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II. C. 3A}TATOB

}IYPC ((ll )

BbICMF,iT

'tir

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Iti

fEoAESVTVT

P. S. ZAKATOV

CURSO DE GtrODESIA SUPERIOR

l*, lrlitt'

l,,r ln,r

l*o

..,:

l,o

i

lo

i:

:{,

.á

-! ll , |'|i

l*r l,s l,Ü

lc

lo

Ii ll: EDITORIAL MIR I43AATEJITCTBO «HE,[PA»

[i

a

r

,

esféricas del punto

1l1:

AMt:

de donde

P,

coordena.da ,porrorón F**, del ","orruYuJ;; nunto M sobre r"

dubzÍ

_-L-

az y' Comparand.o las expresiones $'2) V (4'3) obtenemos d.x

determinan exacramenre

ra glda¡ las cooráenarrar g.oJ¿.i"i. ."Jrríi"i"-á;i-;ñ;;;d., ,; son cdno_ rivT't." otras que sean equivalentes) dol ortsen A de las ;J;;iá;l; Ér".irr"-, á"-.rrrá""rlr¿ as (p, q) tlcne mucho en común .iriá*u ñctangurar de coordenadas en "oo ¡l plano.

bxlgten además.otros s-istemas de co_ordenadas curvilíneas esfe_ roldales que depende" ¿" ir-áü"éi"" a"i.j;-a;;r;;á"ou¿u, v ¿"r o¡don de cuenta de las coordenades , .

B:# +

(4.4')

La ecuación $.a) ex¡iresa Ia latitud

geodésica en función de las.

tg

¿§BBr,acro[

s

srsrEuagn

rgcodáriica

b

¡

)

n or I a. e I i p se m e r i rt i a n ;; aouación de esta eirpse

B

A

b

wq.fu";I .purtto qw,

n

ñT;ffi

sc

*- ü;iñiíififfi To_

u

"1. íí# iw' fflí ff.Tffi ñ ;:f i;

7

¡ t b2 "az -Lu'-L'

¡ I

Es sabido oue la tangente del formado por la tangente r la curva ,ro punto Ard; y ;I ángulo, !"ñi":. positivo de las #:t:;:: "r, u la primera derivad a d," esta manera

) )

fl;

Expresemos la primera derivada

tcotangulares

)

I

I Errb*--

r e y.

-cts B.

s0

(4.2)

en función de ras coo¡deiadas Diferenciando'i4.1) obtenemos

ff

$=ffi:0.

) )

-

*:tr(90"+ B)\

)

I

(4.1')

N M

ffMt

E

+B

--X

Pt

Fig. eA

ewrd¿nad,as

-=\ 0

"io;""aT

¡

P

l:-"

auperficie del elipsoiaó ;;;;'il es, a leprolentar parres de rá superficie de la ü;rfffi;"ünI';?sto phna de_acuerdo a. una déterminaáu l"y.rilrra so¡i;;;; Iuperficie Aotualmente en la uRSs h; rid;;;"piada ra proyección d.e Gaussl,rd,scr o ststema d. ;;;;dr;;;;;"r;;;tr ptánas reetangutares en ta

§

r e Y'

coordenadas rectangulates

G.-¡ovwfe6&L(,respL{,na,§,,Én]a'prácticaesindisperr¡¡blo conocer las coord."ría"r áá íár ñ"tos de la red geodésica situado¡ en un sistema de coordenadus cártesianas para que puedan utilhrr¡e fácilmenre t". d;;;r s.;;:r"ilü llevar a iabó diferentes -ur üfpor de.trabajos de proveccié", a. ,.gtr*."tr?i¿" áli"rogi-"., a" thrr¡, etc. Esto conileroá I, ,".e.]¿uá a. i"t"lJ*ii"prJir.".io.r* de *

lii!,::3',\#":'#:'{:-vr:::,#f '#T,-:',1¿l","ll:k*ffi

(4.3).

-

8

Para encontrar Ia dependenoia inversa, es decir, para expresar r eD. función de Ia latitud geodésica B, recordemos Ia ecuación (2.7). ' Partiendo de Ia expresión (4) podemos escribir Y (4.5\ tg

B:a#ry

1.-ez

z'

a:x(l-e2)tgB.

(4.6\

Volvamos a escribir (4.1), sustituyendo y de acuerdo con la ecua-

ción (4.6)

obtenemos

Í2 , t2 (L-ez)z lgz fi

Af

r

t.

a

arT-;T-:

Resolviendo esta ecuación con respecto a e, encontramos: -2

;U+(.-ez¡tgz

B| --1,

Í, {{r+ @'B)-r,ffi):o,, *

-

a sen-B

{T=;rfeT5E

'

(4.7) 31

Para encon1.rar y.reemplazamos en .la ecuación (4.6) eI valor conrrado para

, "" r¿.ii.iri";i#;";;

obrenemos

1

,rJt=poniendo el

en_

-1,:{.l'l_4l!9la 7-ezsenzB

.

De la fig. 8 se desprende que Ia abscisa del punto .4/

i'rl.ii ffi,:Jr'f]h;"u:l \ 2::'f

D

till'"",,"'

El

que pasa a través der punro 1r{

awe ,ld: iattfud,§aod,6s gegüsica B y I a latilud gcocéntrí.ca i; ii*]l;'gti" e. H-#ffi fi?fs?#uro,i e Ia exbres.ión para_ " bc_&6b

rs

"{l\

o

@:+.

., Jasándonos (4.5) obtenemos

X

en la

U " B: ¡ (t-ez¡,

geodésicas

y

geocéntricas R

fórmula

pu1!-

(B

-

:

O)

= ez'sen B

cas.[B

_

srr zB

(,8

- 4fu

¿a.

'

:

(D) tiene sen 48

moS escribir:

r6úidt,f'&9,ffi radio-victárU

nemos:

se puede

.

(B

_

de donde:

ri..1'"

@)]. 3

-0

;,.k¡cgs2 Y ^2, ;il[b.

(D

sen

(

6a-

(4.14)

fig. g,

(D

(D)

¡a (1.'.-e2cosz(D): {,

;-_ 'F'- fr=74;¡;5'" ^L

o a, p:

(1 --ea) +senz

:

1, :.r,.)

aV [-cz

r'n,

(

(

¿:pcos (D; u:psen(D. (4.15) la elipse-aeridiana (4.{) obte-

Resolvemos esta ecuación cqn ¡espec!

I

{

ndonos en la

Os

I

la siguiente forma:

P2 cosz (D , sens ---;t-:a-n7=q: l.

(4.12)

I

*" (a 1ra*iiá"al, t _ 6¡r fl,Af-'*"

Sustituyendo esta expresión en

*H#i,"?;i,":1,:",_"^*:rg:1¡1,*;; mos a escribir. I a expresió q+.lii iel;:;s;il#;o#i:i": ;"i:i-

L*

p:lti@.

e2 sen.B cos (D.

"

p,

Designandó el

:,t

sen (B

- @)" :

GúürdÉ-

i I y ar I a en e n lá r á práctica prácrica el sen i"" (B" 1" co) ifl :THlt Hfl :"':i*: I 1:' i]. I:1ia u,ruf,ulzarra se;;;;;i;rf"" lo:gru y,@. B si" a cáusa de la-pesueña j rlifo¡an tiq tp *l {" _^-:.",rwrq n# _-y/,j : ra I í,', cual,-como más i ;i Tá",1'r,?. veiemos adelante, no ::s l": "i::;lp t¿r fl ; ji"" ""m¡rrgá, *?3Hi; r" "i " por el cos B en J:I:li" I:^118 ' ,podemos el cos @ 'eu.órurr; "r Lx,.."j,:l'.3;,"":l.l;:Ilt,rj'"r,iül3i!:*',x#uT'¿:ír;8r:"t3 jl";:rJ#ilr1i11|"r.f

va

I

(4.13)

'Ef!8rJo¡n;*a*a,,Je

(B_ O)

O)

sen2l.

+TÉry

asea;ti -ettgB, sen (.8

ez

En eite caso (B-_ ó),

una rormula más exacta para =_45":, 127, pág. 24)

t

tgB-rg(D* eztgB, sen

(8-@):#

ha sido cometido un error do orden apreciar fácilmente que se obtiene ,i-"ul-*

Fncontremos la expresión oa_ _ ra_ la d,iferencia d" ií. i;;;;;t;, @. De la iórmula &.ltiiá;;;r,

-

"r(B

donde nuevamente

(4.11) 9

_ {D) sen Bl,_ @) senz.B.

(B-@) :{p,ezsen2B,

tg@:tgB(l-er).

Fig.

,;r;f

segundo término del. segundo miembro en

«.to)

por lo tanto, I

¿.

Descomponiendo, sen (B O) en una serie y limitándola al primer término, obtenemos ;la fOrmula aproximada

'1'

tE

-

sen

la Iatitud áeoc6n. funcjón d" i;; ;;;;;;: 11,:1..1 oasrectangularesrey.

M

- *r, en una .."i.

la expresión obte. nida es una pequeña magnirud de orden ;' d;ü_"rtí¿ iA _ O), de acuerdo a Ia fórmuli (4.r2), resurta una pequeña magnitud. de ordet ez). por esto' si en el segundo miembro de ra ecuac ión (4.12) reemprazamos el cos (D por el cgs B, enronces á;rpüñ;l=ií Érminos de orden ea. Con este grado ae exactitrra -'-----*r" '*

MC

(4.e)

P

-,

(D) : e2 sen B lcos B + (B (D) : e2senB cos B + sen (A ._ sen (B

(4.8)

V

fi : eMt:

cos La

obtenemos:

(4.16)

14A8

80n'

,

( ( ( ( ( ( (

Baiánilonos en (4.15) tenemos

,:ffi,r:-lfug ".1/T=Acos

@

Y 't-ez

rrdem¡minil;;;;,'ii,?¡,.;i,r,(n"riiiiti.i,il"l ,H;ffi:'f1#,t,p*; Án J^l -- ,.

COS2

(4.17)

@ '

i,,,i' iñ|ffi;*,

,

,f,1?ri3:"ff"liJ*ación

y basándonos en (4.21) * :

_,":',::

!:

pero como

mrnosq,..;,;;,,JilXi*1?:?,llt*i*?,ii1:[&1ff ,I,?,1,':*ÍTd::li*,1,,:t,r?l1,Tx:Ti;mndorosrér_ :*H,1Lr.,:f,"I nemos en

* ir"-",:6

iío#::

ll

^i.

tat¡tuüs

;; ;tff ;?';Ytr; IX

;:*:i1:"*:"""é' ;;ñ;i;i' *H',9ai,,1,7 #

jñ;d;il

en consecuencia,

esrabtecemos ra Ios puntos Il;:,:l*"le abscisa. li:rl,x-r,,'i,"11:*r':Iru."r",,,1?lx?j,l*,H:ii:""'j:"tjfi:ffs# pr qxe ,1"#H,xTXt,}¿{?"11i# -posean-ro, .1.-"

01t4r¡z

c

a

¡1i"", i,1;#:i 3,::::,f tr :iii¡::!i% ¿:,*ü'f ", :I " \vtvt z)' , (t[zMyz 9#+@ff)1_r, ¿2 -r- ----ñ'---

(4.Le)

jl',',ll i:* lltr:: :iii:: -.",r,,, AXj :..H#

," *r;l::;?,:":rnos

(4.26)

l:"

y

de donde

b¡¡----

e2\- t

;§l.,=-:1+ -l1-¿2) !s'u "os

'B:-{?l}

tot

t

,

*rn, ',u,?':iiXXX:i.il(a'gr,. . *rrf;m,,.. ¡,: ...

t

tg2B:€L 'l' * t'

(4.20)

MrMr*,

r;::!

Deft.27)escribim9¡§oIlZZ-Hc.ión(2.7)y«.8.)¡esuIta

I

gü(l

serán

(4.28)

@20) se obtiene IVITMT: iwr,M$,

IVIMz:,y ¿

G'24) (4.25)

(oMr)z+(jwrtry#:or. Comparando las expresiones (4.1g)

^.

--'*-5ü

;ii1"1ffi H*,0,,,,0u _ tg u:llT-Vruu. *{{f";lí*#idhjffi::::#r n* n.s

j

or.

(4'23)

o^-

de donde rinarmente

o..rr",r. ;" -: (Mrnrry

* En vista de que el nunrn n/r ^^_-

oo¡d en a d a,

tr¡

:::'-v**/ r(4.5)

Pero basándon^' ros en ^^

x,?iT'11: Pu"q' ¡eauCidi f,t1n, $,".,z.

,X{.trü:;,,{,:);:ñHTf:f oer trienÁ ;1;"ó ir,,íi:Í,,. '*;:itul7trWo'ú:),;,'

sal

,df,ü|;;ñ:;;

""",iff"Jí1,í;r s.'ii*.* :*g:ri"ÉH!1F'r,t Édii1,lu,!i

Fig. to

ct,

;,l,{,rfif ,}:,?i;i;i:'"+ffi *: *rro:l/T::&w u,

«rB)

entre ra.s .

IWllVIr-1,

," J,"r-,'f:; Ty*'-expresiones "(nrq;;;.2,3)

-F$ senza-$ro".n¿B_ Í;, *r!:, oi,y :.u y i""

(4.22)

a:asetu4:bsenu.

senza_¡

_- ')

y tageodésica

a cos u,

lL[rM, :

obtenemos que:

rorml-áiitirfi,::

p: (t " -f

enrre ra rarirud reducida u

8a

|:acé5¿r:''"

(4'2s)

rsmo escribir para eI

Deduzcamos la fórmula aproximada para Ia diferencia (B la cual resulta cómoda para efectuar los cálculos

-

u),

Basándonos en (4.32), (4.7)

tgB-tgu:tgB-1fGtgA, :isBlt-1:--e\ttzl.

Y-:n^§r.]

l/

-

-u)' = $

n

p'ez

Si sustituimos en obtenemos

-$'."8^a+...], 5. Rebión

anÚc

(4.35)

DtsenB

si

hacemos

VFñEWB:p.

(4.36)

Las fórmulas (4.35) se ¡eesoribirán de

,

o

1,

-

a2cosBcostr p

atcosBsenL P ó¿ son

(4.371

I

i

P

I

§ f. Pnsfq* T EH UI{

I

(4.32)

X:aCO'S¿¿COSZ

?e

1

x- {@¿;gtrEl'z L

ry&ry,

L

i Z:bsenq:ay l-ez

al-bo a2

1/ at cosz B{bzsenz B

A continuación, basándonos et (4.32), (4.22) y (4,23) obtenemos: Y :aCOs

)

setz B

a'cos B ser. L

(4.3I)

X:xcosL r.S1n

I

1/ L-ez

(4.34)

(4.34)

¡rd¿nadns coilafriilí"; bü courihnndac otre srrú€rrti¿§, Enlafig. ll PRrPtResüna elipse foeiitliana en cuyo plano se halla'el punto G, a partir del cual se cuentan las longitudes yr por lo talto en este plano se ubica ql eje-de-coordenadas Oy; PETPiE es una elipse meridiana en Ia cual se hallan ubicados el punto M y los ejes coordenado s Or y Oy. El ángulo entre Io! dangs de-estas elipses meridianas es igual a Ia longitud geodésica .L. En la fig. 11 tenemos

Y:

I

a(!-e')setB

o

cl Mru

X,Y, Z y

-

I

'-{@B

a-b le B-ls. u '"- a+b:- tgBftgu'

lt

I

az cos B cos

donde

Fig.

r

B

acosB

sen2B. (4.30)

R¡ (B-u)":P'lusen2B- f t"" 4^B + $sen 68-

B

acosB t-ezsenz

^ oa--

Una fórmula más precisa para (B - u) tiene la siguiente forma

x+.

(4.8) escribimos

Y:¡ffisenL['

Descomponiendo en serie (L - ez)uz y reemplazando cos u por oos B (admitiendo, por tanto un error de un infinitésimo del orden en), obtonemos Ia expresi6n final z para (B z)

(B

y

¿ Sen

senu

l

-

r,,

,

(4:33)

(

Por Ia normal a Ia superficie del elipsoide se p¡ede trazar un conjunto innumerable de planos. Los mismos, perpendiculares aI piano tangente a la superficie del elipsoide en un p_unto dado, se -denominañ

planos normáles. Las curvas, formadas por laintersecoión planós los normales, trazados en el punto dado, con Ia superfioie de det elipsoide, se denomínan secciows normnles. Fn cada punto sxistendos seóciones normales recíprocamente perpendiculares, la curvatú¡d de las cuales posee valores máximo y mínimo; estas secciones normales se llaman secciones normales principales

st

(

I

I

"

I

(

(

I

I

I Como se sabe

de la geometría diferencial, en algún punto M de revolución las princip"ales'secciones norriiales son: *f) sección meridiana. Ia cual pasa'por el-puntolkió='M y ambos polos del eiipsoide P y P1 (en la fig. 12 la sección meridiala del punto M es la elipse _ PMEQTE): t,* laSrimeraver.F- 2J @¡de

Diferenciando

dela superficie del elipsolde P

0

d,r:a { -- sen B (L .

curva WME, {Iue también

P,

una elipse.

Fig. t2

es

Designamos por M y N alos radios de curvatura del meridiano y de-Ia prifera vertical, respectivamente. Hallemos la expresión para los radios de curvatura de las principales secciones norm-ales en función de Ia latitud geodésica B. Ei radio de curvatura de la curva pla4-a gxpresada mediante Ia ecuación del tipo A : f (r), se define por la fórmula

{'* (#)'}'''

(el signo menos se toma porq

*: d,Í

"u

nn (t*ctg¡ ,rr:@. Finalmente,

¡4:

-cts

Considerando B como una función de

ff a: $:¿ Y{

empleamos

r, diferenciamos la fórmula

-¿¿

sen¿.8

la fórmuta cos

B (7-szser'B)-112.

(5.3)

r

t(1,-e2) :-L (t-es)lt2 * llé:

\ M:"(F;\.

Introduzoamos además

Como de acuerdo con (2.5)

y

.2

e'!:fui

i

(5.4)

(5.5) (5.6)

Ia función

V:1t[¡;'zso-g B.

(5.2) (4.7)

a(l-ez) -.- ez setz fi)a '

o

'

y obtenemos d,a_ I dB drz sen¡ B d,x '

de nuevo con respecto a z

(l

B)slz asensB(l-a2)

\ c: --7+:*:olfW. V l-r' Designando . \W:1[l_e\ñ8. podemos escribir

B

$'1),

Tomando en cuenta (2.7.) V (2.5), obtenemos

(5.1)

tenemos

fll ffiet

De la expresión (5.3) es evidente que M aumenta aI cambiar B a 90o. . desde - -Al 0" radio de curvatura de la elipse de meridiano en los polos (para B : 90") Io designamos oon Ia letra c, entonces

t. --

0). De (4.2)

coszb (L

hallamos que:

"

#