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UNIVERSIDAD PRIVADA DE TACNA FACULTAD DE INGENIERÍA Escuela Profesional De Ingeniería Civil R E S I S T E N C I A D E M A T E R I A L E S I I TRABAJO ENCARGADO VIGAS ISOSTATICAS VIGAS HIPERESTATICAS VIGAS ISOSTÁTICAS ALUMNO : OMAR QUILLE MAMANI PROFESOR: Ing. MAX VIDAL SEGOVIA

VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS PRESENTACION El presente trabajo monográfico de cuyo temas es vigas isostáticas e hiperestáticas ex plicaremos su definición, característica, propiedades y su aplicación en el campo de l a construcción. También explicaremos los métodos de análisis cada una de las vigas anter ior mente mencionada. La monografía se apoyo en los conocimientos impartidos en el aula y recurriendo a libros especializados de diferentes autores, páginas de internet. RESISTENCIA DE MATERIALES II 2

VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS INTRODUCCION Las vigas son uno de los tipos de estructuras más frecuentes. Se pueden definir de manera formal de la siguiente manera: Son estructuras unidimensionales, en las que el material está agrupado alrededor d e una línea recta, que por sencillez se toma como el eje X. Están sustentadas en uno o más punto, y esta sustentación puede ser del tipo apoyo simple o empotramiento. E stán cargadas básicamente con fuerzas perpendiculares a su eje. Todas las fuerzas es tán contenidas en un plano que contiene también a la viga. Puede haber asimismo apli cados momentos exteriores, que deben ser perpendiculares al plano de las fuerzas . Se supone que el material es elástico lineal, y que las deformaciones son pequeñas , comparadas con las dimensiones de la viga sin deformar. Bajo estas condiciones, las vigas se comportan como estructuras planas, aparecie ndo deformaciones transversales perpendiculares a su eje, y contenidas en el pla no de las cargas, así como giros perpendiculares al plano de las cargas. No aparec en deformaciones en la dirección axial, al no haber cargas en ella. En las condiciones anteriores las vigas están sometidas a esfuerzos internos de fl exión y cortadura, pero no a esfuerzos axiales. Acumulan energía de flexión y opcional mente de esfuerzo cortante (según la teoría empleada para su estudio), pero no de es fuerzo axial. RESISTENCIA DE MATERIALES II 3

VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS OBJETIVOS OBJETIVO PRINCIPAL a. El presente trabajo tiene por objetivo promover la investi gación, es conocer las características, propiedades, usos de las vigas isostáticas e h iperestáticas en las diferentes actividades de la construcción. OBJETIVOS SECUNDARIOS a) Demostrar la habilidad del estudiante para evaluar anal izar e interpretar el comportamiento de una viga isostática con una hiperestática. b) Aplicar los conocimientos básicos de la teoría y su importancia en la orientación e n cuanto a la las estructuras de una construcción que competen al área de la ingenie ría. RESISTENCIA DE MATERIALES II 4

VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS MARCO TEORICO Vigas Isostática e Hiperestáticas 1.0 Definiciones: 1.1 Vigas Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al eje, por lo que el diseño predomin ante es a flexión y corte (Figura 1); si las cargas no son perpendiculares se prod uce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño. Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) 1.2 Pórtico Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las un iones son rígidas y su diseño está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las columnas (Figura 2). Figura 2. Pórtico RESISTENCIA DE MATERIALES II 5

VIGAS ISOSTATICAS E HIPERESTATICAS 1.3 Ecuaciones de equilibrio El equilibrio es uno de los requisitos que debe cum plir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas e s cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y c ada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesaria s y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también po r las tres ecuaciones siguientes: Σ =0 x F ; Σ = 0 y F ; Σ = 0 pto M Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externa s en las direcciones x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en e quilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y Johnston, 1979; Das, K assimali y ami, 1999). El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en un problema estructural. En la etapa inicial se pueden cono cer las fuerzas que se generan en los apoyos para hacer que la estructura este e n equilibrio. 1.4 Tipos de apoyos Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los ext remos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos d e las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apo yo que se está empleando (Das, Kassimali y ami, 1999). RE I TENCIA DE MATERIALE II 6

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.4.1 Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balanc ines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el mo vimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógn ita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida. 1.4.2 Reacciones formada por una fuerza de dirección desconocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libr e en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo alrededor de la conexión. En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas que se represen tan generalmente por sus componentes x y y. 1.4.3 Reacciones formada por una fuerza y un par Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la vi ga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son generalme nte las dos componentes de la fuerza y el momento del par. Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede s uponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue cone cta o no (Beer y Johnston, 1979). RE I TENCIA DE MATERIALE II 7

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA TIPO DE APOYO RE I TENCIA DE MATERIALE II 8

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.5 Cargas 1.5.1 Definición Las cargas en una estructura son las fuerzas que actúan en ella y producen cambios en el estado de tensiones y deformaciones de los elem entos que conforman edificación. Los efectos de las cargas son similares a los efe ctuados por los asentamientos, efectos de temperatura, reología, etc, (COVENIN, 19 88). 1.5.2 Tipos de cargas Una viga esta sometida a dos grupos de cargas denominadas concentradas o puntual es y distribuidas. El primer grupo está formado por fuerzas actuando en un punto d efinido, como por ejemplo, una fuerza aplicada o un momento aplicado. Están expres adas en unidades de fuerza o de momento (N, lb, kgf, N*m, lb*pie, kgf*m, etc.). En cuanto al segundo grupo, la carga distribuida es aquella que actúa sobre una lo ngitud de la viga. La magnitud de la carga distribuida puede ser constante por u nidad de longitud o variable y se expresa en unidades de fuerza sobre unidades d e longitud (N/m, lb/pie, kgf/m). La magnitud de la fuerza originada por esta car ga es igual al área de la forma generada por la carga y se ubica en el centroide d e la mencionada forma (Beer y Johnston, 1979; Parker y Ambrose, 1995). RE I TENCIA DE MATERIALE II 9

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA RE I TENCIA DE MATERIALE II 10

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.5.3 Representación de cargas Los vectores son las herramientas matemáticas que permiten figurar una carga sobre una viga y son la representación de una acción que ocurre en la estructura real; po r ejemplo una columna que descansa sobre una viga sería un caso de carga puntual ( véase Figura 6). Un ejemplo para cargas distribuidas sería el peso propio de los ele mentos o una losa de piso de concreto soportada por una viga (véase Figura 6 y 7). RE I TENCIA DE MATERIALE II 11

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.6 Tipos de vigas Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reaccio nes en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una varieda d de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, enco ntramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser d e 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la ca rga (Parker y Ambrose, 1995). RE I TENCIA DE MATERIALE II 12

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.6.1 Vigas isostáticas e considera que una viga es estáticamente determinada o iso stática cuando se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecu aciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igu al a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este co mpletamente inmovilizada; por ello antes de resolver una viga isostática se debe a nalizar la estabilidad. Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres , se dice que la viga está parcialmente inmovilizada o inestable, porque las reacc iones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio. RE I TENCIA DE MATERIALE II 13

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.6.2 Vigas hiperestáticas Por otra parte, al tener mas de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requie re considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones adicionale s para que el sistema sea determinado. Las vigas hiperestáticas tienen más reaccione s de las necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restr ingida la posibilidad de movimiento (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y am i, 1999). Condiciones de la viga RE I TENCIA DE MATERIALE II 14

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.7 DEFINICIÓN DE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR. En la figura se muestra una viga horizontal elemental, isostática de un solo tramo , con una carga puntual “P”, en la sección a-a se hace un corte imaginario para observ ar las fuerzas internas que aparecen para satisfacer las condiciones de equilibr o, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de abajo. 1.7.1 Fuerza Cortante: del equilibrio de fuerzas verticales practicado a cualquiera de los dos segmentos de viga separados, aparece una fuerza interna “Vaa”, llamada resistente, debido a que se opone al efecto de las fuerzas activas externas, cuy a dirección es perpendicular al eje longitudinal de la viga AB, el cual coincide a su vez con e l eje “X” del sistema de referencia particular “XY” de la viga . Para el caso de vigas i nclinadas la fuerza cortante Va-a, tiene la misma inclinación, puesto que se orien ta según el eje particular de la viga y no según el sistema global vertical-horizont al. En este sentido se define la fuerza cortante como la sumatoria de la compone nte perpendicular al eje, de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha de la sección de viga estudiada: Va-a = ΣFyizqa-a= ΣFydera-a. La convención de signos más común, es aquella que considera positiva la fuerza cortante que hace desl izar hacia arriba, la porción de viga situada a la izquierda de la sección estudiada , en caso contrario se considera negativa. En otras palabras cuando la sumatoria de fuerzas a la izquierda de la sección es positiva la RE I TENCIA DE MATERIALE II 15

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA fuerza cortante tiene el mismo signo, igual para el caso contrario, tal como se muestra en el siguiente diagrama fig 1.3.a. En la Fig. 1.3.b. se muestra la conv ención de signos desde el punto de vista de la deformación de un elemento diferencia l situado justo en la sección aa. 1.7.2- Momento Flector: el equilibrio rotacional de los segmentos de viga estudi ados se logra con la aparición del Momento Flector Ma-a, señalado en el diagrama de cuerpo 6 libre anterior. De esta manera este se puede definir como la sumatoria de los momentos de las fuerzas externas situadas a la izquierda o a la derecha d e la sección estudiada, considerando que el plano de aplicación de las fuerzas es XY (hoja de papel), y la dirección del momento flector es perpendicular a este, es d ecir el eje particular Z: Ma-a = ΣMiizqa-a= ΣMidera-a En cuanto al signo del momento flector, es importante resaltar que este no depende de su sentido de rotación, ta l como sucede con el RE I TENCIA DE MATERIALE II 16

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA momento de equilibrio, sino más bien de la curvatura que sufre la viga por la apli cación del mismo. De tal manera que una curvatura cóncava hacia arriba se considera positiva, lo contrario es negativo. En la siguiente figura se ilustra esta conve nción. Los momentos flectores positivos generan tracción o alargamiento en las fibras inf eriores de la viga y compresión o acortamiento en las superiores, los negativos pr oducen lo contrario, como se muestra en la parte superior de la figura anterior. En los gráficos inferiores, de la figura anterior, se muestra el efecto de fuerza s individuales y el sentido de curvatura de la viga, considerando un empotramien to imaginario en la sección a-a. RE I TENCIA DE MATERIALE II 17

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.8 RELACIÓN ENTRE CARGA, CORTE Y MOMENTO FLECTOR. Resulta particularmente importante, conocer no solo el valor del corte y del mom ento flexionante en un punto de la viga, sino mas bien a lo largo de todo el ele mento, debido a que en su diseño, se debe considerar la condición más desfavorable de esfuerzo resistente en el interior del sólido, por lograr esto se construyen los l lamados diagramas de fuerza cortante y momento flector. La realización de estos di agramas requiere conocer la relación existente entre las cargas externas y las fue rzas internas de corte y momento flector. En el siguiente gráfico, se ha considera do una viga simplemente apoyada, con un sistema de cargas distribuida general “q”, d e signo positivo, por tener sentido vertical hacia arriba. 1 y 2 representan dos secciones de la viga separadas una distancia dx. A la derecha se ha graficado e n forma ampliada, el diagrama de cuerpo libre del elemento diferencial de viga c ontenido entre las secciones 01 y 02, que incluye tanto las fuerzas externas “q”, co mo las fuerzas internas V y M, las cuales se supusieron con signo positivo. Para la cara de la sección 01, los valores de fuerzas cortantes y momentos flexionante s son respectivamente V y M, mientras que para la sección 02, son los valores de l a sección 01 más un cierto diferencial dV y dM respectivamente. RE I TENCIA DE MATERIALE II 18

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA Equilibrando el elemento diferencial tenemos: 1.8.1. Relación Carga – Corte: por sum atoria de fuerzas verticales De esta manera se encuentran las siguientes relaciones: 1- q = dV/dx => q: inten sidad de carga; dv/dx : Pendiente diagrama de corte 1.a - El signo de la carga, define la inclinación de la pendiente del diagrama de corte. RE I TENCIA DE MATERIALE II 19

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.b - La intensidad de la carga “q” define la variación de la pendiente del diagrama d e corte. 2- e puede calcular el corte en la sección 02, con el corte anterior en la sección 01, más el área del diagrama de carga existente entre las secciones 01 y 02: RE I TENCIA DE MATERIALE II 20

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.8.2. Relación Corte – Momento: por sumatoria de momentos en el punto “0”: Las relaciones entre corte y momento son: 3- V = dM/dx => V: intensidad del diag . de Corte; dM/dx: Pendiente diag. de Momentos 3.a. El signo del diagrama de cor te, define la inclinación de la pendiente del diagrama de Momentos: RE I TENCIA DE MATERIALE II 21

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 3.b. La Intensidad del diagrama de corte, define la variación de la pendiente del diagrama de Momentos, como se muestra a continuación: RE I TENCIA DE MATERIALE II 22

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 4- e puede calcular el momento en la sección 02, con el momento anterior en la se cción 01, más el área del diagrama de corte existente entre las sección 01 y 02: RE I TENCIA DE MATERIALE II 23

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.9 Aplicación a) En caso de puentes egún el sistema estructural predominante puede n ser: isostáticos hiperestáticos Aunque esto nunca será cierto al menos que se quisiera lograr con mucho empeño, todo s los elementos de un puente no podrán ser isostáticos, ya que por ejemplo un tabler o apoyado de un puente está formado por un conjunto altamente hiperestático de losa de calzada, vigas y diafragmas transversales (separadores), cuyo análisis estático e s complicado de realizar. Este tipo de clasificación es cierta si se hacen algún tipo de consideraciones, como por ejemplo: e denomina "puente isostático" a aquel cuyos tableros son estáticamen te independientes uno de otro y, a su vez, independientes, desde el punto de vis ta de flexión, de los apoyos que los sostienen. e denomina "puente hiperestático" aquel cuyos tableros son dependientes uno de ot ro desde el punto de vista estático, pudiendo establecerse o no una dependencia en tre los tableros y sus apoyos. RE I TENCIA DE MATERIALE II 24

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA Puente de vigas isostático en un tramo Puente de vigas isostático en varios tramo b) Un poste de luz Una estructura isostática sería un poste de luz cuya base está empo trada en el suelo. Las reacciones que tiene en la base son las mínimas para que no se deslice o gire. c) Un marco de una portería de futbol Una estructura hiperestática es por ejemplo el marco de una portería de futbol si tu le cortaras una de las bases no se cae, est o quiere decir que existen reacciones en una de las bases suple a las que se tenía n en el otro apoyo para que la estructura no se deslice o gire. RE I TENCIA DE MATERIALE II 25

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA 1.10 VENTAJA Y DE VENTAJA OBRE EL EMPLEO DE E T. HIPERE TÁTICA E I O TATICA 1 .10.1 Ventajas que presentan las estructuras hiperestáticas pueden resumirse en: M enor costo del material, al permitir obtener estructuras que a igualdad de solic itaciones requieren menor sección transversal en sus elementos constitutivos. Este aspecto resulta de la continuidad entre los distintos miembros estructurales, c on lo que se logra una mejor distribución de los esfuerzos interiores producidos p or cargas aplicadas. Asimismo, la continuidad permite materializar elementos de motores luces y por ende menor cantidad de apoyos a igualdad de sección, o el uso de menores secciones para luces iguales. Este tipo de estructuras (hiperestáticas) tienen frecuentemente mayores factores d e seguridad asociados que las estruct. Estáticamente determinadas (isostáticas) en v irtud de su capacidad de redistribución de solicitaciones internas.

Presentan mayor rigidez, es decir que actuando una carga conocida, experimentan menores deformaciones.

El comportamiento ante eventuales acciones dinámicas, sismos particularmente, mejo ra notablemente al aumentar el grado de hiperestaticidad, esto se vale en la for mulación de "rótulas plásticas" en secciones de hormigón armado, y en la cuantificación de energía que son capaces de disipar estas estructuras, en un isostático, simplemente es inconcebible la formación de estos mecanismos de colapso.

Muchas veces la materialización de estructuras hiperestáticas responde a la minimiza ción de errores en la obra. RE I TENCIA DE MATERIALE II 26

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA

Es difícil superar estéticamente una estructura hiperestática (por ejemplo arcos empot rados. pórticos múltiples, etc) con una isostática. 1.10.2 Desventajas más salientes son: ensibilidad ante desplazamientos de vínculos (Ataduras), por lo que pueden acarrear problemas severos cuando las condiciones de cimentación de la estructura son impropias, o se presentan asentamientos del te rreno. Las variaciones de temperatura, fabricación deficiente o desajustes de colocación, g eneran deformaciones inducidas de importancia.

Usualmente se requiere secciones reforzadas por cambios de signo de momentos fle ctores, en las cercanías a un nudo rígido. Puede resultar muy elaborada la resolución del hiperestático dependiendo de la cantidad de incógnitas hiperestáticas que se presenten. Este último aspecto es lo suficientemente subjetivo como para ser eliminado teniendo en cuen ta las herramientas informáticas contemporáneas, los métodos de cálculo modernos (matric iales) y el poder de simplificación de quien calcula. RE I TENCIA DE MATERIALE II 27

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA CONCLU IONE

En forma técnica sería que en las estructuras isostáticas el número de fuerzas actuantes es igual al número de ecuaciones de equilibrio. En una estructura hiperestática exi sten más fuerzas actuantes que ecuaciones de equilibrio, por lo tanto se deben de plantear ecuaciones adicionales con los desplazamientos o giros en puntos específi cos de la estructura para conocer estas fuerzas (ecuaciones de compatibilidad).

e debe tener presente y comparar el grado de indeterminación, grados de libertad, redundantes, ecuaciones de compatibilidad y equilibrio de una estructura para p oder clasificarla como isostática o hiperestática.

Este tipo de estructuras (hiperestáticas) tienen frecuentemente mayores factores d e seguridad asociados que las estruct. Estáticamente determinadas (isostáticas) en v irtud de su capacidad de redistribución de solicitaciones internas. RE I TENCIA DE MATERIALE II 28

VIGA I O TATICA E HIPERE TATICA BIBLIOGRAFIA http://www.miliarium.com/Bibliografia/Monografias/Puentes/TiposPuentes.asp http: //es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090118104523AAxOKJy http://www.soloa rquitectura.com/foros/showthread.php?14573-Estructurasisost%E1ticas-e-hiperest%E 1ticas http://www.buenastareas.com/ensayos/Tipos-De-Vigas/2901321.html RE I TENCIA DE MATERIALE II 29