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PROPOSICIONES LÓGICAS Sí x: Lima, Quito… Para p (Lima): Lima es la capital del Perú es verdadero (V) Para p (Quito): Quito es la capital del Perú es falso (F) b) q: y + 4 = 11 , y es número natural Y: 0; 1; 2; 3; 4;….. Para q (1): 1+ 4 = 11 , es falso (F) q (7): 8+4 = 11 , es verdadero (V)

Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima (V) r: El número 15 es divisible por 3. (V) s: El perro es un ave. (F) t: Todos los triángulos tienen cuatro lados (F) u: ¿Qué día es hoy? No es una proposición p: ¡Viva el Perú 1! EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES a) ¡Levántate temprano! b) ¿Has entendido lo que es una proposición? c) ¡Estudia esta lección! d) ¿Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón

Práctica Dirigida Nª 02 Determine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos y para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas y falsas a) b) c) d) e) f) g) h)

x es hermano de y 28 < 15 El es arquitecto Tenga calma ,no se impaciente 9x + 3 = 12 , x  R x es Ingeniero y Juan es Matemático 3x – 8 > 15 , x  R

x + y  15 , x,y i) 2x + 5 > 11, x  R j) 3x + 7 = 11, x  N l)

R

x es un animal

CLASE DE PROPOSICIONES No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones Práctica Dirigida Nº 01

I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) 5 + 7 = 16 - 4 ( ) b) ¡Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = 15 + 1 y 4 - 2  23 x 5 ( ) e) ¿El silencio es fundamental para estudiar? ( ) f) 20 -18 = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( ) i) ¿Eres estudiante de matemática? ( ) j) 15 < 13 ( ) k) Ponga atención ( )

ENUNCIADOS ABIERTOS.- son aquellos enunciados que constan de variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". Ejemplos: a) p: x es la capital del Perú

A) Proposición Simple o Atómicas.- Son aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional . Por ejemplo, sea la proposición p: 3 + 6 = 9 B) Proposición Compuesta o molecular.- Son aquellas proposiciones que constan de dos o más proposiciones simples. Ejemplo: r: Pitágoras era griego p

y

era geómetra q

encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra. Ejemplo: p: Juan es profesor o Manuel es arquitecto Donde podemos observar que la proposición p, se divide en dos proposiciones simples: r: Juan es profesor y s : Manuel es arquitecto Es decir , p : r o s CONECTIVOS LÓGICOS.- Enlazan proposiciones simples

A partir de proporciones simples es posible generar otras, simples o compuestas. Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos símbolos llamados conectivos lógicos Símbolo

Operación asociada

Significado

~ Negación



no p o no es cierto que p

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. Ejemplo. La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática

pyq Conjunción o producto lógico



p o q (en sentido incluyente)

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p  q (se lee "p y q")

Disyunción o suma lógica



Implicación



Doble implicación



Diferencia simétrica

2.-CONJUNCIÓN

p implica q, o si p entonces q

Ejemplo.

p si y sólo si q

Sea la declaración

p o q (en sentido excluyente)

i) 5 es un número impar y 6 es un número par  p q vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba: 1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p : Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p

~p

V

F

F

V

p: 5 es un número impar q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera. Tabla de verdad p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7 q : Todo número par es múltiplo de dos Entonces : p  q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera

3.-DISYUNCIÓN Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q , se lee ” p o q “ Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V. La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad p

q

p  q

V V F F

V F V F

V V V F

al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. Tabla de verdad p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL

Ejemplo2 Si p : Hace frió en Invierno , y q : Napoleón invadió Lima p  q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera 4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. Ejemplo.

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") Ejemplo 1: p : Karina ingresa a la universidad q : Karina estudia mucho Entonces: p  q : Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a² = b²

Supongamos la implicación i)Si apruebo, ENTONCES te presto el libro p



q

La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V. Tabla de verdad p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F F V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos: p

q

p  q

qp

(p  q)  (q  p)

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

V F F V

p

q

p  q

V V F F

V F V F

F V V F

La verdad de p  q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Ejemplo. Sea

i) o vamos a Lima o vamos a Ica

queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p  q Ejemplo. Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad

q

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

Ahora bien , si analizamos la proposición q: ~p  q, su tabla de verdad resulta:

Diferencia Simétrica Diferencias simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es:

p

p

q

~p  q

V V F F

V F V F

V F V V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son logicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p  q)  (~p  q) TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~{ (p  q)  (s  t) } Tautología Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores veritativos, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo. Si analizamos la proposición t: p  ~p realizando su tabla de verdad: p

~p

p  ~p

V F

F V

V V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición

t: p  ~p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología.

Involución ~(~p)  p (se lee "no, no p, equivale a p")

Ejemplo.Analizemos ahora la fórmula lógica {(pq)p}q

Idempotencia

p

q

pq

qp

{(pq)p}q

V V F F

V F V F

V F V V

V F F F

V V V V

(p  ~p)  p (p  ~p)  p Conmutatividad a) de la disyunción: p  q  q  p b) de la conjunción: p  q  q  p Asociatividad a) de la disyunción: (p  q)  r  p  (q  r) b) de la conjunción: (p  q)  r  p  (q  r)

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Contradicción Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción.

Distributividad a)de la conjunción respecto de la disyunción: (p  q)  r  (p  r)  (q  r) b)de la disyunción respecto de la conjunción: (p  q)  r  (p  r)  (q  r) Leyes de De Morgan ~( p  q )  ~p  ~q " La negación de una disyunción equivale a la conjunción de las negaciones"

Ejemplo Analizemos la fórmula lógica p  ~p p

~p

p  ~p

V F

F V

F F

~( p  q )  ~p  ~q "La negación de una conjunción equivale a la disyunción de las negaciones" 1.1 Negación de una Implicación

Contingencia Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL

Las proposiciones p  q y ~(p  ~q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p

q

pq

V V F F

V F V F

V F V V

Como bien dijimos arriba, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber:

(p  ~q) F V F F

~(p  ~q)

p  q  ~(p  ~q)

V F V V

V V V V

Con esto, comprobamos que la negación de la primera equivale a la negación de la segunda, es decir ~(p  q)  ~{ ~(p  ~q)}, y podemos concluir entonces que: ~( p  q )  ( p  ~q)

Es decir, la negación de una implicación no es una implicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente. Funciones proposicionales y cuantificadores Cuantificadores A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos  x y  x, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial respectivamente. Las expresiones Cuantificador Universal: Para todo x, se verifica p(x) ,se denota por

Nos damos cuenta pronto que se trata de la implicación de dos funciones proposicionales: p(x) : es alumno de mi colegio q(x) : es aplicado Tenemos:  x : p(x)  q(x) Teniendo en cuenta la forma de negar una función proposicional cuantificada universalmente y una implicación resulta:  x / p(x)  ~q(x) Y traduciendo al lenguaje ordinario resulta:

Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados

 x : p(x)

I.E. “Esther Cáceres Salgado” UGEL 02 – Rímac PRIMERA PRÁCTICA DE MATEMÁTICA

Cuantificador existencial

Profesor Juan L. Capristano Gonzales

Existe x, tal que se verifica p(x) , se denota por

 x / p(x)

1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo.

a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur. b).-Si 2 > 1 , entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c).- 24 es un número par y 42 es un número impar d) Si Bolivia limita con el Perú , entonces Perú limita con Chile.

Ejemplo. Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Un problema de interés es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, La negación de "Todos los enteros son impares" Es "Existen enteros que no son impares" y en símbolos:  x / ~p(x) Entonces, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial, y se niega la función proposicional. Ejemplo. Supongamos la proposición: Todos los alumnos de mi colegio son aplicados La vamos a escribir en lenguaje simbólico, negarla y retraducir la negación al lenguaje ordinario.

2.- Formalice las siguientes proposiciones a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo" e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia f) Si te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes g).-Estudio Álgebra si y solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Aritmética h) Roxana estudia o trabaja , pero si no estudia entonces trabaja . En consecuencia , Roxana no trabaja hoy no es lunes

4.- Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas moleculares: a)[(pΛ q) → q ] v p b) (p→q) v p c) p→(pΛq)

d) ˜(p v q) Λ p e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q f) ˜p v ˜( p v q )

5.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente , halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p V ( p → q ) b) ( p V q ) → p

c) p Λ ( p→ q ) d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]

5.- Si p=V , q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: a) (p Λ q ) → ( ˜ p V r ) c) p Λ q → r e) ( p ↔ ˜ q ) → r b) ˜ r Λ [p →( r V q ) ] d) )[(pΛ q) → (q Λ r )] ↔ ˜ p f) ( ˜ p V q ) →( ˜ r Λ q ) 6.- a)Si la proposición p → ( ˜ p V q ) es falso , determine el valor de verdad de : ˜ (p V q ) b) Si la proposición ( p Λ q ) → ( q→r ) , es falsa determine el valor de : p V r 7. Formaliza los siguientes razonamientos. ¿Son tautologías, contradicciones o indeterminaciones(contingencias)? a).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no estoy loco. b).Si tengo razón, entonces estoy loco. Pero si estoy loco, entonces tengo razón. Por tanto, no tengo razón. c.)A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar Equivocado. Por tanto, estoy equivocado. d).Si tengo razón, entonces tú estás loco. Si yo estoy loco, no tengo razón. Si Tú eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estamos los dos locos al mismo Tiempo. e) Si la prima de Mayra no quiere cenar, entonces come su empanada. Si come su empanada, no le dan torta. La prima de Mayra no quiere cenar y se retira de la mesa. Por lo tanto no le dan torta. 1. Clasifica los siguientes enunciados: Proposición, Enunciado abierto, enunciado I) 35 – 17 = 18 (…………….) II) 2 + 5 > 3 (…………….) III) ¿Estudias Matemática? (…………….) IV) 9 es número primo (…………….) V) ¡Eres grande Perú! (………… ..) VI) 27 - x = 40 (……………) 2.-Formalice la siguiente proposición: Es falso que, estudie y no voy al cine 3.- Decir si la siguiente proposición es tautología, contingencia o contradicción:

( p  q)  (

p

q)

4.- Dada las siguientes premisas: p: Hoy es feriado q: Mañana es día laborable r: Voy a clase Formaliza la proposición: “No es verdad que, Hoy sea feriado y que no asista a clase. Por lo tanto voy a clase. p  q ) , es falsa indicar el valor de verdad de la proposición: 5.-Si la proposición: p  (

( p  q)   p  ( p  q)

6.-A menos que me equivoque, estoy loco. Pero si estoy loco, tengo que estar equivocado. Por tanto, estoy equivocado

CONECTIVOS LÓGICOS

^ conjunción

~

negación

V

disyunción

p

q

P

implicación

SINÓNIMOS               

y También Aún A la vez No obstante Además Pero Sin embargo Aunque No es cierto que Es falso que No es el caso que No sucede que O A menos que

       

p es condición suficiente para q Si p , q q si p Que p siempre que q Cuando p , q q es condición necesaria para p

    

q

En caso de que p entonces q p solo si q Si y sólo si Cuando y sólo cuando Equivale a Es necesario y suficiente para En el caso , y sólo en el caso , de que

1.- Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Determine su valor de verdad:

a) El pisco es peruano b) 3 es un número racional c) ¡ Viva el Perú! d) Un triángulo es un polígono de tres lados e) x es hermano de y f) 28 < 15 g)¿Te gusta la Matemática? h) El es arquitecto

2 i) 36  2    8

2

1

j)Tenga calma ,no se impaciente k) 9x + 3 = 12 , x  R l)18 es múltiplo de 3 ll) x  R, x  x 1 m)x es Ingeniero y Juan es Matemático

1  3

n) x  Q /  .x  1 ñ)Los cuadriláteros tienen 3 lados o)3x – 8 > 15 , x  R

p) x + y  15 , x,y q) 2x + 5 > 11, x  R r) 3x + 7 = 11, x  N

R

t)x es un animal 2.a) Si p es verdadera determinar el valor de verdad de ~p→q b)Si p es falsa p vq c) Si p es falsa , entonces ~p  q es d) Si la proposición (p ^ q)→r es falsa , determina el valor de las proposiciones:

d .1( p  r )  q

d .3( p  q)  r d .4(r  p )  (q  p)

d .2 ( p  q )   r

3.- Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la siguiente información : [(p v q ) ^ ~q]→q es falsa y

[(~p ^ ~q )→ q ] ^ (p v q ) es verdadera

1.- Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a)x  N , x  1  2 b)x  N / x  7  0 c)x  Q, x 2  4 d ) Si.x  , x 2  0

e)x  R, x 0  1

i )x  Q / 2 x  1  0

1 x 2 x 4 g )x  R /  x2 x2 h)x  R / x 2  9  0

j )x  Z , x  2 x  1  0

f )x  R / x 1 

2

k )x  I / x  3  0 l )x  x  0 2

ll )x   / x  4  4 m)x  R  , x  x n)x  R  , x   x ñ)x  R, x 1 

EJERCICIOS PARA PRACTICAR – LOGICA PROPOSICIONAL

1) Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones compuestas a) ( p  q)  (q   p)

d) p  (q  p)

g) ( p  q)  ( p  q)

j)  ( p  q)  ( p  q)

b) ( p  q)  ( p  q)

e) p(q  p)

h) ( p  q)  (q  p)

k)  ( p  q)p

c) ( p  q)  ( p  q)

f) ( p  q)  q

i) [ p  (q   p)]  q

l)  p  q  q

2) Niegue y transforme usando leyes lógicas la proposición compuesta a) ( p  q)  r

b) ( p  q)  r

 p  (q  r )

c) p  (q  r )

3) a) Si el valor de verdad de p  q s verdadero ¿puede determinar el valor de verdad de  p  ( p  q) ? b) Si el valor de verdad de ( pq )  p es falso ¿ puede determinar el valor de verdad de q ?

1 x

c) Si p  q es verdadero ¿se puede determinar el valor de verdad de ( p  q)  ( p  q) ? d) Si  p  q es verdadero ¿se puede determinar el valor de verdad de ( p  q)  ( p  q) e) Halle el valor de verdad de ( p  q)  (q   p) si q es verdad f) Halle el valor de verdad de ( p  q)  ( p  q) si q es verdad En todos los casos justifique su respuesta

Lógica Proposicional Proposición Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que son: VERDADERO (V)

o

FALSO (F)

Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. Ejemplo a) La expresión 15 + 5 = 21 es una proposición que se puede indicar brevemente de la forma p: 15 + 5 = 21 cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante V(p) = F b) Sea la proposición q: Santa Fe es una provincia argentina c) Sea la proposición r: el número 15 es divisible por 3

V(q) = V

V(r) = V

Funciones Proposiciones Si en la proposición "cinco es mayor que tres" (en símbolos es 5 > 3) reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función proposicional y se anota p(x) o p(x). Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el que aparece x como sujeto y que se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable. Ejemplo Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V y p(2) = F Ejemplos p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13  13 > 11 (Verdadero) q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q(5) = 22  22 = 16 (Falso) r(x): 2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5  5 = 5 (Verdadero)

Observación Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o más enunciados simples. Ejemplo Sea la siguiente proposición r r: Pitágoras era griego

y era geómetra. p

y

q Se observan dos proposiciones simples. La primera, p, nos afirma que Pitágoras era griego y la segunda, q, que Pitágoras era geómetra.

Operaciones Lógicas A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados conectivos lógicos. Operación

Símbolo

Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia simétrica o Disyunción excluyente

~     

Significado “no …..” o “no es cierto que … “…. y ….” “… o …” (en sentido incluyente) “… implica …”, o “si… entonces …” “… si y sólo si …” “ … o …” (en sentido excluyente)

Negación Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que define a la negación lógica o simplemente negación, se presenta generalmente, en forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad. La tabla de verdad de la negación es: p

~p

V F

F V

Ejemplo Sea la proposición p: 3 > 1, su negación es ~ p: 3 ≤ 1. Se observa que V(p) = V y V(~ p) = F NOTA: se trata de una operación unitaria, pues se define para una proposición.

Observamos que al valo p, la negación le hace corresponder el valor F, viceversa.

Conjunción o Producto Lógico Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición compuesta p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es: p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una operación binaria. Ejemplos a) Sean las proposiciones p: 5 es un número impar q: 6 es un número par Entonces la conjunción entre p y q es p  q: 5 es un número impar y 6 es un número par Se obtienen los siguientes valores de verdad: V(p  q) = V V(~p  q) = F b) Sean las proposiciones r: todos los número pares son divisibles por 2 ~ r: existe un número par que no es divisible por 2 ¿Qué valor de verdad tiene la proposición compuesta r  ~ r? Cualquiera sea la proposición p ¿qué valor de verdad tiene p  ~ p?

Disyunción o Suma lógica Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee “p o q”) cuya tabla de valores de verdad es:

p

q

p  q

V V F F

V F V F

V V V F

La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para evitar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que muestra que la disyunción sólo es

falsa cuando ambas proposiciones son falsas, o bien, se utiliza la disyunción excluyente para interpretar otra situación. Ejemplo Sean las proposiciones p: 5 es un número impar y q: 6 es un número par La proposición compuesta que indica la disyunción entre p y q es p  q: 5 es un número impar o 6 es un número par El valor de verdad del enunciado compuesto anterior es V(p  q) = V El valor de verdad del enunciado compuesto ~ p  ~ q es V(~p  ~q) = F

Implicación o Condicional Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Sean las proposiciones p: José es mendocino y q: José es argentino La proposición compuesta p implica q es p  q: Si José es mendocino, José es Argentino V(p  q)= V V(p  ~q)= F V(q  p)= F

Expresiones sinónimas

pq Si p entonces q Si p, q Todo p verifica q p implica q p sólo si q q si p q cuando p

Si además V( p  q ) =V, se dice que p es condición suficiente para q

y

q es condición necesaria para p

Ejemplo a) Sean las funciones proposicionales r (x): x > 2 s (x): x2 > 4 El enunciado si x > 2 entonces x2 > 4, es una proposición verdadera, por lo cual r es condición suficiente para s, y s es condición necesaria para r. El enunciado si x2 > 4 entonces x > 2, es una proposición falsa, por lo cual s no es condición suficiente para r, y r es condición necesaria para s. b) Sea la función proposicional 2x + 5 ≥ 13, ¿Es x ≥ 0 una condición necesaria, suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposición sea verdadera? c) La siguiente implicación es verdadera: "Si el triángulo T es equilátero, entonces T es isósceles" En este caso, se tienen las proposiciones p: T es triángulo equilátero isósceles

y

q: T es triángulo

La proposición p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que es isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero. Implicaciones asociadas Dada la implicación p  q, que llamaremos directa, existen varias implicaciones asociadas, una de ellas es la implicación contrarrecíproca ~q  ~p. Haciendo la tabla de verdad p

q

p  q

~p

~q

~q  ~p

V V F F

V F V F

V F V V

F F V V

F V F V

V F V V

se observa que los valores de verdad de las implicaciones p  q y ~q  ~p son iguales. Se dice que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor de verdad. ¿Cómo son los valores de verdad de la implicación p  q y de la denominada implicación recíproca q  p?

Doble Implicación o Bicondicional Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F F V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos: p

q

p  q

qp

(p  q)  (q  p)

V V F F

V F V F

V F V V

V V F V

V F F V

Ejemplo Sea el enunciado a = b si y sólo si a² = b² donde a y b son números reales cualesquiera. Se observa que el enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b y q: a² = b² Como V(p  q) =V y V(q  p) = F, entonces V(p  q) = F OBSERVACIÓN La doble implicación p  q, es una operación equivalente a la conjunción de las implicaciones (p  q)  (q  p) Si V(p  q) = V, entonces V(p  q) = V y V(q  p) = V. Se tiene, observando el valor de verdad de la primera implicación, que p es condición suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q. Es decir, si V(p  q) = V, entonces p es condición necesaria y suficiente para q y, análogamente, q es también condición necesaria y suficiente para p.

Proposiciones lógicamente equivalentes Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q

Ejemplo Sea la proposición compuesta p  q, recordamos su tabla de verdad

p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

Ahora bien, si analizamos la proposición compuesta ~p  q, su tabla de verdad es

p

~p

q

~p  q

V V F F

F F V V

V F V F

V F V V

Se observa que las tablas de valores de verdad de ambas proposiciones son iguales. Se dice que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p  q)  (~p  q)

Clasificación de proposiciones: Tautología, contradicción y contingencia Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo, ~ { (p  q)  (s  t) } Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica.

Ejemplo Analizando la proposición p  ~p mediante la tabla de verdad, se tiene: p

~p

p  ~p

V F

F V

V V

Se observa que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición p  ~p es siempre verdadera. Luego, la proposición compuesta p  ~p es una tautología. Ejemplo Sea la fórmula lógica { ( p  q )  p }  q La tabla de valores de verdad es: p

q

pq

{(pq)p}



q

V V F F

V F V F

V F V V

V F F F

V V V V

V F V F

Se observa que, independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre verdadero. Esta fórmula es una tautología. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo Analicemos la fórmula lógica p  ~p p

~p

p  ~p

V F

F V

F F

La fórmula es siempre falsa, es una Contradicción. NOTA: Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.

Cuantificación de las Funciones Proposicionales

Cuantificadores A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales mediante un proceso llamado de cuantificación. Asociados a la indeterminada x, introducimos los símbolos “x” y “x”, llamados cuantificador universal y cuantificador existencial, respectivamente. Las expresiones “para todo x, se verifica p(x) ” se denota en símbolos por  x : p(x) ”existe x, tal que se verifica p(x)” se denota en símbolos por  x : p(x) corresponden a una función proposicional p(x) cuantificada universalmente en el primer caso, y existencialmente en el segundo. Una función proposicional cuantificada universalmente es V si y sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Ejemplos a) Todo número natural es entero. b) Existen números enteros que son naturales. c) Todo número entero es racional d) Existen números irracionales que son naturales

Negación de funciones proposicionales cuantificadas

Un problema de interés, no sólo en Matemática, sino en las restantes ciencias, es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejemplo, la negación de "Todos los enteros son impares"

( x : p(x))

es "Existen enteros que no son impares" ( x / ~p(x)) Luego, para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuantificador en existencial y se niega la función proposicional.¿Cómo se niega una función proposicional cuantificada existencialmente?

Demostración Matemática Todo teorema matemático se puede formular como una implicación p  q Hipótesis Tesis Premisa Conclusión Esta implicación puede ser V o F. p

 q Falsa

Verdadera

Demostración

Método Directo

Contraejemplo

Métodos Indirectos

Contrarrecíproco

Contradicción

En el caso de ser falsa, basta con un contraejemplo para refutarla. En el caso de ser verdadera, hay que realizar una demostración. Refutación V(p  q) = F, sólo sucede en el caso de que V(p) =V y V(q) = F, por lo que V(p ~ q) = V, razón por la cual, para dar un contraejemplo, se debe verificar que V(p ~ q) = V Ejemplo Sea el enunciado “si x (natural) es un número impar, entonces es múltiplo de 3”. Como la implicación es falsa, para refutarla, hay que buscar un número que sea impar pero que no sea múltiplo de 3, por ejemplo 7. Demostración Para realizar una demostración, se usan los llamados métodos directos o indirectos. Método directo: a partir de la verdad de p se debe concluir en la verdad de q.

Ejemplo Sea el enunciado “si n es un número par entonces n.m es par para todo número entero m”. Demostración Si n es un número par, n se puede escribir de la forma 2.k, siendo k un número entero, es decir n = 2.k, luego m.n = m.(2.k) = 2.(m.k) = 2. t Luego m.n es par ya que puede escribirse como 2.t, siendo t un número entero. Métodos indirectos: I) Se utiliza la implicación contrarrecíproca, es decir, demostrar la verdad de p  q es equivalente a mostrar la verdad de ~q  ~p. Ejemplo Sea la implicación directa “siendo n entero, si n2 es par entonces n es par” La implicación contrarrecíproca es “siendo n entero, si n es impar entonces n2 es impar” Demostrando la verdad del enunciado contrarrecíproco se demuestra la verdad de la implicación directa. Demostración Si n es impar, puede escribirse de la forma n = 2k+1, siendo k un número entero, luego n2 = (2k + 1)2 2 = 4 k + 4k + 12 2 = 2 (2 k + 2k) + 1, que es un número impar, luego, si n2 es par entonces n es par. II) Por contradicción, como V(p  q) = V, y se sabe por hipótesis que V(p) =V y se debe concluir que V(q) =V, entonces V(p ~ q) = F o una contradicción. Ejemplo Probar que el opuesto de un número real es único