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MATERIAL TEÓRICO Nº 1

INGRESO -PROF.MATEMÁTICA

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS CONJUNTO DE NÚMEROS REALES

Realizado por la Lic. Marta Lía Molina

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PROFESORADO MATEMÁTICA

CONTENIDOS

1• • •

Elementos de la Teoría de Conjuntos Relación de Pertenencia e Inclusión Clasificación de Conjuntos. Operaciones entre Conjuntos.

2• • •

Conjunto de Números Reales Números Naturales. Números Enteros Números Racionales. Operaciones con fracciones. Simplificación. Expresión decimal de los Números Racionales. Números Irracionales. Números Reales.

• •

3- Representación Gráfica de conjuntos numéricos. • Intervalos. 4- Operaciones con Números Reales. • Propiedades de la suma y producto. • Convenios de notación. 5- Valor absoluto • Definición. • Interpretación geométrica. • Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

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ELEMENTOS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS Es común que a diario mencionemos o trabajemos con colecciones de distintos tipos de objetos; por ejemplo, podríamos querer consultar acerca de las universidades que, en Argentina, tienen la carrera de Licenciado en Administración de Empresas, o conocer las entidades bancarias que prestan dinero para viviendas de interés social. Las colecciones antes mencionadas son ejemplos de conjuntos. De igual manera, en Matemática cuando trabajamos recurrimos a una serie de elementos que denominamos conceptos primitivos, que no se definen. En la Son conceptos primitivos

Conjunto Elemento Pertenencia

Es importante también recordar que cuando trabajamos en Matemática, empleamos dos tipos de lenguaje.

1. el

lenguaje

que

usamos

a

diario

para

comunicarnos y que en castellano le damos el nombre de lenguaje coloquial.

2. el lenguaje propio de la ciencia, el lenguaje matemático, que utiliza a su vez dos lenguajes: a)

compuesto por un conjunto de símbolos que nos permiten

expresarnos

en

forma

abreviada, el lenguaje simbólico y

2

sintética

y

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b)

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trabajamos también con gráficos y diagramas que nos permite, en muchos casos, una interpretación más clara y concreta del tema tratado y lo denominamos lenguaje gráfico.

Cuando hablamos de un conjunto, en lenguaje coloquial, nombramos cada uno a uno los elementos que forman parte del mismo y decimos que lo hemos expresado por enumeración. Por ejemplo, decimos: •

el conjunto formado por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Si en cambio expresamos una propiedad que caracteriza a dichos elementos, decimos que está expresado por comprensión. Por ejemplo, decimos: •

el conjunto formado por los dígitos del sistema decimal.

Cuando expresamos un conjunto en lenguaje simbólico debemos tener en cuenta las siguientes convenciones: Símbolo

Significado

Ejemplos

{ }

Encierran los elementos de un conjunto

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

llaves

a, b, c, d, e Letras minúsculas

Designan los elementos del conjunto.

A, B, C, D, E Letras de Imprenta mayúsculas

Designan conjuntos

A = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9 }

x

Indica un elemento cualquiera de un conjunto

A = { x / x es un dígito }

Minúscula de imprenta

/ Barra inclinada

3

Significa tal que

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Relación de Pertenencia e inclusión Consideremos nuevamente el conjunto A que está formado por los dígitos del sistema decimal o sea: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {x / x es un dígito} Para decir que un elemento pertenece a un conjunto usamos: Símbolo

Significado

∈

Relaciona un elemento con un conjunto

pertenece

Ejemplos 3∈A

Si queremos expresar que un elemento no pertenece a un conjunto: Símbolo

Significado

∉

Relaciona un elemento con un conjunto

no pertenece

Ejemplos 12 ∉ A

Ahora bien, si consideramos que A es el conjunto de números naturales lo designamos como: A= N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …} = { x / x es un número natural } Entonces para expresar que el conjunto A está incluido o contenido en el conjunto N usamos el símbolo: Símbolo Contenido ó incluido

Entonces decimos que: 4

Significado Relaciona dos conjuntos

Ejemplos A

N ó N⊃A

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El conjunto A está incluido en otro conjunto B si se cumple que todo elemento de A es también un elemento de B. Simbólicamente escribimos: A ⊂ B ⇔ (∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B) Donde el símbolo ∀ significa “para todo”. Si el conjunto A está contenido en el conjunto B, también se dice que A es un subconjunto de B. Pero si el conjunto es el conjunto de números: B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } Decimos que A no está incluido en el conjunto B y simbolizamos: Símbolo

Significado

⊄ No incluido o no contenido

Ejemplos A⊄B

Relaciona dos conjuntos

Recordemos además otros símbolos muy usados: Símbolo

Significado

⇒

5

Flecha

implica

p⇒q

p implica q

∧

y

∨

o

∀

para todo

∃

existe

∴

por lo tanto




mayor

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Clasificación de los conjuntos Vamos ahora a recordar la Clasificación de los conjuntos de acuerdo al número de elementos:

φ Clasificación de Conjuntos

(carece de elementos)

Vacío

{a}

Unitario ( posee un solo elemento)

{2,4,6,8,10,12} finito (posee un número determinado de elementos)

N = {x / x es un número natural} infinito (posee un número ilimitado de elementos)

Las Ciencias Sociales tienen como objeto de estudio al Hombre, las relaciones entre el Hombre y la Sociedad, las relaciones entre grupos sociales, etc. Es por ello que tiene especial importancia el estudio de conjuntos de individuos (pequeños grupos y/o grandes grupos humanos llamados sociedades) y el estudio de estos en relación con el grupo más amplio posible, el cual se denomina “población” o “universo”. Es por ello que recordaremos la siguiente definición: Conjunto universal Es un conjunto que puede ser finito o infinito, y se utiliza para realizar operaciones con conjuntos que tienen menos elementos que él, y los elementos de esos conjuntos pertenecen al Universo. El conjunto universal U se representa mediante un rectángulo, y los subconjuntos de U, a través de círculos dentro de dicho rectángulo. En primer ejemplo vemos que el conjunto B es un subconjunto de A y ambos pertenecen al universo U. En el segundo diagrama, el conjunto B no es un subconjunto de A pero ambos pertenecen al mismo universo U. 6

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Veamos ahora el siguiente ejemplo y consideramos el conjunto: N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … } = { x / x es un número natural }. A este conjunto N lo identificamos como en conjunto Universal y consideramos los conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {x / x es un número natural y 1 ≤ x ≤ 9} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} = { x / x es un número natural par y x ≤ 18} Estos conjuntos en diagramas de Venn quedan de la siguiente manera, observando que tienen algunos elementos en común y el universo es el Conjunto N.

1 3 5 7 9

2 4

10 12 14 16

6 8

18

Operaciones entre conjuntos Recordemos que entre los conjuntos es posible definir ciertas operaciones. Una operación pone en relación dos o más conjuntos y como resultado de dicha relación se obtiene un nuevo conjunto. Dados dos conjuntos, A y B, se llama unión de A con B a otro conjunto que tiene todos los elementos de A y todos los elementos de B y escribimos simbólicamente: A U B A U B = {x / x ∈ A v x ∈ B}

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Dados dos conjuntos, A y B, se llama intersección de A y B a otro conjunto que tiene sólo los elementos comunes de A y B. Escribimos simbólicamente: A ∩ B A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B} Si volvemos a nuestro ejemplo anterior

y consideramos nuevamente los

conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = {x / x es un número natural ∧ x ≤ 9} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} = {x / x es un número natural par ∧ x ≤ 18} A UB = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,11,12,13,14,15,16,17,18} A ∩ B = {2,4,6,8}

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NÚMEROS REALES: NÚMEROS NATURALES La noción de número es uno de los conceptos más antiguos de la humanidad y es de fundamental importancia para el devenir diario. Hasta llegar a su concepción actual el hombre necesitó muchos siglos de análisis y reflexión. Esto nos hace pensar que alguno de los conceptos que utilizaremos. Los números naturales son elementos para contar y ordenar

Recordemos un poco de historia: cuando el hombre solo contaba sus bienes: ovejas, pieles, panes, etc. , que producía o necesitaba para vivir, los números que utilizaba eran: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ... 10; 11; … 376; ..498;… Estos números se llaman NATURALES y los indicaremos con N y se los agrupa como conjunto de la siguiente manera: N = { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ……} En este caso se trata de un conjunto numérico. El conjunto de los números naturales es un conjunto ordenado, razón por la cual podemos representarlos sobre una recta de la siguiente manera: |0

|1

|2

|3

|4

El conjunto N: •

¿tiene primer elemento?

•

¿cuál es ?

•

¿tiene último elemento? ?

Pero más tarde se tuvo necesidad de identificar el “no tener” con un número y así nació el cero. Conformando un nuevo conjunto numérico. 9

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Este nuevo conjunto de números se llama NATURALES CON CERO (N0) y al conjunto se lo designó como: N0 = { 0 ; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; …..} Ambos conjuntos elemento.

numéricos N y N0 tienen primer elemento pero no último

Con frecuencia tenemos necesidad de resolver situaciones en las que es necesario contar una gran cantidad de objetos Si una caja, que contiene lámparas dicroicas, tiene 9 pisos y en cada piso hay 16 filas de 25 lámparas cada una, y queremos saber cuántas lámparas hay en la caja, vemos la necesidad de establecer reglas o estrategias para dar la respuesta sin realizar la tediosa tarea de contar.

9

16 25

Estas estrategias son las operaciones elementales. Efectivamente, los números naturales se pueden sumar y multiplicar. El resultado de estas operaciones es siempre un número natural. Pero la diferencia o resta no siempre es posible con elementos de este conjunto numérico. Un número b se puede restar de un número a sólo en el caso en que b sea menor o igual que a. Si sumamos dos números naturales se obtiene otro número natural; ello se expresa diciendo que la suma de números naturales es cerrada, pero no podemos restar siempre dos números naturales y obtener otro número natural, lo que significa que la resta de números naturales es abierta. Por ello decimos que las únicas operaciones que son cerradas en el conjunto de los naturales son la adición y la multiplicación. Las otras operaciones son abiertas.

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NÚMEROS ENTEROS Si en una resta de números naturales, si el minuendo es menor que el sustraendo por ejemplo: 10 – 50. El resultado no es un número natural. Para resolver este inconveniente, aparecen los: NÚMEROS ENTEROS ( Z ) que es la unión del conjunto de naturales con cero, a los que se agregan los números negativos . -

Indicamos con el símbolo Z a los enteros, a los enteros negativos con Z y a los enteros positivos (naturales) con Z+ -

Resulta entonces: Z = Z ∪ {0} ∪ Z+ o bien: Z = { … - 1000; … -100 .. -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ;... 100 ; … 1000; ..}. Este conjunto numérico permite resolver fundamentalmente, problemas de distancias respecto de un punto determinado, hacia la izquierda o derecha, hacia arriba o abajo, gracias a la función valor absoluto y realizar una amplia gama de comparaciones: mayor temperatura, mayor error, mayor latitud, mayor.

Usando diagramas de Venn podemos representar gráficamente al conjunto de los Números Enteros de la siguiente manera:

0

Z-

11

Z

Z+

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NÚMEROS RACIONALES Si nos preguntamos: ¿Es posible la división entera entre números enteros? Analicemos: Es claro que si dividimos al número 6 por 3 obtenemos como cociente al número entero 2. Efectivamente: 6 = 3 X 2. En cambio no existe ningún número entero que sea el cociente de dividir a 7 por 3. Entonces podemos decir que cuando dividimos dos números enteros ( a/b , b≠0), si se cumple que el numerador es múltiplo del divisor el resultado de esta división es un Número entero, caso contrario esto no sucede como el caso que ya dijimos que el resultado de 7:3 no es un número entero. En este conjunto numérico solamente son cerradas las operaciones de adición, multiplicación y sustracción. Las restantes operaciones no siempre tienen resultados dentro del mismo conjunto numérico. Por ello y sobre la base de poder encontrar siempre el resultado de la división dentro del mismo conjunto, debemos ampliar nuevamente el campo numérico para resolver el inconveniente surgido. Aparecen así los NÚMEROS FRACCIONARIOS Queremos repartir ahora una unidad no indivisible, es decir, que se pueda fraccionar. Si disponemos de una bolsa de arena y la dividimos en dos partes iguales, decimos que cada parte es la mitad de la bolsa ó

1 de la bolsa. 2

En general si tenemos una unidad y la dividimos en n partes iguales, cada parte es la enésima parte de la unidad. A la cantidad obtenida la simbolizamos con Si tomamos,

12

1 n

m de las enésimas partes,

decimos que esa

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cantidad es

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m . n

En los casos en que m sea menor que n la cantidad

m expresa porciones de la n

unidad. A estos números se los llama NÚMEROS FRACCIONARIOS (los simbolizamos con F)

Pero el símbolo Por ejemplo:

m no es el único que se usa para representar la misma cantidad. n

2 1 7 ; ; representan la misma fracción de la unidad. 4 2 14

En general si r es un número entero, distinto de cero, las expresiones

m.r m y n.r n

representan la misma cantidad. Cuando pasamos de la primera fracción a la

segunda decimos que hemos simplificado factores comunes. A estas fracciones se las llama fracciones equivalentes. ¿A qué llamamos Números Racionales? NÚMEROS RACIONALES Al conjunto formado por todos los números enteros (Z) y todos los fraccionarios (F) se lo designa por Q y se lo denomina conjunto de los números racionales. m Q =  ; m ∈ Z; n ∈ Z; n ≠ 0 n

13



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O sea que en otras palabras el conjunto de los Números Racionales (Q) está formado por todos los números que se pueden expresar como el cociente entre dos números enteros, por supuesto con el denominador n≠0

Y entonces recordando lo visto en la Teoría de Conjuntos Q=ZUF Y una representación gráfica de este conjunto usando diagrama de Venn sería

F

Z

Q

Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional. Repasemos brevemente algunas Reglas de cálculo con fracciones. COMPARACIÓN • Toda fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa. • Si las fracciones tienen igual denominador será mayor aquella cuyo numerador sea mayor. • Si las fracciones tienen distinto Denominador se comparan las fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador.

A continuación te mostramos un ejemplo para que aclares mejor tus ideas.

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EJEMPLO:

Queremos comprobar cuáles de las fracciones

4 3 y es mayor. Para 7 5

ello debemos encontrar un par de fracciones equivalentes a las dadas y que tengan igual denominador, lo más natural es considerar dos En este ejemplo es conveniente elegir

20 21 y como fracciones equivalentes a las 35 35

dadas. Comparando

20 21 4 3 < luego < 35 35 7 5

SUMA Y RESTA Sumar y restar fracciones con igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma ó resta de los numeradores y el denominador será el mismo.

EJEMPLO:

1 3 5 1− 3 + 5 3 - + = = 4 4 4 4 4

Si las fracciones no tienen igual denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual denominador. Luego se opera de la misma manera que en el cálculo anterior.

EJEMPLO:

1 5 1 4 15 6 4 + 15 − 6 13 + − = + − = = 3 4 2 12 12 12 12 12

En este caso se dice que determinamos un denominador común. 15

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PRODUCTO

EJEMPLO: el inverso multiplicativo de pues

3 5 es 5 3

3 5 x =1¿Cuál es el inverso multiplicativo de 5 3

3 7

- ?

COCIENTE Si pensamos al número 2 como una fracción de denominador igual a 1¿qué significa dividir 5/7 por 2? Es calcular la mitad de 5/7, lo cual se remite a un caso de producto entre 5/7 y ½ , es decir, entre la fracción dada y el inverso del divisor.

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EJEMPLO

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−2 4 2 3 6 : =− x =− 5 3 5 4 20

SIMPLIFICACIÓN Simplificar una fracción es sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.

EJEMPLO:

8 4 2 2 = x = 36 4 9 9

¿Existe alguna relación entre los números racionales y los números decimales?

EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS RACIONALES Si queremos escribir un número racional en forma decimal, bastará con dividir el numerador por el denominador. EJEMPLOS:

108 = 36 3

;

7 = 3,5 2

;

∩ 26 = 8,666... = 8, 6 3

Observemos que estas expresiones decimales tienen una expresión decimal finita ó bien infinita periódica.

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Tanto los números decimales exactos como los periódicos pueden escribirse como cociente de enteros, o sea que son números racionales.

Si el número es un decimal exacto, es decir, que tiene una expresión decimal finita, puede expresarse como un número racional con denominador igual a la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales. EJEMPLOS: 3,5 =

35 7 = 10 2

; 2,938 =

2938 1000

Ahora en el caso de los números decimales periódicos para hallar su expresión decimal es un poco más complicado veamos los ejemplos: EJEMPLO 1: N= 0,3333… 10.N=3,333…. 10N-N=3 9N=3 N=

1 3

∩

1 ∴ 0, 3 = 3

N y 10 N tienen la misma parte decimal . Al restarlos se obtiene un número entero. 9N = 3

EJEMPLO 2: N= 2,105105… 1000.N=2105,105105… 1000N-N=2103 999N=2103 N= ∴

18

2103 999

2103 = 2,105105 ...... 999

N y 1000 N tienen la misma parte decimal.

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Como el número N tiene una

EJEMPLO 3: N= 2,4105105…

parte decimal no periódica y

10.N=24,105105…

una periódica, es necesario

10000 N=24105,105105...

ahora tener en cuenta 10 N y

10000 N- 10 N= 24081

10000 N para obtener dos

9990 N= 24081

números con la misma parte

N = 24081 / 9990

decimal.

Por tanto 24081 = 2,4105105...... 9990

¿No es más útil este método de trabajo que la memorización de reglas?

La estrategia es la misma en todos los casos: obtener dos números que tengan la misma parte decimal. Al restarlos se obtiene una igualdad en la que se relaciona el número N con números enteros. Esta igualdad permite expresar a N como cociente de enteros. Por tanto podemos afirmar que un número racional se caracteriza por tener una expresión decimal exacta ó bien periódica. EJERCICIOS 1-) Escribe la expresión decimal de

5 3 4 9 1 ; ; ; ; 6 4 15 20 3 ∩

2) Escribe en forma de fracción: 1,28424242… ,12,424242...;2,1313...; 0, 6

¿Existen números que no son racionales?

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NÚMEROS IRRACIONALES Sea entonces el número 2,31331333133331... vemos que no es un decimal exacto, y si queremos buscarle cifras periódicas no le encontramos ,o sea que no es un número decimal periódico. NO es un número racional. De serlo tendría una expresión exacta ó periódica. Estos números son los llamados no racionales ó irracionales. Designaremos con I al conjunto de los números irracionales. Estos números irracionales son tales que no pueden representarse como el cociente

p con p y q números enteros, q≠0 , o sea que no q

son racionales. Estos números se pueden escribir como una expresión decimal infinita no periódica Un número irracional notable: π !!! El número π es el cociente entre la longitud de una circunferencia cualquiera y su diámetro. La designación proviene de la palabra griega ‘peripheria” (la circunferencia es la periferia del círculo) y π es la letra griega equivalente a la letra p de nuestro alfabeto. Las civilizaciones antiguas ya conocían esta relación. Los egipcios le daban el valor 3,16 y los griegos mucho después el valor 3,14. Hoy con la ayuda de la computadora se llegaron a determinar más de un millón de cifras decimales y se observó que no existe ninguna periodicidad entre ellas.

NÚMEROS REALES

La unión de los conjuntos

Q ∪ I =R

R: ES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES El conjunto de los racionales Q y el de los Números irracionales I son disjuntos (esto significa que no tienen ningún elemento en común)

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Entonces usando diagramas de Venn podemos representar al conjunto R de la siguiente manera:

I

Q

R

El conjunto de los Números Reales es cerrado respecto a las cuatro operaciones fundamentales.

Naturales(N ó Z+) 0 Cero Racionales (Q)

Enteros (Z)

Enteros negativos (Z-)

Reales(R) Fraccionarios (F)

Irracionales (I)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1) i) Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales. Explica. ii) Si es racional, indica a qué subconjunto pertenece. a)

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1 5

b) - 5

c)

0

d) 1,13567...

e) 2,34

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∩

f) - 2, 3 4

2) Dados los siguientes conjuntos ∩

A = { 5; 0; e; − 0, 5 ;

3 ; -2;

1 ; π} B = { 2

3

27 ;

3 1 7 ; 0; -2; - ; π ; } 4 2 3

Escribe por extensión cada uno de los siguientes conjuntos: a) A U B

b) B I Z

c) A I B

d) A I ∅

e) A I I

f) G = { x / x ∈ A y x es un entero no negativo} Vamos resolviendo los siguientes ítems 1 5

1) a) i) ∈Q pues es un cociente entre dos números enteros Además

1 ∈F ( F⊂Q) 5

b) - 5 =-2,2360679…… es una expresión decimal infinita no periódica, entonces - 5 ∈I c) i) 0 ∈Q ii) 0 ∈ Z ( Z ⊂Q) a) 1,13567... ∈I , puesto que es una expresión decimal infinita no periódica. b)

ii) 2,34 =

c)

234 ∈Q puesto que es una expresión decimal finita 100

I) 2,34 =

234 ∈F 100 ∩

I) 2, 3 4 = ∩

Pues: N= 2, 3 4 ∩

10.N= 23, 4 22

211 90

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∩

100N= 234, 4

100N-10N= 234-23=211 90N=211 entonces N = ∩

Como 2, 3 4 = ∩

ii) 2, 3 4 =

211 90

211 ∈Q (pues es el cociente entre dos números enteros) 90

211 ∈F ( F ⊂Q) 90 ∩

2)a) A U B = { 5; 0; e; − 0, 5 ;

3 ; -2;

3 1 7 } ; π ;3; ; 4 2 3

b) B I Z en este conjunto estarían los elementos que pertenecen a B y además son enteros, esto se justifica por la definición de Intersección de conjuntos. Entonces B I Z= {3;0;-2} c) A I B={0; -2;

1 ; π } pues por definición de intersección de conjuntos a este 2

conjunto pertenecen los elementos que pertenecen a ambos conjuntos. d) A I ∅ = ∅ e) A I I en este conjunto estarían los elementos que pertenecen a A y además son irracionales, esto se justifica por la definición de Intersección de conjuntos. Entonces A I I={ 3 ; π }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS NUMÉRICOS A cada elemento de un conjunto numérico dado, le hacemos corresponder un punto en la recta, pero para ello utilizamos coordenadas, lo que significa que no cualquier punto se corresponde con cualquier elemento

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Se requiere de una recta graduada, en base a una escala y un origen de graduación.

Como ejemplo podemos plantear: Dados subconjuntos ordenados de conjuntos numéricos como ser N o Z, los podemos representar en la recta numérica de la siguiente manera:

A = {x/x ∈ N ∧ x es par}

B = {x/x ∈ Z ∧ -2 ≤ x ≤ 2}

INTERVALOS

Son subconjuntos ordenados de números reales que se representan en la recta numérica correspondiente. Siendo a y b dos números reales cualquiera, existen cuatro tipos de intervalos, ellos son: Abiertos (a,b) son aquellos que no incluyen a sus extremos. (a,b)= {x / x ∈ℜ ∧ a < x 0, existen sobre la recta dos puntos reales tales que su distancia al origen es x ellos son P y P´ de abscisas x y –x respectivamente. P´ -x

P 0

La distancia de P al origen es |x| = x> 0 La distancia de P´ al origen es |-x| = -(-x)= x > 0 Como |x| = |x-0 |

33

x

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Entonces desde el punto de vista geométrico |x| es la distancia entre punto de abscisa x y el origen, independiente de la dirección que se considere.

|-x|

| x|

-x

0

x

¿Qué nos proporciona la ecuación |x|= a , con a >0 De acuerdo con lo anterior esta igualdad nos pide que x se encuentra a distancia a del origen. Existen dos puntos que distan a unidades del origen, son los puntos de abscisas a y –a . Por lo tanto |x|= a ⇒x = a ∨ x=-a

|-a|

-a

| a|

0

a

¿Qué representa |x-a|? Si |x| es la distancia entre el punto de abscisa x y el origen, entonces |x-a| es la distancia entre los puntos de abscisa x y a ¿Qué representa la igualdad |x-a|=b , con b > 0 Se refieren a los puntos de abscisa x que distan b unidades de a, para encontrarlos planteamos: |x-a|=b ⇒ x-a=b

∨ x-a=-b ⇒ x=a+b ∨ x= -b+a=a-b

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación dada es S= {a+b,a-b}

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Ejemplos •

|x-5|= 1 ⇒ x-5=1 ó x-5=-1 ⇒x=6 ó x= 4

O sea que las abscisas de los puntos tales que su distancia a 5 es 1 son x1=6

x2= 4

•

¿Cuáles son los puntos de abscisa x que dista 3 unidades del punto de abscisa -4? En términos de valor absoluto sería |x-(-4)|= |x+4|= 3 ⇒ x+4=3 ó x+4=-3 ⇒x=-1 ó x= -7

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Si nos piden que encontremos los puntos de abscisas x tales que su distancia a 0 es menor que 3 unidades, nos piden: |x| 0 entonces: |x| < a ⇔ -a < x < a Teorema 2: Si x∈ℜ y a> 0 entonces: |x| > a ⇔ x a 35

IES LOLA MORA

INGRESO

PROFESORADO MATEMÁTICA

Ejemplos: Defina por extensión los siguientes conjuntos, represéntalos gráficamente. 1) A= {x∈N/ |x|