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VIGAS HIPERESTATICAS UNIDAD III

Materia: Procesos de manufactura Alumnos: Oscar Daniel Flores Márquez Alexis Guevara Campos Marcos Isidro Hdz. Hdz. José Miguel Frausto Palos Ramón Ibarra Ornelas Grupo 16:00 – 17:00 Carrera: Ingeniería Mecánica Fecha: 17/05/2018

VIGAS HIPERESTATICAS UNIDAD III INTRODUCCION Empezaremos con conocer, analizar y determinar esfuerzos y deformaciones de elementos de naturaleza mecánica sujetos a cargas de tensión, compresión y flexión, además del estudio y aplicación de la teoría de vigas. Las vigas permanecen rígidas, estáticas, pero para llegar a colocarlas es necesario haber realizado antes, un análisis o estudio de cada caso. Los procedimientos de análisis y de estudio se denominan de cuantificación, es decir que midiendo el equilibrio, de la distribución del factor transporte y peso, y es un procedimiento que finaliza cuando el momento de la fuerza sea tan pequeño que no afecte de ningún modo el momento de fuerza final de la viga. Para ello se llevan a cabo mediciones para cada barra, con las fórmulas específicas, y se calculan los factores de distribución por nodo, que es cuando se mide la rigidez de las barras o vigas. En toda edificación con estructuras que recibirán pesos y flexiones se necesitan colocar elementos constructivos que son específicamente diseñados para ello. Para conocer a las vigas hiperestáticas, es necesario saber qué es y cómo definir una viga. Las vigas son fundamentales en las construcciones de obras, es un elemento constructivo lineal, que hace el trabajo de flexión, y en las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones. Son las que se encargan de soportar todo el peso de un techo, o cualquier otro tipo de carga, y depende del tamaño del edificio de la cantidad, del peso y de la longitud de las vigas, en la construcción de viviendas se usan vigas de dos tipos las vigas de concreto para bases estructurales de dos más pisos, y las vigas de madera.

VIGAS HIPERESTATICAS DEFINICION Una viga hiperestática es aquella que tiene más condiciones de contorno, es decir, movimientos impedidos, de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad. Por ello su cálculo no se realiza con las ecuaciones de equilibrio, sino recurriendo a los esfuerzos y deformaciones a partir de las ecuaciones constitutivas del material. Son las vigas normalmente usadas en las estructuras de construcción como ya se mencionó, su uso es el más extendido, es una estructura que necesita más elementos de los necesarios para mantenerse estable; la supresión de uno de ellos no conduce al colapso, pero modifica sus condiciones de funcionamiento estático, e estos elementos innecesarios se les llama apoyos redundantes.

APOYOS REDUNDANTES Las vigas hiperestáticas se dividen en tres tipos:   

Viga en voladizo apuntalada o soportada Viga doblemente empotrada Viga continua Viga en voladizo apuntalada o soportada

Los apoyos redundantes deben de seleccionarse en cada caso particular Por ejemplo: La reacción RB de la viga en voladizo apuntalada mostrada en la fig. Se puede tomar como redundante, dado que esta reacción está de más respecto a la necesarias para mantener el equilibrio, puede liberarse dela estructura quitando el soporte B y queda en voladizo.

Al escoger el momento en A (MA) como la redundante la estructura liberada en una viga simple con un soporte en el pasador en un extremo y un soporte de rodillo en el otro

Viga doblemente empotrada

Esta viga tiene soportes empotrados en ambos extremos, si selecciona más de tres reacciones en el extremo B de la viga redundante y eliminamos las restricciones correspondientes queda una viga en voladizo como estructura liberada.

Si liberamos los dos momentos de empotramiento y una reacción horizontal, la estructura liberada es una viga simple.

Viga continúa

Llama así porque es soportada pos dos o más apoyos continuos para lograr una mayor rigidez. Si la reacción en RB en el soporte interior se considera redundante y quitando el soporte correspondiente de la vida, queda una estructura liberada en la forma de una viga simple Si la reacción en RC se toma como la redundante, la estructura liberada es una viga simple con un voladizo.

En forma específica, un miembro de cualquier tipo se clasifica como estáticamente indeterminado si la cantidad de reacciones incógnitas es mayor que la cantidad disponible de ecuaciones de equilibrio. Las reacciones adiciones en los apoyos sobre la viga o eje no se necesitan para mantenerlas en equilibrio estable, y se llaman redundantes. La cantidad de redundantes se llama grado de indeterminación. Al hacer el análisis deben calcularse los esfuerzos actuantes máximos ( 𝜎𝑚𝑎𝑥 y 𝜏𝑚𝑎𝑥 ) y la deformación máxima 𝛿𝑚𝑎𝑥 .

Estos valores deben ser menores que los esfuerzos y la deformación admisible para que sea segura y funcione correctamente. Sin embargo puede suceder que sean mayores (uno de ellos o todos). [Fig.1.]

[fig.1] En este caso el diseñador debe enfrentar varias alternativas, como cambiar el material por uno más resistente o más rígido según sea el caso; o aumentar la sección transversal de la viga para incrementar su resistencia y rigidez. Sin embargo en muchas ocasiones no es posible cambiar el material o las dimensiones, teniendo así como única alternativa para aumentar la seguridad de la viga y su rigidez será colocando un apoyo adicional indeterminado C. [fig. 2]

[Fig.2]

Los apoyos redundantes garantizan la estabilidad en caso de fallas. En general, mientras más apoyos redundantes tengan una viga o una estructura, más segura será. Lógicamente también tendrá un mayor grado de indeterminación y por consiguiente el análisis será más largo, puesto que involucrará más ecuaciones.

Observemos como se obtiene la ecuación adicional que nos resuelve la indeterminación, como se muestra en la [fig.3]

[fig.3]

[fig.3]

Para determinar las reacciones sobre una viga (o eje) estáticamente indeterminada, primero es necesario especificar las reacciones redundantes. Podemos determinarlas a partir de condiciones geométricas, llamadas condiciones de compatibilidad. Una vez determinadas, las redundantes se aplican a la viga y las reacciones restantes se determinan a partir de las ecuaciones de equilibrio. En los siguientes temas mostraremos el procedimiento de solución, usando el método de Superposición, Doble Integración y Áreas de momentos. Para explicar mejor este tema a continuación veremos un ejemplo en el cual explicaremos paso por paso lo que se debe de hacer en este tipo de problemas. Reacciones de Apoyo en Viga –Ejemplo

Primeramente se tiene que hacer el diagrama de cuerpo libre (D.C.L)

Tenemos tres incógnitas que tenemos que solucionar el momento en el punto a (Ma) y las reacciones en el punto a (Rax y Ray). Lo primero que debemos de identificar es el momento en a: Ma

Y para encontrar el (Ray): debemos de sumar las fuerzas ejercidas en el eje y para sacar esa reacción como esta representada en la imagen.

y como no hay fuerzas aplicadas en el eje x, la reacción en x (Rax) vale 0.

MÉTODOS DE APLICACION MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN El método de superposición es una técnica práctica de uso común para obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente es muy simple y se puede enunciar así: En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias cargas diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al actuar por separado Cuando una viga se somete a varias cargas concentradas o distribuidas, a menudo es conveniente calcular de manera separada la pendiente y la deflexión causadas por cada carga. La pendiente y la deflexión totales se obtienen aplicando el principio de superposición y sumando los valores de la pendiente o la deflexión correspondiente a las diversas cargas. El método de superposición es de importancia fundamental en el análisis de barras, armaduras, vigas, marcos y muchos otros tipos de estructuras estáticamente indeterminadas. Ya hemos empleado el método de superposición para analizar estructuras estáticamente indeterminadas compuestas de barras en tensión y compresión y ejes en torsión. En esta sección aplicaremos el método a vigas. Iniciaremos el análisis observando el grado de indeterminación estática y seleccionando las reacciones redundantes. Luego, al haber identificado las redundantes, podemos escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen las otras reacciones desconocidas con las redundantes y las cargas. A continuación suponemos que tanto las cargas originales como las reacciones redundantes actúan sobre la estructura liberada y encontramos las deflexiones superponiendo las deflexiones separadas debidas a las cargas y a las redundantes. La suma de estas deflexiones debe ser igual a las deflexiones en la viga original. Sin embargo, las deflexiones en la viga original (en los puntos donde se eliminaron restricciones) son cero o tienen valores conocidos. Por tanto, podemos escribir ecuaciones de compatibilidad (o ecuaciones de superposición) que expresen el hecho de que las deflexiones de la estructura liberada (en los puntos donde se eliminaron las restricciones) son iguales que las deflexiones en la viga original (en esos mismos puntos). Como la estructura liberada es estáticamente indeterminada, es fácil determinar sus deflexiones empleando las técnicas descritas en la unidad. Las relaciones entre las cargas y las deflexiones de la estructura liberada se denominan relaciones fuerza-desplazamiento. Al sustituir estas relaciones en las ecuaciones de compatibilidad, obtenemos ecuaciones en las que las redundantes son las cantidades desconocidas. Por tanto, en esas ecuaciones podemos despejar las reacciones redundantes. Después, conocidas las redundantes, podemos determinar todas las otras reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio. Además, partiendo del equilibrio podemos determinar también las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes.

Los pasos descritos en términos generales en los párrafos anteriores se aclaran considerando un caso particular, el de una viga en voladizo apuntalada que soporta una carga uniforme (figura 4a). Efectuaremos dos Análisis, el primero con la fuerza de reacción RB seleccionada como la redundante y el segundo con el momento de reacción MA como el redundante.

[Fig. 4]

En este primer ejemplo seleccionamos la reacción RB en el apoyo simple (figura 4a ) como la redundante. Entonces, las ecuaciones de equilibrio que expresan las otras reacciones desconocidas en términos de la redundante son las siguientes:

Estas ecuaciones se obtienen de ecuaciones de equilibrio que se aplican a toda la viga considerada como un cuerpo libre (figura 4a) El paso siguiente es eliminar la restricción correspondiente a la redundante (en este caso, eliminamos el apoyo en el extremo B). La estructura liberada que queda es una viga en voladizo (figura b). La carga uniforme q y la fuerza redundante RB se aplican ahora como cargas sobre la estructura liberada (figuras 4c y d). La deflexión en el extremo B de la estructura liberada debida solo a la carga uniforme se denota (dB)1 y la deflexión en el mismo punto debida solo a la redundante se denota (dB)2. La deflexión dB en el punto B en la estructura original se obtiene superponiendo estas dos deflexiones. Como la deflexión en la viga original es igual a cero, obtenemos la siguiente ecuación de compatibilidad: El signo menos aparece en esta ecuación debido a que (dB)1 es positiva hacia abajo en tanto que (dB)2 es positiva hacia arriba.

Las relaciones fuerza-desplazamiento que dan las deflexiones (dB)1 y (dB)2 en términos de la carga uniforme q y de la reacción redundante RB, respectivamente, se determinan con ayuda de tabla. Utilizando las formulas dadas allí, obtenemos:

Al sustituir estas relaciones fuerza-desplazamiento en la ecuación de compatibilidad da:

de donde se puede despejar la reacción redundante:

Las reacciones restantes (RA y MA) se pueden encontrar con ecuaciones de equilibrio. Conocidas todas las reacciones, ahora podemos obtener las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes en toda la viga y trazar los diagramas correspondientes. También podemos determinar las deflexiones y pendientes de la viga original mediante el principio de superposición. El procedimiento consiste en superponer las deflexiones de la estructura liberada cuando se somete a las cargas que se muestran en las figuras c y d. También podemos analizar la misma viga en voladizo apuntalada seleccionando la reacción de momento MA como la redundante como se muestra en la imagen (figura 5).

[fig. 5]

El método de superposición descrito en esta sección también se denomina método de la flexibilidad o método de la fuerza. Este último nombre se origina del uso de las cantidades de fuerza (fuerzas y momentos) como las redundantes. Dado que el método de superposición comprende la superposición de deflexiones, solo es aplicable a estructuras linealmente elásticas.

DOBLE INTEGRACION El método de integración requiere dos integraciones de la ecuación diferencial 𝑑 2 𝑣 / 𝑑𝑥 2 , una vez en el momento interno M de la viga esta expresado como función de la posición x. Sin embargo la viga es estáticamente indeterminada, M también se puede expresar en función de las redundantes desconocidas. Después de integrar dos veces esta ecuación, habrá para determinar dos constantes de integración y sus redundantes. Aunque este sea el caso, siempre se pueden determinar esas incógnitas a partir de condiciones de frontera y/o continuidad para el problema. Por ejemplo en la viga de la [fig. 9 (a)] tiene una redundante. Puede ser 𝐴𝑦 , 𝑀𝐴 [fig. 4 (b)]. Una vez elegida se puede expresar el momento interno M en función de la redundante, y al integrar la relación entre el momento y el desplazamiento, se puede determinar entonces las dos constantes de integración, y la redundante, a partir de las tres condiciones de frontera v=0 en x=0, dv/dx = 0 en x=0 y v=0 en x=L Se puede expresar el momento M en función de esa redundante.

[Fig. 9

EJEMPLO 1 La viga mostrada [fig. 10] está sujeta a la carga distribuida que se muestra. Determinar las reacciones en A. EI es constante.

[fig. 10]

ANALISIS

D.C.L [fig. 10] 𝑀 = 𝐴𝑦 𝑥 −

1 6

𝑤0

𝑥3 𝐿

𝑑2𝑣 1 𝑥3 𝐸𝐼 = 𝐴𝑦 𝑥 − 𝑤0 6 𝑑𝑥 2 𝐿

𝐸𝐼

𝑑𝑣 1 1 𝑥4 = 𝐴𝑦 𝑥 2 − 𝑤0 + 𝑐1 24 𝑑𝑥 2 𝐿

1 1 𝑥5 3 𝐸𝐼 𝑣 = 𝐴𝑦 𝑥 − 𝑤 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 120 0 𝐿 6

Las tres incógnitas 𝐴𝑦 , 𝐶1 , 𝐶2 se determinan a partir de las condiciones de frontera: 𝑑𝑦

𝑥 = 0, 𝑣 = 0; 𝑥 = 𝐿, 𝑑𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 𝐿, 𝑣 = 0.

𝑥 = 0, 𝑣 = 0 ; 𝑑𝑣

0 = 0 − 0 + 0 + 𝑐2 1

𝑥 = 𝐿, 𝑑𝑥 = 0 ;

0 = 2 𝐴𝑦 𝐿2 −

𝑥 = 𝐿, 𝑣 = 0 ;

0=

1 𝑤 𝐿3 24 0

+ 𝑐1

1 1 𝐴𝑦 𝐿3 − 𝑤 𝐿4 + 𝑐1 𝐿 + 𝑐2 120 0 6

Se despejan. 𝐴𝑦 =

1 𝑤 𝐿 10 0

𝐶1 = −

1 120

𝑤0 𝐿3

𝑅𝑒𝑠𝑝.

𝐶2 = 0

CONCLUSION Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estáticas como dinámicas. Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequeñas deformaciones internas, tanto en los nudos como en la viga misma, siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformación. El conocer estos comportamientos permite saber si la deformación será resistida por la estructura y así no falle. Para determinar estas deformaciones se pueden utilizar 3 métodos diferentes en su forma de cálculo, pero que entregan los mismos resultados.