RAZONAMIENTO MATEMATICO

ACADEMIA ARGUEDAS "La esencia del conocimiento sólo la encuentras en Arguedas" Compendio Académico Razonamiento Matem

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ACADEMIA

ARGUEDAS

"La esencia del conocimiento sólo la encuentras en Arguedas"

Compendio Académico Razonamiento Matemático

Título de la Obra:

Compendio Académico Razonamiento Matemático Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los editores Esta publicación se ha terminado de imprimir en los talleres gráficos de "Ediciones Arguedas" Jr. Huancavelica N° 521. Abancay - Apurímac Edición 2018

Presentación El Colegio JOSÉ MARÍA ARGUEDAS de Abancay, autorizado su funcionamiento por la Resolución Directoral N° 1214 – 2006 – ED. Es una Institución Educativa de Nivel Secundario, con docentes profesionales de amplia experiencia, comprometidos con la INNOVACION PEDAGOGICA, cuya misión se enfoca en descubrir en los Estudiantes sus habilidades, destrezas y desarrollo humano, con elevada auto estima, capaces de tomar sus propias decisiones y de alcanzar una meta. El Colegio Arguedas garantiza la preparación académica de Nivel Pre Universitario en la Ciudad de Abancay, con una propuesta acorde a los avances de la Ciencia y la Tecnología, demostrando la enseñanza – aprendizaje en Aptitud Académica y Conocimientos, con la mejor alternativa que da resultados meritorios, empeñados en Trabajo permanente en beneficio de los alumnos del Colegio JOSÉ MARÍA ARGUEDAS, con tal respaldo se proyectan a alcanzar su ingreso a centros superiores como las Universidades e Institutos Superiores y asegurar su formación profesional a corto Plazo. LOGROS SIGNIFICATIVOS.- El Colegio ARGUEDAS, como una institución se compromete con todos sus integrantes desempeñar el servicio Educativo de Calidad preparación con elevado Nivel Académico de enseñanza – aprendizaje que responde el mundo de la competencia y garantizan alcanzar logros significativos. Los alumnos que han concluido la Educación Secundaria, en ARGUEDAS ya ingresaron a las importantes Universidades del país en cada convocatoria, de preferencia a los exámenes de Admisión de Primera Opción, luego Examen Ordinario, obteniendo éxitos contundentes, ocupando los primeros puestos en Computo General y Primeros Lugares en cada Carrera profesional e ingresos masivos, como: Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), Universidad Nacional Agraria La Molina (UNALM), Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco (UNSAAC), Universidad Nacional del Altiplano de Puno (UNAP), Universidad San Agustín de Arequipa (UNSAA), Universidad Nacional San Luis Gonzaga de Ica (UNSLGI), Universidad Nacional Micaela Bastidas de Apurímac (UNAMBA), etc. Dignos méritos nos dan mayor fortaleza para asumir con responsabilidad y compromiso de trabajo la tarea de la educación y formar al estudiante con capacidad de lograr el ingreso, compitiendo en un Examen de Admisión. Con especial agradecimiento a nuestra plana Docente y Administrativo, ponemos a consideración, este reto que será parte de su identidad.

Lic. Andrés Ríos Gonzáles Promotor

Introducción El Sistema Educativo del Colegio JOSÉ MARÍA ARGUEDAS, está Orientado su enseñanza - aprendizaje preparar para la Universidad, dando mayor énfasis a la Ciencia Matemática – Física, Ciencias Biológicas, Humanidades y Aptitud Académica; es decir se brinda la estructura y las orientaciones metodológicas para el desarrollo de Conocimientos de Nivel Pre – Universitario, para efecto alcanzamos a los alumnos un manual práctico para reforzar sus conocimientos. En la actualidad el Compendio Académico es indispensable que Constituye una disciplina de aprendizaje que ayuda incrementar sus conocimientos. Los Textos elaborados por la plana docente, por especialidad para el nivel secundario como: Aptitud Académica, Aritmética, Algebra, Geometría, Trigonometría, Biología – Anatomía, etc. Con una gran variedad de ejercicios resueltos y ejercicios propuestos por niveles, totalmente dosificados. El propósito del Colegio Arguedas es facilitar el proceso de aprendizaje a los estudiantes, para ponderar su conocimiento. La labor del docente nos ha motivado a programar los contenidos del aprendizaje en el espacio y el tiempo. Se han distribuido los temas en capítulos y bimestrales, de igual extensión, de modo que puedan ser desarrollados adecuadamente. Con las consideraciones propuestas, el docente podrá desarrollar los temas de manera consistente y sostenida, los alumnos podrán anticiparse a las clases y los padres de familia podrán supervisar el avance de sus hijos. Esperamos contribuir al aprendizaje de un nivel cada vez más elevado, de acuerdo a las exigencias de la educación actual.

Lic. Nelson Maurate Hidalgo Director General

CONTENIDO Índice Tema 1:

Razonamiento Lógico I

Tema 2:

Razonamiento Lógico II

Tema 3:

Razonamiento Inductivo

Tema 4:

Planteo de Ecuaciones I

Tema 5:

Planteo de Ecuaciones II

Tema 6:

Edades

Tema 7:

Cronometría

Tema 8:

Sucesiones

Tema 9:

Series I

Tema 10:

Series II

Tema 11:

Operaciones Matemáticas

Tema 12:

Máximos y Mínimos

Tema 13:

Ecuaciones Diofánticas

Tema 14:

Análisis Combinatorio I

Tema 15:

Análisis Combinatorio II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 1

RAZONAMIENTO LÓGICO I

El razonamiento matemático no es un ejercicio netamente abstracto. Por el contrario, requiere de mucha habilidad intuitiva, ingenio y creatividad. El presente capítulo está diseñado para afianzar dichas habilidades, sin utilizar fórmulas o teoremas para la resolución de los ejercicios planteados, sino tu criterio lógico y algunos conocimientos básicos de matemática (sumar, restar, multiplicar, dividir, etcétera). Por otro lado, se ha evaluado, el grado de dificultad de

Los problemas sobre cerillos tienen como objetivo desarrollar nuestra capacidad visual y nuestro poder de imaginación, pues, por ejemplo, se debe trabajar con un número mínimo de cerillos, que se deben agregar, o mover. Ejemplo:

¿Cuántos cerillos se deben quitar como mínimo para que solo queden 4 cuadrados iguales?

cada ejercicio así como su incidencia en los exámenes de admisión de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos. En este sentido, debes tener en consideración que el tema de este capítulo ha sido una constante en los exámenes de los últimos diez años en los que se han evaluado conocimientos, aptitudes y rendimiento de los estudiantes que aspiran a ingresar a la mencionada casa de enseñanza superior.

Resolución:

Se elimina.

2 1

4 3

Se elimina.

Respuesta: 2 cerillos. Para calcular un número mínimo de personas, se debe considerar un parentesco entre ellos, y además, si lo que se busca es determinar un parentesco, entonces es recomendable hacer un gráfico e ir de atrás hacia adelante. Ejemplo: ¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana? ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

RAZ. MATEMÁTICO

1

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

RAZONAMIENTO LÓGICO I

Resolución:

S S S

3S  1  2 3  ...  9 

3S  S  15

45

15 es la constante mágica. Además, se observa que: 10

Respuesta: Mi esposa. Una figura mágica es aquella en que se van a distribuir números de tal forma que cumplan una condición especial.

10

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

10 10

Por lo tanto, el número 5 debe ir en el centro.

Ejemplo:

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Respuesta: 5.

Coloca los números naturales del 1 al 9 de tal forma que la suma en cada fila, columna o diagonal sea siempre la misma.

Resolución:

La figura se denomina cuadrado mágico.

Problema 1 Hay un solo anillo y tres cajas cerradas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados: – Caja ploma: "El anillo no está aquí". – Caja negra: "El anillo no está en la caja marrón". – Caja marrón: "El anillo está aquí". Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es cierto que _________. San Marcos, 2002 Nivel intermedio

A) B) C) D) E)

en ninguna de las cajas está el anillo el anillo no está en la caja ploma el anillo está en la caja marrón el anillo está en la caja ploma el anillo está en la caja negra

Resolución:

Análisis e interpretación

1

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

Se debe determinar la caja en que se encuentra el anillo. Para ello, los tres enunciados se deben analizar, se sabe que solo uno es verdadero. Estrategia de solución Realizar un cuadro de doble entrada, en donde se colocarán los valores de verdad se supondrá primero que el anillo está en la caja ploma, luego en la negra y finalmente en la marrón (método de falsa suposición). Finalmente, teniendo en consideración que solo uno de los enunciados es verdadero, se determinará la caja en que se encuentra el anillo. Pasos que se deben seguir: – Realizar el cuadro – Hallar los valores de verdad aplicando el método de falsa suposición.



Determinar la caja en donde se encuentra el anillo. Ejecución de la solución

Como solo uno de los enunciados es verdadero, el anillo está en la caja ploma.  el anillo está en la caja ploma. Otra forma de solución Según los enunciados sobre la caja negra y la caja marrón, se observa que uno niega a otro. Entonces se deduce que una de las dos afirmaciones es verdadera y la otra es falsa: la afirmación sobre la caja ploma es verdadera. ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

RAZONAMIENTO LÓGICO I

 el anillo está en la caja ploma. Errores comunes de los alumnos – No aplican el método de falsa suposición. – Tratan de adivinar si los enunciados son verdaderos o falsos.

Respuesta: D) El anillo está en la caja ploma.

Problema 2 Si en los círculos de la figura escribimos los números naturales del 3 al 11, de manera que los números en cada lado del triángulo sumen 25, ¿cuál es la suma de los números que se escriben en los círculos etiquetados con x, y y z? A) B) C) D) E)

San Marcos, 2003 Nivel intermedio

21 13 15 18 12

Resolución:

Analisis e interpretación Se debe colocar un número distinto del 3 al 11 en cada círculo, pero, al hacerlo, se debe cumplir que cada lado del triángulo sume 25 y se debe dar como respuesta la suma de los números que van en los vértices (x + y + z). Estrategia de solución Colocar variables en cada círculo y luego plantear ecuaciones, que permitirán calcular x + y + z después de resolver el sistema planteado. Pasos que se deben seguir – Colocar variables en cada círculo plantear ecuaciones con los datos del enunciado. – Resolver el sistema y dar el valor de x + y + z.

1. Si se tienen 12 palitos de fósforo, ¿cuántos triángulos equiláteros iguales se pueden obtener como máximo, de tal manera que la longitud del lado del triángulo sea la de un palito de fósforo? A) 9 B) 6 C) 8 D) 12 E) 10 2. ¿Cuántas fichas como mínino deben ser cambiadas de posición para que el resultado sea 2?

( 6 + 10 )- 8

x 4

2

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Ejecución de la solución

Como la suma de cada lado es 25:

x  a  b  z  25  x  c  d  y  25

z  e  f  y  25

(a  b  c  d  e  f)  (x  y  z)  (x  y  z)  75 

63  suma de los números del 3 al 11

 x + y + z = 12. Método práctico Cuando la figura es un polígono regular:

 Suma de   Suma de   N úmero   Suma de           números    números que   de lados   cada lado   de todos   van en los       los círculos   vértices 

 3 × 25 = 63 + x + y + z  x + y + z = 12 Errores comunes de los alumnos – No aplican ningún método de solución. – No analizan el problema. – Tratan de adivinar los números de cada círculo. Respuesta: E) 12.

Problema 3 Pedro es concuñado de José porque su única hermana se ha casado con el único hermano de este. Si los hijos de Pedro y José son ahijados de Carmen –hermana de Pedro–, pero no de Juan– hermano de José–, entonces los hijos, en relación con Juan, son______. San Marcos 2002 Nivel fácil

A ) o bien ahijados, o bien hijos B) ambos sus sobrinos naturales

A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

3. Cuatro personas desconocidas y totalmente encapuchadas sostienen la siguiente conversación: Beto.- Yo no tengo cabellos negros. Elmer.- Yo no tengo cabellos rubios. Mario.- Yo tengo cabellos de color rubio. Luis.- Yo no tengo cabellos de color castaño. Si se sabe que solo uno tiene cabellos de color negro y los demás tienen cabellos de color rubio, y

C) uno su sobrino natural; y el otro, su ahijado D) uno su sobrino político; y el otro, su ahijado E) uno su sobrino natural; y el otro , su sobrino político

Resolución:

Analisis e interpretación – Pedro y Carmen son hermanos. – José y Juan son hermanos.

Estrategia de solución Construir un diagrama de parentescos con los personajes involucrados. Pasos a seguir – Construir un diagrama de parentescos. – Colocar los datos. – Determinar la relación pedida. Ejecución de la solución

Según el gráfico, "A" es sobrino natural de Carme n y, en consecuencia, sobrino político de Juan. "B" es sobrino natural de Juan. Errores comunes de los alumnos No utilizan un diagrama para resolver el problema, que es conveniente, sobre todo, en enunciados extensos y confusos.

Respuesta: E) Uno su sobrino natural, el otro político.

que solo una de las afirmaciones es incorrecta, ¿quién tiene cabellos de color negro? A ) Luis B) Elmer C) Mario D) Beto E) No se puede determinar.

4. Si la única hermana de la madre de la esposa del único hijo de mi padre es Milagros, ¿quién es respecto del otro hijo del padre de mi padre que no es mi tío, la única prima de la hija de Milagros? A ) Su nuera B) Su hermana C) Su madre D) Su consuegra E) Su tía RAZ. MATEMÁTICO

1

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

5. En una reunión familiar, Luis dijo:

"Estamos reunidos dos padres, dos madres, dos hijos y dos hijas" Míriam replicó: "Es correcto, pero también estamos reunidos un sobrino, una sobrina, un abuelo, una abuela, un nieto, una nieta, un tío y una tía".

¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? A) 6 B) 4 C) 8 D) 10 E) 12

6. Si el anteayer del mañana del anteayer del mañana del anteayer del mañana es el pasado mañana del ayer del pasado mañana del mañana de hace n días, ¿qué día es hoy si dentro de (3n)2 días será lunes? A ) Lunes B) Jueves C) Sábado D) Viernes E) Miércoles

7. En el cuadrado mágico siguiente, los números del 1 al 9 deben ser colocados uno en cada casilla. Halla A + B + C + D. A ) 15 B B) 18 A C C) 24 D) 20 D E) 25 8. En el siguiente esquema escribe los números 2, 4, 6, ..., 16, de tal manera que no haya dos números pares consecutivos en casilleros contiguos. Señala como respuesta el valor de a + b + c + d. A ) 30 a b B) 32 C) 34 D) 36 c d E) 40

9. Los números del 1 al 12 se deben ubicar en los círculos de modo que la suma en cada lado sea 23. Halla la suma de los números que no se ubican en los vértices. A ) 20 B) 72 C) 14 D) 78 E) 64 10.Ubica los números del 1 al 10, uno en cada uno de los círculos mostrados, de tal manera que la suma de los números en cada lado sea constante. Calcula dicha suma. A ) 12 B) 32 C) 43 D) 31 E) 22

11. El siguiente cuadrado mágico se debe completar con los números del 1 al 16. Encuentra y señala el valor de la suma constante. A B A ) 35 B) 45 C) 13 D C D) 34 E) 26 12. En la figura distribuye los números del 1 al 12, de modo que la suma de los números que se hallan en cada lado del cuadrado sea 22. Señala como respuesta la suma de los números que van en los vértices (a + b + c + d). A ) 12 a b B) 22 C) 10 D) 16 c d E) 18

1. ¿Cuántos palitos h ay que agregar para que resulte uno? ________________________________________ 2. ¿Con cuántos palitos como mínimo se pueden formar 4 triángulos equiláteros? ______________________ 3. ¿Cuántas personas como mínimo hay en 2 padres y 2 hijos? ____________________________________ 4. En un cuadrado mágico formado con los números del 1 al 9, la cifra central es ____ y la constante mágica es ______.

1

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

RAZONAMIENTO LÓGICO I

13. Abel, Beto, Carlos y Daniel tienen cada uno un boleto con los números 13, 16, 17 y 22, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe lo siguiente: - La suma de los números de los boletos de Abel y Beto resulta un número primo. - La suma de los números de los boletos de Beto, Carlos y Daniel resulta un número par. - La suma de los números de los boletos de Daniel y Abel resulta un número impar. ¿Cuál es la suma de los números de los boletos de Beto y Carlos? A ) 30 B) 29 C) 33 D) 39 E) 35

14. Las edades de Saúl, Luis, Juan y Paul son 16, 19, 20 y 22 años, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe lo siguiente: - La edad de Juan es igual al promedio de las edades de Saúl y Paúl. - La suma de las cifras de la edad de Paúl es un número par. Halla la diferencia positiva de las edades en años de Luis y Saúl. A) 3 B) 2 C) 4 D) 6 E) 1

15. Ubica los números: 2, 3, 4, 5, ..., 9 cual es en las casillas y sin repetir, de manera que en cada aspa del molino la suma sea la misma. Luego señala cual es la suma mínima. A ) 13 B) 15 C) 16 D) 12 E) 14

5. Si soy hijo único, el nieto de mi abuelo es ___________. 6 . Si el ayer de pasado m añana es l unes, ¿ qu é día e s ho y? ______________________________ 7. ¿Cuántas pesas como mínimo se necesitan para pesar cualquier número de kilogramos del 1 al 13? ______ 8. Dos ruedas tangentes giran en sentidos _________. 9. Si una rana cayo cae a un pozo de 10 m y salta 1 m por segundo, ¿en qué tiempo sale del pozo?_______ 10. Si el día de ayer fuese igual que el de mañana, entonces hoy sería lunes. ¿Qué día es hoy?________ ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 2

RAZONAMIENTO LÓGICO II

El presente capítulo complementa el proceso de desarrollo de tu habilidad lógica para la resolución de problemas cotidianos. Sin embargo, por muy sencillas u obvias que parezcan en su desarrollo, debes analizar cada uno de los enunciados propuestos; esto te permitirá tener mayor seguridad al momento de afrontar un examen de admisión.

De acuerdo con los datos del problema, se puede realizar un gráfico o un esquema. 1. Cuando los elementos se ubican en línea, uno al lado del otro. 2.

3.

4.

Cuanto existe una correspondencia entre elementos. Por ejemplo, si consideremos a Alberto, Beatriz y Carlos de 15, 17 y 22 años, respectivamente.

Cuando los elementos forman una línea vertical, y además, se compara su magnitud. Observación: Se puede comparar su altura o los puntajes obtenidos en sus exámenes por ejemplo. Cuando los elementos se ubican alrededor de un círculo o un polígono regular.

Problema 1 Pedro es más alto que Mario; Daniel, más bajo que Alfredo y más alto que Luis; Alfredo, más bajo que Mario; y Pedro es más bajo que Roberto. ¿Quién es el más alto?

Roberto Pedro Mario

Alfredo

Daniel Luis

Resolución:

Según el esquema:

Respuesta: Roberto.

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

A

B

C

Problema 2 Cinco amigos (A, B, C, D y E) se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente: • A se sienta junto a B. • D no se sienta junto a C. Es posible afirmar como verdaderas las siguientes proposiciones I. D se sienta, junto a A. II. E se sienta junto a C. III.B se sienta junto a D.

15

17

22

x



x



x

x

x



x

Resolución:

Una posibilidad es la siguiente: C

E

A

D B

Respuesta: FVF. RAZ. MATEMÁTICO

2

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

RAZONAMIENTO LÓGICO II

Resolución:

Según los datos, Nino no está al lado de Toño ni de Raúl ni de Félix.

Problema 3 Seis amigos se ubican alrededor de una fogata: Toño no está sentado al lado de Nino ni de Pepe; Félix no está sentado al lado de Raúl ni de Pepe; Nino no está al lado de Raúl ni de Félix; Daniel está junto a Nino, a su derecha. ¿Quién está sentado a la izquierda de Félix?

1. Raúl, Carlos, Pedro y Bruno tienen

diferentes profesiones: ingeniero, profesor, abogado y médico; pero ninguno en ese orden. Se sabe lo siguiente:

• Carlos, el abogado y el médico juegan fútbol.

• Raúl, el médico y el abogado juegan ajedrez

¿Qué profesión tiene Pedro?

A ) Ingeniero B) Médico C) Abogado

E) Contador

D) Profesor

2. Si son 4 hermanos, de los cuales

Juan ti ene 2 años m ás que

Alberto, Miguel 3 años más que Alberto, y Alberto 2 años más que Mario, ¿quién es el mayor y quién es el tercero?

A ) Miguel - Juan

B) Juan - Alberto

C) Miguel - Alberto D) Juan - Mario

E) Alberto - Mario 3.

Se sabe que se realizan 5 actividades

(A, B, C, D y E), una por día, desde el lunes hasta el viernes, y presentan las siguientes características.

• B se realiza después de D.

• C se realiza 2 días después de A. • D se realiza jueves o viernes.

¿Qué ac tividad se realiza el

2

miércoles?

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

Raúl

Toño

Respuesta: Daniel.

Félix

Pepe

izquierda Nino

A) E C) C E) A

derecha

Daniel

B) D D) B

4. Un empleado de Serpost recibe 5 paquetes: A, B, C, D y E. Estos, al ser pesados, dan la siguiente información: • El paquete E pesa más que el paquete A. • El paquete B no pesa más que el paquete E. • El paquete C no pesa menos que el paquete E. • El paquete D pesa más que el paquete E. Por lo tanto, es cierto: I. C pesa menos que D. II. A pesa más que B. III. C pesa más que A. A ) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) II y III

5. En una mesa circular, hay seis asientos sim étricamente colocados. En estos se sientan 6 amigas a jugar monopolio. Si Lucía no está sentada al lado de Leticia ni de Juana, María no está al lado de Cecilia ni de Juana, Leticia no está al lado de Cecilia ni de María e Irene está, junto a Leticia (a la izquierda de esta), ¿quién está sentada junto y a la izquierda de María?

A ) Lucía

B) Leticia C) Irene

D) Cecilia

E) Faltan datos. 6. Seis amigos (A, B, C, D, E y F) se

sientan alrededor de una mesa circular en seis asientos distribuidos simétricamente.

Presentan la siguiente distribución: • D no se sienta junto a B.

• A se sienta junto a B (a la derecha de B) y frente a C.

• E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F?

A) C y E

C) A y D E) B y E 7.

B) C y B

D) C y A

Felipe, Marco, Pedro, Daniel y

Carlos harán una encuesta en cinco distritos de Lima: La Molina, San

Isidro, Pueblo Libre, Lince y Miraflores, cada uno en un distrito

diferente. Además se sabe lo siguiente:

• Felipe irá a La Molina, pero Marco la hará en su propio distrito.

• Las suegras de Pedro y Daniel viven en San Isidro, motivo por

el que ellos no aceptan ir a ese distrito.

• Marco vive en Lince y es el único que encuesta en su distrito.

• Daniel vive en Pueblo Libre. ¿Dónde encuesta Carlos?

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RAZONAMIENTO LÓGICO II A ) La Molina

esta), ¿quién está entre Adán y

C) San Isidro

tos?

B) Miraflores

David si no hay dos hombres jun-

D) Lince

A ) La esposa de David

E) Pueblo Libre

B) La esposa de Adán

8. Pablo repartió monedas de S/.0,5;

S/.1; S/.2 y S/.5 la esposa entre

sus cuatro hijos, una a cada uno. Si se sabe que dijeron: César: "Yo recibí S/.5";

Andrés: "Yo recibí S/.1";

José: "César recibió S/.0,5"; y Benito: "Yo recibí S/.0,5";

y solo uno de ellos miente y los

otros dicen la verdad, ¿cuánto suman las cantidades que recibieron César y Benito?

A ) S/.5,5

D) La esposa de Carlos E) Benito

11. Un policía estaba convencido de

que de los cuatro detenidos,

Ángel, Ronaldo, Pedro y David, cuyas edades son, respectivamente 30, 32, 34 y 36 años tres de ellos robaron la casa de Car-

los. Al ser interrogados, respondieron:

– Ángel: "Yo no robe".

B) S/.6

– Ronaldo: "Ángel miente".

C) S/.7

– Pedro: "Ronaldo miente".

D) S/.3

– David: "Ronaldo robó".

E) S/.2,5 9. Un viajero llega a una isla en la que todos sus habitantes dicen la ver-

dad los lunes, los miércoles, los viernes y domingos, mientras que los

demás días de la semana siempre mienten. El viajero mantiene el si-

guiente diálogo con un nativo de la isla:

Viajero: ¿Qué día es hoy? Nativo: Sábado.

Viajero: ¿Qué día será la feria artesanal?

Nativo: Será mañana, miércoles.

¿Qué día de la semana es realmente? A ) Martes C) Jueves E) Sábado

C) Carlos

B) Miércoles D) Viernes

10. Adán, Benito, Carlos y David fueron a cenar en compañía de sus respectivas esposas. En el restaurante se sentaron alrededor de una mesa circular. Si ningún marido se sentó junto a su mujer, y en frente de Adán se sentó Carlos; y Benito se sentó junto a la esposa de Adán (a la derecha de

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Si se sabe que solo uno de ellos

dice la verdad, ¿cuál es el promedio

de las edades de las personas que robaron a Carlos? A ) 32 años B)

gio, dos hermanas gemelas de nom-

bres Nena y Nina se presentan a sus compañeros. Una de ellas dice: «Yo soy Nena» y la otra comenta:

«Si lo que ella dice es cierto, yo

soy Nina». Si una de las dos miente

siempre y la otra nunca lo hace, ¿cual es el nombre de la sincera? A ) Nina

B) Nena

C) No se puede precisar. D) Las dos son sinceras. E) Ninguna es sincera.

14. Cinco varillas verticales (P, Q, R, S

y T) están alineadas e igualmente espaciadas. Al empujar, una después de otra, las varillas P y T ha-

cia el centro, las varillas Q y S caen, pero R no. Luego, la relación entre sus longitudes es: A) P < Q  T < S B) P > Q  T < S C) P < Q  T > S

33,3 años

C) 34 años

D) P > Q  T > S

D) 35 años

E) P < S  T > Q

E) 36 años 12. Sobre los lugares de nacimiento

de tres parejas de esposos, se sabe lo siguiente:



13. En el primer día de clase en el cole-

Dos personas nacieron en Ica, dos nacieron en Lima y dos nacieron en Tacna.



Los varones no son del mismo



Luis es iqueño y la esposa de



No hay pareja de esposos que

lugar.

José es Tacneña.

sean del mismo lugar.

15. Se tienen ordenadas en fila 5 car-

tas, todas de diferente puntaje y figura, a excepción de dos cartas

que poseen la misma figura de espadas. Además se sabe: las cartas

del mismo color no están juntas; el

dos se encuentra entre las espadas; a la siniestra de la carta de co-

razones está el trébol; el rey está a

la derecha del as y junto a la reina,

que está a su vez a la derecha de la carta de diamantes. ¿Qué carta se encuentra en el centro?

¿ Donde nacieron, respectiva-

A ) Reina de tréboles

A ) Tacna – Ica

C) As de tréboles

mente, Pedro y la esposa de Luis? C) Ica – Lima

E) Tacna – Lima

B) Lima – Ica

D) Lima – Tacna

B) Reina de corazones D) Rey de diamantes E) Reina de espadas

RAZ. MATEMÁTICO

2

TEMA

RAZONAMIENTO RAZONAMIENTOLÓGICO LÓGICOII II

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

1. Si A es mayor que B, pero menor que C, ¿quién a su vez es menor que D y ¿quién es el menor de todos? ________________________________________________________________________________________

*

Walter y el que practica ajedrez se conocen desde hace mucho tiempo y van a la casa de Óscar para ver sus trofeos de básquetbol.

3. Si A nació 5 años después que B, y B nació 5 años antes que C, entonces ______________________.

Luis sufrió una lesión, producto de una jugada brusca que terminó en gol. Armando va a todos lados con su

4. Según el cuadro: Nº. de pollos N º. de

conejos

15

Nº. de patas 40

¿Cuántos animales hay?_______________________ 5. Coloca en un cuadro la información siguiente: Ayer tuve S/.30, hoy tengo S/.10 y mañana tendré el doble de lo que tuve ayer, y tú tienes el doble de lo que Yolanda tiene y tenías la mitad de lo que yo tengo, que es la tercera parte de lo que tendrás.

2

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

básketbol, tenis, billar y ajedrez, pero ninguno en ese orden.

2. Si todos los jovenes son osados y todos los estudiantes son jovenes, entonces _______________________ ________________________________________.

Nº. de cabezas

Walter, Armando, Óscar, Javier y Luis practican fútbol,

tablero, pues quiere mejorar su juego.

6. ¿Quién practica billar? ______________________ 7.

¿Qué deporte practica Javier? _________________

8. ¿Qué deporte practica Armando? ______________ 9. ¿Quién practica fútbol?______________________

10. ¿Quién practica básquetbol? ___________________

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 3

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

En esta parte del curso, estudiaremos el razonamiento inductivo, muy usado en nuestra vida cotidiana, y lo aplicaremos

en la resolución de problemas matemáticos. Nos va a servir como una herramienta en cualquier parte del curso, ya que nos va a indicar el procedimiento que se debe seguir.

Tipo de razonamiento que, sobre la base de experiencias sencillas, permite llegar a conclusiones generales; es decir, mediante el análisis de situaciones sencillas, pero con las mismas características del problema original, es posible llegar a conclusiones con amplia probabilidad de certeza.

Observación:

La falsa inducción ocu rre cuando se llega a conclusiones generales que no siempre son ciertas.



Problema 1 Calcula el valor de "A" y señala como respuesta la suma de su cifras. 2

 333 A  333  20 cifras

Pre San Marcos, 2002

A ) 100 D) 180

B) 120 E) 200

Nivel díficil

C) 160

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Resolución:

Observa que el cálculo que se pide se complica solo porque el número de la base tiene muchas cifras. Entonces, mediante la aplicación de inducción, se analizarán casos sencillos, con menos cifras en la base, y se realizará el cálculo. 2 3   9   cifras  9  9 (1)

1 cif.

2 33   1089   cifras  18  9 (2)

2 cif.

2 333   110 889   cifras  27  9(3)

3 cif.

2

3333   111 088 89   cifras  36  9(4) 4 cif.

RAZ. MATEMÁTICO

3

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

Se observa que la suma de cifras en cada caso tiene una forma repetida: "9", por la cantidad de cifras de la base. Luego: 2

33 33      20 cifras

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Resolución:

Observar los siguientes casos sencillos:

  cifras  9(20)  180

Problema 3

Calcula la suma de cifras del resultado 111 111 111 de efectuar  9 cifras

2

Pre San Marcos 2001

A ) 81 D) 200

Respuesta: D) 180.

Problema 2 Cuenta el número de palitos:

B) 91 E) 301

Nivel intermedio

C) 101

Resolución:

Por inducción:

Nota que, en cada caso sencillo, se ob-

tiene el número de palitos, multiplican-

do los dos últimos números de cada figura. Entonces, para la figura del proSan Marcos, 1995

A ) 1250 D) 5620

B) 2450 E) 7820

blema, se concluye lo siguiente:

C) 3250

en forma de L. Calcula la suma de los números ubicados en el último "PASAJE".

A ) 76 B) 80

C) 81 E) 85 3. Halla la suma de las cifras del resultado de

A ) 3600

B) 3660

C) 3200 D) 4200 E) 4500

2. ¿Cuántos cuadrados se pueden contar en la posición número 20?

E  888...88    9

A) B) C) D)

270 80 30 90

E) 150

30 cifras

4. Halla la suma de las cifras del resultado de:

9 87 654 321

  cifras  92  81

Respuesta: A) 81.

A) B) C) D) E)

D) 75

RAZ. MATEMÁTICO

9 cifras

Respuesta: B) 2450.

números distribuidos en "PASAJES"

3

2 111 111 111  12 345 678 

Nivel fácil

1. El gráfico muestra un conjunto de

TEMA

Luego:

1 3 6 9 12

L  (100 ...005)2  30 cifras

5. Halla la suma de las cifras del resultado de

A  101 01...0101  372  37 cifras

A ) 50 B) 70

C) 90

D) 150

E) 190 6. En la figura se utilizaron 400 esferas. ¿Cuántas de estas hay en la fila x?

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Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

. ... ...

Fila x

...

... ... .

10. Se cumple: Calcular: U + N + M + S

... ... .

...

. ... ...

A ) 10 B) 11

C) 15

A ) 1540

D) 16

A ) 10

B) 1560

E) 19

B) 15

C) 18

11. Halla la suma del primer y el último

E) 20

siguiente triángulo numérico:

D) 25

7.

UNMSM  99 999  ...78 647

término de la fila nº 30, en el

Si

13

7

3

15

1 9

5

11 17 19

C) 1620 D) 1640 E) 1680 14. ¿Cuántos puntos de contacto hay en la figura de posición 20?

A ) 1800

B) 2050

C) 2460 calcula el valor de "x" si A ) 15

A ) 540

D) 2700 E) 2980

B) 570

12. Calcula el resultado de sumar todos

B) 18

los números de la siguiente matriz:

C) 20

D) 21 E) 26 8. Si:  a  b  c   a25, 2

Calcular: A  ab3  c2b  4ac  bca.

          

2

8 ... 59   5 8 11 .   8 11 14 .  . .  .  . .  .  59... ... ... ... 

A ) 2088

A ) 43 200

C) 1988

C) 11 800

B) 2078

D) 2080 E) 1908 9. Si

n

5

A ) 14 B) 15

C) 16

D) 17 E) 18 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

D) 610

E) 630 15. Señala cuántos triángulos se

cuentan en total en la siguiente figura:

B) 21 600

D) 47 200 E) 23 600

A ) 1800

UNMS  n,

halla: U + N + M + S + n

C) 480

13. ¿Cuántos palitos son necesarios para formar la figura de la posición

20, si se sigue la secuencia mostrada?

B) 1810

C) 1820 D) 1830 E) 1860 RAZ. MATEMÁTICO

3

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

1. La inducción es una manera de razonar, que, a partir

de la observación de casos ___________, conduce al descubrimiento de casos ___________.

2. Por lo general, es necesario analizar como mínimo

_____________ casos particulares y sencillos para

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

7.

Si m + n + p = 24,

entonces: nm  nn  pp  ________ .

8. Señala de cuántas formas se puede leer la palabra PAMER en la siguiente figura:

concluir un caso general.

3. Si (15)2 = 225; (25)2 = 625; (35)2 = 1225, entonces

se puede concluir que al elevar al cuadrado todo número que termina en 5, el resultado termina en _____________.

4. 12 = 1

112 = 121

2

–1



9. Señala de cuántas formas se puede leer la palabra

EXIGE en la siguiente figura:

1112 = 12 321

11112 = 1 234 321

Luego: 1 111 1122 = ____________ 5. Deducción es el modo de razonaren el que a partir

de un caso ________, se obtiene una conclusión ___________.

6. Todos los hijos de Armando son valientes. Marvin es hijo de Armando.

Por lo tanto, se puede concluir que Marvin es _________.

3

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

3

–1



10. Cuando un ejercicio es operativo y los casos se distribuyen de acuerdo con una formación recurrente o ley de formación, entonces existe la posibilidad de aplicar el método ________________.

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 4

PLANTEO DE ECUACIONES I

El tema de planteo de ecuaciones es particularmente importante debido a su alta incidencia en los exámenes de admisión. El objetivo de este capítulo es traducir matemáticamente lo que está escrito literalmente en el problema. A esta traducción

se le conoce como ecuación. Luego de esto, la labor consiste en resolver las ecuaciones para las respuestas del problema.

Enunciado

Traducción

Lenguaje matemático (ecuaciones)

Observamos a continuación algunos ejemplos de pequeñas frases u oraciones traducidas del lenguaje literal al lenguaje matemático:

LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADOS) 1. La suma de tres números consecutivos es 153. 2. La edad de Ángel es dos veces la edad de Beatriz. 3. La edad de Ángel es dos veces más que la edad de Beatriz. 4. Yo tengo la mitad de lo que tú tienes, y él tiene el triple de lo que tú tienes. ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

LENGUAJE MATEMÁTICO (SÍMBOLOS) x + (x + 1) + (x + 2) = 153 Ángel

2x años

Ángel

3x años Yo x



2x

Beatriz

x años

Beatriz

x años Él

6x RAZ. MATEMÁTICO

4

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

PLANTEO DE ECUACIONES I

5. El triple de un número aumentado en 10.

3x + 10, donde x es el número

6. El triple de un número aumentado en 10.

3(x + 10), donde x es el número

7. El exceso de A sobre B es 50.

A – B = 50

8. En una reunión hay tantos hombres como el doble del número de mujeres.

Hombres Mujeres

2x

9. He comprado tantas camisas como soles cuesta cada una.

 Compro x camisas  Cada una cuesta S/.x

10.Jorge tiene S/.50 más que Javier.

Jorge

S/.(x+50)

Javier S/ x

Sean los números: A y B

11. La relación que hay entre 2 números es de 2 a 5.

A B  A  2K   2 5 B  5K

A = 3K; B = 4K; C = 5K

12. Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente. Lo que se ha mostrado son ejemplos de cómo se puede representar simbólicamente en el lenguaje matemático un fragmento de enunciado.

x

Ya que para encontrar la respuesta a un problema se debe resolver una o más ecuaciones, es necesario que el estudiante haya aprendido plenamente a resolver ecuaciones en sus diferentes formas. Observación:

Para resolver un sistema de ecuaciones; es conveniente recordar que existen varios métodos, por ejemplo:

 



método de igualación;

método de sustitución;



método de determinantes.

Por lo tanto, antes de resolver los problemas que se presentan a continuación conviene primero resolver, a manera de práctica los siguientes ejercicios: 1. Halla x en

   

4

método de reducción;



Una frase u oración puede ser representada simbólicamente de una o varias maneras. El estudiante debe proceder según requerimientos de cada problema en particular.

TEMA



RAZ. MATEMÁTICO



1 1    x  1  2   1  4 23 



30 30   4,5; x   x  2 x 1

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Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

PLANTEO DE ECUACIONES I 2. Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones: 2x  3y  20  x  y  18 •  •   x  2y  12 2x  y  6 •

 3x  4y  8  2x  3y  11



3. Resuelve:

 x  y  z  12   x  4y  z  3  3z  5y  z  9

• 4x2 + 4x – 15 = 0

• x2 – 49x + 600 = 0 4. Halla el valor entero y positivo de x en • x(x + 2) = 168

• (x – 2)(x + 2) = 96

• (x – 1)(x)(x + 1) = 504

• x2 – 12x + 27 = 0

• (x – 2)(x)(x + 2) = 192

• 3x2 + 5x – 84 = 0

Problema 1 Si anteayer tuve el triple de lo que tengo hoy, y lo que tengo hoy es el doble de lo que tenía ayer, que fue S/.50 menos que anteayer, ¿cuántos soles debo agregar a mi dinero para poder comprar un pantalón que cuesta S/.60? San Marcos, 1999 Nivel fácil

Resolución:

Según el enunciado, se tiene:

Resolviendo: x = 60  la escalera tiene 60 escalones.

Respuesta: 60.

Problema 3 Un niño le dice a su amigo: "Dame 5 de tus canicas, y tendremos tanto el uno como el otro". Este le responde: "Dame 10 de las tuyas, y tendré dos veces más de las que te queden". ¿Cuántas canicas tiene el niño? San Marcos, 1998

Anteayer  Ayer Hoy    S S/.6x S/.6x /.6x S/.S/. x x S/.2x S/.2x

Nivel difícil

Por dato: 6x – x = 50  x = 10 Luego, hoy tengo: 2(10) = S/.20  debo agregar 60 – 20 = S/.40

Resolución: Niño

Respuesta: S/.40.

Amigo

Problema 2 Si al subir una escalera de 4 en 4 escalones doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones, ¿cuántos escalones tiene la escalera?

San Marcos, 2001 Nivel intermedio

Resolución:

De lo que dice el niño: a+5=b–5  a + 10 = b ... ...(I) De lo que dice el amigo: 3(a – 10) = b + 10 ... ...(II)

En el primer caso, se dieron 3 pasos más que en el segundo caso; por lo tanto:

x x  3 4 5

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Reemplazando (I) en (II):  3(a – 10) = a + 10 + 10 Resolviendo

a = 25

 el niño tiene 25 canicas.

Respuesta: 25.

RAZ. MATEMÁTICO

4

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

1. Si el peso de dos vagones es igual, y el primer vagón se carga con

9000 kg, y el segundo se carga con 1500 kg y resulta el peso total del primer vagón el doble del peso

total del segundo, ¿cuál es el peso de cada vagón? A ) 6000 kg

C) S/.115

A ) 24

E) S/.118

C) 40

de damas. Pero si después se retiran 8 parejas, y el número de caballeros ahora es igual a 5 veces

B) 48

C) 30

E) 6200 kg

D) 25

2. El perímetro de una sala rectangular

es 56 m. Si el largo se disminuye

E) 15

en 4 m y el ancho aumenta en sala rectangular.

4 caramelos; pero, para que cada

B) 22 m x 12 m D) 18 m x 10 m

Gisela, pero luego Gigi le prestó

cierta suma a Gisela, por lo que ahora Gisela tiene el triple de lo que le queda a Gigi.

Si el préstamo que pidió Gisela excede en S/.14 a lo que tenía inicialmente Gigi?

¿ c u án t o

A ) S/.110

B) S/.112

4

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

t en í a

solo se pudieron vender 44 boletos,

lo que originó una pérdida de S/.40. Halla el precio de cada boleto y los

precios de los premios. Toma en

cuenta que también se sabe que la radio cuesta S/.40 más que la plancha.

A ) S/.5, S/.110, S/.150

B) S/.10, S/.120, S/.160 D) S/.5, S/.120, S/.160

E) S/.4, S/.110, S/.150

entre el número de caramelos y el

12 manzanas junto con 30 peras.

A ) 103

3. Tenía Gigi el doble de lo que tenía

plancha, se hicieron 100 boletos

8. En una canasta pueden entrar 24

número de hijos que tengo.

E) 13 m x 18 m

Para ganar S/.240 como producto

de, la rifa de una radio y una

uno pueda recibir 14 caramelos, me faltan 14 caramelos. Halla la diferencia

C) 20 m x 18 m

ini ci al m ent e,

5. Si repartiera 12 caramelos a cada uno de mis hijos, me sobrarían

A ) 20 m x 8 m

7.

C) S/.10, S/.110, S/.150

8 m, los lados de la sala se hacen

iguales. Halla las dimensiones de la

E) 50

caballeros como 3 veces el número

A ) 35

D) 8000 kg

D) 46

4. En una reunión se cuentan tantos

caballeros había inicialmente?

C) 6500 kg

B) 36

D) S/.120

el número de damas, ¿cuántos

B) 5000 kg

PLANTEO DE ECUACIONES I

B) 100 C) 105 D) 104

E) 102 6. D o s n i ñ o s h a n r e c o r r i d o e n

to tal 6 4 met ros , y, en tre l os

dos han dado 100 pasos. Si cada

paso del primero mide 50 cm y cada paso del segundo mide 70

cm, ¿cuántos pasos más que el primero ha dado el segundo?

manzanas junto con 20 peras o solo

Si se colocan solo peras, ¿cuántas pueden entrar en la canasta? A ) 35 B) 40

C) 44 D) 48 E) 60

9. Si con S/.300 pueden ingresar 5 personasmásdelasqueingresan normalmente al teatro, entonces una docena de entradas costaría S/.36 menos. ¿Cuánto cuesta en soles cada entrada al teatro? ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

PLANTEO DE ECUACIONES I A ) S/.12

A ) 10

A ) 10

C) S/.20

C) 9

E) 15

C) 9

B) 14

B) S/.15

D) 12

D) S/.25

10. Jesús lanza 3 dardos a cada una de las 4 dianas. Si él obtiene 29 puntos en la primera diana, 43 en

la segunda y 47 en la tercera,

¿cuántos puntos obtiene en la cuarta diana?

D) 8

14. Si la siguiente figura representa un cuadrado, calcula su área.

E) 13

E) S/.24

B) 6

12. En una reunión el número de hombres es al número de damas como 4 es a 5. Si se retiran 8 parejas de esposos, la nueva relación es de 2 a 3. Si se sabe que solo asistieron 23 de los invitados, ¿cuántos invitados no asistieron? A) 8

B) 22 A ) 33 C) 40

E) 30

B) 36

D) 27

11. En una familia, el hermano mayor dice: "El número de mis hermanos varones es el triple del de mis

hermanas", y la hermana mayor dice: "tengo 8 hermanos varones más que her manas ". ¿Cuántos hermano s en total hay en la familia?

B) 4

C) 1

D) 25

D) 25

E) 16

E) 23

15. En una reunión se compra platos

de comida y se gasta abab soles.

13. Si a un número par se le suman los dos números pares que le siguen y los dos números impares que le preceden, se obtiene 4 veces dicho número aumentado en 20. Halla el número y señala como respuesta el producto de sus cifras.

1. Una ecuación es una relación de ______________ entre dos expresiones algebraicas que tienen como mínimo _________________________________. 2. Completa el siguiente esquema:

A) 9

C) 24

Si cada porción costó S/.17, halla

la suma de todos los posibles valores que adopta ab. A ) 245 C) 275

E) 255

B) 230 D) 240

Representa los siguientes enunciados: 3. La suma de dos números consecutivos más 5:

_______________________________________

4. El cuadrado de la suma de dos números:

_______________________________________

5. La suma de los cuadrados de dos números:

_______________________________________

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RAZ. MATEMÁTICO

4

TEMA

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6. El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20:

_______________________________________

7.

Alicia tiene dos veces más de lo que tiene Betty:

_______________________________________

8. Escriba verdadero (V) o falso (F) según corresponda de acuerdo con lo propuesto: A –B = 4

A ) A excede a B en 4.

B) A es mayor que B en 4.

C) B es excedido por A en 4.

(

(

(

D) La diferencia entre A y B es 4. (

4

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

)

)

)

)

PLANTEO DE ECUACIONES I

9. A = 3K

B=5K

A ) A es a B como 3 es a 5.

(

C) A es a 3 como B es a 5.

(

B) La relación entre A y B es 3/5. (

)

)

)

10. Señala que ecuación o ecuaciones representa(n) correctamente el enunciado: "El producto de cinco números consecutivos es m". I.

II.

(x)(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = m (a – 2)(a – 1)(a)(a + 1)(a + 2) = m

III. (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)(n + 5) = m A ) Solo I D) I y III

B) Solo II E) Todas

C) I y II

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 5

PLANTEO DE ECUACIONES II

Ecuaciones Diofánticas

La ecuación es el lenguaje de las matemáticas y, como tal, es una herramienta fundamental para la resolución de problemas que se relacionan con nuestra vida diaria.

Plantear una ecuación es todo un arte que consiste en que el enunciado de cualquier problema sea interpretado, comprendido y luego expresado en una ecuación matemática, que dará la solución al problema planteado.

Para realizar un correcto planteo de ecuaciones, es necesario interpretar apropiadamente el enunciado del problema, que implica conocer cómo simbolizar algunos fragmentos.

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RAZ. MATEMÁTICO

5

TEMA

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5

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

PLANTEO DE ECUACIONES II

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PLANTEO DE ECUACIONES II

 



   

Problema 1

Si Juan cobra en un banco un cheque

por S/.2700 y le pide al cajero que le

entregue cierta cantidad de billetes de S/.10, veinte veces dicha cantidad en

billetes de S/.20 y el resto en billetes

de S/.50, ¿cuántos billetes en total recibió Juan? A ) 118

B) 120

Se pide cuántos soles más se necesitan para dar S/.12 a cada joven.

 x 5

Se reemplaza en ():

Sea "x" el número de jóvenes.

41(5) + 5y = 270

y = 13

Total de billetes = 21(5) + 13 = 118

Respuesta: A) 118.

San Marcos, 2008

Nivel intermedio

Resolución:

 x  5 ; x  6, 5

Observación:

Respuesta: B) 22.

Problema 2

Se desea repartir una cantidad en

Problema 3

jóvenes. Si se diera a cada joven

hombres y mujeres. Si 8 mujeres

S/.15, faltarían S/.70, pero sí dieran

S/.10 , s obr a r í an S/.10 . ¿ Cu án t o s

410x + 50y = 2700

41x + 5y = 270......()

Se aplica multiplicidad por 5:

     5  1  x  5  5 ; 41x  270  

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Si a los jóvenes se les entrega S/.12 a

 Se necesita. 192 - 170 = S/.22 más



3

soles entre un cierto número de

10x + 20 (20x) + 50y = 2700

Dinero = 10x + 10 = S/.170

16(12) = S/. 192

E) 124

Total de billetes = 21x + y

x = 16

Entonces hay 16 jóvenes.

entregar es:

D) 218

Se pide:

15x – 70 = 10x + 10

cada uno , el total que se debe

C) 130

Resolución

El dinero que se debe repartir es:

soles más necesitan para dar S/.12 a cada joven? A ) 59 B) 22

C) 23 D) 57 E) 25

San Marcos, 2009–II

Nivel medio

En una competencia, participaron abandonaron la competencia, y quedaron 2 hombres por cada mujer,

y Luego se retiraron 20 hombres y quedaron 3 mujeres por cada hombre,

¿con cuántas personas se inició la competencia? A) B) C) D)

40 46 44 34

San Marcos, 2009–II

Nivel difícil

E) 42

RAZ. MATEMÁTICO

5

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento Resolución:

Piden al número de personas al inicio de la competenecia.

PLANTEO DE ECUACIONES II Pero al final quedaron 3 mujeres por cada hombre. Entonces se plantea:

2k – 20 k  1 3 k = 12 La competencia se inició con

(2k) + (k + 8) = 3k + 8 = 44 personas.

Respuesta: C) 44.

1 . En un baile hay 52 personas. Una p r i m e r a d a m a b a i l a c o n 5 caballeros; una segunda dama baila con 6; una tercera, con 7; y así sucesivamente hasta que la última baila con todos los caballeros. ¿Cuántas damas hay en el baile? A ) 28 B) 30

D) 24

2. Un frutero que llevaba naranjas al mercado decía: Si vendo cada una

a "R" soles, compro una licuadora y me sobran "X" soles, pero si

vendo cada una a "T" soles (R > T), compro la licuadora y me sobran

¿Cuántas naranjas

llevaba a vender?

XY C) R  T

XY E) T R

XY B) R  T XY D) R  T

3. En una tribu india del Amazonas, donde todavía subsiste el trueque,

5

TEMA

za se cambian por un escudo, una

A ) S/.25 cént.

¿Cuánto vale cada níspero?

lanza se cambia por un collar y un

B) S/.30 cént.

cuchillo, y dos escudos se cambian

C) S/.40 cént. D) S/.35 cént.

por tres cuchillos. ¿A cuántos collares equivale una lanza? A) 4

E) S/.20 cént.

B) 5

6. Los gastos de 15 excursionistas

D) 7

pagar por en partes iguales. Pero,

ascienden a S/.375, que debían en el momento de cancelar la

E) 8

E) 26

XY A) R  T

costarí a S/.90 cént. menos.

cias de cambio: un collar y una lan-

C) 6

C) 32

"Y" soles.

se tienen las siguientes equivalen-

RAZ. MATEMÁTICO

cuenta, faltaron algunos de los

4. Si se posaran (n–1) gorriones en

viajeros; motivo por el que cada uno de los presentes tuvo que abonar

cada un o de los "n" postes sobrarían 10 gorriones, pero si en

S/.12,5 más. ¿Cuántos no estuvieron

cada poste se posaran 3 gorriones

presentes en el momento de pagar

más, quedarían 2 postes vacíos.

la cuenta?

Calcula el número de postes y de

A) 4

gorriones y da como respuesta la

B) 5

suma de ambos.

C) 6

A ) 200

D) 7

B) 202

C) 204 D) 206

E) 508

E) 10 7.

Un comerciante compra cuadernos

a razón de 3 cuadernos por S/.12 y cuando los vende lo hace a razón

de 10 cuadernos por S/.48. 5. Si por S/.2,00 dieran 6 nísperos

más de lo que dan, la docena

¿Cuántos cuadernos debe vender

para obtener una ganancia de S/.600?

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

PLANTEO DE ECUACIONES II A ) 700

apretones de manos y 34 besos,

9 pisos. Si se aprieta el botón

C) 750

número de varones y de mujeres

pisos por encima, el ascensor se

B) 720 D) 600

E) 800 8. En una reunión social a la que

asistieron hombres y mujeres se notó que 50 hombres eran

mayores de 25 años. Por otro lado,

hay tantas personas mayores de 25 años como mujeres menores

de 25 años, y el nú mero de mujeres mayores de 25 años

excede en 10 a los hom bres menores de 25 años y, en total, el número de hombres es menor en

30 que el número de mujeres. ¿Cuántas personas asistieron? A ) 100

B) 120 C) 150 D) 180

E) 200

calcula la difer encia entre el en dicha fiesta. A) 1

su ficient es pis os por debajo.

C) 3

¿Cuántas veces como mínimo

D) 4

deberá apretar los botones una

E) 5

persona para subir del piso 0 al 11

11. En una caja marrón, se han metido

10 cajas blancas y en cada una de estas o se han metido 3 cajas rojas

o no se ha metido ninguna, y en

Si en la venta obtuvo S/.460, ¿cuál fue la ganancia total en soles

final se tienen 10 cajas llenas, de

las cual es 2 cajas son rojas, ¿cuántas cajas vacías hay? A ) 21 C) 22 E) 36

B) 24

D) 19

Después de la calificación, se aprobados fue A y de los desaprobados D. Si la nota promedio

de los N alumnos fue P, ¿cuántos aprobaron el curso? A)

B) S/.205

C)

C) S/.210 D) S/.215 E) S/.220 10. En una fiesta, un grupo de personas

N(P  D) A D

N(A  P) D

E) NA – PD

B) D)

NP A

PA ND

varones se dan un apretón de

del edif i ci o s o lo t ien e do s

saludan dos mujeres o una mujer

y un varón, se dan un beso en la mejilla. Si en total hubieron 21 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

sus hijos de la siguiente manera: al

parte del resto; al segundo le da S/.2A más la enésima parte del

resto; al tercero, S/.3A más la enésima parte del resto; y así

sucesivamente. Si al f inal se observó que cada hijo recibió la misma

cantidad,

asciende la herencia? A ) A(n – 1)2 C) A(n + 1)

2

E) A(n + 2)3

¿a

cuánto

B) An 2

D) A(n – 2)2

15. Un grupo de campesinos debían se-

gar dos prados, uno de doble de superficie respecto del otro. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande. Después

de la comida, la mitad de la gente se quedó en el prado grande, y la otra mitad trabajó en el pequeño. dos los dos prados, pero quedó un

13. U n e di fic io ti ene s us pis o s

manos; pero, cada vez que se

E) 15

Durante esa tarde fueron termina-

se saludan de la forma siguiente:

cada vez que se saludan dos

D) 14

primero le da S/.A más la enésima

obtenida por el ferretero? A ) S/.200

B) 12

C) 13

no se ha metido caja alguna. Si al

ha metido 1 caja amarilla vacía o

observó que la nota promedio de

vendió el resto a S/.10 cada uno.

A ) 11

14. Un padre reparte su herencia entre

Vendió la mitad a S/.6 cada uno; total a S/.9 cada uno; y, por último

utilizando el ascensor?

cada una de estas cajas rojas se

12. N alumnos dieron un examen.

luego vendió la tercera parte del

rompe, y lo mismo ocurre cuando

se aprieta el botón verde y no hay

B) 2

9. Un ferretero compró un lote de

desarmadores a S/.4 cada uno.

amarillo cuando no hay suficientes

numerados del 0 al 25. El ascensor

bot o n es : u no amar il lo y u n o

verde . Al apret ar el bot ó n

amarillo, asciende 7 pisos, y al apretar el botón verde, desciende

reducido sector del prado pequeño

cuya siega ocupó el día siguiente

completo a un solo campesino. ¿Cuántos eran los campesinos en total? A) 8

C) 12 E) 6

B) 16

D) 10 RAZ. MATEMÁTICO

5

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

Si

A = 2K

PLANTEO DE ECUACIONES II

Establece la correspondencia:

B = 7K

escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6. El producto de tres números pares consecutivos

1. "B" es a "A" como 2 es a 7. ........... (

)

7.

2. "A" es a "C + B" como 1 es a 6. ......(

)

C = 5K,

3. La relación entre B y el doble

de C es de 7 a 10. ....................... (

4. Por cada 10 fichas de C

hay 4 fichas de A. ....................... (

5. El doble de A es equivalente

al quíntuplo de C. ........................ (

5

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

)

x 9 ................ ( 2

La suma de tres números

2

1  1  a b  

consecutivos

........... (

)

x9 ............... ( 2

)

a(a + 2)(a + 4) ...... (

)

8. La mitad de mi edad más 9 años

9. La mitad de la suma de mi )

)

edad más 9

10. El cuadrado de la suma

)

de las inversas de a y b

x + (x+1) + (x+2) .(

)

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – TEMA 6

EDADES

¿De donde viene el calendario que usamos actualmente?

Un calendario es una manera de medir el tiempo, una manera inventada, por supuesto, por los humanos. Así actualmente, el tiempo se divide, por la convivencia, en días, semanas, meses y años. Cada cultura ha diseñado su propio calendario, pero casi todos los que han existido se basan en los movimientos de la Tierra y una de sus consecuencias más importantes en lo que a la medición del tiempo se refiere, las apariciones regulares del Sol y de la Luna.

Actualmente usamos el calendario gregoriano. Este ca-

lendario suponía que cada año dura 365 días y 1/4, por lo que la adición de un día extra cada cuatro años es suficiente en su teoría. Sin embargo, ya entonces se sabía que la duración real de un año es algo más corta. Hoy en día se cifra en 365,24219 días. La diferencia entre este valor y 365,25 no es muy grande: 0,00781 días, que equivalen a unos 11 minutos y 1/4. Pero se acumulan a lo largo del tiempo: al cabo de mil años es de 0,00781 x 100 = 7,8 días. En la iglesia católica se habló sobre la necesidad de reformar el calenCantidad Mes dario durante más de 300 de días años. Finalmente, en 1582, Enero 31 el Papa Gregorio, tras asesoFebrero 28 ó 29 Marzo 31 rarse con matemáticos y asAbril 30 trónomos, decretó que el Mayo 31 problema se solucionaría omiJunio 30 tiendo 3 años bisiestos cada Julio 31 400 años: los años de fin de Agosto 31 siglo, acabados en dos ceSetiembre 30 ros, sólo serían bisiestos en Octubre 31 el caso que fuesen divisibles Noviembre 30 por 400. El 1900, por lo tanDiciembre 31 to no es bisiesto, pero el 2000 sí.

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

¿Qué es la edad?

La edad es el tiempo que una persona ha vivido contando

desde que nació; aunque en general nos referimos a la edad de un sujeto u objeto a su tiempo de vida contando desde que empezó a existir. Además; se cumple:

Año Nacimiento + Edad Actual = Año actual; si la persona ya cumplió años Año Nacimiento + Edad Actual = Año actual–1; si la persona aún no cumple años

o

4

1920, 1984, 2004, 2008, mas no 1986 o

4

1600, 2000, 2400, mas no 1900 RAZ. MATEMÁTICO

6

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

EDADES

Son los protagonistas, generalmente personas, y, en algunos problemas, animales, plantas, etc. Ejemplo: Pamela es 5 años menor que Juan, pero 3 años mayor que Katy. Es uno de los más importantes puntos, pues si se interpreta inadecuadamente el texto en un tiempo equivocado, se iría complicando la resolución. Veamos:

EXPRESIONES

TIEMPOS

Tiempo presente: Existe un - tienes ......... - etc sólo presente. Se identifica - tenemos ....... por las expresiones: - hoy la edad...... Tiempo pasado: Puede darse en el problema uno o más, se reconocen por:

-

Tiempo futuro: el tiempo pasado pueden darse uno o más. Pueden identificarse por:

hace 8 años ........ tenías ........... cuando yo tenía ......... etc

dentro de ....... tu tendrás ........... nosotros tendremos ......... etc

Es un lapso de tiempo perteneciente a la existencia de un sujeto, se da generalmente en años pero puede darse en días o meses.

Problema 1: Juan triplica en edad a Pedro. Cuando Pedro tenga el doble de la edad que tiene. ¿Cuál será la relación entre las edades de Juan y Pedro? A) 2 a 1 D) 8 a 7

Resolución

San Marcos 2005–II NIvel fácil

B) 4 a 3 C) 6 a 5 E) 10 a 9

Problema 2: Si Mario tuviera 29 años más, su edad sería el triple de la edad que tiene Ana y si tuviera 7 años menos, tendría la misma edad que Ana. ¿Cuál es la suma de las edades actuales de Mario y Ana? San Marcos 2009 II

A ) 43 D) 45

Resolución

Nivel Fácil

B) 31 E) 39

C) 37

Si Mario tuviese 23 años más, su edad sería el triple de lo que tiene Ana. La suma en aspa son iguales J uan 4x 2   Entonces P edro 2x 1  será de 2 a 1.

Erorres más comunes

No aplican correctamente las edades en los tiempos específicos y el criterio de la suma en aspa.

6

TEMA

Respuesta: A) 2 a 1

RAZ. MATEMÁTICO

Presente

Mario Ana

1

Futuro 3

Si tuviese 7 años menos, tendría la misma edad que Ana. Mario Ana

Pasado 1(k)

Presente 22 1(k)

Futuro 3(k)

Se observa que han transcurrido 2(k) años o 30 años entonces k = 15. Por lo tanto sus edades actuales son 22 y 15 años.

Respuesta: C) 37

Problema 3: En un grupo de n alumnos la edad promedio es C; entre ellos las edades promedio de varones y damas en el grupo son a, b, respectivamente. Si el número de varones es V. Hallar n. A) D)

 

 

 bb –– ac  V C)  ac –– bv  C  bb –– va  v

San Marcos 2002–II / Nivel difícil

a–b V b–c a–b b c–v

B)

E)

Resolución

Total de personas: n  Nº de valores : V Nº de mujeres :n – v

Promedio  Varones Promedio  Total

Promedio  mujeres

Suma de edades de varones  a  Suma de edades  av V de varones

Suma de edades de n personas n

 C  Suma de edades  cn

n personas

Suma de edades de mujeres  b  Suma de edades   n – v b n–v de mujeres

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Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

EDADES

Luego:

cn

=

av

1. Hace 6 años tenía la mitad de los años que tendré dentro de 4 años. ¿ Cuántos años tendré dentro de 10 años? A ) 28 B) 29 C) 32 D) 26 E) 18 2. Dentro de 10 años tendré el doble de edad que tuve, si tendría lo que tengo, tuve y tendré, mi edad sería el triple de la edad que tengo. ¿Qué edad tuve hace 5 años? A ) 35 B) 30 C) 25 D) 20 E) 15 3. Cuando tenga q años tendré p veces la edad que tenía hace x años. Entonces la edad que tendré dentro de x años será: A) B) C) D)

q  px p

pq p

q  2qx p

pq  x p

E) x + q

4. Pedro le dice a Juan: "Dentro de 10 años, yo tendré el doble de la edad qu e tú tendrás ". Juan responde: "Hace 5 años tu edad era el quíntuplo de la que yo tenía?. "Si Juan nació en 1920, ¿en qué año nació Pedro? A ) 1900 B) 1905 C) 1908 D) 1910 E) 1912 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

+

(n – v)b

Despejando "n" tenemos

5. La edad de un padre sobrepasa, en 5 años, a la suma de las edades de sus tres hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad del hijo mayor, dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad del segundo, y dentro de 30 años, tendrá el doble de la edad del tercero. Halle la edad del padre. A ) 60 B) 70 C) 65 D) 50 E) 40 6. Dentro de 8 años la edad de Nora será la que Matilde tiene ahora, pero dentro de 15 años Nora tendrá los 4/5 de la edad que tendrá Matilde. Calcular la suma de las edades de ambas cuando Matilde tenía el doble de la edad de Nora. A ) 17 B) 24 C) 25 D) 33 E) 40 7.

Un niño que nace en el año 19ab cumplirá 9 años en el año 19ba . ¿Qué edad cumplió en 1983 si no es más de 10? A ) 5 años B) 4 años C) 6 años D) 8 años E) 7 años

8. En 1932 tenía tantos años como expresan las 2 últimas cifras del año de nacimiento. Al poner en conocimiento de mi abuelito esta coincidencia, este me dejó sorprendido al contestarme que con su edad ocurrió lo mismo. Me pareció imposible, pero mi abuelo me lo demostró. Hallar la edad de mi abuelo en 1930. Nota : Asumir que el nieto nació en el siglo XX. A ) 64 años B) 66 años C) 82 años D) 60 años E) 61 años

n  b – a  v b–a





b–a Respuesta: C) b – c V

9. En el mes de mayo un estudiante sumó a los años que tiene todos los meses que ha v ivido, obteniendo como resultado 232. ¿En qué mes nació? A ) Julio B) Junio C) Agosto D) Abril E) Mayo 10. El prof esor de Razon amiento Matemático nació en el año de 19ab , su hijo en el año 19ba y en el año de 1992 sus edades estaban en la relación de 4 a 1. Determinar la edad del profesor. A ) 20 años B) 25 años C) 18 años D) 17 años E) 24 años 11. La edad de Nancy es el doble de la edad que Luis tenía hace 4 años. Si la edad actual de Luis y la que tendrá Nancy dentro de 5 años suman 39 años. ¿Cuántos años tuvo Nancy cuando Luis nació? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 12. Si Manuel tuviese 27 años menos, el tiempo que hubiera permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme en promedio de 8 diarias. ¿Cuántos años lleva durmiendo? A ) 16 B) 10 C) 12 D) 15 E) 21 RAZ. MATEMÁTICO

6

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

13. Diana le dice a Carlos: "Mi edad es 4 años menor de la edad que tú tenías cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tú tienes; y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo nuestras edades sumarán 82 años". ¿Qué edad tiene Diana? A ) 26 B) 24 C) 22 D) 20 E) 18

EDADES

14. Hace "a+b+c" años tu edad era "a+b" veces la mía. Cuando tú tengas "b+c" veces m i edad, habrán transcurrido a partir de hoy "c+b-a" años. Entonces yo tenía en años: A) 2

C) E)

 bb  cc 

2(a  b) c

2

B) 2b(b  c) D) 2abc

 ba  cc  (b  c  1)

1. Si hace 21 días fue sábado, ¿qué día será dentro de 75 días?

*

________________________________________

2. Si el 18 de enero de 1974 fue lunes, ¿qué día fue el

el 10 de mayo de 1980?

________________________________________

4. A Paolo le preguntan por su edad, y el responde: "Si

al doble de mi edad se le quitan 12 años, se obtiene lo que me falta para tener 45 años. ¿Cuál es la edad de Paolo?

________________________________________

5. Un alumno nació en el año 19ab . En el año 1980 tuvo"a+b" años, ¿en que año tuvo "2a+b" años?

________________________________________

6. Fiorella hace 5 años tenía la tercera parte de la edad

que tendrá dentro de 19 años. ¿Dentro de cuántos ________________________________________

6

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

muestran en el cuadro adjunto:

B

________________________________________

3. Si el 10 de mayo de 1880 fue miércoles ¿qué día será

Las edades de (A y B) en 3 tiempos diferentes se

A

18 de mayo de ese mismo año?

años cumplirá la mayoría de edad?

15. En una reunión que se realizó en el año 1992 habían 12 personas, Edgar suma los años de nacimiento de todos ellos, obteniendo una cantidad A. Eduardo suma las edades de todos y obtiene una cantidad B. Si 8 de ellos ya habían cumplido años en ese entonces. Hallar: A+B A ) 23900 B) 23590 C) 23950 D) 23800 E) 23980

7.

Pasado

Presente

Futuro

Y

40

5x

X

30

2y

¿Cuál es el menor valor de x?

________________________________________ 2y 8. ¿En qué relación se encuentra ? 5x ________________________________________

9. ¿Hace cuántos años la edad de B fue el triple de la edad de A? ________________________________________

10. Las edades de A y B en 3 tiempos diferentes se muestran en el cuadro adjunto. Hallar la relación de A y B hace 5 años.

A B

Hace 5 años

Actual

Y

2x

x

z

Hace 10 años 2z y

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – TEMA 7

CRONOMETRÍA

En esta parte del curso estudiaremos los problemas relacionados con relojes. A pesar de no presentar regular frecuencia en los exámenes de admisión, es importante dominarlo ya que tiene partes de otros temas como planteo de ecuaciones. Es por eso que estudiaremos básicamente las situaciones en donde se presentan adelantos y atrasos de los relojes y también lo que tiene que ver con tiempo transcurrido y tiempo que falta por transcurrir. Para su desarrollo, aprenderemos métodos que ayudarán a una ordenada recopilación de datos de utilidad que nos permitirán hallar las respuestas. Como se ha ido viendo en temas anteriores, el orden es trascendental para todo tipo de problema, inclusive de cualquier otro curso.

Para este tipo de problemas podemos emplear, de manera práctica, el siguiente esquema. (El tiempo a trabajar puede ser un día, hora, año, mes, etc.)

Tiempo Total:

Tiempo transcurrido x

T

Tiempo = que falta transcurrir x-T

Estos casos surgen del mal funcionamiento de relojes

defectuosos sufriendo adelantos o atrasos respecto de la hora señalada por un reloj de funcionamiento normal.

Debemos considerar.

Hora Correcta = Hora Adel. - T. Adel.

Hora Correcta = Hora Atras. + T. Atraso Tiempo de atraso(20´)

Tiempo de adelantado (10´)

Hora que marca un reloj atrasado

Hora correcta

2:30

Hora que marca el reloj adelantado

3:00

Hora correcta 2:50

2h 120’

4pm

*

Hace 10’



Dentro de 20’ 6pm

I 11

10

1

30 2 °

3

9

8

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

12

7

6

5

4

RAZ. MATEMÁTICO

7

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

Análisis del recorrido de las agujas (horario y minutero)

Veamos cuantos grados sexagesimales recorren las agujas

CRONOMETRÍA

¡Ahora Tu!

b) 9:40

cuando transcurre un tiempo determinado en minutos (a partir de las 4 en punto): Tiempo que transcurre (en minutos) 60´ 30´ 20´ 10´ 8´ 3´ 1´

Ángulo que recorre MINUTERO

Ángulo que recorre el HORARIO

360 180° 120° 60° 48° ° 18

30 15° 10° 5° 4° ° 2

°

6

MIN

1 2

°

°

6x



°

< HORARIO

Se observa también una relación de espacios recorridos

x 2

°

°

< MIN

entre las manecillas en un momento determinado. (Ejemplo 1 hora 60')

EH 5 Div EH 1K    EM 60 Div EM 12K

 Se observa que son las 4 y algunos minutos más, entonces: 4: x min

12

9

6x

  30H 

°

M

H

Ejemplo:

3

¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10?

x° 2

6

11 m 2

Grafique la posición de las agujas y el recorrido hecho por el horario en los siguientes casos: a) 7:30

10

11

12

 1

9 H=15

8

°

MIN 30 X

7

TEMA

7

6

5

< MIN ° 180 ° (6x)

RAZ. MATEMÁTICO

2

m=180

°

3



4

 < HORARIO 15 ° ° (x/2)

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

CRONOMETRÍA

Resolución:

Resolución:

10

11

12

9

8

8

4

5

6

9

2 3

+ 7

10

1

 

H=4

  65

1

2 3

+ 7

H=4 M = 40

-

6

4

5

11 (40)  30 (4) 2 110

M = 10     30 (40) 

12

11

11 (10) 2

 



   30H 



11 m 2

Ejemplo:



¿Qué ángulo formas las agujas de un reloj, a las 4:40?

30H 



11 M 2



Problema 1

 

Resolución:

falta transcurrir. ¿Qué hora es?

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Planteando:

24 h

La mitad del tiempo transcurrido del día es igual a la sexta parte de lo que



xh

HORA

x 24  x  2 6 1

3

3x = 24 - x (24 - x)h

4x = 24

 x  6 a .m.

RAZ. MATEMÁTICO

7

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

Por proporciones:

Problema 3

Antonio advirtió el lunes a las 12: 00

24 h

HORA

2( )

CRONOMETRÍA Se observa que:

horas que su reloj marcaba 11:58

6( )

o

x 180  2    6x 2 180 = 5x  36= x

horas, el miércoles a las 8:00 pm. Observó que su reloj marcaba 8: 01pm.

¿Qué día y a que hora marco la hora correcta?

Resolución:

Entonces el tiempo

total es: 8( ) = 24h  8(3) = 24  Hora 2(3) = 6 am

Respuesta: 6 am

11:58 Lunes (12:00) tiene 2´ de atraso

Pedro nació en el año de 1988, a las

1’

8.am. de un día tal que los días

de Pedro.

(366 - x días)

x días

T. transcurrido

366  x  x  61 5

Como los días transcurridos son 61.

Nos encontramos disfrutando del día 62 2 de marzo.

31d

F

M

29d 1d

2 de marzo

Respuesta: La fecha será 2 de marzo

(empezando 0:00 h)

7

·

Cuando el minutero ya paso al

al horario. horario

Es por ello que nos i ndican, especificamente el ángulo formado

al primer caso, entonces tenemos lo siguiente:

 x  112 h  37 h 20 3

Miércoles (1:20)

Como la hora es nuestra incógnita llamaremos a dicha hora: 3:n'

37h 20’

Problema 4 ¿A que hora inmediatamente después de las 6:00 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta

Hora :3 : n '

RAZ. MATEMÁTICO

12

Hora : 6 : x´

°

9

6

7

6

2

3 24

°

5

4

n 2

por primera vez)

x° 2

8

n’ 6 n°

(Ángulo formado por las agujas,

12

9

1 90

a la marca de las 6?

Resolución:

61 días

TEMA

Cuando el minutero todavía no pasa

por vez primera, es decir, se refiere

ADEL xh  3´

Lunes (12:00)

·

Respuesta: Marcó la hora correcta el día miercoles a las 1:20 a.m

Planteando:

E

casos:

ADEL En: 56h  3´

FECHA

x

24° y ese ángulo se puede dar en dos

Observamos que en 32h su reloj se adelantó 3' y para que marque la hora

366 días ( año bisiesto)

¿A qué hora entre las 3 y 4 las agujas forman un ángulo de 24° por primera vez? El ángulo formado por las agujas es de

correcta sólo debe adelantarse 2'

Resolución:

Problema 5

Resolución:

3’ Hora correcta

2’

trascurridos del año eran iguales a la transcurrir. Dar la fecha de nacimiento

Miércoles (20:00) tiene 1´ de adelanto 56 h

Problema 2

quinta parte de los días que faltaba

20:01

Respuesta:  Hora es: 6:36

3

6x



°

Del gráfico se tiene: 6n  24  90 

Desarrollando: n = 12

n 2

Respuesta:  La hora es : 3:12 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

CRONOMETRÍA

A ) 7h 26 7 min 13

1. ¿Qué ángulo forman las agujas del

C) 7h 27 7 min 13

reloj en cada caso? A ) 6h 28' B) 5h 59' C) 4h 05' D) 12h 17' E) 7h 35'

2. ¿Qué hora marca el reloj de la figura?

E) 7h 26

B) 7h 24 7 min 13 D) 7h 27

3 min 11

9 min 13

5. Hallar la hora que indican las agujas del reloj:

8. ¿A qué hora inm ediatamente después de las 5 el m inutero adelanta al horario 9 divisiones?

1 min 11 7 B) 5h 38 min 13 C) 5h 36 7 min 13 A ) 5h 37

D) 5h 36 min E) 5h 36

1 min 11

9. Un alumno sale de su casa cuando las agujas están marcando:

A ) 6 : 17 C) 6 : 17 1/3 E) 6 : 18

B) 6 : 19 D) 6 : 16 2/15

A ) 11: 12

6 13 6 E) 11 : 19 13 C) 11 :18

3. ¿Qué hora es?

2 13 2 D) 11 : 16 13

B) 11 : 18

6. ¿Qué hora indican las agujas del

Y llega el mismo día cuando las agujas están marcando.

reloj?

A ) 1 : 51

1 23

4 C) 1 : 53 13 E) 1 : 53

1 11

B) 1 : 52 4 23

D) 1 : 54 2 23

4. ¿Qué hora es en el reloj mostrado?

A ) 2: 41 C) 2: 48 E) 2: 46 7.

B) 2: 42 D) 2: 47

¿A qué hora inmediatamente después de las 3 el hor ario adelanta a la marca de las 12 tanto como el minutero adelanta a la marca de las 3?

¿Cuánto tiempo estuvo fuera de casa? A) 2 h B) 4 h C) 6 h D) 8 h E) 5 h 10. ¿Qué ángulo formarán las agujas de un reloj dentro de 6x min?

A ) 3 h 31 min

B) 3h 34 7 min 11 C) 3 h 36 min D) 3 h 32 min E) 3h 32 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

8 min 11 RAZ. MATEMÁTICO

7

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

A) 40º C) 38º5 E) 15º

B) 54º D) 135º

A ) 80º

11. Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y da vuelta una vez alrededor del eje. ¿Qué hora marcará dicho reloj a las 4 de la tarde? A) 6 B) 4 C) 3 D) 7 E) 9 12.Según el gráfico, ¿que hora es?

3 A ) 08 : 25 h 11 C) 08: 27 h E) 08: 26 h

13. En esta mañana Cumpa proyecta una sombra de 3 m, si su estatura es igual a 1 m. ¿Cuál es el ángulo que forman las agujas de ese instante y dentro de que tiempo como mínimo dicha sombra tendrá el mismo tamaño? A ) 120º y 8 horas B) 150º y 12 horas C) 120º y 120 horas D) 150º y 24 horas

2.

"y "

"

8:00a.m

11:00a.m

=

_________________________________

=

_________________________________

__________________________________

C) 4: 06 h

D) 4 : 04 1 h 15

E) 4 : 04 4 h 15

_______________________________________ _______________________________________

4. ¿Cada cuánto tiempo estará marcando la hora correcta?

_______________________________________ 5 5. Si el tiempo transcurrido del día es de lo que falta 3 transcurrir. ¿Qué hora será dentro de 7h? _______________________________________

12

11

1

2

9

3

6. ¿Qué métodos podríamos utilizar? ________________________________________ 7. Si utilizamos la fórmula, ¿cómo se plantearía? ________________________________________ 8. ¿Qué ángulo forman las manecillas a las 12:40? ________________________________________ De acuerdo al siguiente gráfico: 10

3. ¿Qué debemos saber para conocer la hora real?

RAZ. MATEMÁTICO

B) 4 : 04 3 h 15

10

sabe que se atrasa 8' cada 3 h

7

A ) 4: 05 h

De acuerdo al siguiente gráfico:

Dentro de 12´

Si un reloj defectuoso marca las 7:10 p.m., y se

TEMA

15.¿Qué hora es según el gráfico?

son las 6:00 p.m.?

3h< >180’

1.

D) 100º

E) 90º

14. Un nuevo reloj tiene 16 divisiones horarias y el horario gira una sola vez en torno a su eje en un día, además por cada división horaria que avanza el horario, el minutero da una vuelta completa. ¿Qué ángulo formaran las manecillas de dicho reloj, si en un reloj normal

Diga usted lo que representa en el gráfico " Hace 5´

B) 120º

C) 60º

E) 180º y 20 horas

B) 08 : 27 2 h 11 3 D) 08 : 27 h 11

HORA CORRECTA

CRONOMETRÍA

11

12

9. ¿Qué hora es?

2

3

9

8

1

7

6

5

3 4

Hora : 5 : x '

________________________________________

10.Apliquemos la relación

EH 1  EM 12

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – TEMA 8

SUCESIONES

Consideramos a un grupo de estudiantes de un salón de PAMER. ¿Como podríamos hacer un listado con sus nombres?

Se supone que se desea ubicar rápidamente los nombres

por lo tanto sería conveniente hacerlo en "orden alfabético" talvez podríamos tomar una evaluación y ordenar los nombres

por "mérito" o quizás ordenarlos por "estatura" o "peso" cada

una de las palabras subrayadas indican: CRITERIOS DE FORMACIÓN, es decir como construir una secuencia ordenada de elementos y a la cual llamaremos SUCESIÓN.

NOCION

DE

SUCESIÓN

Se entiende por sucesión a un conjunto ordenado de elementos de acuerdo a una ley de formación o también una característica común. Ejemplos: Sucesión gráfica:

,

,

Sucesión Literal: A, C, E, ....

,

, ....

I. SUCESIÓN

, ....

,

,

Solución: • Se observa que cada figura es una vista del siguiente sólido.

giro

Sucesión Numérica: 1, 5, 13, 29, ....



GRÁFICA

Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un "criterio de movimiento" de sus elementos. Se debe percibir el desplazamiento ó giro. Ejemplo: ¿Qué figura continúa?

Por lo tanto la siguiente vista será:

II. SUCESIÓN

LITERAL

Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales

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RAZ. MATEMÁTICO

8

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

1. Según el alfabeto: A

B

G

H

R

S

M X

C I

N

Ñ

Y

Z

T

D

E

J

K

U

V

O

P

F L

Q

Solución: De acuerdo al alfabeto a cada letra le corresponde un número: A, D, I, O, . . . . 1 4 9 16 12 22 32 42  Son los cuadrados perfectos Continúa 52 = 25 y en el alfabeto es la letra "X". 2. Son iniciales de nombres con un orden dado. Ejemplos: u n o

t r e s

c u a t r o

L,M,M, J,... l m m j u a i u n r e e e t r v s e c e s o s l e s

3. Completan una palabra o frase Ejemplos: S, A, N, M, A, R, C, O, . . .  La "S" completaría SAN MARCOS O, N, M, U, L, . . . 

III.SUCESIÓN

la "A" completaría ALUMNO en orden inverso.

NUMÉRICA

Consideremos al conjunto numérico: 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n Como los números "ordinales" es decir aquellos que indican el lugar del término de una sucesión. a1, a2, a3, a4, a5, . . . , an Cada uno de los términos de la sucesión posee un número ordinal que indica su posición y el número de términos hasta dicho término. Ejemplo: ¿Qué número continúa? 1, 4, 27, 256, . . .

8

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

1, 4 ,27,256,...

   11 22 33

 44

....

Por lo tanto continúa 5 = 3125 5

1

Ordinal

Ejemplo: ¿Qué letra continúa? A, D, I, O, ....

d o s

Solución: Se puede reemplazar cada número por una expresión que esta en función de su ordinal.

W



U,D, T, C,...

SUCESIONES

2

3

4

5

Sucesión

a1

a2

a3

a4

a5

Pares

2

4

6

8

10

Naturales

1

Impares

1

Cuadrados

1

Triangulares

1

Fibonacci

1

Polinomial

-1

Factorial

1

2 3 4

3 5

9

4 7

5 9

...

n

...

an

...

n

...

2n

...

16

25

...

1

15

...

2n-1 n

2

Rectangulares 2

6

12

20

30

...

n(n+1)

Cubos

1

8

27

64 125

...

n

Primos

2

3

5

7

11

...

15

45 135 405

5

Geométrica

3 1

-1 2

6

2

1

6

3

5

5

11

24 120

n(n+1) 2 3

... an=an-1+an-2 ... ... ...

Sólo poseen 2 divisores

n -3n+1 2

5x3

(n+1)

n!



 Ejemplo: ¿Qué número continúa? 0, 1, 5, 23, . . . Solución: Recordamos la sucesión de los factoriales.

1, 2, 6, 24, 120, . . .

1

1x2 1x2x3 1x2x3x4 1x2x3x4x5 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SUCESIONES Entonces:

0, 1, 5, 23, . . .

1!-1

2!-1 3!-1



4!-1

Por lo tanto el número que continúa es 5! - 1 = 119 Se le llama también sucesión de 1º orden o Progresión Aritmética, se forma cuando a partir del primer término siempre agregamos una misma cantidad llamada Razón Aritmética.



Ejemplos:

Es aquella sucesión en donde "an" tiene forma de polinomio: P(n). El grado del polinomio determina el orden de la sucesión. Ejemplos: 1º Orden:

5, 9, 13, 17, . . . , (4n+1) +4 +4 +4 . . . .

6, 11, 16, 21, . . . , (5n+1) +5 +5 +5 . . . .

100, 98, 96, 94, . . . , (-2n+102) -2

-2

5, 7, 9, 11, . . ., (2n + 3)

-2 . . . .

-2

-2

-2

2º Orden:

3, 3, 5, 9, . . ., (n - 3n + 5)



-0

-2

+2

También: a0

0, 7, 26, 63, 124, . . . , (n - 1) 7

-9

35

18

6

61

24

an  a1  (n  1)r

an  rn  a0

2, 11, 20, 29, . . . -9

3



Ejemplo: Calcula el vigesimo termino de la sucesión. 2, 11, 20, 29, . . . Solución: -7

19

12

6

a 1, a 2, a3, a 4, . . . , an +r +r +r

-4 . . . . .

+2 . . . .

3º Orden:

¿Como podríamos hallar an? Por inducción: a1 = a1 a2 = a 1 + r a3 = a1 + 2r a4 = a2 + 3r . . . Entonces:

2

-9

an = 9n - 7

Nos piden: a20 = 9(20) - 7 = 173 ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Es toda sucesión polinomial en donde: an = an2 + bn + c ¿Como hallar an en forma práctica? Sea la sucesión

ao \ a1, a2, a3, a4, a5, . . .

bo \ +b1 +b2 +b3 r\

+r +r . . .

Entonces:

a

r 2 b = bo - a c = ao RAZ. MATEMÁTICO

8

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SUCESIONES

Ejemplo: Calcular el vigésimo termino de la sucesión siguiente: 9, 13, 19, 27, 37, . . . Solución: Buscamos las diferencias sucesivas y hallamos los terminos que estarían antes que los primeros.

Por inducción: a1 = a1 a2 = a1 x q a 3 = a 2 x q2 a 4 = a 3 x q3 • • •

c = 7 \ 9, 13, 19, 27, 37, . . .

a + b = 2 \ +4 +6 +8 +10 2a = 2 \ +2 +2 +2

Entonces: a = 1; b = 1; c = 7 Reemplazando en an = an2 + bn + c an = n2 + n + 7 Nos piden: a20 = 202 + 20 + 7 = 427



Entonces:



También se le llama Progresión geométrica y es aquella en donde a partir del primer termino siempre se multiplica por una misma cantidad llamada razón geométrica. Ejemplos: • 7, 14, 28, 56, . . .

x1x1 x1 2 2 2

Sea la P.G. a1, a2, a3, a4, a5, . . . 1. Si tomamos 3 terminos consecutivos cualquiera

2. Si "n" es impar

acentral  a1  an

a1, a2, a 3, a 4, . . . , a n

3. El producto de terminos extremos es siempre el mismo. a1 x an = a2 x an-1 = a3 x an-2 = ...

xq xq xq

Problema 1 ¿Cuántos términos de una progresión aritmética, se necesitan para que su suma sea 10 - 5a, si el primer término es (a - 2)y el segundo 0?

8

PRO PI EDA DES

• • •

• 120, 60, 30, 15, . . .

TEMA

Sabemos que: an = a1 x qn-1 Entonces: a20 = 5 x 219

a4  a3  a5

x3 x3 x3 . . .

San Marcos 2004–II/Bloque II Nivel Fácil

B) 8 E) 10

x2 x2 x2

a3  a2  a4

• 9, 27, 81, 243, . . .

A) 4 D) 5

Ejemplo: Calcule el vigésimo termino de la P.G. siguiente: 5, 10, 20, 40, . . . . Solución: 5, 10, 20, 40, . . .

a2  a1  a3

x2 x2 x2 . . .

En general:

an  a1  qn 1

C) 6

RAZ. MATEMÁTICO

Resolución:

Nos piden la cantidad de términos: Del enunciado, se tiene la siguiente progresión:

Completando para que la suma sea 10 - 5a

1

2

3

4

5

 a – 2 0  2 – a  4 – 2a  6 – 3a  10 – 5a

 Se cumple para 5 términos

Respuesta: D) 5

Problema 2 Hallar el décimo término de la sucesión:

1 7 17 31 ; ; ; ;... 2 4 8 16

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Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SUCESIONES

A) D)

133 1024

San Marcos 2004–I/Bloque IV Nivel Intermedio

B)

199 1024

E)

147 1024 101 1024

165 1024

C)

 t n  2.2

n–1

 2n  t10  210  1024

Finalmente el décimo término de la sucesión original es: t10 

Resolución:

Piden el décimo término. Observamos que, sólo los numeradores y sólo los denominadores forman sucesiones por separado, entonces calculamos por separado: i) Con los numeradores

199 1024

Respuesta: D)

199 1024

Problema 3 Hallar el mayor de tres números en progresión aritmética, si aumentados en 9; 7; 10 respectivamente, son proporcionales a 14, 21 y 35.

San Marcos 2004–II/Bloque II

 t n  2n – 1  t10  2.10 – 1  199 2

2

ii) Con los denominadores

1. ¿Qué número sigue en la sucesión? 3; 2; 4; 2; 4; 1; 3;... A) 0 B) 1

C) 2

D) –2

E) –1 2. ¿Cuál es el producto de los dos términos siguientes en la sucesión? 4; 11; 8; 7; 12; 3; 16; ... A ) 16

B) 20

C) -8

D) -12

E) -20

3. ¿Qué número sigue en la sucesión? 60; 12; 3; 1; ... A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/3 E) 1/6 4. Encuentre m+n+p, de -m; 2; 8; 12; 19;

A) 5 D) 8

B) 6 E) 9

A ) 15 D) 13

B) 8 E) 10

Nivel Difícil

C) 12

Resolución:

Nos piden el mayor de los tres números en P.A.

NIVEL I

np ; 30 ...

C) 7

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Sea la progresión aritmética:

NIVEL II

5. En un P.A. el cuarto término es 8 y el sétimo es 14. Hallar el término de lugar 40. A ) 19 B) 48 C) 39 D) 35 E) 40 6. Se reparten caramelos a un grupo de niños en cantidad que están en progresión aritmética. Al sétimo niño le toca la mitad de lo que le toca al último y a éste el quíntuplo de lo qu e le toca al primero. ¿Cuántos son los niños? A ) 13 B) 14 C) 17 D) 18 E) 20 7. La suma del tercer y octavo término de una P.A. creciente es 41. Calcular el quincuagésimo término sabiendo que la relación entre el quinto y sétimo término es 19/25. A ) 150 B) 154 C) 1504 D) 19 E) 134

Luego retrocediendo obtenemos los tres números de la P.A.

Sabemos que: tc 

 3k – 7 

 suma de

extremos  2

 2k – 9    5k – 10 

Resolviendo: k = 5

2

 El mayor número es 5k – 10 = 15

Respuesta: A) 15

8. Se tiene la siguiente progresión aritmética: 5; ..........; 47 ...........; 159, donde el número de términos que hay entre 47 y 159 es el triple del número de términos que hay entre 5 y 47. Calcular el primer término de 3 cifras. A ) 101 B) 105 C) 103 D) 107 E) 109 9. Si la diferencia de los términos de lugar es 65 y 40 de una progresión aritmética creciente es 75 y el término de lugar 30 es 152. Hallar el término de lugar 100. A ) 504 B) 512 C) 506 D) 502 E) 507 10.El primer término de una sucesión lineal es 22 y el último 309. Hallar la diferencia entre el trigésimo quinto término y el vigésimo segundo término si esta sucesión tiene 42 términos. A ) 260 B) 101 C) 91 D) 169 E) 71 RAZ. MATEMÁTICO

8

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

término s de una pro gresión armónica son:

11.La diferencia del primer término con el cuarto término en una progresión geométrica es 87,5 y del segundo con el tercero, en ese orden, es 25. Hallar la razón si todos los términos son positivos. A ) 1/3 B) 2 C) 1/2 D) 1/4 E) 1/5 12.La suma de los "n" primeros términos de una sucesión esta dada por. S n=n(3n+2). Calcular el término del lugar 45. A ) 269 B) 270 C) 275 D) 274 E) 273

NIVEL III

13.Una progresión armónica es tal que el inverso de cada uno de sus términos forma una progresión aritmética. Si los tres primeros

SUCESIONES

1 1 1 ; ; ;... a  2 3a  4 5a  6 Hallar el vigésimo término de dicha progresión. A) C) E)

1 58

1 118 1 118

B)

D)

1 108 1 112

14.Mary trabaja diariamente en un puesto de venta. El 30 de octubre obtiene 9 soles, al día siguiente gana 17 soles y gasta 3 soles, al día siguiente gana 21 soles y gasta 6 soles y así sucesivamente. ¿Qué día será cuando lo que gana es igual a lo que gasta?

1. El vigésimo número triangular es:

_______________________________________

2. La suma del primer y décimo número primo es:

_______________________________________

A) B) C) D) E)

8 de noviembre 7 de noviembre 9 de noviembre 10 de noviembre 20 de noviembre

15.Dadas las siguientes sucesiones: S1: 4; 7; 10; ...; 40 S2: 5; 9; 13; ...; 41 Los términos comunes a ambas sucesiones son a,b,c (ordenadas en forma creciente). La suma de las cifras de a,b y c forman una progresión aritmética. ¿Qué nú mer o sigue e n dicha progresión? A) 4 B) 7 C) 10 D) 13 E) 25

8. ¿Qué término continúa?

11, 18, 37, 74, 135, ..........

9. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 20?

3. ¿Qué término continúa? A; D; G; J; . . . .

4. ¿Qué número continúa? 4; 9; 25; 49; . . . . .

5. Calcula a30 de la siguiente sucesión: 100; 92; 84; 76; . . . . .

6. Calcula el décimo término de:

10.¿Cuántos triángulos hay en la figura 15?

3, 6, 12, 24, ............

7. Calcula el vigésimo término de:

8, 10, 14, 20, 28, ...........

8

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO – TEMA 9

SERIES

El tema de Series es una continuación del tema de sucesiones, ambos son motivo de preguntas en exámenes a San Marcos.

Una serie numérica es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Y a la suma de dichos términos se le llama el valor de la serie. Es decir: Si la sucesión es: t1, t2, t3, t4, ..., tn Entonces, la serie numérica respectiva es: t1 + t2 + t3 + t4 + ... + tn Ejemplo:

Solución: Nos piden:

S = 7 + 10 + 13 + ... + 58 + 61 + 64

71

Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25

Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 

Suma

(Valor de la serie) La serie aritmética se origina a partir de la adición de los términos de una progresión aritmética. Ejemplo:

Dada la siguiente sucesión de 20 términos, determine la suma de todos sus términos:

7, 10, 13, 16, ... , 61, 64

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

71 71 Suma constante

Se observa que la suma de cada pareja

de términos que equidistan de los extremos nos da una suma constante.

Luego, como hay 20 sumandos, entonces tendremos 10 parejas y cada una suma 71.

 S = (71)(10) = 710 RAZ. MATEMÁTICO

9

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

t1: primer término q: razón n: número de términos donde: q  1; q  0

términocentral (t tc

S=

SERIES

 si n es    impar 

(t1 + tn ).n 2

S = tc.n ; 

En general en toda serie aritmética:

t1 + t2 + t 3 + ... + t n = (t 1 + t n). n 2 +r +r t1: primer término tn: último término

Ejemplo: Calcular la suma de los 12 primeros términos de la siguiente serie: 3 + 6 + 12+ 24 + ... Solución:

x2

Reemplazamos: S

Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie de 25 términos:

calcula así:

3.(212  1)  S=12285 2 1

Solución: Tenemos t1 = 59; n = 25 y nos falta el último término, t25. 19 , 23 , 22 , 31 , ... +4

tn = 4n + 15

 t25 = 4(25) + 15 = 115

Luego, reemplazamos:  S 

t1 + t2 + t3 + ... = xq xq

19 + 23 + 27 + 31 + ...

+4

x2

El valor de esta serie, conocida como suma límite, se

n: número de términos

+4

(19  115).25  1675 2

 S = tc . n

t .(qn - 1) t 1 + t2 + t3 + ... + t n = 1

9

TEMA

xq

RAZ. MATEMÁTICO

q- 1

1- q

suma límite

36  12  4 

4  ... 3

t1 = 36 q= 1 3

S = 36 + 12 + 4 + 4 + ... 3 x

1 3

Reemplazamos:

x

1 3

x

S

S = 30.13 = 390

La serie geométrica se origina a partir de la adición de los términos de una progresión geométrica (P.G.) y la suma se calcula así:

t1

t1: primer término q: razón donde: 0 < q < 1 Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie infinita: Solución:

Ejemplo: Hallar la suma de una serie aritmética de 13 términos donde su término central es 30. Solución: Como la serie tiene 13 términos (n es impar):

xq

t1 = 3 q=2 n = 12

S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...

H

1 3

36  54 1 1 3

a .H a a .H b bb

 Recorrido   b+a     .H  Total   b-a  ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SERIES

1) 1  2  3  4  ...  n 

n(n  1) 2



2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1) 3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2

4) 12  22  32  4 2  ...  n2 

n(n  1)(2n  1) 6

 n(n  1)    2 

5) 13  23  33  4 3  ...  n3  

2

6) 1x2  2x3  3x4  4x5  ...  n(n  1) 

n(n  1)(n  2) 3

7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2) =

n(n  1)(n  2)(n  3) 4

4 2 b=7-2=5 2 2  tn = 2n + 5n + 4 a

c=4

Una vez que conocemos tn, la suma de los n primeros términos (Sn), se calcula directamente, así: 2

tn = 2n + 5n + 4

1 1 1 1 n    ...   8) 1x2 2x3 3x4 n(n  1) n  1

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + 5. + 4(n) 6 2

Sn = 2.

Para los 20 primeros (n = 20), la suma es:

 20(21)(41)   20(21)  S20  2.    5.  2   4(20) 6    

S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870



Sea la serie S = t1 + t2 + t3 + ... + tn Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria (). Así: S = t1 + t2 + t3 + ... + tn n

S   tk k 1

Se lee: "Sumatoria de los términos de la forma tk, desde k = 1 hasta k = n"



Ejemplo: Desarrollar las siguientes sumatorias:

tn

Si

= an + b ...

tn =

an2

+ bn + c ...

(1.er orden) (2.do

orden)

tn = an3 + bn2 + cn + d ...(3.er orden)

Ejemplo: Calcular la suma de los 20 primeros términos de: 11 + 22 + 37 + 56 + ...

Solución:

4, 11, 22, 37, 56, ...

4

4

k 1

S = (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1) b) A 

 (2n  5) 12

n8

n8

n9

n 10

n11

n 12

A= (21)  (23)  (25)  (27)  (29)

 t a1  t a2  ...  tb  tk  t a b

7 11 15 19 4

 (k 2  1)

1. Cantidad de términos

Primero hallamos tn:

4

a) S 

k a

(2° orden)

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(b - a + 1) términos

RAZ. MATEMÁTICO

9

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SERIES 5.

2. Sumatoria de una constante

 c  (b  a  1).c b

k a

k a

Donde: c es constante (no depende de k) b

3.

k=a

(c.tk) = c.

k=a

Donde: c es constante. b

4.

k=a

b

(tk + Pk) =

b k=a

tk +

Problema 1

Una pelota rebota 1/3 de la altura desde la cual es lanzada. Si parte de 18 m de altura, entonces la distancia total recorrida hasta detenerse es:

 b

D) 27 m

B) 38 m

E) 30 m

b k=a



Plantear la suma y calcular su

resultado.

Ejecución de la solución:

En cada rebote la alt ura irá

número de rebotes que dará la pelota, la distancia total recorrida

será un a sum a límite (serie geométrica infinita).

Estrategia de solución:

Se realizará un diagrama y se hallarán

los primeros términos de la suma límite para que finalmente se pueda calcular la distancia total recorrida. Pasos a seguir: –

Hacer un diagrama.



Hallar las alturas de los primeros

9

rebotes.

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

tk

Problema 2 En la siguiente ecuación:

(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n) = n2

n entero positivo, el valor de x es:

San Marcos 1999

n 1 A) 2 3n C) 2 2n  1 E) 2

Nivel fácil

Como no se puede determinar el

k m1

Pk

Análisis e interpretación: –

 b



C) 36 m

disminuyendo.

k a

tk 

tk

Resolución –

 m

Donde: a < m < b

San Marcos 1994

A ) 24 m

tk 

D TOTAL

    2   18  2 6  2   ...   3    suma limite  

   6  D TOTAL  18  2   1  1  3  

D TOTAL  36

Errores comunes del alumno: – No identifican que es una suma límite (serie geométrica infinita). – No consideran que después del 1er rebote cada distancia recorrida es el doble (subida y bajada)

Respuesta: C) 36

Nivel intermedio

n B) 2 n 1 D) 2

Resolución

Análisis e interpretación: – La serie tiene n términos, por tanto existen n veces x. – Cada término tiene un número consecutivo (empezando en uno), por tanto con ellos se forma una serie de los n primeros naturales consecutivos. Estrategia de solución: Desdoblar la serie agrupando los primeros términos de cada sumando y los segundos términos de cada sumando, para luego resolver la ecuación. Pasos a seguir: –

Agrupar las variables x de cada

sumando (n veces x).

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Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

SERIES –



Agrupar los números consecutivos

de cada sumando (serie de los n

primeros naturales consecutivos).

Resolver la ecuación (despejar x).

Errores comunes del alumno: – –

Ejecución de la solución:

No desdobla la serie agrupando los

términos convenientes.

No despejan correctamente la

variable x al resolver la ecuación.

Respuesta: A)

(x+1)+(x+2)+(x+3)+...+(x+n) = n2

x x x  ...  x  (1 2 3  ... n)  n2   n veces

Sn =

xn  Despejando x:

n(n+1) 2

n(n  1)  n2 2

x

n 1 2

1. La suma de los 20 términos de una P.A . creciente es 650 . Si el producto de los términos extremos es 244, hallar la razón. A) 1 C) 3 E) 6

B) 2 D) 4

2. Calcular:

S

Problema 3 Calcular: E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7 + ... +2,9

Pre San Marcos 2001 Nivel fácil

A ) 12,3 D) 18,2

B) 24/55 D) 26/53

C) 22,3

B) –3280 D) –4280

5. He repartido un total de 1900 caramelos entre los 25 sobrinos, dándole a cada uno 3 caramelos más que el anterior. ¿Cuántos caramelos les di a los 10 últimos? A ) 895 C) 985

E) 1085

B) 535 D) 355

6. Hallar "n" en:

 4n – 7    4n – 11   4n – 15   ...   –3  3   4n  2    4n – 2    4n – 6   ...  6 4

3. Hallar "n":

A ) 13 C) 15 E) 17

(3n+2) + (3n+4)+ (3n+6)+...+(5n) = 81n A ) 20 C) 30 E) 22

B) 22,5 E) 20,5

A ) 3280 C) –2830 E) –3820

2  6  10  14  ...  38 3  9  15  21  ...  69

A ) 25/54 C) 25/27 E) 50/54

n-1 2

B) 21 D) 18

4. Hallar la suma de: S  1 3 – 35    5  7 – 7  9  ... 40 sumandos

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

7.

B) 14 D) 16

El primer término de una P.A.

creciente de razón par menor que 4 es igual a "a + b" y el ab –ésimo

término es 55. Hallar la suma de los ba primeros términos.

Resolución: Dando

f orma

a

los

s umandos

tendremos: E = 0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,7+...+ 2,9 E 

E

1 3 5 7 29     ...  10 10 10 10 10

1 1  3  5  7  ...  29  10  suma de los "x" primeros impares

1  29  15 1 2 2  225  15   Luego: E   10 10 

Donde: x 

 E  22,5

Respuesta: B) 22,5

A ) 8026 C) 3106 E) 3016

B) 3046 D) 3046

8. Hallar la suma de los 40 primeros términos de la siguiente serie: S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ...

Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. A ) 43 B) 44 C) 45 D) 46 E) 47

9. Se contrata a un obrero para cavar en busca de fósiles, prometiéndole pagar una suma por el primer fósil que encuentre y luego se le irá duplicando dicha suma por cada nuevo f ósil encontrado. Si encuentra 12 fósiles y recibe 12285 soles. ¿Cuánto le pagaron por el quinto fósil hallado? A ) S/.24 C) S/.96 E) S/.192

B) S/.48 D) S/.12

10. Hallar la suma de:

S 2 

1 1 1 1 1 1 1        ... 2 3 4 9 8 27 16 RAZ. MATEMÁTICO

9

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

A ) 7/2 D) 3

B) 4 E) 7/3

C) 5/2

11. Hallar "n" en:

4 1 4 1 5     ...  n n2 n3 n4 7

A) 6 D) 5

B) –6 E) 8

C) –2

12. La masa de un péndulo recorre 16 cm durante la primera oscilación y en cada una de las oscilasciones siguientes recorre 3/4 del espacio recorrido en la oscilación anterior. Calcular el espacio total recorrido por la masa hasta el momento de detenerse. A ) 32 cm B) 128 cm C) 64 cm D) 48 cm E) 256 cm

A ) 2405 13. Se sabe que una pelota al rebotar en el piso pierde 1/5 de la altura desde la cual fue soltada. Si dejamos caer una pelota desde 1 m de altura. ¿Qué longitud recorre hasta detenerse? A) 6 m B) 7 m C) 8 m D) 9 m E) 10 m

Una ............... es la suma de todos los términos de una .....................

2.

La suma de los 10 primeros impares consecutivos es igual a: .........................

3.

En una serie aritmética de número impar de términos se cumple que:

central

4.



Suma de

5.

Suma de tér min os Suma de tér min os  de lugar ............ de lugar ............

En una serie artimética de número impar de términos se cumple que: Términ os

 .....................   Número       .....................   de tér min os 

 

En toda serie geométrica infinita, se cumple que la razón: ...........................

6. Calcular:

1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 49

_______________________________________

9

TEMA

RAZ. MATEMÁTICO

B) 2204

C) 2505 D) 2403 E) 2400 15. A lo largo de un camino había "n" piedras separadas "a" metros cada

una de su consecutiva. Cierta persona empezó por un extremo

a llevar una por una todas las

14. Angélica camina 5 pasos hacia adelante y 2 hacia atrás, luego da 10 hacia adelante y 4 hacia atrás, luego 15 hacia adelante y 6 hacia atrás, y así sucesivamente en P.A. ¿Cuántos pasos habrá dado hasta el momento en que por primera vez se encuentra a 1105 paso del punto de partida?

1.

Tér min o

SERIES

7.

Calcular:

piedras al lugar donde estaba la

última piedra. Al terminar habría recorrido 10 veces la distancia entre las piedras extremas. Halle "n".

A ) 11

B) 12

C) 9

D) 8

E) 10

112 + 122 + 132 + ... + 202

_______________________________________ 8. Sumar:

S

 (4k  1) 20

k 1

_______________________________________ 9. Si en una serie polinomial de 2° orden su término

enésimo es: tn = 2n2 - 3n + 5. Calcular la suma de los 20 primeros términos.

10. Sumar todos los números. 1

2

3

4

2 4

3

3

4

4

20

20

20

20

20

_______________________________________

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 10

SERIES III

Problema 1 Calcular:

S

Problema 2 La suma de 81 número s pares consecutivos es igual a 171 veces el primer número. Hallar la suma de las cifras del término central.

  2     3  

k 0

k

1



k 0

k

1

Sean los números pares:

Desarrollando las sumatorias:

1 1 1 1 1 1 1 + + + + ... + 1 + + + + ... 3 9 27 2 4 8 16

x1 x1 x1 3 3 3

x1 x1 x1 2 2 2

q = 1/3

q = 1/2

Tenemos dos series geo métricas decrecientes de infinitos términos: 1 1 3 Luego: S   2 1 1 / 2 1 1 / 3 2

S 

Sn 

Resolución:

Resolución: S= 1 +

Problema 3 En una P.A. la suma de todos los términos en función del número de términos, n, es:

7 2

1

2

 k3 20

k 6

A) 43857 B) 43900 C) 43895 D) 44100 E) 43875 2. Calcule el valor de:

 k(k  1) 20

k 1

ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

81

81 números pares

= 171( x + 2)

 (x  2)  (x  162)    .81  171(x  2) 2   (x+82).81 = 171(x + 2) 81x + 6642 = 171x + 342 x = 70 El término central ocupa la posición:

81  1  41 2  t c  t 41  x  82  70  82  152  Suma de cifras: 1 + 5 + 2 = 8

Halle el término 400.

Resolución:

    t2  11 2  3(2)  13(2)  19  t1  t2  n  2  S2   2 n  1  S1 

3(1)2  13(1)  8  t1 2

luego la P.A. será:

t1 t2 t3 ... 8 ; 11 ; 14 ; ...

t n = 3n+5

3 3 t400 = 3(400) + 5 = 1205

Respuesta: 1205

Respuesta: 8

Respuesta: 7/2

1. Hallar el valor de:

3

 2)  (x  4)  (x  6)  ...  (x 162) (x  

3n2 13n  2 2

A) 3050 D) 3080

B) 1540 E) 3100

C) 3300

3. Calcular la suma de los 20 primeros términos: A = 1+ 5 + 12+ 22 + ... A) 4200 B) 2820 C) 9620 D) 1870 E) 1862 4. Calcular: S = 1x19+2x18+3x17+...+19x1 A) 1330 B) 1320 C) 1430 D) 1640 E) 1830

5. Calcule la suma de to dos los números del siguiente arreglo 20

2

19

2

17

2

18

1

2

2

2

19 18 17 2

18 17 17

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

RAZ. MATEMÁTICO

10

TEMA

Academia Arguedas ... La Escencia del Conocimiento

A) 16710 C) 16000 E) 16100

B) 16200 D) 16170

6. Calcular la suma de todos los números. 2x3 3x4 4x5 5x6 31x32 3x4

5x6

5x6

31x32

5x6

4x5

4x5

31x32

31x32

31x32

A) 9200 C) 9920 E) 10560

7.

Calcule el valor de la siguiente sumatoria: 

A) 1 D) 1/4

9. Calcule:

10  1 

  200 200 k 3  4  M    k 2   k2  k 1 k 4 

A) 144 D) 196

B) 100 E) 225

C) 121

10. Calcule el valor de:

 n



   (2k  1) 20

n1 k 1

B) 9300 D) 10912

1  n(n  1) n 3 B) 1/2 E) 1/5

SERIES III

C) 1/3

8. A lo largo de un camino había "n" piedras separadas "a" metros cada una de su consecutiva. Cierta persona empezó por un extremo a llevar una por una todas las piedras al lugar donde estaba la última piedra. Al terminar había recorrido 10 veces la distancia entre las piedras extremas. Hallar "n". A) 11 B) 12 C) 9 D) 8 E) 10

A) 2870 D) 4410



B) 2780 E) 3800

C) 3620

11.Calcule la suma de todos los números: 5 6 7 8

6 7 8

20

A) 2010 D) 2020

7 8

20

8

20

20

B) 2030 E) 2050

20

C) 2040

12. Calcule el valor de M: M=992+972+952+...+52+32+12 y luego indique el valor de:

A) 8 D) 11

2M x31 1111

B) 9 E) 12

C) 10

13. Calcule el valor de: S = 53+93+133+173+...+813 Dé como respuesta la suma de las cifras del resultado. A) 24 B) 31 C) 25 D) 27 E) 32

14. Halle el valor de la serie de 20 sumandos: S=1x3x5+2x5x8+3x7x11+4x9x14+... Dé como respuesta la suma de las cifras del resultado. A) 258110 B) 285110 C) 275120 D) 286110 E) 385110 15. Un demarcador de fronteras debe colocar hitos en línea recta cada cierta distancia. Cada hito tiene una cantidad de piedras mayor en 1 al hito anterior. Se sabe que posee 820 piedras y que los hitos están ubicados de acuerdo al gráfico; además el primer hito tiene una piedra. ¿Cuántos metros recorrerá en total hasta terminar con el último hito, si el demarcador carga una sola piedra a la vez? Dé como respuesta la suma de cifras. 1.er hito

3.er hito

2m 4m

6m

B) 26 E) 29

C) 27

Montón de piedras

A) 25 D) 28

2.do hito

...

1.

Una ___________ es la suma de todos los términos de una ___________.

5.

En toda serie geométrica infinita, se cumple que la razón: ___________.

2.

La suma de los 10 primeros impares consecutivos es igual a: ___________.

6.

Una serie geométrica infinita, también es conocida como: ___________.

3.

En una serie aritmética de número impar de términos se cumple que:

7.

La suma de los 30 primeros naturales consecutivos es igual a: ___________.

8.

La suma de los 55 primeros pares consecutivos es igual a: ___________.

9.

La suma de los 25 primeros cuadrados consecutivos es igual a: ___________.

Tér min o central

4.



En una serie artimética de número impar de términos se cumple que: Suma de

Términ os

10

TEMA

Suma de tér min os Suma de tér min os  de lugar ............ de lugar ............

 .....................   Número       .....................   de tér min os 

 

RAZ. MATEMÁTICO

10. La suma de los 12 primeros cubos consecutivos es igual a: ___________. ACADEMIA ARGUEDAS - ABANCAY

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - TEMA 11

OPERACIONES MATEMÁTICAS El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar los objetos. Inicialmente se contaba con la ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Huellas de esto se han conservado en las denominaciones de los cálculos matemáticos: por ejemplo "cálculos" en su traducción del latín significa "cuenta con piedras". La reserva de números en las primeras etapas era muy limitada, la sucesión de los números naturales conocidos y utilizados era finita y se fue extendiendo solo gradualmente. La conciencia de la prolongación ilimitada de la sucesión natural constituye un síntoma de alto nivel de conocimientos y cultura. Junto a la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron los símbolos, no sólo para representar los números, sino también las operaciones a realizar con ellos.

Una operación matemática es una correspondencia o relación mediante la cual, dado uno o mas números se hace corresponder otro llamado resultado, con sujeción a ciertas reglas o leyes perfectamente definidas. Las reglas pueden ser descritas mediante palabras, pero por razones de simplificación se las representa mediante símbolos llamados operadores matemáticos. Las operaciones matemáticas antes mencionadas son conocidas universalmente, es decir, que cualquier matemático del mundo al observar la siguiente operación Log28, sabe que el resultado es 3. En la presente clase lo que haremos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas).

, , # , , , , ...

Las reglas de definición se basarán en las operaciones matemáticas ya definidas.

IDEAS FUERZA



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Operación matemática

Operador matemático

Adición Sustracción Multiplicación División Radicación Logaritmación Valor absoluto Sumatoria Productoria Máximo entero Límites Integración

+ x



log

 

  lim







Veamos los siguientes ejemplos: a

2

b = 2a - a x b

Regla de Operador definición matemático

x = x -x+2 2

Regla de Operador definición matemático

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SUGERENCIAS

OPERACIONES MATEMÁTICAS Veamos:



El objetivo de este capítulo es familiarizarnos en el uso y manejo de los operadores matemáticos, por lo tanto usaremos símbolos arbitrarios para representar operaciones arbitrarias, las cuales definiremos en base a las operaciones conocidas.

Indica los elementos que han sido operados y resultados de dichas operaciones que son presentados en una tabla de doble entrada.

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Se define en el conjunto "A" mediante el operador (*) lo siguiente:

 a  b  A  a*b  A En la tabla: Si todos los elementos de la columna y fila de entrada pertenecen al conjunto "A", así también como los resultados al operar o cuerpo de la tabla.

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 Ejemplo: en el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, se define la operación (*) mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4

Hallar: 4*3

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

Resolución:

4 4 1 2 3

Ubicamos al elemento (4) en la columna de entrada y al elemento (3) en la fila de entrada, el resultado de la operación la encontraremos en la intersección de la columna y la fila del primero y el segundo elemento respectivamente.

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Entonces diremos que la operación es clausura en "A".  a, b  A  a*b=b*a En la tabla: "Criterio de la diagonal" Los pasos a seguir son: primero se traza la diagonal que pasa por el operador; luego se observa que los elementos que se encuentran a ambos lados de la diagonal mantengan una simetría (un lado es el reflejo del otro lado). Entonces la operación es conmutativa, en caso contrario no lo será. Es decir:

* a b c

 a, b y c  A  a*(b*c)=(a*b)*c

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 e  A /  a  A  a*e=e*a=a En la tabla: - Se verifica que la operación sea conmutativa. - En el cuerpo de la tabla se busca una columna igual a la columna de entrada y una fila igual a la fila de entrada. Donde se intersecten, será el elemento neutro ("e"). Es decir:

Ejemplo: Calcular: 1-1; 2-1; 3-1 en: 1 2 3

Resolución: 1.° Calcularemos el elemento neutro "e" 1 2 3

e=1

Encerremos todos los elementos neutros del cuerpo. El elemento neutro es "1".

1 2 3

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2.° Aplicamos el criterio de las eles volteadas ( ). a

a a-1  A;  e  A/  a  A  a*a-1=a-1*a=e

a

a

1 2 3

Del gráfico tenemos que:

-1

e

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1-1 = 1 2-1 = 3 3-1 = 2

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e

Es decir:

Donde: e = elemento neutro a-1 = elemento inverso de a

En la tabla: - Se busca el elemento neutro y se considera todos iguales a él. - Se traza una ele volteada ( ), es decir:

-1



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Problema 1 x+1

Si:

A ) 21

y

Hallar "y" en: A) 7 C) 9 E) 12

=

B) 8 D) 10

=

x+1 = y y

=

x+2 (x+1)+1 = 2(x+1) 2(x+1)

y=7

Respuesta: A) 7

Luego:

a =2

Respuesta: B) 14 Si:

Entonces:

Respuesta: E) 35

Además: f(g(y)) = y + 15 A) 9

4

B) 7

C) 12 D) 11

A) 2

E) 10

C) 4 E) 0

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B) 1

D) 3

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5+4 =3 3

10 + 11 = 32 + 3 = 35

Hallar: 10 + 11

2

x+4 3

11 = 2(5) + 1 =

x = 3x+2

f(x + 1) = x + 2x– 3, calcule g(3)

Calcule:

2x+1 =

Problema 3

2. Si:

1. Si:

x = 3x + 2

10 = 3(10) + 2 = 32

a = 18 - 4 = 14

2x+1 = x+6

a+1 Si: a = 3

Hallar: "a", si

=2

a+4=6x3

y+1=8

Problema 2

1° determinamos la ley de formación . del operador

a 1  3  3x2 3

y+1 4 = y 2y

Donde:

Resolución:

a 1 1 3 2 3

Resolución: x+1

D) 30

E) 35

Resolución: a+1 a = 3

B) 38

C) 40

D) 10

E) 16

4 y

A ) 20

B) 14

C) 20

x+2 2(x+1)

=

OPERACIONES MATEMÁTICAS

3. Si:

P(x + 1) =x2 + 3x + 2, halle "y" Además: P(P(y)) = 42

A) 4

B) 5

C) 3

D) 1

E) 2

4. Si: f(x + 3) = x2 – 1, halle el valor de:

A

A) a

f(a  2)  f(2) ;a  2 a2

B) a2

C) a3 + 1 D) a + 1 E) –a

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OPERACIONES MATEMÁTICAS 9. Si:

 x  ,n  

5. Si: a3 b2  b 3  a2

Simplifique:

x2  1  2x  1

E

Calcule:

E  5  17  (343  16) A ) 70

D) 50

B) 9 C) 5 D) 8 E) 6

B) 3/2

C) –10/11

10. Si:

E) 60

(a  b)  b  a; a  b  0 2

Halle: E  3  5 A) 1

Halle:

A ) 10 B) 13

B) 2

C) 15

C) 3

D) 36 E) 14

D) 5 E) 4 Si:

A ) –5/7

A) 7

13. Si:

E) 9/20

C) 65

7.

[4, 2]  [6,5] [3, 7]  [2, 2]

D) –10/7

B) 48

6. Si:

[x]  n  n  x  n  1

Halle: A) 6

B) 9 C) 8 D) 7 E) 5 14. Si:

11. Si:

ab 

halle:

ab ; b  a 

4  27 

3

3

Calcule:

ab

4  27

A ) 450

Hale el valor de:

B) 500

A ) 90

D) 490

C) 60

C) 503

E) 510 8. Sabiendo que:

a  (b  1)  2a  3b

Halle "x" en:

B) 74

D) 56

A) B) C) D) E)

19 20 21 18 22

15. Sabiendo que:

E) 78 12. Si:

Calcule:

5  x  x  (3  1)

A ) 28/5

A) 7

B) 14/5

C) 20/7 D) 5/12 E) 4/7

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Hallar el valor de:

B) 9

C) 10 D) 8 E) 6 RAZ. MATEMÁTICO

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1. ¿Qué es una operación matemática?

________________________________________ ________________________________________

OPERACIONES MATEMÁTICAS

6. Si:

2. ¿Cuáles son las partes de una operación matemática?

________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

3. Mencione los 4 operadores matemáticos más conocidos.

________________________________________ ________________________________________ 4. ¿Qué es una operación binaria?

________________________________________ ________________________________________

5. Propiedades de una operación binaria.

________________________________________

Calcular x en Resuelve 7.

Si: a * b = a2 – 2ab + b2

Halla  ; si  = 7 * 5

8. Calcular: 1 * (2 * (3 * ( ... * (100)))...) Si: a * b = a2 9. Si: Calcular: 10. Si: Calcule:

________________________________________ ________________________________________

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MÁXIMOS Y MÍNIMOS I

El presente tema, máximos y mínimos, es de aplicación amplia en varias ramas de la ciencia e ingeniería. Es además

importante para el examen de admisión a San Marcos, ya que hay una gran variedad de problemas sobre máximos y

mínimos que han sido preguntas de examen, como por ejemplo: Certezas, recorridos mínimos, máximos y mínimos de expresiones cuadráticas, de áreas, etc.

Los problemas son generalmente asi; se tiene un recipiente

(caja) con objetos, del cual se debe extraer al azar la

Luego, el valor máximo o mínimo de la expresión E se obtiene evaluando E(x0). Además sabemos que gráficamente, la expresión cuadrática E(x), es una parabola: i) Si A > 0

cantidad mínima de objetos para estar completamente

seguros (es decir tener la certeza) de conseguir algo.

La estrategia a utilizar en estos problemas es asumir que ocurre el peor de los casos.

Emin ii) Si A