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LOGICA PROPORCIONAL Es cualquier frase u oración que expresa una idea. CONCEPTO Son expresiones del lenguaje u oraciones aseverativas que se caracterizan por tener la propiedad de ser verdaderas (V) o falsas (F), pero jamás verdaderas y falsas simultáneamente. Se representan con las letras minúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s. Ejemplo: - Túpac Amaru murió decapitado. - 9 < 10 - 45 = 3 2 CARACTERISTICAS - Son expresiones informativas: Utilizan lenguaje descriptivo de la realidad (descripción de objetos, hechos o fenómenos). El Perú está ubicado en la parte central y occidental de América del Sur. - Carecen de ambigüedad: Tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas, pero no ambas a la vez La hormiga es un animal invertebrado (V) Cusco es la capital folklórica del Perú (F) - Son relacionantes: Tienen la cualidad de unirse entre sí, por medio de su verdad o su falsedad. Las proposiciones verdaderas deben generar proposiciones verdaderas, mientras que las proposiciones falsas deben generar proposiciones falsas. Todos los mamíferos son vertebrados (V), en consecuencia los perros son vertebrados (V). Ningún religioso es idealista (F), por tanto ningún católico es idealista (F) EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES - Las frases gramaticales, porque no afirman ni niegan algo: los perros hambrientos. - Las expresiones directivas: ¡retírese! ¡cállese! - Las expresiones desiderativa o los deseos: ¡cómo me gustaría ser médico!

- Las expresiones interrogativas: ¿Será cierto que el cigarrillo produce cáncer? - Las expresiones exclamativas: iqué hambre tengo! iqué frío! - Las expresiones de duda: cambiaría la vida - Las expresiones célebres: "Yo sólo sé que nada se" - Las expresiones o enunciados abiertos:x+3 >7 ENUNCIADO ABIERTO Son enunciados que pueden tomar cualquiera de los 2 valores de verdad. Si: P(x): x > 6 → Se cumple que: P(9) : 9 > 6 es verdadero P(2) : 2 < 6 es falso El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, también, se le conoce como función proposicional.

CLASES DE PROPOSICION Proposición Simple: Son proposiciones que no tienen conjunciones gramaticales ni adverbio de negación. * Cincuenta es múltiplo de diez.

Proposición Compuesta: Formada por dos o más proposiciones simples unidas por conectivos lógicos o por el adverbio de negación. * 29 es un número primo y 5 es impar CONECTIVOS LOGICOS Símbolos que enlazan dos o más proposiciones simples para formar una proposición compuesta. Los conectores lógicos más usados son: OPERACIÓN SIMBOLO SIGNIFICADO LOGICA Negación No p ~ Conjunción pyq ˄ Disyunción poq ˅ Condicional Si p, entonces q → Bicondicional p si solo si q ↔ ∆

Disyunción Exclusiva

“o…… o……”

La negación es un conector monádico, afecta solamente a una proposición.

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OPERACIONES LOGICAS Y TABLAS DE VERDAD

NEGACION: Afecta a una sola proposición. Es un operador monádico que cambia el valor de verdad de una proposición:

CONJUCION: Vincula dos proposiciones mediante el conductor lógico “y”.

p

q

V V F F

V F V F

p

˄

q

V F F F

q

V V F F

V F V F

p

v

q

V V F F

V F V F

q

V V V F

p

∆

q

V V F F

V F V F

p

→

q

LEYES DE ALGEBRA PROPOSICIONAL

q

V V F F

V F V F

p

↔ V F F V



Ley de Idempotencia: pvp≡p p˄p≡p



Ley Conmutativa: pvq≡qvp p˄q≡q˄p



Ley Asociativa: (p v q) v r ≡ p v (q v r) (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ (q ˄ r)



Ley Distributiva: p v (q ˄ r) ≡ (p v q) ˄ (p v r) p ˄ (q v r) ≡ (p ˄ q) v (p ˄ r)



Ley de la Doble Negación: ~ (~ p) ≡ p

q

V F V V

BICONDICIONAL: Vincula dos proposiciones mediante el conductor lógico “…..si y solo si…..”.

p

F V

n = cantidad de proposiciones simples.  Cuando los valores del operador principal son todos verdaderos entonces el esquema molecular TAUTOLOGICO.  El esquema molecular es CONTRADICTORIO si los valores del operador principal son todos falsos.  Si los valores del operador principal tiene por lo menos una verdad y una falsedad se dice que es CONTINGENTE o CONSISTENTE.

F V V F

CONDICIONAL: Vincula dos proposiciones mediante el conductor lógico “si….., entonces”.

p

V F

# de filas: 2n

DISYUNCION EXCLUSIVA: Vincula dos proposiciones mediante el conductor lógico “o….. o…..”.

p

~p

RECORDAR:  La cantidad de filas de una tabla es:

DISYUNCION: Vincula dos proposiciones mediante el conductor lógico “o”.

p

p

q

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



Leyes de Identidad: p v V ≡ V; p v F ≡ p p ˄ V ≡ p; p ˄ F ≡ F Leyes del Complemento: pv~p≡V p˄~p≡F



Ley del Condicional: p→q≡~pvq



Ley de la Bicondicional: p ↔ q ≡ (p → q) ˄ (q → p) p ↔ q ≡ (p ˄ q) v (~ p ˄ ~q) p ↔ q ≡ ~ (p ∆ q)





Ley de Absorción: p v (p ˄ q) ≡ p p ˄ (p v q) ≡ p p v (~ p ˄ q) ≡ p v q p ˄ (~ p v q) ≡ p ˄ q



Es la representación de utilizando un circuito lógico.

una

proposición

Un circuito conmutador puede estar solamente en dos estados estables: cerrado o abierto, así como una proposición puede ser verdadera o falsa. Circuito Serie: Dos interruptores conectados en serie representan una conjunción. p˄q

Circuito Paralelo: Dos interruptores conectados en paralelo representan una disyunción. pvq

Leyes de "De Morgan": ~ (p v q) ≡ ~ p ˄ ~ q ~ (p ˄ q) ≡ ~ p v ~ q

CUANTIFICADORES 

CIRCUITOS LOGICOS

Cuantificador Universal: Sea la función proposicional f(x) sobre un conjunto A, el cuantificador ("para todo") indica que todos los valores del conjunto A hacen que la función proposicional f(x) sea verdadera.

Cuantificador existencial: Sea f(x) una función proposicional sobre un conjunto A, el cuantificador ∃ (existe algún) indica que para algún valor del conjunto A, la función proposicional f(x) es verdadera.

LÓGICA BINARIA La lógica binaria trata con variables que toman 2 valores discretos y con operaciones que asumen significado lógico, para este propósito es conveniente asignar los valores de 1 y 0. PRINCIPALES COMPUERTAS LÓGICAS 

Compuerta AND de dos entradas.



Compuerta OR de dos entradas

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

PROBLEMAS PROPUESTOS

Compuerta NOT

1. Si: (p ˄ ~ q) → r; es falsa, determinar los valores de verdad de "p", "q" y "r". 

Compuerta NAND de dos entradas



Compuerta NOR de dos entradas

a) VVF d) VFV

b) VFF e) FFF

2. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (12 = 2) ↔ (1 +

PROBLEMAS RESUELTOS 1. (Cuantificador Existencial) Sea f(x) = x2 - 5 < 8 donde: x ∈ Z+ Sol. ∃ x ∈ Z+ / x2 – 5 < 8 → La proposición es verdadera.

c) VVV

= )

II. (3 + 2 = 5) v (7 - 2 = 9) III. (4 – 1 = 3) → (2 - 10 = - 8) IV. (3 + 7 = 10) ˄ (12 > 5) a) FVVF d) VFVV

b) VVVF e) FVVV

c) VVFV

3. Si la proposición que se obtiene es falsa. ¿Cuáles son los valores de p y q respectivamente?

2. (Cuantificador Universal) Sea f(x) = x3 + 2 > 5 donde: x ∈ N Sol. x ∈ N / x3 + 2 < 5 → La proposición cuantificada es falsa. 3. Completar la tabla: p q ~q p˄~q ~(p˄~q)

4. Construir una tabla de verdad para ~(p˄~p): Sol.

# de filas: 2n → solo p = 21 = 2 filas Se toman encabezamientos p; ~p; p˄~p y ~(p˄~p) p ~p p˄~p ~(p˄~p) V F F V F V F V Todos los valores de ~(p˄~p) son V → la proposición es TAUTOLOGICA

a) VV d) VF

b) FF e) NA

c) FV

4. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si p es falso, p ↔ q es II. Si q es falso, p ˄ q es III. Si p es verdad, p v q es a) VFV d) FVF

b) VVF e) FFV

c) FVV

5. La proposición: “No es cierto que estudie y no apruebe” es verdadera", se afirma que: a) no estudio y apruebo b) estudio y apruebo c) no estudio o apruebo d) estudio o no apruebo e) estudio o apruebo

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6. La proposición: “viajas a Ica y no viajas a Tumbes” es falso, se afirma que: a) no viajas a Ica y viajas a Tumbes b) no viajas a Ica o no viajas a Tumbes c) viajas a Tumbes o no viajas a Ica d) viajas a Tumbes y viajas a Ica e) viajas a Ica y viajas a Tumbes 7. ¿Cuál es la relación correcta? I. No es el caso que p y q II. p solamente si q y no r III. Si p y q, entonces no r o q A. (p ˄ q) → (~r v q) B. ~ (p ˄ q) C. p ↔ (q ˄ ~r) a) 1A; 2C; 3B c) 1B; 2A; 3C e) 1A; 2B; 3C

b) 1B; 2C; 3A d) 1C; 2B; 3A

11. Dada la proposición “Llueve y los gatos no maúllan o bien hace sol y los gatos no maúllan”, se representara como: p = llueve; q = hace sol; r = los gatos maúllan a) (p v r) ˄ (q v r) c) (p ˄ ~r) v (q ˄ ~r) e) (p v ~r) ˄ (q v ~r)

b) (p v ~r) v (~q v ~r) d) (p v r) v (q v ~r)

12. Si la proposición es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?

p → (r v s) I. (~s v t) v ~p II. r ↔ p III. t → ~r IV. (r → p) v (s → t) a) 4 d) 1

b) 3 e) Ninguna

c) 2

13. Simplificar el siguiente circuito:

8. Dada la proposición “Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos”, se representara como: a) p v ~q d) ~p ˄ q

b) ~p ↔ q e) ~p → q

c) p → q

9. Dada la proposición “Los gatos maúllan únicamente si llueve y hace sol”, se representara como: p = llueve; q = hace sol; r = los gatos maúllan a) r ↔ (p ˄ q) c) r ↔ (p v q) e) r → (p v q)

b) r → (p ˄ q) d) ~r → (~p v ~q)

a) (q ˄ p) d) ~p

b) p e) ~q

14. Simplificar y representar el circuito para:

~{~[(q v p) ˄ r] v ~p}

10. Dada la proposición “Cuando los gatos no maúllan, no llueve o no hace sol”, se representara como: p = llueve; q = hace sol; r = los gatos maúllan a) ~r → (~p ˄ ~q) {c) ~r ↔ (~p ˄ ~q) e) ~r → (~p v q)

c) q

b) ~r ↔ (~p v ~q) d) ~r → (~p v ~q)

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15. Hallar el equivalente de:

a) p ˄ q d) p

b) ~p e) ~q

c) q

20. Se define (p ❶ q) por la siguiente tabla:

a) p ˄ ~q d) p v q

b) p ˄ q e) ~q

c) p v ~q

p

q

p❶q

V V F F

V F V F

V F V V

Reducir:

[(~p ❶ q) ❶ p] ❶ (q ❶ p)

16. La forma negada de “Ni eres médico ni eres joven” es:

a) p ˄ q d) p v q

c) p → q

b) ~p ˄ ~q e) ~p v ~q

a) Eres médico o no eres joven. b) Eres médico o eres joven. c) No eres médico o no eres joven. d) Eres médico y eres joven. e) No eres médico y eres joven. 17. Simplificar la expresión:

[q → ~(p → q)] → ~p a) q → ~p d) ~q ˄ ~p

b) p ˄ q e) q v ~p

c) ~q v p

18. Si se sabe que r ∆ s es verdadero. Simplificar:

{[(r v s) ˄ (~p v q)] ˄ [(r ˄ s) v ~q]} v (r ↔ s) a) ~p v ~q d) ~p ˄ q

b) ~p ˄ ~q e) ~p → ~q

c) p v ~q

19. ¿Qué proposición representa el siguiente circuito?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b e d a c c b e a d

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

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c b d e a a e b d c