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• Jose R Birmighan S

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Vigas y Plateas sobre Lechos Elásticos

En edificios de viviendas comunes, y en los de gran altura con muros portantes, separados de 5 a 9m, es preferible adoptar como fundación una platea continua, que al mismo tiempo constituye el piso del subsuelo, que se hormigona en forma continua, una vez colocadas las cañerías de suministros y desagües. De esta forma se puede trabajar en limpio, y se facilita el acopio de materiales en el subsuelo

Estas Plateas de Fundación de hormigón, pueden dimensionarse en forma económica, en edificios del tipo de muros transversales, cuando no existan suelos blandos, y se tenga en cuenta analíticamente el comportamiento conjunto Suelo Platea

La concentración de tensiones en el terreno, bajo los muros aumenta, y con ello la solicitación por flexión a la Platea disminuye tanto mas, cuanto mas deformable sea la Platea, y mas rígido el suelo de fundación

En el caso de una superestructura de reducida rigidez a la flexión, si la capa deformable del suelo es de un espesor considerable, en relación a la longitud de la estructura, se origina una depresión a lo largo de toda la longitud, que cambia en forma considerable el diagrama de Momentos como consecuencia de la curvatura de la depresión

En tales casos se aconseja, disponer un arrostramiento rígido de la superestructura mediante tabiques longitudinales, por lo menos en un piso, para evitar la formación de la depresión curva. En esta situación el diagrama de Momentos de la Platea cambia, y vuelve a ser similar al de una viga continua

Para este tipo de plateas de fundación, son suficientes espesores entre 20 y 30cm, y cuya armadura se coloca cobre una base de hormigón de limpieza, procediéndose luego 4 al moldeo de las mismas. En suelos cohesivos conviene poner por debajo del hormigón de limpieza una impecable red de drenaje

Como armaduras son adecuadas las mallas de acero para hormigón. Las mallas superiores deben ser continuas, las inferiores pueden limitarse a la zona de momentos por debajo de la columna, sin prolongarlas hasta los tramos. Generalmente no es necesario armaduras de corte

En edificios industriales, muchas veces se prefiere que en el subsuelo solo existan columnas aisladas, mientras que el pavimento del mismo debe soportar cargas considerables, debidas a materiales depositados. En estos casos la platea continua es ventajosa porque la influencia de su rigidez a la flexión y la deformación del terreno, pueden aprovecharse para disminuir los momentos flectores

Conviene ejecutar las plateas con espesores d>L/45 y d>20cm, de esta manera las plateas resultan esbeltas. Pero como por otra parte, las cargas de las columnas son considerables, y las columnas son esbeltas, existe peligro de punzonado, que exige un refuerzo local con un capitel de hongo invertido, que se realiza mediante una depresión aplanada, que se realiza al excavar

La misma debe tener una profundidad tal que haga innecesaria una armadura de corte, y que por otra parte su transición sea lo mas suave posible para facilitar la colocación de la armadura, o las mallas sin dobladuras previas

Influencia de la rigidez del suelo en los diagramas característicos para una Fundación Elástica Superestructura deformable

Superestructura deformable

Platea Flexible

Platea Flexible Reacciones

Reacciones

Suelo deformable

Suelo rígido

Momentos

Momentos

Corte

Asentamientos

Corte

Asentamientos

Super estructura deformable

Super estructura rígida

L

Diagrama de Momentos

Suelos deformables de poco espesor

Suelos deformables de gran espesor

d≥

L 45

y

d

Horm igón de limpieza

d ≥ 25 cm

Hormigón de limpieza

d 45º

VIGA SOBRE LECHO ELASTICO P1

P2 q1 q2 Viga sobre apoyos elásticos

La viga sobre lecho elástico constituye el caso limite de una viga continua sobre apoyos elásticos, cuando la distancia entre los apoyos tiende a cero P1

P2

q1 q2

Viga sobre lecho elastico

P1

P2

q2

q1

Lecho elástico el medio retiene la viga cuando tiende a levantarse isótopo homogéneo 1 elástico de variación lineal yi = ∗ pi

K = C = Coeficiente de balasto

C

Kg 2 pi Kg K =C = → cm = 3 yi cm cm

VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO

b

b ∗ (q − p ) ∗ dx = b ∗ (q − C ∗ y ) ∗ dx q [Kg/cm2 ] p [Kg/cm2 ]

y =

f (x)

I

q

b ∗(q - C∗ ∗y) = j [Kg/cm]

E

C

p

x (+)

dx

ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA

L

df ( x ) dx

y'=

y" =

d 2f ( x ) M = − d x2 E∗I

y ′′′ =

y′′′′ =

y (+)

P2

d 3f ( x ) Q =− d x3 E∗I

p

x

dx

y (+)

d 4 f ( x) j 1 = = ∗ b ∗ (q − C ∗ y ) d x4 E∗I E∗I

− b∗C d4 y = ∗ y E ∗ I dx 4

P3

P1

b ∗ C = 4 ∗ a E ∗ I

4

a =

4

b ∗ C 4 ∗ E ∗ I

Para vigas con cargas aisladas donde q=0 que es el caso que ahora analizaremos

-1

-1

a=elasticidad del medio [cm ] ó [m ]

−b∗C d4 y = ∗ y E ∗I dx 4

b ∗ C = 4 ∗ a E ∗ I

a =

4

4

b ∗ C 4 ∗ E ∗ I

-1

-1

a=elasticidad del medio [cm ] ó [m ]

y = A1 ∗ e( a∗x ) ∗ sen (a ∗ x ) + A2 ∗ e( a∗x ) ∗ cos (a ∗ x ) + A3 ∗ e( − a∗x ) ∗ sen (a ∗ x ) + A4 ∗ e( − a∗x ) ∗ cos(a ∗ x )

y = e ∗ [A ∗ sen(a ∗ x ) + A ∗ cos(a ∗ x )]+ e a∗x

1

2

− a∗ x

∗ [ A3 ∗ sen(a ∗ x ) + A4 ∗ cos(a ∗ x )]

A1, A2, A3, A4, Constantes dependient es de las condicione s de borde

Vigas flotantes con una sola carga aislada en el centro L/2

P +x

C

L

+y

Condiciones de borde 1)Para x=0 2) Para x=l/2

debe ser y’=0 M=0 y Q=0 l /2

3) Además se debe cumplir

∫ 0

C ∗ b ∗ y ∗ dx =

P 2

L

P x p1

p1

p0

a =

4

b ∗ C 4 ∗ E ∗ I

λ = a∗L

λ=

0

1

2

3

π

κ M0 = κ p0 = κ1 =

1

1

0,92

0,74

0,7

1

1,01

1,18

1,64

1,71

1

0,94

0,73

0,1

0

P b∗L P∗L M 0 =κ M ∗ 8 P p1 = κ 1 ∗ b ∗ L

p =κ 0

0

∗

po crece con λ p1 disminuye con λ , y para λ =π los dos extremos de la viga se levantan en estos casos se efectúa el cálculo considerando λ ′ = a ∗ L′ y se utilizan los coeficientes de la columna λ = π

P p0

x

L′

Ejemplo de Cálculo L= b= 1,50

P=

100

E= 2100000 t/m d= C=

a=

4

5000 t/m

ton

2

0,60

λ = a∗ L =

4

0,81

κ p0 =

1,45

p =κ

κ1 =

0,37

p =κ

M

Interpolando

0

=

κ

0

1

∗

∗

P = 4,11 t/m2 b∗L

3

λ = a ∗ L = 3,971 adimensional

la fundacion se depega en los extremos, se debe utilizar

κ M0 =

0,7

κ p0 =

1,71

κ1 =

M

0

=

κ

p =κ 1

L′ =

P ∗ L′ = 8 P ∗ = 0 b ∗ L′

M0

p =κ 0

0

4

P∗L = 60,6 tm 8 P 2 ∗ = 16,11 t/m 0 b∗L

M0

1

b∗C = 0,66178 m-1 4∗ E ∗ I

como λ>π

m

2,559 adimensional

κ M0 =

Si el suelo se cambia a un valor de C= 29000 t/m

a=

b ∗ d 3 0,027 = 12

I= m

3

b∗C = 0,42644 m-1 4∗ E ∗ I

Interpolando

6,00 m

m

∗

1

∗

P = b ∗ L′

π a

= 4,747

41,54 tm

24,01 t/m

0,00 t/m

2

2

Viga flotante de longitud infinita Cargas aisladas iguales Distancias iguales entre cargas iguales

x P

P p1

P

p1

p0

P

p1

p0

p1

p0

Condiciones de borde Para x=0 y x=L/2 L/2

∫

C ∗ b ∗ y ∗ dx =

0

λ= κ0 = κ1 = κ M0 = κ M1 =

p =κ

y´=0

0

P 2

M

0

0

=−

∗

p =κ

P b∗ L

1

P∗L

κ

M

1

1

∗

=−

M0

P b∗L

P∗L

κ

M1

3π π /2

0

1

2

3

4

1

0,99

0,92

0,51

0,27

0

1

1,01

1,08

1,35

1,9

2,32

24

24,2

25,1

30,7

46

56,4

12

12,1

12,5

13,5

16

18,6

En el cuadro adjunto cuando λ=3π/2 resulta po=0 Las presiones seran negativas cuando λ>3π/2

Ejemplo de cálculo L= 6,00

L= 6,00

P[ton] = 100

P[ton] =

L= 6,00

100

P[ton] =

100

L= 6,00 P[ton] =

100

P[ton] = 100 b [cm]= 150

E= 210 t/cm2

p0

p0

p1

d=

p1 C = 5,00 Kg/cm 5000 t/m

60

cm

3

3

0,005 t/cm 3 4

3

I [cm ] = b∗ d /12 = 2700000

b ∗C = 4∗ E ∗ I

0,0043 cm

L=

600 cm

b=

κ

P ∗ = 0 b∗L

a=4

p0 =

M0 = −

P* L

κ

M0

=

0,82

λ = a∗L =

-1

150 cm Kg/cm

-21,3 tm

2

P=

100000

2,56 adim.

Kg

κ

P = p1 = 1 ∗ b∗L M1=

P*L

κ

M1

=

κο κ1 κMο κM1

1,38 Kg/cm

45,9 tm

2

= 0,74 = 1,24 = 28,20 = 13,07

Viga finita sobre lecho elástico P/2

P l b h P

[cm] = [cm] = [cm] = [Kg] =

500 200 50 60000

l 2

Condiciones de borde

I [cm ] = 2083333.33

y

x=

l → Q = −E ∗ I ∗ y′′′ = 0 → −E ∗ I ∗ y′′′ = 0 2

0.00488923 [1/cm]

(a ∗ l ) ≤ π

4

a ∗l =

+y

l x = → M = −E ∗ I ∗ y′′ = 0 → −E ∗ I ∗ y′′ = 0 2

4

a=4

P 2

K

2

E [Kg/cm ] = 210000

K ∗b = 4∗ E ∗ I

P

x T = − E ∗ I ∗ y ′′′ = −

l

3

K [Kg/cm ] = 5

+x

P/2

x = 0 → y′ = 0

π

2.44462

4

Se puede despreciar la deformación de flexión,

Viga corta

se trata de una viga rígida, y se calcula como tal Una carga en un extremo de viga, produce

< (a ∗ l ) ≤ π Viga de longitud media

un efecto no despreciable en el otro extremo Se deben calcular como vigas elásticas

(a ∗ l ) > π

Una carga actuando en un extremo de viga

Viga larga

no ocasiona efecto en el extremo opuesto. Se puede considerar como viga semi infinita

Belluzzi Tomo 1 (Ciencia de la Construcción)

y=e

ax

[A1∗ senax + A2 ∗ cos ax ] + e−ax [A3 ∗ senax + A4 ∗ cos ax ]

y′ = a ∗ e

ax

Ecuación de la elástica

[( A1 − A2 ) ∗ senax + ( A1 + A2 ) ∗ cos ax] + a ∗ e [− ( A3 + A4 ) ∗ senax + ( A3 − A4 ) ∗ cos ax]

y ′′ = 2 ∗ a ∗ e ∗ [− A 2 ∗ senax + A1 ∗ cos ax ] + 2 ∗ a ∗ e 2

ax

2

− ax

∗ [A 4 ∗ senax − A 3 ∗ cos ax ]

y ′′′ = 2 ∗ a ∗ e ∗ [− ( A1 + A2 ) ∗ senax + ( A1 − A2 ) ∗ cosax] + 2 ∗ a ∗ e 3

ax

En x=0 tenemos

3

y=e

a∗ x

P∗a A1 = ∗ C 1 = -0.0024 4∗K ∗b C1 =

y′ = ϕ

− ax

∗ A2 + e

− a∗ x

∗ A4

-0.033

y ′′ =

∗ [( A3 − A4 ) ∗ senax + ( A3 + A4 ) ∗ cosax]

y ′′′ =

−M E∗I − Q E ∗ I

según la primera ecuación del sistema

P∗a A2 = ∗ C 2 = 0.007817 4∗ K ∗b

sen(a ∗ l) + cos(a ∗ l) − e− a ∗ l = sen(a ∗ l ) + senh(a ∗ l)

− ax

Giro en radianes

C2 =

A3 =

P∗a ∗ C3 = 0.149117 4∗ K ∗b

2 − sen (a ∗ l) + cos (a ∗ l) + e− a ∗ l = sen(a ∗ l ) + senh (a ∗ l)

0.107

A4 =

P∗a ∗ C4 = 0.1545 4 ∗ K ∗b

C 3 = 2 − C1 = 2.0333

C4 = 2 + C2 =

2.10659

P∗a

y x = 0 = 4 ∗ K ∗ b ∗ [C 2 + (2 + C 2 )] C 2000.00 40.00 20.00

π/8=

π= (5∗π)/4=

0.392699 0.7854 1.0472 1.57079 1.9635 2.1598 2.356 2.44462 3.1416 3.926

0.8037 0.6081 0.4799 0.2399 0.0908 0.0314 -0.0159 -0.0333 -0.0903 -0.0582

4.094 1.559 0.938 0.366 0.189 0.143 0.115 0.107 0.090 0.082

5.09 2.5284 1.8672 1.1349 0.7659 0.6061 0.4587 0.3961 0.0000 -0.2253

(6∗π)/4= (7∗π)/4= 2π=

4.71 5.497 6.2832

-0.0186 0.0000 0.0037

0.055 0.028 0.011

-0.2755 -0.2389 -0.1732

π/4= π/3= π/2= (2,5∗π)/4= (2,75∗π)/4= (3∗π)/4= Viga en estudio

M max(

x=0)

R = ( y (x

=

) + ya ) ∗ K ∗ l ∗ b = 2

σ 0 = y(x=0) ∗ K = ya = yb =

0.1623 [cm]

0.81155

1+C2= 1.10659

2

[Kg/cm ]

P∗a ∗ C = 0.0580984 2∗K ∗b [cm]

C=

5.00

500

a ∗l a ∗l 4 cos ∗ cosh 2 2 = 0.39610 sen (a ∗ l ) + senh (a ∗ l )

P 2.00

2 σa = σb [Kg/cm ] = 0.29049198

0.8116

0.29049198

105.30

60000

P ∗ (1 − C1) = 3170035.3 [Kgcm] 4∗a

= 0

P∗ a

yx = 0 = 2 ∗ K ∗ b ∗ (1 + C2) =

vigas cortas

C2 1999.000 39.000 19.000

vigas de longitud media

C1 0.9995 0.975 0.9500

vigas largas

a ∗ l en radianes 0∗π= 0.001 0.05 0.1

[Kg]

1-C1= 1.03326883 M0= 2901122.478 σA

σ0

[Kgcm]

55102.3404 [Kg]

R / 2 [Kg] = 27551 250

Verificacion de las condiciones de borde

y=e

ax

[A1∗ senax + A2 ∗ cos ax ] + e− ax [A3 ∗ senax + A4 ∗ cos ax ] =

a = 0.00488923 A1 = -0.00243988 A2 = 0.00781703 A3 = 0.14911679 A4 = 0.15449394

a∗x= 1.222307556

x [cm] = 250

e

e

a ∗ x

0.0580984

= 3.395012884

sen ax = 0.939889837

− a ∗ x = 0.294549692

cos ax = 0.341477809

{

}

M = − E ∗ I ∗ 2 ∗ a 2 ∗ eax ∗ [− A 2 ∗ senax + A1 ∗ cos ax ] + 2 ∗ a 2 ∗ e − ax ∗ [A 4 ∗ senax − A 3 ∗ cos ax ] = 2 a = 2

0.000023905

ax

2∗a ∗e = 0.000162313 2

-ax

2∗a ∗e

= 0.000014082

2

E [Kg/cm ] = 210000 4

I [cm ] = 2083333.33

0.00000

-A2∗sen ax+A1∗cos ax = -0.008180313 A4∗sen ax-A3∗cos ax = 0.094287205

2

E∗I [Kg∗cm ] = 4.375E+11

Q = −E ∗ I ∗ { 2 ∗ a3 ∗ eax ∗[− ( A1 + A2) ∗ senax + ( A1 − A2) ∗ cos ax ] + 2 ∗ a3 ∗ e−ax ∗ [( A3 − A4) ∗ senax + ( A3 + A4) ∗ cos ax ]} = 0.000 3

ax

2∗a ∗e = 0.000000794 3 a = 0.000000117

-(A1+A2)∗sen ax = (A1-A2)∗cos ax =

-0.005053924 -0.003502508

3

-ax

2∗a ∗e

= 0.00000007

(A3-A4)∗sen ax = -0.00505392 (A3+A4)∗cos ax = 0.10367633

Viga de Longitud Finita "L" solicitada por carga aislada "P" L Xi X0 P O A

B L/10 L/10 L/10

L/10 L/10

L/10

Curva

η Po

Curva

η Mo

po=(η η P∗P) / (b∗L)

+

-

-

η Qo +

M o = η M ∗P∗L

+ η Qod

Curva

η Qor

+

-

Qo = ηQ ∗P

∗

a=4

b ∗C 4∗E ∗ I

a = Elasticidad del medio

λ = a∗L

-1

[cm ]

λ

-1

[m ]

Distancia elástica

Tabla

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

λ=

0

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

6

7

8

si se considera el peso propio de la viga

Tabla 8 valida para λ = a ∗ L = 2,5 Xi / L Línea de estado con carga P a la distancia

Léase horizontalmente

Xo / L

0 0,1 0,2 0,3

Valores de influencia en los puntos i

0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

(Léase verticalmente)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

5,18 0 -1 3,93 -7,62 -0,545 2,79 -11,3 -0,21 1,83 -12,16 0,02 1,05 -11,19 0,102 0,45 -9,14 0,236 -0,01 -6,64 0,257 -0,37 -4,15 0,237 -0,66 -2,01 0,184 -0,092 -0,55 0,105 -1,18 0 0

3,93 0 0 3,21 1,85 -0,643 2,48 -3,1 -0,359 1,79 -5,56 -0,145 1,19 -6,22 0,003 0,69 -5,68 0,096 0,27 -4,45 0,144 -0,08 -2,93 0,153 -0,38 -1,4 0,13 -0,71 -0,42 0,079 -0,92 0 0

2,79 0 0 2,48 1,34 0,264 2,14 5,17 -0,505 1,74 1,12 -0,31 1,33 -1,18 -0,157 0,93 -2,15 -0,045 0,56 -2,2 0,029 0,23 -1,68 0,068 -0,08 -0,94 0,075 -0,38 -0,28 0,052 -0,66 0 0

1,83 0 0 1,79 0,91 0,181 1,74 3,61 0,358 1,63 8,05 -0,472 1,42 4,11 -0,319 1,14 1,59 -0,19 0,84 0,21 -0,091 0,53 -0,33 -0,023 0,23 -0,35 0,015 -0,08 0,14 0,022 -0,37 0 0

1,05 0 0 1,19 0,55 0,112 1,33 2,29 0,238 1,42 5,36 0,376 1,43 9,84 -0,48 1,31 5,73 -0,342 1,1 2,93 -0,221 0,84 1,23 0,124 0,56 0,35 -0,054 0,27 0,04 -0,013 -0,01 0 0

0,45 0 0 0,69 0,26 0,057 0,93 1,22 0,138 1,14 3,09 0,241 1,31 6,11 0,365 1,38 10,43 -0,5 1,31 6,11 -0,365 1,14 3,09 -0,241 0,93 1,22 -0,138 0,69 0,26 -0,057 0,45 0 0

-0,01 0 0 0,27 0,04 0,013 0,56 0,35 0,054 0,84 1,23 0,124 1,1 2,03 0,221 1,31 5,73 0,342 1,43 9,84 -0,52 1,42 5,36 -0,376 1,33 2,29 -0,238 1,19 0,55 -0,112 1,05 0 0

-0,37 0 0 -0,08 -0,14 -0,022 0,23 -0,35 -0,015 0,53 -0,33 0,023 0,84 0,21 0,091 1,14 1,59 0,19 1,42 4,11 0,319 1,63 8,05 -0,528 1,74 3,61 -0,358 1,79 0,91 -0,181 1,83 0 0

-0,66 0 0 -0,08 -0,14 -0,052 -0,08 -0,94 -0,075 0,23 -1,68 -0,068 0,56 -2,2 -0,29 0,93 -2,15 0,045 1,33 -1,18 0,157 1,74 1,12 0,31 2,14 5,17 -0,495 2,48 1,34 -0,264 2,79 0 0

-0,92 0 0 -0,71 -0,42 -0,079 -0,38 -1,49 -0,13 -0,08 -2,93 -0,153 0,27 -4,45 -0,144 0,69 -5,68 -0,096 1,19 -6,22 -0,003 1,79 -5,56 0,145 2,48 -3,1 0,359 3,21 1,85 -0,357 3,93 0 0

-1,18 0 0 -0,92 -0,55 -0,105 -0,66 -2,01 -0,184 -0,37 -4,15 -0,237 -0,01 -6,64 -0,257 0,45 -9,14 -0,236 1,05 -11,19 -0,162 1,83 -12,16 -0,02 2,79 -11,3 0,21 3,93 -7,62 0,545 5,18 0 1

Viga flotante de longitud infinita sometida a una sola carga aislada P

x

y p0 -

p0 -

Curva p

p0 + M

M0

+

M

Curva M

Curva M

Q=0 Q=0

-

Q=0

Viga flotante de longitud infinita sometida a una sola carga puntual y=e

ax

[ A1∗ senax + A2 ∗ cos ax] + e− ax [A3 ∗ senax + A4 ∗ cos ax] = 0 Función creciente

→0 y =0→

cuando x → ∞

A1 = A2 = 0

y = e − ax [ A3 ∗ sen ax + A 4 ∗ cos ax ] = 0 A3 = ?

Ecuación de la elástica de una viga infinita para sus condiciones de borde

A4 = ?

y ′ = − a ∗ e − a ∗ x ∗ ( A3 ∗ cos ax + A4 ∗ senax + A3 ∗ sen ax − A4 ∗ cos ax ) = 0 0 − a∗x

y = A3 ∗ e

− a∗x

y = A3 ∗ e

∗ (cos ax + sen ax )

y ′ = −2 ∗ a ∗ A3 ∗ e

y ′′ = 2 ∗ a ∗ A3∗ e 2

−ax

Aun desconozco A3 pero ahora se que A3 = A4

∗ sen ax

∗ (sen ax − cosax) =

−M E∗I

−Q E ∗I

P 4 ∗ a 3 ∗ A3 ∗ e −ax ∗ cos ax ∗ E ∗ I = 2 1

4 ∗ a 3 ∗ A 3 ∗ e − ax ∗ E ∗ I = P 8 ∗ a3 ∗ E ∗ I − a ∗x

y = A3 ∗ e

A3 = A4

Aun desconozco A3 pero ahora se que A3 = A4

y′′′ = 4 ∗ a3 ∗ A3∗ e− ax ∗ cos ax =

A3 =

y′ →0 cuando x →0

0

∗ (cos ax + sen ax )

− ax

y →0 cuando x →∞

Función decreciente

a =

4

∗ (cos ax + sen ax )

para x = 0

Q = - P/2

para x = 0

cos ax = 1

P 2

K ∗b 4∗E ∗I

a y=

4

=

K ∗b 4∗E ∗I

E∗I =

K ∗b 4 a4

(sen ax + cos ax ) P ∗a ∗ a∗ x 2∗ K ∗b e

A3 =

P 8 ∗ a3 ∗

K ∗b 4 a4

=

P ∗a 2∗K ∗b

p=K∗y=

P ∗ a (sen ax + cos ax) ∗ a∗x 2∗b e

y′ = 2 ∗ a2 ∗ A3∗e−ax ∗(sen ax − cosax) =

ηp =

(sen ax + cos ax )

e

a∗x

p =

P∗a ∗ηP 2∗b

p (-)

−M E∗I

M = E ∗ I ∗ 2 ∗ a ∗ A3 ∗ e ∗ (cos ax − sen ax ) 2

M=

− ax

K ∗b P ∗a −ax ∗2 ∗ a2 ∗ ∗ ∗(cos ax− senax) 4 ∗a4 2 ∗ K ∗b e

M=

P (cos ax − sen ax ) ∗ ax 4∗a e

a=

y′′′ = 4 ∗ a3 ∗ A3∗ e− ax ∗cos ax = 4 ∗ E ∗ I ∗a ∗ 3

4∗

4

K ∗b 4∗E ∗I

A3 =

P∗a 2∗K ∗b

ηM =

E ∗I =

K ∗b 4 a4

(cos ax − sen ax )

e

ax

P M= ∗ηM 4∗a

-

tracción superior

+

tracción superior

−Q E ∗I

P ∗a −ax ∗ ∗ cos ax = −Q 2∗K ∗b e

K ∗b 3 P ∗a −ax ∗a ∗ ∗ ∗ cos ax = −Q 4 ∗ a4 2 ∗ K ∗b e

P cos ax Q = − ∗ ax 2 e

a=

4

K ∗b 4∗E ∗I

ηQ =

cos ax

e

ax

P Q = − ∗ηQ 2

+

p=−

P ∗ a  cos(a ∗ x) + sen( a ∗ x )   ∗ 2∗b   ea ∗ x 

ea∗∗x

c ∗b a=4 4 ∗E ∗I

  cos( a ∗ x ) + sen( a ∗ x )  =    ea ∗ x  

ηP

a∗x [G. Sex.]

a∗x [Radiam]

a∗x [adim]

0

0

0

1

1

1.000

180

0.0000

-1.0000

23.141

π / 36

0.087

0.0872

0.9962

1.091

0.993

185

π ∗π) / 36 (37∗π ∗π

3.142

5

3.229

-0.0872

-0.9962

25.251

0.036

10

π / 18

0.175

0.1736

0.9848

1.191

0.973

190

(19∗π ∗π) ∗π / 18

3.316

-0.1736

-0.9848

27.553

0.029

195º

(13∗π ∗π) ∗π / 12

200

0.262

0.2588

0.9659

1.299

0.943

3.403

-0.2588

cos(a∗ ∗x)

ηP

a∗x [Radiam]

0º

π / 12

sen(a∗ ∗x)

ea∗∗x

a∗x [G. Sex.]

15º

a ∗ x sen( a∗ ∗ x ) cos( a∗ ∗x ) [adim]

ηp

-0.9659

30.066

0.043

0.024

20º

π/9

25º

(5∗ π) / 36

0.436

0.4226

0.9063

1.547

0.859

205

(10∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (41∗π ∗π /36

3.578

-0.4226

-0.9063

35.799

0.014

30º

π/6

0.524

0.5000

0.8660

1.688

0.809

210º

(7∗π ∗π) ∗π / 6

3.665

-0.5000

-0.8660

39.064

0.009

35

(7∗π ∗π) ∗π / 36

0.611

215

(43∗π ∗π) ∗π /3 6

3.752

40

(2∗π ∗π) ∗π / 9 π/4

0.698

0.6428

0.7660

2.010

0.701

220

-0.6428

-0.7660

46.513

0.003

0.7071

0.7071

2.193

0.645

225º

(11∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 4 (5∗π ∗π

3.840

0.785

3.927

-0.7071

-0.7071

50.754

0.000

45º 50

(5∗π ∗π) ∗π / 18

0.349

0.873

0.3420

0.5736

0.7660

0.9397

0.8192

0.6428

1.418

1.842

2.393

0.904

0.756

0.589

230

(23∗π ∗π) ∗π /18

3.491

4.014

-0.3420

-0.5736

-0.7660

-0.9397

32.808

-0.8192

42.626

-0.6428

55.382

0.018

0.006

-0.002

55

(11∗π ∗π) ∗π / 36

0.960

0.533

235

(47∗π ∗π) ∗π /36

4.102

60º

π/3 ∗π) (13∗π ∗π / 36

1.047

0.8660

0.5000

2.850

0.479

240º

-0.8660

-0.5000

65.943

-0.006

0.9063

0.4226

3.110

0.427

245

(4∗π ∗π) ∗π / 3 ∗π) (49∗π ∗π /36

4.189

1.134

4.276

-0.9063

-0.4226

71.956

-0.007

65

0.8192

0.5736

2.612

-0.8192

-0.5736

60.432

-0.004

70

(7∗π ∗π) ∗π / 18

0.378

250

(25∗π ∗π) ∗π / 18

75º

(5∗π ∗π) ∗π / 12

1.309

0.9659

0.2588

3.702

0.331

255º

(17∗π ∗π) ∗π / 12

4.451

80

(4∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 36 (17∗π ∗π

1.396

0.9848

0.1736

4.040

0.287

260

-0.9848

-0.1736

93.490

-0.009

0.9962

0.0872

4.408

0.246

265

(13∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (53∗π ∗π /36

4.538

1.484

4.625

-0.9962

-0.0872

102.015

-0.009

85

1.222

0.9397

0.3420

3.393

4.363

-0.9397 -0.9659

-0.3420

78.518

-0.2588

85.677

-0.008 -0.008

90º

π/2

1.571

1.0000

0.0000

4.810

0.208

270º

(3∗π ∗π) ∗π / 2

95

(19∗π ∗π) ∗π / 36

1.658

0.9962

-0.0872

5.249

0.173

275

(55∗π ∗π) ∗π /36

4.800

-0.9962

0.0872

121.469

-0.009

100

(5∗π ∗π) ∗π / 9 (7∗π) / 12

1.745

0.9848

-0.1736

5.728

0.142

280

(14∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 12 (19∗π ∗π

4.887

-0.9848

0.1736

132.545

-0.009

105º

1.833

0.9659

-0.2588

6.250

0.113

285º

4.712

4.974

-1.0000

-0.9659

0.0000

111.318

0.2588

144.631

-0.009

-0.008

110

(11∗π ∗π) ∗π / 18

290

(29∗π ∗π) ∗π / 18

115

(23∗π ∗π) ∗π / 36

2.007

0.9063

-0.4226

7.442

0.065

295

(59∗π ∗π) ∗π / 36

5.149

-0.9063

0.4226

172.211

-0.008

120

2.094

0.8660

-0.5000

8.121

0.045

300º

5.236

-0.8660

0.5000

187.915

-0.007

125

(2∗π ∗π) ∗π / 3 ∗π) / 36 (25∗π ∗π

1.920

0.9397

-0.3420

6.820

0.088

5.061

-0.9397

0.3420

157.820

-0.008

2.182

0.8192

-0.5736

8.861

0.028

305

(5∗π ∗π) ∗π / 3 ∗π) /36 (61∗π ∗π

130

(13∗π ∗π) ∗π / 18

2.269

0.7660

-0.6428

9.669

0.013

310

(31∗π ∗π) ∗π /18

5.411

-0.7660

0.6428

223.748

-0.006

135º

(3∗π ∗π) ∗π / 4

2.356

0.7071

-0.7071

10.551

0.000

315º

(7∗π ∗π) ∗π / 4

5.498

-0.7071

0.7071

244.151

-0.006

140

(7∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 36 (29∗π ∗π

2.443

0.6428

-0.7660

11.513

-0.011

320

(16∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 36 (65∗π ∗π

5.585

-0.6428

0.7660

266.415

-0.005

145

-0.020

325

(5∗π ∗π) ∗π / 6

2.618

0.5000

-0.8660

13.708

-0.027

330º

(11∗π ∗π) ∗π / 6

2.705

0.4226

-0.9063

14.958

-0.032

335

(67∗π ∗π) ∗π /36

5.847

-0.4226

0.9063

346.143

-0.004

(8∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 12 (11∗π ∗π

2.793

0.3420

-0.9397

16.322

-0.037

340

(17∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 12 (23∗π ∗π

5.934

-0.3420

0.9397

377.707

-0.003

17.811

-0.040

345º

5.672 5.760

6.021

-0.5736 -0.5000

-0.2588

0.8192

290.708

-0.007

(31∗π ∗π) ∗π / 36

-0.9659

12.563

205.050

160

0.2588

-0.8192

0.5736

155

2.880

0.5736

-0.8192

150º

165º

2.531

5.323

0.8660

317.217

0.9659

412.149

-0.005 -0.004

-0.003

170

∗π) (17∗π ∗π / 18

350

∗π) (35∗π ∗π / 18

6.109

-0.1736

0.9848

449.732

-0.003

175

(35∗π ∗π) ∗π / 36

3.054

0.0872

-0.9962

21.207

-0.043

355

-0.0872

0.9962

490.742

-0.002

π

3.142

0.0000

-1.0000

23.141

-0.043

360º

(71∗π ∗π) ∗π / 36 2∗π ∗π

6.196

180

6.283

0.0000

1.0000

535.492

-0.002

2.967

0.1736

-0.9848

19.435

-0.042

Distancia Elastica

Ordenadas de influencia de la reacción "p" de una carga P en el centro de la base

a∗X

− ηP

0 π / 36

0 0.09 0.17 0.26 0.35 0.44 0.52 0.61 0.70 0.79 0.87 0.96 1.05 1.13 1.22 1.31 1.40 1.48 1.57 1.66 1.75 1.83 1.92 2.01 2.09 2.18 2.27 2.36 2.44 2.53 2.62 2.71 2.79 2.88 2.97 3.05 3.14

-1.000 -0.993 -0.973 -0.943 -0.904 -0.859 -0.809 -0.756 -0.701 -0.645 -0.589 -0.533 -0.479 -0.427 -0.378 -0.331 -0.287 -0.246 -0.208 -0.173 -0.142 -0.113 -0.088 -0.065 -0.045 -0.028 -0.013 0.000 0.011 0.020 0.027 0.032 0.037 0.040 0.042 0.043 0.043

π / 18 π / 12 π/9 (5∗ π) / 36

0.200 Ordenada de influencia de la reacción

[Radiam]

π/6 (7∗π ∗π) ∗π / 36 (2∗π ∗π) ∗π / 9

0.000

π/4 (5∗π ∗π) ∗π / 18 (11∗π ∗π) ∗π / 36

-0.200

π/3 (13∗π ∗π) ∗π / 36

-0.400

(7∗π ∗π) ∗π / 18 (5∗π ∗π) ∗π / 12 (4∗π ∗π) ∗π / 9

-0.600

(17∗π ∗π) ∗π / 36 π/2

-0.800

(19∗π ∗π) ∗π / 36

-1.000

(11∗π ∗π) ∗π / 18

-1.200

(25∗π ∗π) ∗π / 36

(5∗π ∗π) ∗π / 9 (7∗π) / 12 (23∗π ∗π) ∗π / 36 (2∗π ∗π) ∗π / 3

Distancia elástica a*x

(13∗π ∗π) ∗π / 18 (3∗π ∗π) ∗π / 4 (7∗π ∗π) ∗π / 9 (29∗π ∗π) ∗π / 36 (5∗π ∗π) ∗π / 6 (31∗π ∗π) ∗π / 36 (8∗π ∗π) ∗π / 9 (11∗π ∗π) ∗π / 12 (17∗π ∗π) ∗π / 18 (35∗π ∗π) ∗π / 36 π

M =−

 cos(a ∗ x ) − sen (a ∗ x )  P  ∗ 4∗a   ea ∗ x  

M=

1 ∗ P ∗ ηM 40 ∗ a

η

M

10

 cos (a ∗ x ) − sen =  a ∗ x  e 

(a

 ∗ x )  

a = 4

c ∗b 4 ∗E ∗I

a∗x [G. Sex.]

a∗x [Radiam]

a∗x [G. Sex.]

a∗x [Radiam]

a∗x [adim]

sen(a∗ ∗x)

cos(a∗ ∗x)

ea∗∗x

0º

0

0

1

1

10

180

0.0000

-1.0000

23.141

0.432

0.0872

0.9962

1.091

8.331

185

3.229

-0.0872

-0.9962

25.251

0.360

0.175

0.1736

0.9848

1.191

6.813

190

π (37∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) / 18 (19∗π ∗π

3.142

0.087

10

0 π / 36 π / 18

3.316

-0.1736

-0.9848

27.553

15º

π / 12

0.262

0.2588

0.9659

1.299

5.442

195º

∗π) (13∗π ∗π / 12

3.403

-0.2588

-0.9659

30.066

5

a ∗ x sen( a∗ ∗x ) cos( a∗ ∗x ) [adim]

ea∗∗x

ηM

ηM 0.294 0.235

20º

π/9

0.349

0.3420

0.9397

1.418

4.216

200

(10∗π ∗π) ∗π / 9

3.491

-0.3420

-0.9397

32.808

0.182

25º

(5∗π) / 36

0.436

0.4226

0.9063

1.547

3.127

205

3.578

-0.4226

-0.9063

35.799

0.135

30º

π/6

0.524

0.5000

0.8660

1.688

2.168

210º

(41∗π ∗π) ∗π /36 ∗π) / 6 (7∗π ∗π

3.665

-0.5000

-0.8660

39.064

0.094

35

(7∗π ∗π) ∗π / 36

0.611

0.5736

0.8192

1.842

1.333

215

(43∗π ∗π) ∗π /3 6

3.752

-0.5736

-0.8192

42.626

0.058

40

0.698

0.6428

0.7660

2.010

0.613

220

-0.6428

-0.7660

46.513

0.785

0.7071

0.7071

2.193

0.000

225º

(11∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (5∗π ∗π / 4

3.840

45º

(2∗π ∗π) ∗π / 9 π/4

3.927

-0.7071

-0.7071

50.754

0.000

50

∗π) (5∗π ∗π / 18

0.873

0.7660

0.6428

2.393

-0.515

230

∗π) (23∗π ∗π /18

4.014

-0.7660

-0.6428

55.382

-0.022

0.026

55

(11∗π ∗π) ∗π / 36

0.960

0.8192

0.5736

2.612

-0.940

235

(47∗π ∗π) ∗π /36

4.102

60º

π/3 ∗π) (13∗π ∗π / 36

1.047

0.8660

0.5000

2.850

-1.284

240º

-0.8660

-0.5000

65.943

-0.056

1.134

0.9063

0.4226

3.110

-1.556

245

(4∗π ∗π) ∗π / 3 ∗π) (49∗π ∗π /36

4.189

65

4.276

-0.9063

-0.4226

71.956

-0.067

70

(7∗π ∗π) ∗π / 18

1.222

0.9397

0.3420

3.393

-1.761

250

(25∗π ∗π) ∗π / 18

4.363

-0.9397

-0.3420

78.518

-0.076

(5∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) / 9 (4∗π ∗π

1.309

0.9659

0.2588

3.702

-1.910

255º

-0.9659

-0.2588

85.677

-0.083

1.396

0.9848

0.1736

4.040

-2.008

260

(17∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) / 9 (13∗π ∗π

4.451

80

4.538

-0.9848

-0.1736

93.490

85

∗π) (17∗π ∗π / 36

1.484

0.9962

0.0872

4.408

-2.062

265

∗π) (53∗π ∗π /36

4.625

-0.9962

-0.0872

102.015

-0.089

90º

π/2

1.571

1.0000

0.0000

4.810

-2.079

270º

(3∗π ∗π) ∗π / 2

4.712

-1.0000

0.0000

111.318

-0.090

95

-0.9962

0.0872

121.469

-0.089

75º

-0.8192

-0.5736

60.432

-0.041

-0.087

(19∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) / 9 (5∗π ∗π

0.9848

-0.1736

5.728

-2.023

280

(55∗π ∗π) ∗π /36 ∗π) / 9 (14∗π ∗π

4.800

1.745

4.887

-0.9848

0.1736

132.545

-0.087

105º

(7∗ π) / 12

1.833

0.9659

-0.2588

6.250

-1.960

285º

(19∗π ∗π) ∗π / 12

4.974

-0.9659

0.2588

144.631

-0.085

110

1.920

0.9397

-0.3420

6.820

-1.879

290

-0.9397

0.3420

157.820

-0.081

2.007

0.9063

-0.4226

7.442

-1.786

295

(29∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) / 36 (59∗π ∗π

5.061

115

(11∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) / 36 (23∗π ∗π

5.149

-0.9063

0.4226

172.211

-0.077

120

∗π) (2∗π ∗π / 3

2.094

0.8660

-0.5000

8.121

-1.682

300º

∗π) (5∗π ∗π / 3

5.236

-0.8660

0.5000

187.915

125

2.182

0.8192

-0.5736

8.861

-1.572

305

-0.8192

0.5736

205.050

2.269

0.7660

-0.6428

9.669

-1.457

310

(61∗π ∗π) ∗π /36 ∗π) /18 (31∗π ∗π

5.323

130

(25∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) / 18 (13∗π ∗π

5.411

-0.7660

0.6428

223.748

-0.063

135º

∗π) (3∗π ∗π / 4

2.356

0.7071

-0.7071

10.551

-1.340

315º

∗π) (7∗π ∗π / 4

5.498

-0.7071

0.7071

244.151

-0.058

0.6428

-0.7660

11.513

-1.224

5.585

-0.6428

0.7660

266.415

-0.053

100

1.658

0.9962

-0.0872

5.249

-2.064

275

-0.073 -0.068

140

(7∗π ∗π) ∗π / 9

2.443

320

(16∗π ∗π) ∗π / 9

145

(29∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) / 6 (5∗π ∗π

2.531

0.5736

-0.8192

12.563

-1.109

325

150º

2.618

0.5000

-0.8660

13.708

-0.997

330º

(65∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) / 6 (11∗π ∗π

5.760

-0.5000

0.8660

317.217

-0.043

155

(31∗π ∗π) ∗π / 36

2.705

0.4226

-0.9063

14.958

-0.888

335

(67∗π ∗π) ∗π /36

5.847

-0.4226

0.9063

346.143

-0.038

160

2.793

0.3420

-0.9397

16.322

-0.785

340

-0.3420

0.9397

377.707

-0.034

2.880

0.2588

-0.9659

17.811

-0.688

345º

(17∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 12 (23∗π ∗π

5.934

165º

(8∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) / 12 (11∗π ∗π

6.021

-0.2588

0.9659

412.149

-0.030

170

∗π) (17∗π ∗π / 18

2.967

0.1736

-0.9848

19.435

-0.596

350

∗π) (35∗π ∗π / 18

6.109

-0.1736

0.9848

449.732

175

(35∗π ∗π) ∗π / 36

3.054

0.0872

-0.9962

21.207

-0.511

355

6.196

-0.0872

0.9962

490.742

-0.022

180

π

3.142

0.0000

-1.0000

23.141

-0.432

360º

(71∗π ∗π) ∗π / 36 2∗π ∗π

6.283

0.0000

1.0000

535.492

-0.019

5.672

-0.5736

0.8192

290.708

Distancia Elastica

a∗X

ηM

0

0 0.09 0.17 0.26 0.35 0.44 0.52 0.61 0.70 0.79 0.87 0.96 1.05 1.13

-10 -8.33 -6.81 -5.44 -4.22 -3.13 -2.17 -1.33 -0.61 0.00 0.52 0.94 1.28 1.56

1.22 1.31 1.40 1.48 1.57 1.66 1.75 1.83 1.92 2.01 2.09 2.18

1.76 1.91 2.01 2.06 2.08 2.06 2.02 1.96 1.88 1.79 1.68 1.57

2.27 2.36 2.44 2.53 2.62 2.71 2.79 2.88 2.97 3.05 3.14

1.46 1.34 1.22 1.11 1.00 0.89 0.79 0.69 0.60 0.51 0.43

π / 18 π / 12 π/9 (5∗ π ) / 36 π/6 ∗π) (7∗π ∗π / 36 (2∗π ∗π) ∗π / 9

Ordenada de influencia del Momento

4

π/4 ∗π) (5∗π ∗π / 18

2

(11∗π ∗π) ∗π / 36 π/3 ∗π) (13∗π ∗π / 36

0

∗π) (7∗π ∗π / 18 ∗π) (5∗π ∗π / 12

-2

∗π) (4∗π ∗π / 9 (17∗π ∗π) ∗π / 36 π/2

-4 Serie1

-6

∗π) (19∗π ∗π / 36 (5∗π ∗π) ∗π / 9 (7∗π) / 12 ∗π) (11∗π ∗π / 18

-8

(23∗π ∗π) ∗π / 36 (2∗π ∗π) ∗π / 3 ∗π) (25∗π ∗π / 36

-10

∗π) (13∗π ∗π / 18 ∗π) (3∗π ∗π / 4

-12

∗π) (7∗π ∗π / 9

Distancia elástica a*x

-0.026

[Radiam] π / 36

Ordenada de influencia del momento para una carga P en el centro de la base

-0.048

(29∗π ∗π) ∗π / 36 (5∗π ∗π) ∗π / 6 ∗π) (31∗π ∗π / 36 (8∗π ∗π) ∗π / 9 (11∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) / 18 (17∗π ∗π ∗π) (35∗π ∗π / 36 π

Q=−

P  cos(a ∗ x)   ∗ 2  ea ∗ x   

a∗x [G. Sex.]

a∗x [Radiam]

0º

0

5

π / 36

ηQ

∗x ) cos( a∗ ∗x ) a ∗ x sen( a∗ [adim] 0 0.087

0 0.0872

1

ea∗∗ x 1

0.9962

1.091

  cos( a ∗ x )  =   ea ∗ x   

ηQ 1 0.9129

a= 4

c ∗b 4 ∗E ∗I

a∗x [G. Sex.]

a∗x [Radiam]

a∗x [adim]

∗x) sen(a∗

∗x) cos(a∗

ea∗∗x

ηQ

180

π ∗π) / 36 (37∗π ∗π

3.142

0.0000

-1.0000

23.141

-0.043

185

3.229

-0.0872

-0.9962

25.251

-0.039

10

π / 18

0.175

0.8271

190

(19∗π ∗π) ∗π / 18

3.316

-0.1736

-0.9848

27.553

-0.036

15º

π / 12 π/9

0.262

0.2588

0.9659

1.299

0.7434

195º

-0.2588

-0.9659

30.066

-0.032

0.3420

0.9397

1.418

0.6628

200

(13∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) / 9 (10∗π ∗π

3.403

0.349

3.491

-0.3420

-0.9397

32.808

-0.029

20º

0.1736

0.9848

1.191

25º

(5∗π π ) / 36

0.436

0.4226

0.9063

1.547

0.5858

205

(41∗π ∗π) ∗π /36

3.578

-0.4226

-0.9063

35.799

-0.025

30º

π/6 ∗π) (7∗π ∗π / 36

0.524

0.5000

0.8660

1.688

0.5130

210º

-0.5000

-0.8660

39.064

-0.022

0.5736

0.8192

1.842

0.4447

215

(7∗π ∗π) ∗π / 6 ∗π) (43∗π ∗π /3 6

3.665

0.611

3.752

-0.5736

-0.8192

42.626

-0.019

∗π) (2∗π ∗π / 9

0.698

0.6428

0.7660

2.010

0.3811

220

0.3224

35 40

∗π) (11∗π ∗π / 9

3.840

-0.6428

-0.7660

46.513

-0.016

45º

π/4

0.785

225º

(5∗π ∗π) ∗π / 4

3.927

50

(5∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) (11∗π ∗π / 36

0.873

0.7660

0.6428

2.393

0.2686

230

-0.7660

-0.6428

55.382

-0.012

0.960

0.8192

0.5736

2.612

0.2196

235

(23∗π ∗π) ∗π /18 ∗π) (47∗π ∗π /36

4.014

55

4.102

-0.8192

-0.5736

60.432

-0.009

60º

π/3

1.047

0.8660

0.5000

2.850

0.1755

240º

∗π) (4∗π ∗π / 3

4.189

-0.8660

-0.5000

65.943

-0.008

65

(13∗π ∗π) ∗π / 36

1.134

245

(49∗π ∗π) ∗π /36

4.276

70

(7∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) (5∗π ∗π / 12

1.222

0.9397

0.3420

3.393

0.1008

250

-0.9397

-0.3420

78.518

-0.004

0.9659

0.2588

3.702

0.0699

255º

(25∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) (17∗π ∗π / 12

4.363

1.309

4.451

-0.9659

-0.2588

85.677

-0.003

80

(4∗π ∗π) ∗π / 9

1.396

0.9848

0.1736

4.040

0.0430

260

(13∗π ∗π) ∗π / 9

4.538

-0.9848

-0.1736

93.490

-0.002

85

1.484

0.9962

0.0872

4.408

0.0198

265

-0.9962

-0.0872

102.015

-0.001

1.571

1.0000

0.0000

4.810

0.0000

270º

(53∗π ∗π) ∗π /36 ∗π) / 2 (3∗π ∗π

4.625

90º

(17∗π ∗π) ∗π / 36 π/2

4.712

-1.0000

0.0000

111.318

0.000

95

∗π) (19∗π ∗π / 36

1.658

0.9962

-0.0872

5.249

-0.0166

275

∗π) (55∗π ∗π /36

4.800

-0.9962

0.0872

121.469

0.001

100

(5∗π ∗π) ∗π / 9

1.745

0.9848

-0.1736

5.728

-0.0303

280

(14∗π ∗π) ∗π / 9

4.887

-0.9848

0.1736

132.545

-0.0414

285º

75º

0.7071

0.9063

0.7071

0.4226

2.193

3.110

0.1359

-0.7071

-0.9063

-0.7071

-0.4226

50.754

71.956

-0.014

-0.006

0.001

110

(7∗π) / 12 ∗π) (11∗π ∗π / 18

1.920

0.9397

-0.3420

6.820

-0.0501

290

(19∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) (29∗π ∗π / 18

5.061

-0.9397

0.3420

157.820

0.002

115

∗π) (23∗π ∗π / 36

2.007

0.9063

-0.4226

7.442

-0.0568

295

∗π) (59∗π ∗π / 36

5.149

-0.9063

0.4226

172.211

0.002

-0.0616

105º

1.833

0.9659

-0.2588

6.250

4.974

-0.9659

0.2588

144.631

0.002

120

(2∗π ∗π) ∗π / 3

2.094

300º

(5∗π ∗π) ∗π / 3

5.236

125

(25∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) (13∗π ∗π / 18

2.182

0.8192

-0.5736

8.861

-0.0647

305

-0.8192

0.5736

205.050

0.003

0.7660

-0.6428

9.669

-0.0665

310

(61∗π ∗π) ∗π /36 ∗π) (31∗π ∗π /18

5.323

2.269

5.411

-0.7660

0.6428

223.748

0.003

130

0.8660

-0.5000

8.121

135º

(3∗π ∗π) ∗π / 4

140

(7∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (29∗π ∗π / 36

2.443

145

2.531

0.5736

-0.8192

12.563

-0.0652

150º

∗π) (5∗π ∗π / 6

2.618

0.5000

-0.8660

13.708

-0.0632

(31∗π ∗π) ∗π / 36

2.705

0.4226

-0.9063

14.958

-0.0606

335

155

2.356

0.7071 0.6428

-0.7071 -0.7660

10.551 11.513

-0.0670 -0.0665

-0.8660

0.5000

187.915

0.003

315º

(7∗π ∗π) ∗π / 4

5.498

320

(16∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (65∗π ∗π / 36

5.585

-0.6428

0.7660

266.415

0.003

325

5.672

-0.5736

0.8192

290.708

0.003

330º

∗π) (11∗π ∗π / 6

5.760

-0.5000

0.8660

317.217

0.003

(67∗π ∗π) ∗π /36

5.847

-0.4226

0.9063

346.143

0.003

-0.7071

0.7071

244.151

0.003

(8∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (11∗π ∗π / 12

2.793

-0.0576

340

165º

2.880

0.2588

-0.9659

17.811

-0.0542

345º

(17∗π ∗π) ∗π / 9 ∗π) (23∗π ∗π / 12

170

∗π) (17∗π ∗π / 18

2.967

0.1736

-0.9848

19.435

-0.0507

350

∗π) (35∗π ∗π / 18

6.109

-0.1736

0.9848

449.732

0.002

175

(35∗π ∗π) ∗π / 36

3.054

0.0872

-0.9962

21.207

-0.0470

355

6.196

-0.0872

0.9962

490.742

0.002

180

π

3.142

0.0000

-1.0000

23.141

-0.0432

360º

(71∗π ∗π) ∗π / 36 2∗π ∗π

6.283

0.0000

1.0000

535.492

0.002

160

0.3420

-0.9397

16.322

5.934 6.021

Ordenada de influencia del esfuerzo de Corte cuando la carga P esta en el centro de la fundación

Ordenada influencia de Q

0.20 0.00 0.00 -0.20

1.00

2.00

3.00

4.00

-0.40 Serie1

-0.60 -0.80 -1.00 -1.20 Distancia elástica a*x

-0.3420 -0.2588

0.9397 0.9659

377.707 412.149

0.002 0.002

− ηQ

a∗x

Distancia

[Radiam] 0 π / 36 π / 18 π / 12 π/9 π) / 36 (5∗π π/6 (7∗π ∗π) ∗π / 36 ∗π) (2∗π ∗π / 9 π/4 ∗π) (5∗π ∗π / 18 (11∗π ∗π) ∗π / 36 π/3

Elastica 0.00 0.09 0.17 0.26 0.35 0.44 0.52 0.61 0.70 0.79 0.87 0.96 1.05

∗π) (13∗π ∗π / 36 (7∗π ∗π) ∗π / 18 (5∗π ∗π) ∗π / 12 ∗π) (4∗π ∗π / 9 (17∗π ∗π) ∗π / 36 π/2 (19∗π ∗π) ∗π / 36 (5∗π ∗π) ∗π / 9 (7∗π) / 12 (11∗π ∗π) ∗π / 18 ∗π) (23∗π ∗π / 36 (2∗π ∗π) ∗π / 3

1.13 1.22 1.31 1.40 1.48 1.57 1.66 1.75 1.83 1.92 2.01 2.09

-0.14 -0.10 -0.07 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.06

(25∗π ∗π) ∗π / ∗π) (13∗π ∗π / (3∗π ∗π) ∗π / ∗π) (7∗π ∗π / (29∗π ∗π) ∗π / (5∗π ∗π) ∗π / ∗π) (31∗π ∗π / (8∗π ∗π) ∗π / ∗π) (11∗π ∗π / (17∗π ∗π) ∗π / (35∗π ∗π) ∗π / π

2.18 2.27 2.36 2.44 2.53 2.62 2.71 2.79 2.88 2.97 3.05 3.14

0.06 0.07 0.07 0.07 0.07 0.06 0.06 0.06 0.05 0.05 0.05 0.04

36 18 4 9 36 6 36 9 12 18 36

-1.00 -0.91 -0.83 -0.74 -0.66 -0.59 -0.51 -0.44 -0.38 -0.32 -0.27 -0.22 -0.18

VIGA INFINITA

2.33 m

Calculo de la presión reactiva y descenso

P1

P2

b

x

2

E [kg/cm ]

o

P1 [kg] = P2 [kg] = b [cm] = d [cm] =

100000 50000 150 60 2 E [kg/cm ] = 210000

a∗x

e

= 1.00000

η

P1

K [kg/cm ] = 5.17 4 I [cm ] = 2700000

p=

a ∗ x = 0.00000

Para P1 en x = 0

3

a=4

3

K [kg/cm ]

a ∗ x = 1.00

Para P2 en x = 233

K ∗b = 4∗E ∗I

a∗x

e

η

0.004300161

=

sen (ax)= 0.0000 cos (ax)= 1.000

sen ax + cos ax ax

e

= 2.72355

P2

=

sen (ax)= 0.842516 cos (ax)= 0.538671

sen ax + cos ax

e

= 1.000

ax

= 0.507127

2 a [Kg/cm ] ∗ (P1 ∗ηP1 + P2 ∗ηP 2 ) 2b px=0 (P1)= 1.433387 p0 = p0( P1) + p0( P2) = 1.796841

p 0 = p 0( P1) + p 0( P 2 ) =

P ∗ a (sen ax + cos ax ) ∗ ax 2 ∗b e

px=0 (P2)= 0.363455

yo [cm] = po / K = 0.347552

Calculo del Momento M=

P (cos ax − sen ax ) ∗ ax 4∗a e

M 0 = M 0( P1) + M 0( P2) =

ηM =

(cos ax − sen ax )

e

ηM(P1)= 1

ax

ηM(P2)= -0.11156

1 ∗ (P1∗ηM P1 + P2 ∗ηM P2) = 5489440.00 4 ∗a

[Kgcm]

Calculo del esfuerzo de corte P cos ax Q = − ∗ ax 2 e

ηQ =

cos ax

e

ax

ηQ(P1)= 1 ηQ(P2)= 0.19778242

Resumen de esfuerzos internos 2

Po [Kg/cm ] =

1.79684143

2.33 P1 [Kg] = 100000

P2 [Kg] = 50000

yo [cm] = 0.347551534

yo

5489440.00

Qo [Kg] = -54944.5604

Mo

+

po Mo [Kgcm] =

1 Q 0 = Q 0( P1) + Q 0( P 2 ) = − ∗ (P1 ∗ η Q P1 + P 2 ∗ η Q P 2 ) = 2

Qo

-54944.6 [Kg]

Línea de influencia de las presiones en el punto A de una viga infinita hacia un lado

P η PA

A

η PA valor tabulado en Tabla 4

a∗∗ x

pA

pA =

a ∗ηPA ∗ P 2 ∗b

(de tabla 4)

yA =

pA a a = ∗ η pA ∗ P = ∗ η yA ∗ P η y A = η p A de tabla 4 K 2∗b∗K 2∗b∗ K

se copia de tabla 4 a∗x= 0

ηyA=

0,2

4 3,21

0,4

0,6

0,8

2,47 1,812 1,25

1 0,8

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

0,44 0,17 -0,02 -0,15 -0,23 -0,26 -0,27 -0,25 -0,23

3 -0,2

3,2

3,4

-0,16 -0,13

3,6 -0,1

3,8

4

-0,07 -0,05

La línea de influencia de presiones en el punto A, de una viga infinita hacia un lado es igual a la linea de influencia de los descensos en el punto A cuando se varia la posicion de la carga P Si queremos conocer el giro en el punto A debido a una carga P aplicada en puto A, hacemos :

y′ = tgα ≅ α =

d  2*a cos(a ∗ x) 2 ∗ a ∗ PA − a ∗ ea∗ x sen(a ∗ x) − a ∗ ea∗ x ∗ cos(a ∗ x) − 2 ∗ a2 ∗ PA sen(a ∗ x) + cos( a ∗ x)  PA ∗ a∗x  = ∗ = ∗ 2   a∗x dx  b ∗ C C ∗b C ∗b e e    ea∗x

En el punto A a∗x= 0

( )

η αA

  sen a ∗ x + cos a ∗ x = −2 ∗  a∗ x  

e

   = -2  

α

A

=

− 2 ∗ a2 ∗ PA C ∗b

2

formula que se ve en el dibujo

Viga infinita hacia un lado cargada en un extremo a∗x= 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

η M=

0 0,163 0,261 0,310 0,322 0,310 0,281 0,243 0,202 0,161 0,123 0,090 0,061 0,038 0,020 0,007 -0,002 -0,009 -0,012 -0,014 -0,014

η Q=

-1 -0,640 -0,356 -0,143 0,009 0,111 0,172 0,201 0,208 0,199 0,179 0,155 0,128 0,102 0,078 0,056 0,038 0,024 0,012 0,004 -0,002

η p=

2

p=

1,60

1,235 0,906 0,626 0,40 0,218 0,084 -0,012 -0,075 -0,113 -0,130 -0,134 -0,127 -0,115 -0,099 -0,081 -0,065 -0,049 -0,035 -0,024

a 2 ∗ cos(a ∗ x) a ∗ ∗ PA = ∗η P ∗ PA a∗x b b e

Q=−

cos (a ∗ x) − sen (a ∗ x) e

a∗ x

∗ PA = η Q ∗ PA

PA A

y αA

αA =

− 2 ∗ a2 ∗ PA K ∗b

a =

4

K ∗b 4∗E ∗I

1 sen (a ∗ x) 1 M= ∗ ∗ PA = ∗η M ∗ PA a∗x a a e

Viga infinita hacia un lado cargada con un momento en el extremo A a∗x=

η M=

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

2,2

2,4

2,6

2,8

1,0 0,965 0,878 0,763 0,635 0,508 0,390 0,285 0,196 0,123 0,067 0,024 0,0

0,0

0,0

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

0,0 -0,043 -0,041 -0,037 -0,031 -0,026

η Q=

0,000 0,325 0,522 0,620 0,645 0,619 0,561 0,486 0,404 0,322 0,246 0,179 0,123 0,077 0,041 0,014 -0,005 -0,017 -0,024 -0,027 -0,028

η p=

-2,00 -1,28 -0,71 -0,29 0,02 0,22 0,34 0,40 0,42 0,40 0,36 0,31 0,26 0,20 0,16 0,11

2

p= a ∗ b

2 ∗ [cos ( a∗x ) − sen ( a∗x )] ( a∗x )

e

2

∗ MA = a ∗η P ∗ MA b

Q = −a ∗

2 ∗ sen (a ∗ x ) e

a∗ x

∗ MA = −a ∗ηQ ∗ MA

Por teorema de Maxwel

0,02

a∗x

e

PA ∗ αA = MA ∗ yA

a∗x

yA

α =y A

MA= 1tm A

0,05

cos(a ∗ x) + sen(a ∗ x)

1

PA A

M=

0,08

αA

2

A

2

= P A = a ∗η PA ∗ M A = a ∗η αA ∗ P A c b ∗c b∗c 1

a∗x

Si hacemos PA = MA = 1

2

η PA = η αA

0,01

0,00

∗ MA = ηM ∗ MA

αA

yA =

yA

− 2 ∗ a2 ∗ MA K ∗b

αA =

4 ∗ a3 ∗ MA K ∗b

a =

4

K ∗b 4∗E ∗I

MA

a∗ x=

0

ηyA = ηαA

-2

1,2

1,4

1,6

1,8

-1,28 -0,71 -0,29 0,02 0,22 0,34

0,2

0,4

0,42

0,4

se copia de tabla 4

y=

0,4

0,6

0,8

1

αA =

ηyA = ηαA

p − 2 ∗ a 2  cos a ∗ x − sen a ∗ x  = ∗  ∗ MA a∗x K b∗ K  e 

2,4

2,6

0,36 0,31 0,26

2

2,2

0,2

3

3,2

3,4

3,6

3,8

4

2

a ∗ηαA ∗ M A K ∗b αA ≅ tg αA = y' ( a∗x=0) = −

=−

2,8

0,16 0,11 0,077 0,047 0,025 0,008 -0,004

2 a2 d  cos(a ∗ x) − sen (a ∗ x)  ∗ MA ∗  =  a∗x b∗K dx  e  (a∗x)=0

[− a ∗ sen(a ∗ x) − a ∗ cos(a ∗ x)] ∗ ea ∗ x − [cos(a ∗ x) − sen(a ∗ x)] ∗ a ∗ e a ∗ x = 2 ∗ a2 ∗ MA ∗ 2 K ∗b e(a ∗ x)

[

]

2 ∗ a2 a =− ∗ MA ∗ ∗ [− sen(a ∗ x) − cos(a ∗ x) − cos(a ∗ x) + sen(a ∗ x)] = K ∗b e(a ∗ x)

=−

P1

P2

 − 2 ∗ cos ( a ∗ x )  2 ∗ a2 ∗ MA ∗   K ∗b e (a ∗ x )  

P3

αA = a∗ x = 0

yA =

Pn

4 ∗ a3 ∗ MA K ∗b

a n ∗ ∑1η yA ∗ Pi 2∗b∗ K

b E

a∗ x

I

A

PA

La reaccion PA en el apoyo A, compensa la flecha yA del sistema externo con otra flecha y'A

y ′A =

a ∗ b∗K

yA

+

η PA ∗ P A

y' A = 0

a n ∗ ∑1η yA ∗ Pi = a ∗η PA ∗ PA b∗ K 2∗b∗ K

PA

=

∑

n 1

−

η

yA

4

ηPA = 2

∗ Pi

Esta formula permite determinar la linea de influencia de la reaccion en el apoyo A Los valores de M, Q y p se obtienen teniendo en cuenta los efectos de Σ Pi dados por las tablas 2, 3 y 4; y el de -PA por la tabla 5

de tabla 5

Giro de la viga apoyada P2

P1

P3

2 n  2 ∗ a2  α A = a ∗ ∑1η α A ∗ P i +  − ∗ PA

Pn

b∗K

b

αA

αA =

a∗ x

E

A

 b∗K

I

2 αA = a

a∗ ∗x= yA

2

=

∗ ∑1 (ηαA + n

b∗ K

PA

η

∑

n 1

−

η

yA

4

∗ Pi

2 n 2∗ a2 n η yA a ∗ ∑1 ηαA ∗ Pi + ∗ ∑1 ∗ Pi b∗ K b∗ K 4

K

ηαA +

=

PA



η yA ) ∗ Pi 2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

3.4

0

0.33

0.53

0.62

0.65

0.62

0.58

0.48

0.41

0.32

0.25

0.18

0.12

0.08

0.04

0.01

0

-0.01

10 ton a∗x

αA PA 2

a ∗ x =1.2

αA = a

b∗ K

PA = −

∗ ∑1 (ηαA +

ηy 4

n

∗ Pi =

η yA ) ∗ Pi

2 αA = a

b∗K

2

∗ 0.58∗10

− 0.44 ∗10 = 1.1 ton 4

η y de tabla

4

Giro de una viga empotrada P1

P2 P3

MA A

Pn

αA

b

E PA

Lecho elastico

a∗ x

I K

Viga

Pilote

αA + α ′A = 0 2 αA = a ∗ ∑1n(ηαA + η yA) ∗ Pi b∗K 2

α ′A = −

4 ∗ a3 K ∗b

∗ MA

MA = −

η yA) ∗ Pi 1 n ∗ ∑1 (ηαA + 4∗a 2

1,726 0,22

0,20

0,13

0,22

0,13

0,826

0,15

0,45

0,45

Platea Transformador

0,05

0,50 0,30

0,90 0,13 Estribo 0,06

0,035

φ

6mm

0,035

φ 12mm.

1c/1m. a cada lado alternados cada 50 cm Estribo φ 6mm

0,023

0,036

Estribo φ 8mm

φ 12mm.

0,052

0,196

0,30

φ 12mm. 0,052

0,036

φ 16mm.

φ 16mm.

φ 16mm.

φ 16mm.

CALCULO DE REACCIÓN EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO 3

Cb [t/m ] = 6500

a =

b [m] = 2

4

b∗cb 4∗ E b∗ I

=

0.500875

L [m]=

10.00

2

Eb [t/m ] = 3400000

I [m4] = 0.01519 L´ = λ /a = 10.00

XP2[m] = XP1 [m] =

λ=a∗L= 5.009 X0/L= π la viga se despega del suelo λ>π

4.00 P1 [ton]=

1.00

P2 [ton]= 80.00

70.00

0.10

0.20

5.32

4.06

2.52

18.62

14.21

8.82

-0.57

0.33

1.27

∗ηP2 =

-2.28

1.32

5.08

8.64

10.48

=

16.34

15.53

13.9

12.805

11.635

Reacción por tramo [ton]

31.87

29.43

26.705

24.44

19.995

12.99

6.49

1.965

-0.95

-2.955

149.98

Verificación

31.87

61.3

88.005

112.445

132.44

145.43

151.92

153.885

152.935

149.98

149.98

ηP1 =

po =

∗η P1 =

P1 b∗L

ηP2 =

XP2/L= 0.40

po =

P2 b∗L

∑

P 0

[ton]

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

1.19 0.33 -0.08 de tabla viga finita para λ=5

-0.22

-0.2

-0.13

-0.05

0.04

-0.28

-0.77

-0.7

-0.455

-0.175

0.14

2.16 2.62 2.16 de tabla viga finita para λ=5

1.35

0.64

0.14

-0.22

-0.51

8.64

5.4

2.56

0.56

-0.88

-2.04

8.36

4.63

1.86

0.105

-1.055

-1.9

4.165

0.40

1.00

0.00

XP1/L= 0.10

0.30

L/10=

1.155

CALCULO DE MOMENTOS EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO 3

Cb [t/m ] = 6500

a =

4

b [m] = 2

b∗cb 4∗ E b∗ I

=

0.500875

L [m]=

10.00

2

Eb [t/m ] = 3400000

I [m4] = 0.0151875 L´ = λ /a = 10.00

XP1 / L = XP2 / L =

XP2[m] = XP1 [m] =

4.00 P1 [ton]=

1.00

L/10=

0.00

0.10

0.20

0

4.06

-1.05

0

56.84

-14.7

100ηMP2 =

0

-0.14

0.07

Mo = η M 2 ∗ P2 ∗ L ∗ b ∗ 1 = 100

0

-2.24

1.12

24.48

81.92

0

54.6

-13.58

-3.8

57.14

100ηMP1 =

Mo = η M 1 ∗ P1 ∗ L ∗ b ∗ 1 = 100

XP2/L= 0.40

∑

M

0

P2 [ton]= 80.00

70.00

0.1 0.4

λ=a∗L= 5.009 X0/L= π la viga se despega del suelo λ>π XP1/L= 0.10

1.00

=

0.30

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-2.02 -1.77 -1.14 de tabla viga finita para λ=5

-0.57

-0.21

-0.04

0.01

0

-7.98

-2.94

-0.56

0.14

0

-0.51

-0.9

-0.62

-0.21

0

19.84

-8.16

-14.4

-9.92

-3.36

0

3.88

-16.14

-17.34

-10.48

-3.22

0

-28.28

0.40

-24.78

-15.96

1.53 5.12 1.24 de tabla viga finita para λ=5

CALCULO DEL CORTE EN VIGA SOBRE LECHO ELÁSTICO 3

Cb [t/m ] = 6500

a =

b [m] = 2

4

b∗cb 4∗ E b∗ I

=

XP1 / L = 0.1

0.500875

L [m]=

XP2 / L = 0.4

10.00

2

Eb [t/m ] = 3400000

I [m4] = 0.0151875 L´ = λ /a = 10.00 XP1 [m] = 1.00

λ=a∗L= 5.009 X0/L= λ>π π la viga se despega del suelo XP1/L= 0.10

ηQP1 =

Qo =η Q1 ∗ P1 ∗ b = XP2/L= 0.40

ηQP2 =

Q o = η Q2 ∗ P2 ∗ b =

∑

Q0=

-156.32

XP2[m] =

4.00

L/10 = 1.00 P2 [ton]= 80.00

P1

[ton] = 70.00

0.00

0.10

0.20

0.30

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0

-0.529

-0.199

-0.017 0.055 0.064 de tabla viga finita para λ=5

0.047

0.026

0.009

0

0

0

-74.06

-27.86

6.58

3.64

1.26

0

0

0

-0.012

0.068

-0.093

0.004

0.041

0.036

0

0

-1.92

10.88

38.4

-82.4

-43.2

-14.88

0.64

6.56

5.76

0

0

-75.98

-16.98

36.02

-74.7

-34.24

-8.3

4.28

7.82

5.76

0

-2.38

0.40

7.7

8.96

0.24 -0.515 -0.27 de tabla viga finita para λ=5