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• Jhon Piguabe

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1. Dada la EDO ( )+ ( )+ ( )= , tome la sustitución = de manera que la transforme en una EDO con coeficientes constantes y de esta última halle su CONJUNTO FUNDAMENTAL. ¿Si devuelve el cambio el NUEVO conjunto fundamental será un C.F. de la Edo. original?

Planteando la sustitución ( ): =

=

1

=

= ln

≡

, podemos deducir para las derivadas de

=

=

=

=

=

11

−

=

−

−

1

1

=

−

1

Remplazando esta sustitución en la ecuación del enunciado, tenemos: 3

−

1

+ 21

1

+ 27 = 5

Aplicando los productos, la propiedad distributiva y reducción de términos semejantes, tenemos: 3

+ 18

+ 27 = 5

3

+ 18

+ 27 = 0

Considerando su EDO homogénea asociada:

Dividimos la igualdad para 3:

+6

De la cual se deduce una ecuación auxiliar: +6 +9=0

+9 =0 ≡

( + 3) = 0

De donde deducimos que la ecuación auxiliar tiene la solución repetida = −3, de modo que el Conjunto Fundamental de Soluciones queda establecido así: C.F.S. = { }. Lo demás tarea. , 2. Determine el C.F. de la siguiente ecuación diferencial si se conoce que una de sus soluciones: − ( + ) = −( + ) + , >

Llevando la EDO a la forma

+ ( )

+ ( ) = ( ), se tiene:

( )=

es

−

( + 2)

+

( + 2)

Proceso para encontrar la solución complementaria: −

( + 2)

+

=

( + 2)

=0

Usamos reducción de orden para obtener la segunda solución: ∫ ( )

( )=

Así el C.F. es {

( )=

( )=

( ),

( )}.

→

(

(

∫ ( )

)

=

=

3. Determine el C.F. de la siguiente ecuación diferencial, Asumiendo: =

+

+ 3 + 2) = 0 → ( + 2)( + 1) = 0 →

Luego el conjunto fundamental de soluciones es: ={

,

4. A partir de la expresión ( , ) = ∫ ( ) segunda solución linealmente independiente a EDO: −

Si una de las soluciones es

−

}

+

=

= −2 ∨ = −1

del teorema de Abel, obtener una = + y la solución general de la

+ ( + )

−

=

= + 1 ; se usará la expresión del teorema de Abel para hallar la segunda solución linealmente independiente y se calculara el Wronskiano de modo generalizado para la solución desconocida. ( , ′

+1 1

( + 1) Dado:

( + 1)

)=

′ = ′

−

+( −

∫

( )

∫

( )

= (

( )

∫

=

=

)

∫

( )

−(

) ∫

(

(

)

) )

= 0, entonces:

( + 1)

−

=

( )=1−2 −

∫(

)

( ) = (−2 − 2 )

( + 1)

−

( + 1) −

−

( + 1)

( )=

( )=

=

∫

=

(

( )

=1−2 − 1−2 − ( + 1) )

1 +1

=

(∫ ( ) ( )

+c ), c=0,

1 1−2 − +1 +1

( ) = ( + 1) ( ) = ( + 1) ( ) = ( + 1) −

2 ( + 1)

−

2 − +1

= ( + 1)

( + 1) ( + 1)

( ) = −2 − ( + 1) ( )=−

−

− 2 Segunda solución linealmente independiente.

La solución general sería: ( )=

2−1−2 − ( + 1)

( + 1) +

(−

−

− 2) ,

,

∈