UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ING. CIVIL I.-
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I.- INTRODUCCIÓN
El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada. En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el
La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real. Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica La Viga Conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos en este caso el Método de la Viga Conjugada. A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos.: Principio -> Teorema -> Método -> Procedimiento
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donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios.
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diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de
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El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante desde el punto de vista constructivo. Para dichos cálculos se hará uso del método de la viga conjugada que consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. La deflexión que presentan las vigas por acción de las cargas que soportan, han motivado la existencia de numerosos métodos de cálculo aplicables a cualquier tipo de estructuras. A continuación analizaremos el método de la viga conjugada. Este método contaremos con vigas que puede ser isostática o hiperestática (tenemos que hacer que la viga sea como isostática) ya que esta siempre es una viga estáticamente determinada, a partir de este punto, calculamos el diagrama de momento (M y M/EI), obtendremos dos ecuaciones, una indica el giro θ (x) de la viga en cualquier punto y la segunda el valor de la flecha δ(x) de la viga deformada en cualquier punto de
Se resume que la viga conjugada es una ficticia de longitud igual a la de una viga real y cuya carga es el diagrama de momentos flectores reducidos.
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LOS ALUMNOS.
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ésta.
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II.- OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES:
El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una estructura a través de este método. Cálculo de giros y flechas en vigas. Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga real utilizando una viga ficticia para ello. Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real para poder crear así nuestra viga ficticia.
para el cálculo de deflexiones en vigas. Entender el concepto del método de la viga conjugada. Analizar la viga estáticamente determinada. Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre una viga real y ficticia.
III.- MARCO TEORICO
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Utilizar el método de LA VIGA CONJUGADA o método de la viga imaginaria,
CONJUGADA
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
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3.1.- METODO DE LA VIGA CONJUGADA
3.1.1.- DEFINICION.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado de la compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. Este método consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma y también se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son los diagramas de momentos de las cargas reales dadas. Este método al igual que el de eje elástico y área de momentos, nos permite calcular los giros y fechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales
3.1.2.-MARCO HISTORICO.- El método de la " viga conjugada " se debe a Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este método.
3.1.2.1.-CHRISTIAN OTTO MOHR.-
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llamados columnas. La fig. 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas.
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Christian Otto Mohr (Wesselburen, 8 de octubre de 1835 - Dresde, 2 de octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemán, uno de los más celebrados del siglo XIX.
3.1.2.2.-VIDA.Mohr perteneció a una familia terrateniente de Wesselburen en la región de Holstein y estudió en la Escuela Politécnica de Hanóver. En los inicios de 1855, durante su vida laboral temprana estuvo trabajando en el diseño de vías de ferrocarriles para las vías de los estados de Hanóver y Oldenburg, diseñando algunos puentes famosos y creando algunas de las primeras armaduras de acero. Aún en sus primeros años construyendo vías de tren, Mohr se sentía muy interesado por las teorías de mecánica y la resistencia de materiales y en 1867, se hizo profesor de mecánica en el Politécnico de Stuttgart y en 1873 en el Politécnico de Dresde. Mohr tenía un estilo
En 1874, Mohr formalizó, la hasta entonces solo intuitiva, idea de una estructura estáticamente indeterminada. Mohr fue un entusiasta de las herramientas gráficas y desarrolló un método para representar
visualmente
tensiones
en
tres
dimensiones,
previamente propuesto por Carl Culmann. En1882, desarrolló el método gráfico en dos dimensiones para el análisis de tensión conocido como círculo de Mohr y lo usó para proponer la nueva teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante. También
desarrolló
el
diagrama
Williot-Mohr
para
el
desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el
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3.1.2.3.-LOGROS CIENTIFICOS.-
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directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes.
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análisis de estructuras estáticamente indeterminadas. Se retiró en 1900 y murió en Dresde en 1918.
3.2.- PROCEDIMIENTO.El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga conjugada. Luego, aplicando la estática se hallan las cortantes y momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. Este método es útil cuando es fácil determinar la ley de momentos flectores de la principal. Si no se utiliza otro método. En la viga conjugada las cargas están
NOTA: Existe una relación entre el cortante obtenido en la viga conjugada y el ángulo girado en la misma sección en la viga principal; y una relación entre el momento flector en la viga conjugada y el desplazamiento producido en esa misma sección en la viga principal.
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CONJUGADA
dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo.
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En la viga conjugada.
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CONJUGADA
Aplicando el primer teorema de Mohr,
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3.3.-POSTULADOS.1. El giro en cualquier sección de la viga real, es igual al cortante en la sección correspondiente de la viga conjugada. 2. La flecha en cualquier sección de la viga real, es igual al momento flector en la viga conjugada en la sección correspondiente. Los apoyos de la viga real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura. Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga conjugada debe ser estáticamente determinada.
3.4.- CONVENCION DE SIGNOS: Si el cortante es (+): el giro es (-) Si el cortante es (-): el giro es (+) Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo. Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.
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3.5.- CONDICIONES DE CONTORNO:
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3.6.-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma. b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real. c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el mismo
punto de la viga real.
d.- El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el mismo punto de la viga real. e.- Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada. f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga conjugada.
h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación
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en la viga conjugada.
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g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.
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3.7.- TABLAS DE CONVERSION: Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros, desplazamientos)
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(Corte, momento)
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En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le
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confiere estabilidad.
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IV.- EJERCICIOS RESUELTOS
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Ejemplo 01: Calcular la flecha en C y el giro en B.
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CONJUGADA
Ejemplo 02: En la viga mostrada en la figura, calcular el giro de la sección A y la flecha máxima.
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EJEMPLO 03.- En la viga mostrada en la figura, calcular el
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giro de la sección B y el desplazamiento de la sección A.
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EJEMPLO 04.- Encuentre La Deflexión En El Extremo Del
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Voladizo
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EJEMPLO 05: En el siguiente ejercicio encontrar la
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deflexión máxima. (Desprecie el peso de la viga)
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EJEMPLO 06: resuelva la siguiente viga mostrada, Rb
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redundante.
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EJEMPLO 07: Resuelva el pórtico. Se descompone como se
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CONJUGADA
muestra a continuación:
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V.- CONCLUSIONES.-
1. El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en dicha sección. El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha en la viga real en dicha sección. 2. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. 3. La viga conjugada se carga siempre con el DMF en dirección de la comprensión. 4. Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de esta frente a las diferentes solicitaciones tanto estáticas como dinámicas. 5. Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequeñas deformaciones internas, tanto en los nudos como en la viga misma, siempre que los apoyos o la viga misma permita alguna deformación. El conocer estos comportamientos permite saber si la deformación será resistida por la estructura y así no falle.
deformación en su punto más crítico y así poder predecir si esta deformación está dentro del rango permitido, y por lo tanto saber si resiste la estructura o no.
7. Para el análisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga real en dicha sección. El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha (Δ) en la viga real en dicha sección.
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comportamiento de una viga con respecto a la rotación de sus apoyos y la
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6. El conocimiento de métodos como la viga conjugada nos permite ver el
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VI.- BIBLIOGRAFIA:
Resistencia de Materiales: Pytel - Singer 4ta Edición (Pág. 212) Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales Universidad Nacional de Ingeniería http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/d eflexiones%20geometricas.htm www.ing.una.py/.../APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf Análisis Estructural: GENARO DELGADO CONTRERAS Págs. 21 – 37
FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR. Págs. 528 – 537 2º Edición Resistencia de Materiales: I – II ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C. Págs. 137 – 152 3º Edición.
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Mecánica de Materiales:
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1º Edición.
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VII.- ANEXOS.-
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Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada, podremos encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura mostrada, a través de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar con esta como una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando correctamente la relación que existe entre esta viga ficticia con la real.
CONJUGADA
Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si fuera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en los extremos construidas generalmente con piezas de acero.
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Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre desplazamientos en sus vigas por la acción de cargas que soporta. Si bien es cierto la deflexión de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista, pero que es fácil de hacer sus cálculos, en este caso por el método de la viga conjugada.
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Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite desplazamientos.
CONJUGADA
Ensayo realizado en una viga. El aumento de presión hará que la viga se flexione hasta la rotura.
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INDICE
I.
INTRODUCCION
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II.
OBJETIVOS
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III.
MARCO TEORICO
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3.1.- METODO DE LA VIGA CONJUGADA 3.2.- PROCEDIMIENTO 3.3.-POSTULADOS 3.4.-CONVENCION DE SIGNOS 3.5.- CONDICIONES DE CONTORNO 3.6.-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA
EJERCICIOS RESUELTOS
13
V.
CONCLUCIONES
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VI.
BIBLIOGRAFIA
26
VII.
ANEXOS
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METODO DE LA VIGA
IV.
CONJUGADA
3.7.- TABLAS DE CONVERSION
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