• Categories
• Tensión (Mecánica)
• Elasticidad (Física)
• Inclinarse
• Rigidez
• Módulo de Young

Citation preview

Capítulo 3 Tensión y deformación Comportamiento elástico

1

Índice general 1.

Noción de tensión y deformación. Estados de tensiones: tensión normal, tensión a cortadura y tensión hidrostática

2.

Ley de Hooke. Módulos elásticos

3.

Coeficiente de expansión térmica

4.

Generalización de los conceptos de tensión y deformación en un punto:

5.

•

Tensión en un punto

•

Transformación de las componentes de tensión

•

Deformación en un punto

•

Transformación de las componentes de deformación

•

Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas

Relaciones tensión-deformación para un material isótropo elástico lineal

6.

Trabajo realizado por las tensiones al producir una deformación

7.

Módulo elástico de materiales compuestos

8.

Ejemplos de diseño en ingeniería: cables a tracción, vigas a flexión y cilindros a presión

2

1

1. Tensión y deformación •Tensión: Es la forma en la que los materiales transmiten las cargas Tensión normal: Intensidad de fuerza normal por unidad de superficie

σ=

F A0

Unidades: Pa (N/m2) (normalmente: MPa)

L0 L1

•Deformación: Respuesta de los materiales a la tensión aplicada

L0 L1

Deformación normal: Cambio relativo de longitud

ε=

L1 − L0 L0

3

1. Tensión y deformación • Estados de tensión: tensión normal, tensión de cortadura y tensión hidrostática • Tensión normal: la fuerza actúa en dirección perpendicular a la superficie. Puede ser de tracción (positiva) o de compresión (negativa)

L0 L1

4

2

1. Tensión y deformación • Tensión de cortadura: la fuerza actúa en dirección paralela a la superficie. Intensidad de fuerza tangencial por unidad de superficie

τ=

F A0

Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)

• Deformación tangencial: respuesta del material a las rensiones de cortadura. Mide la distorsión del material

γ=

∆y 0 = tan γ ≈ γ x0

(γ pequeño)

5

1. Tensión y deformación • Tensión hidrostática: tres fuerzas perpendiculares e iguales entre sí (una presión). La tensión hidrostática se define como la presión a la que está sometido el cuerpo (signo: contrario a la presión)

σh = −p

Unidades: Pa (N/m2) (suelen utilizarse los MPa)

• Deformación volumétrica: respuesta del material a las tensiones hidrostáticas. Mide el cambio relativo en volumen

εV =

V − V0 V0

6

3

1. Tensión y deformación • Ejemplos:

7

2. Deformación elástica. Ley de Hooke • Comportamiento elástico: La deformación inicial de la mayoría de los sólidos es reversible (cuando se dejar de aplicar la tensión el sólido recupera su forma inicial) • Comportamiento elástico lineal: En la mayoría de los casos, la relación tensión-deformación es lineal: (Ley de Hooke) σ = E ⋅ε E: módulo de Young (Unidades: [Pa]) Tensión de cortadura = G⋅

τ

γ

G: módulo de cortadura (Unidades: [Pa]) Estado hidrostático h V

σ = K ⋅ε

K: Módulo de rigidez volumétrico, (Unidades: [Pa]),

K >0 8

4

2. Deformación elástica. Ley de Hooke • Módulo de Poisson ν: mide la deformación transversal originada por una deformación normal:

ε t = −ν ⋅ ε n y − y0 x − x0 = −ν ⋅ y0 x0 − 1 < ν < 0.5

9

2. Deformación elástica. Ley de Hooke • No existe una relación fija entre G y E, pero habitualmente G~0.4 E • Para un material elásticamente isótropo, sólo son necesarias dos constantes elásticas para definir el comportamiento del material. Es decir, que de las cuatro constantes presentadas E, G, ν y K sólo dos son independientes • Sin embargo, el comportamiento de un material elásticamente anisótropo necesita de más constantes elásticas, cómo veremos más adelante

10

5

2 Deformación elástica •Módulo de Young –Ε

–Unidades: GPa –Relación entre la tensión aplicada a un material y la deformación con la que éste responde –Depende de la temperatura, enlace y estructura cristalina –Prácticamente independiente de la microestructura

11

3. Coeficiente de expansión térmica • Los materiales se dilatan al aumentar la temperatura y se contraen al disminuirla, ¿por qué? • Respuesta: Asimetría del pozo de potencial interatómico. T

Distancia media entre átomos

12

6

3. Coeficiente de expansión térmica Definición:

CTE =

εT T − T0

Unidades: K-1 Material isótropo:

εT =

xT − xTo yT − yTo = xTo yTo 13

3. Coeficiente de expansión térmica • Depende de la forma del potencial interatómico Materiales con enlace fuerte Materiales con enlace débil

bajos coef. expansión térmica altos coef. expansión térmica

14

7

4. Tensión y deformación en un punto. 4.1 Tensión en un punto • Hasta ahora, en los ejemplos que hemos visto, la tensión era uniforme en toda la sección del cuerpo pero eso no es siempre así. • Supongamos el caso general de un cuerpo de forma arbitraria sometido a esfuerzos (fuerzas de superficie y fuerzas de volumen). Aislemos una parte del cuerpo, según el plano mn. Si ∆A es la superficie alrededor del punto 0 y ∆F, la resultante de las fuerzas en 0, la tensión σ en el punto 0 con respecto al plano mn viene dada por:

∆F ∆A→0 ∆A

σ = lim

NOTA: Existen infinitos planos que pasan por 0. Por lo tanto existen infinitos valores de la tensión σ en el punto 0. El valor de una tensión siempre está asociado a un plano. Tanto la fuerza como la superficie son magnitudes vectoriales. La tensión tiene asociadas dos familias de cosenos directores, por lo que el la tensión es un tensor de 2º orden. 15

4. Tensión y deformación en un punto. •

Tensión en un punto: En un cuerpo sometido a esfuerzos, definimos un sistema ortonormal de coordenadas. Consideramos entonces un elemento infinitesimal de volumen asociado al punto, limitado por caras paralelas a los tres planos ortogonales definidos por el sistema de referencia. Sobre cada cara actúan, en general, tres componentes de fuerza. Podemos, en primera aproximación, definir las tensiones actuantes en ese punto como componentes de “intensidad de fuerza”, o componentes de la fuerza por unidad de superficie que se transmite a través de cada cara:

σ ij =

dF j dAi

siendo: i = j tensiones normales i ≠ j tensiones de cortadura

donde Ai es el elemento de superficie perpendicular a la dirección i y Fj la componente de fuerza transmitida a través de Ai en la dirección j.

16

8

4. Tensión y deformación en un punto. •

Por conveniencia, para definir el estado de tensiones se pueden utilizar los planos cartesianos:

lim

∆Ax →0

lim

∆Ax →0

lim

∆Ax →0

•

∆Fx = σ xx = σ x ∆Ax ∆Fy ∆Ax

= σ xy = τ xy

∆Fz = σ xz = τ xz ∆Ax

Por lo tanto, σij representa una componente de tensión que actúa sobre el plano i en dirección j: – Cuando i=j, la tensión es normal: σi – Cuando i≠j, la tensión es de cortadura τij Convención de signos: σij >0 si el sentido de la fuerza en dirección j coincide con el de la normal a la superficie i hacia fuera del volumen; σij < 0 en caso contrario. 17

4. Tensión y deformación en un punto • Considerando los 3 ejes de referencias, hay 9 componentes de tensión:

 σ x τ xy τ xz    σ ij = τ yx σ y τ yz  τ   zx τ zy σ z  • Del equilibrio de momentos alrededor del eje z, se deduce :τ xy

= τ yx

Siguiendo el mismo razonamiento para los ejes x e y: τ ij = τ ji El tensor de tensiones es simétrico y 6 valores son suficientes para definir el estado de tensiones en un punto: –3 tensiones normales –3 tensiones de cortadura

18

9

4. Tensión y deformación en un punto. 4.2 Transformación de las componentes de tensión Consideremos dos sistemas de referencia ortogonales (x, y, z) y (x´, y´, z´). Sean li′j = cos θ i′j los cosenos directores del segundo sistema de coordenadas en el primero, es decir,

θ i′j

1er

es el ángulo formado por las direcciones i´ y j del 2º y sistema de referencia respectivamente. Las ecuaciones de transformación de las componentes de tensión del 1er al 2º sistema de referencia son: 3

σ i´ j ´ = ∑ k =1

3

∑l l =1

l σ kl

i´k j ´l

o en notación matricial:

(σ ) = (l )(σ )(l )

T

i´ j ´

i ′j

ij

 l11 l12 (σ x´ y´ ) =  l21 l22 l  31 l32

i' j

l13  σ x τ xy τ xz  l11 l21 l31     l23  l yx σ y τ yz  l12 l22 l32  l33 τ zx τ zy σ z  l13 l23 l33  19

4. Tensión y deformación en un punto. Caso de tensión plana Supongamos que conocemos las componentes de tensión en el punto 0 referidas al sistema de coordenadas {x, y} y que queremos conocer las componentes de tensión referidas al sistema {x’, y’}:

x′ = l x′x x + l x′y y = cos θ x + sin θ y y′ = l y′x x + l y′y y = − sin θ x + cos θ y Si definimos el plano AB, a una distancia infinitesimal del punto 0, podemos aplicar el equilibrio de fuerzas en direcciones x’ e y’:

∑F

x′

= 0 ⇒ σ x′ ⋅ AB = σ x ⋅ OB ⋅ cos θ +τ xy ⋅ OB ⋅ sin θ + τ yx ⋅ OA ⋅ cos θ + σ y ⋅ OA ⋅ sin θ

σ x′ = σ x ⋅ cos 2 θ + 2τ xy ⋅ sin θ ⋅ cos θ + σ y ⋅ sin 2 θ

∑F

y′

= 0 ⇒ τ x ' y ' ⋅ AB = σ y ⋅ OA ⋅ cos θ −τ xy ⋅ OA ⋅ sin θ + τ xy ⋅ OB ⋅ cosθ − σ x ⋅ OB ⋅ sin θ

τ x′y ' = (σ y − σ x )⋅ sin θ ⋅ cos θ + τ xy ⋅ (cos 2 θ − sin 2 θ ) 20

10

4. Tensión y deformación en un punto. Para calcular σy’ hacemos una operación similar:

σ y ' = σ x ⋅ sin 2 θ − 2τ xy ⋅ sin θ ⋅ cos θ + σ y ⋅ cos 2 θ Por lo tanto, en un caso de tensión plana, la transformación de las componentes de tensión viene dada por:

σ x′ = σ x ⋅ cos 2 θ + 2τ xy ⋅ sin θ ⋅ cos θ + σ y ⋅ sin 2 θ σ y ' = σ x ⋅ sin 2 θ − 2τ xy ⋅ sin θ ⋅ cos θ + σ y ⋅ cos 2 θ

τ x′y ' = (σ y − σ x )⋅ sin θ ⋅ cos θ + τ xy ⋅ (cos 2 θ − sin 2 θ ) Notad que: σ x ' + σ y ' = σ x (cos 2 θ + sin 2 θ ) + σ y (cos 2 θ + sin 2 θ ) = σ x + σ y La suma de las tensiones normales es un invariante del estado de tensiones

21

4. Tensión y deformación en un punto 4.3 Concepto de deformación Al aplicarse fuerzas exteriores los puntos de un cuerpo se mueven: Resultante de fuerzas exteriores

Aceleración

r

∑F

ext

Desplazamiento de sólido rígido

r a Aceleración angular

Resultante de momentos

r

∑M

ext

Tensiones

Rotación de sólido rígido

r

α

Deformaciones

22

11

4. Tensión y deformación en un punto 4.3 Concepto de deformación En un instante dado, la posición de cada punto del cuerpo material respecto a un sistema externo de referencia viene definida por las coordenadas (x, y, z). Bajo un conjunto de esfuerzos y con las restricciones de contorno pertinentes, los puntos del cuerpo habrán experimentado un campo de desplazamientos,

ui = ui ( x, y , x ) función de las coordenadas iniciales de cada punto.

B

.

C

.

uA

A.

uB

B

.

A

.

.

uC

C 23

4. Tensión y deformación en un punto. Deformación plana •

Supongamos el paralelogramo ABCD. Bajo la acción de un campo de fuerzas, el paralelogramo se deforma según A’B’C’D’.

•

Suponiendo desplazamientos pequeños, los desplazamientos relativos unitarios (por unidad de longitud) normales vendrán dados por:

∂u x dx − dx ∂u ∂x = x dx ∂x ∂u y dy + dy − dy ∂u y A' B'− AB A' Q − AB ∂y u yy = = ≅ = AB AB dy ∂y A' D'− AD A' P − AD ≅ = u xx = AD AD

dx +

24

12

4. Tensión y deformación en un punto. Deformación plana •

Además del cambio de dimensiones, el paralelogramo cambia de forma, por ej, el ángulo B’A’D’ era inicialmentede 90º.

•

Los desplazamientos relativos unitarios tangenciales miden este cambio de forma.

•

Así por ej, uyx mide el giro sufrido por el segmento A’D’, inicialmente paralelo al eje x:

∂u y dx ∂u y D' P ∂x = u yx = ángulo D' A' P = arctan ≅ A' P dx + ∂u x dx ∂x ∂x ∂u x dy B' Q ∂u ∂y u xy = ángulo B ' A' Q = arctan = ≅ x ∂u A' Q ∂y dy + y dy ∂y

25

4. Tensión y deformación en un punto. •

Por lo tanto, los desplazamientos relativos unitarios en el caso plano constituyen una matriz :

 ∂u x  ∂x uij =   ∂u y  ∂x

•

∂u x  ∂y   ∂u y  ∂y 

Los desplazamientos relativos unitarios no sólo representan deformaciones, si no también rotaciones. Esto se puede deducir fácilmente, descomponiendo la matriz en su parte simétrica y su parte antisimétrica:

 ∂ux  ∂x uij =   ∂u y  ∂x

1  ∂ux ∂u y   1  ∂ux ∂u y  ∂ux ∂ux        0 + −   2  ∂y ∂x  2  ∂y ∂x   ∂x ∂y = + ∂u y   1  ∂u ∂u y  ∂u y   1  ∂u y ∂ux    x+   0 −     ∂y   2  ∂y ∂x  ∂y   2  ∂x ∂y   u ij =

1 (u ij + u ji ) + 1 (u ij − u ji ) = ε ij + ω ij 2 2

26

13

4. Tensión y deformación en un punto. Cortadura pura

=

Cortadura pura

0 u ij =  0

γ 0 

u ij

+

Cortadura simple

  0  γ   2

= =

γ 

ε ij

2   0  

+

Rotación

  0  γ − 2 

ω ij

+

γ  2   0  

1  ∂u ∂u  1  ∂ux ∂u y  ωxy =  x − y   + 2  ∂y ∂x  2  ∂y ∂x  ∂u ∂u Deformación ingenieril a cortadura γ xy = y + x = 2ε xy ∂x ∂y

ε xy = 

27

4. Tensión y deformación en un punto. En el caso general, los desplazamientos relativos en el entrono de un punto se pueden escribir como función de las componentes de la matriz de desplazamientos relativos unitarios (pequeñas deformaciones)

 du x  dx  du y uij =   dx  du  z  dx  du1  dx1   1  du 2 du1   + u ij =    2  dx1 dx 2   1  du 3 du1  +     2  dx1 dx3 

1  du1 du 2    + 2  dx 2 dx1  du 2 dx 2 1  du 3 du 2    + 2  dx 2 dx3 

Deformación

du x dy du y dy du z dy

du z  dz   du y  dz  du z   dz 

1  du1 du 3       + 0 2  dx3 dx1    1  du 2 du 3   1  du 2 du1    +    − + 2  dx3 dx 2   2  dx1 dx 2    1  du 3 du1  du 3 −     dx3   2  dx1 dx3 

1  du1 du 2    − 2  dx 2 dx1  0 1  du 3 du 2    − 2  dx 2 dx3 

1  du1 du 3     − 2  dx3 dx1   1  du 2 du 3    − 2  dx3 dx 2   0  

Rotación 28

14

4. Tensión y deformación en un punto. – Las componentes de la matriz antisimétrica representan rotaciones de sólido rígido alrededor de los ejes de referencia

[u ] = [ε ]+ [ω ] 1 ω = (u − u ) 2

– Las componentes de la matriz simétrica son las deformaciones

1 (uij + u ji ) 2 γ ij = 2ε ij , i ≠ j

ij

ij

ij

ij

ij

ji

ε ij =

ε ij → 0 ωij → 0

εij es un tensor de segundo orden. En consecuencia se pueden aplicar las ecuaciones de cambio de sistema de referencia 3 3

ε i´ j ´ = ∑ k =1

∑l l =1

l ε

i´k j ´l kl

(ε ) = (l )(ε )(l )

T

i´ j ´

i ′j

ij

i' j

 l11 l12 (σ x´ y´ ) =  l21 l22 l  31 l32

l13  ε x  l23  ε yx l33  ε zx

ε xy ε xz  l11 l21 l31    ε y ε yz  l12 l22 l32  ε zy ε z  l13 l23 l33  29

4. Tensión y deformación en un punto 4.5 Tensiones hidrostáticas y deformaciones volumétricas Las deformaciones producen distorsión en la forma y cambios de volumen en el material. En cualquier estado de tensiones, σij, hay una componente hidrostática, σh, que se puede expresar:

σ h = (σ xx + σ yy + σ zz ) / 3

•

La componente hidrostática del tensor de tensiones sólo produce deformaciones volumétricas (sin distorsión) Tensiones hidrostáticas no producen deformaciones permanentes (plásticas) V = dx ⋅ dy ⋅ dz ∂u y  ∂u ∂u    V + dV =  dx + x dx  dy + dy  dz + z dz  ∂x ∂y z ∂      u u ∂ ∂  ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u y ∂u x ∂u y ∂u z y y ∂u z dV =  x + + z+ + x z+ x + ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z  ∂x dV  ∂u x ∂u y ∂u z   ≈  + + V ∂y ∂z   ∂x

 dx ⋅ dy ⋅ dz 

3

ε v = ε xx + ε yy + ε zz = ∑ ε ii i =1

30

15

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • En un caso general, y si el sólido se comporta de forma elástica lineal, son necesarias 36 constantes elásticas para relacionar tensiones y deformaciones:

 σ x   C11 C12     σ y   C21 C22  σ   ...  z= τ yz   τ    xz   τ   C  xy   61

C13 C14 ...

C15

C16  ε x     ε y   ε   z   γ yz   γ   xz  C66  γ xy 

donde Cij son las constantes de rigidez. Alternativamente, se pueden definir las constantes de flexibilidad:

{ε } = {S }{σ } 31

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • La reversibilidad de los procesos elásticos implica la simetría de la matriz de flexibilidad. En consecuencia, 21 constantes son suficientes para definir el comportamiento de un material elástico lineal. • Si el material es isótropo se puede deducir fácilmente que la matriz de rigidez se puede escribir:  S11   S12 S  12  0  0   0 

S12

S12

0

0

S11 S12

S12 S11

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0

S 44 0 0

0 S 44 0

0   0  0   0  0  S 44  32

16

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal • Isotropía: Las propiedades del material son iguales en todas las direcciones • Comportamiento elástico lineal: Se puede aplicar el principio de superposición Las deformaciones producidas por cualquier estado de tensiones son la suma de las producidas por cada una de sus componentes

εx =

σx

εy =

E σ ε y = −υ x σx

ε z = −υ

E

εz =

y

E

ε x = −υ

E

ε z = −υ

σ

σy E

σy E

σz E

ε x = −υ ε y = −υ

τ xy = G ⋅ γ xy

τ xz = G ⋅ γ xz

τ yz = G ⋅ γ yz

σz E

σz E 33

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal •

Ecuaciones constitutivas:

εx =

σx

−υ

E

σx

ε y = −υ ε z = −υ γ yz = γ xz = γ xy =

E

σx

τ yz

E

σy E +

−υ

σy E

−υ

σz E

−υ

σy E

+

σz E

σz E

 ε x   1/ E −υ / E −υ / E 0 0 0  σ x       ε 0 0 0  σ y   y   −υ / E 1/ E −υ / E  ε   −υ / E −υ / E 1/ E 0 0 0  σ z   z =    γ yz   0 0 0 1/ G 0 0 τ yz  γ     0 0 0 1/ G 0 τ xz   xz   0 γ   0 0 0 0 0 1 / G τ xy   xy  

G

τ xz G

τ xy G

34

17

5. Relaciones tensión-deformación para un sólido elástico isótropo lineal •

De las 3 constantes elásticas presentes en la matriz, sólo 2 son independientes. Se puede demostrar que:

G=

•

E 2(1 + υ )

El módulo de compresibilidad se puede expresar también en función de E y ν:

K=

E 3(1 − 2υ )

35

6. Energía elástica • Energía elástica: Es el trabajo de las fuerzas exteriores empleado en deformar elásticamente el material. • Con la expresión de deformaciones normales y tangenciales, se puede deducir que el incremento de trabajo producido por unidad de volumen en el entorno de un punto en el que se producen los incrementos de deformaciones bajo el estado de tensiones es: : 3 dW = σ 11dε 11 + σ 22 dε 22 + ... + σ 23 dγ 23 + ... = ∑ V i =1

3

∑σ j =1

ij

dε ij

y

dW = Fdx = σ x Ax0 dε x

dx F x0

x

dW = σ x dε x V 36

18

7. Módulo elástico de materiales compuestos Fibra de carbono + epoxy Bicicleta

Fibra vidrio + Poliester Piscina

37

7. Módulo elástico de materiales compuestos Dirección longitudinal: condición de igual deformación

σ1

ε1 = ε1 f =

σ1 f Ef

= ε 1m =

Vm Vf σ 1m Em

σ1m σ1f σ 1 = V f σ 1 f + Vmσ 1m

σ1

E1 = V f E f + Vm Em 38

19

7. Módulo elástico de materiales compuestos Dirección transversal: condición de igual tensión σ2 Vm

σ2m

Vf

σ2f σ2

σ 2 = σ 2 f = ε 2 f E2 f = σ 2 m = ε 2 m Em

ε 2 = ε 2 f V f + ε 2 mVm

V σ2f σ V  = f + m E2 = 2 = ε 2 ε 2 f V f + ε 2 mVm  E f Em 

−1

39

7. Módulo elástico de materiales compuestos

1200

E (GPa)

1000 800

Dirección longitudinal

600 400 200

Dirección transversal

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Vf

40

20

8. Diseño en ingeniería • Resistencia de materiales: cálculo ingenieril de las tensiones y deformaciones • Ciencia de Materiales: entender cómo los materiales se deforman y rompen ⇒ Selección de materiales y desarrollo de nuevos materiales (por ejemplo, composites) • Ejemplos: – Tracción de un cable – Flexión de una viga – Presurización de tubos cilíndricos. 41

8. Diseño ingeniería Diseño en en ingeniería • Caso 1: Cable a tracción En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a tracción. Sea un cable de longitud L y sección transversal A, sometido a una fuerza de tracción F. La elongación ∆L vendrá dada por:

σ = Eε ⇒

F ∆L =E A L

⇒ ∆L =

FL AE

Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por: Peso = ρLA Entonces, para una elongación constante ∆L, eliminando el valor del área A de ambas ecuaciones, obtenemos: Peso = ρL

FL FL2 ρ = ⋅ ∆L ⋅ E ∆L E

Es decir, que a una rigidez constante (∆L constante), para minimizar el peso es necesario maximizar la relación E/ρ. 42

21

8. Diseño en ingeniería • Cable a tracción (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales:

E/ρ CONSTANTE

Nota: CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic 43

Límite elástico vs. Tenacidad CFRP (isotropic)

1000

GFRP (isotropic)

100

Elastic Limit (MPa)

High carbon steel 10

1

0.1

0.01 0.01

0.1

1

10

100

Fracture Toughness (MPa.m^1/2)

44

22

8. Diseño en ingeniería Diseño en ingeniería – Otro parámetro de diseño importante es su resistencia a tracción. • Cable a tracción (cont.):

– La longitud de los puentes colgantes ha aumentado gracias a que se han desarrollado aceros con mayores resistencias a tracción.

Investigación y Ciencia, Febrero, 1998

45

8. Diseño en ingeniería • Caso 2: Flexión de una viga Supongamos por ejemplo una barra empotrada en un extremo que soporta una carga transversal F en su extremo opuesto. Se puede calcular que la deflexión máxima δ (en el extremo libre) viene dada por:

L

FL3 δ= 3EI

Tensiones tractivas

PF

δ Tensiones compresivas

Línea neutra

donde I es el momento de inercia, que depende de la forma de la sección transversal. Para una sección rectangular:

h b

bh 3 I= 12

46

23

8. Diseño en ingeniería •Flexión de una viga (cont.): Para aumentar la rigidez de la viga a flexión, es decir, minimizar la deflexión δ, hay que maximizar el producto EI: ¾ Para maximizar E hay que cambiar el material Madera Acero / hormigón armado (construcción) Composites (aplicaciones donde el peso sea importante) ¾ Para maximizar I, hay que actuar sobre la forma de la sección transversal (cuanto más área tenga localizada lejos de la línea neutra, mayor será I). De ahí, la forma de muchas vigas estructurales en forma de I

47

8. Diseño en ingeniería • Flexión de una viga (cont.) En muchas aplicaciones, es interesante seleccionar el material más ligero sin perder rigidez a flexión. Sea un viga empotrada de longitud L y sección transversal cuadrada de lado b, sometido a una fuerza F en su extremo. Utilizando las ecuaciones de la página 13, tenemos que la deflexión vendrá dada por:

FL3 δ= 3EI

b4 I= 12

δ=

⇒

4 FL3 b4 E

2 Sea ρ la densidad del material, el peso vendrá dado por: Peso = ρLb Entonces, para una deflexión constante δ, eliminando el valor de b entre ambas ecuaciones, obtenemos:

 4 Fl 3  Peso = ρL   δ ⋅ E 

12

12

 FL5   = 2  δ 

ρ E1 2

Es decir, que a una rigidez constante (δ constante), para minimizar el peso 48 es necesario maximizar la relación E1/2/ρ.

24

8. Diseño ingeniería Diseño en en ingeniería • Flexión de una viga (cont.). Representación de E versus ρ para distintos materiales:

E1/2/ρ CONSTANTE

Nota: CFRP: Carbon Fibre Reinforced plastic GFRP: Glass Fibre Reinforced plastic KFRP: Kevlar Fibre Reinforced plastic 49

8. Diseño en ingeniería Ejemplos:

Aleaciones de Al Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono Composites de fibra de vidrio Composites de fibra de carbono

50

25

Columna 100

C*density

10

1

Cast irons Brick Stone 0.1

Concrete

0.1

1

10

E^1/2

51

8. Diseño en ingeniería • Caso 3: Depósito cilíndrico a presión Supongamos un tubo cerrado sometido a presión P. La relación entre la presión y las tensiones en las paredes del tubo se puede derivar, mediante un balance entre las fuerzas ejercidas por la presión y por las tensiones. Para un tubo de pared delgada (t