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Instituto Tecnológico de Chihuahua Asignatura: Mecánica de Materiales Docente: Ing. Adrián Eduardo Lui Chavira Semestre 2016/1

VIGAS HIPERESTATICAS UNIDAD III

Chihuahua, Chihuahua., 3 junio del 2016.

RESUMEN

Se hablara acerca de todas y de cada una de ellas, haciendo mención de las ecuaciones que se necesitan para llegar determinar cuál de ellas usar, en el momento y edificación precisa. Por medio de la investigación se llegara a analizar como actúan las vigas hiperestáticas, dependiendo de la condición que presente; con esto podremos diferenciar que método de aplicación es el correspondiente ya sea superposición, doble integración o por medio de áreas de momento. Haciendo mención de las ecuaciones que se necesitan para llegar determinar cuál de ellas usar, en el momento y edificación precisa. Para así poder saber cómo actuara, como está trabajando y en casos como puede llegar a fallar respecto a sus esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas dependiendo del material.

INTRODUCCION

Empezaremos con conocer, analizar y determinar esfuerzos y deformaciones de elementos de naturaleza mecánica sujetos a cargas de tensión, compresión y flexión, además del estudio y aplicación de la teoría de vigas.

Las vigas permanecen rígidas, estáticas, pero para llegar a colocarlas es necesario haber realizado antes, un análisis o estudio de cada caso. Los procedimientos de análisis y de estudio se denominan de cuantificación, es decir que midiendo el equilibrio, de la distribución del factor transporte y peso, y es un procedimiento que finaliza cuando el momento de la fuerza sea tan pequeño que no afecte de ningún modo el momento de fuerza final de la viga. Para ello se llevan a cabo mediciones para cada barra, con las fórmulas específicas, y se calculan los factores de distribución por nodo, que es cuando se mide la rigidez de las barras o vigas. En toda edificación con estructuras que recibirán pesos y flexiones se necesitan colocar elementos constructivos que son específicamente diseñados para ello. Para conocer a las vigas hiperestáticas, es necesario saber qué es y cómo definir una viga. Las vigas son fundamentales en las construcciones de obras, es un elemento constructivo lineal, que hace el trabajo de flexión, y en las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones. Son las que se encargan de soportar todo el peso de un techo, o cualquier otro tipo de carga, y depende del tamaño del edificio de la cantidad, del peso y de la longitud de las vigas, en la construcción de viviendas se usan vigas de dos tipos las vigas de concreto para bases estructurales de dos más pisos, y las vigas de madera.

VIGAS HIPERESTATICAS DEFINICION Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno, es decir, movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones de equilibrio, sino recurriendo a los esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción como ya se mencionó, su uso es el más extendido.

APOYOS REDUNDANTES

En forma específica, un miembro de cualquier tipo se clasifica como estáticamente indeterminado si la cantidad de reacciones incógnitas es mayor que la cantidad disponible de ecuaciones de equilibrio. Las reacciones adiciones en los apoyos sobre la viga o eje no se necesitan para mantenerlas en equilibrio estable, y se llaman redundantes. La cantidad de redundantes se llama grado de indeterminación. Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos (

σ max

y τ max ) y

la deformación máxima δ max . Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisible para que sea segura y funcione correctamente. Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos). [Fig.1.]

[fig.1] En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas, como cambiar el material por uno más resistente o más rígido según sea el caso; o aumentar la sección transversal de la viga para incrementar su resistencia y rigidez. Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones, teniendo así como única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez será colocando un apoyo adicional indeterminado C. [fig. 2]

[Fig.2]

Los apoyos redundantes garantizan la estabilidad en caso de fallas. En general, mientras más apoyos redundantes tengan una viga o una estructura, más segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será más largo, puesto que involucrará más ecuaciones. Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resuelve la indeterminación, como se muestra en la [fig.3]

[fig.3]

[fig.3]

Para determinar las reacciones sobre una viga (o eje) estáticamente indeterminada, primero es necesario especificar las reacciones redundantes. Podemos determinarlas a partir de condiciones geométricas, llamadas condiciones de compatibilidad. Una vez determinadas, las redundantes se aplican a la viga y las reacciones restantes se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. En los siguientes temas mostraremos el procedimiento de solución, usando el método de Superposición, Doble Integración y Áreas de momentos.

MÉTODOS DE APLICACION

MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN El método de superposición es una técnica práctica de uso común para obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente es muy simple y se puede enunciar así: En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias cargas diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por separado Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas. El método de superposición es de importancia fundamental en el análisis de barras, armaduras, vigas, marcos y muchos otros tipos de estructuras estáticamente indeterminadas. Ya hemos empleado el método de superposición para analizar estructuras estáticamente indeterminadas compuestas de barras en tensión y compresión y ejes en torsión. En esta sección aplicaremos el método a vigas. Iniciaremos el análisis observando el grado de indeterminación estática y seleccionando las reacciones redundantes. Luego, al haber identificado las redundantes, podemos escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen las otras reacciones desconocidas con las redundantes y las cargas. A continuación suponemos que tanto las cargas originales como las reacciones redundantes actúan sobre la estructura liberada y encontramos las deflexiones superponiendo las deflexiones separadas debidas a las cargas y a las redundantes. La suma de estas deflexiones debe ser igual a las deflexiones en la viga original. Sin embargo, las deflexiones en la viga original (en los puntos donde se eliminaron restricciones) son cero o tienen valores conocidos. Por tanto, podemos escribir ecuaciones de compatibilidad (o ecuaciones de superposición) que expresen el hecho de que las deflexiones de la estructura liberada (en los puntos donde se eliminaron las restricciones) son iguales que las deflexiones en la viga original (en esos mismos puntos). Como la estructura liberada es estáticamente indeterminada, es fácil determinar sus deflexiones empleando las técnicas descritas en la unidad. Las relaciones entre las cargas y las deflexiones de la estructura liberada se denominan relaciones fuerza-desplazamiento. Al sustituir estas relaciones en las ecuaciones de compatibilidad, obtenemos ecuaciones en las que las redundantes son las cantidades desconocidas. Por tanto, en esas ecuaciones podemos despejar las reacciones redundantes. Después, conocidas las redundantes, podemos determinar todas las otras reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio. Además, partiendo del equilibrio podemos determinar también las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes.

Los pasos descritos en términos generales en los párrafos anteriores se aclaran considerando un caso particular, el de una viga en voladizo apuntalada que soporta una carga uniforme (figura 4a). Efectuaremos dos Análisis, el primero con la fuerza de reacción RB seleccionada como la redundante y el segundo con el momento de reacción MA como el redundante.

[Fig. 4]

En este primer ejemplo seleccionamos la reacción RB en el apoyo simple (figura 4a ) como la redundante. Entonces, las ecuaciones de equilibrio que expresan las otras reacciones desconocidas en términos de la redundante son las siguientes:

Estas ecuaciones se obtienen de ecuaciones de equilibrio que se aplican a toda la viga considerada como un cuerpo libre (figura 4a) El paso siguiente es eliminar la restricción correspondiente a la redundante (en este caso, eliminamos el apoyo en el extremo B). La estructura liberada que queda es una viga en voladizo (figura b). La carga uniforme q y la fuerza redundante RB se aplican ahora como cargas sobre la estructura liberada (figuras 4c y d). La deflexión en el extremo B de la estructura liberada debida solo a la carga uniforme se denota (dB)1 y la deflexión en el mismo punto debida solo a la redundante se denota (dB)2. La deflexión dB en el punto B en la estructura original se obtiene superponiendo estas dos deflexiones. Como la deflexión en la viga original es igual a cero, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad: El signo menos aparece en esta ecuación debido a que (dB)1 es positiva hacia abajo en tanto que (dB)2 es positiva hacia arriba.

Las relaciones fuerza-desplazamiento que dan las deflexiones (dB)1 y (dB)2 en términos de la carga uniforme q y de la reacción redundante RB, respectivamente, se determinan con ayuda de tabla. Utilizando las formulas dadas allí, obtenemos:

Al sustituir estas relaciones fuerza-desplazamiento en la ecuación de compatibilidad da:

de donde se puede despejar la reacción redundante:

Las reacciones restantes (RA y MA) se pueden encontrar con ecuaciones de equilibrio. Conocidas todas las reacciones, ahora podemos obtener las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en toda la viga y trazar los diagramas correspondientes. También podemos determinar las deflexiones y pendientes de la viga original mediante el principio de superposición. El procedimiento consiste en superponer las deflexiones de la estructura liberada cuando se somete a las cargas que se muestran en las figuras c y d. También podemos analizar la misma viga en voladizo apuntalada seleccionando la reacción de momento MA como la redundante como se muestra en la imagen (figura 5).

[fig. 5]

El método de superposición descrito en esta sección también se denomina método de la flexibilidad o método de la fuerza. Este último nombre se origina del uso de las cantidades de fuerza (fuerzas y momentos) como las redundantes. Dado que el método de superposición comprende la superposición de deflexiones, solo es aplicable a estructuras linealmente elásticas.

EJEMPLO: Calcular por el método de superposición las reacciones y el momento de empotramiento de la viga continua de la figura. (fig. 7)

Solución

[fig. 7]

{ δA1 + δA2 + δA3 + δA4 = 0 δB1 + δB2 + δB3 +

Situación de carga [ 1 ] a = 1.5m b = 9.5m c = 3m Rc = q*c = 4*3 = 12t Mc = -q*c*b = -4*3*9.5 = -114t*m Ecuación de la elástica en el tramo AA1

l = 11m

yAA1 =

q 24 EI

[(

yx=0 =

q 24 EI

[(

yx=0 =

4248.5 EI

x−a+

4

2

(

)

)

(

yA1c =

q∗c 6 EI

* ( l−x ) ∗( 2∗b−a+x )

yx=6 =

4∗3 6 EI

1175 2 * ( 11−6 ) ∗( 2∗9.5−1.5+ 6 )= EI

2

Situación de carga [ 2 ]

Rc = P = 5t Mc = -P*b = -5*2 = -10t*m Ecuación de la elástica en el tramo AB1 yAB1 =

yx=0 =

5∗2 6 EI

2

]

2 3 4 2 3 0−1.5+ + 4∗3∗( 1.5−0 )∗ 3∗9.5 + +8∗9.53∗3 2 4

Ecuación de la elástica en el tramo A1C

P b2 6 EI

)

c 2 c 3 +4∗c∗( a−c )∗ 3∗b + + 8∗b ∗c 2 4

[ 3∗(l−x )−b ] [ 3∗(11−0 )−2 ]= 6620 EI

)

]

2

5∗2 6 EI

yx= 6 =

[ 3∗(11−6 )−2 ]= 6260 EI

Situación de carga [ 3 ]

Rc = -RA MC = -RA*l =-11RA Ecuación de la elástica en el tramo AC yAc =

P 6 EI

( l−x )2∗( 2∗l+ x )

yx=0 =

−R A 6 EI

( 11−0 )2∗( 2∗11+0 ) =

−2662 ∗R A 6 EI

yx=6 =

−R A 6 EI

( 11−6 )2∗( 2∗11+6 ) =

−700 ∗R A 6 EI

Situación de carga [ 4 ]

Rc = -RB Mc = -RB*l = -5*RB Ecuación de la elástica en el tramo AB yAB =

P b2 6 EI

[ 3∗(l−x )−b ]

−R B 5 yAB = 6 EI

2

[ 3∗(11−0 )−5 ]

=

−700 ∗R B 6 EI

Ecuación de la elástica en el tramo BC yBC =

P 6 EI

yx=6 =

−Rb 6 EI

( l−x )2∗( 2∗b−a+ x )

2 * ( 11−6 ) ∗( 2∗5−6+ 6 ) =

−250 ∗R B 6 EI

OBTENCIÓN DE LA REACCIONES: Para ello, tenemos en cuenta que la deformación resultante de las 4 Situaciones de carga en los apoyos debe ser nula.

25491 620 2662 700 + − ∗R A− ∗RB =0 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI 7050 260 700 250 + − ∗R A − ∗R B=0 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI

Por tanto: 25491+620 = 26111 = 2662 * RA + 700 * RB

750+260 = 7310 = 700* RA + 250 * RB RA = 8.038 t RB = 6.732 t RC = 12+5-RA-RB = 2.230t El momento en el empotramiento será el momento resultante de las situaciones de carga:

MC = -114 -10 + 88.42 + 33.66 = -1.92 t* m

EJEMPLO 2 Para la viga en voladizo y la carga que se muestran en la figura 8, determine la pendiente y 6 deflexión en el extremo C. Use E = 29 X 10 psi.

[fig.

Solucion C=

1 d 2

8]

=

1 ( 44 ) = 22in 2

6 −12 EI = ( 200 X 10 ) ( 183984 X 10 )

Caso 1 de apendice D P = 0.5KN

L = 1m

I=

π 4 c 4

2 = 36.8 KNm

=

π (22 )4 4

4 = 183984 mm

3

( yc )

1

=

−P L3 −( .5 ) (1 ) = =−4.529 X 10−3 m 3 EI 3 ( 36.8 )

( θc )

2

−P L2 −( .5 )( 1 ) = =−6.793 X 10−3 2 EI 2 ( 36.8 ) Tratar la porcion AB como una viga en voladizo caso II w = 2.5KN/m L = .75m

( yb )

−w L 4 2 = 8 EI

−( 2.6 ) ( .75 )4 =−2.794 X 10−3 m = 8 ( 36.8 )

( θb )

2

=

3

−w L3 −( 2.5 )( .75 ) = =−4.968 X 10−3 m 6 EI 6 ( 36.8 ) porción BC mantiene recta para la carga II LBC = .25m

( yc )

2

= ( yb )

2+

LBC ( θb )

2

( θc )

−3 = -4.036X 10 m

2

= ( θb )

−4.968 X 10−3 m Pendiente en el extremo C

por superposicion, θc =( θ c )

1

+ ( θc )

2

1

+ ( yc )

2

θc =−11.76 1 X 10−3 rad Deflexion en el extrmo C y c =−8.565 X 10−3 m

por superposicion,

y c =( y c )

2

=

1

=

DOBLE INTEGRACION El método de integración requiere dos integraciones de la ecuación diferencial

d2 v

/

dx 2 , una vez en el momento interno M de la viga esta expresado como función de la posición x. Sin embargo la viga es estáticamente indeterminada, M también se puede expresar en función de las redundantes desconocidas. Después de integrar dos veces esta ecuación, habrá para determinar dos constantes de integración y sus redundantes. Aunque

este sea el caso, siempre se pueden determinar esas incógnitas a partir de condiciones de frontera y/o continuidad para el problema. Por ejemplo en la viga de la [fig. 9 (a)] tiene una redundante. Puede ser

Ay ,

M A [fig.

4 (b)]. Una vez elegida se puede expresar el momento interno M en función de la redundante, y al integrar la relación entre el momento y el desplazamiento, se puede determinar entonces las dos constantes de integración, y la redundante, a partir de las tres condiciones de frontera v=0 en x=0, dv/dx = 0 en x=0 y v=0 en x=L Se puede expresar el momento M en función de esa redundante.

[Fig. 9

EJEMPLO 1 La viga mostrada [fig. 10] está sujeta a la carga distribuida que se muestra. Determinar las reacciones en A. EI es constante.

[fig. 10]

ANALISIS

D.C.L [fig. 10] 3

6w x ¿ 0L

M = A y x− 3

6w x ¿ 0L d2 v 1 EI 2 = A y x− ¿ dx 4

24 w x +c ¿ 0L 1 dv 1 1 EI = A y x 2− ¿ dx 2 5

120 w x + c x +c 2 ¿ 0L 1 1 1 EI v= A y x 3− ¿ 6

1 ¿

Las tres incógnitas x=0, v=0 ; x =L,

dy =0 y x =L, v=0 . dx

0=0−0+0+c 2

x=0, v=0 ;

dv x=L , =0 dx

A y ,C 1 ,C 2 se determinan a partir de las condiciones de frontera:

;

24 w L3+ c 1 ¿ 0 1 1 0= A y L2− ¿ 2

120 w L4 +c L+ c 1 2 ¿ 0 1 1 x=L , v=0 ; 0= A y L3− ¿ 6 Se despejan. A y=

1 w L 10 0

C1 =

−1 w 0 L3 120

C2 =0

Resp .

TEOREMA DE MOMENTOS DE AREA Existe un buen número de métodos diferentes para determinar las pendientes y las deflexiones de las vigas. El método del área de momentos que se presenta en esta sección es uno de los que se usa más ampliamente usa las propiedades geométricas de la curva elástica y la relación con la variación del M entre EI a lo largo de la viga. Una de las ventajas de este método es que es mucho más fácil de usar cuando las cargas son complejas. Sin embargo, cada conjunto de cálculos produce un valor numérico para la pendiente o la deflexión en un solo lugar, en vez de una ecuación para la pendiente o la deflexión de un segmento continuo de viga. La facilidad de los cálculos y lo práctico de su uso son las razones principales de popularidad del método de área de momentos para calcular deflexiones en vigas.

EL PRIMER TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS Para ilustrar el principio del primer teorema del área de momentos consideremos una viga recta. Rompemos la viga en los puntos B, C y D, y soldamos los segmentos rígidamente, los tramos de la viga donde se hicieron las rupturas son rectos, pero se han introducido pequeños ángulos en las juntas. A partir de la figura vemos que el cambio en la pendiente entre dos puntos cualesquiera es la suma de los cambios angulares entre estos puntos. Por ejemplo, el cambio en la pendiente entre el segmento DE y el segmento AB es igual a θ B + θ C − θ D. Una viga cargada es semejante continuamente. El

a la fig. 7.11 excepto que su curva elástica cambia

cambio en pendiente entre dos puntos cualesquiera de una viga

cargada es también la suma de los cambios angulares entre las dos secciones.

[fig. 11]

Estos cambios angulares pueden calcularse usando dθ = M dx entre EI. Por ejemplo en la fig. 7.12 se indica la curva elástica de una viga. El cambio en pendiente entre dos lugares cualesquiera, tales como los puntos A y B puede obtenerse calculando dθ = M dx entre EI entre estos dos puntos. Esto se convierte en d θ=¿ θB

∫¿ θA

xB

M dx ∫ EI xA

xB

θB− θA=

M dx ∫ EI xA

El cambio n pendiente entre dos puntos de una viga, θB− θA es igual al valor de la integral. La integral representa el área bajo el diagrama de momentos entre los puntos A y B dividida entre EI. El primer teorema del área de momentos se enuncia como sigue: El cambio en pendiente de la curva elástica de una viga entre dos secciones cualesquiera es igual al área bajo el diagrama M /EI entre dichas secciones.

[fig. 12] EJEMPLO: Determinar el cambio en pendiente entre los puntos B y C de la viga en voladizo indicada dar la respuesta en función de EI. SOLUCION

A partir del primer teorema del área de momentos, la diferencia de

pendientes entre B y C es igual al área bajo el diagrama M /EI, comprendida entre esos puntos. Así: 1 −24 θC− θB ¿ 2 ( EI )(6) 1 −72 θC− θB ¿ 2 ( EI )rad. El signo negativo (es decir, en el sentido de las manecillas del reloj). Si se dieran los valores de E e I, se podría obtener el valor numérico, en radianes. EJEMPLO: Determine la pendiente real del extremo libre de la viga en voladizo Dar la respuesta en términos de EI. SOLUCION La pendiente en el extremo fijo A se sabe que es cero. Por consiguiente, el cambio de pendientes entre Ay C es la pendiente real de C, ya que θA ¿ 0 Aplicando el primer teorema del área de momentos, tenemos: 1 −48 θC− θA ¿ 2 ( EI )(12) 288 θC− 0 ¿− EI 288 θC ¿− EI rad .

SEGUNDO TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS Considérese la viga discutida en la sección anterior, pero con la nomenclatura adicional. Por geometría suponiendo que los ángulos son muy pequeños, podemos determinar la desviación del punto P con respecto a la tangente trazada por B (distancia PP2) así: 1+¿ P2 1+¿ P¿ P P2 =P P¿

P P2 =θB X 1+ θB X 2 .

Esta expresión matemática dice que la desviación de cualquier punto P con respecto a la tangente trazada por otro cualquiera B, es igual al momento estático de cada una de las variaciones angulares comprendidas entre esos puntos, con respecto al punto P. Este es el principio del segundo teorema del área de momentos, que se establecerá a continuación en forma más útil. Una viga cargada es semejante a la de la Fig. 7.13, excepto que su curva elástica cambia M dx continuamente. La variación angular entre dos secciones cualesquiera es dθ ¿ EI

[fig. 13]

La desviación de cualquier punto situado sobre una viga cargada con respecto a la tangente trazada por cualquier otro punto, se puede expresar, entonces, dx x, EI P/B=¿ ∫ ¿ t¿

dθx=¿ ∫ M Como:

Donde:

P/B=¿ t¿

desviación de cualquier punto P medida a partir de la tangente trazada

en B, dx

∫ M EI x ,=¿

Momento estático del área bajo el diagrama M ¿ EI comprendida entre

P y B, con respecto a P. Así, un enunciado más útil del segundo teorema del área de momentos es: La desviación tangencial de cualquier punto P situado sobre la elástica de una viga con respecto a la tangente trazada por cualquier otro punto de la elástica, es igual al momento estático, con respecto a P, del área bajo el diagrama M ¿ EI comprendida entre esos puntos.

EJEMPLO Determinar la desviación del extremo C con respecto a la tangente trazada en el punto B, de la fig 7.14 la viga indicada dar la respuesta en función de EI.

[fig. 14]

SOLUCION A partir del segundo teorema del área de momentos, C / B=¿ Momento del área bajo el diagrama M ¿ EI entre C y B con respecto a B. t¿ C / B=¿ 1 ¿ 2( −24 / EI )(6) x 2 ¿ 3(6) t¿ Área C / B=−¿

Brazo de palanca

288 EI

t¿ El signo menos significa que el punto C esta en dirección negativa (es decir hacia abajo) de la tangente trazada por B.

TEOREMA DEL AREA DE MOMENTOS APLICADOS A VIGAS EN VOLADIZO.

Los teoremas del área de momentos son particularmente útiles para calcular pendientes y deflexiones de vigas en voladizo. Los ejemplos siguientes se escogieron para ilustrar el uso del teorema y para indicar algunos de los aspectos que causan frecuentemente alguna dificultad. EJEMPLO.- Calcular la deflexión en el extremo libre de la viga mostrada en la fig. 15 dar una respuesta en términos de EI de la viga.

[fig. 15]

SOLUCION La viga y su forma flexionada se muestran aquí en dos diagramas separados, aunque generalmente es más conveniente usar una sola figura. También, como ilustración, se trazaron los diagramas de momentos y de M/EI en dos figuras separadas, aunque solamente es necesario un diagrama en casos de EI constante. La tangente a la elástica está trazada en A. El punto A se eligió debido a que se sabe que la tangente trazada en el punto es horizontal (Pendiente cero). En este caso, la desviación

tangencial es la deflexión real, debido a que la tangente en A y el eje de la viga no flexionada coinciden. Aplicando el segundo teorema de área de momentos, Δ B=¿ Momento del área bajo el diagrama M ¿ EI, con respecto a B ¿

1 −PL ( 2 EI Área

2 )(L) ( 3 L

)

Brazo De palanca

Δ B=

−PL3 3 EI

NOTA.- El signo menos indica que la desviación esta debajo de la tangente de referencia.

EJEMPLO

Determinar la pendiente, en radianes, y la deflexión, en pulgadas, del extremo libre de la 2 viga mostrada en la fig. 7.16 la viga es una W. 10 X 25 con E ¿ 30 000, Klb ¿ plg

[fig. 16] Se traza otra vez la tangente en el apoyo empotrado, pues se sabe que la pendiente ahí es nula. En términos generales es más fácil conservar el término EI hasta los cálculos finales, que usar los valores numéricos desde las primeras etapas. El cálculo numérico es menos difícil si se hace esto. Aplicando el segundo teorema de área de momentos, Δ B=¿ Momento del área bajo el diagrama M ¿ EI entre A y C, con respecto a C. ¿

1 −48 2 x6 ) ( )(6)(3+ 2 EI 3

Δc =

−1800 EI

Para hallar la deflexión en pulgadas, debemos efectuar un análisis dimensional para determinar los factores de conversión adecuados. Calculamos que 1 (−48 KLb . Ft ) ( 6 ft ) (7 ft ) 2 Δ B= =.000252 ft 3 / plg 2 2 4 ( 30 000 Klb / plg ) (133.2 plg ) 3

Multiplicando este valor por el facto de conversión 1728 plg / ft

3

Δ c =¿ 0.000252 ft 3 / plg 2 x 1728 2 Si E se expresa en Klb ¿ plg

plg3 / ft 3

Δ c =¿ .435 plg

Y M en Lb .Ft debemos usar el factor de conversión 1728

plg3 / ft 3 para obtener la respuesta en pulgadas. Para determinar la pendiente, debe usarse el primer teorema de áreas de momento. Como la pendiente en A es θA ¿ 0, La variación de pendiente entre A y C da la pendiente real en C , θC : θC− θA ¿ área bajo el diagrama M ¿ EI comprendida entre A y C. Combinando los cálculos y el análisis dimensional nos da: 1 (−48 KLb . Ft )( 6 ft ) 2 θC−0 ¿ =−.0000360 ft 2 / plg 2 2 4 (30 000 Klb/ plg ) (133.2 plg )

Como se quiere expresar el resultado en radianes, que es una cantidad sin dimensiones, 2

usamos el factor de de conversión 144 ft / plg

2

2 2 2 2 θC ¿ 0.0000360 ft / plg X 144 ft / plg ,

y obtenemos: θC ¿ .00518 rad

El signo menos que aparece en los primeros cálculos y que se ha eliminado por conveniencia en la respuesta final, simplemente indica que la variación de la pendiente es en el sentido negativo (es decir, en el sentido de las manecillas del reloj).

METODO DEL AREA DE MOMENTOS APLICADO A VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS. El método del área de momentos también puede aplicarse al cálculo de deflexiones y pendientes de vigas simplemente apoyadas. Sin embargo, en este caso se necesitan más

consideraciones geométricas que en el caso de vigas en voladizo, pues la tangente a la elástica no coincide con la posición no flexionada de la viga. Los ejemplos de esta sección se ilustran algunas soluciones para problemas de este tipo.

EJEMPLO Calcule la deflexión en el centro y la pendiente en los extremos de la viga en términos de EI. (fig. 17)

[fig. 17]

SOLUCION Por simetría, se sabe que la tangente n B es horizontal. Por consiguiente, se escoge B como el punto situado sobre la curva elástica por el cual se traza la tangente. Podemos obtener la desviación de A a partir de la tangente a la elástica trazada en B ( t A /B ) Aplicando el segundo teorema de área de momentos.

Considerando la geometría de la viga flexionada, la deflexión pedida t A /B .

ΔB

es igual a

Así: t A /B=¿ Desviacion de A con respecto a la tangente trazada en B, t A /B=¿ Momento del área bajo el diagrama M ¿ EI comprendida entre A y B, con respecto al área sombreada. 1 PL L 2 L t A /B= ( )( )( X ) 2 4 EI 2 3 2 t A /B=

PL3 48 EI

La respuesta es positiva ya que el punto A queda por encima de la tangente trazada en B. La deflexión en el centro del claro es, entonces,

Δ B=¿ P L3 /¿ 48EI.

Se determina la pendiente en A aplicando el primer teorema del área de momentos entre A y B, teniendo en cuenta que θC ¿ 0. L 1 −PL ¿ θA− θB 2 ( 4 EI ) 2 ) ¿ PL2 ¿ θA 16 EI

EJEMPLO Calcule la deflexión en el centro del claro de la viga mostrada en la figura.

[fig. 18] SOLUCION

Se desconoce la posición del lugar donde la pendiente es cero, de modo que la deflexión en el centro del claro,

Δ C . Debe determinarse indirectamente. La relación geométrica que

se usara en este caso, se expresa matemáticamente como Deben calcularse tanto δ como

Δ c =¿ δ −t C / A .

t C / A . La cantidad δ puede determinarse de la manera

siguiente. Trácese la tangente en A y hállese

tB/A

Aplicando el segundo teorema del área de

momentos B y A. A partir de los triángulos semejantes ABB’ y ACC’ pueden hallarse por δ por proporción simple como se indica en los cálculos siguientes: t B / A =¿ Momento de todo el diagrama M ¿ EI, con respecto a B ¿

1 24 1 24 2 x 6 ) +( x3 ) ( )(6)(3+ )(3)( 2 EI 3 EI 3

¿

360 72 432 = + EI EI EI .

Por los triángulos semejantes ACC’ y ABB’ 1 δ ¿ 2 t tB/A . Determínese

216 δ ¿ EI

t B / A . Aplicando el segundo teorema del área de momentos entre C y A

t B / A =¿ momento del area sombreada, con respecto a C ¿

1 18 1 ( 4.5 ) ( x 4.5) 2 EI 3

¿

60.75 EI

( )

L a déflexion requerida

Δ c =¿ δ −t c / A

¿

216 60.75 − EI EI

Δc =

155.25 . EI

VIGAS CONTINUAS Los principios de la estática permiten calcular todas las fuerzas y momentos de reacción con las ecuaciones de equilibrio clásicas porque hay dos incógnitas y dos ecuaciones independientes disponibles con las cuales se pueden determinar las incógnitas. Las vigas como esas se llaman estáticamente determinadas. En contraste, las vigas continuas tienen apoyos adicionales, por lo que se requieren enfoques diferentes cuando se trata de analizar las fuerzas y momentos de reacción estas se llaman vigas estáticamente indeterminadas. La figura 19 muestra un ejemplo de una viga continua con tres apoyos.

[fig. 19]

CONCLUSIONES OSCAR: Todos estos métodos tienen como fin resolver problemas de vigas hay algunos que tienen sus ventajas respecto a otros hay, otros pero de igual forma es necesario conocerlos para poder resolver más complejos en los que no puedas utilizar solo un método.

DIEGO: Estos métodos tienen grandes aplicaciones debido a su eficiencia para la resolución y el mejoramiento de problemas en todo tipo de estructuras y es un tema que aplica

conocimientos de estática así como de las primeras unidades de mecánica de materiales que son “esfuerzos y deformaciones” y “esfuerzo por flexión y deformación en vigas”. ADRIANA: Como futuros ingenieros es de gran importancia comprender el tema de vigas ya que realmente son situaciones de la vida laboral que se presentan. Concluyendo que por medio de la estática y la mecánica de materiales podemos conocer y analizar las diferentes situaciones que se presenten. Poder aplicar los métodos de superposición, doble integración y áreas de momento.

REFERENCIAS: MECANICA DE MATERIALES (FITZGERAL) RESISTENCIA DE MATERIALES APLICADA (ROBERT L. MOTT) MECANICA DE MATERIALES (BEER JHONSTON.) MECANICA DE MATERIALES (JAMES M.)