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• Alan Ortiz Castillo

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Introducción

En nuestro quehacer diario constantemente hacemos, deducciones. Esto significa, que cada conclusión que obtenemos se deduce de algo. Este algo o punto de partida se llama premisa. Por ejemplo si exponemos un trozo de hielo al calor, se concluye que el hielo se derrite, o cuando un campesino ve una densa nube en el cielo, deduce que va a llover, o también de "todos los mamíferos son vertebrados" se puede concluir en "algunos mamíferos son vertebrados". Este proceso de pasar de un conjunto de premisas a la conclusión se llama inferencia o deducción. Cuando la conclusión se deduce correctamente del conjunto de premisas se dice que la inferencia es válida, en caso contrario la inferencia no es válida. Sabemos que la conclusión se deriva correctamente de sus premisas porque hay un conjunto de leyes lógicas que garantizan dicha corrección. Justamente la lógica estudia el modo de usar estas leyes, con las cuales podemos saber si una inferencia es válida o no. De ahí que, la lógica es una ciencia que estudia los métodos y las leyes que determinan la validez de la inferencia. Así como existe una teoría para realizar cálculos con números (la aritmética) o con objetos más complejos como diferencial e integral, también existen reglas precisas para manejar proposiciones. Esto último corresponde al estudio de la lógica proposicional.

OBJETIVOS:  Objetivo general:  Conocer y aplicar la lógica proposicional.

 Objetivos específicos:  Aprender a identificar las clases de proposiciones que se puede encontrar en un enunciado.  Entender la aplicación y el efecto que tienen los términos de enlace en las proposiciones.  Analizar proposiciones en nuestro idioma para determinar su validez.  Analizar e interpretar proposiciones para simbolizarlas.  Comprender los principios de las operaciones de la lógica proposicional.  Analizar los enunciados para la elaboración de las tablas de verdad, teniendo en cuenta los términos de enlace.

LÓGICA PROPOSICIONAL 

Lógica

Es una ciencia que estudia el lenguaje científico, su planteamiento, su organización, en entidades jerárquicas y los métodos como sus fórmulas para analizar toda forma escrita. Para comunicarse el ser humano utiliza lenguajes discursivos dichos lenguajes están llenos de partículas lógicas. Las partículas lógicas: fundamentalmente son los cuantificadores las conectivas con ellas se forman los discursos. 

Lógica Proposicional

Es una rama de la lógica clásica que estudia las variables proposicionales o sentencias lógicas, sus posibles implicaciones, evaluaciones de verdad y en algunos casos su nivel absoluto de verdad. Algunos autores también la identifican con la lógica matemática o la lógica simbolice, ya que utiliza una serie de símbolos especiales que lo acercan al lenguaje matemático. También recibe el nombre de Cálculo Proposicional. 

Enunciado

Es toda frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones, preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes, etc. 

Enunciado Abierto

Es un enunciado en forma de expresión matemática que no es verdadero ni falso. Ejemplos:

x 1, su negación es ~ p: 3 ≤ 1. Se observa que V(p) = V y V(~ p) = F

NOTA: se trata de una operación unitaria, pues se define para una proposición.

2. Conjunción o Producto Lógico Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición compuesta p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una operación binaria.

Ejemplos a) Sean las proposiciones p: 5 es un número impar q: 6 es un número par Entonces la conjunción entre p y q es p  q: 5 es un número impar y 6 es un número par Se obtienen los siguientes valores de verdad: V(p  q) = V V(~p  q) = F

3. Disyunción o Suma lógica Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee “p o q”) cuya tabla de valores de verdad es: p

q

p  q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera.

En el lenguaje ordinario la palabra

incluyente o excluyente indistintamente.

o

es utilizada en sentido

Para evitar toda posibilidad de

ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas, o bien, se utiliza la disyunción excluyente para interpretar otra situación.

Ejemplo Sean las proposiciones p: 5 es un número impar

y

q: 6 es un número par

La proposición compuesta que indica la disyunción entre p y q es p  q: 5 es un número impar o 6 es un número par

El valor de verdad del enunciado compuesto anterior es V(p  q) = V El valor de verdad del enunciado compuesto ~ p  ~ q es V(~p  ~q) = F

4. Implicación o Condicional Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es: p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Sean las proposiciones p: José es mendocino

y

q: José es argentino

La proposición compuesta p implica q es p  q: Si José es mendocino, José es Argentino

V(p  q)= V V(p  ~q)= F V(q  p)= F

Expresiones sinónimas pq Si p entonces q Si p, q Todo p verifica q p implica q p sólo si q q si p q cuando p

Si además V( p  q ) =V, se dice que p es condición suficiente para q

y

q es condición necesaria para p

Ejemplo a) Sean las funciones proposicionales r (x): x > 2 s (x): x2 > 4 El enunciado si x > 2 entonces x2 > 4, es una proposición verdadera, por lo cual r es condición suficiente para s, y s es condición necesaria para r. El enunciado si x2 > 4 entonces x > 2, es una proposición falsa, por lo cual s no es condición suficiente para r, y r es condición necesaria para s.

b) Sea la función proposicional 2x + 5 ≥ 13, ¿Es x ≥ 0 una condición necesaria, suficiente, o necesaria y suficiente para que la proposición sea verdadera?

c) La siguiente implicación es verdadera: "Si el triángulo T es equilátero, entonces T es isósceles" En este caso, se tienen las proposiciones p: T es triángulo equilátero q: T es triángulo isósceles

y

La proposición p es condición suficiente para q, es decir, que un triángulo sea equilátero es suficiente para asegurar que es isósceles. Por otra parte, T es equilátero sólo si es isósceles; es decir que un triángulo sea isósceles es necesario para que sea equilátero.

Implicaciones asociadas Dada la implicación p  q, que llamaremos directa, existen varias implicaciones asociadas, una de ellas es la implicación contrarrecíproca ~q  ~p. Haciendo la tabla de verdad

p

q

p  q

~p

~q

~q  ~p

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

V

se observa que los valores de verdad de las implicaciones p  q y ~q  ~p son iguales. Se dice que las implicaciones contrarrecíprocas son equivalentes, es decir, tienen el mismo valor de verdad. ¿Cómo son los valores de verdad de la implicación p  q y de la denominada implicación recíproca q  p?

5. Doble Implicación o Bicondicional Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p  q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p  q puede obtenerse mediante la tabla de (p  q)  (q  p), como vemos: p

q

p  q

qp

(p  q)  (q  p)

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

Ejemplo Sea el enunciado a = b si y sólo si a² = b² donde a y b son números reales cualesquiera.

Se observa que el enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

y

q: a² = b²

Como V(p  q) =V y V(q  p) = F, entonces V(p  q) = F

OBSERVACIÓN La doble implicación p  q, es una operación equivalente a la conjunción de las implicaciones (p  q)  (q  p) Si V(p  q) = V, entonces V(p  q) = V y V(q  p) = V. Se tiene, observando el valor de verdad de la primera implicación, que p es condición suficiente para q y, teniendo en cuenta la segunda implicación, ocurre que p es condición necesaria para q. Es decir, si V(p  q) = V, entonces p es condición necesaria y suficiente para q y, análogamente, q es también condición necesaria y suficiente para p.

 Proposiciones lógicamente equivalentes Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p  q

Ejemplo Sea la proposición compuesta p  q, recordamos su tabla de verdad

p

q

p  q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Ahora bien, si analizamos la proposición compuesta ~p  q, su tabla de verdad es

~p

p V

q

~p  q

V

V

F

F

V

V

F

V

F V F F V F V

Se observa que las tablas de valores de verdad de ambas proposiciones son iguales. Se dice que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p  q)  (~p  q)

Clasificación de proposiciones: Tautología, contradicción y contingencia Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo, ~ { (p  q)  (s  t) } Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad son siempre verdaderos para cualquier combinación de los valores de verdad de las proposiciones componentes, se dice que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo Analizando la proposición p  ~p mediante la tabla de verdad, se tiene:

p

~p

p  ~p

V

F

V

F

V

V

Se observa que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~p, la proposición p  ~p es siempre verdadera. Luego, la proposición compuesta p  ~p es una tautología. Ejemplo Sea la fórmula lógica { ( p  q )  p }  q La tabla de valores de verdad es:

p

q

V

V

pq {(pq)p} V



V

q V

V V

F

F

F

F V

F

V

V

F

V V

F

F

V

F

F V

Se observa que, independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre verdadero. Esta fórmula es una tautología. Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dicha fórmula es siempre falso, se dice que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo Analicemos la fórmula lógica p  ~p p

~p

p  ~p

V

F

F

F

V

F

La fórmula es siempre falsa, es una Contradicción.

NOTA: Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una Contingencia.

Ejercicios resueltos 1.

Analizar las siguientes expresiones a) 7 + 5 = 20 b) ¿Eres un estudiante de matemática? c) X + 5 = 8 d) El día esta frío. e) ¡cierra la puerta! Solución a) 7 + 5 = 20, es una expresión cuyo valor de verdad es falsa. Luego es una proposición. b) ¿Eres un estudiante de matemática?, es una pregunta que se hace, carece de valor de verdad, es decir, no se puede afirmar si es verdadero o falso, luego no es una proposición. c) X + 5 = 8, es un enunciado abierto o función proposicional por que tiene variable d) El día esta frío, es una proposición que puede ser verdadera o falsa e) ¡cierra la puerta!, es una orden. Luego no es una proposición.

2.

Sean las proposiciones p, q, r, cuyos valores de verdad es V, F y F. hallar el valor de verdad de las siguiente proposiciones compuestas:

Bibliografía

 CABRERA, Mónica. Como aplicar Metodología Activa en la Clase de Matemática, Editorial PUCP, Lima, 2002  PALACIOS PEÑA, Joaquín. Didáctica de la Matemática, Editorial San Marcos, Lima 2003  CARRANZA, Cesar Matemática Básica. Publicación de CONCYTEC, Lima, 1992.  FIGUEROA G. Ricardo “Matemática Básica”. Edit. América, Lima, 2002.  LAZARO, Moisés “Matemática Básica”, Tomo I. Edit. Moshera S.R.L., Lima. 1998.  VENERO, Armando Matemática Básica. Edic. Gemar, Lima-Perú, 1993.

Linkografia https://www.gestiopolis.com/que-es-logica-proposicional/ https://engage.intel.com/docs/DOC-31450 https://www.ecured.cu/L%C3%B3gica_proposicional