (que deber´a ser minimizada). El problema de ordenamiento puede formularse por tanto como uno de programaci´on lineal: Min z = a(F) - a(I) s. a a(i’) - a(i) d(i, i’), (i, i’) E A, En donde el conjunto A representa al conjunto de las actividades del proyecto

8.0.10.

Formulaci´ on PERT

En esta secci´ on se formular´ a el problema de ordenamiento como uno de optimizaci´on definido sobre una red llamada PERT (Program Evaluation and Review Technique). El proyecto puede ser representado en tal red de la siguiente manera: el conjunto de nodos N representa al conjunto de etapas y el de arcos A representa al de actividades del proyecto. De aqu´ı que j = (i, i’) E A si y s´ olo si j es una actividad con etapas inicial y final i e i’ respectivamente. La restricci´ on de precedencia entre k y j (j terminada antes de empezar k) se representa haciendo coincidir el extremo (etapa) final de j con el inicial de k como se muestra en la figura 6.1. El extremo 287

inicial de las actividades que no requieren de ninguna otra para su ejecuci´on coincide con 1, el inicio del proyecto, y el final de aquellas que no son requeridas por ninguna otra coincide con F, la etapa final del proyecto. Esta gr´ afica recibe el nombre de red PERT.

Figura 8.1: Figura 1

Para ejemplificar consid´erese un proyecto formado por las actividades listadas en la siguiente tabla. En la segunda columna se muestra la relaci´on de precedencia existente entre las actividades, indicando como antecedente toda actividad que deba ser terminada antes de realizar la correspondiente en la primera columna.

Figura 8.2: Figura 1

La red o diagrama PERT correspondiente a este proyecto se muestra en la figura 6.2. En ella

288

puede observarse, por ejemplo, que el extremo inicial de A5 coincide con los finales de A3 y de A4 representando que la primera no puede realizarse antes de haber terminado la ejecuci´on de A3 y A4 tal como se indica en la figura.

Figura 8.3: Figura 1

Algunas veces es necesario utilizar arcos ficticios, representando actividades ”fantasma”, para expresar exactamente la relaci´ on de precedencia. Por ejemplo, si A3 requiere para su ejecuci´on que Al est´e completamente terminada y otra actividad A4 tiene como antecedentes a Al y A2 , no es posible hacer coincidir los extremos finales de Al y A2 con los iniciales de A3 y A4 , como se muestra en la figura 6.3(a), puesto que esto querr´ıa decir que A3 tambi´en tiene como antecedente a A2 .

Para evitar esto, se agrega el arco ficticio mostrado en la figura 6.3 (b); as´ı se representa que A4 requiere de la actividad ficticia (que a su vez necesita a Al ) y de la actividad A2 mientras que A3 s´ olo necesita que Al sea terminada para proceder a su ejecuci´on.

Cabe se˜ nalar que a los arcos ficticios se les asocia una duraci´on igual a cero puestos que corresponden a actividades no existentes; s´olo se utilizan para la representaci´on de la relaci´ on de precedencia.

Formulaci´ on PERT N´ otese que la representaci´ on del proyecto en una red PERT permite observar qu´e actividades

289

Figura 8.4: Figura 1 pueden realizarse simult´ aneamente y cu´ales no. Por otro lado, las fechas ↵(i) asociadas a las etapas pueden ser asociadas a los correspondientes nodos en la red; esto permitir´a el c´alculo de su valor como se ver´ a posteriormente. Una de las principales propiedades de las redes PERT es que ´estas no contienen circuitos positivos como se establece en la siguiente proposici´on.

Proposici´ on 6.1. Una red PERT no contiene circuitos.

Demostraci´ on. Sea il,al, i2, a2, ... , iq, aq, il un circuito, entonces: Para realizar a2 se requiere que al se haya completado, para realizar a3 se requiere que a2 se haya completado, . . . Para realizar al se requiere que aq se haya completado.

De aqu´ı se concluye un absurdo: al requiere que al est´e totalmente terminada para poder llevarse

290

a cabo. Por otro lado, la existencia de un circuito implicar´ıa que el problema de programaci´on lineal asociado al proyecto no tendr´ıa soluci´ on factible si alguna actividad involucrada en el circuito tuviera duraci´ on no nula. En efecto, sumando las restricciones de los arcos de un circuito C:

Figura 8.5: Figura 1

Y por tanto dii , = 0, para todo (i, i’) E C .

Otra observaci´ on importante es el hecho de que el modelo de programaci´on lineal asociado a un proyecto puede expresarse matricialmente del siguiente modo si E es la matriz de incidencia de la red PERT. Min z = a(F) -a(I) s.a -aE

d,

En donde d E RIAI es el vector de duraciones. En la siguiente secci´ on se analiza la soluci´on de este problema.

8.0.11.

Algoritmo de soluci´ on

En general, resolver un problema de ordenamiento no significa solamente establecer un calendario de ejecuci´ on de las actividades del proyecto de tal modo que la duraci´on de este sea m´ınima, sino tambi´en determinar cu´ ales son las actividades cr´ıticas; esto es, aquellas que al sufrir un retraso en su ejecuci´ on demoran todo el proyecto. Es evidente la importancia de tales actividades y su determinaci´ on permite una mejor vigilancia de la realizaci´on de ´este. Una ruta cr´ıtica es una trayectoria positiva de 1 a F en la red PERT formada por actividades cr´ıticas.

Por otro lado, tambi´en es importante determinar la holgura de una actividad; es decir, el 291

aumento que puede sufrir su duraci´on sin retrasar el proyecto. Dada la definici´on anterior, es claro que la de una actividad cr´ıtica es igual a cero. Esta cantidad debe calcularse con objeto de tener un mejor control (por ejemplo, si una actividad tiene holgura distinta de cero, podr´ıan canalizarse recursos asignados a ´esta a alguna cr´ıtica).

Para calcular la duraci´ on m´ınima del proyecto, obs´ervese que ´esta es igual a la longitud (duraci´ on) de una trayectoria positiva de I a F que cumpla que, al finalizar la ejecuci´on de las actividades que la forman, se hayan terminado todas las dem´as del proyecto. En vista de lo anterior se concluye que la duraci´ on m´ınima del proyecto es igual a la m´axima longitud de las trayectorias positivas de I a F en la red PERT, en donde se considera como longitud de un arco a la duraci´ on de la actividad que ´este representa. Por tanto, calcular la duraci´on m´ınima del proyecto equivale a determinar la trayectoria positiva m´as larga en la red PERT. M´as a´ un, si se considera que la etapa inicial del proyecto puede alcanzarse cuanto antes (es decir, a(I) = O), entonces:

duraci´on m´ınima del proyecto = a(F) = longitud de una trayectoria positiva m´as larga de I a F. Adem´ as, ninguna actividad sobre la trayectoria positiva m´as larga de 1 a F puede sufrir retraso alguno en su ejecuci´ on puesto que ello conllevar´ıa al retraso del proyecto. Por tanto, la trayectoria positiva m´ as larga de 1 a F es precisamente la ruta cr´ıtica.

Con el mismo argumento que el usado para a(F), puede generalizarse que:

a(i) = longitud de una trayectoria positiva m´as larga de I a i, i E N. Antes de esta fecha no se ha terminado de realizar alguna actividad con etapa final i. Luego, basta con determinar las trayectorias positivas m´as largas de I a i, para todo i E N.

292

Una alternativa para calcular las fechas m´as pr´oximas a(i) para las etapas i E N est´a basada en el algoritmo de programaci´ on din´amica, debido a Bellman, para determinar las trayectorias m´ as cortas en una red. Este m´etodo se basa en la no existencia de circuitos. Para su descripci´ on se introduce la siguiente notaci´ on.

Sea r - (i’) = i E N existe (i, i’) E A para i E N. Cada elemento de este conjunto se llama predecesor de i’,

Sup´ ongase ahora que, para una etapa i’ E N, se ha calculado a(i) para todo i E r- (i’); es decir, se conoce la longitud de las trayectorias positivas m´as largas de I a i, para todo i E r- (i’). Para calcular a (i) n´ otese que:

Figura 8.6: Figura 1

Este valor a (i’) es precisamente la longitud de la trayectoria positiva m´as larga de I a i’ puesto que se ha buscado el m´ aximo sobre todas las trayectorias positivas posibles. Obs´ervese adem´as que, para las actividades j = (i, i’) de la ruta cr´ıtica se tiene que a(i) + d(i, i’) = a(i’). En vista de lo anterior tenemos el siguiente algoritmo.

293

Algoritmo. Objetivo: Determinar las fechas m´ as pr´ oximas en una red PERT.

Figura 8.7: Figura 1

Algoritmo de soluci´ on

Figura 8.8: Figura 1

Ejemplo 6.1. Consideremos el proyecto mostrado en la figura 6.2. Supongamos que las duraciones de las actividades Al, A2, A3, A4, A5, A6, A7 y A8 son 5, 3, 6, 4, 2, 1, 7 y 7 unidades de tiempo respectivamente. En la figura 6.4 se ha asociado a cada nodo el n´ umero a(i).

La aplicaci´ on del algoritmo a este proyecto se detalla a continuaci´on: Iteraci´on 1

Paso 1. S = I, a(I) = O.

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus predecesores etiquetados es il , entonces:

294

Figura 8.9: Figura 1

a(il) = a(I) + d(I,il) = 0+5 = 5, S = I, i1.

295

Figura 8.10: Figura 1 Algoritmo de soluci´ on

s = I, i1, i2, i3, i4, F. Paso 3. Como S = N terminamos.

Cabe se˜ nalar que la ruta cr´ıtica es I, i1 , i2 , i3 , i4 , F formada por las actividades Al , A2 , A4 , A5 y A7 . La longitud de ´esta es de 21 unidades y es la duraci´on m´ınima del proyecto. Una observaci´ on que debe hacerse es que no siempre, como en este proyecto, se presenta el caso de que el nodo que cumple con tener todos sus predecesores contenidos en S es u ´nico. En los ejemplos 6.4 y 6.5 se notar´ a esto. 296

Figura 8.11: Figura 1

Tambi´en es importante calcular la “fecha m´as lejana” en que puede alcanzarse la etapa i sin retrasar el proyecto: es decir, la fecha m´axima en que es posible empezar a realizar las actividades cuya etapa incial es i, sin hacer la duraci´on del proyecto mayor que a(F). Si se denota esta fecha con b(i), para i EN, la primera observaci´on que hay que hacer es que la actividad j = (i, i’) puede comenzar a realizarse en cualquier fecha en el intervalo [a(i), b(i)]. Tambi´en se concluye que b(F) = a(F). De lo anterior se concluye que el calendario b(i) tambi´en es ´optimo.

Se define el conjunto de sucesores del nodo i, de manera an´aloga al UE predecesores, como r + (i) = i’ E N [existe (i, i’) E A. Sup´ongase ahora que, para una etapa i, se ha calculado b(i’), para todo i’ E r + (i). N´ otese que, para no retrasar el proyecto, debe cumplirse.

b(i) + d(i,i’) b(i’), para todo i’ E r +(i); es decir: b(i)b(i’) - d(i, i’), para todo i’ E r + (i). Entonces, el m´ aximo valor que puede tomar b(i) es:

b(i) = Min b(i’) - d(i, i’) . i’Er + (i) El valor b(i), para i E N, es igual al valor a(F) menos la longitud de una trayectoria positiva 297

m´ as larga de i a F. En efecto, esto puede verificarse observando que, si b’ (i) es la longitud de la trayectoria positiva m´ as larga de i a F, por analog´ıa con el c´alculo de las trayectorias m´as largas de I a i (o invirtiendo el sentido de los arcos), se tiene que:

Figura 8.12: Figura 1

en donde es sencillo verificar que b(i) = a(F) - b’(i). Cabe se˜ nalar que, para las actividades cr´ıticas j = (i, i’), se tiene b(i) + d(i, i’) = b(i’). De hecho, puesto que b(F) = a(F), es posible asegurar que a(i) = b(i) y a(i’) = b(i’) para toda actividad cr´ıtica j = (i, i’) E A.

298

En vista de lo anterior tenemos el siguiente algoritmo. Algoritmo. Objetivo: Determinar las fechas m´ as lejanas en una red PERT.

Figura 8.13: Figura 1

Ejemplo 6.2. Consideremos el proyecto del ejemplo 6.1. En la figura 6.5 se ha asociado a cada nodo el n´ umero b(i).

Algoritmo de soluci´ on La aplicaci´ on del algoritmo a este proyecto se detalla a continuaci´on:

Iteraci´ on 1. Paso 1. S = F, b(F) = a (F) = 21.

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus sucesores etiquetados es i4, entonces:

b(i4) = b(F) - d(i4, F) = 21 - 7 = 14,

299

Figura 8.14: Figura 1 S = f, i4.

Paso 3. Como S6= N realizamos otra iteraci´on.

Iteraci´ on 2

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus sucesores etiquetados es i3 , entonces:

b(i3) = Min b(F) - d(i3, F), b(i4) - d(i3, i4) Min(21 - 7, 14 - 2) = 12, S = f, i4, i3. Paso 3. Como S6=N realizamos otra iteraci´on.

Iteraci´ on 3

300

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus sucesores etiquetados es i2 , entonces:

Figura 8.15: Figura 1

Paso 3. Como S6=N realizamos otra iteraci´on.

Iteraci´ on 4

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus sucesores etiquetados es il , entonces:

b(i1 ) = Min b(i3 ) - d(i1 , i3 ), b(i2 ) - d(i1 i2 ) = Min 12 - 6, 8 - 3 = 5, S = f, i4 , i3 , i2 , id Paso 3. Como S6=N realizamos otra iteraci´on.

Iteraci´ on 5

Paso 2. El u ´nico nodo que cumple con tener todos sus sucesores etiquetados es 1, entonces:

b(1) = Min b(i4 ) - d(I, i4 ), b(i1 ) - d(I, i1 ) = Min7 -1, 5 - 5 = 0,

301

Paso 3. Como S = N terminamos.

De nuevo, una observaci´ on que debe hacerse es que no siempre, como en este proyecto, se presenta el caso de que el nodo que cumple con tener todos sus sucesores contenidos en S es u ´nico.

Por otro lado, en este caso particular, sucede que a (i) = b (i) para toda etapa i. No es el caso general; de hecho, como mencionamos anteriormente, esto s´olo puede asegurarse para los nodos sobre la ruta cr´ıtica.

Algoritmo de soluci´ on

En los ejemplos 6.4 y 6.5 se notar´a esto.

Finalmente, para el c´ alculo de las holguras de las actividades, consid´erese lo siguiente: sea j = (i, i’) una actividad y sup´ ongase que aquellas que requieren de j se retrasan en su inicio lo m´as tarde permisible y que j se comienza a realizar lo m´as pronto posible; en otras palabras j se inicia en la fecha a(i) y las actividades que requieren de j en el tiempo b(i’). Bajo estos supuestos, la duraci´ on de j puede aumentarse en la cantidad h(j) sin retrasar el proyecto, en donde la holgura h(j) se calcula:

h(j) = b(i’) - a(i) - d(j), j" A. Ejemplo 6.3. Consideremos de nuevo el proyecto del ejemplo 6.lo En la figura 6.6 se ha asociado a cada arco el n´ umero h(j) encerrado en par´entesis y a cada nodo la pareja [a (i) ,b (i)].

El c´ alculo se detalla a continuaci´on: Las actividades cr´ıticas, de holgura O son Al, A2, A4, A5 y A7. Este resultado coincide con el del ejemplo 6.1 A continuaci´ on se presenta la descripci´on detallada del algoritmo que integra todo lo anterior. Algoritmo. Objetivo: Determinar las fechas m´as pr´oximas, las m´as lejanas y las actividades 302

Figura 8.16: Figura 1

Figura 8.17: Figura 1 cr´ıticas en una red PERT.

Paso 1. Hacer S = I, a(I) = O. Los n´ umeros a(i) y b(i) son las fechas m´as pr´oximas y m´as lejanas de la etapa i respectivamente. El n´ umero h(j) es la holgura de la actividad j.

8.0.12.

Justificaci´ on del algoritmo

Primeramente se probar´ a que el algoritmo converge: Obs´ervese que para calcular a(i), para i 2 N, se requiere que esta cantidad haya sido calculada para todos los predecesores de i. En el paso 2, si no existe tal nodo, se tiene que S = N; es decir,

303

Figura 8.18: Figura 1 que las u ´nicas alternativas que se tienen son: existe un nodo i para el cual ya se ha calculado a(i) para todos sus predecesores o bien ya se ha calculado a(i) para todos los nodos. En efecto, sup´ ongase que no existe i’. Es tal que r - (i’) e S y que S 6=N; esto querr´ıa decir que existe il " r - (i’) tal que i 2 S (o bien r - (i’) = ; pero esto es imposible para i 6= I). Como no existen nodos fuera de S con todos sus predecesores en S, entonces existe i2 2 r - (i 1) tal que i2 2 S y as´ı sucesivamente. Como el n´ umero de nodos es finito, con este argumento se llega a un nodo ik 2 r-(ik -l) fuera de S tal que r-(ik ) ⇢ S, con ik = i2 , para alg´ un q 21, 2, k - 1; esto pone en evidencia un circuito lo cual constituye una contradicci´on. Por tanto el n´ umero de veces que se realizan los pasos 2 y 3 es finito; de hecho ´estos se repiten n - 1 veces, en donde n es el n´ umero de nodos de la red.

An´ alogamente se prueba que el n´ umero de veces que se realizan los pasos 4 y 5 es finito (de nuevo n - 1). El paso 1 se realiza una sola vez y en el paso 6 se calculan m holguras, en donde m es el n´ umero de arcos de la red. Por tanto el algoritmo se realiza en un n´ umero finito de iteraciones.

La prueba de que el algoritmo produce la soluci´on ´optima ya se ha proporcionado durante el desarrollo de la secci´ on.

304

Ejemplo 6.4

En la siguiente tabla se listan las actividades que forman un proyecto.

En la segunda columna de la tabla se indica la duraci´on de cada una de ellas (en semanas) y en la tercera se enumeran las precedentes a la correspondiente en la primera columna. Determ´ınese la duraci´ on m´ınima del proyecto, las fechas m´as pr´oximas y m´as lejanas para cada etapa y la holgura de cada actividad.

Figura 8.19: Figura 1

Primeramente se construye la red PERT correspondiente. Esta se muestra en la figura 6.7. En el primer cuadro se resume la aplicaci´on de la parte del algoritmo en donde se calculan las fechas m´ as pr´ oximas y el segundo corresponde a las m´as lejanas.

Figura 8.20: Figura 1

N´ otese que en la iteraci´ on 2 exist´ıan dos nodos con todos sus predecesores en S: i2 e i3. El orden

305

en que ´estos se consideraron fue arbitrario. En este momento se tiene S = N por lo que se actualiza S = F, b(F) = a(F) = 20 y se procede al c´ alculo de las otras fechas.

Figura 8.21: Figura 1

306

En este momento se tiene S = N por lo que se procede al c´alculo de holguras.

Figura 8.22: Figura 1

La duraci´ on m´ınima del proyecto es entonces a(F) = b(F) = 20 semanas. Existen dos rutas cr´ıticas formadas por las actividades con holgura igual a cero; equivalentemente, hay dos trayectorias positivas m´ as largas, ´estas est´ an marcadas en la figura 6.7 y son: 1, il , i3 , F (formada por las actividades Al , A4 y A7 ) el , i3 , F (formada por las actividades A2 y A7 ); tambi´en se ha asociado a cada nodo i la pareja [a(i), b(i)]. Obs´ervese que, para las etapas sobre la ruta cr´ıtica se cumple a(i) = b(i). Las actividades j = (i, i’) sobre la ruta cr´ıtica satisfacen por tanto a(i) = b(i) y a(i’) = b(i’).

Figura 8.23: Figura 1

Ejemplo 6.5.

La siguiente tabla muestra, en la primera columna, la lista de actividades de un proyecto consistente en la elaboraci´ on de una propuesta de una nueva licenciatura en una universidad; en la segunda, se indica la duraci´ on de cada una de ellas (en semanas) y en la tercera se enumeran las precedentes a la correspondiente en la primera columna. Determ´ınese la duraci´on m´ınima del 307

proyecto, las fechas m´ as pr´ oximas y m´as lejanas para cada etapa y la holgura de cada actividad.

308

Figura 8.24: Figura 1

6.3. Algoritmo de soluci´ on

Primeramente se construye la red PERT correspondiente.

Esta se muestra en la figura 6.8. En el primer cuadro se resume la aplicaci´on de la parte del algoritmo en donde se calculan las fechas m´as pr´oximas y el segundo corresponde a las m´as lejanas.

309

Figura 8.25: Figura 1

En este momento se tiene S = N por lo que se actualiza:

S = F, b(F) = a(F) = 124 y se procede al c´alculo de 18.3 otras fechas.

310

Figura 8.26: Figura 1 En este momento se tiene: S = N, por lo que se procede al c´alculo de holguras. La duraci´ on m´ınima del proyecto es entonces a(F) = b(F) = 124 semanas. La ruta cr´ıtica corresponde a la formada por las actividades con holgura igual a cero, o equivalentemente a la trayectoria ´ positiva m´ as larga (en este caso el arco ficticio forma parte de tal trayectoria). Esta se encuentra marcada en la figura 6.8; tambi´en se ha asociado a cada nodo i la pareja [a(i), b(i)]. Obs´ervese que, para las etapas sobre la ruta cr´ıtica se cumple a(i) = b(i). Las actividades j = (i, i) sobre este camino satisfacen por tanto a(i) = b(i) y a(i’) = b( i’). Sin embargo el inverso no es v´alido; esto es, si una actividad es tal que sus etapas cumplen las dos igualdades anteriores no necesariamente es cr´ıtica; este es el caso de A19 (las etapas inicial y final de A19 est´an sobre la ruta cr´ıtica pero A19 no).

Por u ´ltimo, n´ otese que pudieran haberse evitado varios c´alculos en este caso particular. En efecto, las etapas I, i1 , i2 , i3 , i4 e i14 , i16 y F est´an contenidas en todas las trayectorias positivas de 1 a F; en particular, est´ an en la ruta cr´ıtica y por tanto b(i) = a(i) para ´estas y entonces no era necesario calcular estos valores. Adem´ as, la ruta cr´ıtica es la trayectoria positiva m´as larga de I a F y por 311

Figura 8.27: Figura 1

Figura 8.28: Figura 1 tanto la holgura de las actividades sobre esta trayectoria es igual a cero; luego, tampoco era necesario haber calculado estas cantidades.

312

6.4 Ejercicios 6.1. Considerar el siguiente problema de ordenamiento:

Figura 8.29: Figura 1

(a) Construir la red PERT.

(b) Determinar los calendarios de fechas m´as pr´oximas y m´as lejanas.

(c) Determinar la duraci´ on m´ınima del proyecto y la ruta cr´ıtica.

(d) Para cada uno de los siguientes casos (por separado) ¿ser´ıa posible aumentar la duraci´ on de las actividades siguientes sin afectar la duraci´on del proyecto?

(i) d(A) = 7. (ii) d( C) = 5. (iii) d( G) = 3. (iv) d(C) = 5 Y d(G) = 3. (v) d(C) = 5 Y d(F) = 4.

6.2. Un alquimista va a elaborar su poci´on para convertir un metal en oro. Usar´a un mortero de ´ agata, un crisol yagua de un lago recolectada a la luz de la luna, adem´as de los siguientes ingredientes:

(a) Una pirita arseniosa. (b) Hierro.

313

(c) Plata. (d) Plomo. (e) Mercurio. ´ (f) Acido tart´ arico. (g) Cobre.

Una vez reunidos todos estos ingredientes se procede del siguiente modo: (i) El mortero de ´ agata debe remojarse en el agua del lago 3 meses antes de moler en ´el, agreg´andolos de uno en uno, la pirita, el hierro y la plata durante 1, 2 y 3 meses respectivamente.

(ii) En el crisol se calientan 1 mes el plomo y el mercurio. Se agrega la mezcla del mortero y se eleva gradualmente la temperatura durante 15 d´ıas.

(iii) Antes de meter en la composici´on la plata, se disuelve con el ´acido tart´arico y se deja reposar durante 10 d´ıas. Esta operaci´on se realiza bajo una luz polarizada.

(iv) Paralelamente, se realizan los pasos anteriores usando cobre en vez de plata.

(v) Por u ´ltimo, se mezclan las dos composiciones y se dejan reposar durante 5 meses.

¿En cuanto tiempo obtendr´ a oro el alquimista? ¿Cu´ ales son los pasos que definen este tiempo? ¿Cu´ ando debe realizar cada paso?

6.3. Considerar el siguiente proyecto

(a) Formular la red PERT.

314

Figura 8.30: Figura 1 (b) Determinar la duraci´ on optimista. (c) Determinar la duraci´ on realista. (d) Determinar la duraci´ on pesimista.

6.4. Considerar el proyecto:

Figura 8.31: Figura 1

Donde (o, r, p) son las duraciones optimista, real y pesimista de las actividades. Contestar las preguntas a, b, c y d de 6.3.

315

6.5. Consid´ erese el siguiente proyecto. (i) Las actividades A, B y e pueden empezar simult´aneamente.

(ii) D, E, F pueden empezar cuando A sea completada.

(iii) l y G empiezan cuando hayan terminado B y D.

(iv) H empieza cuando e y G sean terminadas.

(v) K y L empiezan despu´es de l.

(vi) J empieza despu´es de E y H.

(vii) M empieza despu´es de F, E y H.

(viii) N empieza despu´es de F y H.

(ix) O empieza despu´es de M e l.

(x) P empieza despu´es de J, L y O.

(xi) K, N y P son las u ´ltimas actividades.

La duraci´ on de las actividades es: A - 5, B - 5, E - lO, D - 12, E - 8, . F - 2, G - 9, H - 7, I - 10, J - 13, K - 15, L - 1, M - 8, N - 11, 0 - 11, P - 5 (en semanas).

a) Formular la red PERT correspondiente utilizando el menor n´ umero de arcos ficticios.

316

b) Determinar las fechas m´ as pr´oximas y m´as lejanas para cada etapa y la duraci´on m´ınima del proyecto.

c) ¿Cu´ ales son las actividades cr´ıticas?, ¿cu´al es la ruta cr´ıtica?, ¿cu´anto valen las holguras de las actividades?

6.6. Considerar el siguiente problema de ordenamiento:

a) Formular la red PERT.

b) Determinar la duraci´ on m´ınima del proyecto.

c) Determinar: las actividades cr´ıticas, la ruta cr´ıtica y las holguras de las actividades.

Figura 8.32: Figura 1

317

Cap´ıtulo 9

Problemas de redes 9.1.

ARBOL DE PESO M´INIMO

Un ´ arbol es una gr´ afica convexa y sin ciclos y un ´arbol generador en una gr´afica convexa es un arbol que incluye a todos los v´ertices de la gr´afica. ´

Figura 9.1: Figura 1

Otro concepto del ´ arbol de peso m´ınimo nos dice que cada arista tiene asignado un peso proporcional entre ellos, lo cual es un n´ umero representativo de alg´ un objeto o distancia y se usa para 318

asignar un peso total al ´ arbol incluyendo la suma de todos los pesos de los aristas de dicho ´ arbol. Ejemplo: Una compa˜ n´ıa de cable desea trazar cable a una nueva colonia, si se limita a trazar el cable por ciertos caminos, entonces se generara una gr´afica que represente los puntos conectados por dichos caminos. Algunos de estos caminos ser´an m´as caros que otros por ser m´as largos, dichos caminos ser´ an representados por las aristas de mayor peso.

9.1.1.

ALGORITMO DE DIJKSTRA

Este algoritmo tambi´en es conocido como el algoritmo de caminos m´ınimos y es utilizado para la determinaci´ on del camino m´ as corto dado un v´ertice origen al resto de v´ertices en una gr´afica con pesos en cada arista. La idea de este algoritmo consiste en ir explotando todos los caminos m´as cortos que parten del v´ertice origen y que llevan a todos los dem´as v´ertices, una vez obtenido el camino m´as corto desde el v´ertice origen, al resto de v´ertices que componen las gr´afica, el algoritmo se detiene. El algoritmo no funciona en gr´ aficas con aristas con costos negativos.

9.1.2.

ALGORITMO KRUSKAL

Elegir una arista ei de tal forma que w (ei) sea lo m´as peque˜ no posible, una vez elegidos las aristas e1 , e2 , . . ., ei , hay que elegir el arista ei +1 de E-e1 , e2 , . . ., ei de tal manera que: a) G[(e1 , e2 , . . ., ei )] sea a c´ıclica b) ![ei +1] sea tan peque˜ no como sea posible Ejemplo: Se desea construir una red ferroviaria que comunique a cierto n´ umero de pueblos. Sea Cij el costo de construir la v´ıa directa entre los pueblos i y j. Construir la red que minimice el costo total de la construcci´on.

319

Figura 9.2: Figura 1

9.1.3.

ALGORITMO DE PRIM

El objetivo de dicho algoritmo es determinar el ´arbol generador de peso m´ınimo en una gr´ afica G[V,A] convexa con V ⌘ | V | v´ertices

a) Sea Vo cualquier v´ertice de la gr´afica G con Vo =(Vo ) y Ao = , hacer K=0

b) K=K+1

c) Sea Ck el cjto de aristas que tienen exactamente un extremo en Vk -1. Sea ak la arista de peso m´ınimo de Ck y sea Vk el extremo de ak que no pertenece a Vk -1, hacer Vk =Vk -1 U (Vk ); Ak = Ak -1U(ak ).

d) Si K-V-1 regresar al inciso b) Si K=V-1 terminar la gr´afica Gn -1=(Vn -1, Av -1) es ´ arbol Generador de Peso M´ınimo.

320

Ejemplo:

Figura 9.3: Figura 1

9.1.4.

TRANSPORTE

El modelo tiene por objetivo principal la obtenci´on de transportaci´on de las mercanc´ıas de varias fuentes o varios destinos. La informaci´on que necesitamos para el modelo es:

* Relaci´ on de la oferta-demanda con la relaci´on fuente-destino y saber el costo del transporte por unidad de la mercanc´ıa por cada diferente ruta. El objetivo principal del modelo de transporte es minimizar (reducir) el costo de este a trav´es de distintas rutas, mandando la mercanc´ıa de cada (ruta) fuente a los diferentes destinos y observar cual nos ahorra tiempo y dinero, y nos aumenta mercanc´ıa transportada, pensamos que el objetivo de lograr esto es que el costo de nuestro transporte sea menor al costo de nuestra mercanc´ıa transportada ya que el caso de tener lo contrario hablar´ıamos de p´erdidas. El siguiente esquema nos muestra un 321

Figura 9.4: Figura 1 modelo de transporte con m fuentes y n destinos donde relacionaremos cada fuente con los diferentes destinos.

322

Figura 9.5: Figura 1

Figura 9.6: Figura 1 i= fuente j= destino a= cantidad de oferta b= demanda c= costo x= cantidad transportada

Las fuentes y destinos estar´ an representados por los c´ırculos que reciben el nombre de nodos. Las l´ıneas ser´ an nuestras diferentes rutas para llegar a nuestros destinos y transportar la mercanc´ıa, estos reciben el nombre de arcos. De tal modo que:

ai = La cantidad de la oferta en la fuente 323

Figura 9.7: Figura 1 bj = La demanda en el destino cij = Costo del transporte por unidad con relaci´on entre fuente y destino xij = Cantidad transportada de la fuente al destino

Y obtenemos que:

Minimizar el costo de transporte por la cantidad transportada.

Figura 9.8: Figura 1

s.a

Figura 9.9: Figura 1

Donde i=1,2,. . .m Los env´ıos de una fuente no pueden ser mayores que su oferta 324

Figura 9.10: Figura 1 Xi j

08 i,j

´ Ejemplo: Una armadora de carros tiene plantas en los Angeles, Detroit y Nueva Orleans y sus principales centros de distribuci´ on se encuentran en Denver y Miami, las plantas cuentan con una capacidad trimestral de 1,000, 1,500 y 1,200 autos respectivamente y los centros de distribuci´ on tienen una demanda trimestral de 2,300 y 1,400 respectivamente, transportar un autom´ovil por tren cuesta 8 centavos por milla. A continuaci´on las distancias entre las plantas y los centros de distribuci´ on:

Figura 9.11: Figura 1

Si dichas distancias las multiplicamos por los 8 centavos y redondeamos obtenemos lo siguiente:

Figura 9.12: Figura 1

Que representa el Cij del modelo original. Como la oferta total es (1000+1500+1200=3700), y la demanda total es (2300+1400=3700). Por lo tanto el modelo de transporte est´a equilibrado. Min Z=80X11 + 215X12 + 100X21 + 108X22 + 102X31 + 68X32 s.a X11 X12 =1000

325

X21 X22 =1500 X31 X32 =1200 X11 X21 X31 =2300 X12 X22 X32 =1400 Xij 8 i,j Otra forma de representar el modelo de transporte es por medio de la tabla de transporte, la cual es una matriz donde los renglones son las fuentes y las columnas los destinos, y los costos Cij se resumen en la esquina derecha de la celda, por lo tanto el problema ser´ıa:

Figura 9.13: Figura 1

9.1.5.

ALGORITMO DE TRANSPORTE

Definici´ on: Sea T la tabla de un problema de transporte balanceado. Un ciclo C en T es un subconjunto de celdas de T tal que cada rengl´ on y cada columna de T contiene exactamente cero o dos celdas de C. Ejemplo

C = C11 , C13 , C23 , C21 esuncicloenT

C = C11 , C12 , C22 , C23 , C31 , C31 esuncicloenT

326

Figura 9.14: Figura 1

Figura 9.15: Figura 1

9.1.6.

´ CORTA RUTA MAS

El problema de la ruta m´ as corta, como lo dice su nombre nos permite hallar la ruta m´as corta desde un origen hacia un destino por medio de una red que los conecta, teniendo una distancia no negativa asociada con las ramas respectivas de la red.

Algoritmo para el problema de la ruta m´as corta. 1. Hallar el n-´esimo nodo que se encuentra m´as cercano al origen, esto es repetido para n=1,2,. . ., hasta llegar al destino.

2. Los nodos (n-1) que se encuentran cerca del origen, incluyendo su ruta m´as corta y su distancia al origen, a los cuales llamaremos nodos resueltos y los otros ser´an no resueltos.

3. Cada nodo resuelto que se encuentre conectado directamente por una rama a uno o m´ as nodos no resueltos nos arroja un candidato para el n-´esimo nodo m´as cercano.

327

4. A cada nodo resuelto y su candidato, hay que sumar la distancia entre ellos y la distancia de la ruta m´ as corta desde su origen a este nodo resuelto, el candidato ser´a el que tenga la distancia total m´ as corta y ser´ a el n-´esimo nodo m´as cercano y su ruta m´as corta ser´a la que genere est´ a distancia.

Ejemplo:

En un parque de diversiones se necesita encontrar la ruta m´as corta de la entrada al parque (nodo 0) al paisaje (nodo T), a trav´es de su sistema de caminos el cual es el siguiente:

Figura 9.16: Figura 1

Con la tabla anterior podemos recorrer hacia atr´as la ruta m´as corta, del destino al origen y seria T D E B A O, ´ o T D B A O, por lo tanto ya tenemos identificados las dos alternativas para la ruta m´ as corta, con una distancia total de 13 en cualquiera de las dos.

328

9.1.7.

´ FLUJO MAXIMO

El problema de flujo m´ aximo en redes lo podemos definir de la siguiente manera:

Figura 9.17: Figura 1

Se considera enlazar un nodo fuente y un nodo destino por medio de arcos con capacidad finita, en ´este caso la red ser´ a unidireccional y en el sentido que el flujo empieza en el nodo fuente y sale en el nodo destino. Dependiendo el tipo de problema el arco (i,j) puede tener 2 capacidades distintas, dependiendo si va de i a j o de j a i. Ejemplo:

Figura 9.18: Figura 1

El arco (3,4) tiene capacidad en ambas direcciones. Si nos situamos en el nodo 1, podemos escoger los nodos 2,3, y 4, el nodo se va seleccionar en el principio heur´ıstico y se va a elegir el arco

329

de capacidad m´ axima de flujo hacia el nodo 1, en este caso se elige el nodo 3 y lo etiquetamos con [30, 1] lo cual representa la capacidad de flujo (=30) del arco reci´en conectado y que proviene del nodo 1.

Del nodo 3 podemos conectar el nodo 4 o 5, y elegimos el nodo 5 y lo etiquetamos con [20,3]. Con lo cual tenemos la siguiente trayectoria: 1-3-5

Ya que 5 es un nodo destino, el flujo m´aximo se termina a partir de las etiquetas:

C ⇤ = min↵ ,30 ,20 = 20

Figura 9.19: Figura 1

En el dibujo no existen trayectorias ya que todas las capacidades de flujo son cero. Otra definici´ on del problema de flujo m´aximo, consideramos una red convexa, la cual solo tendr´ a una sola fuente y un solo destino, vamos a suponer que cuenta con conservaci´on de flujo, en cada uno de los nodos que sean la fuente y el destino, el flujo en la rama (i,j) del nodo i al nodo j es cualquier cantidad no negativa y no mayor que la capacidad de flujo cij . Algoritmo para el problema de Flujo M´ aximo.

1. Hallar una trayectoria de la fuente al destino con capacidad de flujo positivo.

2. Examinar esta trayectoria para hallar la rama con la menor capacidad de flujo restante, 330

dicha capacidad se denotara como c*, y se incrementar´a en c* el flujo en esta trayectoria.

3. Disminuir c* la capacidad de flujo restante de cada rama en la trayectoria. Incrementar en c* la capacidad de flujo restante en la direcci´on opuesta, para cada rama en la trayectoria.

Para explicarlo de una mejor manera tenemos el siguiente ejemplo:

Figura 9.20: Figura 1

Ya no quedan trayectorias con capacidad de flujo positivas, por lo tanto es ´optimo.

Este problema de programaci´ on lineal, tiene m´etodos m´as eficientes que el m´etodo simplex. Gracias a Edmons y Karp que en 1969 modificaron el algoritmo de flujo m´aximo, de Ford y Fulkerson (1956) la red puede tener capacidades m´ aximas en sus arcos, que no necesariamente fueran n´ umeros enteros.

9.1.8.

´ TEOREMA DE FLUJO MAXIMO CON EL CORTE M´INIMO

En cualquier red, el flujo m´ aximo que fluye de la fuente al destino, es igual a la capacidad del corte m´ınimo que separa a la fuente del destino. Este corte m´ınimo de separaci´on puede no ser u ´nico.

331

9.1.9.

TSP SIMETRICO

Mejor conocido como el problema del agente viajero, y consiste en lo siguiente: Tenemos una lista de ciudades y un agente viajero, el cual iniciara su recorrido desde una ciudad arbitraria y debe visitar todas y cada una de las ciudades en la lista, una sola vez y volver a la ciudad de origen. El objetivo de dicho problema es encontrar el camino tal que el costo del viaje sea el m´ınimo posible.

Figura 9.21: Figura 1

Para que sea un TPS sim´etrico todas las ciudades tienen camino a las dem´as ciudades. Suponiendo que tenemos N ciudades el n´ umero de permutaciones posibles es de n! pero no importa el orden ya que el recorrido es c´ıclico y al ser un TPS sim´etrico cada soluci´on se puede representar de 2n formas diferentes con lo cual tenemos:

Figura 9.22: Figura 1

Una soluci´ on al problema del agente viajero, se puede representar como la secuencia n+1 ciudades.

Sea G=(V,E) donde V=1,. . .,n E=(i,j):i,j"V Cij el costo asociado al arco (i,j).

332

El prob. Del agente viajero se puede formular:

Figura 9.23: Figura 1

9.1.10.

´ DE NODOS COLORACION

La coloraci´ on de una gr´ afica es la asignaci´on de color a cada v´ertice de la gr´afica, de tal modo que a cada v´ertice adyacente le corresponda distinto color.

Esto nos lleva a otro concepto llamado el n´ umero crom´atico el cual es el m´ınimo de colores necesarios para colorear una gr´ afica. Para la coloraci´on de v´ertices tenemos la siguiente definici´ on:

”Dada una gr´ afica G=(V,A), se llama v´ertice coloraci´on de G a toda funci´on c:V!N, que verifique c(u)6=c(v) si u,v"A, c(u)=1, c(u)=2,. . .c(v)|=k!colores!k-vert-col”

Para calcular el n´ umero crom´ atico: a) Se ordenan los v´ertices de la gr´afica (A,B,C,D,E,F,G,H)

b) Asignamos el primer color no asignado al primer v´ertice en forma ordenada y as´ı sucesivamente.

Para calcular el n´ umero crom´ atico: a) Se ordenan los v´ertices de la gr´afica (A,B,C,D,E,F,G,H).

b) Asignamos el primer color no asignado al primer v´ertice en forma ordenada y as´ı sucesi333

vamente.

Figura 9.24: Figura 1

Para la coloraci´ on de aristas tenemos la siguiente definici´on: ”Dada una gr´afica G=(V,A), se llama arista coloraci´ on de G a toda funci´on ca:A!N, que verifique ca(a)6=ca(a’) si a, a’"A tienen alg´ un v´ertice en com´ un” Ca (a)=1, ca (a’)=2,. . .. colores!|ca(A)|= k !k-arista-colo.

Figura 9.25: Figura 1

Se le dice ´ındice crom´ atico de G(X‘(G)) al menor n´ umero entero k, de forma que existe una arista-coloraci´ on de G con k colores.

Para calcular el ´ındice crom´ atico:

334

a) Ordenar las aristas de la gr´ afica (a,b,c,d,e,f,g,h).

b) En el arista a y de forma ordenada asignar el primer color no asignado a las aristas anteriores incidentes con ella.

9.1.11.

PLANARIDAD

En teor´ıa de gr´ aficas, la planaridad puede ser un gr´afico dibujado sin que ninguna arista se intercepte. Ejemplos:

Figura 9.26: Figura 1

Otro concepto de planaridad nos dice que se puede ver como una colecci´on de puntos y l´ıneas que se unen entre si y dicho de otro modo una gr´afica G que contiene un par de conjuntos en este caso V(G) y E(G), donde V(G) es un cjto finito no vac´ıo de elementos llamados v´ertices y E(G) es un cjto finito de pares no ordenados de elementos llamados l´ıneas o aristas.

La planaridad de una gr´ afica est´a relacionada con el n´ umero de aristas que tiene, entre menos aristas tenga es m´ as probable que sea plana.

Por el contrario si tiene mucha arista hay m´as posibilidades de que no sea plana. Esto nos permite calcular el n´ umero m´ aximo de aristas que puede tener una gr´afica plana. Corolario 1

335

Si G es una gr´ afica plana con P v´ertices y q aristas y r regiones, ent. p-q+r=1+k(G) donde k(G) es el n´ umero de componentes conexos de G Corolario 2

Si G es una gr´ afica plana maximal con p=3 entonces q=3 p-6 Corolario 3

Si G es una gr´ afica con p v´ertices y q aristas entonces q=3 p-6 Corolario 4 Cualquier gr´ afica plana contiene un v´ertice de grado a lo m´as 5. Teorema: Sea G es una gr´ afica convexa plana con p v´ertices y q aristas y r caras o regiones y con p=3 entonces p-q+r=2

9.1.12.

´ PROBLEMA DE ASIGNACION

El problema de asignaci´ on, es el problema de transporte con m=n en el que si =dj =1 Asignar trabajadores a m´ aquinas i!trabajadores (1,. . .,n) j!m´aquinas (1,. . .,n) C[ij= es el costo de asignar el trabajador i a la m´aquina j. Definici´on: Sea T la tabla de un problema de asignaci´ on balanceado. ´ MAQUINAS Un conjunto de permutaci´ on de ceros, z, es un subconjunto de caldas de t tal que cada rengl´ on y cada columna de t contiene exactamente una celda cero

336

Figura 9.27: Figura 1

Figura 9.28: Figura 1

Figura 9.29: Figura 1

337

Ejemplo:

Figura 9.30: Figura 1

9.1.13.

ACOPLAMIENTO

Entendemos por acoplamiento la relaci´on de algo, podr´ıamos decir que es la acci´on de formar parejas, suponiendo que tenemos elementos finitos para formar cierto n´ umero de parejas. Si a cada elemento le asignamos un v´ertice, por cada v´ertice que formemos, haremos una pareja (dado que los dos elementos est´ an unidos por una arista).

El objetivo es encontrar subconjuntos de aristas que cumplan con criterios de optimizaci´ on. Claude Berge demostr´ o que un acoplamiento es m´aximo si y solo si no hay trayectoria aumentante.

Un acoplamiento es un subconjunto de N arista donde no existen 2 aristas que tengan un v´ertice en com´ un. Si tenemos una gr´afica G con una cantidad finita de v´ertices y aristas, para determinar el acoplamiento de mayor cordinalidad, n´ umero de aristas, tambi´en se les conoce a estos problemas con el nombre de acoplamiento sin peso o acoplamiento m´aximo.

Existen los problemas de acoplamiento con peso, este tipo de problemas tenemos una gr´ afica G en la cual cada una de las aristas tendr´a asociada un peso que puede ser positivo, cero o negativo.

Se busca hallar un acoplamiento en el cual la suma de los pesos de sus aristas sea m´axima, este tipo de problemas son generalizaciones de los problemas de cordinalidad m´axima. Sea Cij el peso de la arista (i,j) y xij la variable de decisi´on donde: 338

Figura 9.31: Figura 1 Por lo tanto:

Figura 9.32: Figura 1

9.1.14.

FLUJO CON COSTO M´ıNIMO

El problema de flujo con costo m´ınimo nos dice que una red compuesta por n nodos, a los que se asocia un valor ki el cual indica el valor o nivel ofertado o demandado por el nodo i (origen).

Si ki > 0, existe una oferta en el nodo i (origen) Si ki < 0, existe una demanda en el nodo i (destino) Si ki =0, el nodo i se determina intermedio

A cada arco (i,j) se le asocia una variable xij

339

0 el cual representa el flujo que circula por

el y un costo unitario de transporte Cij , dicho flujo est´a limitado por un l´ımite inferior lij y un l´ımite superior Uij .

Y por u ´ltimo todos los nodos tienen que cumplir las leyes de conservaci´on de Kirchho↵.

340

Figura 9.33: Figura 1

La formulaci´ on matem´ atica queda as´ı:

Figura 9.34: Figura 1

Ejemplo:

341

Figura 9.35: Figura 1 Min 2X12 + 3X13 + X14 + 2X23 + 6X35 + X45

2X52

s.a 2X12 +3X13 +X14 =1 -X12 +X23 -X52 =-4 -X13 -X23 +X34 +X35 =0 -X14 -X34 +X45 =-3 -X35 -X45 +X52 +X52 =6 0 Xij / El problema lo podemos reescribir, en forma matricial: Min cx s.a Ax = k l x  u Matriz de incidencia A=[aij ],[aij ]=ei - ej y ei es el vector unitario i-´esimo.

9.1.15.

METODO COSTO M´ıNIMO

a) Se comienza por asignarle tanto como sea posible a la casilla, con el costo m´as bajo por unidad.

b) Se tacha el regl´ on o la columna satisfecha y se ajusta la cantidad de la oferta y la demanda conforme a ello. Si tanto el regl´on como una columna se satisfacen simult´aneamente, solo se tacha uno de ellos. 342

Figura 9.36: Figura 1

c) Enseguida se ajusta la oferta y la demanda de todos los renglones y columnas no tachadas con el costo m´ as bajo por unidad y no refleja el proceso hasta que al final quede exactamente un regl´ on o una columna no tachados.

9.1.16.

CONEXIDAD EN REDES

Una red conexa es una red en la que cada par de nodos est´a conectado, y se dice que dos nodos est´ an o se encuentran conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos.

Figura 9.37: Figura 1

Otro ejemplo de red conexa, es la red del metro la cual se encuentra conectada por medio de nodos, hacia un punto. Se dice que una gr´afica G=(N,A) es conexa si para cada par de nodos i,j2N existe un camino que conecte el nodo i con el nodo j.

343

Figura 9.38: Figura 1

9.1.17.

´ ANALISIS DE REDES

Decimos que una gr´ afica G ser´a una estructura definida por un conjunto de v´ertices, tendremos que V debe ser diferente al vac´ıo y un conjunto de arcos (aristas) A, y una funci´on y que asociar´ aa cada elemento de A un par de elementos de V, estos v´ertices ser´an los extremos de A.

Figura 9.39: Figura 1

Llamamos cadena que forma un ciclo, cuando el v´ertice inicial coincida con su v´ertice final.

C3 =(1,3),(3,4),(4,5),(5,2),(2,1) Este es un ejemplo de ciclo en G Entendemos por gr´afica conexa cuando para cada par de v´ertices existe una cadena que los une.

344

Figura 9.40: Figura 1

V(G)=1,2,3,4,5,6,7 Un ´ arbol es una gr´ afica conexa y sin ciclos

Figura 9.41: Figura 1

Un ´ arbol generador en una gr´afica conexa es un ´arbol que incluye a todos los v´ertices de la gr´ afica.

345

Figura 9.42: Figura 1

Para desarrollar el algoritmo de Prim consideremos el siguiente problema: Tenemos un estado con siete ciudades, el objetivo es construir una red de caminos que permita conectarlas entre s´ı. A continuaci´ on tenemos los costos de conectar a cada par de ciudades entre s´ı.

Figura 9.43: Figura 1

Dise˜ namos la red de caminos de manera de minimizar los costos de conectar a las ciudades COSTOS AB $3 BC $1 CD $1 CF $3 FE $1 346

Figura 9.44: Figura 1 EG $4 $COSTO Esto nos indica que al resolver el algoritmo de Prim; el costo m´ınimo para conectar a las ciudades es de $13

9.1.18.

RUTA CR´ITICA

Una maestra debe realizar las tareas que se muestran en la siguiente tabla antes de realizar un recital (duraci´ on en d´ıas)

Figura 9.45: Figura 1

1. Dibujamos la red

347

Figura 9.46: Figura 1 2. Determinar Ruta Cr´ıtica E(TIJ)=(a+4m+b)/6 Var(Tij )=(b

a)2 /36

Figura 9.47: Figura 1

E(T12 )=(2+12+4)/6=3 E(T23 )=(2+24+10)/6=6 E(T38 )=(3+20+7)/6=5

Var(T12 )=(4 Var(T23 )=(10 Var(T32 )=(7

2)2 /36=1/9 2)2 /36=16/9 2)2 /36=4/9

RUTA CR´ITICA A-C-G La duraci´on es de 14 d´ıas 3. Si la maestra quiere tener una probabilidad del 99 % de terminar la preparaci´on para el 30 de 348

Figura 9.48: Figura 1 junio, cuando deber´ a comenzar. E(CP)=3+6+5=14 Var(CP)=1/9+16/9+4/9=7/3 P(CPX)=0.99 P[Z((X-14)/(1.527))] | [((X-14)/1.527)] = 2.33 P(Z2.33)=0.99 X=17.5 d´ıas

Establecer el PL que se podr´ıa utilizar para obtener la ruta cr´ıtica del proyecto Min z=X8 - X1 S.a X2

X1 + 3 X6

X3

X2 + 6 X8

X4

X2 + 2 X8

X5 + 1,5 X6 + 2 X7

X5

X4 + 3 X8

X2 + 3

X5

X3 + 1 X8

X3 +5

X1 sin restricci´on REDES: Determinar la ruta cr´ıtica T IPj = m´ axT IPi +Dij T T Ti = minT T Tj -Dij 349

Figura 9.49: Figura 1

Figura 9.50: Figura 1

La duraci´on es de 35 d´ıas. Para la red anterior, determinar los diferentes programas de costo m´ınimo entre los puntos a duraci´ on normal y m´ınima. La red y los costos normales del proyecto Tiempo m´ as pr´ oximo de un evento Tiempo m´ as lejano de un evento Tabla de holguras La ruta cr´ıtica seria: Duraci´ on: 25 24 23 21 18 17 14 Costo 1150 1157 1170 1201 1276 1303 1403

350

Figura 9.51: Figura 1

Figura 9.52: Figura 1

Figura 9.53: Figura 1

351

Figura 9.54: Figura 1

Figura 9.55: Figura 1

Figura 9.56: Figura 1

352

Figura 9.57: Figura 1

353