• Author / Uploaded
• Auri Gonzalez

Citation preview

República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para La Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Cátedra: Resistencia de Materiales I Sección: Nocturno “A” Escuela 42: Ingeniería Civil

  

Profesor:

Autores:

Teófilo Rodríguez

Aurimar Leal C.I.25.203.637 Jennifer Castro C.I.26.022.175 Daniel Matos C.I.23.681.823 Caracas, Julio 2016 INDICE

Introducción………………………………………………

Pág. 3

1

1 2 3 4 4.1 5 5.1 6

UNIDAD V VIGAS HIPERESTATICAS………………… Definir hiperestática……………………………………….. Métodos de trabajo virtuales…………………………….. UNIDAD VI COLUMNAS…………………………………. Análisis de Euler…………………………………………… Tipos de extremos………………………………………… Ecuación de la secante…………………………………… Calculo de Pandeo…………………………………………

4 5 5 8 9 9 9 11

Carga critica……………………………………………….. Columnas excéntricas……………………………………. Conclusión………………………………………………… Bibliografía…………………………………………………

14 16 18 19

INTRODUCCIÒN Cuando una estructura tiene más reacciones externas o fuerzas internas que las que pueden determinarse con las ecuaciones de la estática, tal estructura es estáticamente indeterminada o Hiperestática. Una carga situada en alguna parte de una estructura hiperestática o continua

producirá

fuerzas

cortantes,

momentos

flexionantes

y

deflexiones en las otras partes de la estructura. En otras palabras, cargas aplicadas a una columna afectan a las vigas, a las losas, a otras columnas y viceversa. Es difícil encontrar en la vida real vigas simplemente apoyadas, se puede decir lo mismo de las armaduras, en un sentido estricto, todas éstas son realmente estáticamente indeterminadas. Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una

2

carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Esto se diferencia de una poste corto sentido a compresión, el cual, aunque esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe una limita perfectamente establecido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor.

UNIDAD V VIGAS HIPERESTATICAS

3

Definición de Hiperestática Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno, es decir, movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones

de

equilibrio,

sino

recurriendo

a

los

esfuerzos

y

deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción, su uso es el más extendido. La hiperestática se encuentra en varias formas, como las siguientes: Una estructura es internamente hiperestática, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar sus esfuerzos. Una estructura es externamente hiperestática, esto se da si las ecuaciones no son suficientes para determinar las fuerzas de reacción que hay desde la estructura al suelo. Una estructura es completamente hiperestática, esto requiere que la estructura sea interna y externamente hiperestática. Un problema que muestre estas características, tiene que resolverse tomando en cuenta la elástica del material en que está confeccionada la estructura, para así poder determinar y saber cuáles son las ecuaciones adecuadas que se van a aplicar, con la finalidad de poder resolver el problema estructural y sus deformaciones.

Métodos de trabajo virtuales

Está basado en el Principio de los Desplazamientos Virtuales, con

4

la diferencia que se usa sobre cuerpos deformables; constituye un método muy útil para el cálculo de deflexiones elásticas en estructuras. Estas deflexiones pueden ser lineales o angulares en cualquier dirección. El método queda enunciado “Si una estructura deformable, en equilibrio y soportando una carga dada o sistema de cargas, está sujeta a una deformación virtual como resultado de alguna acción adicional, el trabajo virtual externo de la carga dada o sistema de cargas es igual al trabajo virtual interno de los esfuerzos causados por la carga dada o sistema de cargas” Dado que las deformaciones debidas a la flexión son la causa principal de las deflexiones en marcos y en vigas, estas pueden ser determinadas por el Método del Trabajo Virtual, mediante la ecuación:

De manera similar, si se debe determinar la rotación de la tangente o ángulo θ de la pendiente en un punto sobre la curva elástica de la viga, se aplica el momento concentrado unitario en el punto, y se determinan los correspondientes momentos internos; se tiene entonces la siguiente ecuación:

5

Al aplicar estas ecuaciones es importante ver claramente que las integrales definidas en el lado derecho representan realmente la cantidad de energía de deformación virtual almacenada en la viga. Si las fuerzas o mementos concentrados actúan sobre la viga, o si la carga distribuida es discontinua, se deben resolver varias integrales; para las cuales se escogen varias coordenadas x dentro de la región que no tenga discontinuidad de cargas. No es necesario que cada x tenga el mismo origen; sin embargo, la x seleccionada para determinar el momento real M debe ser la misma x usada para determinar el momento virtual m o mθ dentro de la misma región. Procedimiento De Análisis: Este procedimiento se puede usar para determinar el desplazamiento y/o la pendiente en un punto sobre la curva elástica de una viga o marco usando el Método del Trabajo Virtual. Momentos virtuales m o mθ: Colocar una carga unitaria sobre la viga o marco en el punto y en la dirección o desplazamiento buscado. Si va a determinarse la pendiente, coloque un momento concentrado unitario en ese punto. Establezca coordenadas x apropiadas que sean válidas dentro de las regiones de la viga o marco donde no haya discontinuidad de carga real o virtual. Se retiran las cargas reales, y se calcula el momento m o mθ en función de cada coordenada x. Se usa m o mθ positivos si produce tracción en las fibras inferiores de la viga. Momentos Reales M: Con las mismas coordenadas x establecidas para m o mθ se determinan los momentos internos M causados solo por las cargas reales. Como se supone inicialmente que m o mθ son positivos, es importante que M también sea positivo (que actúe en la misma dirección). Esto es necesario ya que el trabajo interno positivo o negativo depende del sentido direccional de la carga y del desplazamiento.

6

Ecuación de trabajo virtual: Se aplica la ecuación de trabajo virtual para determinar el desplazamiento Δ o la rotación θ requeridos. Es importante el signo algebraico de cada integral calculada dentro de su región especificada. Si la suma algebraica de todas las integrales para la viga entera o marco es positiva, quiere decir que Δ o θ tendrá el mismo sentido que el de la carga unitaria o momento concentrado unitario.

UNIDAD VI COLUMNAS

7

Análisis de Euler La base de la teoría de las columnas es la fórmula de Euler, que fue publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático sumo. La fórmula de Euler, que solamente es válida para columnas largas calcula lo que se conoce como la carga crítica de pandeo. Tipos de extremos Ecuación de la Secante: Para una columna fabricada en un material que satisface la ley de Hooke, los esfuerzos debidos al momento flexionarte varían linealmente a través de la sección y se obtienen a partir de la fórmula de flexión. Luego el esfuerzo a compresión máxima en la columna (en el lado cóncavo) es: p M σ max ¿ + max a s La ecuación de Euler se obtiene a partir de la hipótesis de que la carga P siempre se aplica en el centroide de la sección transversal de la columna, y que esta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha carga) Esta situación es ajena a la realidad, pues las columnas fabricadas no son perfectamente rectas, ni suele conocerse con exactitud el punto de aplicación de la carga. Por tanto, las columnas no se pandean repentinamente sino que comienzan a flexionarse, si bien de modo ligero inmediatamente después de la aplicación de la carga. Consideremos entonces una columna sometida a una carga ejercida con una pequeña excentricidad “e” respecto al centroide de la sección transversal, como se muestra. Podemos plantear una expresión para determinar el momento

8

flector en cualquier sección transversal:

σ max ¿

( √ EAP ) ⌋

p ec l ⌊ 1+ 2 sec a 2r r

La ecuación proporciona el esfuerzo de compresión máximo en la columna como una función del esfuerzo de compresión medio P/A y dos relaciones adimensionales, denominadas relación de excentricidad y relación de esbeltez. Relación de excentricidad =

Relación de esbeltez =

ec 2 r

L r

Para auxiliar del uso de fórmulas se trazan graficas tales como la mostrada en la figura siguiente, esta grafica se trazó para un esfuerzo máximo E=30x10

_max=30 ksi y para acero con un módulo de elasticidad ❑ ❑

3

9

Cálculo de Pandeo El pandeo es un fenómeno de inestabilidad elástica que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y que se manifiesta por la aparición de desplazamientos importantes transversales a la dirección principal de compresión. En ingeniería estructural el fenómeno aparece principalmente en pilares y columnas,

y

se

traduce

en

la

aparición

de

una

flexión adicional en el pilar cuando se halla sometido a la acción de esfuerzos axiales de cierta importancia. El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura .a. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente que kθ es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene

10

El aspecto cualitativo de este resultado que se muestra b y la curva correspondiente se ha marcado como la solución exacta. Es interesante observar que cuando θ → π, siempre que el resorte continúe funcionando, el sistema puede soportar una fuerza muy grande P. Para unas fuerzas aplicadas verticalmente hacia arriba, indicada con un sentido contrario en la figura, el ángulo θ disminuirá cuando P aumente. En el análisis de problemas de los capítulos anteriores el término P L senθ no había aparecido en lo absoluto. La solución expresada por la ecuación es para rotaciones arbitrariamente grandes. En problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente de ordinario es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo senθ ∼= θ y cos θ = 1. De esta forma la ecuación (9.1) se simplifica a

Para valores pequeños de θ esta solución es completamente aceptable. En cambio a medida que θ aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy grande,. Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k − P L) en el último término de la ecuación (9.2) sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación θ infinita. Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema. No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza

11

Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad axial P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente a esta solución, obtenida de la igualdad (k − P L) = 0, define la fuerza PC como

Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas del mismo orden de magnitud que PC por lo general causan tensiones tan grandes que hacen inservible el sistema. Por otra parte, el análisis no lineal de sistemas estructurales debido al cambio de configuración geométrica y al comportamiento inelástico de los materiales es muy complejo y requiere de herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista. Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más importante la determinación de PC con una base simplificada, siguiendo las líneas del método utilizado en el ejemplo anterior. Carga crítica El estudio teórico del pandeo, que es debido a Euler, se planteó como un estudio de equilibrio.

12

Así, si se tiene una pieza sometida a una fuerza N de compresión y se encuentra en un equilibrio, posición (1), su equilibrio podrá ser: Estable, Inestable o Indiferente.

 Equilibrio Estable: Si al separarla un poco, a la posición. (2) y soltar, vuelve a la posición (1)  Equilibrio Inestable: Si al separarla un poco, a la posición (2) y soltar, se aleja de la posición (1)  Equilibrio Indiferente: Al separarla un poco, a la posición (2) y soltar, se queda en la posición (2) El que una pieza dado adopte uno u otro tipo de equilibrio, va a depender del valor de la carga N de compresión a la que se le someta. Se denomina carga critica (

N cr ¿

: “Al valor de la carga N de

compresión que hace que se alcance el equilibrio indiferente” Así pues se tendrá:

Naturalmente se deberá hacer trabajar a las piezas con N

¿

N cr

para que se encuentre siempre en equilibrio estable. Calculo de la Carga Crítica de Euler;

N cr

Fue Euler el que calculo dicho valor. 13

Considérese una pieza (Columna), recta, con sus extremos articulados y sometida a una carga de compresión centrada, de valor de la carga crítica

N cr

.

Columnas excéntricas Las cargas que puede soportar una columna pueden ser concéntricas, cuando se aplican sobre su centroide, o excéntricas, cuando se aplican a cierta distancia de su eje centroidal.

14

Analizamos columnas ideales en las que las cargas axiales actuaban en los centroides de las secciones transversales. En estas condiciones las columnas permanecen rectas hasta que se alcanzan las cargas críticas, después de lo cual puede ocurrir flexión. Ahora supondremos que una columna se comprime por cargas P que se aplican con una excentricidad de pequeña medida desde el eje de la columna. Cada carga axial excéntrica es equivalente a una carga céntrica P y a un par de momentos M0=Pe. Hacemos las mismas suposiciones que en las secciones anteriores; es decir, la columna está perfectamente recta al inicio, el material es linealmente elástico y el plano XY es un plano de simetría. El momento flexionante en la columna a una distancia x del extremo inferior es: M=M0+P (-v)=Pe-Pv La Ecuación diferencial de la curva de deflexión es: EIv”=M=Pe-Pv v”+k^2v=k^2e En donde k^2=P/EI, igual que antes. La solución general de esta ecuación es: v=C1(sen kx)+C2(sen kx)+e En donde C1 y C2 son constantes de integración en la solución homogénea y es es la solución particular. Las condiciones de frontera para determinar las constantes C1 Y C2 se obtienen de las deflexiones en los extremos de las columnas v(0)=0 15

v(L)=0 Estas condiciones dan C2=-eC1=-[e(1-cos kl)]/sen kl = -e(tan kL/2) Por lo tanto, la ecuación de la curva de deflexión es v=-e(tan KL/2 sen kx+cos kx -1) Para una columnas con cargas P y excentricidad e = conocidas, podemos utilizar esta ecuación para calcular la deflexión en cualquier punto a lo largo del eje x.

CONLUSIÓN Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno, es decir, movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones

de

equilibrio,

sino

recurriendo

a

los

esfuerzos

y

deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción, su uso es el más extendido. Las vigas se clasifican en:  Largas.  Medias  Elementos cortos. Las vigas se estudian mediante las formulas planteadas por Leonhard Euler. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de inercia de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta. La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino 16

de sus dimensiones y del módulo de elástico. Para un área dada, el material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna hueca) BIBLIOGRAFIA -

http://salvador-mendoza.blogspot.com/2011/11/54-columnas.html http://www.buenastareas.com/materias/dise%C3%B1o-de-columnas-

-

excentrica-y-concentricas/0 https://es.scribd.com/doc/67911709/Diseno-columnas-cortas-excentricas http://www.buenastareas.com/ensayos/Columnas-Con-Cargas-

-

Excentricas/25601960.html https://es.scribd.com/doc/93719775/Columnas-con-cargas-axiales-

-

excentricas http://www.efn.unc.edu.ar/departamentos/estruct/mec1_ic/cap9.pdf https://prezi.com/lho_swhlrgqd/formula-de-la-secante/ https://es.wikipedia.org/wiki/Pandeo http://es.slideshare.net/franciscoe71/columnas-53831886 http://www.unet.edu.ve/~jtorres/matsoft/08.columnas.html http://www.conocimientosweb.net/dcmt/ficha16808.html https://es.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler#An.C3.A1lisis https://es.scribd.com/doc/62622540/VIGAS-HIPERESTATICAS-consulta https://es.wikipedia.org/wiki/Hiperest%C3%A1tico https://prezi.com/8ye9ljgnv2qh/estructuras-hipostaticas-isostaticas-e-

-

hiperestaticas/ http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/resistencia-de-

-

materiales/ejercicios/VIGAS%20HIPERESTATICAS.pdf http://www.arqhys.com/construccion/estructuras-hiperestaticas.html

17