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• Huber Rogger Marquina Quispe

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Proposiciones simples y compuestas Introducción

   

Siempre que nosotros hacemos diferentes tipos de afirmaciones nos debemos basar en una serie de análisis que nos permitan aclarar y rectificar si lo que dijimos anteriormente es verdadero o falso. En el trabajo que a continuación desarrollaremos podremos encontrar como, cuando y en que situación podemos aplicar este tipo de proposiciones. OBJETIVO GENERAL Definir y reconocer las proposiciones simples y compuestas; además de eso entender el verdadero significado de cada caso que se presente. OBJETIVOS ESPECIFICOS Diferenciar las proposiciones simples de las compuestas. Construir proposiciones simples y compuestas. Aplicar lo enseñado y entendido a nuestra vida cotidiana. Clasificar diferentes proposiciones.

Qué es una proposición

           

Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b. Ejemplo: Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar). Hablo y no hablo. Viene o no viene. Carlos Fuentes es un escritor. (Simple) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta) No todos los números primos son impares. (Compuesta)

Clases de proposiciones



  

Existen dos clases de proposiciones: PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir. Ejemplos: El cielo es azul. PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplos: Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

Conectivos (operadores) lógicos Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares). TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS Conectivo

Props. Compuesta

NOT

¬

Negación

AND

^

Conjunción

OR

v

Disyunción inclusiva

OR exclusivo

v

Disyunción exclusiva Condicional Bicondicional

 

 





A) NEGACION: EJEMPLO: Juan conversa. Juan no conversa. B) CONJUNCION: EJEMPLO: P: La casa esta sucia. Q: La empleada la limpia mañana. PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana. C) DISYUNCION: D) DISYUNCION EXCLUSIVA: EJEMPLO: P: Pedro juega básquet. Q: María juega futbol. PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol. E) CONDICIONAL: EJEMPLO: P: Si me saco la lotería. Q: Te regalare un carro. PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro. F) BICONDICIONAL: EJEMPLO: P: Simon bolívar vive. Q: Montalvo esta muerto. PQ: Simon bolívar vive si y solo si Montalvo esta muerto.

Formas proposicionales



Existen tres formas proposicionales: TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado verdadero. CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso. FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez. PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES A) CONMUTATIVA:

B) ASOCIATIVA:

C) DISTRIBUTIVA:

D) IDENTIDAD:

E) ABSORCION:

F) LEYES DE MORGAN:

G) DOBLE NEGACION:

Anexo (Razonamiento) Las formas proposicionales que están constituidas por una o más hipótesis o premisas por una conclusión. Estructura Conjunto de premisas conclusión. Un razonamiento es valido si y solo si el condicional formado es tautológico. EJEMPLO: Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias. 1.- Identificamos las hipótesis y la conclusión, que en este caso son separadas por ";". H1.- Si hay lluvias, hay cosechas. H2.- Si hay enfermedades, no hay cosechas. H3.- Hay heladas o hay enfermedades. H4.- No hay enfermedades. C.- Hay lluvias. 2.- Determinamos las proposiciones simples: p: Hay lluvias q: Hay cosechas r: Hay enfermedades S: Hay heladas 3.- Traducimos al lenguaje formal. H1: H2: H3: H4: C: 4.- Entonces estructuramos el razonamiento.

Preguntas generadoras   

¿De que manera podemos aplicar la lógica proposicional a la ingeniería de sistemas? ¿a través de las proposiciones lógicas en que modelo la carrera podemos aplicar razonamientos lógicos? ¿Qué métodos se utilizan para saber si algo es verdadero o es falso, y que tanto aportan las proposiciones a la ingeniería de sistemas? MAPAS CONCEPTUALES 1)

2)

Vídeos de lógica proposicional: 1) Enunciado, enunciado abierto y proposiciones: https://youtu.be/WOASUT2bXM0 2) Conectivos u operadores lógicos: https://youtu.be/t98L_B_Ok8g 3) Proposiciones simples y compuestas: https://youtu.be/9PaIxf3TysU 4) Operaciones con proposiciones lógicas: https://youtu.be/YFJnRxOed5Y 5) Cómo expresar proposiciones en el lenguaje simbólico: https://youtu.be/TwHIw4_HJic 6) Del lenguaje escrito al lenguaje simbólico: https://youtu.be/W2PO1COj7-E 8) Valor de verdad de las proposiciones lógicas: https://youtu.be/D7A1BHQ17lQ 9) Valor de verdad de proposiciones simbólicas: https://youtu.be/J3t4G7r_5Ww 10) Tablas de verdad (1): https://youtu.be/3btmLPx0FnI 11) Tablas de verdad (2): https://youtu.be/YHeMRwSF1gM 12) Leyes lógicas (Parte 1): https://youtu.be/gOK8FsGc15E 13) Leyes lógicas (Parte 2): https://youtu.be/uFj5o7uuWrg 14) Simplificación de proposiciones (1): https://youtu.be/LPumjaEUy5o 15) Simplificación de proposiciones (2): https://youtu.be/o8ALhcYMnMw 16) Simplificación de proposiciones (3): https://youtu.be/Mid7_qEoUt8 17) Inferencia lógica o argumento lógico (1): https://youtu.be/OmX1Xg6bnlk 18) Inferencia o argumento lógico (2): https://youtu.be/-yeA89uLYWk 19) Las leyes de absorción: https://youtu.be/R9MCOKoVGIM 20) Simplificación de proposiciones con leyes de absorción: https://youtu.be/DE6hVcuKCHY

LÓGICA PROPOSICIONAL: ENUNCIADOS, CONECTIVOS, TABLAS DE VERDAD, LEYES E INFERENCIA LÓGICA 1.

LOGICA PROPOSICIONAL:

El ser humano en la vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito,..., etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones, estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo este el precedente fundamental para el desarrollo del pensamiento humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados (frases u oraciones) y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de estas podemos llegar a una conclusión, siendo la ciencia encargada del estudio de estas, la lógica.

1.1. ENUNCIADO.- Denominamos así a toda frase u oración. Ejemplos: 1)

Prohibido fumar.

2)

x2+y2≥9

3)

Tribunal en Lima verá denuncias sobre Ancash

4)

4x – 1= – 5

5)

¿Qué hora es?

6)

Fallo contra megacomisión enfrenta al Poder Judicial y al Congreso

7)

Él es estudiante de la facultad de ciencias Administrativas y Contables

8)

- 6,78 > 1,43

9)

El desempleo bajó levemente en febrero

10) ¡Auxilio! 11) Deténgase. 12) Ollanta Humala no es el presidente del Perú. 13) Paolo guerrero es jugador de futbol 14) ¿Dónde estabas? 15) Prohibido hacer ruido 16) Juez anula todos los informes que acusan a García

1.2. PROPOSICIÓN.- Una proposición es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas simultáneamente. Representación simbólica: p, q, r, s, t,..., etc. Ejemplos:

REPRESENTACIÓN

PROPOSICIÓN

VALOR DE VERDAD

SIMBÓLICA

p:

El pentágono tiene cuatro lados

F

r:

Mario Vargas Llosa escribió conversación en la catedral

V

s:

Ica es la región más afectada por el terremoto del 2 007

V

t:

El parque de la identidad se encuentra ubicado en Chilca

F

p:

-4+3=7

F

r:

3,56 > 0,099

V

El valor veritativo o valor de verdad de una proposición se expresa simbólicamente. Si p es una proposición, su valor de verdad se denota por V(p) Se escribe: V(p) = V. Si valor de verdad de la proposición p es verdadera Se lee: el valor de verdad de la proposición p es verdadera Se escribe: V(p) = F. Si valor de verdad de la proposición p es falsa

Se lee: el valor de verdad de la proposición p es falsa

1.3. EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES

LÓGICAS

Son las expresiones que indican orden, advertencia, saludo, exclamación o interrogación. Es decir, estas expresiones sólo se quedan como enunciados. Ejemplos: -

¡Buenos días!.

-

¡Hola, Harry!

-

¿Quién tocó la puerta?

-

¿Qué edad tienes?

-

No faltes.

-

Prohibido fumar.

-

¿Así se llaman esas criaturas?

-

¡Viva la matemática!

1.4. ENUNCIADOS ABIERTOS Los enunciados que usan las palabras “el”, “ella” o las letras x, y, z, ... , etc. No tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, es decir, no son proposiciones. Pero, si a estas palabras o letras se les asigna un determinado objeto o valor, llamado constante, el resultado es una proposición. A este tipo de enunciados se les denomina enunciados abiertos. Ejemplos: -

Ella es estudiante de contabilidad

-

x – 3 > 7

-

5x + 3y = 2 Si en el primer ejemplo reemplazamos ella por Meredditt, se tiene, “Meredditt es estudiante de contabilidad”, que es una proposición donde su valor de verdad es V ó F dependiendo de que si Meredditt sea o no estudiante de contabilidad. Si en el segundo ejemplo “x” toma un valor menor o igual que 10 la proposición es falsa y si “x” toma un valor mayor a 10 la proposición es verdadera. En el tercer ejemplo las variables o letras “x” , “y” pueden tomar infinitos valores para que el valor de verdad de la ecuación sea verdadera o falsa.

2.

CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS:

Los conectivos lógicos son símbolos que enlazan proposiciones simples o atómicas, sin formar parte de ellas: estos símbolos también toman el nombre de operadores. Los conectivos lógicos que usamos en matemática son:

LENGUAJE LENGUAJE COLOQUIAL

NOMBRE DEL OPERADOR SIMBÓLICO

no

~

La negación

y



o



La disyunción inclusiva

Si ... entonces ...



La condicional

... sí y sólo sí ...



La bicondicional

O bien ... o bien



La disyunción exclusiva

La conjunción

 = Delta (Cuarta letra del alfabeto griego que corresponde a “d” latina)

3.

CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS:

3.1. PROPOSICIONES SIMPLES O ATÓMICAS Cuando en ella no existe conectivo u operador lógico alguno. Ejemplos: -

p: El cuadrado tiene 5 lados

-

q: 3 x 4 = 12

-

r: 9 es múltiplo de 3

3.2. PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES Cuando en ella existe o está presente al menos un conectivo u operador lógico. Ejemplos: -

 p: 12 - 5 ≠ 9

-

q  p: Rosario jugó, aunque estuvo lesionado

-

q  p: Llegué tarde porque el carro se malogró

4.

OPERACIONES CON PROPOSICIONES:

Así como en aritmética y en álgebra se estudian operaciones entre números, en lógica se estudian operaciones entre proposiciones.

4.1. LA NEGACIÓN La negación de una proposición p se escribe “~ p” y se lee “no p” ó “no es cierto que p” ó “es falso

p

~p

V

F

F

V

p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

que p” y es otra proposición que niega que se cumpla p.

Ejemplo: Sea la proposición:

p: 4 x 5 = 20

Su negación es:

~ p: no es cierto que 4 x 5 = 20

o se puede escribir: ~ p: 4 x 5 ≠ 20

(V) (F) (F)

Simbólicamente: V( ~ p) = F

4.2. LA CONJUNCIÓN Dadas las proposiciones p, q, se simboliza “p q” y se lee “p y q”, sólo es verdadero cuando ambos son verdaderos, en los demás casos siempre es falso.

Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 7 es un número par

(F)

q: 7 es menor que 5

(F)

p  q: 7 es un número par y 7 es menor que 5

(F)

Simbólicamente: V(p  q) = F

NOTA: En toda proposición, las palabras: “pero”, “sin embargo”, “además”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, etc. Equivalen al conectivo ” “

4.3. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA

Dadas dos proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “p ó q”, sólo es falso cuando ambos son falsos, en los demás casos siempre es verdadero.

Ejemplo:

p

q

pq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Dadas las proposiciones: p: 4 < 7

(V)

q: 4 = 7

(F)

p  q: 4 < 7 ó 4 = 7

(V)

Simbólicamente: V(p  q) = V

4.4. LA CONDICIONAL Dadas dos proposiciones p, q se escribe

p

q

pq

“p  q” y se lee “si p entonces q” ó “p implica q” ó “p es suficiente para que q”, etc., sólo es falso cuando el primero es verdadero y el segundo es falso, en los demás casos siempre es verdadero.

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

( p = antecedente

y

q = consecuente)

Ejemplo: p  q : Si gano las elecciones entonces bajaré el precio de los combustibles Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 3 es un número primo

(V)

q: 31 es un número par

(F)

p  q : si 3 es un número primo entonces 31 es un número

par

(F)

Simbólicamente: V(p  q) = F

NOTA: En toda proposición las palabras: “porque”, “puesto que”, “ya que”, “siempre que”, “cuando”, “si”, “cada vez que”, “dado que”, son conectivos que representan a la condicional. Se caracterizan porque después de cada uno de estos términos esta el antecedente

Ejemplo: No jugué porque llegué tarde p: no jugué q: llegué tarde

(consecuente) (antecedente)

Simbólicamente: q  p

4.5. LA BICONDICIONAL Dadas dos proposiciones p, q se escribe

p

q

p q

“p  q” y se lee “p si y solo si q”, es verdadero cuando los valores de verdad son iguales y es falso cuando los dos valores de verdad son diferentes.

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 3 < 7

(V)

q: 3 + 5 < 7 + 5

(V)

p  q: 3 < 7 si y solamente si 3 + 5 < 7 + 5

(V)

Simbólicamente: V(p  q) = V

4.6. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Dadas las proposiciones p, q se escribe “p  q” y se lee “o bien p o bien q”, es falso si los valores de verdad de las proposiciones son iguales y es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones son diferentes.

p

q

p

 q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Ejemplo: Sean las proposiciones: p: 4 > 7 q: 4 < 7 p  q: o bien 4 > 7 o bien 4 < 7

(F) (V) (V)

Simbólicamente: V(p  q) = V

5.

EXPRESAR EN EL LENGUAJE SIMÓLICO PROPOSICIONES LÓGICAS DEL LENGUAJE ESCRITO: Para expresar en el lenguaje simbólico proposiciones que se encuentran en el lenguaje escrito es necesario subrayar y escribir el conectivo u operador correspondiente.

6.

DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES LÓGICAS Para determinar el valor de verdad de una proposición, primero se expresa en el lenguaje simbólico, luego se asigna el valor d verdad de la proposición simple, para luego operar con los conectivos correspondientes hasta determinar el valor de verdad de la proposición compuesta.

RESUMEN pq pq

p

q

pq

p q

pq

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 01 1) Escribe al lado derecho de cada una de estas expresiones, si es: enunciado, proposición o enunciado abierto. (1) ¡Hola que tal! (2) x² + 1 < 10 (3) El lapicero es rojo pero no es amarillo (4) Él es administrador y contador (5) ¿Vives con tu primo? (6) El nuevo local de la facultad de ciencias administrativas y contables se encuentra en Chorrillos. 2) Formula ejemplos de enunciados, proposiciones y enunciados abiertos. Cinco ejemplos de cada uno. 3) Expresa en el lenguaje simbólico: a) No es cierto que, Ollanta Humala no es el presidente de Ecuador. b) Es falso que, Mayumi llegó tarde porque se quedó dormida. c) Paolo Guerrero llego tarde al partido pero jugó. d) Si hoy es miércoles entonces mañana no es martes 4) Que diferencias y similitudes estableces entre una proposición simple y una proposición compuesta 5) Determina los valores de verdad de las siguientes proposiciones: a) Es falso que, Paolo guerrero no es jugador del Sport Club Corinthians Paulista. b) 20 es múltiplo de 4, pero, 7 es menor o igual que 10

c) O 9 es mayor que 5 o es menor que 5. d) 24 es múltiplo de 8 puesto que 24 es un número impar. e) Ollanta Humala no ganó las elecciones presidenciales de Perú con un 54 %. f) No es cierto que, Susana Villarán no fue revocada 6) Si: ~(~p  q)  (r  q)   (~p  q)  (q  ~ p), es verdadera. Calcula los valores de verdad de p, q y r. 7) Si: (p  ~q)  (~r  ~s), es los esquemas moleculares: a) ~(p  ~q)  r

falsa.

Determina

los

valores

de

verdad

de

b) (~p q)  (p  ~q)

8) Sabiendo que el valor de verdad de la proposición compuesta: {~(p  r)  q  (p  q)  s}  (s  p)  t, es siempre falsa. Determina el valor de verdad de la proposición ~(p  ~q)  (r  ~s)  (t  ~p)

7.

TABLA DE VALORES DE VERDAD

Consiste en obtener los valores del operador principal a partir de la validez de cada una de las variables proposicionales. Para evaluar una tabla de verdad de dos variables proposicionales se necesitan 22 = 4 valores de verdad en cada columna. En general el número de valores de verdad que se asigna a cada variable resulta de aplicar la fórmula 2n, donde “n” es el número de variables que hay en el esquema molecular o proposición lógica. Las combinaciones de todas las posibilidades de V y F se hacen en las columnas de referencia al margen izquierdo del esquema, luego se procede a aplicar la regla a cada uno de los operadores, empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor jerarquía. Ejemplo: Construye la tabla de verdad del esquema molecular: ~ (p  q )  (~ p)  (~ q) Solución: Aplicando la fórmula 2n = 22 = 4 (n=2) porque el número de variables o proposiciones son 2, p y q. En la columna de p se escribe hacia abajo 2 verdaderos y dos falsos, seguidamente en la siguiente columna, columna de q se escribe, un verdadero y un falso, un verdadero y un falso. Para resolver se tiene en cuenta los signos de agrupación y el orden, en nuestro ejemplo se procede así:  Se resuelve la columna 1 con el operador de la conjunción.

 Se resuelve la columna 2, en este caso, es la negación del resultado de la columna 1.  Se resuelve la columna 3, que es la negación de la proposición p.  Se resuelve la columna 4, que es la negación de la proposición q.  Columna 5, es el resultado de operar las columnas 3 y 4, con el operador de la disyunción inclusiva.  Columna 6, es el resultado de operar las columnas 2 y 5, con el operador de la bicondicional.

OBSERVACIÓN

-

Para combinar los valores de verdad de las variables p y q, se realiza lo siguiente: n = 2 ( 2 variables)

-

Se aplica la fórmula 2n = 22 = 4

-

Significa que en la primera columna se tendrán 4 valores, 2 verdaderos y 2 falsos

-

En la segunda columna se tendrán la mitad de lo anterior, en este caso, un verdadero y un falso

p

q

~ (p  q)  (~p)  (~q)

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V V

F

V

V

F

V

V

V F

F

F

V

F

V

V

V V

2

1

6

3

5 4

PASOS

F

La columna 6 es el resultado de evaluar el esquema molecular o proposición compuesta por el método de la tabla de valores de verdad. La columna resultado presenta diferentes formas, que a continuación estudiamos.

7.1. TAUTOLOGÍA.- Llamamos tautología si en la columna resultado todos los valores son verdaderos 7.2. CONTRADICCIÓN.- Llamamos resultado todos los valores son falsos.

contradicción

si

en

la

columna

7.3. CONTINGENCIA.- Llamamos contingencia si en la columna resultado se encuentra verdaderos y falsos, sin considerar cuántos verdaderos o cuántos falsos existan, es suficiente que se encuentren ambos.

8.

IMPLICACIÓN LÓGICA Y EQUIVALENCIA LÓGICA

IMPLICACIÓN LÓGICA Se llama implicación lógica o simplemente implicación a toda

condicional

p  q que sea tautología. Ejemplo: Verifica si la siguiente condicional es una implicación lógica: (p  q)  ~ q  ~ p

p

q q

(p  q)  ~p



~

V

V

V

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

En la columna resultado se observa los valores de verdad, en este caso todos son verdaderos. Entonces, afirmamos que la condicional es tautología, por tanto, es una implicación lógica. Si en la columna resultado se obtiene contradicción o contingencia, entonces, no existe implicación lógica.

EQUIVALENCIA LÓGICA Se llama equivalencia lógica o simplemente equivalencia a toda bicondicional p  q que sea tautología. Ejemplo: Verifica si la siguiente bicondicional es una equivalencia lógica: p  (p  q)  p

p

q

p



V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

V

F

(p  q)



p

Como se verifica que el resultado de la bicondicional, es tautología, afirmamos que es una equivalencia lógica. Entonces, podemos afirmar que: p  (p  q)  p

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 02 1) Construye las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y evalúa si es tautología, contradicción o contingencia: a) (p  ~ q)  ~ p  ~ (~ q  p) b) p  (q  r)    (~p  ~r)  ~q 2) Dadas las proposiciones: M= (p  q)  ~p

y

N = (~p  q)

Evalúa si M implica a N. 3) Dadas las proposiciones S = ~p  (p  q) y T= (p  ~q) Evalúa si S es equivalente a T.

9.

LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas. Existen infinitas proposiciones equivalentes. Pero sólo consideraremos algunas a las que llamaremos leyes del álgebra proposicional

1) Leyes del tercio excluido p   p  V

ppF

6) Leyes distributivas p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

2) Ley de involución o doble 7) Leyes de De Morgan negación  (p  q)   p   q ~ (~ p)  p  (p  q)   p   q

3) Ley de idempotencia ppp

ppp

4) Leyes conmutativas pqqp

8) Leyes condicionales pqpq

9) Leyes bicondicionales p  q  (p  q)  (q  p)

pqqp pqqp

5) Leyes asociativas

10) Leyes de absorción

(p  q)  r  p  (q  r)

p  (p  q)  p

(p  q)  r  p  (q  r)

p  (p  q)  p p  ( p  q)  p  q p  ( p  q)  p  q

11) Formas normales para la conjunción y disyunción VVV

FFF

pVp

pFp

pFF

pVV

Las leyes del álgebra proposicional se aplican o utilizan en la validación de proposiciones compuestas, es decir, para determinar el valor de verdad de una proposición. Además se utiliza en la simplificación de proposiciones compuestas. Ejemplo: Simplifica la proposición  (p   q)  (p  q) aplicando las leyes del álgebra proposicional.   (p   q)  (p  q)

………………

Ley condicional

(p   q)  (p  q)

………………

Ley de doble negación

p  ( q  q)

………………

Ley distributiva

pV

………………

Ley del tercio excluido

p

………………

Formas normales

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 03 Simplifica los siguientes esquemas moleculares aplicando las leyes del álgebra proposicional: 1)

   (p   q)   p

2)

(p  q)   p  ( q  p)

3)

( p  q) ( q  p)

4)

(p  q)   p  ( q  p)

10.

LA INFERENCIA LÓGICA O ARGUMENTO LÓGICO

Se llama inferencia lógica o argumento lógico a toda condicional de la forma: (p1  p2  …  pk )  q donde las proposiciones p1, p2, … pk son llamadas premisas, y originan como consecuencia otra proposición denotada por q llamada conclusión. Una inferencia puede ser tautología, contingencia o contradicción. Si la condicional es una tautología, es decir si es una implicación entonces recibe el nombre de argumento válido o inferencia válida. Si la condicional no es una tautología entonces se denomina falacia o simplemente argumento no válido. Ejemplo: Válida el argumento (p  q)  p Solución Aplicando las leyes del álgebra proposicional  ( p  q)  p

……………..

Ley condicional

(p   q)  p

……………..

Ley de De Morgan

p

……………..

Ley de absorción

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nro. 04 1) Verifica la validez de los siguientes argumentos aplicando las leyes del álgebra proposicional y construyendo tablas de verdad: a) p  q

b) (p  q)   r

qp

qr

______

___________

q

Pq

2) Valida el siguiente argumento lógico: La parada militar no se realizará en Huancayo porque Doe Run bloquea la carretera central Lo colegios emblemáticos amenazan con protestas en contra del gobierno Doe Run no bloqueará la carretera central

Por lo tanto, La parada militar se realizará en Huancayo

3) Valida la siguiente inferencia lógica: Si el gobierno suspende el estado de emergencia entonces Espinar vuelve a la calma Los dirigentes de Espinar tienen intereses electoreros Espinar no vuelve a la calma Por lo tanto, El gobierno no suspende el estado de emergencia

4) Valida el siguiente argumento lógico:

Si se realiza el estudio técnico entonces el aeropuerto de Jauja va No se realiza el estudio técnico porque los jaujinos protestan Los jaujinos no protestan _____________________________________________________________ Por tanto, el aeropuerto de Jauja no va

5) Valida el siguiente argumento lógico:

Si canto bien entonces no gano el concurso No ganaré el concurso porque tengo pocos votos por la red Canté bien ________________________________________________________ Por tanto, no gané el concurso 6) Valida la siguiente inferencia lógica:

Los ministros no comunican al pueblo sobre las obras del gobierno dado que son mudos. No es cierto que, los ministros sean mudos porque con frecuencia son entrevistados en los medios de comunicación. Por tanto, los ministros no son mudos.

7) Valida el siguiente argumento lógico:

Si trabajo no puedo estudiar. Estudio o apruebo matemática. Trabajé. Por lo tanto, aprobé matemática

8) Valida la siguiente inferencia lógica:

Conga no va porque la minería contamina las lagunas. Si la minería no contamina las lagunas entonces los ríos traen agua no contaminada. Los ríos traen agua contaminada. Por lo tanto, Conga va. 9) Valida la siguiente inferencia lógica:

Si gano las elecciones bajaré el precio de los combustibles. Bajaré el precio de los combustibles si los electores votan por mí. Los electores no votaron por mí. _____________________________________________________ Por tanto no bajaré el precio de los combustibles

Vídeos de lógica proposicional: 1) Enunciado, enunciado abierto y proposiciones: https://youtu.be/WOASUT2bXM0 2) Conectivos u operadores lógicos: https://youtu.be/t98L_B_Ok8g 3) Proposiciones simples y compuestas: https://youtu.be/9PaIxf3TysU 4) Operaciones con proposiciones lógicas: https://youtu.be/YFJnRxOed5Y 5) Cómo expresar proposiciones en el lenguaje simbólico: https://youtu.be/TwHIw4_HJic 6) Del lenguaje escrito al lenguaje simbólico: https://youtu.be/W2PO1COj7-E 8) Valor de verdad de las proposiciones lógicas: https://youtu.be/D7A1BHQ17lQ 9) Valor de verdad de proposiciones simbólicas: https://youtu.be/J3t4G7r_5Ww 10) Tablas de verdad (1): https://youtu.be/3btmLPx0FnI 11) Tablas de verdad (2): https://youtu.be/YHeMRwSF1gM 12) Leyes lógicas (Parte 1): https://youtu.be/gOK8FsGc15E 13) Leyes lógicas (Parte 2): https://youtu.be/uFj5o7uuWrg 14) Simplificación de proposiciones (1): https://youtu.be/LPumjaEUy5o 15) Simplificación de proposiciones (2): https://youtu.be/o8ALhcYMnMw 16) Simplificación de proposiciones (3): https://youtu.be/Mid7_qEoUt8 17) Inferencia lógica o argumento lógico (1): https://youtu.be/OmX1Xg6bnlk 18) Inferencia o argumento lógico (2): https://youtu.be/-yeA89uLYWk

19) Las leyes de absorción: https://youtu.be/R9MCOKoVGIM 20) Simplificación de proposiciones con leyes de absorción: https://youtu.be/DE6hVcuKCHY