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• Vittoria Eugenia Isabel Goyzueta Bedoya

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CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA

EL WRONSKIANO Es una función, cuyo nombre se debe al matemático polaco Josef HoeneWronski, especialmente importante en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Ahora bien, para hablar de los usos del Wronskiano en las ecuaciones diferenciales, tenemos que dar la definición de la dependencia lineal y de la independencia lineal. Independencia y Dependencia Lineal. Sean n funciones

{ f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x) … f n ( x ) } ( n−1 )

,definidas en el mismo

dominio

D⊆ R , cuando menos

conjunto

S= {f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) … f n ( x ) } , se dice linealmente dependiente

en D, si existen algunas constantes,

veces diferenciables. Entonces, el

c 1 , c 2 , c3 , c 4 … c n

distintas de cero tal

que n

∑ c i f i ( x )=c 1 f 1 ( x ) +c 2 f 2 ( x )+ c3 f 3 ( x ) +c 4 f 4 ( x ) + …+ c n f n ( x ) =0 i=1

con c 1 ,c 2 , c 3 , c 4 … c n ∈ R Por

el

contrario,

si

c i ≠ 0 …(con i=1,2,3 … , n ; n ∈ Z) ,

no se

existe dirá

que

ninguna S

es

constante linealmente

independiente. Definición: Wronskiano El Wronskiano se obtiene al resolver el determinante que está conformado por un conjunto de funciones y sus derivadas. El conjunto

( n−1 )

S= {f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) … f n ( x ) }

de funciones, cuando menos

veces diferenciables, conforman el Wronskiano,

W (S)=W ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) , f 3 ( x ) , f 4 ( x ) ,… f n ( x ) )

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA

a través del siguiente determinante:

W ( S )=¿

Si S

S

W (S) ≠0 , entonces

|

|

f 1( x ) f 1( x ) … f 1 ( x ) f '1 ( x ) f '1 ( x ) … f '1 ( x ) ⋮ ⋮ ⋱⋮ (n−1) (n−1) f 1 f 1 … f (n1 −1)

es linealmente independiente, caso contrario

es linealmente dependiente.

Ejemplo 1: Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes y 1=cos x ; y 2=se n x ; y 3=1 Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 f '1' f '2' f ''3 Se tiene

|

|

cos x sen x 1 W ( y 1 , y 2 , y 3) −sen x cos x 0 −cos x −sen x 0

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

|

|

cos x sen x 1 cos x sin x W ( y 1 , y 2 , y 3) −sen x cos x 0 −sin x cos x −cos x −sen x 0 −cos x −sin x W ( y 1 , y 2 , y 3)=( 0+0+ sen 2 x )−( −cos 2 x +0+ 0 ) 2

2

W ( y 1 , y 2 , y 3)=sen x +cos x=1

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Como W ( y 1 , y 2 , y 3) ≠ 0

entonces, las funciones son linealmente

independientes Ejemplo 2: Determine, mediante el Wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes: y 1=x ; y 2 =x2 ; y 3=4 x−3 x 2 Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 '' '' '' f1 f2 f 3

Se tiene

|

2

x x W ( y 1 , y 2 , y 3) 1 2 x 0 2

|

2

4 x−3 x 4−6 x −6

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

| |

x x 2 4 x−3 x2 x x 2 W ( y 1 , y 2 , y 3) 1 2 x 4−6 x 1 2 x 0 2 −6 0 2

W ( y 1 , y 2 , y 3)=(−12 x 2 +0+8 x−6 x 2 )−( 0+8 x−12 x2 −6 x2 ) W ( y 1 , y 2 , y 3 )=−12 x 2 +8 x−6 x 2−8 x+ 12 x 2 +6 x 2=0 Como W ( y 1 , y 2 , y 3 )=0

entonces, las funciones son linealmente dependientes.

EJERCICIOS PROPUESTOS: (Libro Ecuaciones Diferenciales y aplicaciones – Eduardo Espinoza Ramos)

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA

Obténgase el Wronskiano de las siguientes funciones indicadas e indique si son Linealmente Independientes o Linealmente Dependientes: A)

f 1 =e x ; f 2=2 e x ; f 3 =e−x

Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 f '1' f '2' f ''3

|

|

e x 2e x e−x W (f 1 , f 2 , f 3)= e x 2e x −e− x x x −x e 2e e

Se tiene:

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

x

x

−x

| | x

x

e 2e e e 2e W (f 1 , f 2 , f 3)= e x 2e x −e− x e x 2 e x e x 2e x e−x e x 2 e x

x x x x x x W ( f 1 , f 2 , f 3 )=( 2 e −2 e +2 e )−(2 e −2 e +2 e )

x

x

x

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=2 e −2 e +2 e −¿ W (f 1 , f 2 , f 3)=¿

B)

0

x

x

x

2 e −2 e + 2 e =0

es decir, las funciones son linealmente dependientes

f 1 =2; f 2=cos x ; f 3=cos 2 x

Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 f '1' f '2' f ''3

CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES TEMA: EL MÉTODO DEL WRONSKIANO PROF.: JAVIER VIVAR MANRIQUE ALUMNA: VICTORIA GOYZUETA BEDOYA

|

|

2 cos x cos 2 x W (f 1 , f 2 , f 3)= 0 −sen x −2 sen 2 x 0 −cos x −4 cos 2 x

Se tiene:

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

|

|

2 cos x cos 2 x 2 cos x W (f 1 , f 2 , f 3)= 0 −sen x −2 sen 2 x 0 −sen x 0 −cos x −4 cos 2 x 0 −cos x W ( f 1 , f 2 , f 3 )=( 8 sen x . cos 2 x ) −( 4 cos x . sen 2 x ) x 2 sen x .cos ¿ W ( f 1 , f 2 , f 3 )=8 sen x ( cos 2 x−sen2 x )−4 cos x ¿

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=8 sen x cos 2 x−8 sen3 x−8 sen x cos 2 x W ( f 1 , f 2 , f 3 )=−8 sen 3 x , las funciones son linealmente independientes

C)

f 1 =1; f 2=e− x ; f 3=2 e2 x

Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 f '1' f '2' f ''3

|

|

1 e−x 2e 2 x W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 0 −e−x 4 e 2 x 0 e−x 8 e2 x

Se tiene:

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

| |

1 e−x 2e 2 x 1 e− x W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 0 −e−x 4 e 2 x 0 −e−x 0 e−x 8 e2 x 0 e− x

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W ( f 1 , f 2 , f 3 )=−8 e x −4 e x =−12 e x W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿

D)

- 12ex, las funciones son linealmente independientes

2

f 1 =1; f 2=sen x ; f 3=1−cos x

Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 '' '' '' f1 f2 f 3

Se tiene:

1 sen2 x ¿ 1−cos x 0 2 se n x . cos x sen x 0 x+¿ 2 co s2 x −2 s en2 ¿ cos x ¿ ¿ W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿

Resolviendo el determinante de orden 3: 1 sen2 x ¿ ¿ 2 1 sen x 0 2 sen x . cos x 0 −2 sen2 x +¿ 2 cos2 x 1−cos x 0 2 sen x . cos x sen x 0 x+¿ 2 cos 2 x ¿ 2 −2 sen ¿ cos x ¿ ¿ W ( f 1 , f 2 , f 3 )=¿ x −2 sen x +2 cos2 ¿ W ( f 1 , f 2 , f 3 )=cos x ( 2 se n x .cos x ) −se n x ¿ 2

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=2 sen x . cos2 x +2 sen 3 x−2 sen x . cos 2 x W ( f 1 , f 2 , f 3 )=2 sen 3 x , las funciones son linealmente independientes

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E)

f 1 =x2 ; f 2=x 4 ; f 3= x8

Remplazando valores en

| |

f1 f2 f3 W (f 1 , f 2 , f 3) f '1 f '2 f '2 f '1' f '2' f ''3

|

|

x2 x4 x8 W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 2 x 4 x 3 8 x 7 2 12 x2 56 x 6

Se tiene:

Resolviendo el determinante de orden 3:

|

2

4

8

| | 2

4

x x x x x W ( f 1 , f 2 , f 3 )= 2 x 4 x 3 8 x 7 2 x 4 x 3 2 12 x2 56 x 6 2 12 x 2

W ( f 1 , f 2 , f 3 )=( 224 x 11 +16 x 11 +24 x 11 ) −( 8 x 11 + 96 x11 + 112 x 11 ) W ( f 1 , f 2 , f 3 )=264 x 11 −216 x11 =48 x 11 W ( f 1 , f 2 , f 3 )=48 x 11

, las funciones son linealmente independientes.