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• Flor Ruiz Vela

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I) INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES En cada uno de los casos, averiguar si las funciones dadas son o no linealmente independiente (por definición algebraica). x

−x

f 1 (x)=e , f 2 (x ) =e

1) x

( 1 ) −( 2 ) :

C x (¿ ¿1+2 C 2)e =0 reemplazando en ( 1 ) :¿ ∴

−x

C1 e +C2 e =0 … …(1) derivando :C1 e x −C 2 e−x =0 … …(2)

( 1 )+ ( 2 ) :

2C 1 e x =0 →C 1=0

0 e x +C2 e−x =0

x

x

No se puede determinar f 1 (x)=x , f 2 ( x )=2 x , f 3 ( x )=x 2

3)

reemplazando en ( 1 ) : derivando :C 1 +2 C2 +2 C3 x=0 … …( 1) notamos que para que cumplala ultima ecuacion:

Las funciones son L.I f 1 (x)=e x , f 2 (x )=2 e x , f 3 (x )=e−x

2)

C1 =−2 C 2

C1 x+ 2C 2 x +C3 x 2=0

C2 e−x =0 → C2 =0 ∴

2C 3 e−x =0 →C 3=0

−x

C1 e +2C 2 e + C3 e =0 … … (1)

C1 +2 C2 =0 →C 1=−2C 2 derivando(1):2 C 3=0 →C 3=0 ∴

derivando :C1 e x +2C 2 e x −C 3 e−x =0 … …(2) 4)

No se puede determinar f 1 (x)=sin ax , f 2( x )=cos ax

C1 sin ax +C2 cos ax=0 … …(1)

2

en ( 1 ) :C 1 +0 x+ 0 x =0→ C 1=0

derivando :a C1 cos ax−aC2 sin ax=0 C1 cos ax−C 2 sin ax=0 … .. ( 2 )

∴

ax

C12 +C 22 =0 ↔C 1 ¿ C 2=0 ∴

5)

Las funciones son L.I

f 1 (x)=1, f 2 (x )=x , f 3 (x )=x 2

ax

f 1 ( x ) =e sin bx , f 2( x )=e cos bx

6) ax

( 1 ) 2+ ( 2 ) 2 :

Las funciones son L.I

ax

C1 e sin bx +C2 e cos bx=0 C ¿ bx e ax ¿ factorizando :¿ concluimos que :C 1 sin bx +C 2 cos bx=0

C1 +C 2 x +C 3 x 2=0 … ..(1)

C1 sin bx+ C2 cos bx=0 … …(1)

derivando :C2 +2 C3 x=0 … …( 2)

derivando :b C1 cos bx−bC2 sin bx=0

derivando :2C 3=0 → C3 =0 … .. ( 3 )

C1 cos bx−C 2 sin bx=0 … .. ( 2 )

( 3 ) en ( 2 ) :C 2+ 2.0 . x=0→ C 2=0

( 1 ) 2+ ( 2 ) 2 :

2

2

C1 +C 2 =0 ↔C 1 ¿ C 2=0

∴

Las funciones son L.I ax

f 1 ( x )=e , f 2 ( x )=e

7) ax

bx

bx

,

∴

Las funciones son L.I

cx

f 3 ( x )=e ; a ≠ b ≠ c

cx

C1 e +C 2 e + C3 e =0 8)

2

f 1 (x)=ln x , f 2 ( x )=x ln x , f 3 ( x )=x ln x 2

C1 ln x+ C2 x ln x +C3 x ln x=0

II) WRONSKIANO Hallar el wronskiano de las siguientes funciones.

C derivando : 1 +C 2+ C3 x=0 x

1, x , x2 , x3 , … … .. , x n−1 ; n>1

1) 2

multiplicamos por x :C1 +C 2 x+ C3 x =0 … .(1) derivando :C2 +2 C3 x=0 … ..(2) derivando :2C 3=0 → C3 =0 reemplazando en ( 2 ) :C 2 +2.0 . x=0→ C 2=0 2

reemplazando en ( 1 ) :C 1+ 0 x+ 0 x =0→

|

|

x n−3 x n−2 x n−1 1 x x2 (n−3) x n−4 (n−2) x n−3 ( n−1)x n−2 0 1 2x ⋯ 0 0 2 (n−3)(n−4) x n−5 ( n−2)(n−3) x n−4 (n−1)(n−2) x n−3 W= ⋮ ⋱ ⋮ ( n−3)! (n−2)! x (n−2)! x n−1 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 (n−2) ! ( n−1)! x 0 0 0 0 0 (n−1)! C1 =0

W =2! 3 ! 4 ! … .(n−2) !(n−1)!

x

x

5) e sin x , e cos x 2)

e mx , e nx ; m ,n ϵ Z m≠ n

|

W=

|

|

emx e nx ( m+ n) x W = mx −m. e( m+n ) x nx =n . e me ne

W =e2 x cos x .sin x−e2 x sin2 x−e 2 x cos2 x −e x sin x .cos x

W = ( n−m ) . e( m+n ) x

sinh x , cosh x

3)

|

e x sin x e x cos x x x x x e cos x+ e sin x e cos x−e sin x

W =−e

|

|

W = sinh x cosh x = sinh2 x−cosh2 x cosh x sinh x

2x

1+cos 2 x , cos 2 x

6)

|

||

|

2 cos2 x W = 1+cos 2 x = 1+cos 2 x cos x 2sin 2 x −2 cos x .sin x 2sin 2 x −sin 2 x

W =−1

2

W =−sin 2 x−sin 2 x . cos 2 x +2 sin 2 x . cos x 4) x , xe

|

W=

x

W =−sin 2 x−sin 2 x (2 cos 2 x−1)+2 sin2 x . cos 2 x

|

x xe x = x 2 e x + xe x −xe x =x 2 e x 1 e x + xe x

W =0

−x

−x

e ,x e

7)

|

W=

−x

|

−x

e xe −2 x − x e−2 x + x e−2 x −x −x −x = e −e e −x e

W =e−2 x

8)

|

|

2 cos x cos 2 x W = 0 −sin x −2 sin 2 x 0 −cos x −4 cos 2 x

e−x ,2 e 2 x

1,

|

2, cos x , cos 2 x

9)

−x

−3 x

e

10)

|

2x

1 e 2e −x 2x W = 0 −e 4e 0 e−x 8 e 2 x

|

W=

−3 x

−3 e

−3 x

sin 2 x , e

cos 2 x

|

e−3 x sin 2 x e−3 x cos 2 x −3 x −3 x sin 2 x +2 e cos 2 x −3 e cos 2 x−2 e−3 x sin 2 x

Ahora sumamos la fila 2 a la fila 3: f 3=f 2 + f 3 W =−3 e−6 x cos 2 x . sin 2 x−2 e−6 x si n2 2 x +−3 e−6 x sin 2 x . cos 2 x−2 e−6 x cos n2 2 x

|

−x

2x

|

1 e 2e −x 2x W = 0 −e 4e 0 0 12e 2 x W =−12 e

x

W =−2 e−6 x III) Mediante el wronskiano, demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de funciones son linealmente independientes.

ln x , x ln x

1)

|

∴

|

ln x x ln x W= 1 =ln 2 x +ln x−ln x ln x +1 x

|

Las funciones son L.I

∴

2)

1,

|

x 1/ 2 , x 1/3

3)

W=

W =ln 2 x ≠ 0

|

x 1 /2 x 1/3 −1/ 6 −1/2. x−1 /6 −1/ 2 −2 /3 =1/3. x 1/2. x 1/3. x

W =−1/6. . x −1 /6 ≠ 0

e−x ,2 e 2 x ∴

|

1 e−x 2 e 2 x W = 0 −e− x 4 e2 x 0 e−x 8 e 2 x

ax

Ahora sumamos l a fila 2 a la fila 3 :f 3=f 2+ f 3

ax

|

|

eax sin bx eax cos bx ae ax sin bx+ b e ax cos bx aeax cos bx−b e ax sin b x 2 ax

|

1 e−x 2e 2 x W = 0 −e− x 4 e 2 x 0 0 12e 2 x

W =ae

cos bx . sin bx−b e

W =−12 e ≠ 0

2 ax

2

sin bx−ae

2 ax

cos bx . sin bx−b e

W =−b e2 ax ≠ 0 ∴

x

Las funciones son L.I

4) e sin bx ,e cos bx ; b ≠ 0

W=

|

Las funciones son L.I

Las funciones son L.I

2 ax

2

cos bx

5) 1,

2

sin x , 1−cos x

W=

|

1 ≠0 √ 1−x 2

|

1 sin 2 x 1−cos x W= 0 2 sinx . cos x sinx =|¿| 2 2 0 −2 cos x+ 2sin x cos x

∴

Las funciones son L.I

ln ( x−1 )−ln ( x +1 ) ,1

6)

|

|

ln ( x−1 )−ln ( x +1 ) 1 W= 1 1 − 0 x−1 x+ 1 −2 W= ≠0 (x−1)(x +1) ∴

x 2 W= x cos 2 2

9)

| |

W=

|

√1−x 2

x

−x √1−x 2

1

x ,cos 2 x 2

sin

cos 2 x

= √1−x 2 +

x2 √1−x2

−2 cos x . sin x

x2 , x4 , x8

|

|

cos

x =−2 cos x . sin x . sin − 2 2

Las funciones son L.I

√ 1−x 2 , x

7)

sin

8)

|

x2 x4 x8 W = 2 x 4 x3 8 x 7 2 12 x 2 56 x 6

x 2

2

. c os x

aplicando regla de sarrus :

para−1< x