• Author / Uploaded
• sa

Citation preview

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

EJERCICIO PROPUESTO: Resolver la siguiente viga y graficar los diagramas de fuerza cortante (DFC) y momento flector (DMF). Considerar que la viga es de sección constante. Por el Método de la Viga conjugada. 𝑬𝑰 = 𝑪𝒕𝒆

A

B

C

Descomponemos la viga por el principio de superposición (en VIGA I Y VIGA II): 1. Hallamos las reacciones de las respectivas vigas. VIGA 1:

(+) ∑ 𝑀𝑐 = 0 𝐴𝑦(12) − 15 (10) − 20(3) = 0 𝑨𝒚 = 𝟏𝟕. 𝟓 𝑻𝒏

Ay

Cy

Reemplazamos el valor Ay. ↑ (+) ∑ 𝐹𝑣 = 0 𝐴𝑦 + 𝐶𝑦 = 15 + 20 17.5 + 𝐶𝑦 = 35 𝑪𝒚 = 𝟏𝟕. 𝟓 𝑻𝒏

INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

VIGA 2: (+) ∑ 𝑀𝑐 = 0 𝐴𝑦(12) + 𝑉𝑏(6) = 0 𝐴𝑦 = −

Vb

Ay

Cy

6𝑉𝑏 12

𝑨𝒚 = −𝟎. 𝟓 𝑽𝒃 𝑪𝒂𝒎𝒃𝒊𝒂 𝒆𝒍 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 = 𝟎. 𝟓 𝑽𝒃 ↓ Reemplazamos el valor Ay. ↑ (+) ∑ 𝐹𝑣 = 0 𝐴𝑦 + 𝑉𝑏 + 𝐵𝑦 = 15 + 20 −0.5𝑉𝑏 + 𝐶𝑦 + 𝑉𝑏 = 35 𝐶𝑦 = −𝑉𝑏 + 0.5𝑉𝑏 𝑪𝒚 = − 𝟎. 𝟓𝑽𝒃 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑪𝒚 = 𝟎. 𝟓 𝑽𝒃 (𝑬𝒏 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 ↓) Realizamos los diagramas respectivos de cada viga, DFC y DMF: VIGA 1

A

+

VIGA 2

C

A

B

C

Vb

DIAGRAMA DE MOMENTOS: (Tomando como punto estratégico en ambos casos, C) 210/EI

A

C

6Vb/EI

A

C

60/EI 150/EI 6Vb/EI INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

Cargamos la viga conjugada con los diagramas de momento encontrados. La articulación interna (Apoyo móvil) en el punto B para efectos de la viga conjugada, es cambiada por una rotula, debido a que: 𝜃 ≠ 0 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜 𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑜𝑡𝑢𝑙𝑎𝑙𝑎 𝑣 ≠ 0 𝑦 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎, 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑔𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙.

210/EI 6Vb/EI A

B

C Cy

Ay

60/EI 150/EI 6Vb/EI

Hallamos las reacciones en la viga conjugada: (+) ∑ 𝑀𝑎 = 0 1 2 1 2 1 2 𝐶𝑦(12) − [ (210)(12) ( ) (12)] − [ (6)(6𝑉𝑏) ( ) (6)] + [ (60)(3) ( ) (3)] 2 3 2 3 2 3 2 1 2 + [150(10) ( ) (10)] + [ (6𝑉𝑏)(12) ( ) (12)] = 0 3 2 3

𝐶𝑦 =

−18𝑉𝑏+408.333 𝐸𝐼

↓ (Sentido de reacción)

(+) ↑ ∑ 𝐹𝑣 = 0 210(12) 6𝑉𝑏(6) 60(3) 150(10) 6𝑉𝑏(12) 𝐴𝑦 − [ ]−[ ]+[ ]+[ ]+[ ] + 𝐶𝑦 = 0 2 2 2 2 2

𝐴𝑦 =

INGENIERÍA CIVIL

18𝑉𝑏−408.333 𝐸𝐼

↓ (Sentido de reacción)

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

2. Hallando la reacción en el punto B Como 𝑌𝑏 = 𝐷𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝐵 viga real 𝑀𝑏 = 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝐵 viga conjugada Sabemos que en el Punto B la deflexión es cero (+) ∑ 𝑀𝑏 = 0 (Hallamos reacciones al lado izquierdo de la rótula, en la sección BA) 1 1 1 1 1 1 −(18𝑉𝑏 − 408.333) + [ (105)(6) ( ) (6)] + [ (60)(4) ( ) (4)] + [ (3𝑉𝑏)(6) ( ) (6)] 2 3 2 3 2 3 =0 𝑉𝑏 = 20.9722

3. Reemplazando el valor de Vb en la viga real y determinar las reacciones en los apoyos de los extremos:

(+) ∑ 𝑀𝑎 = 0 𝐶𝑦(12) + 20(9) + 20.9722(6) − 15(2) = 0 𝐶𝑦(12) − 84.1668 = 0 𝐶𝑦 = 7.0139 𝑇𝑜𝑛 Reemplazamos el valor Ay. ↑ (+) ∑ 𝐹𝑣 = 0 𝐴𝑦 + 20.9722 + 𝐶𝑦 = 15 + 20 𝐴𝑦 + 20.9722 + 𝐶𝑦 = 35 𝐴𝑦 = 7.0139 𝑇𝑜𝑛

INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

DIAGRAMA FUERZA CORTANTE (DFC):

DIAGRAMA MOMENTO FLECTOR (DMF):

INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

RESULTADOS SEGÚN SAP 2000 (REACCIONES, DFC Y DMF): REACCIONES:

DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE:

INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17

RESISTENCIA DE MATERIALES II

2017 – NIVELACION

DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR:

INGENIERÍA CIVIL

Método de la Viga Conjugada

01/02/17