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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO

TRABAJO: Exposición (3.4 Wronskiano) MATERIA: Ecuaciones Diferenciales

Maestro: M.C Crispín Giovani Pastor Solache Alumno: Benjamín Solís Añorve Núm. Control: 14520280 CARRERA: Ingeniería en sistemas computacionales

GRUPO: M-2

CHILPANCINGO DE LOS BRAVO GRO., A 9 DE JUNIO DEL 2016

Ecuaciones diferenciales de orden superior Wronskiano Los Wronskianos son funciones denominadas de tal forma en honor al físico, filósofo y matemático polaco Josef Hoene-Wronski (1778-1853). Son fundamentales en el estudio de los sistemas ecuaciones diferenciales. Dichos sistemas surgen en problemas que se relacionan principalmente con las variables dependientes las cuales son función de la propia variable independiente. Son de utilidad para determinar si dos funciones son independientes linealmente y de esta forma crear un conjunto solución que a la vez respete la teoría de las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:

Y tiene como solución general la función

por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:

Estas ecuaciones puede generar muchas combinaciones, sin embargo, se presentan tres casos que ayudarán en la resolución de las mismas. 1) Primer Caso: Múltiples raíces diferentes Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales diferentes, es decir entonces la solución general tiene la forma

2) Segundo Caso: Múltiples raíces iguales Si todas las raíces de la ecuación diferencial homogénea son reales e iguales, es decir entonces la solución general tiene la forma

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo ilustrativo 1) Resolver Solución: La ecuación auxiliar es: Factorizando se tiene Las raíces son Entonces la solución general es

Graficando para valores arbitrarios

2) Comprobar que Solución Calculando la primera derivada de

se obtiene:

es la solución de

Calculando la segunda derivada Calculando la tercera derivada Remplazando valores en

Como se quería comprobar 3) Encontrar la ecuación diferencial cuya solución es: Solución: Se observa que Entonces Por lo tanto al eliminar los paréntesis se obtiene la ecuación auxiliar

Entonces la ecuación pedida es