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PLANTEO DE ECUACIONES Para un buen desempeño en el presente tema es importante recordar que: PROBLEMA es una proposición donde se pide calcular ciertas cantidades llamadas incógnitas empleando las relaciones que se nos proporcione entre estas y otras cantidades conocidas a las que se llaman datos. Una relación entre incógnita y datos nos lleva a formar una ecuación. Pasos para resolver un problema 1. En todo PROBLEMA podemos distinguir los siguientes pasos para su Solución: 2. Lectura del enunciado 3. Identificación de datos e incógnitas. 4. Identificación de una relación entre datos e incógnitas llamada también: Planteo de Ecuación. 5. Resolución de la ecuación. 6. Verificación de los resultados obtenidos. 7. Interpretación de los resultados. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES Mediante estos métodos se transforma el sistema dado en un sistema equivalente que conduzca a una sola ecuación con una sola incógnita, que ya será más fácil resolver. Los métodos son:

MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO RESOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN Para esto se factoriza el trinomio generalmente por Aspa Simple , quedando dos factores, los cuales igualamos a CERO cada uno, resultado ecuaciones de primer grado que resueltas nos permiten obtener las dos raíces de la ecuación cuadrática inicial. RESOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL Una ecuación de segundo grado como ax² + bx + c = 0 se resuelve también por medio de la siguiente fórmula general:

x 

b 

b²  4ac 2a

a, b, c = coeficientes

1.

MÉTODO DE REDUCCIÓN Consiste en transformar el sistema en UNA ecuación con UNA sola incógnita, ELIMINANDO aquellos que tienen coeficientes numéricamente iguales; pero de signos opuestos por medio de la suma miembro a miembro de las ecuaciones del sistema. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y SUSTITUIR esta expresión en la otra ecuación, con lo cual obtendremos una sola ecuación con una incógnita cuya solución ya nos es familiar. MÉTODO DE IGUALACIÓN Si se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, este método consiste en despejar en ambas, una de las incógnitas, para luego igualar los resultados y generar así la ecuación con una sola incógnita.

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

Dos números son tales que, el triple del menor excede en 1 al mayor; además el mayor excede en 6 al doble del menor. Hallar los números. Solución Supongamos que los números son x e y, con la condición que x > y (x es mayor que y); con ello se pueden establecer las ecuaciones que resuelvan el problema. Sea el número mayor : x Sea el número menor : y El triple de y excede en 1 a x.  3y – 1 = x x excede en 6 al doble de y  x – 6 = 2y Luego se tiene el sistema: 3y–1=x (1) x – 6 = 2y (2) Aplicamos aquí el Método de Sustitución. Reemplazamos el equivalente de x en la 2da ecuación, es decir reemplazamos (1) en (2) (3y – 1) – 6 = 2y y=7 Reemplazando en (1) x = 3(7) – 1 = 20

129

x = 20 Luego los números son 7 y 20 2.

De la ecuación (1)

x

Una sección de colegio está compuesta de 40 alumnos entre hombres y mujeres. Si el triple de la cantidad de hombres excede en 8 a la mitad de la cantidad de mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que hay en la sección?

De la ecuación (2)

x 

32 8  n 1 4  n Resolviendo : 4 (4 – n) = (n + 1)  n=3 Luego, cada tío tiene 3 hijos.

(1)

También: El triple de H excede en 8 a (M/2)

3H 

8 

M 2

4.

(2)

Aplicando el método de igualación: De la ecuación (1) M = 40 – H ............. (3) De la ecuación (2) M = 2(3H – 8) .............. (4)

Bocaditos salados = x Bocaditos dulces = y

 Hay 8 hombres en el aula del colegio.

La cantidad de y debe ser igual al doble de x.  y = 2x (1)

Mi familia es muy numerosa. Entre mis tíos y primos tengo 32. Y que casualidad, cada uno de mis tíos tiene la misma cantidad de hijos. Por otro lado, me he dado cuenta de que si cuadriplico el número de tíos que tengo, el resultado excede a la cantidad de primos en 8. ¿Cuántos hijos tiene cada uno de mis tíos?

La tercera parte de x excede en 6 a la novena parte de y:  

5.

Entre los primos y tíos hay 32, entonces: x + nx = 32 (1) El

cuádruplo de entonces: 4x – 8 = nx

x excede a nx en

8,

(2)

Para aplicar el método de igualación despejamos x de las dos ecuaciones:

130

x y 6  , es decir: 3 9 3x – 54 = y

(2)

Ahora igualando (1) = (2) 3x - 54 = 2x x = 54 Ahora bien en (1) se tiene: y = 2x = 2(54) = 108  Hay 108 bocaditos dulces.

Solución En este caso es conveniente asignar una letra al número de tíos y otra al número de hijos de cada tío; con ellos se puede plantear las ecuaciones que resuelven el problema. Número de tíos = x Número de hijos por tío = n Número total de primos = n.x

Para una reunión se piensa ofrecer bocaditos dulces y saladitos. La cantidad de bocaditos dulces debe ser igual al doble de los saladitos, y la tercera parte de los salados excede en 6 a la novena parte de los dulces; ¿cuántos bocaditos serán dulces? Solución Según el enunciado, conviene asignar una letra al número de bocaditos salados y otra al número de bocaditos dulces, ello nos permite establecer las ecuaciones que resuelvan el sistema.

Igualando los valores de M en las ecuaciones (3) y (4) se tiene: 2 (3H – 8) = 40 – H 6 H – 16 = 40 – H 7H = 56 H=8

3.

8 4-n

Ahora igualando se tiene:

Solución Sea la cantidad de mujeres =M Sea la cantidad de hombres =H Por dato del problema: M + H = 40

32 n 1

Tres números enteros positivos consecutivos son tales que la suma de sus cuadrados, resulta igual a treinta veces el menor de ellos, aumentado en cinco. Hallar el mayor de dichos números. Solución Números consecutivos: (x – 1) ; (x) ; (x + 1) La suma de cuadrados es 30 veces (x -1) aumentado en 5: (x –1)²+(x)²+(x+1)²= 30 (x–1)+5

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

Efectuando y reduciendo: x²-2x+1+x²+x²+2x+1=30x-30+5 3x² - 30x + 27 = 0 x² - 10x + 9 = 0 (x – 1) (x – 9) = 0  x=1  El mayor de dichos números es 10. 6.

x=9

Lolo tiene S/.20,000 y Pepe S/.7,500, cada uno ahorró anualmente S/.500. ¿Dentro de cuántos años la fortuna de Lolo será el doble de lo que tenga Pepe?

11. El exceso de 6 veces un número sobre 500 equivale al exceso de 500 sobre 4 veces el número. Calcular dicho número Solución Sea el número : “n” 6n – 500 = 500 –4n 10n = 1 000  n = 100 12. Tenía 800 soles y gasté los 3/5 de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? Solución Sea lo que no gasté = x 3 gasté = x 5 Gasté + No gasté = 800

Solución Sea “X” el número de años que deben transcurrir por dato: (20000+500x) = 2(7500+ 500x) 5000 = 500x  x = 10 Dentro de 10 años. 7.

¿Cuál es el número cuyo cuádruplo excede en 8 al triple de 12? Solución Sea el número = x Dato : 4x - 3(12 ) = 8 x = 44  x = 11

8.

¿Cuál es el número que excede a 48 tanto como es excedido por 68?

13. Gasté los 2/3 de lo que no gasté y aún me quedan 200 soles más de lo que gasté. ¿Cuánto tenía? Solución No gasté : 3x (queda)

Solución Sea el número = x lo que tengo Dato : 400 – x = 2(350 – x) falta falta 400 – x = 700 –2x  x = 300

2 (3x) = 2x 3

Gasté

:

Tenía Luego

: (3x + 2x) = 5x : 3 = 00 200 + 2x X = 200 : 5 (200) = S/.1000

Tenía

14. De los 60 soles que tenía, si no hubiera comprado un regalo que me costó 16 soles; tan sólo hubiera gastado 2/3 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté? Solución Tenía = S/.60 gasté = no gasté = S/.(60 – x)

Solución Sea el número = x Dato: x – 48 = 68 – x 2x = 116  x = 52 10. Me falta para tener 400 soles el doble de lo que me falta para tener 350 soles ¿Cuánto tengo?

3 x + x = 800 5

De donde: x = 500

Hallar un número cuyo doble excede en 40 a su suma con 12 Solución Sea el número = x Dato : 2x - (x + 12 ) = 40 x = 40 + 12  x = 52

9.



S/.x;

Si no hubiera comprado el regalo: x = – x) Resolviendo : x = 24 soles Pero realmente compró el regalo: Gastó: 24 + 16  40 soles

2 (60 3

15. Un padre reparte su fortuna entre sus hijos dándole 4800 soles a cada uno, debido a que dos de ellos fallecen; a cada uno de los restantes le tocó 7200 soles. ¿Cuántos hijos eran al inicio?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

Solución Sea “n” el N° de hijos Del enunciado: 4800 n = 7 200 (n –2) = 7200n – 14400 14400 = 7200 n – 4800 n = 2400n n=6

131

Al inicio eran: 6 hijos. 16. A y B están jugando a los naipes, acuerdan que el que pierda dará al otro 2 soles. Si después de 13 juegos consecutivos A ha ganado 10 soles. ¿Cuántos juegos ha ganado B? Solución N° de juegos que ganó A : x N° de juegos que ganó B : 13– x Ganó A Perdió A 2x – 2(13 – x) = 10 Resolviendo : x=9 Luego : N° de juegos que ganó B = 13 –9 = 4

NIVEL I 1. La suma de las edades de Juan y Pedro es 40 años y la diferencia de las mismas es 6 años. ¿Qué edad tienen? a) 16 y 24 b) 17 y 23 c) 12 y 28 d) 18 y 22 e) NA 2.

Dos números suman 10, ¿cuál es el mayor de ellos, si excede en 20 al número menor? a) 14 b) 12 c) 16 d) 15 e) N.A.

3.

Calcular dos números de modo que el triple del mayor excede en 100 al número menor, y el duplo del mayor, aumentado en el cuádruplo del menor, resulta 160. a) 40 y 20 b) 30 y 10 c) 50 y 25 d) 42 y 24 e) N.A.

4.

Un grupo de amigos compuesto por 10 integrantes, entre hombres y mujeres, asisten a un espectáculo por el que el hombre paga S/. 10 y la mujer S/. 5. Si uno de ellos pagó las entradas de todos, que fue de S/. 80, ¿cuántos hombres y mujeres fueron al espectáculo? a) 6 y 4 b) 7 y 3 c) 3 y 7 d) 2 y 8 e) N.A.

5.

Se divide una soga de 1 m de longitud en dos partes, resulta que la tercera parte del mayor excede a la quinta parte del menor en 12 cm, ¿cuánto mide la parte mayor? a) 40 cm b) 50 cm c) 60 cm d) 45 cm e) N.A.

6.

Hugo y Marcos obtienen 74 años al sumar sus edades. Si el doble del mayor excede a la quinta parte del menor en 71 años, ¿cuál es la edad del menor? a) 30 b) 32 c) 36 d) 35 e) N.A.

7.

Un salón de clases está compuesto de 40 alumnos, entre hombres y mujeres. Si el triple de la cantidad de hombres excede en 60 a la tercera parte de las mujeres, ¿cuántas mujeres hay? a) 16 b) 18 c) 15 d) 21 e) N.A.

8.

Se divide 50 en dos partes de tal manera que un séptimo del mayor sumado a un quinto del menor, da 8. ¿Cuál es el mayor? a) 42 b) 28 c) 21 d) 35 e) N.A.

9.

En una discoteca hay 100 personas entre hombres y mujeres. Si cada varón pagó S/.

17. Paula sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? Solución N° veces que baja = x N° veces que sube = ( x + 1) Dato : 5 (x +1) = 75 5x + 5 = 75  x = 14 veces que subió y bajó Sólo avanzó 14 escalones y como subió una vez más avanzó 5 escalones más. Luego : 14 + 5 = 19 escalones 18. En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas dejó en blanco? Solución N° blancos = x N° correctas = 3x N° incorrectas = (30 – 4x) Del enunciado: 0(x) + 4(3x) + (-1)(30–4x ) = 82 0 + 12x – 30 + 4x = 82 De donde: x=7 19. Si tuviera el doble de lo que no he perdido me compraría lo que cuesta el triple de lo que no tengo menos 300 soles. ¿Cuánto tenía si perdí 200 soles? Solución Tenía =x Perdí = 200 No perdí = ( x – 200)  queda Del enunciado: 2 ( x – 200) = 3 ( 200) – 300 De donde: x = 350

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4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

10 por la entrada y cada mujer pagó S/. 7, recaudándose en total S/. 880, ¿cuántos hombres más que mujeres hay en la discoteca? a) 22 b) 21 c) 20 d) 19 e) N.A. 10. Calcular el menor de dos números, sabiendo que el duplo de uno de ellos equivale al otro y la diferencia de ambos es 8. a) 12 b) 8 c) 10 d) 11 e) N.A. 11. Dos números enteros suman 35, y el triple de uno de ellos restado en 7, equivale a la mitad del otro. Hallar la diferencia entre ambos. a) 20 b) 14 c) 7 d) 21 e) N.A. 12. El doble de un número aumentado en 7, es igual a 47. Si este es triplicado aumentado en un segundo número, se obtiene 70. Hallar dichos números. a) 10 y 20 b) 12 y 18 c) 16 y 14 d) 6 y 14 e) N.A. NIVEL II 13. Dos números son tales que al triplicar uno de ellos y aumentarle el segundo se obtiene el cubo de 3, y al duplicar el primero y restarle el segundo se obtiene el cubo de 2. Hallar la suma de dichos números. a) 13 b) 12 c) 14 d) 15 e) N.A. 14. Dos cantidades son tales que el cociente de la diferencia entre la suma es igual a 1/5, siendo la cantidad menor 24. Calcular la suma de ellos. a) 42 b) 80 c) 88 d) 60 e) N.A. 15. Las edades de Mary y Lucía son tales que la suma de ellas es 50. Si la mitad de la mayor menos la octava parte de la menor es 10; calcular la edad de Mary, que es la mayor. a) 26 años b) 24 años c) 22 años d) 20 años e) N.A. 16. Las edades de un padre y su hija son tales que el cociente es 6. Si dentro de 4 años el cociente será 4, hallar la edad de la hija dentro de 15 años. a) 20 b) 22 c) 21 d) 24 e) N.A. 17. Ricardo es menor en 8 años a su hermano Luis. Hace 9 años la relación de sus edades

era de 3 a 5; ¿cuál será la edad de Luis dentro de 16 años? a) 45 años b) 40 años c) 39 años d) 38 años e) N.A. 18. Percy tiene en total 54 bolitas entre blancas y rojas; observa que tiene 14 bolas blancas más que las rojas. Y que el triple de bolitas rojas excede en 26 a las bolitas blancas. Si decide regalar a su hermano menor la mitad de bolas blancas, ¿cuántas bolas blancas quedarán? a) 16 b) 15 c) 14 d) 18 e) N.A. 19. El ancho de un rectángulo es 2 cm mayor que el largo del mismo. Si al ancho se le disminuye 2 cm y al largo se le aumenta 4 cm, el área resultante es los 5/4 del área original. Hallar dicha área. a) 40cm² b) 24cm² c) 60cm² d) 48cm² e) N.A. 20. Las edades de dos personas están en la relación de 4 a 3, si el cuadrado del menor excede en 128 al mayor, ¿cuáles son las edades? a) 8 y 6 b) 12 y 9 c) 16 y 12 d) 20 y 15 e) N.A. 21. Dos cantidades están en la relación de 3 a 5. Si el cuadrado del menor excede al doble del mayor, en 496, ¿cuál es el mayor de estas cantidades? a) 30 b) 40 c) 24 d) 32 e) N.A. 22. Lucy y Jazmín tienen entre las dos 20 vestidos. Si la tercera parte de vestidos de Lucy se multiplica por la cuarta parte de vestidos de Jazmín, resulta 8. Indicar cuántos vestidos tiene cada una. a) 8 y 12 b) 18 y 2 c) 16 y 4 d) 9 y 11 e) N.A. 23. Julia e Isabel tienen entre las dos 10 blusas, si la mitad de blusas que tiene Julia multiplicado por la mitad de blusas de Isabel da como resultado 6, ¿cuántas blusas tiene Isabel?, sabiendo que Isabel tiene la menor cantidad. a) 6 b) 2 c) 4 d) 8 e) N.A. 24. Se compran “x” borradores a S/. x/4 c/u; (12+2x) cuadernos a S/. x c/u y 10x lapiceros a S/. x/2 el par. Si en total se gastaron S/.43, ¿cuántos cuadernos se compraron?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

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a) 20 b) 18 c) 16 d) 14 e) N.A. NIVEL III 25. Se compra (3x+7) Kg. de manzanas a S/. 2x el kilo; (5x+3) Kg. de naranjas a S/. 3x el kilo. Se paga con un billete de S/. 200 y recibe por vuelto S/. 70, ¿cuántos Kg. de naranjas se han comprado? a) 12 kg b) 11 kg c) 13 kg d) 15 kg e) N.A. 26. Cinco veces un número entero aumentado en su inversa da como resultado 6; ¿cuál es dicho número multiplicado por tres? a) 1 b) 9 c) 3 d) 6 e) N.A. 27. Hallar el menor de tres enteros consecutivos, si sabemos que los ¾ del menor, sumados con la tercera parte del número medio, equivale al mayor. a) 2 b) 21 c) 24 d) 18 e) 20 28. Repartimos 5400 kg. de azúcar en tres mercados. En el primero dejamos 200 kg. menos que en el segundo y en el tercero una quinta parte menos que en el segundo. ¿Cuántos kg. dejamos en el tercero? a) 2800 kg b) 1600 kg c) 3200 kg d) 2500 kg e) N.A. 29. Juan le dice a Fidel: “Préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad”. Fidel le responde: “Mejor págame los 10 soles que me debes y así tendré 9 veces lo que te queda”. Entre ambos tienen: a) S/. 80 b) 60 c) 120 d) 140 e) 100 30. Jorge le dice a Víctor: “Todas mis amigas son morenas menos 8, además todas son rubias, menos 7”. ¿Cuántas amigas tengo? Víctor le responde: “Falta un dato”, a lo que Jorge dice: ¡Cierto! Sólo 3 de ellas no son pelirrojas y hasta ahora sólo he conocido rubias, morenas y pelirrojas. a) 3 b) 8 c) 6 d) 9 e) 10 31. Un granjero compró 5 caballos y 3 burros. Si hubiera comprado un caballo menos y un burro más hubiera gastado S/. 5000 menos. ¿En cuánto difieren el precio de un caballo y el de un burro? a) S/. 5000 b) S/. 10000

134

c) S/. 2500 e) N.A.

d) S/. 15000

32. A 10 parejas de jóvenes le van a entregar 2 canarios por pareja. En el momento de la entrega se escapan algunos canarios y luego se ordenan traer tantos como la mitad de los que quedan más dos canarios, para hacer efectiva la entrega. ¿Cuántos canarios se escaparon? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 33. Los capitales de dos individuos son “x” e “y” soles; el primero ahorra diariamente “a” soles y el segundo “b” soles. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el capital del primero sea “n” veces el del segundo?

ny  x a  nb nx  y c) a  nb a)

e)

ny  x a  nb nx  yx d) na  b b)

n (y  x ) na  b

34. Un hijo le dice a su padre: “La diferencia entre el cuadrado de mi edad y el cuadrado de la edad de mi hermano es 95”. El padre contesta: “Es la misma diferencia de los cuadrados de mi edad y la de tu madre”. ¿Qué edad tenía el padre cuando nació su primer hijo? a) 48 años b) 32 años c) 46 años d) 36 años e) 72 años 35. Una frutera lleva al mercado cierto número de manzanas; primero vende 1/3 del total; luego vende 10 manzanas y por último vende 5/11 del resto. Si le quedan aún 12 manzanas, ¿cuántos llevó inicialmente? a) 52 b) 60 c) 42 d) 36 e) 48 36. En la fiesta de cumpleaños de Zoila se observó que, la primera dama baila con 7 caballeros, la segunda dama con 8 caballeros, la tercera con 9 caballeros y así sucesivamente hasta que la última bailó con todos los caballeros. ¿Cuántas damas fueron a la fiesta, si en total asistieron 120 personas? a) 63 b) 39 c) 45 d) 48 e) 57

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

135

1.

EDADES: En estos problemas intervienen personas cuyas edades se relacionan a través del tiempo. Estas relaciones se traducen en una o más ecuaciones. La información que contiene el problema la debe organizar con ayuda de diagramas que faciliten el planteo de las ecuaciones.

Si la persona ya cumplió años: Año Nac.  Edad  Año Actual

Si la persona aún no cumple años: Año Nac.  Edad  Año Actual  1

CUANDO INTERVIENE UN SUJETO: Utilizaremos un diagrama lineal que representará el transcurso del tiempo. –m

27 30 = 52 RELACIÓN CON EL AÑO DE NACIMIENTO:

1.

+n

Hace “m” años

Hoy tengo

Dentro de “n” años

x–m

x

x+n

Solución Sea “ x” la edad actual Dato: x + 30 = 3(x – 20) Desarrollando: X = 45 años 2.

x-m+m+n CUANDO INTERVIENEN VARIOS SUJETOS: Utilizaremos un cuadro de edades, propósito de razonar ordenadamente. 3 años Pasado 22 27 14

Yo Tú Él

con

3.

Futuro 32 37 24

Se cumple: La diferencia de edades de 2 personas a través del tiempo es constante. 27 – 22 5=

30 – 25 _ 5

 Se deduce

La suma en aspa (simétricamente) es constante. 22

136

25

=

52



+ Se deduce

Si al triple de la edad que tendré dentro de 4 años le sumo el cuádruplo de la edad que tenía hace 9 años resultará el séxtuplo de mi edad. ¿Qué edad tengo? Solución Sea E la edad actual. Del problema se tiene: 3(E + 4) + 4(E – 9) = 6E De donde: E = 24 años

el

7 años Presente 25 30 17

Dentro de 30 años tendré el triple de la edad que tuve hace 20 años. ¿Cuántos años tengo?

Hace 6 años Ana tenía 4 veces la edad que tenía Bety. Hallar sus edades actuales sabiendo que dentro de 4 años sólo será 2 veces. Solución Del enunciado: A – 6 = 4(B – 6) A – 4B = –18 A = 4B – 18 (1) A + 4 = 2(B + 4) A – 2B = 4 A = 2B + 4 (2) Igualando (1) y (2) 4B – 18 = 2B + 4  B = 11 Reemplazando en (1) A = 4(11) – 18  A = 26

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

4.

entonces él tendría el triple de la edad que tendría ella. Hallar ambas edades

Hallar la edad de Juan, si dentro de 30 años tendrá el cuádruplo de lo que tiene ahora.

Solución Sean las edades de: Pedro = x años Martha = y años Entonces: x = y + 10 ……………….(1) x + 20 = 3(y – 10) x = 3y – 50 …………..(2)

Solución Sea la edad = x años Por dato tenemos: x + 30 = 4 (x)  x = 10 años 5.

Dentro de 65 años tendré 6 veces la edad que tenía hace 10 años. ¿Qué edad tengo?

Desarrollando (1) y (2)  x = 40  y = 30

Solución: Sea x la edad actual: Por enunciado : x + 65 = 6(x – 10) Desarrollando: x = 25 años 6.

10. Julio le dice a Percy : “Yo tengo 30 años y mi edad es la mitad de la que tú tendrás cuando yo tenga la edad que tú tienes. ¿Qué edad tiene Percy?

Las edades de tres amigos están dadas por 3 números consecutivos, si sabemos que 4/5 del mayor excede a ¾ del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuido en 1/5. Las edades son: Solución Sean las edades: (x – 1) ; x ; Por enunciado:

7.

x =9

9.

11. Juana tiene 36 años, esta edad es el doble de la que tenía Elvira cuando Juana tenía la misma edad que tiene Elvira. ¿Qué edad tiene Elvira?

La media aritmética de dos edades es 5 y la media geométrica de la misma es 2 6 . Hallar las dos edades. Solución Sean las edades : x e y x +y = 5  x+y = 10 ....(1) 2 x. y = 2 6  xy = 24 ...(2) Desarrollando el sistema (1) y (2), se tiene: x = 4, y = 6

8.

Del cuadro: 30 - x = x – 60 x = 45 años

(x + 1)

4 3 1 1  x  1   x    x  1  5 4 65 5 Desarrollando:

Solución Del enunciado: Presente Futuro Julio 30 X Percy x 60

Un padre tiene el triple de la edad de su hijo. Si el padre tuviera 20 años menos y su hijo 16 años más ambos tendrían la misma edad. Hallar ambas edades.

Solución Por datos del problema: Pasado Presente Juana x 36 Elvira 18 X De donde: x – 18 = 36 – x Desarrollando:  x = 27 años 12. José tiene tres veces los años que tenía Ricardo, cuando él tenía 16 años. Ricardo tiene 24 años. ¿Cuál es la edad de José?

Solución P = 3H (1) P – 20 = H + 16 P – H = 36 (2) Reemplazando (1) en (2) 3H – H = 36 H = 18 P = 54 Pedro tiene 10 años más que Martha. Si Pedro tuviera 20 años más y ella 10 años menos

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

Solución Traducimos en el cuadro el enunciado del problema: Pasado Presente José 16 3x Ricardo x 24 Ahora bien: 16 + 24 = 3x + x 40 = 4x x = 10 Entonces: José tiene: 3 (10) = 30 años

137

13. “M” tiene 18 años, su edad es el triple de la edad que “N” tenía cuando “M” tenía la mitad de la edad que tiene “N”. ¿Cuál será la edad de “N” dentro de 10 años? Solución Por datos del problema: Pasado Presente M x 18 N 6 2x Entonces: x + 2x = 6 + 18 3x = 24 x=8 Luego: La edad actual de N es: 2(8) = 16 años Y dentro de 10 años tendrá 26 años.

a) 39 años d) 42 años 3.

14. Dentro de 8 años la edad de Pablo será la que Jorge tiene ahora. Dentro de 15 años Pablo tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Jorge. ¿Cuál era la suma de las edades de Jorge y Pablo, cuando Jorge tenía el doble de la edad de Pablo? Solución P + 8 = J .... (1) P + 15 = (4/5) (J + 15) ... (2)

7.

Se nos pide la suma de Jorge y Pablo cuando Jorge tenga el doble de Pablo, es decir. 25 – x = 2 (17 – x) x=9 Significa que hace 9 años la edad de Jorge era el doble de la de Pablo, es decir: Jorge = 25 - 9 = 16 Pablo = 17 – 9 = 8 Luego : Jorge + Pablo = 16 + 8 = 24

NIVEL I 1. La suma de las edades de Luis y Esteban es de 25 años. Si Esteban es mayor que Luis por tres años, ¿cuál es la edad de Luis? a) 13 años d) 12 años 2.

b) 14 años e) 15 años

c) 11 años

Cuando Maritza nació, Luz tenía 6 años. Si hoy sus edades suman 64 años, ¿qué edad tendrá Luz dentro de 6 años?

138

b) 28 años e) 30 años

c) 32 años

b) 17 años e) 21 años

c) 13 años

b) 15 años e) 18 años

c) 14 años

Hace dos años, tu edad era mayor que la de Lucy por 8 años. Si actualmente tu edad es el triple que la de Lucy, ¿cuál será tu edad dentro de 3 años? a) 15 años d) 16 años

9.

c) 38 años

La edad de Ernesto es la cuarta parte de la de su abuelo. Si cuando Ernesto nació su abuelo tenía 45 años, ¿cuántos años cumplirá Ernesto el próximo año? a) 12 años d) 16 años

8.

b) 18 años e) 32 años

Dentro de 6 años Luis será 8 años mayor que Moisés. Si actualmente la suma de sus edades es de 34 años, ¿cuál será la edad de Moisés dentro de 6 años? a) 19 años d) 15 años

Desarrollando (1) Y (2) P = 17 y J = 25

c) 25 años

Dentro de 3 años las edades de Jaime y Lilian sumarán 62 años. Si cuando Lilian nació, Jaime tenía 4 años, ¿cuál es la edad de Lilian? a) 22 años d) 26 años

6.

b) 19 años e) 28 años

Hace 8 años Carmen era 8 años menor que Catalina. Si actualmente sus edades suman 48, ¿cuál es la edad de Carmen? a) 20 años d) 46 años

5.

c) 35 años

Las edades de Gladis y su papá suman 68 años. Si cuando Gladis nació su papá tenía 24 años, ¿cuál es la edad actual de Gladis? a) 22 años d) 26 años

4.

b) 41 años e) 29 años

b) 13 años e) 14 años

c) 12 años

En aquella época yo tenía por edad, la cuarta parte de la tuya y tú tenías 21 años mas que yo. Si esto ocurrió en 1985, ¿qué edad tenías en 1995? a) 28 años d) 38 años

b) 30 años e) 36 años

c) 32 años

10. Cuando Juan nació, su padre tenía 28 años, ahora las edades de ambos suman 58 años, ¿cuántos años tendrá su hijo dentro de 6 años? a) 20 años b) 42 años c) 15 años d) 21 años e) 24 años

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

11. El señor Castro tuvo su hijo a los 28 años. Si ahora su edad es el triple de la de su hijo. ¿Cuál es la edad del hijo? a) 14 años d) 19 años

b) 20 años e) 34 años

c) 21 años

12. Hace 6 años la edad de Juan era 6 años mas que la edad de Oscar y en la actualidad dichas edades suman 26 años, ¿cuál será la edad de Oscar dentro de 16 años? a) 26 años d) 28 años

b) 31 años e) 42 años

b) 24 años e) 9 años

c) 18 años

14. Miguel y Violeta tienen 26 y 22 años; dentro de cuántos años la relación de edades será de 7 a 6. a) 3 años d) 5 años

b) 2 años e) 21 años

c) 4 años

15. Las edades dentro de 12 años de Julio y José serán 42 y 63 años; ¿hace cuántos años la relación de edades era de 4 a 1? a) 20 años d) 23 años

b) 21 años e) 24 años

b) 14 años e) 12 años

a) 60 años d) 55 años

b) 43 años e) 56 años

b) 28 años e) 62 años

a) 22 años d) 21 años

b) 2 a 3 e) 4 a 3

c) 1 a 2

b) 23 años e) 24 años

c) 27 años

22. Al preguntarle la edad a un abuelo contestó: No tengo menos de 70 años, pero aún no soy noventón. Cada uno de mis hijos me ha dado tantos nietos como hermanos tiene. Además mi edad es exactamente el triple del número de hijos y nietos que tengo. Hallar su edad. a) 70 años d) 81 años

b) 72 años e) 79 años

c) 75 años

23. La edad de Raúl es el triple de la edad de Paola, pero dentro de 50 años, ella tendrá 7/11 de lo que él tenga. ¿Qué edad tenía Raúl cuando Paola tenía 10 años? a) 20 años d) 70 años

b) 50 años e) 80 años

c) 60 años

24. Hace 18 años un padre tenía 3 veces la edad de su hijo. En la actualidad la edad del padre es el doble de la edad del hijo. ¿Qué edad tendrá el padre dentro de 5 años? a) 72 años d) 79 años

b) 75 años e) ninguna

c) 77 años

25. Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene, si ella tiene18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella? a) 54 años d) 36 años

c) 40 años

19. La suma de edades de Carlos y César resulta igual a la edad de su padre; cuando Carlos

c) 60 años

21. Si juntamos las edades de Juan y Pedro. Dentro de 8 años obtendríamos 64. Al acercarse María, Juan le dice: Cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Pedro nació tú tenías 2 años. ¿Cuál es la edad de María?

c) 28 años

18. La diferencia de edades de A y B es 12 y la décima parte de la edad de A es igual a la séptima parte de la edad de B. Calcular la edad de B dentro de 12 años. a) 12 años d) 31 años

a) 3 a 5 d) 2 a 5

c) 24 años

NIVEL II 17. El quíntuplo de la edad de David es igual al doble de la edad de Amelia; además la diferencia de edades es 18. Hallar la edad de David, dentro de 43 años.

b) 30 años e) 54 años

20. Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades?

c) 22 años

16. El triple de la edad de Luisa equivale al doble de la edad de Carlos, si dentro de 4 años la suma de edades será 38 indicar la edad de Carlos hace 6 años. a) 16 años d) 10 años

a) 24 años d) 40 años

c) 32 años

13. La edad de María es el triple de la edad de Julia. Dentro de 6 años será el doble. ¿Cuál es la edad de María? a) 6 años d) 12 años

nació, César tenía 6 años. Si ahora la relación de edades es de 5 a 4; hallar la edad del padre.

b) 32 años e) 46 años

c) 48 años

26. Dentro de 6 años la edad de Jessica será el triple de la edad de Violeta. ¿Cuál es la edad

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

139

actual de Jessica, si hace 2 años, la edad de ella era el cuádruplo de la de Violeta? a) 54 años d) 60 años

b) 66 años e) 56 años

c) 72 años

27. Xiomara tenía en 1962 tantos años como el producto de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de la cifra de su edad? a) 2 d) 5

b) 1 e) 4

c) 3

28. Cuando nació el primer hijo de Emilia, la edad de ella y la de su esposo estaban en la relación de 7 a 9. Cuando su hijo cumplió 9 años, la edad de Emilia y la de su esposo estaban en la relación de 5 a 6. Si Emilia se caso 2 años antes de nacer su primer hijo. ¿Cuántos años tenía en ese entonces? a) 18 años d) 20 años

b) 17 años e) 21 años

c) 19 años

29. Dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tuve. Si tendría lo que tengo, tuve y tendré, mi edad sería 9 veces más de la edad que tengo. ¿Cuántos años tuve hace 10 años? a) 10 años d) 7 años

b) 6 años e) 9 años

c) 8 años

30. Si al doble de la edad de Chachi se le quita 17 años, se obtiene el complemento Aritmético de su edad. Luego, podemos afirmar: Chachi tiene 9 años Chachi tiene 39 años El complemento Aritmético de la edad es 71 a) Sólo II d) I ó II

b) Sólo I e) Todas

c) I y II

DIALOGO 31. Daniel: ¿Cuáles son las edades de tus 3 hermanas? César: El producto de las tres edades es 36 y la suma de las mismas coincide con el número de tu departamento. Daniel: Me falta un dato César: La menor de todas tiene ojos verdes Podemos afirmar: No se pueden precisar todas las edades El número del departamento es un número primo. Una de ellas tiene un año. a) Sólo I d) I y III

140

b) Sólo II e) II y III

c) Sólo III

NIVEL III 32. Dos edades se suman, restan, multiplican y dividen, obteniendo resultados enteros positivos, que al sumarlos resulta 243. Las edades pueden ser 8 y 24 Las edades pueden ser 2 y 54 La suma de las edades pueden ser 32 ó 56 a) Sólo I d) I y II

b) Sólo II e) Todas

c) Sólo III

33. Seis personas que tienen 15; 16; 18; 19; 20 y 31 años, suben a un vehículo de 5 asientos, quedando uno de ellos fuera. La suma de las edades de las ubicadas en la parte posterior es el doble de las ubicadas en la parte delantera. Luego podemos afirmar: La mayor de todas no conduce Las adolescentes están dentro del auto Quedó fuera alguien mayor de 17 años a) Sólo I e) I y III

b) Sólo II e) Todas

c) Sólo III

34. Juan: El triple de mi edad, aumentada en 6 es 36. Pedro: El triple de mi edad aumentada en 6 es 36. De acuerdo a los enunciados: Podemos afirmar que: Las edades de Juan y pedro son iguales Las edades son 10 y 6 años respectivamente. Dentro de 2 años, la diferencia será 4. Pedro es mayor que Juan. a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) II y III e) III y IV 35. Luis dice: “Dentro de 2 años, la edad de mi hijo será el doble de la edad que tenía hace 2 años, así mismo en 3 años mi hija tendrá el triple de la edad que tenía hace 3 años: Podemos afirmar: a) Son gemelos b) Son mellizos c) La hija es mayor d) El hijo es mayor e) a ó b 36. El producto de las edades de los hijos de una familia es 1001. Marcar con “V” ó “F” Las edades son 7; 11; 13 La suma de las edades puede ser 32 La suma de las edades es 31 No se puede precisar el número de hijos. a) FVFV d) FFVV

b) VFVF e) VFFF

c) VVFF

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

37. La suma de las edades de A, B y C es 69. La edad de “A” es el doble de “B” y “A” es 6 años mayor que “C”. Luego son falsas: Las edades son 15, 24 y 30 años. “A” y “B” se diferencian en 9 años. La edad de “A” siempre será a doble de “B”. a) Sólo I d) II y III

b) Sólo II e) Todas

39. El cociente de hace tres años diferencia entre Determinar las años. a) 52 y 13 d) 50 y 16

b) Sólo II e) Todas

c) I y II

las edades de dos personas era 4; dentro de 3 años la ambas edades será 39 años. edades que tuvieron hace dos b) 14 y 53 e) 17 y 56

c) 55 y 16

40. En 1990 la edad de Juan coincidía con la mitad de la cantidad que expresan las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. Calcular su edad en 1996. a) 30 años d) 60 años

b) 36 años e) 66 años

c) 37 años

41. En 1980 Julio se percató que su edad coincidía con las dos últimas cifras de su nacimiento, al comentárselo a su abuelito, éste sorprendido, le contestó que con él ocurría lo mismo. Calcular la diferencia de sus edades hace “x” años (18 < x < 40). a) 40 d) (90x)

b) 20 e) (40x)

b) 18 e) 23

c) 20

44. Tú tienes la edad que tenía, cuando tú tenías un tercio de la edad que yo tenía. ¿Cuál será mi edad, si la tuya es 30 años?

c) I y II

38. La suma de las edades de un Padre y sus dos hijos es 75. Si hace 5 años, la edad del padre era el triple de la suma de las edades que sus hijos tenían; se puede afirmar:  El padre tiene 50 años  No se puede precisar la edad de cada hijo  Solamente se podría calcular las edades de los hijos, si supiéramos además la diferencia de sus edades. a) Sólo I d) II y III

a) 15 d) 22

a) 20 años d) 50 años

b) 30 años e) 60 años

c) 40 años

45. Pepe tiene 30 años y su edad es el triple de la edad que Pepa tenía, cuando Pepe tenía la edad que Pepa tiene. ¿Cuántos años tiene Pepa? a) 20 años d) 35 años

b) 15 años e) 40 años

c) 25 años

46. Cuando tú tenías la cuarta parte de mi edad, yo tenía la mitad de los años que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 52. Calcular la edad de la mayor de las personas. a) 10 años d) 48 años

b) 20 años e) 40 años

c) 24 años

47. Mi edad es el cuádruplo de la edad que tú tenías cuando yo tenía los 2/3 de la edad que tú tienes, y cuando yo tenga el doble de tu edad actual, la suma de nuestras edades será 77. ¿Calcular cuántos años tiene la menor de las personas? a) 7 años d) 21 años

b) 28 años e) 35 años

c) 14 años

48. A, B y C tienen 40, 16 y 4 años respectivamente. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que esas edades formen una progresión geométrica continua? a) 4 d) 10

b) 6 e) 12

c) 8

c) 50

42. En 1984, la edad de una persona era igual a la suma de las cifras del año en que nació. Calcular su edad en 1990 a) 20 años d) 26 años

b) 23 años e) 28 años

c) 24 años

43. Una persona nacida en la primera mitad del siglo XIX cumplió “a” años en el año “a 2”. Calcular el año de su nacimiento y dar como respuesta la suma de sus cifras.

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

141

CINEMÁTICA Es una rama movimiento de causas que lo proviene del movimiento.

de la mecánica que estudia el los cuerpos sin tener en cuenta las producen. La palabra cinemática griego “Kinema”, que significa

VELOCIDAD MEDIA Es una magnitud que mide la relación entre el espacio total recorrido y el tiempo total empleado en recorrerlo. Vm 

ELEMENTOS BÁSICOS DEL MOVIMIENTO Móvil.- Es el cuerpo o partícula que experimenta el movimiento. Trayectoria.- Es la línea que describe el móvil; puede ser rectilínea, circular, parabólica, etc. Espacio.- Es la longitud de la trayectoria. Desplazamiento.- Es un vector que une la posición inicial con la posición final de la partícula. Distancia.- Es el módulo valor absoluto del desplazamiento.

Espacio Total recorrido Tiempo Total empleado

¡Importante! En el MRU: 

d

 e

e Total

 Vm  Vp  Así:

TTotal

V1

V2

CLASIFICACIÓN DE LOS MOVIMIENTOS Según su Trayectoria Según su rapidez

- Rectilíneo - Curvilíneo

Velocidad: media – promedio:

Vm  p 

- Uniformes - Variados

Según su Orientación

- De traslación - De rotación

Velocidad.- La velocidad es de naturaleza vectorial, la velocidad de un móvil nos indica la dirección en que cambia su posición y la rapidez con que realiza estos cambios. La velocidad tiene módulo y dirección. El módulo de la velocidad es conocido como “rapidez” de cambio de posición. En razonamiento matemático por nuestra naturaleza de conceptos básicos y razonados nos ocuparemos del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Trayectoria rectilínea Recorre distancias iguales en intervalos de tiempo iguales. Su velocidad es constante. En el MRU se verifica que el desplazamiento es igual al espacio.

V e/T

Te/ V

142

V

Total

2 . V1 . V2 V1  V2

e Tiempo de encuentro TE 

e V1  V2

Tiempo de alcance: (Movimiento en el mismo sentido) V1

V2 e

Tiempo de alcance (V1 > V2) TA 

e V1  V2

Tiempo de cruce: V

Si: Tc 

e

T



Tiempo de encuentro: (Movimiento en sentido contrario) V1 V2

Unidades de velocidad: m/s; km/h; pies/s;… Leyes: e  V .T

e Total

d L1 v

L2

T

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

Luego:

Tc 

Por el tiempo de encuentro: 2 000 T   T  20 s 35  36

L1  L 2 v 4.

1.

Un alumno parte de su casa y avanza 28m al este. Luego 30m al norte y por ultimo 12 m al este, encontrando una tienda. Determinar la distancia que hay de la casa a la tienda.

Hallar el tiempo en que el auto alcanza a la chica. V1 = 8 0 m / s

V2 = 20 m /s

Solución:

12

T ie n d a

x

30

30

28

12

N

0 casa

360 m

Solución: Por el tiempo de alcance se cumple que: 360 T  80  20 T  60 s

E

5.

S

Por el teorema de Pitágoras: x 2  30 2  40 2 x 

 2.

Solución: Si llega a las 4 PM

2 500

x  50

V1 = V e1 = x T1 = 4 – T

Dos móviles parten de un punto común en direcciones que forman 120º con velocidad de 6 m/s y 10m/s. Determinar la distancia que están separados al cabo de 3 segundos

V2 = 2V E2 = x

30º

 x  2V (3  T ) .... ( 2)

d=?

T2 = 3 – T

e 2 = (6 )( 3 )= 1 8 m

3

De (1) y (2):

120º

60º

V (4 – T) = 2V (3 – T) 4 – T = 6 – 2T  T = 2

9

Por el teorema de Pitágoras: d2  (9 3 )2  (39 )2 d2  1764  d 

 3.

 x  V ( 4  T ) .... (1)

Si llega a las 3 PM:

Solución:

9

Un alumno sale de su casa todos los días a la misma hora con velocidad constante, llegando a clase a las 4pm, pero si duplica su velocidad llega 1 hora antes. ¿A que hora parte de su casa?



1764

d  42

6.

En la figura. V1 = 35 m /s

V2 = 65 m /s

Parte a las 2 PM

Partiendo del mismo lugar dos ciclistas partieron en sentido contrario y con velocidades de 8km/h y 7km/h. ¿En cuánto tiempo llegarán a estar a 45km el uno del otro? Solución: Graficando: V2= 8km/hV1= 7km/h

2 km

Hallar el tiempo que tardaran en encontrarse. Solución: Como: e = 2 Km < > 2 000 m

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

e2= 8.T

e1= 7.T 45 km

143

Se deduce: 8T  7T  45

Solución: 1) Por el T. Pitágoras = a2  40 2  30 2

15 T  45  T  3 h

7.

Pablo se dirige a la playa manejando su camioneta a velocidad de 50km/h a su regreso su velocidad promedio fue 40km/h, el viaje total duro 9h. hallar la distancia hasta la playa. Solución:

a 2  2 500

a 30

a 

40

V1 = 50

a  50 cm

p lay a

2) Por dato la velocidad en el trayecto (e = 40 + 30 = 70) es de V = 2cm/s:

V2 = 4 0

Tiempo total

T1  T

El tiempo: T 

(9 h)

T2  9 - T Ida: e = 50 (T) … (1) Vuelta: e = 40(9 – T) … (2) Igualando: 50 T = 360 – 40 T T=4

e 50  t 35  1,4cm / 3

Vm  Vm

Dos autos van con velocidades constantes y opuestas de 8m/s y 6m/s, si en un momento determinado está separados por 500m, ¿En cuánto tiempo más estarán separados por 200m por segunda vez? Solución: V1 = 8 m / s

e 70cm T   35s v 25s

3) La velocidad media será:

Reemplazando en (1): e = 200 Km. 8.

2 500

10. Un tren demora 5s en pasar delante de un observador, y 18s en cruzar un túnel de 91m de largo. Hallar la longitud del tren. Solución 1er caso: x

e1  x T1  5

V1  V

V2 = 6 m /s

e 2 = 6 .T

e

1

= 8 .T

v

200 500

x 5

....(1)

2do caso: x

Observe que:

91

8 T  6T  500  200

14 T  700 

9.

Una hormiga va de M hacia N recorriendo el marco de una ventana de 40cm de largo por 30cm de ancho, con una rapidez de 2cm/s, hallar la velocidad media de la hormiga en el trayecto desde M hacia N.

30 m

M

144

40 m

T2  18 v1  v

T  50 s

N

e 2  x  91

v

x  91 ...( 2) 18

Igualando (1) y (2):

x x  91  Resolviendo: x  38 cm 5 18 11. Dos amigos parten de un punto a otro situado a 40km entre sí; pero uno de ellos lo hace una velocidad de 2km/h menos que el otro;

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

llegando a su destino con una hora de retraso. Hallar la velocidad del más rápido. Solución: Para el 1ro: e1 = 40 Km. V1 = V T1 =

 e  ( v ) . 30 ...(1)  e  ( v  3 ) . 20 ...( 2)

Para el 2do: e2 = 40 Km. V2 = V – 2

40 ...(1) V

Igualando (1) y (2): T2

30 v  20 v  60

=

10 v  60  v  6

40 ...( 2 ) V 2

Reemplazando en (1):

Pero por dato: T2  T1  1h ...( 3 )

e  (30 )  180 m

Reemplazando (1) y (2) en (3):

¡Cuidado! piden espacio total:

40 40  1 V 2 V



180 180 

40 V  40 V  80 1 ( V  2) V

80  V ( V 2) 10 (10  2)  V ( V  2) 

360 m

14. Yani ubicada entre dos cerros emite un grito y recibe el primer eco a los 3s y el siguiente a los 3,6s; ¿Cuál es la separación entre las montañas?, considere la velocidad del sonido en el aire igual a 340m/s

V  10 Km / h

Solución: 12. Al ir de mi casa a la academia, me doy cuenta que si voy a 40km/h demoro 20 minutos más que si fuera a 60km/h. ¿Cuál es la distancia entre mi casa y la academia?

T 2 = 1 ,8 s

Solución:

A

1 h Como 20 min. < > 3

2

e

1

B

Para el primer eco.

1  e  40. T  3    60. ( T )  

40 T 

e

T 1 = 1 ,5 s

e1  (340 m / s) (1,5 s)  510 m

40  60 T 3

Para el segundo eco:

40 2  20 T  T  3 3

e 2  (340 m / s) (1,8 s)  612 m Separación entre montañas:

2    e  40 Km Luego: e  60.  3 13. Manuel demora en llegar a su trabajo 30 minutos, si al regresar aumenta en 3m/min. su velocidad, llegaría 10 minutos antes que a la ida. ¿Que distancia total recorrió?

AB  510 m  612m 

15. Dos atletas están separados 150m, si corren al encuentro este se produce al cabo de 10s, pero si corren el uno en pos del otro, el encuentro, se produce a los 30s. Hallar las dos velocidades.

Solución:

Solución: Por tiempo de encuentro

T1 = 30’ V A

1

= V

e

1 122 m

B V

10  2

= V+3

T 2 = 20’

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

150  10 V1  V2

V1  V2  15 ...(1) 145

VA 

Por tiempo de alcance

30 

150 V1  V2

400  80 km / h 5

El que sale de B, llega a A en 4h:

VB 

V1  V2  5 ...( 2 )

400  100 km / h 4

De las ecuaciones (1) y (2):

15  5  V1  10 2 15  5  2

e    A

V1  V2

( 80 ) ( T  2 )

 V2  5

 400km

(100 )( T )  400

 1 1/ 3h   1 h 20'

T

8 am

Luego: 8 am + 1 h 20’



9 h 20 min .

18. Un cazador dispara una bala con una velocidad de 170m/s y escucha que llega al blanco en 3s. ¿A qué distancia del cazador se encuentra el blanco? Considere que la trayectoria de la bala es rectilínea y que la velocidad del sonido en el aire es de 340m/s Solución:

Solución: Sea “L” el ancho del puente A favor de la corriente:

L ...( 1) VB  1

En contra de la corriente

15 

e   B  

180 T  400  160

16. Cuando un bote pequeño pasa por un puente muy ancho, emplea 10s, si navega a favor de la corriente, si navega en contra de la corriente emplea 15s; si la corriente del rio tiene una velocidad de 1m/s. Hallar el ancho del puente.

10 



t 2 = s o n id o

L ...( 2) VB  1

t 1 = b a la

Dividiendo (1) y (2):

e

10 V 1  B 15 VB  1

Se deduce que.

t1

De donde VB  5 m / s

e 170

Reemplazando en (1):

17. Cuando un auto, a rapidez constante sale de una ciudad A a las 6a.m, llega a la ciudad B a las 11a.m, otro auto con rapidez constante saliendo de B a a las 8 am, llegará hasta la ciudad A a las 12a.m, ¿A qué hora se cruzarán si A dista de B 400km? Solución:

146



t2

e 3 340

2e  e 3 340

L  60 m

El tiempo para el que sale a las +2 El tiempo para el que sale a las T El que sale de A; llega a B en 5 h;



6am = T 8am =

De donde: e  340 m

NIVEL I 1. Dos móviles con velocidades de 30 y 20 km/h., parten simultáneamente y de un mismo punto por una misma vía; pero con sentidos opuestos, al cabo de 12h. de marcha, ambos regresan simultáneamente. Si al regresar el segundo triplica su

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

velocidad, y el primero lo duplica. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar en el punto de partida a que llegue el primer móvil? a) 4 h. b) 6 h c) 2 h d) 3 h e) 5 h 2.

3.

Un automóvil marcha durante 12h. si él hubiera marchado una hora menos con una velocidad mayor en 5km/h. Él habría recorrido 5km. menos. ¿Cuál es su velocidad? a) 60 km/h. b) 35 km/h. c) 50 km/h. d) 45 km/h. e) N.A. Julio recorre la distancia de Tumbes a Arequipa en 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas tendrá que disminuir su velocidad en 8km/h. ¿Cuánto mide la distancia entre estas dos hermosas ciudades? a) 650 km. b) 700 km. c) 800 km. d) 850 km.

e) 900 km.

de Gerson a Manolo hasta que ellos se encuentran. Se desea saber el espacio total recorrido por el perro, si se sabe que la velocidad de Manolo es 373m. por hora; la de Gerson 227m. por hora y la de “Peluchín” 393m/h. a) 1572m. b) 1472 m. c) 1752 m. d) 1275 m. e) 1742 m. 9.

Viajando a 100km/h. un motociclista llegaría a su destino a las 19:00 h. pero viajando a 150 km/h. lograría llegar a las 17:00 h. si deseara llegar a las 18h. ¿A qué velocidad debe ir? a) 115 km/h. b) 120 km/h. c) 125 km/h. d) 126,6 km/h. e) 130 km/h.

10. Dos nadadores parten al mismo tiempo del extremo de una piscina de 90m. de longitud con velocidades de 3 y 4 m/s respectivamente. Atraviesan la piscina varias veces durante 15 minutos, suponiendo que no pierden tiempo al voltear, el número de veces que se han encontrado es: a) 25 b) 24 c) 20 d) 19 e) 30

4.

Nelson viene de Lurín a Lima en 2 horas. Al volver como él ha recorrido 11 metros más por minutos ha hecho el trayecto en 105 minutos. Hallar la distancia de Lima a Lurín. a) 9,24 km. b) 11,5 km. c) 11,2 km. d) 10,74 km. e) 13,5 km.

5.

Los 2/3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32km/h. y el resto a pie, a razón de 4km/h., tardando en total 7,5h. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km.? a) 120 km. b) 240 km. c) 72 km. d) 96 km. e) 90 km.

NIVEL II 11. César ha estado caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5km/h. habría recorrido 5km. menos. ¿Cuál es la velocidad? a) 60 km/h. b) 70 km/h. c) 80 km/h. d) 50 km/h. e) 65 km/h.

6.

Dos móviles parten simultáneamente a las 8h. de dos pueblos distantes 720km. Determinar a qué hora se producirá el encuentro si van el uno hacia el otro con velocidades de 40km/h. y 50 km/h. respectivamente. a) 14 h. b) 16 h. c) 18 h. d) 20 h. e) N.A.

12. Evelin para ir de un punto a otro camina a razón de 8km/h. para volver al punto de partida lo hace a razón de 5km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado 13h. en total. a) 30 km. b) 40 km. c) 48 km. d) 50 km. e) N.A.

7.

A las 7h. sale un auto hacia el norte corriendo a una velocidad de 63km/h. A las 11h. sale en pos del primero un segundo auto que va a una velocidad de 91km/h. ¿A qué hora lo alcanza? a) 16 h. b) 18 h. c) 20 h. d) 32 h. e) N.A.

13. Una persona dispone de 10 horas para salir de paseo. Si de ida lo hace en bicicleta a 15km/h. y el regreso a pie a 5km/h. Hallar el espacio total que recorrió dicha persona. a) 37,4 km. b) 375 km. c) 3750 km. d) 75 km. e) 750 km.

8.

Manolo y Gerson separados por una distancia de 2400m. Parten al mismo tiempo al encuentro uno del otro; justamente con Manolo parte “Peluchín” al encontrar a Gerson regresa nuevamente hacia Manolo y así sucesivamente va de Manolo a Gerson y

14. Giovanna recorre 36km. en 8 horas, los 12 primeros km. con una velocidad superior en 2km. a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. a) 2 km/h. b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

147

15. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente de un mismo punto, la tortuga recorre en cada minuto 10m. y la liebre 100m. si ambos se dirigen a un mismo punto, además la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta la meta y así sucesivamente hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1km. ¿Cuánto recorrió la liebre? a) 10 km. b) 100 km. c) 1000 km. d) 1 km. e) 120 km. 16. Un automovilista debe llegar a una ciudad que dista 480km. a las 19:00 horas, pero con la finalidad de llegar a las 18:00 horas tuvo que ir a 24km. más por cada hora. ¿A qué hora partió? a) 12:00 h. b) 13:00 h. c) 14:00 h. d) 15:00 h. e) 16:00 h. 17. Un alumno de la Academia viajando en combi a razón de 40km/h. generalmente llega a tiempo; sin embargo el día que le tocó razonamiento matemático llegó con un retraso de 10 minutos debido que tomó un ómnibus, que sólo desarrolla 30km/h. por estar recogiendo pasajeros. ¿A qué distancia de la Academia toma los vehículos el estudiante? a) 10 km. b) 15 km. c) 20 km. d) 18 km. e) 30 km. 18. Daniela y César discuten acaloradamente en una de las esquinas de la Plaza San Martín. De pronto dan por terminada su relación partiendo con velocidades de 16 y 12m/s respectivamente, en direcciones perpendiculares. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán a una distancia de 90m. lamentando su decisión? a) 4s. b) 5s. c) 8s. d) 4,5s. e) 5,5s. 19. Dos nadadores parten al mismo tiempo del extremo de una piscina de 120m. de longitud con velocidades de 6 y 4m/s respectivamente. Atraviesan, la piscina varias veces durante 18 minutos, suponiendo que no pierden tiempo al voltear, el número de veces que se han encontrado es: a) 30 b) 36 c) 40 d) 45 e) N.A. 20. Las velocidades de dos autos son como 6 es a 5. El primero recorre 720 km en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? a) 740 b) 680 c) 700 d) 760 e) 640 NIVEL III

148

21. Un motociclista demora en pasar delante de dos postes que están distanciados 80 m; 16 s. ¿Cuál es su velocidad? a) 2m/s b) 3 m/s c) 4 m/s d) 5 m/s e) 6m /s 22. Ana se dirige a Cuzco desde Lima llegando en su automóvil en un tiempo de 30 horas. Si al regreso aumenta su velocidad en 4 km/h llegará en 6 horas menos que la ida. ¿Cuál es la distancia total recorrida? a) 800 km b) 840 km c) 800 km d) 960 km e) N.A. 23. Para ir de un punto a otro, una persona camina a razón de 8 km/h y para volver al punto de partida, lo hace a razón de 5 km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los dos puntos, sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado 13 horas en total. a) 35 km b) 40 km. c) 50 km. d) 60 km. e) 65 km. 24. Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 10h; un día se traslada a triple velocidad y llega a su trabajo a las 8 horas. ¿A qué hora suele salir siempre de su casa? a) 7 h b) 6 h c) 5 h d) 4 h e) 9 h 25. Para recorrer un río de 280 km de longitud, bote demora 7 horas en el sentido de corriente; pero cuando va en contra de corriente demora 28 horas. ¿Cuál es velocidad del bote? a) 20 km/h b) 30 km/h c) 25 km/h d) 35 km/h e) 40 km/h

un la la la

26. Un ciclista calculó que si viaja a 10 km/h llegará a su destino una hora después de mediodía, pero si la velocidad fuera de 15 km/h llegaría una hora antes del mediodía. ¿A qué velocidad debe viajar para llegar exactamente a mediodía? a) 12 km/h b) 12,5 km/h c) 11 km/h d) 14 km/h e) 16 km/h 27. Dos móviles A y B separados 24m parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 3m/s y 5 m/s respectivamente. Después de qué tiempo los separa 72 m. a) 8 s b) 10 s c) 6 s d) 12 s e) 9 s 28. Dos ciclistas parten de un mismo punto y en una misma dirección de una pista circular de 3600 m de longitud; el primero encuentra al segundo cada cuatro minutos. Si los dos

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

ciclistas hubieran partido en direcciones contrarias, se hubieran cruzado cada minuto. Hallar las velocidades de los ciclistas (En m/min.). a) 2250 y 1350 b) 2150 y 1530 c) 2250 y 1100 d) 2050 y 1350 e) 2520 y 1530 29. Dos móviles parten de un mismo punto siguiendo trayectorias rectilíneas perpendiculares entre sí con velocidades de 6 m/s y 8m/s. Después de qué tiempo ambos móviles estarán separados 200 m.

a) 20 s c) 5 s e) 40 s

b) 10 s d) 16 s

30. ¿Cuánto tiempo tardará un tren de 300 m de largo, que marcha a la velocidad de 25 m/s en pasar un túnel de 1800 m de largo? a) 76 s b) 82 s c) 84 s d) 48 s e) 42 s

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

149

2.

Una fracción es una división indicada de dos números enteros de la forma:

N D

 Denomiador  D  0 

 

elementos

o

términos

de

una

Numerador: Número de partes consideradas iguales en las que se ha dividido la unidad. Denominador: Número de partes en las que se ha dividido la unidad.

Por la forma general de las fracciones pueden presentarse tres situaciones relacionadas con la ley de la tricotomía. 

Si N < D; la fracción recibe el nombre de propia. Ejemplos:

3  3  5 ; 5 

7  7  9 ; 9



5  1 5  5 ; 5

7  1  7  7 7

Si N > D; la fracción recibe el nombre de impropia Ejemplos:

7  7  5 ; 5 

11 11  18 18

Si N = D; la fracción recibe el nombre de unitaria Ejemplo:

3  1  3  3 ; 3

17 17  9 ; 9

21  21  18  18

Estas fracciones, impropias, dan origen a los números mixtos:

7 2 1 ; 5 5

29 2 3 ; 9 9

21 1  5 4 4

Observamos entonces que un número mixto tiene una parte entera y una parte fraccionaria, la parte entera es pues el cociente que se obtiene al dividir el numerador por el denominador, y la parte fraccionaria tiene por numerador el residuo de la división mencionada y el mismo denominador de la fracción impropia. Para convertir un número mixto en fracción impropia bastará con multiplicar el denominador de la parte fraccionaria por el número de la parte entera y sumarle el numerador de la parte fraccionaria, la suma es el numerador.

150

3 7 x 53 38   7 7 7 1 5 x 3 1 16 3   5 5 5 5

 Numerador

Observa los fracción.

Ejem.:

Fracción irreducible Es una fracción en la cual el numerador y el denominador son dos números primos entre sí, es decir dos números que tienen como único divisor común la unidad. Ejemplo: Determinar la fracción irreducible de

360 ; 420

calculamos el M.C.D. (360; 420) Descomponemos cada número de la fracción: 360 = 2³ x 3² x 5 420 = 2² x 3 x 5 x 7  M.C.D. (360; 420) = 2² x 3 x 5 = 60 Dividimos de acuerdo con lo que hemos planteado en el método: 360  60 6   fracción irreductible  420  60 7 Fracciones equivalentes Las fracciones equivalentes son aquellas de las que se puede obtener la misma fracción irreducible. Ejemplo:

18 21  24 28

Las fracciones equivalentes cumplen la siguiente propiedad: Las fracciones equivalentes se obtienen multiplicando al numerador y al denominador de una fracción irreducible por el mismo número. .3

.2

5 10 15 5 k    7 14 21 7 k .2

.3

Donde k pertenece a los números enteros. OPERACIONES CON FRACCIONES Las principales operaciones son: sustracción, multiplicación y división.

adición,

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

ADICIÓN Sumar:

2 1 3   7 7 7

Observa que los denominadores de las dos fracciones son iguales, estas fracciones reciben el nombre de fracciones homogéneas, cuya suma hemos realizado. Pero no siempre las fracciones son homogéneas, muchas veces los denominadores no son iguales por lo que hay que hallar el común denominador.

1.

Si:

Solución Ordenadamente vamos a operar cada una de estas fracciones que suelen llamarse complejas:

1 2 8  2  3 3 3 2 1 1 B  1  1  1 1 1 2 1 1 1 1 13 13 6 2 2 1 13 28 B  1  1  15 15 15 13 8 28 4   Luego A – B = 3 15 5 A  2

2 2  3 5

Por regla de PRODUCTOS CRUZADOS se tiene:

2 2 10  6 4    3 5 15 15 MULTIPLICACIÓN El producto de una multiplicación de fracciones es otra fracción que cumple con las siguientes características. El numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores; el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. Es decir: a c a.c x  b d b.d

1 1 2 1

 2

Simplificar:

31   5 29 1   5 9         12 36 3   6 10 60   E  29 5 5   72  9  8   

Ejemplos:

5 7 1 5 x 7x 1 35 x x   6 2 3 6x2x3 36 :

DIVISIÓN Dividir una fracción a/b por otra NO NULA c/d equivale a multiplicar la primera fracción a/b por la inversa de la segunda c/d. Es decir: a c a d a x d   x  b d b c c x b Ejemplo: dividir 48 4   7 7

1

La suma pedida es 4 + 5 = 9 2.

2) Efectuar 4 20 1 4 x 20 x 1 80 2 x x    5 3 8 5x3x8 120 3

1 2

Hallar la suma del numerador y del denominador de A – B, luego de simplificar:

N Efectuar la sustracción de dos fracciones equivale a efectuar la adición de uno de ellos con el OPUESTO del otro.

equivale a

y

1 6 

El común denominador es el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2 2  3 5

1 2

1 1

3 7 11 15  14  11 40     2 4 10 20 20 20

1) Efectuar :

1

B 1

Ejemplo:

Así:

1

A  2

48 7 48 x 7 48 x    12 7 4 7x4 4

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

Operamos ordenadamente:

5 29 1 15  29  12    12 36 3 36 32 8  36 9 5 9 31 50  54  31 27 9     b) = 6 10 60 60 12 4 29 5 5 29  40  45    c) 72 9 8 72 24 1  72 3 a)

Luego en E tenemos:

151

Para nuestro caso particular no conocemos el número pero lo que hemos planteado anteriormente nos ayudará a establecer la relación pertinente:

8 9     2 9 4 E       6 1  1   3 3 3.

1 1 1  26  N  1 3 x 3 x 3    27 N  104  

¿Cuánto le falta a los 3/5 de los 5/7 de 7/11 para ser igual a los 5/9 de los 9/11 de 4/5.

Despejamos ahora N, entonces:

Solución La resta o sustracción es la operación que se utiliza para calcular cuánto le falta a un número para ser igual a otro, entonces esta operación nos ayudará a resolver nuestro problema. Hay que tener en cuenta que la palabra “de” se expresa como producto, así

5 9 4 3 5 7 x x  x x 9 11 5 5 7 11 4 3 1   11 11 11 4.

26 N  104 27 27 x 104 N  108 26 La suma de las cifras es 1+0+8=9 6.

Hallar el número que aumentado en los 2/5 de sus 2/5 es igual a 87. Dar como respuesta la suma de las cifras.

Solución Vamos a calcular la fracción que representa el total que ha entregado ya sea a su hermano, su prima y su vecino

Solución Si el número fuera la unidad y le aumentamos los 2/5 de sus dos quintos, tendríamos lo siguiente:

1

1 1 1 5  2 1 8 4      2 5 10 10 10 5

2 2 4 29 x  1  5 5 25 25

Significa que le queda: 1 

  

7.

29 N  87 25

que ha entregado:

Solución Para darnos una idea de lo que significa un número disminuido en la tercera parte, de la tercera parte de su tercera parte, trabajaremos primero con la unidad.

152

2 3 1 7    . 5 8 10 8

Significa que la fracción que representan lo

Hallar el número que disminuido en la tercera parte de la tercera parte de su tercera parte es igual a 104. Dar como respuesta la suma de las cifras del número.

1 1 1 1 26 1 x x  1  3 3 3 27 27

Pedro tiene cierta cantidad de naranjas y las reparte de la siguiente manera, los 2/5 se los da a su madre, los 3/8 a su abuelita y la décima parte a su hermano. Si aún le quedan 10 naranjas, ¿Cuántas tenía inicialmente? Solución Calculamos la fracción que representa el total

 75

La suma de las cifras es = 12. 5.

4 1  5 5

del total es decir 1/5 x 60 = 12

En nuestro problema no sabemos cuál es el número, pero si planteamos de manera análoga el problema obtendríamos la siguiente expresión:

2 2  N 1  x 5 5  87 x 25 N  29

Oscar tenía 60 caramelos de los cuales entrega la mitad a su hermano menor, 1/5 a su prima y la décima parte a su vecino. ¿Cuántos caramelos le quedan?

que aún le queda es: 1 

8 7  7 8

Luego, si definimos N como el número de naranjas tenemos:

1 N  10 8 8.

 N  80

Hallar: a + b.

a b   0,969696 ... 11 3 Solución:

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

 a b   0,96 11 3 3a  11b 96  33 99

1.

 3a + 11b = 32 (ecuación entera con 2 incógnitas)   7 1

2.

TANTEANDO  a = 7 b=1 a+b=8 9.

Teresa

tiene

alternadamente

S/.180,

1 180  2

1 180  2

Gana

4 5

1   2 180    

pierde

y

Pierde

gana

2 de un número, 5 2 3 se le agrega los de sus y se resta los 5 8 3 de su quinta parte, se obtiene 21. ¿Cuál 8

b) 2 d) 4

Un vendedor de vasos comercializa en su primera venta la cuarta parte de su mercadería. Luego vende los 2/5 de lo que le queda. Si aún tiene 63 vasos, ¿cuánto tenía inicialmente? a) 120 b) 140 c) 160 d) 210 e) 280

5.

Hallar una fracción equivalente a la fracción 1001/1144 tal que la suma de sus elementos, numerador y denominador, sea 60. Dar como respuesta el numerador. a) 24 b) 28 c) 32 d) 36 e) 40

6.

Un jugador pierde en su primera apuesta la tercera parte de su dinero. Vuelve a apostar y pierde 2/7 de lo que le quedaba. Si se retiró con S/. 40, ¿Qué cantidad tenía? a) 63 b) 77 c) 70 d) 84 e) 92 Pedro puede realizar una obra en 12 días, y Manuel puede realizar la misma obra en 16 días. Si trabajan juntos, ¿en cuantos días terminarían la obra? a) 6 2/7 días b) 6 3/7 días c) 6 4/7 días d) 6 5/7 días e) 6 6/7 días

 21  21  21

dar como respuesta la el denominador y el

4.

es el número? Solución: Sea “x” el número:

1 3

He gastado la tercera parte de mi dinero, si gastara S/. 4 soles más me quedarían solo los 3/5 de lo que tenía inicialmente, ¿qué suma dinero tenía? a) 30 b) 45 c) 60 d) 75 e) 90

10. Si a la cuarta parte de los

1 2x 2 3x 3 x      4 5 5 8 8 5 2x 6x 3x   20 40 40  4x  6x  3x 40 7x x

1

3.

Le Quedó

9  1    180     5 2 5 9 1    180  90 9 5 2

1 y 3

1

Hallar A – B y diferencia entre numerador. a) 1 c) 3 e) 5

1   2 180    

4 9

b) 6/55 d) 6/77

1

Le resulta

9 5

2 

1

quedando. ¿Al final con cuánto se quedó? Le queda

Si:

los 3/5 de los 2/7 de los a los 5/7 de los 2/5 de los

1

A  3

B  2 

1 4 4 , , de lo que le iba 2 5 9

Solución: Pierde

¿Cuánto le falta a 5/11 para ser igual 6/11? a) 12/77 c) 18/35 e) 12/55

7.

 21 40  120

NIVEL I

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

153

8.

9.

Un estanque estando vacío puede ser llenado por un grifo en 6 horas. Un sistema de desagüe lo puede vaciar uniformemente en 18 horas. Si se activan al mismo tiempo el grifo y el sistema de desagüe estando vacío el tanque, ¿en qué tiempo se llenará? a) 6 h b) 7 h c) 8 h d) 9 h e) 10 h ¿Cuántos cuartos hay en 15/2? a) 25 b) 25/2 c) 30 d) 30/7

e) 15/8

10. ¿Cuántas fracciones con denominador 24 existen tales que son menores que 5/6 pero mayores que 1/8? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20 11. En un corral hay 100 animales entre patos, gallinas y conejos. Si la quinta parte son gallinas y 9/20 son patos, ¿cuál es la fracción que éstos re-presentarán cuando el número de conejos se duplique? a) 1/2 b) 1/3 c) 2/5 d) 2/3 e) 1/6

e) 210 l 16. Luis puede realizar un trabajo en 4 días, José puede realizar el mismo trabajo en 6 días y Manuel haría el mismo trabajo en 12 días. Si se ponen a trabajar juntos ¿en cuantos días terminarán el trabajo? a) 2 días b) 3 días c) 4 días d) 5 días e) 6 días 17. Hallar un número que aumentado en los 3/5 de sus 3/5 es igual a 102. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 18. El tanque de un camión está lleno hasta sus 7/9. Si se extraen 39 galones quedaría lleno solo hasta sus 5/12 partes; ¿cuántos galones se necesitan para llenar el tanque a) 53 b) 63 c) 58 d) 62 e) 52 NIVEL II 19. En la figura (triángulo equilátero) ¿Qué fracción de lo sombreado es lo no sombreado?

12. ¿Cuánto le falta a los 3/5 de los 7/18 de 1/7 para ser igual a la mitad de los 8/9 de los 9/11 de 11/12? a) 3/10 b) 2/5 c) 4/7 d) 7/30 e) 11/30 NIVEL II 13. Dados los números:

x  4

1 1 1 8

;

a) 3/5 c) 1/2 e) 1/3

1

y  3 1

1 1 3 2

Hallar la suma del numerador y el denominador de la diferencia x – y. a) 10 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21 14. Hallar la suma de los elementos de una fracción equivalente a 675/945, tal que la diferencia de sus elementos es 16. a) 32 b) 48 c) 72 d) 96 e) 144 15. Una piscina está llena hasta su 5/7, si se extraen 50 litros de agua quedará solamente los 5/8 de su capacidad, ¿cuánto litros de agua son necesarios para llenar completamente la piscina? a) 160 l b) 170 l c) 180 l d) 190 l

154

b) 5/3 d) 5/7

20. Un cartero dejó 1/5de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un Banco, si aún le quedaban 34 cartas por distribuir, ¿cuántas cartas tenía para distribuir? a) 60 b) 80 c) 70 d) 120 e) 90 21. Si se quita 4 al denominador de una fracción cuyo numerador es 3, la fracción aumenta en una unidad, ¿cuál es la fracción? a) 3/4 b) 3/7 c) 3/5 d) 3/8 e) 3/6 22. Manuel compra la mitad de un rollo de alambre menos 12 metros. Diego compra un tercio del mismo rollo más 4 metros, con lo cual recibe 8 metros menos que Manuel. ¿Cuántos metros compra Manuel? a) 52 m b) 60 m c) 72 m d) 44 m

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

e) 50 m 23. Una varilla de a cm de longitud se corta en 2 partes. La parte menor mide 1/4 del total, luego con la parte mayor se repite el procedimiento ¿Cuánto mide el pedazo más largo? a) 3a/8 b) 3a/4 c) 3a/16 d) a/4 e) 9a/16

lee el testamento el primero le da al tercero 2/3 de lo que tiene y el tercero le da al segundo las 3/4 partes de lo que ha recibido hasta ahora. ¿Qué fracción le toca al segundo? a) 72/96 b) 71/96 c) 73/96 d) 61/96 e) 17/96 29. En un salón de la academia sólo asisten a un

2 de los alumnos, y de éstos 3 3 aprueban los ; si los desaprobados son 24. 7 examen los

24. Un jugador después de haber perdido consecutivamente los 4/5 de su dinero, 2/7 del resto y 4/5 del nuevo resto, gana 540 dólares y de ésta manera la pérdida queda reducida a 1/5 del dinero original. ¿Cuál es la fortuna? a) 700 b) 600 c) 605 d) 701 e) 729 NIVEL III 25. Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de

2 a 5

1 . ¿Cuántos litros habrá que añadir para 3 llenar el tanque? a) 3200 l c) 24000 l e) 12000 l

b) 4800 l d) 16000 l

26. Una persona recibe viáticos por 4 días. El primer día gastó la quinta parte; el segundo día gastó

1 5 del resto; el tercer día los 8 3

del primer día; el cuarto día el doble del segundo día y aún le quedó S/.15. ¿Cuál fue la cantidad entregada? a) S/.50 b) 75 c) 150 d) 45 e) 90 27. Una librería tiene para la venta un cierto número de libros. Vende primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda, pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros y por lo tanto, enviando todos los libros útiles que le quedan, sólo cubre los 4/5 de la cantidad pedida. ¿Qué cantidad de libros se vendieron? a) 2000 b) 3000 c) 1760 d) 3520 e) 2240 28. Tres hermanos se reparten una herencia, pero antes que se lea el testamento se reparten de la siguiente forma: La octava parte al primero, la sexta parte al segundo y el resto al tercero, después que se

¿Cuántos alumnos hay en dicha aula? a) 24 b) 23 c) 36 d) 63 e) 96 30. Una pelota en cada rebote se eleva 1/5 de la altura de la cual cayó, si se deja caer de una altura de 24m, entonces la longitud de la trayectoria descrita por la pelota hasta quedar en reposo es: a) 56 m b) 24 m c) 12 m d) 82 m e) 36 m 31. Lucrecio muere dejando en su testamento una herencia de S/.84000 a un hermano que se halla en el extranjero y del cual no ha tenido noticias desde hace mucho tiempo. El testamento contiene la siguiente cláusula: Si mi hermano tiene una hija, dejo para ella los 2/3 de la herencia y 1/3 para el padre: pero si tiene un hijo a éste le tocará 1/3 de la herencia y los 2/3 para el padre. Sucede que el hermano de Francisco tiene un hijo y una hija. ¿Cómo debe hacerse la repartición? Indicar cuánto le corresponde al padre. a) S/. 12000 b) S/. 48000 c) S/. 24000 d) S/. 36000 e) S/. 72000 32. Una bola de ping-pong cae desde una altura de 108 cm sobre una mesa de mármol. Cada vez que toca a la mesa, rebota y se eleva a una altura igual a la tercera parte de la altura desde la cual cayó. ¿A qué altura se elevará la bola después de haber tocado a la mesa por tercera vez? a) 5 cm b) 4 cm c) 3 cm d) 9 cm e) 12 cm 33. Cierta tela después de lavada se encoge 1/5 de su longitud y 1/6 de su ancho. ¿Cuántos metros deben comprarse para que después de lavada se disponga de 96m2, sabiendo que el ancho original es 80cm? a) 160 m b) 200 m c) 180 m d) 220 m

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

155

e) 240 m 34. En una oficina 1/4 de los trabajadores son hombres, 1/2 de las mujeres son solteras, 3/5 de las casadas son rubias, 3/7 de los hombres son casados y sólo 1/3 de éstos tienen hijos. Si además se sabe que 1/5 de las rubias casadas tienen hijos y que éstas son 189. *Cuántos son los hombres casados que no tienen hijos? a) 200 b) 150 c) 300 d) 180 e) 400 35. El número de alumnos de un aula es menor que 240 y mayor que 100, se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de ciencia. ¿Cuál es la suma de los alumnos que usan anteojos con los de la especialidad de ciencias? a) 16 b) 120 c) 122 d) 148 e) 142

156

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

3.

REDUCCIÓN A LA UNIDAD 1. Si se invierte el tiempo total para hacer un trabajo, se obtiene la parte del trabajo que se hace en una unidad de tiempo del trabajo que se hace en 1 unidad de tiempo (valor unitario). 2.

El tiempo que se emplea para hacer todo un trabajo se obtiene invirtiendo el valor unitario.

3.

El tiempo que se emplea para hacer una parte se obtiene dividiendo la parte que falta entre el valor unitario.

Entonces los dos juntos, en 1 día harán:

1 1 1   20 30 12

2.

Solución

1 20 1 En 1 hora se desaloja : 30 El grifo en 1 hora llena:

Ejemplos Un trabajo se hace en 12 días: 

En un día se hace :

1 . 12

Trabajando los dos en 1 hora:

1 1 1   20 30 60

Un caño llena un estanque en 3 horas 

En una hora se llena:

1 3

Todo lo llenan en 60 horas.

Caño (1) en A horas; y Caño (2) en B horas. 

Los dos juntos, en una hora:

1 1  A B

3.

Caño (1) en A horas; Desagüe (2) en B horas; 

Los dos juntos en una hora

Luis en 1 días hace 1/6 de la obra:  Toda la obra lo hace en 6 días. Un grifo llena en 1 día 

Todo lo llena en

1 1  A B

Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días; dicha obra lo puede hacer el albañil sólo, en 40 días. ¿En qué tiempo trabajando solo lo hará el ayudante? Solución Reduciendo a la unidad:

1 1 1   40 x 24 1 1 1 1    x 24 40 60 1 1  x 60

Los dos:

2 de un estanque: 9

9 días. 2

 4.

1.

Toda la obra la harán: 12 días. Un grifo llena un estanque en 20h y un desagüe lo desaloja en 30 horas. Funcionando los dos juntos, ¿en qué tiempo se llena estanque?

Pedro hace una obra en 20 días y Timo lo hace en 30 días. ¿Cuánto tiempo demoran en hacer los dos juntos?

Entonces x = 60

Un caño llena un reservorio en 6 horas y otro lo hace en 10 horas, ¿en qué tiempo se llenará dicho reservorio si se abren los dos caños al mismo tiempo? Solución Reduciendo a la unidad: Los dos en 1 hora:

Solución

1 20 1 Timo en 1 día hace = 30 Pedro en 1 día hace =

53 1 1 1    6 10 30 15 Todo se llenará en 15 horas. 5.

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

Un depósito puede llenarse por un tubo en 2 horas y por otro en 3 h y vaciarse por un

157

desagüe en 4 horas. El depósito se llenará con los tres tubos abiertos en:

Sumando las tres ecuaciones miembro a miembro se tiene:

1 1 1   4 6 8 1  30  20  15  2A    6 120  1 65 A  6 240 5 A= 48 48 A lo hace todo en días 5 2(A + B + C) =

Solución

1 2 1 Tubo B en 1 hora = 3 1 Tubo C en 1 hora = 4 Tubo A en 1 hora =

Luego los tres juntos en 1 hora de operación harán:

1 1 1 7    2 3 4 12 El depósito se llenará en 6.

8.

12 h. 7

Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 12 días, ¿cuánto tiempo le tomaría a Juan hacerlo solo?

El caño de suministro A llena el tanque en 12 horas estando cerrado el caño de desagüe B. Este caño desaloja la parte que le corresponde en 10 horas, estando cerrado A. Estando vacío el tanque se abren los dos caños a la vez, ¿en que tiempo se llenará el tanque? A

h

Solución Como Juan es el doble de rápido que Pedro, quiere decir que Pedro emplea el doble de tiempo que emplea Juan en hacer un trabajo. “El que es más rápido: demora menos tiempo” Es decir: Si Juan lo hace en “x” días  En 1 día =

B h/3

Solución Si el caño A llena todo el tanque en 12 horas, entonces 1/3 lo hará en 4 horas, y el resto que es los 2/3, en 8 horas. Como B solo quieta la parte que le corresponde en 10 horas; entonces las 2/3 partes del tanque se llenará en

1 x

Pedro lo hace  en “2x” días

1 1 54 1    del total 8 10 40 40

1  En 1 día = 2x Los dos juntos en 1 día harán

por lo tanto, los 2/3 partes del tanque lo harán en 40 horas. Luego, el tiempo para llenar el tanque será : 4 h + 40 h = 44 h

1 1 1   x 2x 12 3 1  2x 12

9.

x = 18 días  Juan lo hace lo hace sólo, en 18 días. 7.

A y B pueden hacer una obra en 4 días, B y C en 6 días y A y C en 18 días, ¿en cuantos días puede hacerla A trabajando solo? Solución En un solo día hacen:

1 A+B= 4 1 B+C= 6 1 A+C= 8

158

(1) (2) (3)

Un caño llena un recipiente en 7 horas y un desagüe lo deja vacío en 8 horas, después de 3 horas de estar abierto sólo el caño, se abre el desagüe y comienzan a funcionar los dos juntos. ¿en qué tiempo se habrá llenado todo el recipiente? Solución Los dos en 1 hora:

1 1 1   7 8 56 El caño en las 3 primeras horas llena:

3  1   7 7  

3 

faltaba :

4 7

Los 4/7 lo tendrán que llenar funcionando los dos (caños y desagüe). Luego:

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

los dos

1h   x 

1 56

4.

Rubén puede hacer una obra en 5 días y Elena podría hacerlo en 10 días. ¿qué parte de la obra harían en “a” días? a) a/5 b) 3a/10 c) 10a/3 d) a/10 e) 10/a

5.

Lucy hizo los 3/5 de una obra en 6 días, ¿qué parte de la obra hizo en 1 día? a) 5/2 b) 2/5 c) 3/8 d) 6/5 e) 1/10

6.

Coco puede hacer los 3/8 de una obra en 2 días y 1/8 de día, ¿qué parte de la obra puede hacer en “n” días? a) 7n/13 b) 17n/3 c) 3n/17 d) 6n/7 e) 7n/6

7.

Pamela hizo los x/y de una obra en z días, ¿cuántos días demora para hacer toda la obra? a) xz/y b) yz/x c) x/y-x d) x/yz e) y/xz

8.

Lucía en dos días podría hacer 4/7 de una obra, pero Patty en 3 días podría hacer 2/5 de la misma obra. Si trabajan juntas, ¿cuántos días emplearán? a) 44/105 b) 105/44 c) 48/35 d) 35/8 35/48

9.

Si 4 hombres en un día pueden hacer 8/15 de una obra, ¿cuánto hace un hombre en un día? a) 32/15 b) 15/32 c) 2/15 d) 4/15 e) 3/17

4 7 Resolviendo se tiene:

4 h x  7 1 56

 32h

Luego, todo se llenó en 3 h + 32 h = 35 h. 10. Se poseen dos cirios de igual altura que se encienden simultáneamente. Al cabo de cuánto tiempo de haberse encendido, la altura del primero será el doble del segundo, si se sabe que se consumen en forma constante, el primero en 6 horas y el segundo en 4 horas. Solución El 1ro en 1 h se consume: En T horas se consume:

1 6 T 6

El 2do en 1 h se consume: En T horas se consume:

1 4

T 4

Por dato, altura del 1º = 2.(altura del 2º) “para lo que queda”

1

T T   2 1   6 4 

Resolviendo la ecuación, se tiene: T = 3 horas

NIVEL I 1. Un caño llena una piscina en 6 horas y un desagüe lo desaloja en 7 horas. Si fusionan los dos juntos, ¿en qué tiempo se llenará la piscina? a) 13 h b) 1 h c) 36 h d) 40 h e) 42 h 2.

3.

Pedro puede hacer una obra en 6 días y Juan lo puede hacer en 8 días. Si trabajan juntos, ¿en qué tiempo harán la obra? a) 23/7 b) 22/7 c) 21/6 d) 21/5 e) 24/7 Luis puede hacer una obra en 5 días, ¿qué parte de la obra puede hacer en “n” días? a) n/5 b) 5/n c) 5n d) 5 – n e) n + 5

10. Un obrero haría un trabajo en 2 días, al paso que otro emplearía 4 días. Si trabajan juntos ¿cuánto tiempo emplearían en hacer el trabajo? a) 4/3 días b) 2 días c) 3/4 días d) 3 días e) 2/3 días NIVEL II 11. Si 4 hombres en 10 días hacen 10/17 de una obra ¿cuánto hacen en un día? a) 4/17 b) 10/17 c) 1/170 d) 1/17 e) 3/17 12. Un grifo llena un depósito en 4 h y otro lo vacía en 5 h, ¿en cuantas horas se llenará el depósito si se abren ambos grifos a la vez? a) 10 h b) 15 h c) 20 h d) 16 h e) 18 h 13. Oscar es 10 veces más rápido que José. Si Oscar puede hacer una obra en 3 días, ¿qué tiempo demoraría si lo ayudase José? a) 11/30 b) 1/30 c) 6/11 d) 30/11 e) 5/11

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

159

14. Ana es tres veces más rápida que Juana. Si juntos demoran 6 horas hacer una obra, ¿cuántas horas habría demorado Ana, trabajando sola? a) 6 h b) 12 h c) 10 h d) 7 h e) 8 h 15. Jorge trabajando solo, puede hacer un trabajo en 12 días, pero a los 5 días de empezar el trabajo le ponen un ayudante; trabajan juntos 3 días y concluyen la obra, ¿qué tiempo habría demorado si trabajaba solo el ayudante? a) 9 días b) 8 días c) 6 días d) 12 días e) 7 días 16. “A” pensó hacer una obra en 9 días Después de haber trabajado 4 días llega B en su ayuda y hace lo que faltaba en 2 días. Si B hubiese trabajado solo, ¿en cuantos días haría toda la obra? a) 5 días b) 4 días c) 8 días d) 10 días e) 6 días 17. Un grifo puede llenar un estanque en 8 horas y otro en 12 horas, mientras que un tubo de desagüe lo vacía en 15 horas. Cuando el tanque está lleno hasta 1/3 de su altura, se abren los dos grifos y el desagüe durante 1 hora, ¿qué fracción del estanque quedará al final sin llenar? a) 1/3 b) 47/120 c) 3/5 d) 19/40 e) 21/40 18. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 días, si uno de ellos se demora 16 días más que el otro trabajando solo, ¿en que tiempo haría la obra el otro solo? a) 40 días b) 35 días c) 16 días d) 24 días e) 36 días 19. Una cañería llena una piscina en 4 horas y otra la puede dejar vacía en 6 horas, ¿en que tiempo puede llenarse la piscina, si la cañería de desagüe se abre 1 hora después? a) 11 h b) 12 h c) 9 h d) 10 h e) 13 h 20. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado uno tardaría 9 días mas que el otro, ¿qué tiempo tardaría este otro? a) 36 días b) 40 días c) 45 días d) 48 días e) 54 días NIVEL III 21. 1/5 de un tanque lo puede llenar un grifo en 2 horas y 1/3 del tanque lo puede vaciar un desagüe en 4h. Si ambos se abren a la vez, ¿en qué tiempo se llenará la mitad del tanque? a) 30 h b) 60 h c) 120 h d) 45 h e) 15 h

160

22. Un hombre puede hacer una obra en 12 días, si le ayudan dos mujeres acabarían en 8 días. Si trabajan sólo las 2 mujeres durante 6 días, ¿qué parte de la obra harán? a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/8 23. Un caño llena un tanque en cierto tiempo y un desagüe lo vacía en la mitad del tiempo, si el tanque estuviera lleno en sus 2/3 partes y se abriera simultáneamente el caño y desagüe, se vaciaría en 8h. ¿En cuánto tiempo lo llenaría si el caño trabajara solo? a) 8 h b) 6 h c) 12 h d) 9 h e) 11h 24. Dos obreros pueden realizar un trabajo en 15 días. Si uno de ellos se demora 16 días más que el otro trabajando sólo, ¿en qué tiempo haría la obra el otro solo? a) 40 días b) 35 días c) 16 días d) 24 días e) 18 días 25. Un obrero A demora en hacer la mitad de una obra tanto como otro obrero B se demora en hacer los 5/6 de la misma obra. ¿Cuánto se demora A en hacer toda la obra, si entre los dos tardarían 15 días? a) 18 días b) 27 días c) 36 días d) 40 días e) 54 días 30. A y B pueden hacer una obra en 10 días. Si después de 8 días de trabajar juntos se retira A y B termina lo que falta de la obra en 7 días, ¿en cuántos días puede hacer toda la obra A sólo? a) 8 días b) 6 días c) 14 días d) 12 días e) 18 días 31. A y B pueden hacer una obra en 20 días. B y C pueden hacer la misma obra en 15 días, A y C lo pueden hacer en 12 días. ¿En qué tiempo harán la obra juntos? a) 5 días b) 6 días c) 10 días d) 8 días e) Menos de 5 días 32. Tres tuberías A, B y C funcionando juntas pueden llenar la mitad de un tanque en 4 horas. Si funcionando sólo A y B pueden llenar todo el estanque en 10 horas y si funcionan B y C lo llenan en 15 horas, ¿en cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería B si funciona sola? a) 8 h b) 40 h c) 15 h d) 7 h e) 20 h 33. A, B y C hacen una obra en 12; 8 y 6 días respectivamente. Empiezan la obra los 3 y al finalizar el segundo día se retira A y lo que falta lo hacen B y C. ¿En qué tiempo se hará toda la obra? a) 22/7 días b) 23/9 días c) 20/7 días

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

d) 23/7 días

e) 22/9 días

a) 1/5 d) 2/3

b) 2/5 e) 3/4

c) 1/4

34. José puede pintar un muro de color rojo en ocho horas, mientras que Christian, podría pintar el mismo muro de color negro en doce horas. Empiezan a pintar juntos por un extremo diferente, al encontrarse ¿qué parte del muro estará pintado de color negro?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

161

4.

En este capítulo estudiaremos problemas relacionados con el tiempo, y para su mejor entendimiento lo dividiremos del siguiente modo: TIEMPO RELACIONADO CON CAMPANADAS, GOLPES, BALAZOS, ETC. En general: Número de campanadas: 1

2

3

n-2 n-1 n

4

241 = N Problema 2. Un reloj de 4 campanadas en 6 segundos. ¿En cuántos segundos dará 8 campanadas? Solución: Campanadas 4 8

Intervalos 3 7

Tiempo 6 x

Por regla de 3 simple directa: x  1 e

2 e

3 e

n-2 n-1 e e

4

Tiempo de cada intervalo

76  14s 3

PROBLEMAS SOBRE EL TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR

Se observa que: # CAMPANADAS = # INTERVALOS + 1

1 Día < > 24 horas

ó # DE INTERVALOS = # DE CAMPANADAS – 1

Tiempo Transcurrido

Ejemplo: 1C

2C 2s

3C 2s

4C 2s

5C

0 h.

2s

Tiempo que falta x

x-0=x

24 h. (24 - x)

T = 4 x 2 = 8s

Hora correcta

# DE   TIEMPO DE  TIEMPO      INTERVALOS    INTERVALO  TOTAL    

Problema 1. Una alarma suena 5 veces por segundo, ¿cuántas veces sonará en 1 minuto?

Problema 3 ¿Qué hora es?, si en este instante el tiempo que falta para acabar el día excede en 5 horas al tiempo transcurrido.

Solución: N : Número de veces que sonará N – 1 : Número de intervalos e : Intervalo entre sonada y sonada

Solución: Según el gráfico anterior y enunciado se tendrá: (24 – x) – x = 5 19 horas =2x  x = 9.30 a.m

* Luego para 5 sonadas habrán: (5 – 1) = 4 intervalos 1s 4e 1s

Problema 4 ¿Qué hora es? Si hace 4 horas faltaba para acabar el día, el triple del tiempo que faltará para acabar el día dentro de 4 horas?

e

1s 4

Pero:

Solución: x: Hora correcta:

# DE   TIEMPO DE  TIEMPO         TOTAL  INTERVALOS   INTERVALO  1 min = 60 s = ( N – 1) x

162

1 s 4 4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

Hace ya 90 horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 5 horas. ¿Qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 6:18? Solución: Adelanta 2 m ---- en 5 horas x ---- en 90 horas

x

 Hora adelantada = 6:18 + 36 min = 6:54

ADELANTOS Y ATRASOS: Situaciones donde se encuentran malogrados, debemos considerar:

Hora indicada por un reloj atrasado

relojes

- ADELANTO TOTAL

+ ATRASO TOTAL

2  90  36 min 5

PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO Ejemplo ilustrativo:

11

Hora indicada por un reloj adelantado

Hora Real

DIV 5 ISIO NES 12

1

10

 M

30º

9

2

H

4

8 5

7

+ Atraso Total

+ Adelanto Total

6

* La hora es : 1:15 * “H” : Aguja horaria (Horario) H = 1 (hora de referencia) * “M” : Aguja minutera (Minutero) M = 15 * “” : Ángulo formado por las reglas del reloj. * El reloj tiene 12 x 5 = 60 divisiones que equivalen para el minutero 60 minutos ó a 360º (1 vuelta) 60 divisiones 60 min 360º

1 división = 1 min = 6º Problema 5 Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta? Solución:

6  3 min  18 min 1

11

12

1

10

2 H

9

(Atraso total)

3

M 

4

8

Hora  Correcta  8 : 17  18  8 : 35 (Re al) Problema 6

PARA EL    MINUTERO  

Cálculo de “” 1er caso: Cuando el minutero adelanta al horario:

se atrasa En 1 hora 3 minutos se atrasará En 6 horas x Por regla de 3 simple directa:

x

3

7

5 6

La hora es:

3:35

“m” antes que “H”

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

163

Ejemplo: Veamos cuantos grados sexagesimales recorren las agujas cuando transcurre un tiempo determinado en minutos (a partir de las 4 en punto):

11 m – 30 h 2

=

En el ejemplo: H =3

y

m = 35

11  35   30 3   102,5º 2

=

Tiempo que transcurre (en minutos)

2do caso: Cuando el horario adelanta al minutero 12

11 10

2

m  H

9

3 4

8

     

60’ 30’ 20’ 10’ 8’ 3’

1

5

7

6

L hora es



1’

4: 10

Ángulo que recorre el MINUTERO

Ángulo que recorre el HORARIO

360º 180º 120º 60º 48º 18º

30º 15º 10º 5º 4º

6º

1º 2

mDIV

m DIV 12

3º 2

“H” antes que “m”  = 30 H -

m'

11 m 2

En el ejemplo: H = 4

 

  = 30 4 

y

Problema 7. Entre la 5:00 y 6:00 H ¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40º?

m = 10

11 10  65º 2

RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO Punto de Partida 11

Recorrido del horario

12

 = 40º 2

180º

9

3

 = 30 H –m

Recorrido del minutero

5

7

40 = 30(5) -

6

* Partiendo las agujas de las 12:00 a las 12:30, el horario ha recorrido 15º, mientras que el minutero 180º, es decir el minutero avanzó:

180 º  12 15 º En general:

12

m = 12 H

1

11 m  m = 20 2

La hora será: 5:20 CALENDARIOS Considerar el número de días que trae cada mes:

3 1 División horaria 30º 1 División de minuto < > 6º 4

8 5

ENE 31

FEB 28 ó 29

Año normal de 4

MAR 31

ABR 30

MAY 31

JUN 30

JUL 31

Año bisiesto : Año múltiplo

30º 2

9

7

H=5

veces lo que avanzó el horario

Donde: m : recorrido del minutero H : recorrido del horario Obs. 11 6º 10

1 m 2 m = ¿?

4

8

164

Solución: La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la inversa, luego aplicaremos:

1

15º

10



AGO 31

SET 30

OCT 31

NOV 30

DIC 31

* Un día se vuelve a repetir cada una semana (7 días)

6

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

Lunes

Lunes

1

8

Lunes . . . . . . . Lunes 15

Sumamos un múltiplo de 7 días

Luego:

Problema 8. Si el 1 de enero de 1942 cae Jueves, ¿qué día caerá el 1 de mayo del mismo año? Solución: Del 1 de Enero al 1 de Mayo habrán transcurrido 120 días = 7+1, eso quiere decir que caerá un día después que Jueves, o sea Viernes. Problema 9 En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábados y 5 domingos, ¿qué día será el 26 de dicho mes?

Problema 12. Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? Solución:

Solución: Consideremos un calendario:

Luego: Del esquema se deduce que se trata de un mes de 31 días y que el 26 caerá martes. Problema 10 Si el Lunes es el Martes del Miércoles y el Jueves es el Viernes del Sábado. ¿Qué día es el Domingo del Lunes? Solución: Según enunciado se tiene: Lunes es el Martes del Miércoles Jueves es el Viernes del Sábado Sábado es el Domingo del Lunes Problema 11 Si el ayer del mañana es Sábado, ¿Qué día será el mañana del ayer de pasado mañana? Solución. Considerando: Anteayer

Ayer

-2

-1

Hoy Mañana

0

1

Pasado mañana

2

Problema 13. En un año bisiesto, ¿cuántos días lunes y martes habrá como máximo? Solución: Como en: 1 semana 7 días hay 1 lunes y 1 martes Luego hay que averiguar cuántos grupos de 7 días hay en 366 días, y lo hallaremos. 366 días 2 días 52 Martes

7 días 52 semanas 52 Lunes y

El resto, estos días deben ser Lunes y Martes, para que así sean la máxima cantidad de Lunes y Martes, entonces en un año bisiesto habrán 53 Lunes y 53 Martes.

Dato: NIVEL I 1. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 2h 36 min?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

165

a) 232º d) 162º 2.

b) 138º e) N.A.

c) 148º

¿A qué hora entre las 6 y las 7, las manecillas de un reloj están superpuestas? a) 6h 30 min b) 6h 31 min c) 6h:31

7 min 11

d) 6h 32

8 11

9.

min e) 6h 30 3.

9 min 11

11 min 8

b) 3h 32

9 11

8 min 11

d) 3h 36

8 11

min c) 3h 32

6.

7.

d) 11h 38min 5

¿Qué ángulo forman las dos manecillas de un reloj a las 12h 15min? a) 82º30’ b) 79º45’ c) 85º15’ d) 91º e) 90º ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 11h 40min? a) 130º b) 160º c) 100º d) 110º e) 120º ¿A qué hora entre las 7h y las 8h, las agujas de un reloj forman un ángulo recto?

9 min 11

b) 7h 21

11 9

9 min 11

d) 7h 54

6 11

min e) A o D 8.

¿A qué hora entre las 3h y las 4h, las agujas de un reloj forman un ángulo llano?

9 s 11 9 b) 3h 61 min 21 s 11 9 c) 3h 49min 21 s 11 a) 3h 49min 11

166

11. ¿A qué hora entre las 4h y las 5h las agujas de un reloj se oponen?

8 s 11 8 b) 4h 54min 32 s 11 8 c) 4h 56min 23 s 11 a) 4h 45min 32

d) 4h 33min e) N.A. 12. El ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca las 3h 38min es x. Calcular el valor de “x” a) 28º b) 36º c) 26º d) 62º e) 48º 13. El ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca las 8h 32 min es (x+18º). Calcular el valor de “x” a) 64º b) 46º c) 58º d) 50º e) 45º

min c) 7h 12

7 s 11

e) N.A.

A las 10 horas 20 minutos. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj? a) 160º b) 200º c) 170º d) 190º e) C o D

a) 7h 21

5 s 11 5 b) 11h 56min5 s 11 a) 11h 57min 5

c) 11h 45min 30s

min e) N.A.

5.

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 2h 43 min? a) 190º b) 153º c) 180º d) 160º e) 140º

10. ¿A qué hora entre las 11h y las 12h horas, las agujas de un reloj hacen un ángulo de 16º?

¿A qué hora entre las 3 y las 4, las agujas de un reloj forman un ángulo de 90º? a) 3h 31

4.

9 s 11 5 e) 3h 49 min 5 s 11 d) 3h 16min

14. El ángulo formado por las manecillas de un reloj que marca 10h 40 min es (2x+5º). Calcular el valor de “x”. a) x-37º b) x-40º c) 45º el 20% menos N + 20% N = 120%N < > el 20% más Cuando nos dicen que se disminuye o se aumenta a un total en términos de porcentajes, debemos considerar que ese total es el 100% de sí mismo. Así:

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

PERDIÓ O QUITÓ

ME QUEDA:

30%

100%30%=70%

40%

60%

90%

10%

D xD   Du  D1  D2  1 2 % 100  

A A   Au   A1  A2  1 2 % 100  

GANÓ O AUMENTÓ

TENDRÉ EL:

30%

100% +30%=130%

40%

140%

200%

300%

Donde: Du Au D1; D2 A1 ; A2

: : : :

Descuento único Aumento único Descuentos sucesivos Aumentos sucesivos

Luego en el problema: 30% más < > 100% + 30% = 130% 30% menos < > 100% - 30% = 70% DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplos ilustrativos: Problema 02. ¿A qué descuento único equivale los descuentos sucesivos del 10% y 20%?

10 x 20   Du  10  20  %  28% Rpta. 100   Problema 03. Tres descuentos sucesivos del 20%, 50% y 10% equivalen a un descuento único de: Solución: INICIO:

-10%x CANTIDAD INICIAL:

-50%(80) -10%(40)

-20%

Solución: Primer método:

x

-20%(90%x)

90%x

-20

100

-40 90

80%(90%x)

-4 40

36

DU = 64% Por fórmula: (Tomando primero 2 descuentos y luego el otro)

20%

100%x

72%x

Descuento único de: 100% - 72% = 28% Rpta

Segundo método: (Suposición adecuada) Consiste en suponer que la cantidad es como: 100% (total)

 20 x 50  50% 20  50  %  60% 100   10% 



Luego: Du  60  10 



60 x10  %  64% 100 

Problema 04. ¿A qué aumento único equivale los aumentos sucesivos del 10% y 20%? Solución: Por fórmula:

10 x 20   A u  10  20  %  32% 100   VARIACIÓN PORCENTUAL Tercer método: (fórmula)

Problema 05.

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

171

Si “R” disminuye en 10%. ¿En qué porcentaje disminuirá “R2”? Solución: (Por suposición adecuada)

“R” : 10

“R2” 100 Se deduce que -10% (10) ha disminuido en 19 : 9 92 = 81

Después

+2

+3x +30%(10x) 169x2

Problema 09 Si el largo de un rectángulo aumenta en 20% y el ancho disminuye en 20%; entonces el área del rectángulo varía en 160m 2. ¿Cuál era el área inicial?

Solución:

Solución: LADO

X

10x

ÁREA = (LADO)2

12x

102 = 100

12

122 = 144

Problema 07. Si el área de un círculo aumentó en 300%. ¿Por cuánto se multiplicó su radio?

100x2 varía en 4x2

-2x -20% 8x

96x2

Problema 10.

x  y2 z wp si “z” disminuye en 10% “y” aumenta en 40% y “p” disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía “E”? En la siguiente expresión: E 

Solución: Como “x” y “w” no varían, lo despreciamos, luego:

EINICIO 

Solución:

Á =2 R R E 1 A 0 +300 + 0 %(100 3 40 ) 00 0

ÁREA

 área inicial: 100 x2 = 100(40) = 4000 m2

NOTA: ¡¡¡ IMPORTANTE !!! Lo que aumenta o disminuye en una expresión, son las variables y no las constantes, por lo que despreciaremos estas últimas en variaciones porcentuales.

se desprecia por ser constante Ra  ÁR dio EA 1 =1 Se 0 0 deduce 0 que ha sido 4 =2 multiplic 0 0 ado por 0 “2”

=

Luego; según el enunciado: 4x2 = 160 x2 = 40

Aumenta en 44%

+20%(10)

ANCHO 10x

+2x +20%

10

Aumenta en (Dato) 69x2=62 x=3

 Lado Inicial : 10(3) = 30

Luego como 100 < > 100%, entonces 19 será el 19% Problema 06. ¿En qué porcentaje aumenta el área de un cuadrado, cuando su lado aumenta en 20%?

LADO

100x2

10x

13x

102 = 100 (como 100%)

-1

ÁREA = (LADO)2

LADO

Asumimos que el valor inicial de “R” es 10, para que así “R2” inicial sea:

Inicio

Solución:

Después

y2 z y2 z  100% p p QUEDARÁN:

z – 19% z = 81% z =

9z 100

7y 5 7p p – 30% p = 70% p = 10 y + 40% = 140% y =

Problema 08. Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 30%, resulta que el área aumenta en 621 m 2. Calcular el lado inicial del cuadrado.

172

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

2

EDespués

 7  9z  y  5  100 y2 z  100%   252% 7p p 10

Solución: PV = PC + G 80 = PC + 25%PC 80 = 125% PC 80 =

125 PC 100

 Variación de “E” : 252% - 100% = 152%

64 = PC

Problema 11. Un comerciante disminuye sus precios en un 10% con lo que logra aumentar la cantidad vendida en un 10% sus ingresos. ¿Aumentan o disminuyen y en cuánto?

Problema 13 ¿Cuál fue el precio fijado de un artículo que se vendió en S/.180 habiéndose hecho un descuento del 20%?

Solución: Consideremos:

Solución: PV = PF – D 180 = PF - 20%PF 180 = 80% PF 180 =

80 PF 100

225 = PF Problema 14 Un vendedor vende 2 autos a S/.6000 cada uno, ganando en el primero el 20% y en el segundo pierde el 20% del precio de compra. ¿Gana o pierde y cuándo?

APLICACIONES COMERCIALES

Solución:

Ejemplo explicativo: Un comerciante compró un pantalón en S/.50 y fija para su venta un precio de S/. 80. Sin embargo lo vende en S/.70 debido a que hizo una rebaja de S/.10. Aparentemente está ganando S/.20, pero esta operación le generó gastos por un valor de S/.5 por lo cual realmente está ganando S/.15. Identificando: Precio de Costo (PC) = S/.50 Precio de Venta (PV) = S/.70 Precio Fijado (PF) = S/.80 Ganancia Bruta (GB) = S/.20 Descuento o Rebaja (D) = S/.10 Gastos (G) = S/.15 Ganancia Neta (GN) = S/.15

SE CUMPLE: PV = PC + GB GB = G N + G PF = PV + D

Observaciones: En los casos en que hay pérdida se cumple que: PV = PC – Pérdida Generalmente las ganancias o pérdidas se representan como un tanto por ciento del precio de costo. Generalmente las rebajas o aumentos se presentan como un tanto por ciento del precio fijado. Problema 12 Se vende un artículo en S/.80 ganando el 25%. ¿Cuál fue el precio de costo?

I) PARA EL 1ro

II) PARA EL 2do

PV = PC + Ganancia

PV = PC - Pérdida

6000 = x + 20% x

6000 = y – 20% y

5000 = x

7500 = y

Luego: Costo Total : 5000 + 7500 = 12500 Venta Total : 6000 + 6000 = 12000 Se deduce que ha existido una pérdida de: 12500 – 12000 = 500 Problema 15 Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Hallar el precio de costo del televisor. Solución: PV = PC + Ganancia 6000 = PC + 20% (6000)+ 20% PC 6000 = 120% PC + 1200 4800 =

120 PC 100

Problema 16 Se vende un artículo en 150 soles con una ganancia del 25% sobre el costo. Si se ganó tanto como se descontó. ¿Cuál fue el precio fijado para la venta al público?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

173

Solución: PV = PC + G PF = PV + D Dato: Ganó = Descontó = 25% costo 150 = PC + 25% PC PF = 150 + 25% PC (Dato) 150 = 125% PC PF = 150 + 25% (120) 120 = PC PF = 180

d) 0.90%

e) 0.60%

12. ¿Qué porcentaje de 400 es 320? a) 82% b) 60% c) 70% d) 80% e) 90% 13. ¿El 60% de qué número es 420? a) 700 b) 640 c) 800 d) 840 e) 820 14. El 10% del 90% del 50% de qué número es 9. a) 120 b) 180 c) 300 d) 360 e) 200

NIVEL I 1. Calcular el 20% de 250. a) 40 b) 60 d) 80 e) 50

c) 70

2.

Calcular el 30% del 40% de 2000. a) 240 b) 480 c) 60 d) 180 e) 360

3.

¿Qué porcentaje de 8a es 2a? a) 36% b) 10% d) 25% e) 40%

4.

15. Tres descuentos sucesivos del 10%, 40% y 20%, equivalen a un descuento único del: a) 54.2% b)52.7% c) 56.8% d) 52.4% e) 50.6% NIVEL II 16. ¿De qué número; 946.8 es el 5 1/5% más? a) 600 b) 820 c) 900 d) 720 e) 740

c) 20%

17. ¿Qué porcentaje de (a²-b²)= es (a-b)?

100 +b a 100 d) a-b a)

100 a+b 50 e) 2a-b

b)

c)

100 +a b

¿El 60% de qué número es 6? a) 20 b) 60 c) 10 d) 40 e) 28 Dos aumentos sucesivos del 10% y 20% ¿a qué aumento único equivalen? a) 31% b) 24% c) 32% d) 26% e) 28%

18. El a% de 300 es b; y b% de 30 es 27. Hallar “a”. a) 30 b) 20 c) 40 d) 25 e) 60

6.

Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a que descuento único equivalen? a) 50% b) 46% c) 48% d) 52% e) 72%

19. Si el lado de un cuadrado aumenta en 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? a) 72% b) 64% c) 69% d) 52% e) 48%

7.

Tres aumentos sucesivos del 20%, 10% y 100%, ¿a qué aumento único equivalen? a) 148% b) 164% c) 172% d) 149% e) 128%

20. Si el radio de un círculo disminuye en 10%, ¿en qué porcentaje varía su área? a) 12% b) 16% c) 11% d) 19% e) 23%

8.

Tres descuentos sucesivos del 50%, 70% y 20%, ¿a qué descuento único equivalen? a) 88% b) 84% c) 94% d) 90% e) 78%

21. Si el radio de una esfera aumenta en 200%, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen? a) 700% b) 2600% c) 2500% d) 2900% e) 800%

9.

El 30% del 120% del 40% de un número es igual al 60% del 80% de 30. Hallar el 40% del 20% de dicho número? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

22. Si la base de un triángulo aumenta en 50% y su altura aumenta en 20%. Su área aumenta en: a) 120% b) 90% c) 70% d) 60% e) 80%

5.

10. ¿A cuánto corresponde el 3 por 8 de 48? a) 20 b) 18 c) 240 d) 232 e) 48 11. ¿Qué tanto por ciento del 80% del 40% del 50% de la mitad de 200, representa el 40% del 0.5% de 10% de 500? a) 0.625% b) 0.750% c) 0.850%

174

23. Si la diagonal mayor de un rombo aumenta en 40% y la diagonal menor disminuye en 80%, su área : a) Aumenta en 17% b) Disminuye en 19% c) Aumenta en 18% d) Disminuye 72% e) Aumenta en 24%

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

24. Hallar el 10% de los 2/5 del 40% de la mitad de S/. 6 000. a) 24 b) 48 c) 36 d) 46 e) 52 25. Hallar “x” si el 20% del 0.5% de 0.66666% de x% es 40 000 a) 8 b) 6 c) 7 d) 10 e) 12 26. El 6% de los 2/3 del 0.5% de un número s 0.18. Hallar el número. a) 2400 b) 2200 c) 1800 d) 1600 e) 1900 27. ¿Qué porcentaje de A es B si el 40% de A es 50% de B? a) 80% b) 60% c) 90% d) 70% e) 74% 28. Si “a” aumenta en 20% y “b” aumenta en 10%. ¿en qué porcentaje aumenta? E  a) 72% d) 80%

b) 60% e) 28%

c) 64%

7 3 ab 5

35. En una ciudad el 45% de la población fuma, el 40% bebe. Si el 20% de los que fuman también beben, ¿qué % de la población no fuma ni bebe? a) 5% b) 15% c) 30% d) 35% e) 24% 36. En un colegio, el 40% de los alumnos son varones. A una excursión han ido el 20% de los varones y el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de alumnos salió de excursión? a) 30 % b) 26 % c) 38 % d) 45 % e) N.A. 37. Un micro tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados, de las mujeres el 80% y únicamente 10% de los hombres. ¿Cuántos hombres viajan en el micro? a) 10 b) 15 c) 12 d) 22 e) N.A.

29. El 40% del área de un círculo es el 60% de la longitud de su circunferencia. Hallar su diámetro. a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 e) 8 30. Si el área de un círculo aumenta en 96%, su radio aumentará en: a) 70% b) 60% c) 35% d) 10% e) 40%

38. En una Universidad Particular, el Dpto. de Servicio social decide rebajar las pensiones de enseñanza a los estudiantes de menores recursos económicos en un 20% y aumentar un 30% al resto. Si el monto total de las pensiones queda disminuido en un 10% con esta política. ¿Qué porcentaje de la pensión total representa la pensión pagada por los estudiantes de menores recursos económicos? a) 50 % b) 82 % c) 79 % d) 80 % e) 85 %

NIVEL III 31. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo? a) S/.1450 b) S/.1400 c) S/.1750 d) S/.1500 e) S/.1550

39. Una empresa consume 40% de su materia prima disponible, lo que le queda excede en 57 kg a lo gastado. ¿cuántos kilogramos de materia prima disponible tenía la empresa? a) 228 b) 342 c) 570 d) 285 e) 171

32. En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? a) 62 % b) 53,5 % c) 57,1 % d) 82,5 % e) 42 %

40. Un padre reparte entre sus 2 hijos una propiedad de S/.11250. Si el mayor hubiese recibido 20% menos y el menor 30% menos, ambos recibirán lo mismo. ¿Cuánto dinero recibió el hermano mayor? a) 6000 b) 6500 c) 4750 d) 5250 e) 5000

33. Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20% sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento debe incrementarse el precio rebajando para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original? a) 84% b) 50% c) 63% d) 59% e) 75% 34. En una compañía trabajan 250 personas donde el 80% son hombres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% del personal sean mujeres? a) 200 b) 250 c) 120 d) 240 e) 350

41. En una fiesta el número de hombres era el doble del número de mujeres, luego se retiran el 35% de los hombres, pero llegan enseguida 90 mujeres, resultando tantos hombres como mujeres. ¿Cuántas mujeres habían inicialmente? a) 150 b) 200 c) 250 d) 300 e) 350 42. En la UNMSM el 30% de los alumnos son mujeres. Si el 20% de mujeres y el 30% de los hombres salen de paseo, ¿qué porcentaje de los alumnos de la UNMSM fue al paseo?

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

175

a) 25 % d) 31 %

b) 27 % e) 33 %

c) 29 %

43. Sandro vende un televisor ganando el 20% del precio de venta; de esta ganancia entrega el 20% a Carlos por su colaboración en el negocio y de lo restante utilizó el 10% para pagar el transporte del televisor hasta el domicilio de su nuevo dueño, obteniendo como ganancia neta 144 soles. ¿Cuánto le costó a Sandro dicho televisor? a) S/. 600 b) S/. 700 c) S/. 480 d) S/. 900 e) S/. 800

176

44. En una tienda se exhiben videograbadoras. Un comprador obtiene una con descuento del 20%, luego la vende con una ganancia del 15%. El nuevo comprador la vuelve a vender ganando 10% de lo que le costo. Si finalmente fue vendida con una pérdida de 30% del costo final, ¿en qué porcentaje varía el costo final? a) 29,16 % b) 29,26 % c) 29 % d) 39,1 % e) 28,2 %

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

6.

Cantidades representativas de un conjunto de valores (medidas de tendencia central) dado. a1  a 2  a 3  …  a n   MENOR VALOR  PROMEDIO  MAYOR VALOR

ab 2

MG 

ab

MH 

2ab ab

MEDIA mayor promedio Si

NÚMERO DE DATOS

todos

los

menor promedio

datos

son

iguales:



MA  MG  MH

Ejemplo: Dar la MA de: 7; 13 y 4 Resolución: MA 

MA 

a n  MA  MG  MH  0

O

SUMA DE DATOS

MA 

Para dos cantidades “a” y “b”

Se verifica que:

TIPOS DE PROMEDIO: PROMEDIO ARITMÉTICO ARITMÉTICA ( MA )

CONSIDERACIONES IMPORTANTES

Para dos cantidades “a” y “b” 2 (IMPORTANTE) MG  MA  MH

7  13  4 8 3

MA  MG 

Ojo:



a  b2

4 MA  MG



Sea “n” números y “S” suma de los números: ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA

S  n  MA

Sean los números: 3; 5 y 10 PROMEDIO GEOMÉTRICO GEOMÉTRICA MG



MG 

n



O

MEDIA

Pr oducto de los datos

Donde: n: número de datos Ejemplo: Dar la MG de: 5; 15 y 45 Solución:

MG 

3

 MA 

3  5  10 6 3

Si aumentamos 7 unidades al 5 y disminuimos 4 al 10: Nuevo Promedio =

3  5  10 74    3    3

5  15  45  15

promedio inicial

7

var iación

PROMEDIO ARMÓNICO O MEDIA ARMÓNICA

MH 

MH 

¡ MUY IMPORTANTE ! Número de datos Suma de las inversas de los datos

Ejemplo: Dar la MH de: 6; 2 y 3 Solución:

MH 

3 3 1 1 1   6 2 3

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

177

N UEVO  PROMEDIO  VARI CÓN       P ROMEDIO  INCIAL  DELPROMEDIO

MATEMÁTICA I LENGUAJE I PROPEDEUTICA

pp 

1.

11  2  17  1  13  3 78   13 2  1 3 6

Luis obtuvo como notas: 13, 08, 11, 16, 14 y 10, ¿cual es su promedio? Solución Es una MA simple. Entonces: 13  8  11  16  14  10 MA   12 6

2.

La media geométrica de 3 números es 6, si dos de ellos son 4 y 3, ¿cuál es el tercero? Solución: Datos MG = 6 3 4.3. x  6  4.3. x  63 12x = 216 x = 18

3.

La media armónica de 3 números es 9/19, si dos de ellos son ½ y ¼; el tercer número es: Solución Sea “x” el tercer número 3 9  1 Dato: 19 24 x 3.19 1  6 De donde: 9 x 1 1   x=3 3 x

4.



PROMEDIO PONDERADO PP



a1  p1  a2  p2  a3  p3  ...  an  pn p1  p2  p3  ...  pn

Donde: an : enésimo de las notas, precios, … etc pn : enésimo de los promedios; pesos; frecuencias; créditos; etc. Ejemplo: Antonio ha obtenido el siguiente reporte de notas en el I Ciclo de la universidad.

178

CRÉDITOS 2 1 3

Hallar su nota promedio: Resolución:

TOTALQUESE TOTALQUESE    VARIACIÓN  AUMENTA   DISMINUYE   DELPROMEDIO NÚMERO DE DATOS PP 

NOTA 11 17 13

5.

La suma de dos números es 100 y su media geométrica es 40. La media armónica es: Solución Sean los números a y b. a + b = 100 . ........ (a) =40  a.b=1600.... (b) ab Nos piden: 2ab MH(a,b) : ……..(c) ab Haciendo (a) y (b) en (c) 2  1600  MH  a,b    32 100 Un bote desarrolla una velocidad de 15 km/h en aguas tranquilas. En un río cuyas aguas

4º de Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO / MATEMÁTICA

discurren a 5 km/h dicho bote hizo un cierto recorrido y volvió a su punto de partida. La relación entre la velocidad promedio en el viaje total y la velocidad en aguas tranquilas es: Solución Vida = Vbote + Vrio (veloc. a favor) Vida = 15+5  Vida = 20km/h Vregreso = Vbote – Vrio (velc. en contra) Vregreso = 15 – 5  Vregres0 = 10 km/h

Por dato: a2  x 2   2a 

Vbote 6.

x 9.

e V2=2k



a b .

e total 4e  e e e e Ttotal    k 2k 3k 4k 4e  192 e e e e    k 2k 3k 4k Resolviendo k = 100 Luego V2 = 2(100) = 200 km/h

Solución x1  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  48 6 Como la menor edad es 46, para que uno tenga la máxima, los otros deben tener lo mínimo. Luego:

a b2  24 4 ab 1 44 3 2

8.



x1  Máx   46  46  46  46  46 6

2

a b 

e

10. El promedio de las edades de 6 personas es 48, si ninguno de ellos es menor de 46, ¿cual es la máxima edad que podría tener uno de ellos?

Solución Como MA > MG Por datos: ab = x ………(1) ab  x  1 ………….(2) 2 Trabajando (1) y (2), se tiene: ab  ab  1 2

a b

e

Vp 

La media aritmética y la media geométrica de a y b son dos números consecutivos. Hallar

2

V4=4k

V1=k

3 3  1 1 1 10  5  3   3 6 10 30 90 MH  5 18



Una avioneta que vuela alrededor de un pueblo que tiene forma cuadrada, emplea en cada lado velocidades constantes y diferentes (V1, V2, V3 y V4) que están en relación con los números: 1, 2, 3 y 4 respectivamente; si la velocidad promedio es de 192 km/h. Hallar V2.

8 9

MH 



24  5a2

e

Hallar la media armónica de 3, 6 y 10.



2

Solución V3=3k

Solución

7.

2 2

3

8 3 x² + 5a² = 24

Nos piden: Vpromedio 40 / 3 40   Vbote 15 45 

2

Elevando al cuadrado:

Se sabe que: 2 V1 . V2 40 Vpromedio   V1  V2 3

Vpromedio

a2  x2   2a 

 48 X1 (máx) =

58 2

La media cuadrática de a, x y 2a es: Hallar“x”.

2 2.

Solución

MATEMÁTICA / RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – 4º de Secundaria

179

d) NIVEL I 1. El promedio de 4 números impares consecutivos es 14. Hallar el menor de dichos números. a) 8 b) 6 c) 11 d) 12 e) 14 2. Si: A   3;...;  3;3;  3 6

veces

B  14 ;14    ;...;  14  5 veces

C  6 6;...;  ;6; 6 9

veces

Hallar El promedio de A; B y C a) 6 b) 4 c) 3,5 d) 5,3 e) 6,2 3.

4.

Si el promedio de cuatro números es 20, dos de ellos son 24 y 32. ¿Cuál es la suma de los otros dos números? a) 28 b) 24 c) 30 d) 29 e) 42

5.

e)

m  2n 2

La suma de dos números es “k”; la suma de otros tres números es “2k” y la suma de otros cuatro números es “3k”. Hallar el promedio de los nueve números. a) K b) 6k c) 3k/2 d) (2/3)k e) (5/2)k

6.

El promedio de 5 números consecutivos es 18. Hallar el promedio de los tres menores. a) 18 b) 17 c) 16 d) 15 e) 14

7.

Hallar el promedio de notas en un examen en el que: 18 alumnos tienen 12 de nota 22 alumnos tienen 15 de nota a) 12,56 b) 13,65 c) 15,31 d) 13,56 e) N.A.

8.

Si: P    n;n;n;...;  n 2 2 2 2 Q n  ; n ;n ;...;  n  " n veces "

Hallar el promedio de P y Q

180

n  n  3 2

b)

n  n  2 3

n  3  n 2

10. Si el promedio de dos números es “Q”; un o de los números es igual a “W”. El otro número ¿A qué será igual? a) Q+W b) 2W-Q c) 2Q+W d) 2Q-W e) Q-W 11. El promedio de 3 números es “Z” el menor es “S” y el mayor es “S” y el mayor es “2S+1”. Determinar el segundo número. a) 3z-3s+1 b) 3s-3z-1 c) 3z+3s-1 d) 3s+3z-1 e) 3z-3s-1 12. El promedio de 3 números “p”; “q”; “r” es “k”; Si: r=k+7; entonces se cumple la relación siguiente: a)

pq k 2

b) p