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• Miguel Soto Huatuco

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VIGAS Y LOSAS CONTINUAS El objeto del análisis de estructuras consiste en la determinación de las cargas actuantes, de las reacciones, esfuerzos cortantes, momentos flectores y torsores. El cálculo y diseño se refiere exclusivamente al dimensionamiento y armaduras que deben tener los elementos estructurales para resistir las cargas aplicadas; por lo tanto para la creación de una estructura se requiere, pues, de dos etapas: el análisis y el diseño respectivamente. La gran mayoría de edificaciones son estructuras hiperestáticas compuestas por muros, placas y columnas como elementos verticales o de entrepiso, y por vigas y losas como elementos horizontales o de piso. A diferencia de las estructuras isostáticas como vigas y losas simplemente apoyadas, donde la determinación de las fuerzas internas no representan mayor dificultad, evaluándose por equilibrio estático, las hiperestáticas como pórticos (conjunto de vigas y columnas) y las losas son elementos continuos que requieren criterios adicionales, tales, como giro en las uniones y deflexiones (distorsiones) para la determinación de sus fuerzas internas. El código ACI normalmente requiere que el análisis exacto se haga por medio de la teoría elástica (slope deflection, Cross, Kani) o métodos matriciales en combinación con el método de diseño a la rotura o resistencia última. Los elementos individuales de un pórtico estructural deben diseñarse para la combinación de cargas más desfavorable que pueda esperarse razonablemente que ocurra durante su vida útil (50 años). Los momentos, cortantes y fuerzas axiales internos se producen por el efecto combinado de cargas muertas o permanentes, vivas o sobrecarga y de sismo (viento, impacto etc.); las combinaciones mínimas se presentan en nuestra Norma de diseño E-060 Los momentos, esfuerzos cortantes y reacciones máximas no ocurren cuando la estructura está totalmente cargada, lo que se verifica al observar las deformaciones de un entrepiso cargado. En la figura se muestra los diagramas de deflexión debidos a cuatro diferentes hipótesis de carga, cada una de las cuales debe considerarse para determinar los momentos, cortantes y reacciones máximas, este proceso es conocido como alternancia de cargas. Se entiende que en cada caso la carga permanente (muerta) debe actuar en todos los tramos o luces. Estas condiciones de carga dan los momentos negativos y positivos máximos en los apoyos y en el centro de luz, momentos máximos en columnas, las reacciones máximas para éstas, y los esfuerzos cortantes máximos en vigas. COMPORTAMIENTO Y DISEÑO EN CONCRETO Prof.: Ing. EDUARDO CABREJOS

Para facilitar el análisis elástico, el ACI propone algunas sugerencias y simplificaciones: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

La longitud de los elementos simplemente apoyados no solidarios con sus apoyos se asumirá igual a su luz libre más el peralte del elemento siempre que sea menor que la distancia a ejes de los apoyos. En caso contrario, se tomará la última. Para el cálculo de momentos en columnas debidos a cargas de gravedad, se puede asumir que sus extremos lejanos están empotrados. La diferencia de los momentos en los extremos de vigas, será repartida entre la columna del nivel superior y la columna del nivel inferior en proporción a sus rigideces y condiciones de apoyo. Para el análisis de elementos continuos, la luz de cada tramo será igual a la distancia entre ejes de los apoyos y las columnas se considerarán empotradas en sus extremos opuestos. (en las columnas del piso superior e inferior del nivel considerado). Para el diseño, los momentos en los apoyos de los elementos solidarios con ellos podrán ser reducidos tomándolos a la cara del apoyo. Las losas solidarias con sus apoyos y con luces menores que 3m podrán ser analizadas como elementos continuos como tipo cuchilla y con luces iguales a la luz libre del elemento, despreciando, de este modo, el ancho de vigas. Cualquier criterio que se asuma para estimar la rigidez de los elementos de C.A., ya sea a la flexión o a la torsión, deberá ser mantenido a todo lo largo del análisis.

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METODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI El uso de los métodos que dan soluciones matemáticas exactas en el análisis de estructuras de concreto es absolutamente necesario en muchos casos; sin embargo también en muchos casos corrientes se obtiene suficiente aproximación con el empleo de métodos aproximados. El código ACI (E-060) propone un método aproximado para el cálculo de los momentos y fuerzas cortantes en vigas continúas y losas armadas en una dirección, que dan resultados satisfactorios. Este método debe usarse solamente cuando se cumplen las condiciones siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

La viga o losa debe contar con dos o más tramos Las luces libres adyacentes no deben diferir en longitud en más de 20 % con respecto a la luz menor La relación de carga viva (sobrecarga) a carga muerta (permanente) no debe ser mayor de 3 (CV ≤ 3CM) Las cargas deben ser uniformemente repartidas. Los elementos deben ser prismáticos

Coeficientes Los momentos flectores y fuerzas cortantes son función de la carga última aplicada wu (w), de la luz libre entre los tramos ln (L’) y de las condiciones de apoyo. El valor de ln (L’) será igual a la luz libre para el cálculo de los momentos positivos y fuerzas cortantes, y el promedio de las luces libres de los tramos adyacentes para el cálculo de los momentos negativos. Las fórmulas propuestas son: • Momento positivo (a) Tramos extremos El extremo discontinuo no está restringido ............................. El extremo discontinuo es monolítico con el apoyo ...............

(1/11) wu ln2 (1/14) wu ln2

(b) Tramos interiores ...............................................................

(1/16) wu ln2

• Momento negativo en la cara exterior del primer apoyo interior (a) Dos tramos: ................................................................ (b) Más de dos tramos: &&.................................................. •

(1/ 9) wu ln2 (1/10) wu ln2

Momento negativo en las demás caras de apoyos interiores&&(1/11) wu ln2

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•

Momento negativo en la cara de todos los apoyos para losas con luces que no excedan de 3 m y vigas en las cuales el cociente entre la suma de las rigideces de las columnas y la rigidez de la viga exceda de 8 en cada extremo del tramo: ...........................................&&&&. (1/12) wu ln2

• Momento negativo en la cara interior de los apoyos exteriores para los elementos construidos monolíticamente con sus apoyos: Cuando el apoyo es una viga de borde: ..............................(1/ 24) wu ln2 Cuando el apoyo es una columna: ................................. (1/16) wu ln2 • Fuerza Cortante Cara exterior del primer apoyo interior: ........&.&&&&& 1.5 (1/ 2) wu ln Caras de todos los demás apoyos: ....................................... (1/ 2) wu ln El valor de es la luz libre del tramo. Para el cálculo de los momentos negativos en las caras de los apoyos interiores, se tomará como el promedio de las luces libres adyacentes.

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COEFICIENTES PARA MOMENTOS EN VIGAS CON APOYOS SIMPLES

COEFICIENTES PARA MOMENTOS MONOLITICOS CON LAS COLUMNAS

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EN

VIGAS

DE

PORTICOS

Redistribución de Momentos Una de las cualidades del C.A. es su capacidad de incursionar en el rango inelástico (ductilidad), esto permite establecer criterios para considerar la redistribución de esfuerzos propia de la estructura que trabaja en este rango. La redistribución de esfuerzos es la capacidad de trasladar carga (momento)de las secciones más esforzadas de una estructura a las secciones menos esforzadas, de forma que una sección sobrecargada no falla si las secciones adyacentes pueden tomar la carga adicional que aquélla recibe. Para el desarrollo de este mecanismo de transferencia, es necesaria la formación de rótulas plásticas. La Norma Peruana (Cap.9) establece la redistribución de momentos considerando que los momentos negativos calculados por medio de la teoría elástica en los apoyos de los elementos continuos sujetos a flexión, se podrán aumentar o disminuir en no más de: 20 [1 - ρ - ρ’] ρb

% (en porcentaje)

y que los momentos negativos así modificados deberán usarse para calcular los momentos y fuerzas internas en cualquier otra sección del elemento. La redistribución de momentos deberá hacerse solamente cuando la sección en la cual se reduce el momento, se diseña de tal manera que ρ o (ρ ρ - ρ’)sea menor igual a 0.5ρ ρb. En las exigencias sísmicas dadas por el ACI, ya no se exige cumplir con (ρ ρ - ρ’) ≤ 0.5ρ ρb, y ahora sólo se indica un refuerzo total que no exceda una cuantía de 0.025

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LOSAS Son elementos estructurales cuyas dimensiones en planta son relativamente grandes en comparación con su peralte.

Función Estructural Su función consiste en transmitir las cargas de gravedad como peso propio de la losa, piso terminado, sobrecarga y tabiquería hacia las vigas, y como diafragma rígido en el caso de cargas de sismo de forma tal que se tenga un comportamiento uniforme en cada piso logrando que las columnas y muros tengan igual desplazamiento en cada nivel.

Tipos.- Pueden ser: a.)

- Aligeradas Losas Unidireccionales - Nervadas - Macizas Se caracterizan porque se apoyan en 2 lados principales

b.)

Losas Bidireccionales

- Aligeradas - Nervadas - Macizas

Se caracterizan porque se apoyan en todo su perímetro (4 lados)

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Losas Unidireccionales. Las losas macizas armadas en una dirección se caracterizan porque la relación entre las dimensiones largo y ancho es mayor que dos, por lo que la mayor parte de la carga se transmite en la dirección corta hacia las vigas de apoyo. La acción estructural de una losa armada en una dirección puede visualizarse en términos de la deformada en la superficie cargada. La fig. muestra una losa rectangular simplemente apoyada en la extensión de sus dos largos bordes opuestos y libre de cualquier soporte a lo largo de los dos bordes cortos. Si se aplica una carga uniformemente distribuida a la superficie, la forma deflectada será como la que indican las líneas sólidas. Las curvaturas y en consecuencia, los momentos flectores son los mismos en todas las franjas s que se extienden en la dirección corta entre los bordes apoyados, mientras que no haya curvatura y por consiguiente, no existan momentos flectores para las franjas largas l paralelas a dichos bordes. La superficie que se forma es cilíndrica.

Para efectos de análisis y diseño, una losa unidireccional puede considerarse como vigas de poco peralte y ancho unitario. El espesor de la losa se estima procurando, satisfacer los requisitos mínimos para el control de deflexiones, adicionalmente el espesor de la losa debe estimarse de modo que el concreto está en capacidad de resistir por sí solo los esfuerzos de corte, pues no se usa emplear refuerzo transversal en losas unidireccionales. COMPORTAMIENTO Y DISEÑO EN CONCRETO Prof.: Ing. EDUARDO CABREJOS

El diseño de losas macizas armadas en una dirección es similar al diseño de vigas, además es preciso considerar la distribución de refuerzo por contracción y temperatura, así como el espaciamiento máximo (Cap.7-7.6) el cual no será mayor que tres veces el espesor de la losa ni mayor que 45 cm.. La armadura principal mínima, tiene la misma cuantía que el refuerzo de temperatura. Refuerzo por Contracción y Temperatura (Cap. 7- 7.10). Las losas están sometidas a esfuerzos altos generados por la contracción de fragua y los cambios térmicos (temperatura), los que tienden a ocasionar agrietamientos pronunciados; para evitar este fenómeno se requiere de una cierta cantidad de refuerzo, denominado refuerzo por temperatura. El refuerzo mínimo por contracción y temperatura, que se coloca perpendicular al refuerzo por flexión en losas en una dirección, o que es el mínimo exigido para las dos direcciones de losas asi armadas, debe cumplir con los siguientes límites: -

Losas donde se usan barras lisas 0.0025 bh 2 Losas con barras corrugadas fy < 4200 kg/cm 0.0020 bh 2 Losas con barras corrugadas fy = 4200 kg/cm o malla electro soldada 0.0018 bh 2 Losas con barras corrugadas fy > 4200 kg/cm 0.0018 (4200/fy) bh pero no menor a 0.0014bh

El refuerzo por contracción y temperatura podrá colocarse en una o dos caras del elemento dependiendo del espesor de éste, y el espaciamiento máximo no será mayor que cinco veces el espesor de la losa ni mayor que 45 cm. Espesores mínimos de losas sólidas para evitar deflexiones excesivas -

Losas simplemente apoyadas Losas con apoyos discontinuos Losas con dos apoyos continuos

´

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h = ln/20 h = ln/24 h = ln/28

Losas Nervadas o Aligeradas. Las losas macizas, como ya se indicó, son diseñadas como vigas de ancho unitario. Este tipo de estructuras no son convenientes si se trata de salvar luces grandes, pues resultan muy pesada y antieconómicas. Tienen poca rigidez y vibran demasiado, debido a su poco peralte, requieren mucho refuerzo longitudinal. Las losas nervadas están constituidas por un sistema de pequeñas vigas T , llamadas nervaduras o viguetas, unidas a través de una losa de igual espesor que el ala de la viga. Estas losas tienen poco peso en comparación de las losas macizas y su rigidez es equivalente, lo que les permite ser más eficientes para cubrir grandes luces. Si se prefiere losas con la superficie inferior uniforme, se rellena los espacios vacíos con ladrillos huecos o materiales análogos, este tipo de losa es conocida como losa aligerada y son de uso muy común en todo tipo de edificaciones y son económicas por el ahorro de concreto que se logra. Para el diseño de losas aligeradas con ladrillos, el peso propio se puede estimar como: H = 17 cm 260 kg/m2 Ladrillo 12 cm; losa 5 cm 2 H = 20 cm 300 kg/m Ladrillo 15 cm; losa 5 cm 2 H = 25 cm 350 kg/m Ladrillo 20 cm; losa 5 cm 2 H = 30 cm 400 kg/m Ladrillo 25 cm; losa 5 cm 2 H = 35 cm 450 kg/m Ladrillo 30 cm; losa 10 cm Las viguetas tienen un ancho de 10 cm. Espesores mínimos de losas aligeradas para evitar deflexiones excesivas: La altura o espesor se puede estimar con: h = ln/20 @ ln/25

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Ejemplo Ilustrativo: Diseñar una losa maciza, considerando las siguientes cargas: Piso terminado = 100 kg/m2; Tabiquería = 100 kg/m2 Sobrecarga 300 kg/m2 ; para f’c= 210 kg/cm2 , fy = 4200 kg/cm2

0.30

1.

4.80

0.30

5.00

0.30

Pre dimensionamiento: Según las normas del RNC, para losas macizas podemos tomar : h ≥ ln = 500 = 16.6 cm 30 30 adoptamos h = 17 cm ln : Luz libre, en este caso se toma la mayor de ellas

2.

Metrado de cargas: Para 1 m2 de losa tenemos: - Peso propio losa : 0.17 x 1x 1x 2400 = 0.408 t/m2 - Piso terminado : = 0.100 t/m2 - Tabiquería : = 0.100 t/m2 CM = 0.608 t/m2 - Sobrecarga : CV = 0.300 t/m2 Para 1 m de losa tenemos: Wu = 1.5 (0.608) + 1.8 (0.300) = 1.4527 t/m.

3.

Cálculo de los Momentos de Diseño : Previa verificación del cumplimiento de los requisitos establecidos, para el cálculo de los momentos utilizaremos el Método de los Coeficientes del ACI. Como la viga es monolítica con la losa, la luz de cálculo es la luz libre: ln1 = 4.80 m ; ln2 = 5.00 m 1/24 A

1/9 1/14

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B

1/24 1/14

C

Momentos en los Apoyos: momentos negativos M(-) M = C Wu ln2 ; C = Coeficiente MA = 1/24 x 1.452 x (4.80) 2 = 1.40 t-m MB = 1/9 x 1.452 x (4.80 + 5.00) 2 = 3.87 t-m 2 MC = 1/24 x 1.452 x (5.00)2 = 1.512 t-m

← Manda

Momentos en los Tramos: Momentos positivos M(+) MAB = 1/14 x 1.452 x (4.80) 2 = 2.39 t-m MBC = 1/14 x 1.452 x (5.00) 2 = 2.59 t-m 4.

Cálculo del Momento resistente. Consideramos 3 cm de recubrimiento + diámetro de varilla Cálculo de: d = 17 - 3 = 14 cm a.

Considerando ρ máx = 0.50ρ b = 0.0106 ω = ρ fy = 0.212 f’c

Mu = φ bd2 ωf’c (1-0.59ω) =0.9x100(14)2 x0.21x0.212(1-0.59x 0.212) = 687 t-cm = 6.87 t-m > 3.87 t-m b.

Considerando Considerando ρ máx = 0.75ρ b = 0.0159 ω = ρ fy = 0.318 f’c

Mu = φbd2 ωf’c (1-0.59ω) =0.9x100(14)2 x0.21x0.318(1-0.59 x 0.318) = 956 t-cm = 9.56 t-m > 3.87 t-m Notamos que en ambos casos el momento resistente es mayor que el máximo momento actuante. En todos los casos se tiene comportamiento dúctil.

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5.

Cálculo de las áreas de refuerzo: (usando el rectángulo equivalente de Withney). Aplicando las fórmulas (1) y (2) se determinan las áreas de acero. a=

As ƒy 0.85 f’c b

=

4200 As = 0.2353 As 0.85x 210 x100

Mu= φ Asfy (d-a/2) → As =

Mu = 105 Mu φ fy (d-a/2) 0.9x4200 (14-a/2)

(1)

(2)

Mu= t-m La Norma E-060 indica el valor mínimo de As = 0.0018 bh As mín. = 0.0018 x 100 x 17 = 3.06 cm2 Para Mu = 1.40 t – m ; a =1 As = 2.743 a = 0.6455 As = 2.707 a =0.6371 As = 2.707 cm2 As mín. > As ⇒ As = 3.06 cm2 Para Mu = 2.39 t – m ; a =2 As = 4.86 a = 1.14 As = 4.708 a =1.107 As = 4.702 cm2 As mín. < As ⇒ As = 4.702 cm2 Para Mu = 3.87 t – m ; a =2 As = 7.875 a = 1.853 As = 7.83 a =1.842 As = 7.83 cm2 As mín. < As ⇒ As = 7.83 cm2 Para Mu = 2.59 t – m ; a =1 As = 5.075 a = 1.19 As = 5.11 a =1.2 As = 5.11 cm2 As mín. < As ⇒ As = 5.11 cm2 Para Mu = 1.52 t – m ; a = 0.60 As = 2.935 a = 0.69 As = 2.944 a = 0.692 As = 2.94 cm2 As mín. > As ⇒ As = 3.06 cm2 3.06 A

7.83 4.702

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B

3.06 5.11

C

Selección de las varillas: Las áreas de acero calculadas son para 1m de ancho de losa. La separación del refuerzo se calcula con la fórmula: S = 100 Ab As S = separación en cm. ; donde S ≤ 3h ; S ≤ 45 cm Ab = Área de la varilla As = Área de acero para 1 m de losa. Para el As mínimo (As=3.06) tenemos: Si φ = 3/8” ; Ab = 0.71 cm2 S = 100 x 0.71 = 23.32 cm 3.06 2 Apoyo A : As = 3.06 cm ⇒ As 1φ 3/8” @ 0.20 Apoyo B : As= 7.73 cm2 con 2 φ 3/8”= 1.41 con 1 φ ½”+ 1φ 3/8”= 1.98

S = 100 x 1.42 = 18.13 cm 7.73 S = 100 x 1.98 = 25.3 cm 7.73

As ⇒ 1 φ ½”+ 1φ 3/8” @ 0.25 Tramo AB : As = 4.7 cm2 con 2 φ 3/8”= 1.41

S = 100 x 1.42 = 30.2 cm 4.7

con 1 φ ½”= 1.27

S = 100 x 1.27 = 26.8 cm 4.7 As ⇒ 1 φ ½”+ ” @ 0.25

Tramo BC : As = 5.11 cm2 con 1 φ ½”= 1.27 S = 100 x 1.27 = 24.65 cm 5.11 As ⇒ 1 φ ½”+ ” @ 0.25 Refuerzo Transversal : Se colocará el refuerzo mínimo que servirá como refuerzo de temperatura: As = 0.0018 bh As= 0.0018 x 100 x 17 =3.06 As = 3.06 cm2 ⇒ As1φ 1/4” @ 0.20

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6.

Chequeo por corte : Vu = 1.15 Wu ln2 = 1.15 x 1.452 x 5 = 4.7 t 2 2 Vn = Vu = 4.7 = 5.53 t φ 0.85 Resistencia del concreto: Vc= 0.53 √f’c bw d = 0.53 x √210 x 100 x 14 = 10,752 kg Vc > Vn 10.75 t > 5.53 t

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OK

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Ejemplo Ilustrativo: Diseñar una losa aligerada, considerando las siguientes cargas : Piso terminado = 100 kg/m2 ; Tabiquería = 100 kg/m2 Sobrecarga 200 kg/m2 ; para f’c= 175 kg/cm2 , fy = 4200 kg/cm2 c

0.25

1.

5.00

0.25

5.00

0.25

Predimensionamiento : Según las normas del RNC, para losas aligeradas podemos tomar : h ≥ ln = 500 = 20.0 cm 25 25 adoptamos h = 20 cm ln : Luz libre, en este caso son iguales.

6.

Metrado de cargas: Peso propio del aligerado - Peso losa : 0.05 x 0.40 x 1x 2400 = 48 kg/vigueta/m - Peso vigueta : 0.10 x 0.15 x 1 x 2400 = 36 kg/vigueta/m - Ladrillo : 1.00 x 8 = 27 kg/vigueta/m 0.30 111 kg Para 1 m2 de losa tenemos : (en 1m hay 2.5 viguetas) 2.5 x 111 = 277.50 kg/m2 conservadoramente podemos considerar adicionar el peso del acero teniendo : Peso total = 300 kg/m2 luego : - Peso propio Aligerado : - Piso terminado : - Tabiquería : - Sobrecarga : Para 1 m de losa tenemos:

= 0.300 t/m2 = 0.100 t/m2 = 0.100 t/m2 CM = 0.500 t/m2 CV = 0.200 t/m2

Wu = 1.5 (0.500) + 1.8 (0.200) = 1.110 t/m. Por vigueta : 1.110/2.5 = 0.444t/m = 444 kg/m COMPORTAMIENTO Y DISEÑO EN CONCRETO Prof.: Ing. EDUARDO CABREJOS

7.

Cálculo de los Momentos de Diseño : Previa verificación del cumplimiento de los requisitos establecidos, para el cálculo de los momentos utilizaremos el Método de los Coeficientes del ACI . Como la viga es monolítica con la losa, la luz de cálculo es la luz libre: ln1 = 5.00 m ; ln2 = 5.00 m 1/24

1/10 1/14

A

1/11 1/16

B

C

Momentos en los Apoyos : momentos negativos M(-) M = C Wu ln2 ; C = Coeficiente Por m de losa Wu =110kg/m MA =1/24 x 1.110x(5.00) 2 = 1.156 t-m MB =1/10 x1.110x (5.00) 2 = 2.775 t-m Mc =1/11 x 1.110x(5.00 )2 = 2.522 t-m

Por vigueta Wu = 444 kg/m MA =1/24 x 0.444x(5.00) 2 = 0.463 t-m MB =1/10 x0.444x (5.00) 2 = 1.110 t-m Mc =1/11 x0.444x (5.00) 2 = 1.009 t-m

Momentos en los Tramos : Momentos positivos M(+) MAB = 1/14 x 1.110x (5.00) 2 = 1.982 t-m

MAB =1/14 x0.444x (5.00) 2 = 0.793 t-m

MBC = 1/16 x 1.110 x (5.00)2 = 1.734 t-m

MBc =1/16 x0.444x (5.00) 2 = 0.694 t-m

8.

Cálculo del Momento resistente. Consideramos 3 cm de recubrimiento + diámetro de varilla Cálculo de : d = 20 – (2 + φ/2) = 17.3 cm φ = ½” a1.

Considerando Considerando ρ máx = 0.75ρ b = 0.01328 ω = ρ fy = 0.318 f’c

Mu=φbd2ωf’c(1-0.59ω)=0.9x(10x2.5)(17.3)2x0.175x0.318(1-0.59x0.318) = 304 t-cm = 3.04 t-m > 2.775 t-m Por m de losa.

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a2.

Alternativamente de las fórmulas : ρ = As ; a = As ƒy ⇒ a = ρ ƒy d bd 0.85 f’c b 0.85 f’c = 0.01328x4200x17.3 = 6.48 cm 0.85 x 175 Mn = 0.85 f’c ba ( d-a/2) ;

Mu =φMn

Mn =0.85x 6.47 x 25 x175 (17.3 – 6.48/2) = 3.38 t-m Mu =0.9 x 3.38 = 3.04 t-m >2.77 t-m Notamos que en ambos casos el momento resistente es mayor que el máximo momento actuante. En todos los casos se tiene comportamiento dúctil. b. Por vigueta : b1. Considerando Considerando ρ máx = 0.75ρ b = 0.01328 ω = ρ fy = 0.318 f’c Mu=φbd2ωf’c(1-0.59ω)=0.9x10 (17.3)2x0.175x0.318(1-0.59x0.318) = 121.7 t-cm = 1.217 t-m > 1.11 t-m b2.

Alternativamente de las fórmulas : ρ = As ; a = As ƒy ⇒ a = ρ ƒy d bd 0.85 f’c b 0.85 f’c = 0.01328x4200x17.3 = 6.48 cm 0.85 x 175 Mn = 0.85 f’c ba ( d-a/2) ;

Mu =φMn

Mn =0.85x 6.47 x 10 x175 (17.3 – 6.48/2) = 1.35 t-m Mu =0.9 x 3.38 = 1.21 t-m >1.11 t-m

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9.

Cálculo de las áreas de refuerzo : (usando el rectángulo equivalente de Withney). Aplicando las fórmulas (1) y (2) se determinan las áreas de acero. a=

As ƒy 0.85 f’c b

(1)

Mu= φ Asfy (d-a/2) → As = Mu = Mu (2) φ fy (d-a/2) 0.9x4200 (17.3-a/2)2.5

La Norma E-060 indica el valor mínimo de As es = 0.7√f’c bw d fy 2 As mín. = 0.7 x √175 x10 x17.3 = 0.38 cm 4200 Momentos Negativos por vigueta Apoyo A Para Mu = 115.60 t–cm; a ≈d/6 ≅ 3

As = 0.77 cm2

As > As mín. ⇒ As = 0.77 cm2 ⇒ 1φ 3/8” Apoyo B Para Mu = 277.5 t –cm; a =3 a = 5.24

As = 1.86 As = 2.00 cm2

As mín. < As ⇒ As = 2.00 cm2 ⇒ 1φ 1/2”+1φ 3/8” Apoyo C Para Mu =252.27 t–cm; a =3

As = 1.81 cm2

As mín. < As ⇒ As = 1.81 cm2 ⇒ 1φ ½ ”+1φ 3/8” Momentos Positivos por vigueta: Se deberá verificar si la vigueta trabaja como rectangular o viga T. Consideremos hf = 5 cms = a Tramo AB: Para Mu = 198.2 t–cm ; a =5 ⇒ As = 1.42 ⇒ ρ = 0.002048 c= 1.179 cm < 5 cm ⇒ Viga rectangular bw=0.40 Luego a = 1.0 As = 1.25 a =0.87 As = 1.25 cm2 As mín. < As ⇒ As = 1.25 cm2 ⇒ 1φ ½” COMPORTAMIENTO Y DISEÑO EN CONCRETO Prof.: Ing. EDUARDO CABREJOS

Tramo BC Para Mu = 1.73.4t –cm; a = 1.00 As = 1.09 cm2 As mín. < As ⇒ As = 1.09 cm2 ⇒ 1φ ½” 0.77 A

2.00 1.25

1.81 1.09

B

C

Refuerzo Transversal : Se colocará el refuerzo mínimo que servirá como refuerzo de temperatura: As = 0.0018 bh As= 0.0018 x 100 x 5 =0.9 cm2 ⇒ As1φ 3/8” @ 0.25 (S máx ≤ 5 t ó ≤ 45 cms) 6.

Chequeo por corte: Vu = 1.15 Wu ln = 1.15 x 1110 x 5 = 3191.25kg 2 2 Máximo corte en la cara del apoyo: Vcrít.= Vmáx – wd
Vcrít. =3191.25-1110 x0.173 = 2999.22 kg Esfuerzo Cortante nominal vn = Vcrít. = 2999.22 = 8.16 kg/cm2 φbd 0.85x25x17.3 Esfuerzo cortante admisible del concreto: vc= 0.53 √f’c x 1.10* *Es posible incrementar en 10 % la resistencia del concreto para permitir la redistribución de la sobrecarga entre viguetas. =0.53x√175 x1.1=7.71kg/cm2; vc < vn ⇒ hay que ensanchar viguetas Longitud de ensanche : x = Vu -φ Vuc Wu

= 3191- 2835 = 0.32 m 1110

φ Vuc = 0.85x7.71x17.3x25 = 2835 kg Ancho b necesario : b= Vu φ vc d

=

3191 =11.26≅ 12 cm 0.85x 7.71x17.3x2.5

Quitar medio ladrillo por cada vigueta o, lo que es igual un ladrillo cada dos viguetas. La vigueta pasa de bw = 0.10 a bw= 0.25 m

COMPORTAMIENTO Y DISEÑO EN CONCRETO Prof.: Ing. EDUARDO CABREJOS

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