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• Juan Carlos Yucra

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CURVAS DE TRANSICION El alineamiento horizontal con curvas circulares simples está compuesto por tramos rectos enlazados por arcos circulares. Un tramo recto, o en tangente, presenta un radio de curvatura infinito mientras que un arco circular presenta una radio de curvatura constante lo que significa que en el PC y PT de una curva circular se presenta un cambio brusco y puntual de curvatura, ocasionando a su vez un cambio inmediato en la fuerza centrífuga. Lo anterior obliga a los conductores a desarrollar una trayectoria errónea durante un tramo de vía, principalmente a la entrada y salida de las curvas, mientras se asimila el cambio en dicha fuerza centrífuga. La Curva de transición permite un cambio gradual de curvatura entre una recta y una curva circular mejorando de manera ostensible la comodidad, seguridad y estética en una vía. En la siguiente Figura 45 se puede observar el diagrama de curvatura de una curva circular simple. Nótese la discontinuidad en la curvatura en el PC y en el PT de la curva.

En la Figura 46 se tiene el diagrama de curvatura de una curva con espirales de transición al inicio y al final de esta.

TIPOS DE CURVAS DE TRANSICIÓN

Las curvas de transición inicialmente se aplicaron en el trazado de líneas férreas a finales del siglo XIX mientras que para las carreteras su uso se inicia en la década de los treinta en el siglo pasado. A lo largo de todos estos años se han planteado diferentes tipos de curvas de transición dentro de las cuales tenemos: La parábola cúbica La espiral cúbica Curva de transición de Klein Curva de transición senoide de Bloss Curva de transición de Schram (parábola de cuarto grado) Curva de transición de Lange (ecuación de quinto grado) Curva de transición de óvalos de Cassini o curva elástica (radioide alas abscisas) La lemniscata de Bernoulli (radioide a las cuerdas) Clotoide o espiral de Euler (radioide a los arcos) Curva de transición de séptimo grado Espiral de Searles Espiral logarítmica LA CLOTOIDE O ESPIRAL DE EULER Dentro de todas las anteriores las más utilizadas son la espiral de Euler, la lemniscata de Bernoulli y la curva elástica. Siendo la primera la más conveniente y empleada en ferrocarriles y carreteras. Ley de curvatura de la espiral de Euler. Cuando un vehículo transita sobre una curva de radio Rc a una velocidad constante V, experimenta una aceleración centrífuga do radial cuya magnitud se calcula como:

Este valor sería el cambio inmediato que se tiene en el momento de pasar de una recta a una curva circular y viceversa, es decir en el PT y en el PC. Si entre el tramo recto y el tramo circular se ubica una curva de transición, de longitud Le, se produce una variación por unidad de longitud a lo largo de,Esta dada por:

Ahora, la aceleración centrífuga en un punto cualquiera de la transición, a una distancia L del punto inicial es igual a: [

]

Reemplazando la ac en este punto donde el radio es R se tiene que: [

]

Luego:

Llamando A2 el producto de las constantes Le y Rc: A2= R L Dónde: √ Esta última ecuación es llamada Ley de Curvatura de la Espiral de Euler e indica que el radio de curvatura R es inversamente proporcional a la distancia L recorrida a lo largo de la curva desde su origen. De otra manera, en un punto cualquiera de la curva el producto del radio R y la distancia L es constante e igual a A2

La constante A se denomina parámetro de la espiral y permite hallar el radio de la curva en un punto cualquiera de esta con la expresión: R = A2/L Por ejemplo en una curva espiral donde el radio final es R = Rc = 90 y la longitud final L = Le = 40, el valor de A2 es 3600 se tienen los siguientes valores de R a lo largo de la curva:

En la Figura 48 se tiene la clotoide de la tabla anterior donde se puede observar además la evoluta de la espiral que corresponde al lugar geométrico delos centros de los radios de curvatura.

Elementos de la curva espiral - circular - espiral. En la Figuras 49, 50y 51 se presentan todos los elementos que conforman la curva compuesta por una espiral de entrada, un arco circular central y una espiral de salida. Luego se define cada uno de los elementos indicados en las figuras. TE = Punto de empalme entre la recta y la espiral EC = Punto de empalme entre la espiral y el arco circular CE = Punto de empalme entre el arco circular y la espiral ET = Punto de empalme entre la espiral y la recta¨ Δ = Deflexión de la curva. Rc = Radio curva circular Le = Longitud curva espiral

Θe = Delta o deflexión curva espiral Xc = Coordenada X de la espiral en los puntos EC y CE Yc = Coordenada Y de la espiral en los puntos EC y CE P = Disloque = Desplazamiento del arco circular con respecto a la tangente K = Abscisa Media. Distancia entre él TE y el punto donde se produce eldisloque Te = Tangente de la curva. Distancia TE ± PI y PI – ET Ee = Externa Tl = Tangente larga. Distancia entre TE o ET y Pie Tc = Tangente corta. Distancia entre PIe y EC o CE Ce = Cuerda larga de la espiral. Línea que une TE con EC y CE con ET φ = Angulo de la cuerda larga de la espiral Δc = Deflexión de la curva circular G = Grado de curvatura circular Lc = Longitud curva circular Cc = Cuerda larga circular

LONGITUD MINIMA DE ESPIRAL LONGITUD MÍNIMA DE LA ESPIRAL (Le). Aunque la longitud de la curva espiral se asume, esta debe tener una longitud tal, que satisfaga ciertos parámetros y criterios, principalmente de tipo dinámico, estético y geométrico. De todas formas es bueno considerar cuales de estos criterios son lo más relevantes para el ingeniero de diseño en el momento de definir la longitud mínima y simplificar los cálculos. En la práctica no se acostumbra calcular la longitud para cada curva, sino que de acuerdo a los criterios que se analizarán se asume un

valor mínimo para el proyecto o también se acostumbra elaborar una tabla con valores que varían de acuerdo al radio de la curva. LONGITUD MÍNIMA SEGÚN TRANSICIÓN DEL PERALTE. Podría decirse que es de los criterios más importantes ya que en la transición del peralte, cuando pasa de un tramo recto a un tramo curvo, se debe garantizar una cierta comodidad y seguridad. En un tramo recto la inclinación transversal de la calzada corresponde al bombeo cuyo valor es del orden del -2.0%, mientras que en un tramo curvo la inclinación transversal corresponde al peralte requerido de acuerdo al radio de curvatura y la velocidad de diseño con valores que pueden alcanzar hasta el 10.0%. Se requiere entonces para este cambio una longitud, que será analizada en el capítulo del diseño del peralte, calculada con la siguiente expresión:

Dónde: Lt = Longitud de transición del peralte (m) e = valor del peralte (%) a = distancia del eje al borde de calzada (m) I = Inclinación longitudinal de la rampa de peraltes (%) LONGITUD MÍNIMA SEGÚN VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN CENTRIFUGA Realmente este aspecto, que tiene que ver principalmente con la comodidad, va muy ligado al de la transición del peralte. Aunque el valor de la inclinación de rampa de peralte (I) ha considerado la comodidad para el alabeo que se experimenta en el ascenso y descenso de los bordes de calzada con respecto al eje de esta en la transición del peralte, existen algunas fórmulas que permiten calcular la longitud mínima que garantice un buen confort. Se tiene una fórmula general deducida a partir de la ecuación de equilibrio de un vehículo en movimiento en una curva.

Dónde: V = Velocidad (Km/h) Rc = Radio de la curva (m) e = Peralte (decimales) C = Variación de la aceleración radial por unidad de tiempo (m/s3) El parámetro C es una constante empírica que se asume de acuerdo al grado de comodidad que se desee obtener y se ha demostrado experimentalmente que varía entre 0.3 y 0.9 recomendándose un

valor promedio de 0.6 m/s3. Existe la fórmula de Smirnoff la que aconseja un valor para C de 0.416m/s3, por lo que se tiene: [

Formula de Smirnoff

]

La fórmula de shortt no tiene en cuenta el peralte por lo que se convierte en:

Por último se tiene la fórmula de Barnett que es la misma de Shortt pero con un valor de C de 0.6 m/s3: Fórmula de Barnett

Longitud mínima de acuerdo a la estética. Se recomienda que por estética el valor de la deflexión de la espiral θe sea mínimo de 3.15 grados. Despejando Le y reemplazando θe por 3.15 de la expresión:

Se tiene que:

Le = 0.11 Rc

Debe tenerse en cuenta además que la longitud de la espiral no difiera demasiado de la circular. Desde el punto de vista estético no es aconsejable emplear longitudes muy largas de espiral con longitudes muy cortas de curva circular o viceversa. Longitud mínima según la AASHTO. Según esta institución norteamericana la longitud mínima de espiral no debe ser inferior a la distancia recorrida durante dos segundos a la velocidad de diseño. Quiere decir esto que

Por lo que: Con Vd en Km/h y Le en metros. Longitud mínima según el I.N.V. El Instituto Nacional de Vías maneja todos los criterios anteriores pero a partir del parámetro de la clotoide, es decir el valor de A. Quiere decir que el I.N.V. considera que: √ El valor de Le se reemplaza entonces por los definidos en los criterios anteriores. Según Velocidad de Diseño.

Independientemente de los criterios anteriores, se recomienda un valor mínimo absoluto para la longitud de la espiral a partir de la velocidad de diseño. Estos valores son:

Abscisado de la curva Espiral - Circular - Espiral. El valor de los puntos dela curva circular con espirales transición a la entrada y salida se puede obtener de la Figura 49: TE = PI ± Te EC = TE + Le CE = CE + Lc ET = CE + Le Lo que quiere decir que además de conocer el valor del delta de la curva, el radio y la longitud de la espiral es necesario conocer la abscisa del PI, para calcular tanto los elementos como las deflexiones de la curva. GEOMETRIA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN Curva Espiral - Espiral. Como ya se ha dicho, este tipo de curvas se presenta principalmente cuando su deflexión es pequeña, normalmente por debajo de los 30º. Aunque se pudiese aumentar el radio y/o disminuir la longitud espiral, para obtener una curva espiral - circular - espiral con longitud circular positiva, la mayoría de los ingenieros prefieren utilizar la curva espiral - espiral por varias razones:    



Simplifica los cálculos ya que no existen los elementos de la curva circular. Se reduce también los trabajos de localización en el terreno. Facilita un mejor control de cierre en el campo. Permite una mayor flexibilización en los cálculos ya que, además de la deflexión, los cálculos se puede realizar partiendo de uno de estos elementos: radio (Rc), longitud espiral (Le), externa (Ee) o tangente (Te). Quiere decir lo anterior que, dependiendo del control que se tenga en el campo, se puede asumir el valor más apropiado de uno de estos cuatro elementos. Cuando se tienen longitudes del arco circular muy pequeñas, menores de 10 metros, la estética de la curva no es la mejor, por lo que se recomienda optar por modificarla por una curva de este tipo.

Localización de curva Espiral - Circular - Espiral. Aunque existen diferentes formas de localizar una curva con espirales de transición, la manera tradicional y más apropiada de hacerlo es por medio de cuerdas y deflexiones. Existe otro método que es el de las coordenadas cartesianas, es decir valores de X y Y, pero esto implica un mayor número de cálculos y un procedimiento más laborioso en el terreno ya que se deben ubicar inicialmente puntos a lo

largo de la tangente, que serían los valores de X, y luego perpendiculares a estos puntos, correspondientes a los valores de Y. De todas maneras en los ejemplos que se presenten se calcularán los correspondientes valores de X y Y para las diferentes estaciones redondas de la espiral. Un tercer método es el de las coordenadas absolutas o radiación desde un punto cualquiera. Esta metodología es apropiada cuando el terreno presenta una configuración topográfica tal que no permita localizar la curva por cuerdas y deflexiones y se debe ubicar un punto que permita un dominio visual para toda la curva. También es recomendable en proyectos de rectificación donde se hace necesario localizar el nuevo diseño desde puntos que no interrumpan el tránsito vehicular y además no pongan en peligro la integridad física de los trazadores. Se requiere para este procedimiento del uso de una estación total y de una calculadora programable o un computador que permita realizar los cálculos de una forma ágil y precisa. A continuación se presenta la metodología para localizar la curva por el método de cuerdas y deflexiones: Estando ubicado en el PI se mide el valor de la tangente, Te, en dirección de los dos alineamientos que definen dicho PI. Se obtiene así la ubicación del TE y el ET. Se traslada el equipo hacia el TE y con ³ceros´ en el PI se localizan todas las estaciones redondas de la primera espiral hasta llegar al EC. Esta localización se realiza con cuerdas y deflexiones, estas últimas calculadas previamente. Se mide sobre la tangente (línea TE ± PI) el valor de la tangente larga Tl determinando así la ubicación del PIe. Luego se chequea el valor de la tangente corta Tc con el fin de verificar que la primera espiral ha sido bien localizada. La tangente corta es la distancia entre el PIe y el EC. Se ubica ahora el equipo en el EC y con el telescopio invertido y línea en el PIe se transita 180 grados determinando así la línea de referencia para medir las deflexiones de la curva circular llegando así hasta el CE. Finalmente se ubica el equipo en el ET y con línea en el PI se localiza la segunda espiral en sentido contrario al abscisado, es decir desde el ET al CE, obteniendo el error de cierre en este último. El procedimiento anterior también puede realizarse de forma inversa, es decir, iniciando en el ET y localizando hasta el CE, luego la curva circular desde el CE hasta el EC y por último desde el TE cerrando en el EC. CLASIFICACIÓN Y ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE. La Clotoide permite enlazar un alineamiento recto con otro circular, o viceversa; dos alineamientos rectos ó dos alineamientos circulares de igual a contrario sentido. En el primer caso, cuando el enlace entre el alineamiento recto y la curva, se hace con una Clotoide, ésta recibe el nombre de Clotoide Simple. Clotoide Simple: Si la curva circular entre las dos Clotoides, la de entrada y la de salida, se elimina, se obtiene la Clotoide doble, Clotoide de Transición Total o Clotoide de vértice. Clotoide de vértice: Cuando dos arcos de circulo de sentido contrario, sin tangente intermedia, conectan con dos arcos de Clotoide revertidas, resultan las Clotoides en S ó curvas de inflexión. EJEMPLO DE CÁLCULO DE CURVA ESPIRAL - ESPIRAL.

Se retoma el ejercicio propuesto en el ejemplo 6.2 Datos: Curva No 2 Izquierda Δ = 27º28´14” R = 80.00 C =10.00 Abscisa PI = K0+682.18 Velocidad de diseño = 50.0 Km/h Ancho de calzada = 7.30 m Obtener: Todos los demás elementos Deflexiones de toda la curva Se debe tener en cuenta que al proponer un valor de cálculo se debe verificar que el valor de otros elementos, radio y longitud espiral, este dentro de lo admisible. En este caso se ha asumido el valor del radio y solo se debe verificar que el de la longitud espiral sea la apropiada. Cálculos: Elementos Deflexión de la espiral:

SERIES F1 Y F2

Longitud espiral

Este valor cumple con el requerido para transición de peralte que es de 37.9. Coordenadas Xc y Yc Xc = Le.F2 = 38.36x0.9943 = 38.14

Yc = Le.F1 = 38.36x0.0796 = 3.05 Externa

Tangente

Ubicación del Pie

Abscisado de la curva TE = PI ± Te = 682.18 - 38.88 = K0+643.30 EE = TE + Le = 643.30 + 38.36 = K0+681.66 ET =EE + Le = 681.665 + 38.36 = K0+720.02 Deflexiones Las deflexiones se calculan de igual manera que en la curva espiral - circular - espiral, obviamente que sin las deflexiones de la curva circular. Se emplearán las mismas dos expresiones con el fin de comparar los resultados

Y

Los resultados de las deflexiones se presentan en la Tabla

Tabla de coordenadas y deflexiones