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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Unidad Azcapotzalco

Ingeniería Robótica Industrial

ALUMNO MUÑOZ RIVERA ALONSO

PROFESOR ING. GERARDO VERA

ASIGNATURA Vibraciones Mecánicas TRABAJO DE INVESTIGACIÓN “Vibraciones Forzadas y Amortiguadas”

6RM3

Fecha: 18/04/12

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO

Vibraciones Amortiguadas En análisis vibratorio considerado hasta ahora no ha incluido el efecto de la fricción o el amortiguamiento del sistema y como resultado de ello, las soluciones obtenidas son solo una aproximación cercana al movimiento real. Debido a que todas las vibraciones se disipan con el tiempo, la presencia de fuerzas amortiguadoras debe incluirse en el análisis. Se dice que un sistema tiene amortiguamiento cuando posee elementos que disipan energía. Existen varios tipos de amortiguamiento: a) Amortiguamiento viscoso lo experimentan los cuerpos que se mueven con una velocidad moderada en el interior de fluidos. b) Amortiguamiento de superficies secas.

Coulomb

producido

por

el

movimiento

relativo

de

c) Amortiguamiento estructural es producido por la fricción interna del material elástico. AMORTIGUAMIMENTO VISCOSO Este tipo de amortiguamiento se presenta en forma natural cuando sistemas mecánicos oscilan en el interior de un medio fluido. También aparece en sistemas mecánicos utilizados para regular la vibración. Este tipo de amortiguador está formado por un pistón el cual se mueve en el interior de un cilindro el cual contiene un fluido viscoso como el aceite. Al moverse el émbolo se opone el fluido el cual debe atravesar pequeños orificios practicados en el émbolo.

Vibraciones Forzadas y Amortiguadas

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Para nuestro estudio vamos a utilizar los amortiguadores lineales, en este caso la fuerza de fricción debido al amortiguamiento es directamente proporcional a la velocidad lineal siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de amortiguamiento (c). Esta fuerza se expresa:

̇

VIBRACIONES LIBRES AMORTIGUADAS Consideremos una partícula de masa sujeta a un resorte ideal de rigidez k y a un amortiguador tal como se muestra en la figura. Si el movimiento descrito por m es vertical, la vibración amortiguada es de un solo grado de libertad. Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene:

∑ ----(1) Si ahora se desplaza a m un desplazamiento xm menor que δst desde la posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial la partícula se moverá describiendo una oscilación libre amortiguada Para determinar las ecuaciones que gobiernan a la vibración consideremos a la partícula en una posición arbitraria x medida a partir de la posición de equilibrio como se muestra en la figura:

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Aplicando la segunda dirección x resulta:

ley

de

Newton

en

∑ ( Al remplazar resulta:

̈

̇

) la

̇ ecuación

----(2)

(1)

en

(2),

----(3)

Esta ecuación diferencial es de segundo orden lineal homogénea con coeficientes constantes. Su solución es: ----(4) Remplazando la ecuación (4) conjuntamente con sus derivadas en la ecuación (3) se obtiene la ecuación característica expresada por: ----(5) Las raíces de esta ecuación son: √

----(6)

La solución general de la ecuación diferencial es: ----(7)

Coeficiente de amortiguamiento crítico Es el valor del coeficiente de amortiguamiento para el cual se hace cero la cantidad subradical de la ecuación (6), en consecuencia:

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√

----(8)

El coeficiente de amortiguamiento crítico representa la cantidad mínima de amortiguamiento requerida para que el movimiento no sea vibratorio.  Movimiento Sobreamortiguado En este caso c > ccr, entonces las dos raíces de la ecuación característica son reales y diferentes. Por tanto la solución puede escribirse:

 Movimiento Críticamente Amortiguado Aquí c = ccr, en este caso las dos raíces son iguales. La solución general será:

(

)

 Movimiento Subamortiguado En este caso la solución es de la forma:

(

)

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El movimiento descrito por la ecuación se dice que es periódico en el tiempo de amplitud decreciente tal como se muestra en la figura. En donde se observa que el “período” es el tiempo entre dos valles o picos.

 Decremento Logarítmico Es una cantidad que nos permite medir la velocidad de decaimiento de una oscilación, se expresa como el logaritmo de la razón entre cualquier par de amplitudes sucesivas positivas (o negativas). Esto es: ( La razón de amplitudes es:

(

)

)

El decremento logarítmico es:

(

)

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)

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Vibraciones Forzadas Las señales determinanticas periódicas estudiadas anteriormente, son un caso hipotético de comportamiento de un sistema mecánico, porque ningún sistema real puede mantener el movimiento por sí sólo una vez que cesa la excitación. Los sistemas mecánicos para trabajar normalmente precisan de la acción de un agente externo. Si los sistemas están perfectamente alineados y balanceados no surgirán fuerzas excitadoras y por lo tanto no habrá vibración. Pero estas condiciones son muy difíciles de lograr por lo que se establecen criterios de control de esos parámetros que dan como resultado que el sistema funcione bajo los efectos de las vibraciones forzadas. Cuando el sistema está sometido a vibraciones forzadas su respuesta será a la frecuencia que le fue impuesta por la fuerza excitadora. Luego, es imprescindible conocer la relación que guarda esta frecuencia con la frecuencia natural del sistema y cuál es su comportamiento en esos casos.

Para obtener las características fundamentales de los sistemas con oscilaciones forzadas, inicialmente se considerará un sistema forzado sin amortiguamiento de donde serán extraídas las conclusiones más generales que servirán de base al análisis de sistemas más complejos. Vibraciones Forzadas no amortiguadas

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Las fuerzas excitadoras pueden ser de diversa naturaleza influyendo esta característica en el comportamiento del sistema sobre el cual actúa. Por ejemplo, las máquinas rotatorias como las turbinas, bombas hidráulicas, etc., están sometidas a una frecuencia de rotación de acuerdo a su diseño. Si existe cierto desplazamiento del centro de masa respecto al centro de giro, sobre el rotor surgirá una fuerza excitadora que será proporcional a la frecuencia de rotación. En la figura se muestra una rueda unida a un rotor con una frecuencia de rotación igual a . En la misma, el centro de masa (b) y el centro geométrico (a) se encuentran desplazados del centro de giro (o) entre otras causas por curvatura del eje. Esta situación provocará que en el centro de masa surja una fuerza Fe que tratará de sacar al sistema de su posición de equilibrio, por lo que surgirá otra fuerza, en sentido contrario aplicada sobre el centro geométrico, que tratará de retornarlo a su posición inicial. Las condiciones a la que está sometido ese sistema pueden ser llevado al modelo simplificado de masa resorte con un grado de libertad, al que se le añade la acción de la fuerza excitadora Fe. Este modelo, el cual prescinde del amortiguamiento, permitirá determinar las propiedades fundamentales de los sistemas mecánicos con vibraciones forzadas.

Aplicando la segunda ley de Newton, de la figura 2.16 se tendrá lo siguiente:

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de donde dividiendo por la masa del sistema se tendrá:

Como se aprecia de la ecuación (2.61) ahora están presentes dos frecuencias, la propia del sistema y la impuesta por la fuerza excitadora. Luego, de la relación que guarden estas frecuencias entre sí dependerá el comportamiento del sistema bajo la acción de la fuerza excitadora

(F cosω.t). 0

Vibraciones forzadas amortiguadas

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Para el estudio de estos sistemas será tomado como modelo el sistema masa resorte con amortiguamiento mostrado en la figura (2.9) al que se le aplicará una fuerza externa excitadora. De esta forma la ecuación que caracteriza el comportamiento dinámico del sistema estará dada por una ecuación diferencial de segundo grado no homogénea como sigue:

De donde se tiene que:

Donde forzadas.

es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con vibraciones

Vibraciones Forzadas y Amortiguadas