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VIBRACIONES CONCEPTOS Vibración es la respuesta repetitiva, periódica y oscilatoria de un sistema mecánico. La velocidad de la vibración se denomina frecuencia. ESTUDIO DE LAS VIBRACIONES. Se ocupa del análisis, observación, medición, control y modificación del movimiento oscilatorio de cuerpos y sistemas y las fuerzas asociadas a ellos. CONCEPTOS medio para almacenar energía potencial ∶ resorte o elasticidad Sistema vibratorio: {medio para almacenar energía cineética ∶ masa o inercia } medio para perder energía gradualmente ∶ amortiguación

GRADOS DE LIBERTAD

TIPOS DE VIBRACIÓN Vibración libre, producida por condiciones o perturbaciones iníciales con ausencia de fuerzas exteriores, la velocidad de vibración coincide con sus frecuencias naturales. Vibración forzada, producida por la acción de fuerzas externas. La vibración forzada ocurre con la aplicación de fuerzas exteriores, por ejemplo debido a un desbalanceamiento en un rotor o la trepidación que experimenta un motor de combustión debido al movimiento de sus eslabonamientos y a los pares de gas. Vibración amortiguada, la amortiguación es un fenómeno en que la energía es disipada y siempre se encuentra presente .Es una forma de limitar la vibración. Vibración no amortiguada, cuando la amortiguación es muy pequeña

Vibración lineal y no lineal, cuando los componentes básicos se comportan de manera no lineal

Vibración periódica o determinística En la realidad las vibraciones con diferentes frecuencias se superponen, por ejemplo un motor en V

Se utiliza series de Fourier para definir esta vibración Vibración aleatoria

AREAS DE APLICACIÓN Aplicación de las vibraciones son encontradas en muchas ramas de la ingeniería como es la ingeniería civil, aeronáutica, mecánica, eléctrica, mecatrónica. La ciencia e ingeniería de las vibraciones envuelve dos categorías de aplicación 1.- Eliminar o suprimir movimientos indeseables como movimientos estructurales debido a sismos, interacción entre vehículos y puentes, vibraciones autoinducidas en máquinas herramientas, Vibración transmitida desde máquinas a sus soportes 2.- Generación de formas y cantidades necesarias de vibraciones útiles como instrumentos de terapia física, mezcladores y transportadores industriales

MOVIMIENTO ARMÓNICO La forma más simple del movimiento periódico es el movimiento armónico

Donde el tiempo de repetición es el periodo t y la frecuencia es f = 1 /t (ciclos /seg) La frecuencia angular w es 2 π / t. x

A  sin (   t)

v

A    cos (   t)

a

A    sin (   t)

2

CAPITULO I VIBRACIONES LIBRES Cualquier sistema mecánico posee masa y elasticidad y es por lo tanto susceptible de vibrar o de oscilar alrededor de una posición de equilibrio. La vibración libre ocurre sin la aplicación de fuerzas externas. Por lo general, la vibración libre surge cuando se desplaza un sistema elástico, o se le proporciona cierta velocidad inicial es decir condiciones iníciales. EJERCICIO DE APLICACIÓN: Un movimiento armónico tiene una amplitud de 0.20 cm y un periodo de 0.5 seg. Determinar la velocidad máxima y aceleración.



x

A  sin (   t)

x

0.2 sin 

v

A    cos (   t)

v

0.2

a

A    sin (   t)

 2   t     

2  0.5

 cos (   t)

x

2  

 2   t    0.5 

0.2 sin 

vmax 

0.2  2  

vmax  2.513

0.5

2

2

 2    cos (   t) a 0.2    0.5 

 2   amax  0.2     0.5 

2

amax  31.583

Un acelerómetro indica que una estructura está vibrando armónicamente a 82 ciclos/ s. con una aceleración máxima de 50 g. Determine la amplitud.

Datos: 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔 𝑎 = 50 𝑔 𝑓 = 82

𝑥(𝑡) = 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕) 𝑣(𝑡) = 𝐴𝑤 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡) 𝑎(𝑡) = −𝑨𝑤² 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕) 𝑎(𝑡) = −𝑥(𝑡) 𝑤²

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑑 𝑟𝑎𝑑 ∗ 2𝜋 = 515,22 𝑠𝑒𝑔 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 𝑠𝑒𝑔 𝑎𝑚𝑎𝑥 = −𝐴𝑤² 𝑚 𝑎 = 50 ∗ 9.81 = −𝐴𝑤² 𝑠² 𝑚 50 ∗ 9.81 𝑠² 𝐴= 𝑟𝑎𝑑 515,22 𝑠² 𝐴 = 1,84 𝑚𝑚

𝑤 = 82

Un movimiento armónico tiene una frecuencia de 10 ciclos/s y su máxima velocidad es de 4,57 m/s . Determinar su amplitud, periodo y su aceleración máxima.

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔 m = 4,57 s

𝑓 = 10 Vmax

𝑤 = 20𝜋

𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝐴𝑤 m 𝑟𝑎𝑑 4,57 = 𝐴 (20𝜋 ) s 𝑠𝑒𝑔 𝑤 = 2𝜋 ∗4,57 𝑓 m s 𝑨= 𝐴 = 0.072 𝑚 𝑟𝑎𝑑 20𝜋 𝑠𝑒𝑔

𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔

1 1 = 𝑇 = 0.1 𝑠𝑒𝑔 𝑓 10 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔 m 4,57 s 𝑟𝑎𝑑 2 𝑚 = − 𝐴𝑤² = ∗ (20𝜋 ) = 287,14 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔 𝑠² 20𝜋 𝑠𝑒𝑔 𝑻=

𝒂𝒎𝒂𝒙

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE Para entender este caso debemos partir del análisis del oscilador simple

El primer y segundo gráfico nos indican el resorte sometido al peso m g y simplemente tiene la ecuación de equilibrio m g = k . Como posteriormente demostraremos, y a partir de la relación encontrada tenemos que la ecuación de la frecuencia natural puede tener dos formas: n

k

g

m



Lo cual es bastante útil ya que encontrando la deflexión estática podemos determinar la frecuencia natural de un sistema.

En el tercer grafico desplazamos la masa y la soltamos lo cual generara una vibración en este caso denominada libre. Es nuestro interés determinar la respuesta dinámica del sistema. En este caso aplicamos la segunda ley de Newton.

F

m a

Haciendo el balance de fuerzas y tomando el eje y hacia abajo como positivo tenemos: m g  k    x

m

d

2

dt

2

x

Obteniendo finalmente la ecuación diferencial lineal, homogénea y de segundo orden cuya solución es:

x( t)

A sin n t  B cos  n t

Donde A y B son las constantes de integración y dependen de las condiciones iníciales de desplazamiento y velocidad para tiempo 0. Es importantísimo también el parámetro n denominado la frecuencia natural del sistema y que es igual a: n

k m

La frecuencia natural no es otra cosa que la velocidad con la que vibra un sistema aplicando solo condiciones iníciales. Derivando y reemplazando las condiciones iníciales obtenemos la siguiente solución: x( t) 

v0 n

 sin n t  x0 cos  n t

El siguiente es la traficación de la respuesta dinámica para un sistema masa resorte simple realizada en el programa MATHCAD:

t  0  0.001  1 v0  0

x0  .1 m

k  10000 n  x( t) 

N m

m  10 kg

k m v0 n

 sin  n  t  x0 cos  n  t

0.1

x( t )

0

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

Del grafico podemos determinar los siguientes parámetros: El periodo o duración de un ciclo es igual a:   2

 n

  0.199 s

y la frecuencia natural es de: n  31.623Hz

La amplitud máxima es en este caso de 0.1 m que es igual a la condición inicial que se dio y en forma general podemos fácilmente demostrar que la amplitud máxima es igual a:

X

v0  x0     n  2

2

EJERCICIO DE APLICACIÓN: Se tiene un oscilador simple, donde la constate k es 0.1533 N/m y la masa es un cuarto de kilogramo, determine la frecuencia natural y Δ estático.

𝑘 𝑤𝑛 = √ 𝑚

𝑘 𝛥𝑠𝑡 = 𝑚𝑔 1 𝑚 𝑘𝑔 ∗ 9.8 4 𝑠2 𝛥𝑠𝑡 = 𝑁 153.3 𝑚 𝛥𝑠𝑡 = 16 𝑚𝑚

𝑁 153,3 𝑚 𝑤𝑛 = √ 1 4 𝑘𝑔 𝑟𝑎𝑑 𝑤𝑛 = 24,73 𝑠𝑒𝑔

Una mesa pesada se soporta por patas de acero, su periodo natural en el movimiento horizontal es de 0.4 seg. Cuando se sujeta de la mesa una placa de 30 kg, el periodo aumenta 0.5 seg. ¿Cuál es la constante efectiva del resorte y la masa de la mesa?

𝑤𝑛1 = 𝑤𝑛2 =

2𝜋 𝑘 =√ 𝑡1 𝑚

2𝜋 𝑘 =√ 𝑡2 𝑚 + 30

4𝜋 2 𝑘 = 𝑚 𝑡12 4𝜋 2 𝑘 2 = 𝑚 + 30 𝑡2

𝑡12 𝑚 0.5 2 𝑚 + 30 = ( ) = 0.4 𝑚 𝑡22 𝑚 + 30 𝑚 = 53.33 𝑘𝑔 4𝜋 2 𝑁 𝑘= ∗ 53.33 = 13 0.42 𝑚 Un sistema masa resorte k1 y m1 tiene una frecuencia wn1. Si un resorte k2 es añadido en serie, la frecuencia natural baja a un wn/2. Determinar k2 en términos de k1

𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑘1 𝑘2 𝑘= 𝑘1 + 𝑘2

𝑤𝑛1

𝑘1 𝑘2 ⁄𝑘 + 𝑘 ) 1 2 ⁄ 𝑚1

1 √( 𝑤𝑛1 = 2

𝑘 =√ 𝑚1

2

2

(1/2√

𝑘1 𝑘2 ⁄𝑘 + 𝑘 ) √( 1 2 ⁄ 𝑚1

𝑘1 ) = 𝑚1 (

𝑘1 4𝑚1

=

𝑘1 𝑘2 𝑘1 +𝑘2

𝑘1

𝑚1

4

) 𝑘

𝑘

= 𝑘 1 +𝑘2 𝑘1 = 3 𝑘2 1

2

𝑘2 =

𝑘1 3

Determine la frecuencia natural de una viga en cantiléver

𝐸 = 200 ∗ ∆𝑠𝑡 = ∆𝑠𝑡 =

109 𝑁

𝑃𝐿3

𝑚2

𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

3𝐸𝐼 𝑚𝑔∗𝐿3 3𝐸𝐼 𝑔

𝑔

𝑊𝑛 = √∆𝑠𝑡 = √ 𝑚𝑔∗𝐿3 3𝐸𝐼

3𝐸𝐼

𝑊𝑛 = √

𝑚𝐿3

Se requiere determinar la respuesta dinámica de un martinete de caída libre unido a su respectiva cimentación y verificar si la medida de la vibración es aceptable:

Para lo cual vamos a dar los siguientes datos: Masa del martillo................................. mo = 50 Kg Masa del yunque.................................. m1 = 1000 Kg

Área de la cimentación....................... 3 x 1.5 m Altura de la cimentación...................... 0.5 m Altura de la caída................................ 1.2 m En primer lugar evaluamos la masa de la cimentación con una densidad del concreto de 2400 Kg / m3 para obtener la masa total m: 3

3 1.5 0.5 2400  1000  6.4  10

Entonces masa total. m = 6400 Kg La velocidad terminal del martillo será: vM  2 g h

vM  4.851

m s

Puesto que el momentum del sistema es igual antes y después del impacto tenemos: m0 vM

m0 vM2  m v

Donde vM2 es la velocidad con la que el martillo rebota y v es la velocidad inicial del movimiento de la cimentación y el yunque. Conociendo que la relación de las velocidades relativas de dos cuerpos que colisionan en direcciones opuestas depende únicamente del material de los mismos, entonces: v  vM2

kc

vM

Donde kc es el coeficiente de colisión que varía entre 0 y 1 dependiendo si el impacto es completamente elástico ( kc=1) o plástico (kc=0) Para martinetes de forja en caliente (kc = 0.25)1 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: v = 0.047 m/s y vM2 = -1.166 m/s La ecuación diferencial del sistema es la conocida m

d

2

dt

2

x  k x

0

Y la respuesta dinámica del sistema es: x( t) 

v0 n

 sin n t  x0 cos  n t

Las condiciones iníciales son entonces para x0 = 0 y para v0 = v La frecuencia natural es: n

1

k m

Vibrations Analysis and Design of foundations for Machines and Turbines, Alexander Major, page 237

La constante k corresponde al suelo donde está sentada la cimentación y se calcula como el producto de Cz por F. Donde Cz es el factor de compresión uniforme del suelo y F es el área de la cimentación Suponiendo un valor de Cz en N / m3 de 5.884 x 107 Y por el área de 4.5 m2 obtenemos un valor de k igual a: 2.648 x 108 N / m La frecuencia natural será entonces de 8

2.648  10 6400

 203.408

La amplitud máxima será de v / n y es de 0.231 mm

0.231

0.4 0.2

x( t )  1000

0 0.2

 0.231 0.4

0 0

0.05

0.1

0.15 t

0.2

0.25

0.3 0.3

Es decir que podemos esperar una vibración de 0.2 mm cada vez que ocurra un impacto la cual podemos considerar como aceptable para este tipo de máquina

VIBRACIÓN TORSIONAL

Si se aplica un torque en el disco y se libera se genera una vibración torsional cuya ecuación está representada por:

I

d

2

dt

2



K   T

d

2

dt

2



 Kt    0  I 

Donde la frecuencia natural es: K 

t

n

I K

Y Kt es la constante de rigidez torsional:

G J

t

l

G es el módulo de rigidez del acero a la torsión 4

 r

J es segundo momento de inercia para sección circular l es la longitud del eje I es el momento de inercia polar de masa es

4 del eje

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: Determine la frecuencia polar de Inercia de un disco de acero de diámetro 20 cm y 5 cm de espesor suspendido por un eje de 1 m de largo y de diámetro de 0.8 cm

El momento polar de Inercia de un disco es su resistencia al giro

Un pequeño turbo generador tiene una turbina de masa 20 kg y radio de giro 0.15 m conduciendo una armadura de masa 30 kg y radio de giro 0.1 m por medio de un eje de acero de 0.05 m y 0.4 m de longitud, el módulo de rigidez G de acero a la torsión es 86 x 109 N/m2. Determine la frecuencia natural y la posición del nodo

Los rotores tienden a torcerse en dirección contraria formando un punto de cero torsión conocido como nodo y que se obtiene igualando las frecuencias naturales

PÉNDULO BIFILAR Determine el momento de inercia I de una hélice de aeroplano a partir de la frecuencia natural de la oscilación libre cuando esta se suspende de dos alambres ligeros por los extremos de sus aspas

𝐷 𝜃 = ℎ𝜙 2 𝐷𝜃 𝜙= 2ℎ Σ𝑀 = 𝐼𝜃̈ 𝑚𝑔 𝐷 −2 ( ∗ sin(𝜙) ∗ ) = 𝐼𝜃̈ 2 2 𝑚𝑔 𝐷 −2 ( ∗ ϕ ∗ ) = 𝐼𝜃̈ 2 2 𝐷𝜃 𝐷 −2𝑚𝑔 ∗ ∗ = 𝐼𝜃̈ 2ℎ 2 𝐼𝜃̈ + 𝑚𝑔 ∗

𝐷2 𝜃 =0 4ℎ

Una biela que pesa 21.35N Oscila 53 veces en un minuto cuando se suspende como se indica. Determine el momento de inercia respecto al punto de oscilación., y al centro de gravedad si la distancia entre ambos es 0.254 m.

𝑚∗𝑔∗𝑟 53 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠 53 ∗ 2𝜋 = = 𝐼 60 𝑠 60

𝑊𝑛 = √

=√

21.35 ∗ 0.254 𝐼

𝐼 = 0.176𝑘𝑔 ∗ 𝑚2 𝐼𝑜 = 𝐼 − 𝑚 ∗ 𝑟 2 21.35 𝐼𝑜 = 0.176 − ∗ 0.2542 9.81 𝐼𝑜 = 0.036 𝐼𝑜 = 𝑘𝑔. 𝑚2

VIGAS Determine la frecuencia natural del siguiente sistema

∑ 𝑀 = 𝐼𝜃̈ −𝑘(𝑎 ∗ 𝜃) ∗ 𝑎 = 𝑚𝑏 2 𝜃̈ 𝑚𝑏 2 𝜃̈ + 𝑘 ∗ 𝑎2 ∗ 𝜃 = 0 𝑘 ∗ 𝑎2 𝑊𝑛 = √ 𝑚𝑏 2

EJERCICIOS PROPUESTOS: Determine la frecuencia natural usando las ecuaciones de equilibrio

.

MÉTODO DE LA ENERGIA En un sistema conservativo, la energía total es constante, y la ecuación diferencial del movimiento puede ser también establecida por el principio de la conservación de la energía. Para la vibración libre de un sistema sin amortiguación la energía cinética T es acumulada en la masa en virtud de la velocidad mientras que la energía potencial U es acumulada en la forma de deformación elástica del resorte. Al ser la energía total constante su velocidad de cambio es cero como ilustramos en las siguientes ecuaciones: T + U = constante d ( T  U) dt

0

Ejercicio de Aplicación: Determine la frecuencia natural del sistema indicado

La opción más adecuada para afrontar este ejercicio es por el método de la energía: Energía cinética es la suma de la energía cinética traslacional de m1 y las energías rotacionales de los engranes 2 y 3:

T

3'

2   1  m1 x'2    1  J2  x'    1  J3  3' 2     2   2  R2   2

2'

R2 R3

x' R2  R2 R3

x' R3

Energía potencial es la suma de la energía elástica del resorte y de la barra U

 1  k x2    1  k3 32  2  2     

Derivando obtenemos ( m1 x' x'') 

3

d ( T  U) dt

x R3

0

 J2  x' x''    J3  x' x''   ( k x x')  k3  x x' 0  2   2  2 R3  R2   R3 

Eliminado x’

 m1  J2  J3   x''   k  K3  0   2 2 2 R2 R3  R3    y la frecuencia natural del sistema queda:

n

 k  K3   2 R3    m1  J2  J3   2 2 R2 R3  

Determine la ecuación diferencial de los siguientes sistemas por el método de la energía:

1 1 ∗ 𝑚 ∗ (𝑥̇ )2 + ∗ 𝐽 ∗ 𝜃̇ 2 2 2 𝑥 =𝑏∗𝜃 𝑥 𝑥2 = 𝑎 ∗ 𝜃 𝑥2 = 𝑎 ∗ 𝑏 𝑇=

𝑥 𝑥̇ 𝜃 = 𝑏 𝜃̇ = 𝑏 1 1 𝑥̇ 𝑇 = ∗ 𝑚 ∗ (𝑥̇ )2 + ∗ 𝐽 ∗ ( )2 2 2 𝑏 1 1 𝑈 = ∗ 𝑘1 ∗ (𝑥)2 + ∗ 𝑘2 ∗ (𝑥2)2 2 2 𝑑𝑇 𝐽 = 𝑥̇ ∗ 𝑥̈ ∗ (𝑚 + 2 ) 𝑑𝑡 𝑏 𝑑𝑈 𝑎 2 = 𝑥 ∗ 𝑥̇ ∗ (𝑘1 + 𝑘2 ∗ ( ) ) 𝑑𝑡 𝑏 𝑑𝑇 𝑑𝑈 + =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐽 𝑎 2 𝑥̈ ∗ (𝑚 + 𝑏2 )+ 𝑥 ∗ (𝑘1 + 𝑘2 ∗ (𝑏) ) = 0

1 1 ∗ 𝑚 ∗ (𝑟1 ∗ 𝜃̇ )2 + ∗ 𝐽 ∗ 𝜃̇ 2 2 2 1 𝑈 = ∗ 𝑘 ∗ (𝑟2 ∗ 𝜃)2 2 𝑑𝑇 𝑑𝑈 + =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑇 = 𝑚 ∗ 𝑟12 ∗ 𝜃̇ ∗ 𝜃̈ +∗ 𝐽 ∗ 𝜃̇ ∗ 𝜃̈ 𝑑𝑡 𝑑𝑈 = 𝑘 ∗ 𝑟22 ∗ 𝜃 ∗ 𝜃̇ 𝑑𝑡 (𝑚 ∗ 𝑟12 + 𝐽) ∗ 𝜃̈ + 𝑘 ∗ 𝑟22 ∗ 𝜃 = 0 𝑇=

1 1 ∗ 𝑚 ∗ (𝑥̇ )2 + ∗ 𝐽 ∗ 𝜃̇ 2 2 2 𝑥 𝑥̇ ̇ 𝜃=𝑟 𝜃=𝑟 1 1 𝑥̇ 𝑇 = ∗ 𝑚 ∗ (𝑥̇ )2 + ∗ 𝐽 ∗ ( )2 2 2 𝑟 1 1 𝑈 = ∗ 𝑘1 ∗ (𝑥)2 + ∗ 𝑘2 ∗ (𝑥)2 2 2 𝑑𝑇 𝐽 = 𝑥̇ ∗ 𝑥̈ ∗ (𝑚 + 2 ) 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝑈 = 𝑥 ∗ 𝑥̇ ∗ (𝑘1 + 𝑘2) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑈 + =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐽 𝑥̈ ∗ (𝑚 + 𝑟 2 ))+ 𝑥 ∗ (𝑘1 + 𝑘2) = 0 𝑇=

𝜃1 ∗ 𝑅1 = 𝜃2 ∗ 𝑅2 1 𝑇 = 2 ∗ 𝐽2 ∗ 𝜃2̇2 + 2 ∗ 𝐽1 ∗ 𝜃1̇2 1 𝑅1 1 𝑇 = ∗ 𝐽2 ∗ ( )2 ∗ 𝜃1̇2 + ∗ 𝐽1 ∗ 𝜃1̇2 1

2

𝑅2

2

1 𝑈 = ∗ 𝑘 ∗ (𝜃1)2 2 𝑑𝑇 𝑅1 = 𝜃̇1 ∗ 𝜃1̈ ∗ (𝐽1 + 𝐽2 ∗ ( )2 ) 𝑑𝑡 𝑅2 𝑑𝑈 = 𝜃1 ∗ 𝜃1̇ ∗ (𝑘1) 𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑑𝑈 + =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅1 2 𝜃1̈ ∗ (𝐽1 + 𝐽2 ∗ ( ) ) + 𝜃1 ∗ (𝑘1)=0 𝑅2

Un cilindro de masa m y radio r rueda sin deslizar en una superficie cilíndrica como muestra la figura. Determine la ecuación diferencial de movimiento para pequeñas oscilaciones alrededor del punto más bajo. Para no deslizamiento se tiene que rФ = Rθ La energía cinética se compone de dos términos, la energía cinética traslacional y la energía cinética rotatoria. La velocidad de traslación del centro del cilindro es: (𝑅 − 𝑟)𝜃̇ Mientras que relativa es:

la

frecuencia

rotacional

𝑅 ( ∅̇ − 𝜃̇ ) = ( − 1)𝜃̇ 𝑟 La energía cinética puede escribirse como: 𝑇=

1 1 𝑚 𝑣2 + 𝐽 𝜔2 2 2

Por lo tanto: 1

1

𝑇 = 2 𝑚 ((𝑅 − 𝑟) 𝜃 ̇ )2 + 2 𝐽 〖(𝑅/𝑟 − 1) 𝜃 ̇〗^2 Donde J es

𝑚 2

𝑟2

La energía potencial es igual al negativo de levantar el cilindro a través de la altura vertical (𝑹 − 𝒓)( 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝜽))

𝑈 = 𝑚 𝑔 (𝑹 − 𝒓)( 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 (𝜽)) Sumando y derivando con respecto al tiempo tenemos: 𝜽̈ +

𝟐𝒈 𝜽=𝟎 𝟑(𝑹 − 𝒓)

EJERCICIOS PROPUESTOS Determine la frecuencia natural del siguiente sistema

El péndulo invertido es un modelo simple que se utiliza en el estudio de estabilidad de sistemas inestables, tales como cohetes. Considere el péndulo invertido con una m puntual y longitud l que está restringida en su pivote por un resorte de torsión de rigidez k. a. Obtener una ecuación de movimiento de este sistema? b. Obtenga una expresión para la frecuencia natural de pequeñas oscilaciones alrededor de la vertical c. ¿Bajo qué condiciones el sistema se vuelva inestable?

Un medidor de amplitud consiste en una masa sísmica suspendida como se muestra, determínese la frecuencia natural en función de las constantes k1, k2, m y el momento de inercia I

Determine la frecuencia natural de los rodillos siguientes

Determine la frecuencia natural de los dos sistemas no lineales

Nota: Consultar la bibliografía proporcionada

EFECTO DE LA MASA DEL ELEMENTO ELÁSTICO Al usar los métodos de la energía, se puede corregir el cálculo para la frecuencia natural, con objeto de incluir la masa del elemento elástico, si esta masa no es despreciable. Solo es necesario sumar a la energía cinética, la energía cinética del elemento elástico.

El cambio de la energía potencial es simplemente: 1

V V 2

1

2

2

 k x

La energía cinética del sistema incluye la energía cinética de la masa y la energía cinética del resorte. La energía cinética de la masa m, es: 1

T

2

2

 m x'

La energía cinética de un elemento de resorte, dc, varía con la distancia a partir del extremo fijo del mismo. El peso por unidad de longitud es  m

s



l 1

dT

s

2

2

  dc c'

Si suponemos una relación lineal entre la velocidad c y la velocidad del extremo del resorte x’, podemos integrar para encontrar la energía cinética total del resorte c

c'

l

 x'

  x'

c'

La fracción c/l =  es el modo, forma de modo o fracción modal. Este describe el desplazamiento de cualquier punto sobre el resorte. Sustituyendo para c’, la energía cinética del elemento dc es dT

s

Integrando a través de todo el resorte,

1 2

 

c

2

2

l

2

 x'  dc

l

T

s

  1 c2 2      x' d c 2  2 l 

1

Ts

2

 

1

2

   l x'  3

0

Ya que la masa del resorte es  l, la inclusión del efecto de la masa del resorte es cinéticamente equivalente a añadir un tercio de la masa de este a la masa principal. M T

1 2

  m 



1 3

 m   x'

2

s

Supongamos ahora que se pueda expresar la oscilación del sistema como un movimiento armónico simple de la coordenada generalizada x, el desplazamiento de la masa principal del extremo del resorte es: x

X sin n t

X n cos  n t

x'

igualando la energía cinética máxima a la energía potencial máxima Tmax 1 2

  m 



1 3

Vmax

 m   X  n 2

1

2

s

2

la frecuencia natural del sistema es: n

k

2

m

1 3

m

s

2

 k X

VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUACIÓN El proceso por el cual la vibración disminuye continuamente en amplitud, recibe el nombre de amortiguación. En la amortiguación la energía se disipa como fricción o calor. Existen tres mecanismos de amortiguación los cuales son: - Amortiguación viscosa - Amortiguación histerésica o interna - Amortiguación de Coulomb o por fricción seca - Amortiguación estructural - Amortiguación activa/pasiva

AMORTIGUACIÓN VISCOSA

Al oscilador simple le hemos incrementado un amortiguador que consiste en un embolo que suele tener orificios y que ajusta con holgura en un recipiente lleno de aceite. El líquido puede fluir alrededor del émbolo, de un lado hacia otro del mismo, a través del claro y los orificios. El flujo será proporcional a la diferencia de presiones, a la viscosidad del fluido y a la velocidad del embolo. Todo lo anterior se agrupa en una constante de amortiguación de tal forma que la fuerza en el amortiguador está dada por: Fuerza = -c * velocidad La constante de proporcionalidad, c, es la constante de amortiguación. Las unidades de esta son N*s/m La ecuación del movimiento es de la forma: m x''  c x'  k x

0

Esta es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden. La solución de prueba es del tipo x

C e

 t

Reemplazando en la ecuación diferencial obtenemos la ecuación característica:

c

2

 

m

 

k

0

m

Cuyas raíces son complejas: 1

c 2 m



c

2 2



4 m

k

c

2

m

2 m



c

2 2



4 m

k m

La solución general para el desplazamiento es entonces:



x( t)

 c t    2 m    e  C1 e



2

c

2



4 m

k

2

t

m



 C2 e

c

2

4 m



k m



t 

 

C1 y C2 son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iníciales. c

Existen tres tipos de respuestas del sistema, dependiendo de sí el radical Es real, cero o imaginario.

2 2

4 m



k m

𝑐𝑐𝑟 2 = 4 𝑚2 𝜔𝑛 2 ; 𝑐𝑐𝑟 = 2𝑚 𝜔𝑛 c C



cr

𝑐 𝜁𝑐𝑐𝑟 = = 𝜁𝜔𝑛 2𝑚 2𝑚 2 (√𝜁 −1)𝜔𝑛 𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝜁𝜔𝑛 𝑡 ( 𝐶1 𝑒

+ 𝐶2 𝑒

−(√𝜁2 −1)𝜔𝑛 𝑡

)

CASO I c

2

 2

4 m

k m

En este caso, el radical es real y se denomina SISTEMA SOBREAMORTIGUADO. No ocurre oscilación y teóricamente, el sistema nunca retornara al equilibrio, mecanismos de este tipo los encontramos en mecanismos para cierre de puertas.

El siguiente es el grafico de respuesta del sistema para los datos y condiciones iniciales indicadas: c  200

k  1000

t  0  0.01  1   x0 

c

C1 

k

n 

m

  1.414

2 m n 5

v0  0

1000



m  5

v0    

2





  1   n  x0

C2 

2

2 n    1 2

c k  c t   t     2 m 2  m 4  m   C1 e x( t)  e   C2 e 

Desplazamiento

2

c

2



4 m

k m



t 

 

Sistema sobreamortiguado

3 510 0.006

x( t )



2

2 n    1



2

v0       1   n  x0

0.004 0.002

5

1.72510

0

0 0

CASO II

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 t tiempo

0.6

0.7

0.8

0.9

1 1

c

2

k m

2

4 m

En este caso el radical vale cero, y se dice que el sistema está críticamente amortiguado. El valor de la constante de amortiguación para el cual el sistema se halla críticamente amortiguado, se llama la constante crítica de amortiguación y es igual a: 4 m k

C

cr

2 m n

La relación entre la constante de amortiguación real y la constante critica de amortiguación, es la relación de amortiguación,  , c C



cr

En el movimiento críticamente amortiguado, el sistema retorna al equilibrio en un mínimo de tiempo y sin oscilar: k  1000

m  5 k

t  0  0.01  1

n 

c  2 m n

c  141.421

x0 

5

m

v0  0

1000

C1  x0

C2  v0  n  x0

 c t  2 m  x( t)  e   ( C1  C2 t ) 

Sistema criticamente amortiguado

Desplazamiento

3 510 0.006

x( t )

0.004 0.002

8

5.46110

0

0 0

0.2

0.4

0.6 t tiempo

0.8

1 1

Claramente observamos que el tiempo que demora en llegar al equilibrio es notoriamente inferior con respecto al grafico anterior. Se lo utiliza en sistema de retroceso de cañones

CASO III c

2

 2

4 m

k m

Este caso se denomina sistema subamortiguado y ocurre oscilación, disminuyendo cada amplitud sucesiva con respecto a la amplitud anterior. La ecuación general de la respuesta dinámica es:



 c    0.006   t 2 m   e   C1 e



Desplazamiento

x( t)

k

2



c



2

Sistema  1i t criticamente  amortiguado  1i t  k

m 4 m2

 C2 e

c

 

m 4 m2

0.004

o en forma trigonométrica: x( t )

0.002

x( t) 0

 c t  2 m  e    A  cos  d t  B sin d t  

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Donde d es la frecuencia natural amortiguada que se deduce de la siguiente forma: t tiempo

k m



c

2

2

2

4 m

n 

Ccr 2

2 2

n 

4 m

De igual manera el gráfico correspondiente:

2

2

  4 m  n 2

4 m

2

2





2

n  1  

d

2

1

c  30

k  1000

t  0  0.01  2  

m  5

n 

c

k m

  0.212

2 m n 2

d  1    n x0 

5

v0  0

1000

A  x0

B 

v0   n  x0 d

 c t  2 m   x( t)  e   A  cos  d  t   B sin  d  t  

Sistema subamortiguado

 3 0.005

Desplazamiento

510

x( t )

0

3

 2.52610

0.005

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

1 t tiempo

1.2

1.4

1.6

1.8

2 2

Ejercicio de Aplicación: Desarrollar la ecuación diferencial del sistema mostrado en la figura y determine la expresión para el amortiguamiento crítico y la frecuencia natural

En primer lugar se efectúa el análisis de momentos cuando el sistema está en reposo

 Mo

0

i

m g  l  k  st  a

0

A continuación le damos un desplazamiento angular y el sistema entra en oscilación, en este caso aplicamos la segunda ley de Newton

 Mo

I ''

i





k a  st  a   m g l  a c  a ' 

I ''

Simplificando : 2

2

2

m l  ''  c a  '  k a  

0

2 2 a k a  ''      '       ml ml

c

0

La ecuación característica es: 2

 

c m

 

a

2

 l

 

k m

 

a

2

 l

0

El discriminante es: 2

 c a 2  k a 2       4      m  l   m  l   La constante de amortiguación crítica la obtendremos cuando iguales el discriminante a cero: 2   ccr  a  2      2  k   a    m l   ml 

c

cr

l 2  k m a

La frecuencia amortiguada es por lo tanto: c a      l m  2 m l 

a

d

k

2

La frecuencia natural la obtenemos de la ecuación característica: k a  m l

n

k a Y la relación de amortiguación  den igual manera.  m l

2  n 

c m

 

a

 l

c a 2 l k m

2

DECREMENTO LOGARITMICO Una manera conveniente para determinar la cantidad de amortiguación presente en un sistema es midiendo el decaimiento de oscilaciones libres De la figura anterior vemos que la amplitud máxima es Xo en t = t0. Un ciclo después la amplitud ha disminuido a un valor x1 en el que t = t0 + d. Dos ciclos después, la amplitud ha disminuido x2, cuando t = t0 + 2d. La constante A es arbitraria. El periodo d es 2/d.

 c t  0 2 m  X Ae  0 

 c   t  d 0  2 m  X Ae  1 

 c   d  2 m  X e  0 

 c   t  2 d  0 2 m  X Ae  2

 c   2 d  2 m  X e  0





 c   n d  2 m   X e 0 

X

n



 c   d  2 m    es una medida de la amortiguación del sistema llamada

La cantidad decremento logarítmico

X

n

X e 0

 n 



1 n

 X0 

 ln 

 Xn   

EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1.- Cual es la diferencia para una relación de amortiguación de 0.2 entre las frecuencias naturales amortiguadas y no amortiguadas. 2.- Un émbolo de 2 kg soportado por un resorte helicoidal, vibra libremente con una frecuencia natural de 125 ciclos/ min. Cuando oscila dentro de un cilindro lleno de aceite, la frecuencia de oscilación se reduce a 120 ciclos/min. Determínese la constante c de amortiguación. 3.- Cual es la relación entre las amplitudes sucesivas de vibración para un sistema mecánico simple, si la relación de amortiguación viscosa es ζ = 0.5 4.- La parte móvil de un galvanómetro tiene un momento de inercia I de 1,5 • 10 - 6 kg m 2 y está conectada al bastidor por un resorte en espiral k de rigidez efectiva de 1,2 x 10-5 N m / rad y un amortiguador viscoso de coeficiente c. Escriba la ecuación de movimiento y cuál será el valor de c que hará que el movimiento no sea oscilatorio

5.- Determina la frecuencia natural y frecuencia natural amortiguada y halle el c crítico en función de los parámetros dados

6.- Un tanque con masa m1 = 2, 000 kg dispara un cañón con masa m2 = 2 kg y velocidad = 10 m / seg. .El mecanismo de retroceso consiste en un resorte con rigidez K= 11.000 N / m, y un amortiguador. Hay tres posibles valores del coeficiente de amortiguamiento: 0.2cc, cc y 1.5cc. Donde cc es el amortiguamiento crítico.

Para cada valor de la constante de amortiguamiento, determine el tiempo para volver a la posición de disparo original. 8.- Un modelo simplificado de vehículo consta de una masa suspendida por un resorte de rigidez k y un amortiguador de coeficiente c. El sistema es subamortiguado y el sobrepaso (overshoot) cuando el vehículo encuentra un obstáculo de altura h es definido como el desplazamiento al final del primer medio ciclo –x (td /2)

La suspensión para un vehículo debe ser diseñada para una deflexión estática máxima de 5 cm cuando este vacío y no más del 7% cuando el vehículo este lleno o vacio, se estima un máximo de 800 kg de carga. a.- Determine la rigidez y la constante c del vehículo b.- Grafique el sobrepaso en función de m mvehiculo  1200 kg mcarga  800 kg st  5 cm 7 soprepaso  100

mvehiculo  g

k 

st 5 kg

k  2.354  10

s

2

La respuesta dinámica es c

x( t)

e

2 m

t

 ( A  cos ( d  t)  B sin( d  t) )

xover para t = τd/2 = 1/2 (2 π / ωd) = π / ωd

x

over

  c  d/2    2 m   A  ( 1) ( e) 

Para determinar la constante A utilizamos las condiciones de frontera Para t = 0, x= h, x’ = 0, de donde A = h, y B = 0 x

over

h

  c  d/2    2 m  e

x

over

h

  c  d/2    2 m  e

  ccr 1      2  2 m 2 d  e 

  2 m n 



e  1

 xover         ln   h   1  2   



  1

2 m

 n 

  2 1 

c  cr

m  1200 kg 1201 kg  2000 kg

       sobrepaso ( m)  e 

c

   2 c     m k  

2  m k



1 

 2

m  1200 kg 1201 kg  2000 kg

2

1

  0.646

 1  ln( soprepaso )     

c   2 ( mvehiculo  mcarga)  k

e 

 

 ln ( soprepaso ) 2

Pero c





4 kg

c  2.803  10

s

  

       sobrepaso ( m)  e 

c

   2 c     m k  

2  m k



1 

 2

Sobrepaso vs m 8 7.2 6.4 5.6 4.8 sobrepaso( m)  100 4 3.2 2.4 1.6 0.8 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1.210 1.2810 1.3610 1.4410 1.5210 1.610 1.6810 1.7610 1.8410 1.9210

3

210

m

AMORTIGUACIÓN HISTERESICA A continuación daremos un breve resumen de la amortiguación histerésica. En primer lugar diremos que es una amortiguación interna propia de los materiales y de o las estructuras construidas por armado. Para el caso de la amortiguación viscosa sabemos que la fuerza de amortiguación es: f

t

k x  c x'

La energía disipada por ciclo de funcionamiento es:     

U

2

0

 

2 

2 

d f  x dt t dt

    2   d d   k x x d t   c  x  d t dt    dt    0

0

2 

U

2 

      2 2 2 k X   sin   t  cos   t d t   k X   cos   t d t    0

0

2

U

 c  X

De donde se deduce que la energía disipada por la amortiguación viscosa depende del desplazamiento y de la frecuencia, lo cual es falso para la amortiguación interna ya que en los materiales las altas frecuencias impiden el flujo de calor (disipación de energía) a través de los limites granulares y la amortiguación es menor, por lo tanto se considera que la fuerza de amortiguación interna es directamente proporcional a la velocidad, e inversamente proporcional a la frecuencia. c

h 

Donde al valor h se le denomina constante de amortiguación histerésica de unidades N/m Entonces la fuerza total será: f

h

k x 

t



 x'

y la energía disipada por ciclo es dependiente solo de la constante h y de la amplitud del movimiento U

2

 h X

La energía disipada se la determina del área cerrada de las curvas de carga y descarga de materiales o estructuras que presentan histéresis Ejercicio de Aplicación:

Deflexión mm

Cuando se carga y descarga una estructura armada, la información registrada produce la curva carga deflexión mostrada a continuación. Calcúlese a partir de esta información, el coeficiente de amortiguación histerésica h, el decremento logarítmico,  , y la relación de amortiguación  El área cerrada de la curva de histéresis, es la energía disipada durante cada ciclo completo. Contamos cuadrados, esta se aproxima a 36 N-m 2

U

 h X

36 N m

Para una deflexión máxima de 20 mm, el coeficiente de amortiguación histerésica h, es h

U 2

 X

36 2

 0.02

28.65

N mm

La pendiente de la curva fuerza-deflexión es k = 250 N/mm, y el decremento logarítmico son:



 2    2 m  d  c

h







m

h





d

 2

h k

0.36

k

y la relación adimensional de amortiguación:  



h

2  h

2 k

2 k

0.0575

AMORTIGUACIÓN DE COULOMB El tercer tipo de amortiguación, es el de amortiguación de Coulomb, o de fricción seca. Esta se denomina amortiguación constante y depende sólo de las fuerzas normales existentes entre las superficies deslizantes. Debido a que el signo de la fuerza de fricción cambia cuando se invierte el movimiento se hace necesaria dos soluciones para las ecuaciones de movimiento. Individualmente, las soluciones son lineales pero discontinuas después de cada medio ciclo. Haciendo referencia a la figura tenemos:

k x   N

m x''

La solución es: x

A1 cos  n t  B1 sin n t  

N k

Las constantes de integración A1 y B1 se resuelven al reemplazar las condiciones iníciales: t

0

x

x0

x'

0

y son: x0   

A1

N

B1

k

0

 x0   N   cos  n t   N   k  k 

x

 N

Esta es una curva cosenoidal desplazada en la dirección positiva una cantidad 0t

Solo es válida para

k .

 n . En el tiempo 

t

x

n

2  N k

 x0

En el segundo medio ciclo, el movimiento se invierte y debemos usar el siguiente diagrama de cuerpo libre y su correspondiente ecuación de movimiento:

k x    N x

m x''

A2 cos  n  t  B2 sin  n  t   

N k

Las constantes de integración A2 y B2 se resuelven al reemplazar las condiciones iníciales t

0

2   N

x

k

x' x' A2

x0 

3   N k

 x0

0 0 B2

0

 x0  3  N   cos  n t   N   k  k 

x

En el tiempo 2 

t

x0 

x

n

4  n k

Para el tercer medio ciclo el movimiento se invierte otra vez y la solución es:

 x0  5  N   cos  n t  N   k  k 

x

x

N k

El movimiento cesa cuando la amplitud es

El decremento para la amortiguación constante no es logarítmico sino lineal: x

n 1

x 

4   N

n

k

Ejercicio de Aplicación: Una masa de 10kg recibe un desplazamiento inicial de 60 mm y se libera. El módulo del resorte es de 1800 N/m. Si se supone que el coeficiente de fricción seca cinético es constante, de k = 0.1, grafique la respuesta dinámica del sistema: m  10

n 

x0 

k

60 1000

N  m g

n  13.416

m

t  0 0.001 

 

 N 

 

3  N 

x1( t)   x0 

x2( t)   x0 

 

x3( t)  if  t 

 

x4( t)   x0 

 

x5( t)  if  t 

  cos  n t   k  k

N

 N

  cos n ( t)  k  k

 n

 

 x1( t)  x2( t) 

5  N 

 N

  cos  n t  k  k

2  n

 

 x3( t)  x4( t) 

  0.1

5  n

k  1800

 

7  N 

 N

  cos  n t  k  k

x6( t)   x0 

 

3 

x7( t)  if  t 

n

 

 x5( t)  x6( t) 

x8( t)   x0  9 

N



 

4 

x9( t)  if  t 

n

k

 N

  cos  n t  k 

 

 x7( t)  x8( t) 

0.1

0.06

0.05

 N

x9( t )

0k 0

 0.049

0.05

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

t

1

1.2 1.17

Se concluye que la amortiguación seca detiene el movimiento puesto que llega un punto en el cual k x será menor que la fuerza de fricción  N.

Bibliografía: Thomson W., Theory of Vibration with Applications Steidel R., Introducción al estudio de las vibraciones mecánicas