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• Luisangel Terrazas

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VIGAS

ESTÁTICA

INTRODUCCIÓN Otro de los pilares fundamentales de la Mecánica es la Estática. La Mecánica es una rama de las Ciencias Físicas que estudia al estado de reposo o movimiento de los cuerpos que están sometidos a la acción de fuerzas. La Mecánica de Cuerpos Rígidos es una rama de la Mecánica que es esencial para el diseño y el análisis de muchos tipos de elementos estructurales, componentes mecánicos que pueden encontrarse en la práctica de la ingeniería.

El diseño de cualquier miembro estructural o mecánico requiere un estudio de las cargas que actúa dentro de él para asegurarnos de que el material pueda resistir esta carga. Las cargas internas pueden ser determinadas usado el método de las secciones y el método de áreas.

Las vigas son usualmente miembros horizontales rectos usados principalmente para soportar cargas verticales o cargas que no forman ángulos rectos con la viga. Antes de poder dimensionar un miembro estructural, es necesario determinar la fuerza y el momento que actúan en él.

Esta separata explica lo que es una viga, tipos de vigas, tipos de cargas, método de las secciones y método de áreas para encontrar las fuerzas internas después de haber encontrado las fuerzas externas; luego se obtiene la diagramación de las fuerzas cortantes y momento flector.

Finalmente, se cita las referencias bibliográficas utilizadas para la redacción de este material.

M(o). Cristian Milton Mendoza Flores http://cmmendozaf.blogspot.com

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VIGAS I.1 Vigas Son elementos prismáticos rectos y largos diseñados para soportar fuerzas externas y fuerzas internas que intervienen en el equilibrio del elemento estructural.  Las fuerzas externas.- Son las cargas aplicadas en varios puntos a lo largo del elemento, así como sus reacciones.  Las fuerzas internas.- Son aquellas que se encargan de mantener las partículas del elemento en cohesión e impide que éste colapse. En la mayoría de los casos, las cargas son perpendiculares al eje de la viga ocasionando corte y flexión sobre ésta. Cuando las cargas no forman ángulos rectos con la viga, también producirán fuerzas axiales en ellas. El diseño de una viga para que soporte de la manera más efectiva las cargas aplicadas involucran dos partes:  Determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas.  Seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores. Una viga puede estar sujeta a cargas concentradas P1 , P2 , … expresadas en Newton (N), libras (lb) o sus múltiplos kilonewtons (kN) y kilolibras (klb), a una carga distribuida W, expresada en N/m, kN/m, lb/pies o una combinación de ambas cargas.

Figura 01. Carga distribuida y cargas concentradas en la viga.

Imaginemos un corte en el tramo AB, a una distancia x del apoyo A, donde se debe incluir las fuerzas internas (fuerza normal N, fuerza cortante V, momento flector M y posiblemente momento torsor para rotación) generadas en esa sección.

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Figura 02. Corte imaginario en el tramo AB.

Fuerza normal o fuerza axial  N  .- Actúa a lo largo del elemento y cuya línea de acción pasa por el centroide de la sección del elemento. Esta fuerza tiende a alargar o a cortar el elemento. En esta separata considera cuerpos homogéneos en cuyo caso el centroide coincide con el centro de gravedad de la sección.

Figura 03. La fuerza normal puede ser de tracción o compresión.

Fuerza cortante V  .- Reside en el plano del área y se desarrolla cuando las cargas externas tienden a ocasionar que las dos secciones continuas del elemento resbalan uno sobre el otro.

Figura 04. Fuerza cortante.

Momento flector M  .- Es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el elemento respecto a un eje que se encuentra dentro del plano de área.

Figura 05. Momento flector.

Momento torsor   .- El momento torsor tiende a hacer rotar a un elemento prismático en relación con su eje longitudinal.

Figura 06. Momento torsor.

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Los momentos torsores se originan cuando la línea de acción de la resultante de fuerzas no pasa por un punto de la sección llamado centro de corte. Este punto es también aquel con respecto al cual gira una sección sometida a torsión pura. El momento torsor es también producido por la aplicación de un par cuya normal se dirige a lo largo del eje longitudinal del elemento.

I.1.1 Convenio de signos La selección de una convención de signos es arbitraria, aquí elegiremos la usada para la mayoría de aplicaciones en ingeniería. Está ilustrada en la figura 07. Aquí las direcciones positivas son denotadas por una fuerza cortante interna que causa una rotación en el sentido de las manecillas del reloj del miembro el cual actúa, y por un momento interno que causa compresión o empuje sobre la parte superior del miembro. También, un momento positivo tendría a flexionar el miembro, sí esté fuera elástico, con concavidad hacia arriba. Las cargas opuestas a éstas se consideran negativas.

Fuerza cortante positiva

Momento flexionante positivo

Figura 07. Convenio de signos.

I.1.2 Tipos de vigas Se clasifican de acuerdo con la forma en que están apoyadas: a) Vigas estáticamente determinadas  Vigas simplemente apoyadas.

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 Viga con voladizo.

 Viga en voladizo.

b) Vigas estáticamente indeterminada  Viga continua.

 Viga en voladizo apuntalada.

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 Viga fija.

En todas la vigas esta presente L que es el claro o luz.

I.1.3 Tipos de cargas Las cargas que actúan sobre las estructuras pueden dividirse en: a) La cargas muerta (D) compuesta por el peso propio de la estructura más las cargas que actúan de manera definitiva sobre la misma. b) La carga viva (L) dada por el uso de la estructura: Viviendas, estadios, hospitales, etc. c) La carga sísmica (E) producida por los sismos que pueden afectar a la estructura durante su vida útil. d) La carga de viento (W) que ejerce presión sobre las construcciones y pueden ser criticas si éstas son livianas. Existen otros tipos de cargas como los generados por las presiones del suelo (como las ejercidas por la presión lateral de la tierra en muros o las ejercidas verticalmente sobre las cimentaciones); las presiones hidrostáticas (como la presión del agua contra las cortinas de presas, las fuerzas de inercia de grandes cantidades de agua durante un sismo y las subpresiones sobre tanques y estructuras de cimentación); Las cargas de explosiones (causadas por explosiones, roturas de la barra del sonido, armamentos); las fuerzas térmicas (debidos a cambios de temperaturas que ocasionan deformaciones que, a su vez, generan fuerzas estructurales); fuerzas centrífugas (como las causadas en puentes curvos por camiones o trenes o efectos similares en la montaña rusa etc).

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I.2 El método de las secciones Para ilustrar el método de las secciones en el cálculo de las expresiones de la fuerza cortante y momento flector en una viga, vamos utilizar un ejemplo para luego diagramar. Ejemplo 1.1 Una viga simple AB está cargada uniformemente en dos segmentos y dos fuerzas horizontales actúan en los extremos de un brazo vertical (véase la figura). Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante para esta viga.

Solución



  Fx  0

   Fy  0

M

Ax  8  8  0

Ay  B y  8  8  0

 4 Ay  8(3)  8(1)  8(1)  8(3)  4 B y  0

Ax  0

Ax  B y  16................(1)

 Ay  B y  4...........................................(2)

C

0

De las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

B y  10kN

y

Ay  6kN

 En el tramo AD:

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   Fy  0  6  4 x  VF  0

 x  0  V F  6kN  V F  6  4 x  SiV F  0  x  1,5m  x  2  V  2kN F 

M

F

0

M F  4 x( x / 2)  6 x  0 M F  2x 2  6x  0

 x  0  M F  0kN .m  M F  6 x  2 x  Si x  1,5  M F  4,5kN .m  x  2  M  4kN .m F  2

 En el tramo DC:

   Fy  0

M

 6  8  VG  0

M G  8( x  1)  6 x  0

 x  2  VG  2kN VG  2kN  Si  x  4  VG  2kN

 x  2  M G  4kN .m M G  8  2 x  Si  x  4  M G  0kN .m

G

0

 En el tramo CE:

   Fy  0

M

 6  8  VH  0

M H  8(1)  8(1)  8( x  1)  6 x  0

 x  4  VH  2kN V H  2kN  Si  x  6  VH  2kN

H

0

 x  4  M H  16 kN .m M H  24  2 x  Si  x  6  M H  12 kN .m

 En el tramo EB:

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   Fy  0 V I  4( x  6)  8  6  0  x  6  V I  2kN V I  (22  4 x)  Si  x  8  V I  10 kN

M

I

0

M I  4( x  6)( x  6) / 2  8(1)  8(1)  8( x  1)  6 x  0

 x  6  M I  12kN .m M I  48  22 x  2 x 2  Si  x  8  M I  0kN .m

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PROBLEMAS 1.1. Si se supone que la reacción del suelo sobre la viga AB que muestra la figura está dirigida hacia arriba y es uniformemente distribuida. a) Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. b) Determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

1.2. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga (a) en términos de los parámetros mostrados; (b) considere M o  500 N .m , L  8m .

1.3. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga ahusada en función de x.

1.4. La viga ABCD que se ve en la figura tiene voladizos de 4,2 m en ambas direcciones, medidas a partir de los apoyos B y C separados 1,2 m. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para esta viga en voladizo.

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1.5. Una viga de longitud L se diseña para soportar una carga uniforme de intensidad

q (véase la figura). Si los apoyos de la viga se colocan en los extremos, como viga simple, el momento flector máximo en ella es qL2 / 8 . Sin embargo, si los soportes se recorren en forma simétrica hacia el centro de la viga (como se ve en la figura), se reduce el momento máximo de flexión. Determine la distancia a entre los apoyos para que el momento flector máximo en la viga tenga mínimo valor numérico posible. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para esta viga.

1.6. Para la viga mostrada en la figura, determinar: a) Las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para las barras AB y AC en términos de x , considerando el origen A. b) Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga.

1.7. Para la viga mostrada en la figura, determinar: a) Las ecuaciones de fuerza cortante y momento flector para las barras AC, CD, DE y EB en términos de x . b) Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga.

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I.3 Relación entre carga distribuida, fuerza cortante y momento flector o método de áreas Si una viga está sometida a varias cargas concentradas, o cuando soporta cargas distribuidas y momento par, el método para graficar la fuerza cortante y el momento flector se vuelven muy tedioso. Por tanto, se debe tomar en consideración para el diagrama, ciertas relaciones que existen entre la carga, la fuerza cortante y el momento flector. Considérese la viga AD mostrada en la figura el cual está sometido a una carga arbitraria

w(x) y a una serie de fuerzas concentradas y momentos de par. En la siguiente argumentación, la carga distribuida se considerará positiva cuando la carga actúe hacia abajo como se muestra. Para el análisis, se elige un pequeño segmento de la viga con una longitud dx en un punto x a lo largo de viga que no esté sometida a una fuerza concentrada o momento de par.

Figura 08. Cargas concentradas, carga distribuida y momento par en una viga.



   Fy  0  V  wdx  (V  dV )  0

w( x)  

dV dx

(1)

La intensidad de la carga distribuida en cualquier sección de una viga es igual al negativo de la pendiente del diagrama de de fuerza cortante en esa sección.

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M



O

 0   M  Vdx  ( M  dM )  w( x)dx

V 

dx 0 2

dM w( x)dx  0 dx 2

Debido dx es infinitesimal, el último termino se puede quitar (esto no es una aproximación).

V 

dM dx

(2)

La fuerza cortante en cualquier sección es igual a la pendiente del diagrama de momento flector en esa sección. Las ecuaciones (1) y (2) se llaman ecuaciones diferenciales de equilibrio para vigas.  El cambio en fuerza cortante es igual al negativo del área bajo la curva de la carga. xC

VC  VB   w( x)dx xB

(4)

 El cambio en momento es igual al área bajo el diagrama de fuerza cortante. xC

M C  M B   Vdx xB

(5)

 Si la curva de la carga de la carga w(x) es un polinomio de grado n, entonces V(x) será una curva de grado n+1, y M(x) será una curva de grado n+2. Fuerza. Tomando un segmento de la viga donde actúa una fuerza se tiene:

Figura 09. Segmento de viga donde actúa una fuerza.

   Fy  0  V  F  (V  dV )  0

dV   F El cambio en fuerza cortante es negativo, de manera que el diagrama de fuerza cortante éste “saltara” hacia abajo cuando F actúe hacia abajo sobre la viga. Igualmente, el salto en fuerza cortante (dV) es hacia arriba cuando F actúa hacia arriba.

Momento par. Si retiramos un segmento de la viga donde esté localizado el momento par obtendremos:

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Figura 10. Segmento de viga donde actúa un momento.

M

O

 0   M  Vdx  M O  M  dM  0

En este caso dx es infinitesimal.

dM  M O El cambio en momento es positivo, o el diagrama de momento “saltara” hacia arriba si MO es en el sentido de la manecilla de reloj. Igualmente, el salto (dM) es hacia abajo cuando MO es en sentido opuesto al de la manecilla del reloj. I.3.1 Relaciones comunes

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Ejemplo 1.2 Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga compuesta.

Solución

M

M

A

D

   Fy  0

0

5(1,5)  C y (3)  0

C y  Dy  5

C y  2,5kN

D y  2,5kN

0

   Fy  0

 3(6)(3)  2,5(6)  B y (3)  0

Ay  B y  3(6)  2,5

B y  23kN

Ay  2,5kN

 Diagramando la fuerza cortante: En el punto A: Ay  2,5kN En el tramo AB: V   w( x)x

V  3(3)  9kN En el punto B se tiene:  2,5  9  11,5kN

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ESTÁTICA En el mismo punto B se tiene una reacción de B y  23kN

 11,5  23  11,5kN En el tramo BC: V   w( x)x

V  3(3)  9kN En el punto C se tiene: 11,5  9  2,5kN , el cual la pendiente permanece constante hasta que aparece una fuerza concentrada de 5kN hacia abajo entonces 2,5  5  2,5kN . En este último tramo la pendiente permanece constante hasta llegar al punto D, donde la reacción en este punto es 2,5kN.

 2,5  2,5  0  Diagramando el momento flector: En el punto A no se tiene momento por tanto su momento es cero Se debe calcular las áreas de la diagramación de la fuerza cortante.

 2,5  11,5  A1   (3)  21kN .m 2   En el tramo AB se tiene:

0  21  21kN.m  2,5  11,5  A2   (3)  21kN .m 2   En el tramo BC se tiene:

 21  21  0kN.m A3  2,5(1,5)  3,75kN .m En el tramo de 6m a 7,5m se tiene:

0  3,75  3,75kN.m A4  2,5(1,5)  3,75kN .m En el tramo de 7,5m a 9m se tiene:

3,75  3,75  0kN.m

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PROBLEMAS 1.8. Para la viga y las cargas mostradas en la figura. a) Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector. b) Determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.

1.9. La viga AB mostrada en la figura se somete a una carga uniformemente distribuida de

1000 N / m y dos fuerzas desconocidas P y Q. Si el cálculo experimental de momento flector es de -395N.m en A y de -215N.m en C. a) Determine P y Q. b) Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la viga.

1.10. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga.

1.11. Para la viga y la carga distribuida que se muestra en la figura. a) Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector. b) Determine la magnitud y la ubicación del momento flector máximo.

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1.12. Dibujar sus diagramas de fuerza cortante y momento flector y especificar los valores de

V y M a 6m del empotramiento A.

1.13. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector. Especifique el máximo momento M m áx .

1.14. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

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DE

REPASO

Resolver por el método de las secciones 1. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector de la figura.

2. Determine la intensidad w0 más grande de la carga distribuida que puede soportar la viga si ésta puede aguantar un momento flector máximo M máx  20kN .m y una fuerza cortante máxima de Vmáx  80kN .

3. La viga compuesta tiene un soporte fijo en A, está conectada mediante un pasador en B y se sostiene por medio de un rodillo en C. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga.

4. Exprese las componentes de la fuerza cortante y del momento flector internos que actúan en la barra del cono de y , donde 0  y  4 pies .

5. El cono truncado se encuentra en voladizo desde el punto A. Si el cono está hecho de un material con un peso específico de  , determine en el cono la fuerza cortante y el momento flector interno como función x .

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6. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flector en la barra curva como una función de  .

7. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga AB.

8. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga.

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9. La grúa móvil consiste en una viga de 5m de largo cuya masa uniforme por unidad de longitud es de 20 kg / m . La cadena del malacate y su carga soportada ejerce una fuerza de 8kN

sobre la viga cuando

x  2m . Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga. Las ruedas de guía en los extremos A y B ejercen sólo reacciones verticales sobre la viga. Ignore el tamaño del cargador en C.

Resolver por el método de áreas 10. La trabe de concreto soporta las dos cargas de columnas. Si la presión del suelo bajo la trabe se supone uniforme, determine su intensidad w y la posición d de la columna en B. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la trabe.

11. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga. El soporte en A no ofrece resistencia a la carga vertical.

12. La flecha está soportada por una chumacera de empuje en A y una chumacera lisa en B. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la flecha.

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13. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga.

14. Trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector para la viga AD.

15. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga.

16. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la flecha. Los soportes en A y B son chumaceras lisas.

17. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga CD.

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18. Trace los diagramas de fuerza cortante y de momento flector para la viga.

19. Para la viga AB mostrada en la figura, a) trace los diagramas de fuerza cortante y momento flector, b) determine la magnitud y la ubicación del valor absoluto máximo del momento flector.

20. Los tablones ABC y BCD están unidos por pernos como se muestra. Si los pernos ejercen sólo reacciones verticales sobre los tablones, determine las reacciones en los soportes y dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector para cada tablón.

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