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• Ray cristian Quicaña Poma

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Dinámica

2015-2

Sesión 23

Tema: Vibraciones Libres Amortiguadas

TEMARIO

• Movimiento sobreamortiguado • Movimiento en estado critico •Movimiento subamortiguado. • Decremento logarítmico. • Disipación de la energía.

TRES CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA VIBRACION AMORTIGUADA El sistema no oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente por tal motivo es denominado sistema sobre amortiguamiento.

VIBRACION LIBRE AMORTIGUADA Marco teórico de las vibraciones libres amortiguadas Ecuación diferencial del movimiento libre amortiguado:

mx  cx  kx  0

 n  0 

k m

x  2n x   x  0 2 n

d  n  2  1 Si 𝜉 > 1 Vibración sobreamortiguada

c 2  4km

0



c ccrit



c c  2 km 2mn

Si 𝜉 = 1 Estado crítico de la vibración

c  4km  0 2

ccrit  2 km

d  n 1   2 Si 𝜉 < 1 Vibración subamortiguada

c 2  4km

0

c 2  4km

Ecuación diferencial:

0

mx  cx  kx  0

k    m 2 n

Sabemos:

 

c ccritico

c    2 k .m n

: Coeficiente de atenuación



c   2m

2 0

Raíces de la ecuación General:

c   n 2m

𝜆1,2 = −𝛿 ± 𝛽 , 𝛽𝜖ℛ +

d     2  n2  n  2  1

x(t )  A1e

(    t )

 A2 e

 (   t )

En ausencia de fuerzas la respuesta decrece con el tiempo hasta la posición de equilibrio x(t)=0. No obstante, la magnitud del desplazamiento no oscila con respecto a la posición de equilibrio cuando se acerca a esta.

x(t )  ( B  Ct )e

 n t

Solución X(t) de la ecuación diferencial de una vibración libre subamortiguada

x  e nt (A1 Cosd t  A 2 Sen(d t )

También:

x  Ce nt Sen(d t   ) Donde:

C  ( A1 ) 2  ( A2 ) 2

A1 tg  A2

Decremento logarítmico (DL)

x1 Ce nt1  n (t1  d )  en d x2 Ce  x1  2 DL  ln    n d  n d  x2  DL  n Luego:

DL 

2

n (1   2 )

También:

2 (1   ) 2

 

DL (2 ) 2  ( DL ) 2

La gráfica que describe el movimiento de la vibración sub-amortiguada es:

𝜏𝑑 = 𝑡2 − 𝑡1 = 𝑡3 − 𝑡2 = 𝑡4 − 𝑡3 = 𝑡5 − 𝑡4 = ⋯ = 𝑐𝑡𝑒. Conceptualmente: 2𝜋 𝑠 𝜏𝑑 = 𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜 ω𝑑 (ciclos/s) 𝑓𝑑 =

1 ω𝑑 = 𝜏𝑑 2𝜋

𝐻𝑧

La amortiguación es crítica cuando 𝜉 = 1 𝜉2

Por lo cual en ∴

=

𝑐2 4𝑘𝑚

∴ 𝐶𝑐𝑟í𝑡 = 2 𝑘. 𝑚

Cuya solución será: 𝑥

𝑡

= 𝑐1 + 𝑐2 𝑡 𝑒 −ω𝑛𝑡

𝑐𝑐𝑟í𝑡 2 2 1 = 4𝑘𝑚

PROBLEMA: El siguiente sistema tiene una frecuencia natural 𝑓𝑛 = 5 𝐻𝑧, para los siguientes datos: 𝑚 = 10 𝑘𝑔, 𝐼𝑜 = 5 𝑘𝑔. 𝑚2 , 𝑟1 = 10 𝑐𝑚, 𝑟2 = 25 𝑐𝑚. Cuando el sistema es perturbado hacia la derecha a través de un pequeño desplazamiento inicial, la amplitud de la vibración libre se reduce a un 80% en 10 ciclos. Determinar los valores de rigidez K y la cte de amortiguamiento c:

ANIMACIÓN

RESOLUCIÓN: Según el enunciado del problema se trata de una vibración subamortiguada, después de reconocer el tipo de vibración, procedemos a resolver el problema utilizando los conceptos relacionados a este tipo de vibración. Hacemos un bosquejo para comprender mejor el movimiento:

Según el problema.

Luego:

𝑥10 = 0.8𝑥1 𝑥1 = 1.25 𝑥10 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 = . . . . . . . . 𝑥10 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 𝑥10 𝑥1 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 ln = 𝑙𝑛 . . . . . . . . 𝑥10 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 𝑥10

𝑥1 𝑥10 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 = ln + ln + ln + ln + ln + ln + ln + ln + 𝑙𝑛 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 𝑥10 𝑥1 ln 1.25 = 9 ln 𝑥2 𝑥1 1 ln = ln 1.25 𝑥2 9 ln

Por el concepto de decremento logarítmico: 𝑥𝑛 𝐷𝐿 = 𝑙𝑛 𝑥𝑛+1 𝑥1 1 𝐷𝐿 = ln = ln 1.25 𝑥2 9 𝐷𝐿 = 2.47937 × 10−2 Ahora usamos la relación del decremento logarítmico con la razón de amortiguamiento (𝜉): 2𝜋𝜉 𝐷𝐿 = 1 − 𝜉2 𝐷𝐿 𝜉= 2𝜋 2 − 𝐷𝐿 2

Reemplazando el valor del decremento logarítmico, tenemos: 𝜉 = 3.946 × 10−3 Ahora utilizamos lo estudiado sobre cinética del cuerpo rígido en 2D y usamos todos sus conceptos para obtener la ecuación del movimiento: 𝑥(𝑡) Graficamos el diagrama de fuerzas en el bloque:

Usamos la ecuación: 𝐹 = 𝑚𝑥 Tenemos: −𝑇 − 𝐹𝑅 = 𝑚𝑥 Luego: 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 + 𝑇 = 0 …(*)

Ahora analizamos la polea:

Usamos la ecuación:

𝑀𝑜 = 𝐼𝑜 𝜃

Aplicando en el problema: 𝑇𝑟2 − 𝐹𝑐 𝑟1 = 𝐼𝑜 𝜃 𝑇𝑟2 − 𝑐𝑥𝑐 𝑟1 = 𝐼𝑜 𝜃 𝑇𝑟2 − 𝑐 𝑟1 𝜃 𝑟1 = 𝐼𝑜 𝜃 𝑇𝑟2 − 𝑐𝑟1 2 𝜃 = 𝐼𝑜 𝜃

𝑇=

𝐼𝑜 𝜃+𝑐𝑟1 2 𝜃 …(**) 𝑟2

Reemplazando (**) en (*):

𝐼𝑜 𝜃 + 𝑐𝑟1 2 𝜃 𝑚𝑥 + 𝑘𝑥 + =0 𝑟2 𝑚𝑟2 𝑥 + 𝑘𝑟2 𝑥 + 𝐼𝑜 𝜃 + 𝑐𝑟1 2 𝜃 = 0

Como 𝑥 = 𝑟2 𝜃 → 𝑥 = 𝑟2 𝜃 → 𝑥 = 𝑟2 𝜃 𝑚𝑟2 𝑟2 𝜃 + 𝑘𝑟2 𝑟2 𝜃 + 𝐼𝑜 𝜃 + 𝑐𝑟1 2 𝜃 = 0 𝑚𝑟22 + 𝐼𝑜 𝜃 + 𝑐𝑟1 2 𝜃 + 𝑘𝑟22 𝜃 = 0

Reemplazamos la ecuación diferencial con los datos del problema: 5.625𝜃 + 0.01𝑐 𝜃 + 0.0625𝑘𝜃 = 0

Ahora usamos la ecuación de la frecuencia angular normal (𝜔𝑛 ): 𝜔𝑛 = 𝜔𝑛 =

𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 0.0625𝑘 5.625

Como 𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛 Entonces:

0.0625𝑘 2𝜋 5 = 5.625 𝑁 𝑘 = 88826.439 𝑚

También, del concepto de la razón de amortiguamiento:

𝜉=

𝑐𝑒𝑞 2 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞

𝑐𝑒𝑞 = 𝜉(2) 𝑘𝑒𝑞 𝑚𝑒𝑞 0.01𝑐 = 3.946 × 10−3 2

0.0625 88826.439 5.625

𝑐 = 139.463

𝑁. 𝑠 𝑚

TABLA DE RESPUESTAS:

Respuesta Pregunta

Cantidad escalar

Valor Numérico

Unidades

a

𝑘

88826.439

𝑁 𝑚

b

𝑐

139.463

𝑁. 𝑠 𝑚

BLOQUE C (4 puntos)

Un auto de 79,8 kg de ensayo se mueve con una rapidez de 7,33 m/s y choca contra un muro de contención en t = 0. Como resultado del comportamiento del parachoques en la absorción de energía, la respuesta del vehículo a la colisión puede ser simulada como un oscilador de masa y resorte amortiguado que se muestra con K = 8000 N / m y c = 3000 N.s / m. Considere que la masa se ​mueve hacia la izquierda con rapidez inicial de v 0 = 7,33 m / s, y el resorte no está estirado en t = 0. Para t = 0,04 s determine: a.- La frecuencia circular natural.(rad/s) b.- La frecuencia de la vibración amortiguada.(rad/s) c.- La razón de amortiguamiento. d.- Indique si la vibración es subamortiguada. Fundamente su respuesta

n  

mx  cx  kx  0 x

c k x x 0 m m

3000 8000 x x x0 79,8 79,8  

c 3000   18,8 2m 2(79,8)

8000  10rad / s 79,8

n (supe ramortiguado)

c  2mn

Si 𝜉 > 1 Vibración sobreamortiguada

PROBLEMA (4 puntos) Dos barras esbeltas y uniformes están soldadas según se indica en la figura. La barra ABC pesa 10 N y en la posición de equilibrio esta horizontal: la barra BD pesa 15 N y en la posición de equilibrio esta vertical; el pivote B está exento de rozamiento y el resorte no tienen deformación. Determine: a.- La ecuación diferencial del movimiento b.- El índice o razón de amortiguamiento. c.- Que tipo de vibración sucede (subamortiguado, amortiguamiento critico o sobreamortiguado). d. La frecuencia del movimiento (si procede).(rad/s)

TALLER

Problema Un carrito de peso 100 N rueda por una superficie horizontal plana, según se indica en la figura. se empuja el carrito hacia la derecha 375 mm y se suelta con una velocidad de 4,5 m/s hacia la izquierda en el instante t = 0 . Si la constante del resorte es K = 667 N/m y el coeficiente de amortiguamiento corresponde al amortiguamiento crítico, determinar: a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento C.(N.s/m) b.- ¿El carrito superará la posición de equilibrio antes de quedar en reposo?

Solucion  En la figura puede observarse el

diagrama del cuerpo libre del carrito para una posición arbitraria. −cx − kx = mx 100/9.81x + cx + 667x = 0

 Luego la pulsación propia será: ωn =

667 = 8.089 rad/s 100 9.81

 Y la razón de amortiguamiento: ζ=

𝑐𝑐𝑟 =1 100 2 8.089 9.81

𝑐 = 𝑐𝑐𝑟 = 164.9 N. s/m

,

 En el caso crítico, el desplazamiento y la velocidad

del carrito vienen dados por: 𝑥(𝑡) = (𝐵 + 𝐶𝑡)𝑒 −𝜔 𝑛 𝑡 = (𝐵 + 𝐶𝑡)𝑒 −8.089𝑡 𝑥 (𝑡) = 𝐶 − 8.089(𝐵 + 𝐶𝑡) 𝑒 −8.089𝑡

 Pero conocemos los siguientes datos: 𝑡=0 𝐵 = 375𝑚𝑚 𝐶 = −1466.6 𝑚𝑚/𝑠

𝑥 (𝑡) = (375 − 1466.6𝑡)𝑒 −8.089𝑡 𝑡1 = 375 1466.6 s

 Si analizamos dicha ecuación habrá un instante donde el

cuerpo pasara por la posición de equilibrio (x = 0)  Es decir: El cuerpo superara la posición de equilibrio, luego seguirá moviéndose hasta que, eventualmente, su posición tienda a cero.

Tareas 1.- Resolver el problemas: 4 , pagina 30 de la Guía de Dinámica N 2 El problema del bloque D analizarlo y discutirlo en su grupo de trabajo. 2.- Revisar en el libro de R. C. Hibbeler en la pagina 661, Beer and Johnston pagina 1086. el libro de T.R. Vilchez en la pagina 313 y traten de resolver el problema 01 Tema: Vibraciones libres amortiguadas

Problema Una barra esbelta uniforme de 3 Kg tiene una longitud de 150mm y esta en equilibrio en la posición horizontal que se indica en la figura. Cuando se desciende un poco E y se suelta se observa que la amplitud de cada pico de la oscilaciones es un 90% de la amplitud del pico anterior. Si la constante del resorte es K = 400 N/m, determinar: a.- El valor del coeficiente de amortiguamiento b.- El periodo amortiguado, la frecuencia amortiguada y la pulsación amortiguada de la vibración resultante.

Solución  Se determina el decremento logarítmico a partir del

cociente entre amplitudes sucesivas: DL = δ = ln

x1 x2

= 𝑙𝑛

1 0.9

= 0.10536

 Luego la razón de amortiguamiento será: ζ=

𝛿 2𝜋 2 + 𝛿 2

= 0.01677 =

𝑐𝑒𝑞 2 𝑚𝑒𝑞 𝑘𝑒𝑞

… (𝑎)

Coeficientes de la ecuación diferencial del movimiento

 Para el estado de equilibrio tendríamos lo siguiente: ↺+

𝑀𝐵 = 0

−0.075𝑘 𝛿𝑒𝑞 − 0.025𝑚𝑔 = 0 → 𝛿𝑒𝑞 = −24.53mm

 Cuando se gira la barra en sentido anti horario el

alargamiento del resorte sería: 𝛿𝑒𝑞 + 𝛿𝐷

𝛿𝐷 ≅ 0.075𝜃

 Análogamente el amortiguador se comprimirá a

razón:

𝛿𝐴 ≅ 0.050𝜃

 Por tanto, la ecuación del movimiento seria la

siguiente:

−0.025𝑚𝑔 − 0.075𝑘 𝛿𝑒𝑞 + 𝛿𝐷 − 0.050𝑐𝛿𝐴 = 𝐼𝐵 𝜃

𝐼𝐵 𝜃 + (0.050)2 𝑐𝜃 + (0.075)2 𝑘𝜃 = −0.075𝑘 𝛿𝑒𝑞 − 0.025𝑚𝑔 𝐼𝐵 =

1 . 3. (0.15)2 + 3. (0.025)2 = 7.5(10−3 )kg. m2 12

 Donde: 𝜃 + 0.0333𝑐𝜃 + 300𝜃 = 0

 Sustituyendo en la ecuación “a” los valores de los

coeficientes de la ecuación diferencial, obtenemos: 𝑐=

0.01677 (2) 300 = 1.743N. s/m 0.3333

 Entonces la pulsación propia, la frecuencia

amortiguada y la pulsación amortiguada serán: ωn = 300 = 17.321 rad/s ωd = ωn 1 − ζ2 = 17.318rad/s fd = ωd 2π = 2.756Hz τ𝑑 = 1 fd = 0.363s

Ejemplo: Hallar la ecuación diferencial del movimiento de la varilla que se muestra